tal cual cayó — sin cambiar un número

Mecánica de Fluidos · segundo examen parcial

Segundo examen parcial · 2019-2020

4 de junio de 2020 · 3 de los 5 ejercicios

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Faltan 2 de los 5 ejercicios del cuadernillo: el 4 y el 5

4.
Una instalación de bombeo con codo comercial, válvula de compuerta al 62,5 % y válvula esférica girada 30°. Sus factores de paso salen del cuadro de pérdidas menores del departamento, que no está entre el material que tenemos, y sin ellos no se puede reconstruir el término cuadrático de la curva que el examen publica.
5.
Una red de cinco tuberías cuyas longitudes y diámetros van en una tabla metida dentro de la propia figura. Sin esa tabla no hay enunciado que transcribir.

Están en el PDF original, que es el mismo que se repartió en el aula. Si los echas de menos al contrastar, no es un descuido: cada uno dice ahí arriba por qué todavía no está resuelto aquí.

El álabe que huye del chorro, y el que va a su encuentroAplicaciones de la cantidad de movimiento
Un chorro de agua de diámetro $d = 13$ cm incide tangencialmente sobre un álabe que lo desvía 180º. La velocidad del agua a la salida de la boquilla es $v = 60$ m/s. Se pide:

a) Esfuerzo que ejerce el chorro sobre el álabe si la velocidad de desplazamiento del álabe es $u = v/3$ .

b) ¿A qué velocidad debe desplazarse el álabe para que la potencia útil obtenida sea nula?

c) Esfuerzo que ejercería el chorro sobre el álabe si el álabe se desplazara a una velocidad $u = 20$ m/s hacia el chorro.

Lo que empuja el álabe no es la velocidad del chorro sino la velocidad relativa, v − u. Por eso huyendo a v/3 la fuerza baja, a v exacta se anula, y embistiendo el chorro la velocidad relativa crece a v + u y la fuerza se dispara.

La fuerza sobre el álabe en dos situaciones, y la velocidad de potencia nula.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El módulo que aterriza en Marte, con variables repetidas rarasAnálisis dimensional y teoría de modelos
La ESA quiere diseñar un módulo de aterrizaje para futuras misiones al planeta Marte. Ante la imposibilidad de hacer los test directamente en la atmósfera del planeta de destino, se opta por hacer ensayos de laboratorio a escala con un gas idéntico al del planeta de destino ( $\lambda = 1/10$ ). El factor determinante en el diseño es el calentamiento generado por fricción con la atmósfera durante el descenso, por lo que el diseño pretenderá minimizar dicha fuerza de fricción.

Se va a considerar que dicha fuerza $F_R$ depende de la velocidad de descenso $v$ , de la densidad $\rho$ y la viscosidad dinámica $\mu$ del gas, del ángulo de entrada $\alpha$ , de la velocidad del sonido $c$ , de la rugosidad $\varepsilon$ del material superficial del módulo, de la gravedad local $g$ y de la longitud característica $L$ . Se pide:

a) Se pretende utilizar las variables $\mu$ , $\varepsilon$ y $c$ como variables repetidas. Justificar si es posible hacerlo. En el caso en el que no lo sea, proponer y justificar una lista alternativa.

b) Indicar las dimensiones de todas las variables y deducir los números adimensionales mediante el teorema de Vaschy-Buckingham.

c) Justificar si es posible obtener la semejanza dinámica absoluta y discutir los resultados.
Si las variables repetidas propuestas sirven, los adimensionales y si hay semejanza absoluta.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El canal, la tubería forzada y la válvula que se quiere cerrar antesRégimen variable en tuberías
Al diseñar una instalación de montaña, la presa A y el depósito B se unirán mediante un canal de sección circular. El canal está hecho de madera sin cepillar y la pendiente es de 1,5 milésimas. Como hay una gran variación de caudal entre el invierno y el verano, se quiere lograr que en verano el nivel del agua no supere el 45 % del diámetro.

a) Si el caudal medio en verano es de 440 l/s, calcular el nivel de agua $h$ y la velocidad de flujo $v_c$ . Los diámetros comerciales aumentan cada 10 cm.

