Preparar la convocatoria extraordinaria

Dibujar, que es por donde empieza casi todo

40 de 91 ejercicios piden dibujar3 escalones

Cae 11 de 11 años

«Representar geométricamente los afijos», «dibujar el sólido», «dibujar la función ampliada», «representar el recinto». Con esas palabras, y casi siempre en el apartado a).

Cuarenta de los noventa y un ejercicios de las once extraordinarias piden dibujar algo, y caen en las once convocatorias, en los dos cuatrimestrales por igual: diecinueve en el primero y veintiuno en el segundo. No es un adorno: del dibujo salen los límites de integración, la paridad de la función y el arco que resuelve un lugar geométrico. Si sale mal, sale mal el ejercicio entero; y si no sale, no hay por dónde empezar. Por eso va primero: no se examina solo, y sin él los otros bloques no se terminan a tiempo.

La región, traducida a una distancia

Leer una condición sobre módulos o argumentos y dibujarla, sabiendo de antemano si va a salir una recta, una circunferencia, un arco o una cónica.

leerLugares geométricos: traducir la condición a una distancia

La tabla de traducciones del principio del apartado es lo que hay que llevar sabido: cada forma de la condición produce una figura, y son cinco.

ejemploLos puntos que equidistan de otros dos
El más corto de todos, y el que enseña el mecanismo: la condición se traduce, no se opera.
prácticaUn lugar geométrico que es un arco
El arco capaz, que es lo que piden las tres convocatorias de abajo, con la degeneración discutida.
prácticaUna elipse recortada por un sector
examenUn cociente cuyo argumento es recto, y la media circunferencia que sale
De 2024-2025. Un cociente con argumento recto, y sale media circunferencia: el caso que más ha caído.
examenUn arco capaz, y una elipse que no existe
De 2018-2019, y trae de propina una condición que no define ninguna figura. Saber decir «esto está vacío» también puntúa.
examenUn arco capaz escondido detrás de un conjugado
Del examen global de mayo-junio de 2020, y palabra por palabra el ejercicio 1 de la primera evaluación del curso siguiente. El conjugado del enunciado no cambia el conjunto, y decirlo es parte de la respuesta.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Los puntos que equidistan de otros dos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Representar los afijos de los números complejos $z$ que verifican

\left|z - 2\right| = \left|z - 4i\right|

Qué figura es y su ecuación en x e y.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué figura sale de igualar dos distancias?
02
La ecuación
COMP2
Con $z = x+iy$ , elevando al cuadrado los dos lados sale $(x-2)^{2}+y^{2} = x^{2}+(y-4)^{2}$ . Desarrollando y simplificando queda $y = mx + n$ . ¿Cuánto vale la pendiente $m$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Igualar dos distancias da la mediatriz del segmento que une los dos puntos.
2. Los puntos son $(2,0)$ y $(0,4)$ , y su punto medio es $(1,2)$ .
3. Al desarrollar los cuadrados se cancelan los términos de segundo grado.
4. Queda la recta $y = \frac{x}{2}+\frac{3}{2}$ , que pasa por $(1,2)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante $\left|z-a\right|=\left|z-b\right|$ escribas «mediatriz» sin pensar, y que ante un argumento constante escribas «arco» y sepas cuál de los dos arcos es antes de dibujarlo.

El sólido, cortado por un plano que contiene el eje

Dibujar un sólido limitado por dos superficies en dos pasos: hallar dónde se cortan, y dibujar la sección que pasa por el eje.

leerEl recinto manda, y hay que dibujarlo

Habla de recintos planos, y un sólido de revolución es exactamente eso una vez cortado: el perfil es una región del plano, y de ahí salen los límites.

ejemploLeer los límites de un recinto dibujado
Empieza en el plano. Leer un recinto dibujado y escribir sus límites es la mitad de lo que luego hay que hacer en el espacio.
prácticaEl mismo sólido, en cilíndricas y en esféricas
El mismo sólido escrito de las dos maneras. Elegir coordenadas es la mitad del ejercicio, y aquí se ven las dos elecciones una al lado de la otra.
examenUn paraboloide tapado por una esfera
De 2012-2013, la más antigua. Paraboloide por debajo, esfera por arriba, y se cortan a la altura uno.
examenUn paraboloide tumbado, tapado por una esfera
De 2024-2025, doce años después: el mismo sólido con otros números. Merece la pena hacerlos seguidos.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Leer los límites de un recinto dibujado

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el triángulo limitado por las rectas $y=0$ , $x=2$ e $y=x$ . Escribir $\iint_D f\,dA$ con el orden $dy\,dx$ .

Los límites de integración en el orden dy dx.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con el orden $dy\,dx$ , ¿qué representan los límites de la integral interior?
02
El límite superior interior
COMP2
Fijado un $x$ entre 0 y 2, la vertical entra por $y=0$ . ¿Por dónde sale, evaluado en $x=1{,}5$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el planteamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El triángulo tiene vértices $(0,0)$ , $(2,0)$ y $(2,2)$ .
2. Con orden $dy\,dx$ , fijas $x$ y subes: entras por $y=0$ y sales por $y=x$ .
3. La vertical corta al triángulo para $x$ entre 0 y 2.
4. Luego la integral es $\int_{0}^{2}\int_{0}^{x} f\,dy\,dx$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante «dentro de la esfera y por encima del paraboloide» sepas escribir el radio de cada superficie en función de $z$ , igualarlos, y dibujar el perfil con la altura del corte marcada. La perspectiva es opcional; la sección, no.

La función periódica, y su ampliación

Dibujar una función definida a trozos, repetirla por periodicidad, y construir su ampliación par o impar cuando el enunciado la pide.

leerLa ampliación: cuando solo te dan media función

El dibujo y la paridad son la misma pregunta: en cuanto está dibujado se ve cuál es, y con eso se anula la mitad de los coeficientes sin integrar nada.

ejemploAmpliar media función, y reducir un argumento enorme
Ampliar media función y reducir un argumento grande, que son los dos apartados a) más frecuentes del bloque de Fourier.
prácticaLa extensión par, y una serie de cuadrados
La extensión par, que es literalmente lo que pide la convocatoria de 2024-2025 con otra recta.
examenUna escalera de dos peldaños, ampliada impar, y Leibniz otra vez
De 2023-2024. Una escalera de dos peldaños ampliada de forma impar: el dibujo se complica y el examen lo pide entero.
examenLa ampliación par, dos puntos enormes y la suma de los impares
De 2024-2025, y la par de la misma familia. Los dos seguidos enseñan la diferencia mejor que ninguna explicación.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Ampliar media función, y reducir un argumento enorme

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(t)=t$ definida solo en $(0,\pi)$ . Se construye su ampliación impar y periódica $F(t)$ , de periodo $2\pi$ .

a) ¿Cuánto vale $F$ justo a la izquierda de $\pi$ , y justo a la derecha?

b) ¿A qué punto del periodo básico se reduce $t=41\pi$ ?

Los dos límites laterales en pi, y el punto reducido.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hace la ampliación impar con el trozo que da el enunciado?
02
El límite por la derecha en pi
COMP2
¿Cuánto vale $F(\pi^{+})$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Reducir el argumento
COMP2
$t=41\pi$ se reduce a $k\pi$ dentro de $(-\pi,\pi]$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ampliación impar copia $f$ en $(-\pi,0)$ con el signo cambiado, así que $F(t)=t$ en todo $(-\pi,\pi)$ .
2. Después se repite ese periodo indefinidamente, y eso crea un salto en cada múltiplo impar de $\pi$ : se llega a $+\pi$ y se sale de $-\pi$ .
3. $41\pi$ es un múltiplo impar de $\pi$ , así que al reducir cae en $\pi$ , que es uno de esos saltos, y allí $S=0$ .
4. Y hay un atajo que confirma el resultado: como $F$ es impar la serie es $S(t)=\sum b_n\operatorname{sen}(nt)$ , y $\operatorname{sen}(nk\pi)=0$ para todo entero, así que $S$ se anula en todos los múltiplos de $\pi$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que dibujes un periodo entero y al menos uno a cada lado, con los saltos marcados. Y que al ampliar no dudes: la par refleja, la impar refleja y cambia de signo — y esa diferencia crea saltos donde antes no había.

lo tienes cuando:

Que ante «representar el recinto», «dibujar el sólido» o «dibujar la ampliación» no te quedes mirando el papel. Un sólido de revolución se dibuja cortándolo por un plano que contiene el eje; una región del plano complejo se dibuja traduciendo la condición a una distancia; y una función periódica se dibuja un periodo y se copia a los lados.

