tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria extraordinaria

Convocatoria extraordinaria · 2012-2013

17 de junio de 2013 · 8 ejercicios · 80 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un rombo del que solo se conoce una diagonalNúmeros complejos2 + 5 + 3 = 10 pts
Los vértices opuestos de un rombo son los afijos de los números complejos $z_{1}=2-i$ y $z_{2}=6+2i$ . Sabiendo que la longitud de la otra diagonal es el doble de la que forman dichos vértices, hallar los otros vértices y el área del rombo.
Los otros dos vértices y el área.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Meter el infinito dentro de un intervaloIntegración0 + 7 + 3 = 10 pts
Para calcular integrales impropias de tipo $\displaystyle\int_{a}^{\infty}f\left(r\right)dr$ se suele utilizar el cambio de variable $r=\dfrac{2a}{1-x}$ . Para la integral $\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dr}{\left(r+1\right)^{3}}$ , se pide:

a) Aplicar dicho cambio de variable.

b) Aproximar la integral empleando la regla del punto medio usando cuatro subintervalos.
La integral transformada y su aproximación numérica.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Enunciar y demostrar el teorema del valor mediolos 10 puntos son demostración — cero cálculoEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 0 + 10 = 10 pts
Enunciar y demostrar el teorema del valor medio (Lagrange).
El enunciado con sus hipótesis, y la demostración.
- COMP 410 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos integrales, y en cada una hay que ver el trucoIntegración0 + 8 + 2 = 10 pts
Calcular:

a) $\displaystyle\int\frac{\cos x} {\operatorname{sen}^{2}x-6\operatorname{sen}x+5}\,dx$

b) $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{x^{2}+x+1}$
Las dos integrales.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un factor integrante que hay que buscar, y un cadáverEcuaciones diferenciales1 + 6 + 3 = 10 pts
a) Utilizar un factor integrante de la forma $x^{n}y^{m}$ para resolver la EDO $y\,dx+\left(x^{2}y^{2}-x\right)dy=0$ .

b) La policía ha encontrado el cadáver de una persona dentro de una habitación. Un modo de determinar aproximadamente la hora de la muerte, cuando ha ocurrido pocas horas antes, es estudiar el proceso de enfriamiento del cadáver. Se ha tomado la temperatura al cadáver a las 12:00 y a las 13:00 horas, siendo estos valores 26 ºC y 24 ºC respectivamente. La habitación se encuentra a 20 ºC. Utilizando la ley de enfriamiento de Newton, estimar a qué hora falleció la persona.
La solución de la EDO y la hora de la muerte.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un paraboloide tapado por una esferaIntegral múltiple2 + 5 + 3 = 10 pts
Considerar el sólido definido por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le3z$ ; $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4$ .

a) Dibujar el sólido y calcular su volumen.

b) Calcular el área de su superficie.

c) Calcular el centro de gravedad del sólido.
El dibujo, el volumen, el área y el centro de gravedad.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La misma antitransformada por dos caminosTransformada de Laplace0 + 5 + 5 = 10 pts
Calcular $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{\left(s+1\right)^{2}}\right\}$ de dos formas diferentes.
La función, obtenida por dos métodos distintos.
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un campo con dos rectas prohibidasIntegral curvilínea2 + 4 + 4 = 10 pts
Sea $C$ la circunferencia de centro $\left(0,0\right)$ y radio $2$ . Calcular
$\oint_{C}\frac{\left(y+1\right)dx+\left(x+1\right)dy} {\left(x+1\right)\left(y+1\right)}$
a) Parametrizando la curva.

b) Aplicando, si es posible, la fórmula de Green.
El valor por parametrización, y si Green se puede aplicar o no.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de junio, 17 de junio de 2013 · Cálculo – Industriales, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un rombo del que solo se conoce una diagonal

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Los vértices opuestos de un rombo son los afijos de los números complejos $z_{1}=2-i$ y $z_{2}=6+2i$ . Sabiendo que la longitud de la otra diagonal es el doble de la que forman dichos vértices, hallar los otros vértices y el área del rombo.

Los otros dos vértices y el área.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué propiedad de las diagonales de un rombo resuelve el ejercicio?
02
La diagonal conocida
COMP2
¿Cuánto mide la diagonal que une $z_{1}$ con $z_{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Uno de los vértices que faltan
COMP2
¿Cuál es el vértice con parte imaginaria positiva?
Tu respuesta al paso 3forma binómica, por ejemplo 1+4.5i — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo del área. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La diagonal conocida mide $\left|4+3i\right|=5$ , y el enunciado dice que la otra mide $10$ .
2. Se cortan perpendicularmente en su punto medio $M=4+\frac12 i$ , así que los otros dos vértices son $M\pm i\left(4+3i\right)=M\pm\left(-3+4i\right)$ .
3. El área de un rombo es el semiproducto de sus diagonales: $\frac{5\cdot10}{2}=25$ .

Resolución completa

La diagonal que dan. Restando los dos afijos:

z_{2}-z_{1}=\left(6+2i\right)-\left(2-i\right)=4+3i, \qquad \left|4+3i\right|=5

Y su punto medio, que va a ser el centro del rombo:

M=\frac{z_{1}+z_{2}}{2}=\frac{8+i}{2}=4+\tfrac12 i

La propiedad que lo resuelve todo. En un rombo las diagonales se cortan perpendicularmente y en su punto medio. Así que los dos vértices que faltan están sobre la recta que pasa por $M$ en dirección perpendicular a $4+3i$ , a la mitad de $10$ —o sea a $5$ — de distancia.

Girar noventa grados es multiplicar por $i$ , y aquí sale redondo:

i\left(4+3i\right)=4i-3=-3+4i, \qquad \left|-3+4i\right|=5

El módulo ya es el que hace falta, así que no hay ni que normalizar.