La superficie libre del depósito B está en la cota $z_B = 1550$ m. Del depósito sale una tubería de acero con un diámetro de 430 mm y una pendiente del 18 %. En el camino hay una válvula de guillotina a una altitud de $z_C = 250$ m, y aguas abajo de la válvula, a una altitud de $z_D = 200$ m, una pequeña central hidroeléctrica con una turbina Pelton de dos inyectores. Después de la central se vierte el agua en el río a una altitud de $z_E = 100$ m. Si el caudal transportado debe ser de 390 l/s y el cierre de la válvula, manualmente, se realizará en 25 segundos:

b) Calcular el grosor de la tubería utilizando la expresión de Barlow y después seleccionar el espesor comercial adecuado sabiendo que son múltiplos de 2 mm.

c) El cliente desea que la válvula se cierre automáticamente en 10 segundos. Explicar con valores si es una buena idea o no.

Expresión de Barlow: $e = \bigl(pD/2\sigma + m\bigr)\,c$ , con $\sigma = 355$ MPa la tensión admisible, $m = 1$ mm el aumento por corrosión y $c = 1{,}25$ el margen de fabricación.
El diámetro y el calado del canal, y el espesor de la tubería con los dos tiempos de cierre.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Segundo parcial, 4 de junio de 2020 · Mecánica de Fluidos, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen publica el resultado pero no la resolución.

El álabe que huye del chorro, y el que va a su encuentro

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un chorro de agua de diámetro $d = 13$ cm incide tangencialmente sobre un álabe que lo desvía 180º. La velocidad del agua a la salida de la boquilla es $v = 60$ m/s. Se pide:

a) Esfuerzo que ejerce el chorro sobre el álabe si la velocidad de desplazamiento del álabe es $u = v/3$ .

b) ¿A qué velocidad debe desplazarse el álabe para que la potencia útil obtenida sea nula?

c) Esfuerzo que ejercería el chorro sobre el álabe si el álabe se desplazara a una velocidad $u = 20$ m/s hacia el chorro.

Lo que empuja el álabe no es la velocidad del chorro sino la velocidad relativa, v − u. Por eso huyendo a v/3 la fuerza baja, a v exacta se anula, y embistiendo el chorro la velocidad relativa crece a v + u y la fuerza se dispara.

La fuerza sobre el álabe en dos situaciones, y la velocidad de potencia nula.

01
Reconocer el camino
COMP1
El álabe se mueve. ¿Qué velocidad entra en el teorema de la cantidad de movimiento?
02
La fuerza con el álabe huyendo
COMP2
Con $u = v/3$ , ¿cuánto vale la fuerza sobre el álabe, en kN?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad de potencia nula
COMP2
¿A qué velocidad debe ir el álabe para que la potencia útil sea nula, en m/s? (la solución distinta de cero)
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La fuerza con el álabe embistiendo
COMP2
Si el álabe va hacia el chorro a 20 m/s, ¿cuánto vale la fuerza, en kN?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con el álabe en movimiento, lo que cuenta es la velocidad relativa: el caudal que lo alcanza y la velocidad con que lo hace son las dos $v \mp u$ .
2. De ahí $F = 2\rho A (v\mp u)^{2}$ : 42,47 kN huyendo a 20 m/s y 169,9 kN embistiendo a la misma velocidad.
3. La potencia útil, $F\,u$ , se anula en $u = 0$ y en $u = v$ , y es máxima entre medias.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Segundo parcial, 4 de junio de 2020 · Mecánica de Fluidos, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen publica el resultado pero no el desarrollo.

El módulo que aterriza en Marte, con variables repetidas raras

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La ESA quiere diseñar un módulo de aterrizaje para futuras misiones al planeta Marte. Ante la imposibilidad de hacer los test directamente en la atmósfera del planeta de destino, se opta por hacer ensayos de laboratorio a escala con un gas idéntico al del planeta de destino ( $\lambda = 1/10$ ). El factor determinante en el diseño es el calentamiento generado por fricción con la atmósfera durante el descenso, por lo que el diseño pretenderá minimizar dicha fuerza de fricción.

Se va a considerar que dicha fuerza $F_R$ depende de la velocidad de descenso $v$ , de la densidad $\rho$ y la viscosidad dinámica $\mu$ del gas, del ángulo de entrada $\alpha$ , de la velocidad del sonido $c$ , de la rugosidad $\varepsilon$ del material superficial del módulo, de la gravedad local $g$ y de la longitud característica $L$ . Se pide:

a) Se pretende utilizar las variables $\mu$ , $\varepsilon$ y $c$ como variables repetidas. Justificar si es posible hacerlo. En el caso en el que no lo sea, proponer y justificar una lista alternativa.

b) Indicar las dimensiones de todas las variables y deducir los números adimensionales mediante el teorema de Vaschy-Buckingham.

c) Justificar si es posible obtener la semejanza dinámica absoluta y discutir los resultados.