Complejos, el único hueco que no falta ni un año

uno cada año, siempre el puesto 13 escalones

Cae 11 de 11 años

Una ecuación con conjugado o con potencias, un lugar geométrico, un logaritmo o un seno de un número complejo. Siempre un ejercicio, y siempre el primero.

Once ejercicios en once convocatorias: exactamente uno cada año, y siempre en el puesto 1. No hay otro hueco en toda la asignatura del que se pueda decir eso. Vale entre siete y nueve puntos de COMP 2 sobre diez, así que es además el ejercicio más «de calcular» del primer cuatrimestral: quien lo lleva preparado se lleva una cuarta parte de la nota antes de empezar a pensar.

Ecuaciones con conjugado y con potencias

Resolver una ecuación compleja pasando a polar cuando hay potencias, y separando parte real e imaginaria cuando hay conjugados, sabiendo cuál de las dos vías toca.

leerRaíces n-ésimas: cuántas hay y por qué están repartidas

La regla de cuántas hay y dónde están es lo que permite comprobar el resultado: si no salen repartidas por igual en una circunferencia, hay un error.

ejemploPasar 1 + i a forma polar
El paso previo. Si pasar a polar no es automático, el resto del bloque cuesta el triple.
prácticaCuando el cuadrado es el conjugado
Del boletín, y es el molde exacto del de 2013-2014 con números más cómodos. Hazlo antes.
prácticaLos dos vértices que faltan de un cuadrado
Del boletín, y prepara el de 2020-2021: dos vértices de un cuadrado a partir de los otros dos, girando un vector.
examenUna ecuación con cinco soluciones, y la que casi todo el mundo pierde
De 2023-2024, y es el ejemplo de libro de la solución que se pierde: hay cinco y casi todo el mundo entrega cuatro.
examenEl cubo igual al cuadrado del conjugado, y cuatro sucesiones
De 2013-2014, y es la ecuación con conjugado en su forma más pura: el cubo igual al cuadrado del conjugado.
examenDos cuadrados posibles, y el afijo que decide cuál
De 2020-2021, y aquí la ecuación es geométrica: hay dos cuadrados posibles y el afijo decide cuál.
examenUn rombo del que solo se conoce una diagonal
De 2012-2013, y con menos datos todavía: de un rombo solo se conoce una diagonal, y de ahí sale el área.
examenUna ecuación con conjugado, y el triángulo que sale
De 2021-2022. Las tres soluciones forman un triángulo equilátero, y decirlo es parte de la respuesta.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Pasar 1 + i a forma polar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Escribir el número complejo $z = 1 + i$ en forma polar.

El módulo, el argumento y el número escrito como r·e^(iθ).

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular nada: ¿en qué cuadrante está $1+i$ ?
02
El módulo
COMP2
¿Cuánto vale $\left|z\right| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$ para $z = 1+i$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El argumento
COMP2
¿Cuánto vale $\arg z$ , en radianes?
Tu respuesta al paso 3en radianes; en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta final. Una de estas piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El punto está en el primer cuadrante, porque $a>0$ y $b>0$ .
2. $\left|z\right| = \sqrt{1+1} = \sqrt2$ .
3. $\tan\theta = 1$ y, estando en el primer cuadrante, $\theta = \pi/4$ .
4. Por tanto $z = \sqrt2\,e^{i\pi/4}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que no pierdas la solución $z=0$ , que es la que más se pierde, y que sepas decir cuántas soluciones tiene la ecuación antes de resolverla.

Lugares geométricos, con su dibujo

Traducir una condición sobre $z$ en una ecuación en $x$ e $y$ , reconocer la figura y dibujar solo el trozo que cumple la condición de signo.

leerEl arco capaz, y cuándo se rompe en una semirrecta

El caso que más cae, y el que tiene la letra pequeña: el argumento fija un arco, no la circunferencia entera.

ejemploUn disco, y decidir si el borde entra
Decidir si el borde entra o no. Parece un detalle y es la mitad de los puntos de COMP 4 de este bloque.
examenUna circunferencia y una recta, y los dos puntos que quedan
De 2017-2018. Dos condiciones a la vez, y hay que quedarse con lo que cumple las dos.
examenEl seno de un complejo, y una suma de distancias que es una elipse
De 2022-2023, y engancha con el escalón siguiente: el seno de un complejo se calcula con exponenciales.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un disco, y decidir si el borde entra

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Representar los afijos de los números complejos $z$ que verifican

\left|z - (1+2i)\right| \le 3

Qué figura es, dónde está su centro, cuánto mide su radio y si el borde entra.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice $\left|z - (1+2i)\right|$ , leído en castellano?
02
El radio
COMP2
Si la condición fuera con un igual, $\left|z-(1+2i)\right| = 3$ , sería una circunferencia. ¿Cuánto mide su radio?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un punto de prueba
COMP2
Comprueba tu región con un punto. ¿Cuánto vale $\left|z-(1+2i)\right|$ para $z = 1+2i$ , o sea el propio centro?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\left|z-(1+2i)\right|$ es la distancia de $z$ al punto $(1,2)$ .
2. La condición pide que esa distancia no pase de 3.
3. Es el disco de centro $(1,2)$ y radio 3.
4. Como la desigualdad es $\le$ , el borde entra y se dibuja continuo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que después de hallar la circunferencia sigas trabajando: casi siempre queda una condición de signo que selecciona un arco, y entregarla entera es lo que separa el siete del diez.

Cuando la variable sube al exponente

Manejar $e^{z}$ , $\log z$ , $\operatorname{sen}z$ y $\cos z$ con números complejos, y entender por qué el logaritmo da infinitos valores y el coseno puede valer cinco.

leerSeno y coseno, definidos con exponenciales

Con la definición exponencial delante, un seno complejo deja de ser un objeto raro y pasa a ser una ecuación de segundo grado.

prácticaCuando el coseno vale cinco
El caso puro, del boletín. Si sale este, sale el de examen.
examenUn coseno que vale cinco
De 2016-2017, y es el mismo problema con enunciado de examen y nueve puntos de COMP 2.
examenUn logaritmo complejo cuyo resultado es real
De 2015-2016. El logaritmo con su infinitud de valores, y la condición que selecciona los que valen.

Lo tienes cuando

Que ante $\cos z=5$ no digas «imposible» sino que escribas la exponencial y resuelvas la ecuación de segundo grado que sale.

lo tienes cuando:

Que en veinte minutos resuelvas cualquiera de los once, y que ante uno nuevo sepas en qué familia cae antes de escribir nada: ecuación con conjugado, raíces n-ésimas, lugar geométrico, o exponencial y logaritmo.

El ejercicio 3, que casi siempre es Taylor

7 de 11 — el más rentable del primer parcial2 escalones

Cae 7 de 11 años

«El polinomio de Taylor de orden 2 y una cota del error», «la aproximación de $\sqrt{0{,}9}$ y cuánto te puedes equivocar», «de dónde sale esa fórmula».

Siete de las once extraordinarias, y casi siempre en el hueco 3. Es el bloque con más rendimiento del primer cuatrimestral después de complejos, y tiene un detalle que decide la nota: en cinco de los siete piden acotar el error, no solo escribir el polinomio.