\boxed{\;z_{3}=M+\left(-3+4i\right)=1+\tfrac92 i, \qquad z_{4}=M-\left(-3+4i\right)=7-\tfrac72 i\;}

Los dos vértices dados, en rojo, y los dos que hay que hallar, en morado. Las diagonales se cortan perpendicularmente en M, y de ahí sale todo: dirección y distancia.

El área. Para cualquier cuadrilátero con las diagonales perpendiculares —y el rombo lo es— el área es el semiproducto:

A=\frac{d_{1}\,d_{2}}{2}=\frac{5\cdot10}{2} =\boxed{\;25\;}

Las comprobaciones, que son tres y todas cortas:

qué	cuenta
los cuatro lados iguales	los cuatro miden $\frac{5\sqrt5}{2}\approx5{,}59$
diagonales perpendiculares	$\left(4,3\right)\cdot\left(-3,4\right)=-12+12=0$ ✓
el área, por otro camino	$\left\\|\left(z_{3}-z_{1}\right)\times\left(z_{4}-z_{1}\right)\right\\|=25$ ✓

Por qué el enunciado da los vértices como complejos y no como puntos. Porque así el giro de noventa grados es una multiplicación en vez de una matriz, y todo el ejercicio cabe en cinco líneas. Es el argumento de fondo del tema entero: operar con complejos es hacer geometría sin coordenadas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de junio, 17 de junio de 2013 · Cálculo – Industriales, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Meter el infinito dentro de un intervalo

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para calcular integrales impropias de tipo $\displaystyle\int_{a}^{\infty}f\left(r\right)dr$ se suele utilizar el cambio de variable $r=\dfrac{2a}{1-x}$ . Para la integral $\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dr}{\left(r+1\right)^{3}}$ , se pide:

a) Aplicar dicho cambio de variable.

b) Aproximar la integral empleando la regla del punto medio usando cuatro subintervalos.

La integral transformada y su aproximación numérica.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Para qué sirve el cambio $r=\frac{2a}{1-x}$ ?
02
El extremo inferior transformado
COMP2
Con $a=1$ , ¿en qué valor de $x$ se convierte $r=1$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor exacto
COMP2
¿Cuánto vale exactamente $\int_{1}^{\infty}\frac{dr}{\left(r+1\right)^{3}}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Tras el cambio, la integral es $\int_{-1}^{1}\frac{2\left(1-x\right)}{\left(3-x\right)^{3}}dx$ , con el integrando continuo en todo el intervalo.
2. Con cuatro subintervalos de $\left[-1,1\right]$ , el paso es $h=\frac{2}{4}=0{,}5$ y los puntos medios son $-0{,}75$ , $-0{,}25$ , $0{,}25$ y $0{,}75$ .
3. La regla del punto medio da $h\sum g\left(x_{i}\right)=0{,}5\cdot0{,}25522=0{,}12761$ , frente al valor exacto $0{,}125$ .

$r$	$x$
$1$	$1-x=2\Rightarrow x=-1$
$\to\infty$	$1-x\to0\Rightarrow x\to1$

Resolución completa

a) El cambio. Con $a=1$ —el extremo inferior de la integral—:

r=\frac{2}{1-x} \;\Longrightarrow\; dr=\frac{2}{\left(1-x\right)^{2}}\,dx

$r$	$x$
$1$	$-1$
$\to\infty$	$\to1$

Y el denominador:

r+1=\frac{2}{1-x}+1=\frac{2+1-x}{1-x}=\frac{3-x}{1-x} \;\Longrightarrow\; \left(r+1\right)^{3}=\frac{\left(3-x\right)^{3}}{\left(1-x\right)^{3}}

Juntando las dos cosas, los $\left(1-x\right)$ se simplifican casi del todo:

\frac{dr}{\left(r+1\right)^{3}} =\frac{2}{\left(1-x\right)^{2}}\cdot \frac{\left(1-x\right)^{3}}{\left(3-x\right)^{3}}\,dx =\frac{2\left(1-x\right)}{\left(3-x\right)^{3}}\,dx

\boxed{\;\int_{1}^{\infty}\frac{dr}{\left(r+1\right)^{3}} =\int_{-1}^{1}\frac{2\left(1-x\right)}{\left(3-x\right)^{3}}\,dx\;}

Y lo importante: el nuevo integrando es continuo en todo $\left[-1,1\right]$ , incluido el extremo $x=1$ , donde vale $0$ . El infinito ha desaparecido. Esa es toda la razón de ser del cambio.

b) La regla del punto medio. Cuatro subintervalos de $\left[-1,1\right]$ : paso $h=\frac{2}{4}=0{,}5$ y puntos medios en

-0{,}75,\quad -0{,}25,\quad 0{,}25,\quad 0{,}75

$x_{i}$	$g\left(x_{i}\right)=\frac{2\left(1-x_{i}\right)}{\left(3-x_{i}\right)^{3}}$
$-0{,}75$	$\frac{3{,}5}{52{,}734}=0{,}066370$
$-0{,}25$	$\frac{2{,}5}{34{,}328}=0{,}072827$
$0{,}25$	$\frac{1{,}5}{20{,}797}=0{,}072126$
$0{,}75$	$\frac{0{,}5}{11{,}391}=0{,}043896$

\int\approx h\sum g\left(x_{i}\right)=0{,}5\cdot0{,}255219 =\boxed{\;0{,}12761\;}

El integrando ya transformado, sobre el intervalo acotado. Los cuatro rectángulos toman su altura en el punto medio de cada subintervalo: unos se pasan y otros se quedan cortos.