Si las variables repetidas propuestas sirven, los adimensionales y si hay semejanza absoluta.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que comprobar antes de aceptar $\mu$ , $\varepsilon$ y $c$ como variables repetidas?
02
Cuántos grupos salen
COMP2
¿Cuántos parámetros adimensionales caracterizan el problema?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El exponente de la rugosidad en el grupo de la fuerza
COMP2
En $\Pi_1 = F_R\,\mu^{a}\varepsilon^{b}c^{d}$ , ¿cuánto vale $b$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\mu$ , $\varepsilon$ y $c$ son dimensionalmente independientes, así que sí valen como repetidas.
2. Los seis grupos son $F_R/(\mu\varepsilon c)$ , $v/c$ , $\rho\varepsilon c/\mu$ , $g\varepsilon/c^{2}$ , $L/\varepsilon$ y el propio $\alpha$ .
3. El segundo es el número de Mach, el tercero un Reynolds construido sobre la rugosidad y el cuarto un Froude; el quinto es la rugosidad relativa del revés.

Resolución completa

a) ¿Valen esas repetidas? Sí. Hay que comprobar que las tres cubren M, L y T de forma independiente:

	M	L	T
$\mu$	1	$-1$	$-1$
$\varepsilon$	0	1	0
$c$	0	1	$-1$

El determinante no se anula: $\mu$ es la única que aporta masa, $\varepsilon$ la única longitud pura y $c$ la que trae el tiempo. Sí es posible, aunque la elección sea poco habitual.

b) Los seis grupos. Nueve variables menos tres dimensiones dan seis, y uno de ellos —el ángulo— viene ya adimensional:

\Pi_1 = \frac{F_R}{\mu\,\varepsilon\,c} \qquad \Pi_2 = \frac{v}{c} \qquad \Pi_3 = \frac{\rho\,\varepsilon\,c}{\mu}

\Pi_4 = \frac{g\,\varepsilon}{c^{2}} \qquad \Pi_5 = \frac{L}{\varepsilon} \qquad \Pi_6 = \alpha

El $\Pi_2$ es Mach; el $\Pi_3$ , un Reynolds construido sobre la rugosidad; el $\Pi_4$ , un Froude; y el $\Pi_5$ , la rugosidad relativa puesta del revés. Son los de siempre con otro traje.

c) La semejanza absoluta. No es posible. Con el mismo gas, $\Pi_3$ y $\Pi_4$ imponen condiciones incompatibles sobre la escala, igual que pasaba con Reynolds y Froude en cualquier otro problema; y aquí se añade que $\Pi_5 = L/\varepsilon$ exige escalar la rugosidad en la misma proporción que el módulo, es decir fabricar un modelo diez veces más liso que el prototipo.

Lo que enseña la elección rara de repetidas. Que los números adimensionales no son una lista que memorizar: son lo que sale de las variables que uno mete y de las que elige repetir. Con $\rho$ , $L$ y $v$ habrían salido Mach, Reynolds y Froude «de libro»; con $\mu$ , $\varepsilon$ y $c$ salen los mismos, escritos de otra manera. Y la conclusión física —imposible la semejanza absoluta— es la misma en las dos escrituras, que es la comprobación de que el método no depende de la elección.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Segundo parcial, 4 de junio de 2020 · Mecánica de Fluidos, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen publica el resultado pero no la resolución.

El canal, la tubería forzada y la válvula que se quiere cerrar antes

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Al diseñar una instalación de montaña, la presa A y el depósito B se unirán mediante un canal de sección circular. El canal está hecho de madera sin cepillar y la pendiente es de 1,5 milésimas. Como hay una gran variación de caudal entre el invierno y el verano, se quiere lograr que en verano el nivel del agua no supere el 45 % del diámetro.

a) Si el caudal medio en verano es de 440 l/s, calcular el nivel de agua $h$ y la velocidad de flujo $v_c$ . Los diámetros comerciales aumentan cada 10 cm.