El polinomio, que casi nunca hay que derivar

Escribir el polinomio de Taylor de una función en un punto, partiendo de uno de los seis desarrollos conocidos en vez de derivar.

leerEl polinomio de Taylor es la mejor imitación local

Y el apartado de los seis desarrollos, que es el que convierte estos ejercicios en una sustitución.

ejemploUn desarrollo compuesto, sin derivar ni una vez
Componer uno de los seis desarrollos en vez de derivar: es lo que hacen cuatro de los siete años.
ejemploUn polinomio de Taylor de orden 2
El polinomio de orden dos derivando, que es de donde salen los seis desarrollos.
prácticaOcho desarrollos, y solo tres hay que calcular
Ocho desarrollos y solo tres se calculan: los otros cinco salen de componer, que es de lo que va este escalón.
examenEl McLaurin de una integral que no se sabe hacer
De 2020-2021, y muestra para qué sirve de verdad: la función es una integral que no tiene primitiva, así que el polinomio es lo único con lo que se puede calcular.
examenUn punto que parece extremo y no lo es, y un valor absoluto dentro de una integral
De 2022-2023, y trae la trampa de este hueco: un punto donde la derivada se anula y no es extremo, que es justo lo que el polinomio deja ver.
examenUn polinomio de dos términos y un elipsoide de revolución
De 2021-2022, y el polinomio no es el final: con él se calcula después el volumen de un elipsoide.
examenUna curva que no se puede despejar, y la tangente que se pone de pie
De 2024-2025, y el caso raro de los siete: la función viene en forma implícita, así que las derivadas salen derivando la ecuación.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un desarrollo compuesto, sin derivar ni una vez

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Obtener los tres primeros términos no nulos del desarrollo de Maclaurin de $f(x) = e^{x^{2}}$ , sin calcular ninguna derivada.

Los tres primeros términos no nulos del desarrollo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué no hace falta derivar para obtener este desarrollo?
02
El coeficiente de grado cuatro
COMP2
En $e^{x^{2}} = 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + \ldots$ , ¿cuál es el coeficiente de $x^{4}$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (1/2), o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se parte de $e^{u} = 1+u+\frac{u^{2}}{2!}+\frac{u^{3}}{3!}+\ldots$
2. Se sustituye $u = x^{2}$ , con lo que cada grado se duplica.
3. Queda $e^{x^{2}} = 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + \ldots$ , con solo potencias pares.
4. El radio de convergencia sigue siendo infinito, porque el de $e^{u}$ lo es.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un polinomio de Taylor de orden 2

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el polinomio de Maclaurin de orden 2 de $f(x) = e^{x}$ y usarlo para aproximar $e^{0{,}1}$ .

El polinomio y el valor aproximado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué quiere decir que el polinomio sea «de Maclaurin»?
02
El coeficiente de x²
COMP2
En $P_2(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^{2}$ , ¿cuánto vale el coeficiente de $x^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aproximación
COMP2
Sustituyendo $x = 0{,}1$ , ¿cuánto vale $P_2(0{,}1)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con tres decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Todas las derivadas de $e^{x}$ son $e^{x}$ , y en 0 valen 1.
2. Luego $P_2(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$ .
3. Sustituyendo $x = 0{,}1$ sale $1{,}105$ .
4. Es una aproximación, así que la respuesta completa lleva una cota del error.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante $\sqrt{1+x}$ o $\ln(1+x)$ no derives ni una vez, y que sepas en qué punto se centra el desarrollo cuando el enunciado no lo dice.

La cota del error, que vale la mitad del ejercicio

Acotar el resto de Lagrange, y con él justificar cuántos decimales de una aproximación son de fiar.

leerEl resto es la parte que se suele olvidar, y es la que se pregunta

En cinco de los siete años este apartado es la segunda mitad del enunciado, y es la que se deja en blanco.

ejemploUn polinomio de Taylor de orden 2
El mismo polinomio: la cota se monta encima de él.
ejemploLa cota del error, que es media pregunta
La cota del resto, aislada y sin decimales que arrastrar. Aquí está el desfase que más se falla: el resto de orden 2 lleva la derivada tercera.
prácticaLa tangente de dos grados, y cuánto se equivoca
prácticaCuántos términos para una precisión dada
Dada la precisión, cuántos términos hacen falta. Es la raíz de 0,9 de 2017-2018 planteada al revés.
examenLa raíz de 0,9 sin calculadora, y cuánto te puedes equivocar
De 2017-2018, y es el ejercicio que explica por qué esto se examina sin calculadora: la raíz de $0{,}9$ a mano, y cuánto te puedes equivocar.
examenDe dónde sale esa fórmula, y cuánto te puedes fiar
De 2013-2014, y pregunta lo de antes: no «aplica la fórmula» sino «de dónde sale», que es COMP 4 entera.
examenEl polinomio de una integral que no se sabe resolver
De 2023-2024, y encadena las dos cosas: el polinomio de orden tres de la campana invertida y, con él, los puntos de inflexión.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La cota del error, que es media pregunta

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se aproxima $e^{x}$ por su polinomio de Maclaurin de orden 2 en el intervalo $[0, 1]$ . Acotar el error cometido.

Una cota del error de la aproximación en ese intervalo.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el resto de Lagrange $R_2(x) = \dfrac{f'''(\xi)}{3!}x^{3}$ , ¿qué es lo que hay que acotar?
02
La cota
COMP2
Con $f'''(\xi) = e^{\xi} \le e$ en $[0,1]$ y $x \le 1$ , ¿cuánto vale la cota $\dfrac{e}{6}$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (e/6), o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El resto de un polinomio de orden 2 es $R_2(x) = \frac{f'''(\xi)}{3!}x^{3}$ , con $\xi$ entre 0 y $x$ .
2. Todas las derivadas de $e^{x}$ son $e^{x}$ , así que $f'''(\xi) = e^{\xi}$ .
3. Como $\xi \in [0,1]$ y la exponencial crece, $e^{\xi} \le e$ .
4. Y como $x \le 1$ , entonces $x^{3}\le 1$ , así que la cota es $\frac{e}{6}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que sepas qué se acota —la derivada siguiente, en el intervalo entre el centro y el punto— y que la respuesta a «cuánto te puedes equivocar» sea un número, no una fórmula.

lo tienes cuando:

Que escribas el polinomio de orden dos de cualquiera de los seis desarrollos conocidos sin derivar, y que la cota del error te salga sin mirar la fórmula. Si el enunciado dice «sin calculadora», la cota es la respuesta.

Estudiar una función, casi siempre a partir de un dibujo

6 de 11 — casi todo justificar2 escalones

Cae 6 de 11 años

«El crecimiento de $h$ y sus extremos, razonados sobre el dibujo», «cuál es cuál, y el estudio de $h$ », «dominio, crecimiento, extremos, la tangente en el origen y la gráfica».

Seis de las once, y siempre en el hueco 2. Es el ejercicio donde COMP 2 vale menos de todo el examen: casi todos los puntos son de justificar sobre un dibujo. Y en cuatro de los seis la función que hay que estudiar no tiene fórmula: se construye componiendo dos curvas dibujadas.

Cuál de las dos curvas es la derivada

Decidir cuál de dos curvas dibujadas es la derivada de la otra, y hacer con ellas el estudio de una tercera función construida componiéndolas.

leerCuando lo que te dan dibujado es la derivada

El apartado va exactamente de esto, y trae la figura con los tres cruces marcados.

ejemploLo dibujado es la derivada, no la función
Los tres cruces con una sola curva, antes de decidir entre dos.
ejemploDos curvas, y decidir cuál deriva a cuál
Y ahora dos curvas, que es como cae. La figura es lo que el boletín no tiene: aquí se practica el criterio —los ceros de una bajo los extremos de la otra— y sobre todo por qué una sola coincidencia no basta.
examenDos curvas, cuál es cuál, y una tercera función construida con las dos
De 2021-2022. Cuál es cuál, y después el estudio de una $h$ construida con las dos.
examenEl cuadrado de la derivada, leído solo en el dibujo
De 2017-2018, y el mismo enunciado volvió en 2023-2024. Aquí la tercera función es el cuadrado de la derivada, y el cuadrado cambia los signos.
examenEl cuadrado de la derivada, leído solo en el dibujo
De 2023-2024, el regreso. Ponerlos seguidos enseña que este hueco se repite casi con las mismas palabras.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Lo dibujado es la derivada, no la función

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La gráfica de $f'$ es una recta que pasa por el origen con pendiente positiva, es decir $f'(x) = x$ . Decir dónde crece $f$ , dónde tiene extremos y cómo se curva.