Cómo de buena es. El valor exacto se puede calcular, y conviene hacerlo para juzgar:

\int_{1}^{\infty}\frac{dr}{\left(r+1\right)^{3}} =\left[-\frac{1}{2\left(r+1\right)^{2}}\right]_{1}^{\infty}=\frac18=0{,}125

El error es $0{,}0026$ , un $2\,\%$ , con solo cuatro evaluaciones de la función. Nada mal para una regla tan simple.

Por qué la regla del punto medio y no la del trapecio. Con el mismo número de evaluaciones, el punto medio suele ser el doble de preciso que el trapecio, porque sus errores van con signos opuestos y el del punto medio es la mitad: $-\frac{h^{2}}{24}f''$ frente a $+\frac{h^{2}}{12}f''$ . Y además no necesita evaluar en los extremos, cosa que aquí sería un problema si el integrando tuviera algo raro en $x=1$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de junio, 17 de junio de 2013 · Cálculo – Industriales, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · El mismo teorema volvió a caer en la extraordinaria de 2015-2016, con otro reparto de puntos: allí 0/2/8 y aquí 0/0/10 · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Enunciar y demostrar el teorema del valor medio

COMP 410 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Enunciar y demostrar el teorema del valor medio (Lagrange).

El enunciado con sus hipótesis, y la demostración.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿En qué se apoya la demostración?
02
Cuántos puntos garantiza el teorema
COMP2
¿Cuántos puntos $c$ garantiza el teorema que existen, como mínimo?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Enunciado: si $f$ es continua en $\left[a,b\right]$ y derivable en $\left(a,b\right)$ , existe al menos un $c\in\left(a,b\right)$ con $f'\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$ .
2. Se define $g\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(a\right) -\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)$ , que hereda de $f$ la continuidad y la derivabilidad.
3. $g\left(a\right)=g\left(b\right)=0$ , así que Rolle da un $c\in\left(a,b\right)$ con $g'\left(c\right)=0$ , y eso es exactamente la tesis.
04
Redactar la demostración
COMP4
Ahora en papel, de principio a fin: enunciado con las dos hipótesis separadas, la función auxiliar, la comprobación de Rolle y la conclusión. Diez puntos de COMP4 y ninguno de cálculo — no hay un solo número que hallar, así que lo único que se puntúa es lo que escribes.

Es la segunda demostración más pedida de la asignatura: seis veces en las 88 convocatorias transcritas, contadas el 5 de septiembre de 2026.
Escríbela en papel antes de seguir. Aquí no hay hueco donde teclearla a propósito: lo que corrige el examen es tu folio, y compararlo es más útil que rellenar una casilla.
Lo que se puntúa
1. Continua en el cerrado, derivable en el abierto, cada una en su intervalo.
  Escribir «continua y derivable en $[a,b]$ » pierde el punto y además es un teorema más débil: dejaría fuera $\sqrt{x}$ en $[0,1]$ , que tiene tangente vertical en el origen y sin embargo cumple el teorema. Las dos hipótesis van en intervalos distintos a propósito.
2. «Existe al menos un $c$ », y $c$ en el abierto.
  El teorema no dice cuántos hay ni dónde están. Escribir «existe un único $c$ » afirma algo falso —una sinusoide puede dar varios—, y ponerlo en el cerrado admitiría $c=a$ , que la demostración no da.
3. La función auxiliar escrita entera, y qué es: la curva menos la cuerda.
  Es la única idea de toda la demostración; el resto es comprobación. Un corrector que ve la $g$ bien escrita ya sabe que entiendes el argumento. Y decir que mide la distancia vertical a la cuerda cuesta un renglón y enseña que no la has memorizado.
4. Las tres hipótesis de Rolle, comprobadas una a una sobre $g$ .
  Aplicar un teorema sin comprobar que se puede aplicar es el fallo que este ejercicio busca. Son tres líneas: $g$ hereda la regularidad de $f$ porque la cuerda es un polinomio, $g(a)=0$ y $g(b)=0$ . Las dos últimas se calculan, no se afirman.
5. Que $g'(c)=0$ es la tesis, con la equivalencia escrita.
  El paso final no es «y ya está»: hay que derivar $g$ , ver que la derivada de la cuerda es la constante $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ y despejar. Sin eso, la demostración termina en Rolle y no en Lagrange.
6. Para qué sirve, en una frase, al final.
  De aquí salen «derivada nula implica constante», «derivada positiva implica creciente», L’Hôpital y las cotas del resto de Taylor. Es el teorema con más descendencia del temario, y esta es la clase de comentario que un ejercicio de diez puntos de COMP4 premia.
El papel tiene que poder leerse en este orden: hipótesis (dos, en sus intervalos) → tesis con «al menos un $c$ » → la $g$ → las tres de Rolle → derivar y despejar → cuadro.

Prueba de fuego: tapa la $g$ con el dedo. Si lo que queda todavía se entiende, es que no has explicado de dónde sale — y ahí es donde se pierden los puntos, no en el álgebra.

Resolución completa

El enunciado, con las hipótesis separadas.

Si $f$ es continua en el cerrado $\left[a,b\right]$ y derivable en el abierto $\left(a,b\right)$ , entonces existe al menos un $c\in\left(a,b\right)$ tal que
$f'\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

Este ejercicio vale diez puntos de COMP 4 y ninguno de cálculo: no hay un solo número que hallar. Lo que se puntúa es escribir bien las tres cosas: las hipótesis, la tesis y el argumento. Y las tres tienen letra pequeña.

detalle	por qué importa
continua en el cerrado	para poder hablar de $f\left(a\right)$ y $f\left(b\right)$
derivable solo en el abierto	así vale para $\sqrt x$ en $\left[0,1\right]$ , con tangente vertical en $0$
«al menos un» $c$	el teorema no dice cuántos, ni dónde

La lectura geométrica, que es la que hace recordable la fórmula: en algún punto interior la tangente es paralela a la cuerda.