La superficie libre del depósito B está en la cota $z_B = 1550$ m. Del depósito sale una tubería de acero con un diámetro de 430 mm y una pendiente del 18 %. En el camino hay una válvula de guillotina a una altitud de $z_C = 250$ m, y aguas abajo de la válvula, a una altitud de $z_D = 200$ m, una pequeña central hidroeléctrica con una turbina Pelton de dos inyectores. Después de la central se vierte el agua en el río a una altitud de $z_E = 100$ m. Si el caudal transportado debe ser de 390 l/s y el cierre de la válvula, manualmente, se realizará en 25 segundos:

b) Calcular el grosor de la tubería utilizando la expresión de Barlow y después seleccionar el espesor comercial adecuado sabiendo que son múltiplos de 2 mm.

c) El cliente desea que la válvula se cierre automáticamente en 10 segundos. Explicar con valores si es una buena idea o no.

Expresión de Barlow: $e = \bigl(pD/2\sigma + m\bigr)\,c$ , con $\sigma = 355$ MPa la tensión admisible, $m = 1$ mm el aumento por corrosión y $c = 1{,}25$ el margen de fabricación.

El diámetro y el calado del canal, y el espesor de la tubería con los dos tiempos de cierre.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el apartado c), ¿qué hay que comprobar antes de calcular la sobrepresión?
02
El diámetro comercial del canal
COMP2
¿Qué diámetro comercial hay que instalar en el canal, en metros?
Tu respuesta al paso 2un diámetro, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El espesor de la tubería forzada
COMP2
Con el cierre manual de 25 s, ¿qué espesor comercial hay que instalar, en mm?
Tu respuesta al paso 3un espesor, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La sobrepresión con el cierre rápido
COMP2
Cerrando en 10 s, ¿cuánto vale la sobrepresión, en metros?
Tu respuesta al paso 4una altura, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con el espesor de 14 mm, la celeridad es de 1.290 m/s y el tiempo crítico, 11,2 s.
2. Cerrar en 10 s cruza esa frontera: el cierre pasa a ser rápido y la sobrepresión sube de 158 a 354 m.
3. Aun así, el espesor necesario sube solo de 12,07 a 13,52 mm, y el comercial sigue siendo el mismo: el cambio es aceptable.

Resolución completa

a) El canal. Madera sin cepillar, $n = 0{,}013$ , pendiente 1,5 milésimas y el calado limitado al 45 % del diámetro. Con esa relación, el ángulo mojado vale $2{,}941$ rad y la ecuación de Manning queda

2{,}456\,R^{8/3} = 0{,}44 \qquad D = 1{,}05\ \text{m} \;\longrightarrow\; D_{com} = 1{,}1\ \text{m}

Con el comercial ya instalado, el nivel real baja a $h = 46{,}3$ cm y la velocidad es $v_c = 1{,}17$ m/s.

b) El espesor. La tubería baja 1.300 m con una pendiente del 18 %, así que mide unos 7.222 m. A 390 l/s por 430 mm, la velocidad es $2{,}686$ m/s, y el cierre de 25 s es lento —el tiempo crítico ronda los 11 s—, así que vale Michaud:

\Delta h = \frac{2Lv}{gT} = 158\ \text{m} \qquad p = 14{,}29\ \text{MPa}

e = \Bigl(\frac{pD}{2\sigma}+m\Bigr)c = 12{,}07\ \text{mm} \;\longrightarrow\; 14\ \text{mm}

c) Cerrar en 10 segundos. Aquí no basta con cambiar el 25 por un 10. Con el espesor recién calculado, la celeridad es

c = 1290\ \text{m/s} \qquad \frac{2L}{c} = 11{,}2\ \text{s}

Diez segundos son menos que eso: el cierre deja de ser lento y hay que usar Allievi.

\Delta h = \frac{cv}{g} = 354\ \text{m}

Más del doble. Y sin embargo el espesor necesario solo pasa de 12,07 a 13,52 mm, así que el comercial sigue siendo 14 mm: el cambio es aceptable.

Pero conviene decir por qué lo es. No porque la sobrepresión sea pequeña —es un 27 % de la estática— sino porque el redondeo a múltiplos de 2 mm se la traga. Si los espesores comerciales fueran de milímetro en milímetro, la respuesta sería otra. Un margen que depende del catálogo del proveedor no es un margen de diseño, y eso es lo que hay que decirle al cliente junto con el «sí».

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Segundo examen parcial · 2019-2020

Reconocer el camino

La fuerza con el álabe huyendo

La velocidad de potencia nula

La fuerza con el álabe embistiendo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Cuántos grupos salen

El exponente de la rugosidad en el grupo de la fuerza

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El diámetro comercial del canal

El espesor de la tubería forzada

La sobrepresión con el cierre rápido

Justificar el argumento