Los intervalos de crecimiento, los extremos y la concavidad de f.

01
Reconocer el camino
COMP1
Lo dibujado corta el eje en $x=0$ . ¿Qué significa eso para $f$ ?
02
Dónde decrece
COMP2
$f$ decrece donde $f'$ es negativa. Con $f'(x) = x$ , ¿cuál es el mayor valor de $x$ en el que $f$ decrece?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la lectura completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Lo dibujado es $f'$ , así que su altura es la pendiente de $f$ .
2. Con $f' < 0$ para $x<0$ y $f' > 0$ para $x>0$ , la función decrece y luego crece.
3. En $x=0$ la derivada pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo de $f$ .
4. La curva dibujada sube siempre, luego $f'' > 0$ y $f$ es convexa en todo $\mathbb{R}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Dos curvas, y decidir cuál deriva a cuál

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la figura hay dos curvas, A y B, dibujadas sobre los mismos ejes. Una es la derivada de la otra. Decidir cuál es cuál, y justificarlo sin calcular nada.

Las dos líneas de puntos marcan x = −1 y x = 1. No hace falta ninguna fórmula: todo lo que decide la respuesta está en dónde corta una y dónde se pone horizontal la otra.

Cuál de las dos es la derivada, con el argumento que lo demuestra.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para decidir cuál es la derivada de cuál, ¿qué hay que mirar?
02
La pendiente de B en el origen
COMP2
Una vez decidido cuál es la derivada, ¿cuánto vale la pendiente de la curva B en $x = 0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. A corta al eje horizontal en $x=-1$ y en $x=1$ , exactamente donde B tiene sus dos tangentes horizontales.
2. Y los signos acompañan: a la izquierda de $-1$ la A es positiva y la B sube; entre $-1$ y $1$ la A es negativa y la B baja.
3. Luego A es la derivada de B, y no al revés.
4. El mínimo de A en $x=0$ dice además que ahí está el punto de inflexión de B, que es donde más deprisa baja.

Resolución completa

El criterio, y por qué es el único que hace falta. La derivada se anula exactamente donde la función tiene tangente horizontal. Así que entre dos curvas basta con comprobar una cosa: si los ceros de una caen bajo los extremos de la otra.

Aquí A corta el eje en $x=-1$ y en $x=1$ , y es justo donde B se pone horizontal. Luego A es la derivada de B.

La comprobación que lo cierra, y que es la que se puntúa. Con los ceros no basta: hay que mirar los signos, porque un cero de la derivada también podría ser un punto de inflexión.

dónde	signo de A	qué hace B
$x < -1$	positiva	sube
$-1 < x < 1$	negativa	baja
$x > 1$	positiva	sube

Las tres filas encajan, así que la lectura es coherente en todo el dibujo y no solo en dos puntos.

Por qué la lectura contraria se cae. Si B fuera la derivada de A, A tendría que ponerse horizontal en cada corte de B con el eje. B corta en tres sitios —el origen y dos cerca de los bordes— y A solo tiene una tangente horizontal, su vértice. Dos cortes sin pareja bastan para descartarla.

Es el error que más veces cuesta este ejercicio en el examen: encontrar una coincidencia y dar la respuesta por buena.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que uses los tres cruces —donde la derivada se anula, la función tiene extremo; donde cambia de signo, cambia la monotonía— y que no confundas «la derivada baja» con «la función baja».

El estudio completo, cuando sí hay fórmula

Recorrer el estudio entero de una función dada por su fórmula: dominio, monotonía, extremos, curvatura, asíntotas y esbozo.

leerCrecer y curvarse: lo que dicen la primera y la segunda derivada

Las cuatro combinaciones de signos. El esbozo sale de ahí y de nada más.

ejemploUn punto crítico, y decidir qué es
Un punto crítico y su clasificación, que es el esqueleto de todo estudio completo.
prácticaSeis dominios y seis rangos
El primer renglón de cualquier estudio, y el que más veces se despacha en dos segundos y sale mal.
examenUna función que crece siempre y no tiene ni un extremo
De 2016-2017, y el resultado es el que sorprende: crece siempre y no tiene ni un extremo.
examenDe la velocidad a la posición, sin integrar hasta el final
De 2022-2023, y el estudio no es de la función que te dan: es de su primitiva, sin llegar a integrarla hasta el final.
examenHacia dónde va, y cuándo va más rápido hacia la izquierda
De 2020-2021, y el enunciado está en lenguaje de movimiento: no pide «mínimo de la derivada» sino «cuándo va más rápido hacia la izquierda».

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un punto crítico, y decidir qué es

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para $f(x) = x^{3} - 3x$ , encontrar sus puntos críticos y clasificarlos.

Los puntos donde la derivada se anula y qué es cada uno.

01
Reconocer el camino
COMP1
Si $f'(c) = 0$ , ¿qué se puede afirmar del punto $c$ ?
02
El punto crítico positivo
COMP2
Resolviendo $f'(x) = 3x^{2} - 3 = 0$ , ¿cuál es la solución positiva?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Clasificarlo
COMP2
Con $f''(x) = 6x$ , ¿cuánto vale $f''(1)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f'(x) = 3x^{2}-3$ se anula en $x = \pm 1$ .
2. $f''(x) = 6x$ , y $f''(1) = 6 > 0$ , luego en $x=1$ hay un mínimo.
3. $f''(-1) = -6 < 0$ , luego en $x=-1$ hay un máximo.
4. Son extremos relativos y no absolutos, porque la función no está acotada.

Resolución completa

Los candidatos. Se buscan donde la derivada se anula, que es lo que Fermat autoriza:

f'(x) = 3x^{2}-3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pm 1

Clasificarlos con el signo de la segunda derivada, $f''(x) = 6x$ :

punto	$f''$	qué es
$x=-1$	$-6 < 0$	máximo relativo
$x=1$	$6 > 0$	mínimo relativo

El detalle que se pierde. Son extremos relativos. La función es una cúbica y no está acotada, así que no tiene máximo ni mínimo absolutos. Si el enunciado pidiera absolutos sobre un intervalo cerrado, habría que evaluar también en los bordes.

Y si $f''(c)$ saliera cero, el criterio no diría nada y habría que mirar el signo de $f'$ a los dos lados del punto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que el orden no lo decidas sobre la marcha, y que la gráfica final sea consecuencia de lo que has escrito, no un dibujo aparte.

lo tienes cuando:

Que ante dos curvas dibujadas sepas decir cuál deriva a cuál mirando dónde una corta el eje y dónde la otra tiene su extremo, y que escribas el argumento entero, porque ahí están los puntos.

El máximo y el mínimo, que es el ejercicio con más puntos de cálculo

los puntos gordos de cálculo del primer parcial2 escalones

Cae 8 de 11 años

«Calcular las dimensiones de forma que el área sea máxima», «hallar el rectángulo de área máxima», «minimizar el material». Un enunciado con geometría dentro y una restricción que hay que encontrar.

Once ejercicios en ocho de las once convocatorias, y son los que más puntos de COMP 2 reparten del primer cuatrimestral: siete u ocho sobre diez. Es también el hueco con el reparto más desequilibrado que existe — el de 2018-2019 vale 0/8/2 y el de 2021-2022, 1/8/1 —: aquí no se pide demostrar nada, se pide llegar al número.