El teorema, en un dibujo: en algún punto interior la tangente a la curva es paralela a la cuerda que une los extremos. La demostración consiste en restarle la cuerda a la función y aplicar Rolle a lo que queda.

La demostración. La idea es reducirlo a Rolle, que solo se aplica cuando la función vale lo mismo en los dos extremos. Como $f$ no lo cumple en general, se le resta la cuerda:

g\left(x\right)=f\left(x\right)-\underbrace{\left[f\left(a\right) +\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)\right]} _{\text{la cuerda}}

Geométricamente, $g$ mide la distancia vertical de la curva a la cuerda.

Las hipótesis de Rolle se cumplen:

$g$ es continua en $\left[a,b\right]$ y derivable en $\left(a,b\right)$ , porque lo es $f$ y la cuerda es un polinomio de grado uno.
$g\left(a\right)=f\left(a\right)-f\left(a\right)-0=0$ .
$g\left(b\right)=f\left(b\right)-f\left(a\right) -\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)=0$ .

Rolle da entonces un $c\in\left(a,b\right)$ con $g'\left(c\right)=0$ . Y

g'\left(x\right)=f'\left(x\right) -\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}

así que

g'\left(c\right)=0 \;\Longleftrightarrow\; f'\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} \qquad\blacksquare

Que las hipótesis no sobran, con un contraejemplo cada una:

falla	ejemplo	qué pasa
derivabilidad interior	$\left\\|x\right\\|$ en $\left[-1,1\right]$	la cuerda es horizontal y $f'$ nunca es $0$
continuidad en un extremo	$f=x$ en $\left[0,1\right)$ y $f\left(1\right)=5$	la cuerda tiene pendiente $5$ y $f'\equiv1$

Para qué sirve. Casi todo lo que se usa a diario en la asignatura sale de aquí: que derivada nula implique función constante, que derivada positiva implique creciente, la regla de L’Hôpital, las cotas del resto de Taylor. Es el teorema con más descendencia del temario, y decirlo al final de la demostración es la clase de comentario que este ejercicio premia.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de junio, 17 de junio de 2013 · Cálculo – Industriales, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos integrales, y en cada una hay que ver el truco

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular:

a) $\displaystyle\int\frac{\cos x} {\operatorname{sen}^{2}x-6\operatorname{sen}x+5}\,dx$

b) $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{x^{2}+x+1}$

Las dos integrales.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el apartado a), ¿qué hace que el cambio $u=\operatorname{sen}x$ funcione?
02
Las raíces del denominador
COMP2
¿Cuál es la raíz mayor de $u^{2}-6u+5$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La integral definida del apartado b)
COMP2
¿Cuánto vale $\int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{x^{2}+x+1}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se escribe el numerador en función de la derivada del denominador: $x=\frac12\left(2x+1\right)-\frac12$ .
2. El primer trozo es inmediato: $\frac12\int\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}dx=\frac12\ln\left(x^{2}+x+1\right)$ .
3. El segundo se completa el cuadrado, $x^{2}+x+1=\left(x+\frac12\right)^{2}+\frac34$ , y da una arcotangente: $-\frac{1}{\sqrt3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt3}$ .

Resolución completa

a) El cambio que el numerador está pidiendo. El $\cos x\,dx$ es exactamente $d\left(\operatorname{sen}x\right)$ :

u=\operatorname{sen}x \;\Longrightarrow\; \int\frac{\cos x\,dx}{\operatorname{sen}^{2}x-6\operatorname{sen}x+5} =\int\frac{du}{u^{2}-6u+5}

El denominador se factoriza sin esfuerzo —dos raíces que suman $6$ y multiplican $5$ —:

u^{2}-6u+5=\left(u-1\right)\left(u-5\right)

Fracciones simples, con el atajo de evaluar en cada raíz:

\frac{1}{\left(u-1\right)\left(u-5\right)}=\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u-5}

se hace	sale
$u=1$	$1=A\left(1-5\right)\Rightarrow A=-\frac14$
$u=5$	$1=B\left(5-1\right)\Rightarrow B=\frac14$

\int=\frac14\ln\left|u-5\right|-\frac14\ln\left|u-1\right|+C =\frac14\ln\left|\frac{u-5}{u-1}\right|+C

\boxed{\;\int\frac{\cos x\,dx} {\operatorname{sen}^{2}x-6\operatorname{sen}x+5} =\frac14\ln\left(\frac{5-\operatorname{sen}x}{1-\operatorname{sen}x}\right)+C\;}

Los valores absolutos se pueden quitar, y decirlo suma: como $\operatorname{sen}x\in\left[-1,1\right]$ , los dos paréntesis $u-5$ y $u-1$ son negativos, así que su cociente es positivo y basta con escribirlo con los signos dados la vuelta. El único punto conflictivo es $\operatorname{sen}x=1$ , donde el denominador original se anula.

b) El trinomio irreducible. $x^{2}+x+1$ tiene discriminante $1-4=-3<0$ : no se factoriza en los reales, y no hay que intentarlo. El procedimiento es partir el numerador:

x=\frac12\left(2x+1\right)-\frac12

donde $2x+1$ es la derivada del denominador. Eso separa la integral en dos pedazos de tipo conocido:

\int\frac{x\,dx}{x^{2}+x+1} =\underbrace{\frac12\int\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}dx}_{\text{logaritmo}} -\underbrace{\frac12\int\frac{dx}{x^{2}+x+1}}_{\text{arcotangente}}

El segundo sale completando el cuadrado:

x^{2}+x+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34 \;\Longrightarrow\; \int\frac{dx}{x^{2}+x+1} =\frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt3}