Traducir el enunciado, que es donde se gana o se pierde

Convertir un enunciado con geometría en una función de una sola variable: nombrar las incógnitas, escribir lo que se optimiza, escribir la restricción y sustituir.

leerOptimizar es traducir, no derivar

El apartado entero está escrito alrededor de la idea de que derivar es la parte fácil, y de que el orden —incógnitas, objetivo, restricción, dominio— evita el noventa por ciento de los fallos.

ejemploOptimizar, con la restricción a la vista
La restricción está a la vista, así que solo se practica la traducción. Es el escalón de entrada del bloque.
prácticaEl rectángulo más grande bajo una parábola
Del boletín, y el mismo problema que cayó en 2018-2019: hacerlo antes que el de examen ahorra tiempo.
examenEl rectángulo más grande que cabe bajo una parábola
De 2018-2019, 0/8/2. El reparto dice todo lo que hay que saber sobre qué se puntúa aquí.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Optimizar, con la restricción a la vista

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Con 20 metros de valla se quiere cercar un rectángulo. ¿Qué dimensiones dan el área máxima?

Las dimensiones del rectángulo de área máxima.

01
Reconocer el camino
COMP1
En un problema de optimización, ¿qué es la «función objetivo»?
02
El objetivo con una sola variable
COMP2
Con perímetro $2x+2y=20$ , se despeja $y = 10-x$ y el área queda $A(x) = x(10-x)$ . ¿En qué valor de $x$ se anula $A'(x)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una pieza no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Objetivo, el área $A = xy$ ; restricción, el perímetro $2x+2y=20$ .
2. De la restricción, $y = 10-x$ , y el objetivo queda $A(x)=10x-x^{2}$ .
3. El intervalo es $0 < x < 10$ , porque los lados son positivos.
4. $A'(x)=10-2x$ se anula en $x=5$ , y $A''=-2<0$ , luego es máximo.
5. Con $x=5$ sale $y=5$ , un cuadrado de 25 m².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que escribas siempre el dominio de la variable —de dónde a dónde puede ir— y que compruebes los extremos del intervalo además del punto crítico. El máximo en un extremo es el caso que más se olvida.

Los que vienen disfrazados de otra cosa

Reconocer un problema de optimización cuando el enunciado habla de alambres, ventanas, pórticos o chapas, y decidir qué variable conviene usar cuando hay dos candidatas.

leerCrecer y curvarse: lo que dicen la primera y la segunda derivada

Para justificar que el punto crítico es máximo y no mínimo, que es lo que piden los dos puntos de COMP 4 de estos ejercicios.

prácticaEl canal que más agua lleva
Del boletín. La variable buena es un ángulo, y elegirla mal triplica la cuenta.
examenLa ventana de arco, y la proporción que sale sin depender del perímetro
De 2023-2024, y el de la proporción que no depende del perímetro.
examenTres barras, un pórtico, y un ángulo que sale redondo
De 2021-2022, y el disfraz aquí es estructural: tres barras formando un pórtico, y la variable que hay que elegir es el ángulo, no una longitud.
examenUn alambre, un cuadrado, un triángulo y el corte que minimiza
De 2024-2025. Un alambre, un cuadrado y un triángulo — y ya había caído en la segunda evaluación de 2023-2024.

Lo tienes cuando

Que la respuesta no dependa de un dato que el enunciado no da. En varios de estos ejercicios el resultado es una proporción —la ventana de 2023-2024, sin ir más lejos— y el perímetro se cancela: si te queda dentro, hay un error.

lo tienes cuando:

Que ante un enunciado de tres líneas con una figura dentro escribas en menos de cinco minutos la función a optimizar y la restricción que la reduce a una variable. Esa traducción es el ejercicio; lo que viene después es derivar.

La integral que no se sabe hacer, y que hay que estudiar igual

5 de 11 — todos de los últimos años2 escalones

Cae 5 de 11 años

«Sin calcular la integral, hallar el polinomio de McLaurin», «estudiar la función definida por la integral», «hallar sus extremos». Con una integral de extremo variable y un integrando sin primitiva elemental.

Cinco ejercicios en cinco convocatorias, y todos de los últimos años: 2020-2021, 2021-2022, 2022-2023, 2023-2024 y 2024-2025. Es el hueco que está creciendo, cinco años seguidos, y es también el que mejor separa a quien ha entendido el teorema fundamental de quien se lo sabe de memoria: no se puede resolver calculando.

Derivar una integral sin calcularla

Aplicar el teorema fundamental a una función definida por una integral de extremo variable, incluida la versión con el extremo compuesto.

leerEl teorema fundamental, en sus dos mitades

Las dos mitades son cosas distintas y se confunden: una deriva una integral, la otra evalúa una integral definida. Aquí hace falta la primera.

ejemploDerivar una integral sin calcularla
Tres líneas y ninguna integral. Es el escalón de entrada del bloque entero.
prácticaSeis derivadas sin calcular ninguna integral
Seis derivadas del boletín, incluidas las de extremo compuesto, que es donde aparece la regla de la cadena.
examenEl teorema fundamental, y la campana que no tiene extremos
De 2013-2014, y es el ejemplo canónico: la campana de Gauss no tiene primitiva elemental, y aun así se estudia entera.
examenLa función que promedia lo que lleva detrás
De 2015-2016, y la vuelta de tuerca está en el enunciado: no es el valor medio —un número— sino la función que promedia lo que lleva detrás.
examenEstudiar entera una función que solo se conoce como integral
De 2024-2025. Estudia entera una función que solo se conoce como integral: dominio, crecimiento, extremos y asíntotas.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Derivar una integral sin calcularla

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para $F(x) = \displaystyle\int_1^{x} t^{3}\,dt$ , calcular $F'(x)$ sin resolver la integral.

La derivada de la función integral.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué parte del teorema fundamental se usa aquí?
02
La derivada
COMP2
¿Cuánto vale $F'(2)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El integrando $t^{3}$ es continuo, que es la hipótesis del teorema.
2. El límite inferior es constante y el superior es $x$ .
3. Por la primera parte del teorema fundamental, $F'(x) = x^{3}$ .
4. Luego $F'(2) = 8$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que compruebes siempre la hipótesis —el integrando continuo— y que la escribas: es la mitad de los puntos de COMP 4 de estos ejercicios y se tarda una línea.

El polinomio de Taylor de algo que no tiene primitiva

Calcular el desarrollo de McLaurin de una función definida por una integral, por los dos caminos: derivando la función, o desarrollando el integrando e integrando término a término.

leerEl polinomio de Taylor es la mejor imitación local

Y de ahí, los seis desarrollos memorizados del apartado siguiente: con ellos, integrar término a término es cuestión de un minuto.

prácticaDos polinomios de Maclaurin sin calcular la integral
Dos polinomios de McLaurin sin calcular la integral, del boletín. El entrenamiento directo.
examenEl McLaurin de una integral que no se sabe hacer
De 2020-2021, el primero de la serie.
examenEl polinomio de una integral que no se sabe resolver
De 2023-2024, con la campana de Gauss: el integrando sin primitiva por excelencia. Y el mismo problema estaba en la tercera evaluación de 2020-2021.

Lo tienes cuando

Que sepas hacerlo por los dos caminos y elegir el corto. Desarrollar el integrando y luego integrar es casi siempre la mitad de trabajo, y casi nadie lo usa.

lo tienes cuando:

Que ante $F\left(x\right)=\int_{0}^{x}g$ escribas $F'=g$ sin pensarlo, y que sepas seguir: la segunda derivada, los extremos y el polinomio de Taylor salen todos de ahí sin calcular ni una primitiva.

Áreas, volúmenes, y las integrales que hay que saber hacer antes

12 ejercicios en 9 convocatorias4 escalones

Cae 9 de 11 años

«Calcular el área del recinto», «el volumen del sólido que engendra al girar», «el perímetro». Con dos curvas que se cortan, o una curva y sus tangentes. Y en cuatro de los doce, antes de eso, una primitiva con truco o una impropia que hay que decidir si converge.

Doce ejercicios en nueve de las once convocatorias, y es el hueco que comparte sitio con el de optimizar en el primer cuatrimestral. Casi todos reparten siete u ocho puntos de cálculo, y en cinco de ellos el recinto viene definido por una curva y su tangente, que es la variante que obliga a hallar la tangente antes de poder integrar nada.

El área entre dos curvas, y cuándo conviene integrar en y

Hallar los cortes, decidir cuál es la curva de arriba, y elegir la variable de integración que evita partir el recinto en trozos.

leerÁreas y volúmenes: el mismo esquema

El esquema es uno solo —cortes, quién está encima, integrar la diferencia— y sirve igual para áreas y para volúmenes.

ejemploEl área entre dos curvas
Dos parábolas y nada más. Es el escalón de entrada.
prácticaUna parábola tumbada, y por qué conviene integrar en y
Del boletín, y el caso que enseña por qué a veces se integra en $y$ .
examenDos tangentes que se cruzan, y el hueco que dejan
De 2018-2019, y es la variante que más cae: el recinto no lo cierran dos curvas sino una curva y sus tangentes, así que hay que hallarlas antes de integrar.
examenUna chapa parabólica, y el rectángulo más grande que cabe dentro
De 2022-2023, y junta este bloque con el de optimizar: primero el área de la chapa, y después el rectángulo más grande que cabe dentro.
examenUna parábola, su tangente, y el recinto que dejan en el primer cuadrante
De 2023-2024. Hay que hallar la tangente antes de tener el recinto, que es la variante que más cae.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El área entre dos curvas

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el área encerrada entre las curvas $y = x$ e $y = x^{2}$ .

Los puntos de corte y el área.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el primer paso antes de plantear la integral?
02
El corte distinto de cero
COMP2
Igualando $x = x^{2}$ , ¿cuál es la solución distinta de cero?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\int_0^{1}\left(x - x^{2}\right)dx$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los cortes son $x=0$ y $x=1$ , y son los límites de integración.
2. Entre 0 y 1 la recta va por encima de la parábola.
3. El área es $\int_0^1 (x - x^{2})\,dx$ .
4. Vale $\frac12-\frac13 = \frac16$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante una parábola tumbada no integres en $x$ por costumbre: integrar en $y$ convierte dos integrales en una.

El volumen que engendra al girar

Calcular un volumen de revolución por discos o por capas, y reconocer cuál de los dos métodos deja la integral más corta.

leerGirar alrededor de OY, que es el caso que de verdad cae

Escrito precisamente porque es el que sale en el examen y el que los libros tratan de pasada.

ejemploUn volumen de revolución por discos
El caso más simple, alrededor de $OX$ , para fijar la fórmula.
examenLa recta, la hipérbola, y el agujero que deja al girar
De 2020-2021. Al girar queda un agujero, y hay que restar dos volúmenes.
examenUn sector de disco que gira, y un perímetro con dos radios dentro
De 2024-2025, y pide además el perímetro: dos apartados con la misma figura y dos técnicas distintas.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un volumen de revolución por discos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el volumen que genera la región bajo $y = x$ entre $x=0$ y $x=1$ al girar alrededor del eje $OX$ .

El volumen del sólido de revolución.

01
Reconocer el camino
COMP1
El eje de giro es horizontal. ¿Qué método corresponde?
02
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale $\pi\displaystyle\int_0^{1} x^{2}\,dx$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El eje de giro es horizontal, así que valen los discos.
2. Cada corte perpendicular al eje es un disco de radio $f(x) = x$ .
3. El volumen es $\pi\int_0^1 x^{2}dx = \frac{\pi}{3}$ .
4. El sólido es un cono, y la fórmula clásica da lo mismo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante un giro alrededor de $OY$ no despejes por costumbre: el método de capas evita despejar, y ese es el caso que de verdad cae.

Antes del área, la primitiva

Decidir cuál de los cuatro métodos le toca a una primitiva, y resolverla cuando hace falta encadenar dos.

leerLos cuatro métodos, y cuándo usar cada uno

La tabla de decidir, que es lo que hay que tener automatizado antes de llegar a las áreas.

ejemploEl área entre dos curvas
Una integral que sí sale directa, para tener con qué comparar.
examenDos integrales, y en cada una hay que ver el truco
De 2012-2013, y son dos seguidas: en cada una el trabajo es ver el truco, y después la cuenta es corta.
examenUna primitiva con dos trucos y un área con dos bordes
De 2013-2014, y es el ejercicio de este escalón entero: una primitiva con dos trucos, y luego el área que la usa.

Lo tienes cuando

Que el método lo elijas mirando el integrando y no probando, y que sepas reconocer el caso incómodo: un cambio que deja la integral a medias y hay que rematar por partes.

Las impropias, y decidir si existen

Reconocer las dos formas de romperse de una integral —el intervalo infinito y el integrando que se dispara— y decidir si converge.

leerImpropias: dos formas de romperse

Las dos formas, y el aviso de que integrar de un tirón sobre un punto malo produce un resultado que parece bueno.

ejemploUna integral impropia de primer tipo
Una impropia que sí converge. Con esta hecha, reconocer la que no converge es inmediato.
examenUna integral que se calcula, y otra que no existe
De 2016-2017, y las pone juntas a propósito: una se calcula y la otra no existe, y hay que decir cuál es cuál.
examenMeter el infinito dentro de un intervalo
De 2012-2013, y es el caso peligroso: el infinito está en medio del intervalo, no en un extremo.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Una integral impropia de primer tipo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Estudiar si converge, y calcularla si converge,

\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}

Si converge y cuánto vale.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué esta integral es impropia?
02
La integral hasta un extremo finito
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\int_1^{t}\frac{dx}{x^{2}}$ , en función de $t$ ? Evalúalo para $t = 10$ .
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El límite
COMP2
Haciendo $t \to \infty$ , ¿cuánto vale la integral impropia?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Es impropia de primer tipo, porque el intervalo no está acotado.
2. Se sustituye el infinito por un extremo finito $t$ y se toma el límite.
3. $\int_1^t x^{-2}dx = 1 - \frac1t$ .
4. El límite cuando $t\to\infty$ vale 1, luego converge.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que escribas el límite en vez de sustituir el infinito, y que si el punto malo está dentro del intervalo lo partas por ahí en vez de integrar de un tirón, que es como sale un número donde no hay ninguno.

lo tienes cuando:

Que dibujes el recinto antes de escribir la integral, siempre, y que ante un giro sepas decidir entre discos y capas en función de alrededor de qué eje se gira — no de cuál te resulte más familiar.

Enunciar y demostrar, que es un ejercicio entero sin una cuenta

3 de 11 — pero vale el ejercicio entero3 escalones

Cae 3 de 11 años

«El enunciado con sus hipótesis, y la demostración», «la demostración del teorema de Fermat», «demostrar que si $f$ es continua no se salta ningún valor».

Tres de las once, y va el último del primer cuatrimestral por eso. Pero cuando cae vale el ejercicio completo y COMP 2 vale cero: son diez puntos de justificar. Los tres años son 2016-2017, 2015-2016 y 2012-2013, así que es un hueco que se ha ido apagando; el criterio para estudiarlo es cuánto cuesta, no cuánto cae, y cuesta una tarde.

Fermat, que es por qué se busca donde la derivada se anula

Demostrar que en un extremo interior con derivada la derivada se anula, y decir por qué el recíproco es falso.

leerFermat: por qué se busca donde la derivada se anula

La demostración entera está ahí, y con ella el motivo de que se diga «candidato» y no «extremo».

ejemploUn punto crítico, y decidir qué es
Fermat usado, antes de Fermat demostrado.
examenPor qué la derivada se anula en un máximo
De 2016-2017, y es Fermat pedido con las palabras del enunciado, no con su nombre.