\int\frac{x\,dx}{x^{2}+x+1} =\frac12\ln\left(x^{2}+x+1\right) -\frac{1}{\sqrt3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt3}+C

Evaluando entre $0$ y $1$ , y con los dos arcotangentes que salen redondos:

\arctan\frac{3}{\sqrt3}=\arctan\sqrt3=\frac{\pi}{3}, \qquad \arctan\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\pi}{6}

\boxed{\;\int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{x^{2}+x+1} =\frac{\ln3}{2}-\frac{\pi}{6\sqrt3}\approx0{,}2470\;}

La comprobación de sentido. El integrando va de $0$ en $x=0$ a $\frac13$ en $x=1$ , creciendo; su media anda por $0{,}25$ y el intervalo mide $1$ . El resultado $0{,}247$ encaja.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de junio, 17 de junio de 2013 · Cálculo – Industriales, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un factor integrante que hay que buscar, y un cadáver

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Utilizar un factor integrante de la forma $x^{n}y^{m}$ para resolver la EDO $y\,dx+\left(x^{2}y^{2}-x\right)dy=0$ .

b) La policía ha encontrado el cadáver de una persona dentro de una habitación. Un modo de determinar aproximadamente la hora de la muerte, cuando ha ocurrido pocas horas antes, es estudiar el proceso de enfriamiento del cadáver. Se ha tomado la temperatura al cadáver a las 12:00 y a las 13:00 horas, siendo estos valores 26 ºC y 24 ºC respectivamente. La habitación se encuentra a 20 ºC. Utilizando la ley de enfriamiento de Newton, estimar a qué hora falleció la persona.

La solución de la EDO y la hora de la muerte.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el apartado b), ¿qué dato hay que poner uno mismo?
02
El exponente de la x
COMP2
En el factor integrante $x^{n}y^{m}$ , ¿cuánto vale $n$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La hora de la muerte
COMP2
¿Cuántas horas antes de las 12:00 falleció?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ley de Newton dice $T'=-k\left(T-20\right)$ , cuya solución es $T\left(t\right)=20+A e^{-kt}$ con $t=0$ a las 12:00.
2. $T\left(0\right)=26$ da $A=6$ , y $T\left(1\right)=24$ da $6e^{-k}=4$ , o sea $k=\ln\frac32\approx0{,}405$ .
3. Suponiendo $37\,°$ C en el momento de la muerte, $6e^{-kt}=17$ da $t\approx-2{,}57$ horas: alrededor de las 9:26.

Resolución completa

a) Buscar el factor, no comprobarlo. Este ejercicio es más duro que los de otras convocatorias, donde el factor venía dado: aquí solo se da su forma, $x^{n}y^{m}$ , y hay que determinar los exponentes.

La ecuación de partida, $M_{0}=y$ y $N_{0}=x^{2}y^{2}-x$ , no es exacta:

\frac{\partial M_{0}}{\partial y}=1, \qquad \frac{\partial N_{0}}{\partial x}=2xy^{2}-1

Multiplicando por $x^{n}y^{m}$ :

M^{*}=x^{n}y^{m+1}, \qquad N^{*}=x^{n+2}y^{m+2}-x^{n+1}y^{m}

M^{*}_{y}=\left(m+1\right)x^{n}y^{m}

N^{*}_{x}=\left(n+2\right)x^{n+1}y^{m+2} -\left(n+1\right)x^{n}y^{m}

Y ahora se igualan término a término. En $M^{*}_{y}$ no hay ningún sumando con $y^{m+2}$ , así que el de $N^{*}_{x}$ tiene que desaparecer solo:

n+2=0\;\Longrightarrow\;n=-2

Y con eso, igualando lo que queda:

m+1=-\left(n+1\right)=1\;\Longrightarrow\;m=0

\boxed{\;\mu\left(x,y\right)=\frac{1}{x^{2}}\;}

La ecuación ya exacta. Con $M=\frac{y}{x^{2}}$ y $N=y^{2}-\frac1x$ :

M_{y}=\frac{1}{x^{2}}=N_{x}\;\checkmark

F=\int\frac{y}{x^{2}}dx=-\frac{y}{x}+g\left(y\right), \qquad F_{y}=-\frac1x+g'\left(y\right)=y^{2}-\frac1x \;\Longrightarrow\; g=\frac{y^{3}}{3}

\boxed{\;\frac{y^{3}}{3}-\frac{y}{x}=C\;}

Y hay que decir que el factor se anula donde $x=0$ , así que la recta $x=0$ queda fuera del análisis; de todos modos la ecuación original tampoco la admite como solución.

b) El cadáver. La ley de enfriamiento de Newton dice que la velocidad de pérdida de calor es proporcional a la diferencia con el ambiente:

\frac{dT}{dt}=-k\left(T-20\right) \;\Longrightarrow\; T\left(t\right)=20+A\,e^{-kt}

Tomando $t=0$ a las 12:00, los dos datos determinan las dos constantes:

dato	ecuación	resultado
$T\left(0\right)=26$	$20+A=26$	$A=6$
$T\left(1\right)=24$	$6e^{-k}=4$	$k=\ln\frac32\approx0{,}4055$

T\left(t\right)=20+6\left(\tfrac23\right)^{t}

El supuesto que hay que declarar. El enunciado no dice a qué temperatura estaba el cuerpo en vida. Se toma $37\,°$ C, que es lo habitual, y hay que escribirlo como hipótesis: es el dato que convierte el problema en una cuenta.