Lo tienes cuando

Que la demostración te salga con los dos cocientes incrementales —el de la izquierda y el de la derecha— y que sepas nombrar la hipótesis que falla en cada contraejemplo.

Rolle y Lagrange, que son el mismo teorema

Enunciar los dos con sus hipótesis y demostrar Lagrange aplicando Rolle a una función auxiliar.

leerRolle y Lagrange son el mismo teorema

El apartado los presenta juntos porque uno sale del otro, que es justo lo que la demostración pedida usa.

ejemploEl teorema del valor medio, aplicado
El teorema aplicado a un caso concreto. Enunciarlo y demostrarlo va después.
prácticaTres veces que la derivada tiene que anularse
Antes de demostrarlo, aplicarlo tres veces. Suena a rodeo y no lo es: la demostración de Lagrange consiste en construir una función que cumpla las hipótesis de Rolle, y para eso hay que tenerlas vistas funcionando.
prácticaTres funciones y una pendiente media
examenEnunciar y demostrar el teorema del valor medio
De 2015-2016. Enunciado, hipótesis y demostración, sin un número.
examenEnunciar y demostrar el teorema del valor medio
De 2012-2013, y es el mismo ejercicio tres años antes. Que se repita idéntico es la información: se estudia una vez y sirve.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El teorema del valor medio, aplicado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Comprobar que $f(x) = x^{2}$ cumple las hipótesis del teorema de Lagrange en $[0,2]$ y encontrar el punto $c$ que el teorema garantiza.

La comprobación de las hipótesis y el valor de c.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dos hipótesis pide el teorema de Lagrange, y en qué intervalos?
02
La pendiente media
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto que el teorema garantiza
COMP2
Resolviendo $f'(c) = 2$ , con $f'(x) = 2x$ , ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza sobra.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f(x)=x^{2}$ es un polinomio, luego continua en $[0,2]$ y derivable en $(0,2)$ .
2. La pendiente media vale $\frac{4-0}{2} = 2$ .
3. Lagrange garantiza un $c \in (0,2)$ con $f'(c) = 2$ .
4. Resolviendo $2c = 2$ sale $c = 1$ , que efectivamente está dentro.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que escribas la función auxiliar sin dudar —la que resta a $f$ la recta que une los extremos— y que la hipótesis de derivabilidad la pidas en el abierto y la de continuidad en el cerrado.

El caso suelto, y por qué está aquí

Usar las definiciones de supremo, ínfimo y salto para despejar parámetros, que es el otro sitio del examen donde no se calcula nada.

leerCreciente, decreciente, acotada

Sucesiones ha caído una vez en once años en la extraordinaria, y fue esto. Va aquí, y no en un bloque propio, porque un bloque para un solo ejercicio sería fingir un hueco que no existe.

ejemploLeer la definición de límite en un caso concreto
Leer una definición con cuantificadores en un caso concreto, que es lo que este ejercicio pide con otras tres.
examenDos parámetros que salen del supremo, del ínfimo y de un salto
De 2018-2019, el único de sucesiones de las once. Dos parámetros que salen de aplicar tres definiciones.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Leer la definición de límite en un caso concreto

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para la sucesión $a_n = \dfrac{1}{n}$ , que converge a $0$ , encontrar un $m$ que sirva en la definición de límite cuando $\varepsilon = 0{,}01$ .

El menor m natural a partir del cual todos los términos distan de 0 menos de 0,01.

01
Reconocer el camino
COMP1
En la definición de límite, ¿quién elige primero, $\varepsilon$ o $m$ ?
02
La desigualdad que hay que resolver
COMP2
$\left|a_n - 0\right| < 0{,}01$ es $\dfrac{1}{n} < 0{,}01$ . ¿A partir de qué valor de $n$ se cumple? Da el menor natural que la cumple.
Tu respuesta al paso 2un número natural — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Y con un margen diez veces menor
COMP2
Si ahora te piden $\varepsilon = 0{,}001$ , ¿cuál es el menor $n$ que sirve?
Tu respuesta al paso 3un número natural — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta formal. Una pieza no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sea $\varepsilon > 0$ cualquiera.
2. $\left|a_n - 0\right| = \frac1n$ , porque todos los términos son positivos.
3. $\frac1n < \varepsilon$ equivale a $n > \frac{1}{\varepsilon}$ .
4. Basta tomar $m$ como el primer natural mayor que $\frac{1}{\varepsilon}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que distingas supremo de máximo y sepas escribir la definición entera, con su «para todo» y su «existe».

lo tienes cuando:

Que escribas los dos teoremas con sus hipótesis completas y su demostración, de memoria y en orden. Y que sepas por qué Rolle y Lagrange son el mismo teorema, porque una demostración sale de la otra en dos líneas.

La ecuación diferencial, que tampoco falta ni un año

once de once — no falta ni un año4 escalones

Cae 11 de 11 años

«Resolver la EDO», «clasificar y resolver», «hallar la solución que cumple». A veces con el factor integrante dado, a veces con la forma del factor y hay que encontrarlo.

Once ejercicios en once convocatorias. Junto con complejos, es el único hueco de toda la asignatura que cae los once años, y aquí manda todavía más: en el segundo cuatrimestral, con solo cuatro huecos, la EDO ocupa uno fijo. Seis de los once son exactas o llevan factor integrante — la familia que más cae, con diferencia.

Clasificar, que decide todo lo demás

Mirar una EDO de primer orden y decir a qué familia pertenece antes de intentar resolverla, comprobando la condición que define cada una.

leerLo primero es clasificar, y eso decide todo

Las cuatro familias, con la comprobación de cada una. El orden en que se prueban importa: exacta antes que lineal ahorra trabajo.

ejemploClasificar antes de resolver
Cuatro ecuaciones y ninguna que resolver. Exactamente el apartado a) que piden dos extraordinarias.
examenTres ecuaciones, tres etiquetas, y solo una que resolver
De 2023-2024. Tres ecuaciones, tres etiquetas, y solo una que resolver.
examenTres ecuaciones, y hay que decir cuál es cuál antes de resolver
De 2021-2022, el mismo formato dos años antes. Los dos juntos dejan claro que no es casualidad.
examenUna ecuación con una raíz dentro, y el cambio que la deshace
De 2024-2025, y es el caso «homogénea» del árbol: la raíz de dentro asusta, pero el cambio $y=vx$ la deshace entera.
examenDos ecuaciones diferenciales de una tacada
De 2013-2014. Dos ecuaciones seguidas y de familias distintas: clasificar mal la primera cuesta las dos.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Clasificar antes de resolver

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Clasificar estas cuatro ecuaciones diferenciales y decir qué método resuelve cada una:

a) $y' = \dfrac{y}{x} - \dfrac{x}{y}$ b) $y' - 2y = x$ c) $2xy\,dx + (x^{2}+3y^{2})\,dy = 0$ d) $y' = -xe^{y}$

El tipo de cada EDO y su método.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué se clasifica antes de intentar resolver?
02
La comprobación de exactitud
COMP2
Para la c), con $P = 2xy$ y $Q = x^{2}+3y^{2}$ , ¿cuánto vale $\partial P/\partial y$ en el punto $(2,1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la clasificación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Todo depende de $y/x$ , luego es homogénea: cambio $u=y/x$ .
2. b) Tiene la forma $y^{\prime}+p(x)y=q(x)$ con $p=-2$ , luego es lineal.
3. c) $P_y = Q_x = 2x$ , luego es exacta: se busca el potencial.
4. d) Se separa como $e^{-y}dy = -x\,dx$ , luego es separable.