37=20+6e^{-kt} \;\Longrightarrow\; e^{-kt}=\frac{17}{6} \;\Longrightarrow\; t=-\frac{\ln\left(17/6\right)}{\ln\left(3/2\right)}\approx-2{,}5685

\boxed{\;2\text{ h }34\text{ min antes de las }12{:}00, \text{ o sea alrededor de las }9{:}26\;}

Dos temperaturas medidas fijan la curva entera. Prolongada hacia atrás —a trazos—, cruza los 37 grados dos horas y media antes del mediodía.

Por qué la respuesta lineal está tan lejos. Entre las 12:00 y las 13:00 el cadáver pierde $2\,°$ C, y es tentador extrapolar: de $37$ a $26$ hay $11\,°$ C, o sea cinco horas y media. Pero el enfriamiento es más rápido cuanto más caliente está el cuerpo: a $37\,°$ C perdía $k\left(37-20\right)=6{,}9\,°$ C por hora, más del triple que a $26$ . Por eso el tiempo real es menos de la mitad del que da la extrapolación lineal.

Y una advertencia que este problema merece. El modelo supone la habitación a temperatura constante y el cuerpo homogéneo. En la práctica el método sirve, como dice el enunciado, «cuando ha ocurrido pocas horas antes»; más allá de eso el cadáver se acerca tanto a los $20\,°$ C que el logaritmo se dispara y la estimación pierde todo su valor.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de junio, 17 de junio de 2013 · Cálculo – Industriales, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un paraboloide tapado por una esfera

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Considerar el sólido definido por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le3z$ ; $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4$ .

a) Dibujar el sólido y calcular su volumen.

b) Calcular el área de su superficie.

c) Calcular el centro de gravedad del sólido.

El dibujo, el volumen, el área y el centro de gravedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿A qué altura se cortan el paraboloide y la esfera?
02
El radio del corte
COMP2
¿A qué distancia del eje se cortan las dos superficies?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen del sólido?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo de la superficie. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La superficie tiene dos piezas: el trozo de paraboloide de abajo y el casquete esférico de arriba, y se tocan en $r=\sqrt3$ , $z=1$ .
2. Para el paraboloide $z=\frac{r^{2}}{3}$ , el factor es $\sqrt{1+\frac{4r^{2}}{9}}$ , y su área sale $\frac{\pi\left(7\sqrt{21}-9\right)}{6}\approx12{,}08$ .
3. El casquete va de $z=1$ a $z=2$ sobre una esfera de radio $2$ , así que su área es $2\pi Rh=2\pi\cdot2\cdot1=4\pi\approx12{,}57$ .

Resolución completa

a) Qué sólido es. Dos condiciones:

condición	qué dice
$x^{2}+y^{2}\le3z$	por encima del paraboloide $z=\frac{r^{2}}{3}$
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4$	dentro de la esfera de radio $2$

Es un cuenco parabólico rematado por una tapa esférica. La primera condición obliga a $z\ge0$ , así que todo el sólido está por encima del plano $z=0$ .

Dónde se cortan. Sustituyendo $r^{2}=3z$ en $r^{2}+z^{2}=4$ :

z^{2}+3z-4=0 \;\Longrightarrow\; \left(z+4\right)\left(z-1\right)=0 \;\Longrightarrow\; z=1

—la raíz $z=-4$ se descarta porque el paraboloide vive en $z\ge0$ —. Y entonces $r^{2}=3$ , o sea $r=\sqrt3$ .

El corte por el eje. La parábola sube del origen y el arco de la esfera la corta a la altura uno, a distancia raíz de tres. En medio, la región que se integra.

El volumen. Para cada $r$ entre $0$ y $\sqrt3$ , la $z$ va del paraboloide a la esfera:

V=2\pi\int_{0}^{\sqrt3} \left(\sqrt{4-r^{2}}-\frac{r^{2}}{3}\right)r\,dr =2\pi\left(\frac73-\frac34\right)

\boxed{\;V=\frac{19\pi}{6}\approx9{,}95\;}

b) La superficie, pieza a pieza.

El paraboloide, $z=\frac{r^{2}}{3}$ , con $z_{x}^{2}+z_{y}^{2}=\frac{4r^{2}}{9}$ :

A_{1}=2\pi\int_{0}^{\sqrt3}r\sqrt{1+\frac{4r^{2}}{9}}\;dr =\frac{3\pi}{2}\left[\left(\tfrac73\right)^{3/2}-1\right] =\frac{\pi\left(7\sqrt{21}-9\right)}{6}\approx12{,}08

El casquete esférico, de $z=1$ a $z=2$ sobre la esfera de radio $2$ , con altura $h=1$ :

A_{2}=2\pi R h=2\pi\cdot2\cdot1=4\pi\approx12{,}57

\boxed{\;A=\frac{\pi\left(7\sqrt{21}+15\right)}{6}\approx24{,}65\;}

La fórmula del casquete merece un comentario, porque ahorra una integral entera: el área de un casquete esférico es $2\pi Rh$ y no depende del radio del casquete, solo de su altura. Dos rebanadas de esfera de la misma altura tienen la misma área, estén donde estén.

c) El centro de gravedad. Por simetría de revolución $\overline{x}=\overline{y}=0$ . Integrando primero en $z$ :

\int_{S}z\,dV=2\pi\int_{0}^{\sqrt3} \frac{\left(4-r^{2}\right)-\left(\frac{r^{2}}{3}\right)^{2}}{2}\,r\,dr =\pi\int_{0}^{\sqrt3}\left(4r-r^{3}-\frac{r^{5}}{9}\right)dr

=\pi\left[2r^{2}-\frac{r^{4}}{4}-\frac{r^{6}}{54}\right]_{0}^{\sqrt3} =\pi\left(6-\frac94-\frac12\right)=\frac{13\pi}{4}

\overline{z}=\frac{13\pi/4}{19\pi/6}=\frac{13}{4}\cdot\frac{6}{19} =\frac{39}{38}

\boxed{\;G=\left(0,\,0,\;\tfrac{39}{38}\right)\approx \left(0;\,0;\,1{,}026\right)\;}

¿Es razonable? El sólido va de $z=0$ a $z=2$ , y su parte ancha está arriba: en $z=1$ ya tiene el radio máximo, $\sqrt3$ , y hacia abajo se estrecha en punta. Así que el centro tiene que quedar por encima de la mitad de la altura del cuenco… y sin embargo sale $1{,}026$ , apenas por encima del plano del corte. El motivo es que la tapa esférica, aunque está arriba, es un casquete muy plano: aporta poco volumen. Los dos efectos casi se cancelan.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de junio, 17 de junio de 2013 · Cálculo – Industriales, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La misma antitransformada por dos caminos

COMP 25 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{\left(s+1\right)^{2}}\right\}$ de dos formas diferentes.

La función, obtenida por dos métodos distintos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál de estos NO es un camino válido para esta antitransformada?
02
El valor en t = 1
COMP2
¿Cuánto vale la función antitransformada en $t=1$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Dónde tiene su máximo
COMP2
¿En qué valor de $t$ alcanza su máximo la función?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el segundo camino, el de la convolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\frac{1}{\left(s+1\right)^{2}}$ es el producto de $\frac{1}{s+1}$ por sí misma, y $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t}$ .
2. El producto de dos transformadas es la transformada de la convolución, así que la respuesta es $\left(e^{-t}*e^{-t}\right)\left(t\right) =\int_{0}^{t}e^{-u}e^{-\left(t-u\right)}du$ .
3. Los exponentes se suman y dan $e^{-t}$ , que sale fuera de la integral: queda $e^{-t}\int_{0}^{t}du=t\,e^{-t}$ .

Resolución completa

La respuesta, por si se quiere ir al grano:

\boxed{\;\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{\left(s+1\right)^{2}}\right\} =t\,e^{-t}\;}

Lo que el ejercicio pide es llegar ahí por dos caminos, y le da cinco puntos de COMP 4: lo que se puntúa es justificar cada paso, no el resultado.

Camino 1 · el teorema del desplazamiento. Es el más corto. Se parte de una transformada de tabla:

\mathcal{L}\left\{t\right\}=\frac{1}{s^{2}}

Y el primer teorema de traslación dice que multiplicar la función por $e^{at}$ desplaza la variable:

\mathcal{L}\left\{e^{at}f\left(t\right)\right\}=F\left(s-a\right)

Con $a=-1$ y $f\left(t\right)=t$ :

\mathcal{L}\left\{e^{-t}\,t\right\}=\frac{1}{\left(s+1\right)^{2}} \;\Longrightarrow\; \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{\left(s+1\right)^{2}}\right\}=t\,e^{-t}

Camino 2 · la convolución. El denominador es un cuadrado, así que la fracción es un producto de dos transformadas conocidas:

\frac{1}{\left(s+1\right)^{2}} =\frac{1}{s+1}\cdot\frac{1}{s+1}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t}

Y el teorema de convolución dice que un producto de transformadas antitransforma a la convolución:

\left(f*g\right)\left(t\right)=\int_{0}^{t} f\left(u\right)g\left(t-u\right)du

\left(e^{-t}*e^{-t}\right)\left(t\right) =\int_{0}^{t}e^{-u}\,e^{-\left(t-u\right)}du =\int_{0}^{t}e^{-t}\,du =e^{-t}\int_{0}^{t}du=t\,e^{-t}

Los exponentes se suman y la $u$ desaparece del integrando: la exponencial sale fuera y solo queda integrar $1$ . Esa cancelación es lo que hace que la convolución de dos exponenciales iguales dé exactamente un factor $t$ .

Camino 3, de propina · derivar la transformada. El teorema $\mathcal{L}\left\{t\,f\left(t\right)\right\}=-F'\left(s\right)$ lo resuelve en una línea:

F\left(s\right)=\frac{1}{s+1} \;\Longrightarrow\; -F'\left(s\right)=\frac{1}{\left(s+1\right)^{2}} \;\Longrightarrow\; \mathcal{L}^{-1}=t\,e^{-t}

La comprobación. Aplicando la definición al revés, con $s=3$ :

\int_{0}^{\infty}t\,e^{-t}e^{-3t}dt =\int_{0}^{\infty}t\,e^{-4t}dt=\frac{1}{16}

y $\frac{1}{\left(3+1\right)^{2}}=\frac{1}{16}$ ✓.

Qué función es. $t\,e^{-t}$ sale de cero, sube hasta un máximo en $t=1$ —donde vale $e^{-1}\approx0{,}368$ — y se apaga. Es la respuesta típica de un sistema críticamente amortiguado: el polo doble en $s=-1$ es exactamente la frontera entre oscilar y no oscilar. Con dos polos reales distintos habría dos exponenciales; con dos complejos, una oscilación; con el doble, este $t$ que multiplica.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de junio, 17 de junio de 2013 · Cálculo – Industriales, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un campo con dos rectas prohibidas

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $C$ la circunferencia de centro $\left(0,0\right)$ y radio $2$ . Calcular

\oint_{C}\frac{\left(y+1\right)dx+\left(x+1\right)dy} {\left(x+1\right)\left(y+1\right)}

a) Parametrizando la curva.

b) Aplicando, si es posible, la fórmula de Green.

El valor por parametrización, y si Green se puede aplicar o no.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es lo primero que hay que hacer con el integrando?
02
Dónde falla el integrando
COMP2
¿En cuántos puntos de la circunferencia $C$ no está definido el integrando?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de la integral
COMP2
¿Cuánto vale la integral, entendida como valor principal?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Simplificado, el campo es $P=\frac{1}{x+1}$ , $Q=\frac{1}{y+1}$ : cada componente depende de una sola variable.
2. Por tanto $P_{y}=Q_{x}=0$ y el rotacional es nulo donde el campo está definido, que es en todo el plano salvo las rectas $x=-1$ e $y=-1$ .
3. Pero esas dos rectas atraviesan el disco encerrado por $C$ , así que el campo no es de clase $C^{1}$ en todo el recinto y Green no se puede aplicar.

recta	corte con $C$
$x=-1$	$y=\pm\sqrt{4-1}=\pm\sqrt3$ : dos puntos
$y=-1$	$x=\pm\sqrt3$ : otros dos

Resolución completa

Lo primero: simplificar. El integrando parece complicado y no lo es:

\frac{\left(y+1\right)dx+\left(x+1\right)dy} {\left(x+1\right)\left(y+1\right)} =\frac{dx}{x+1}+\frac{dy}{y+1}

En el primer sumando se cancela $\left(y+1\right)$ y en el segundo $\left(x+1\right)$ . Lo que queda es una diferencial exacta:

\frac{dx}{x+1}+\frac{dy}{y+1} =d\Big[\ln\left|x+1\right|+\ln\left|y+1\right|\Big]

a) Parametrizando. Con $x=2\cos\theta$ , $y=2\operatorname{sen}\theta$ , $\theta$ de $0$ a $2\pi$ :

\oint_{C}=\int_{0}^{2\pi} \left[\frac{-2\operatorname{sen}\theta}{2\cos\theta+1} +\frac{2\cos\theta}{2\operatorname{sen}\theta+1}\right]d\theta

Y los dos sumandos son derivadas de logaritmos:

\frac{d}{d\theta}\ln\left|2\cos\theta+1\right| =\frac{-2\operatorname{sen}\theta}{2\cos\theta+1}, \qquad \frac{d}{d\theta}\ln\left|2\operatorname{sen}\theta+1\right| =\frac{2\cos\theta}{2\operatorname{sen}\theta+1}

\oint_{C}=\Big[\ln\left|2\cos\theta+1\right| +\ln\left|2\operatorname{sen}\theta+1\right|\Big]_{0}^{2\pi} =\ln3-\ln3=\boxed{\;0\;}

Pero hay que decir en qué sentido. La curva pasa por cuatro puntos donde el integrando ni siquiera existe:

recta	corte con $C$	$\theta$
$x=-1$	$\left(-1,\pm\sqrt3\right)$	$\frac{2\pi}{3}$ y $\frac{4\pi}{3}$
$y=-1$	$\left(\pm\sqrt3,-1\right)$	$\frac{7\pi}{6}$ y $\frac{11\pi}{6}$

Las dos rectas prohibidas atraviesan el disco de lado a lado, y cortan a la propia curva en cuatro puntos. Por eso Green no se puede aplicar.

En cada uno de ellos el logaritmo se va a $-\infty$ y vuelve de $-\infty$ , de forma simétrica: cerca de $\theta_{0}$ el argumento se comporta como $c\left(\theta-\theta_{0}\right)$ , así que $\ln\left|\cdot\right|$ vale lo mismo a un lado y al otro. Recortando un entorno de anchura $\varepsilon$ en cada punto y haciendo $\varepsilon\to0$ , las contribuciones se cancelan y el resultado es $0$ .

Es un valor principal, y decirlo con esa palabra es parte de la respuesta.

b) Green: la respuesta es que no. Con $P=\frac{1}{x+1}$ y $Q=\frac{1}{y+1}$ , cada componente depende de una sola variable:

\frac{\partial P}{\partial y}=0, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0

Pero Green exige que $P$ y $Q$ sean de clase $C^{1}$ en todo el recinto encerrado, y aquí fallan en dos rectas enteras que lo atraviesan de lado a lado.

\boxed{\;\text{Green no se puede aplicar}\;}

Y aquí está lo incómodo del ejercicio: aplicándolo a lo bruto saldría $\iint_{D}0\,dA=0$ , que coincide con la respuesta correcta. Coincide por casualidad. La prueba de que es casualidad la da otro campo del mismo corpus: $\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}$ , también irrotacional y también con una singularidad dentro, tiene circulación $2\pi$ y no $0$ — cayó en la extraordinaria de 2015-2016 con el mismo enunciado de dos apartados.

Por qué aquí sale cero y allí no. La diferencia está en la topología del dominio. Allí el campo era irrotacional en un dominio con un agujero puntual y no admitía potencial global: al dar una vuelta, el potencial —el ángulo— aumentaba en $2\pi$ . Aquí sí hay potencial global, $\ln\left|\left(x+1\right)\left(y+1\right)\right|$ , y un potencial que existe siempre devuelve cero en cualquier curva cerrada. Lo que estropea la hipótesis de Green es que ese potencial no está acotado, no que sea multivaluado.

Los cuatro puntos de COMP 4 se ganan diciendo estas tres cosas: que el integrando se simplifica, que la curva pasa por cuatro puntos malos y en qué sentido se interpreta entonces la integral, y que el cero de Green es un acierto por casualidad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria extraordinaria · 2012-2013

Reconocer el camino

La diagonal conocida

Uno de los vértices que faltan

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El extremo inferior transformado

El valor exacto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Cuántos puntos garantiza el teorema

Justificar el argumento

Redactar la demostración

Reconocer el camino

Las raíces del denominador

La integral definida del apartado b)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El exponente de la x

La hora de la muerte

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El radio del corte

El volumen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor en t = 1

Dónde tiene su máximo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde falla el integrando

El valor de la integral

Justificar el argumento