Resolución completa

Las cuatro casillas del árbol, una por ecuación. Es el ejercicio de COMP1 del tema.

	ecuación	tipo	método
a)	$y' = \frac{y}{x}-\frac{x}{y}$	homogénea	cambio $u = y/x$
b)	$y' - 2y = x$	lineal	factor $\mu = e^{-2x}$
c)	$2xy\,dx+(x^{2}+3y^{2})dy = 0$	exacta	busca el potencial $F$
d)	$y' = -xe^{y}$	separable	$e^{-y}dy = -x\,dx$

Cómo se reconoce cada una en dos segundos:

a) Todos los términos dependen del cociente $y/x$ . Y no es separable, aunque lo parezca: las dos variables están enredadas en los dos sumandos.
b) Está literalmente en la forma $y' + p(x)y = q(x)$ , con $p=-2$ y $q=x$ .
c) Viene escrita como $P\,dx + Q\,dy = 0$ , que es la forma en que se presentan las exactas. Se comprueba $P_y = Q_x = 2x$ . ✓
d) La $x$ y la $y$ aparecen en factores separados, así que basta pasar la exponencial dividiendo.

El orden del árbol importa. La b) también podría atacarse como separable si $q$ fuera cero, y la c) es a la vez exacta y no separable. La regla es recorrer el árbol de arriba abajo y parar en el primer sí, porque los métodos de arriba son más baratos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante tres ecuaciones sepas decir cuál es cuál sin resolver ninguna. Dos de las once convocatorias piden literalmente eso, y es la mitad de los puntos.

Exactas, y el factor integrante que las hace exactas

Comprobar si una ecuación es exacta, hallar el potencial, y encontrar el factor integrante cuando no lo es — incluidos los casos en que el enunciado solo da su forma.

leerExactas, y el factor integrante

Con los dos casos estándar —factor que depende solo de $x$ y factor que depende solo de $y$ — y la comprobación que los detecta.

ejemploLa primera EDO, separando variables
La más simple de todas, para tener el mecanismo de integrar los dos lados antes de complicarlo.
examenComprobar un factor integrante y resolver con él
De 2015-2016, con el factor dado: solo hay que comprobarlo y usarlo.
examenUn factor integrante que hay que buscar, y un cadáver
De 2012-2013, y sube el listón: da la forma $x^{n}y^{m}$ y hay que hallar los exponentes. Trae además un problema de enfriamiento.
examenEl factor que convierte una EDO cualquiera en una exacta
De 2017-2018, y es el molde: comprobar que no es exacta, buscar el factor, y comprobar que con él sí lo es.
examenLa lineal cuyo factor integrante es x al cuadrado
De 2016-2017, y enseña que las dos rutas llegan al mismo sitio: el factor integrante de una lineal es el de la fórmula de siempre.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La primera EDO, separando variables

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la ecuación diferencial $y' = 2xy$ con la condición inicial $y(0)=5$ .

La solución particular que cumple la condición inicial.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tipo de EDO es $y' = 2xy$ ?
02
La constante de la condición inicial
COMP2
La solución general es $y = Ke^{x^{2}}$ . Con $y(0)=5$ , ¿cuánto vale $K$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se separan las variables: $\frac{dy}{y} = 2x\,dx$ .
2. Integrando los dos lados: $\ln|y| = x^{2} + C$ .
3. Despejando, $y = Ke^{x^{2}}$ , donde $K = e^{C}$ es una constante nueva.
4. Con $y(0)=5$ sale $K=5$ , luego $y = 5e^{x^{2}}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante «utilizar un factor integrante de la forma $x^{n}y^{m}$ » sepas plantear las ecuaciones que determinan $n$ y $m$ , y no solo comprobar uno que te den hecho.

Segundo orden, y la resonancia que decide el ejercicio

Resolver una ecuación de segundo orden con coeficientes constantes, y detectar cuándo el segundo miembro ya es solución de la homogénea.

leerSegundo orden: dos piezas que se suman

De ahí sale el factor $t^{k}$ que parece arbitrario: sin él la propuesta se anula al sustituir y no queda nada que igualar.

ejemploLa particular, cuando el segundo miembro no resuena
Primero sin resonancia, que es el caso normal. La resonancia es lo que pasa cuando esta propuesta se anula sola.
prácticaCuando la particular ya está en la homogénea
El caso limpio, para ver por qué la propuesta de siempre falla.
examenLa EDO cuyo segundo miembro ya era solución
De 2018-2019, y es la resonancia en su forma más pura: el segundo miembro era la solución de la homogénea.
examenDos segundos miembros, y solo uno resuena
De 2022-2023, y es el que hay que saber hacer: dos partes, una resuena y la otra no, y confundirlas cuesta el ejercicio.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La particular, cuando el segundo miembro no resuena

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar una solución particular de $y'' - y = 3e^{2x}$ .

Una solución particular de la ecuación completa.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué se puede proponer $y_p = A e^{2x}$ sin multiplicar por $x$ ?
02
El coeficiente de la particular
COMP2
Sustituyendo $y_p = A e^{2x}$ en $y''-y = 3e^{2x}$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La característica es $r^{2}-1=0$ , con raíces $r=\pm1$ .
2. El exponente del segundo miembro es 2, que no está entre las raíces: no hay resonancia.
3. Se propone $y_p = Ae^{2x}$ y se sustituye, saliendo $3A=3$ , o sea $A=1$ .
4. La solución completa es $y = C_1e^{x}+C_2e^{-x}+e^{2x}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que compares el segundo miembro con las raíces de la característica antes de proponer la particular, y que si el segundo miembro tiene dos partes las trates por separado: puede resonar una y la otra no.

Cuando la ecuación hay que escribirla tú

Convertir un enunciado en palabras —un embalse, un cadáver, una población— en una ecuación diferencial con su condición inicial.

leerTraducir un enunciado en una ecuación

Las tres traducciones que caen: proporcional a lo que hay, proporcional a lo que falta, y proporcional al producto.

prácticaEl paracaidista y su velocidad límite
Del boletín, y es la traducción de entrada: dos fuerzas en contra, y la velocidad límite sale de la ecuación sin resolverla.
examenEl embalse que se llena y se evapora a la vez
De 2020-2021, y es el caso de dos efectos: entra caudal y se evapora una parte de lo que hay. La ecuación es una sola.

Lo tienes cuando

Que sepas decir qué es la derivada en cada enunciado antes de escribir nada, y que dos efectos a la vez —lo que entra y lo que se evapora— los sumes con su signo en vez de plantear dos ecuaciones.

lo tienes cuando:

Que clasifiques cualquier EDO de primer orden en menos de un minuto —separable, homogénea, exacta, lineal— y que ante una exacta sepas hallar el potencial sin dudar del orden de los pasos.

Laplace, y casi siempre un sistema

10 de 11 — y casi siempre un sistema4 escalones

Cae 10 de 11 años

«Utilizando la transformada de Laplace, resolver». Un sistema de dos ecuaciones, una ecuación con la incógnita dentro de una integral, o una con el segundo miembro definido a trozos.

Diez ejercicios en diez de las once convocatorias — solo falta en 2013-2014. Y no cae de cualquier manera: cinco de los diez son sistemas de dos ecuaciones acopladas, que es justo lo que los métodos del tema 9 no alcanzan. Tres más son ecuaciones con una integral dentro. Saber la tabla no basta; hay que saber para qué compensa el rodeo.

La ida y la vuelta, que es todo el método

Transformar una ecuación con sus condiciones iniciales, despejar $Y\left(s\right)$ , y volver descomponiendo en fracciones simples.

leerVolver: la inversa por fracciones simples

La vuelta es donde se atasca todo el mundo, y el apartado está escrito alrededor de eso.

ejemploVolver, descomponiendo en fracciones simples
Solo la vuelta, sin ecuación. Para separar las dos dificultades.
examenLa misma antitransformada por dos caminos
De 2012-2013. Pide la misma antitransformada de dos formas distintas: traslación y convolución.
examenLaplace con un cinco a la derecha
De 2020-2021, y el más directo de los diez: transformar, despejar, volver.
examenUna ecuación con la t delante, y una recta por respuesta
De 2024-2025, y es el caso que rompe el automatismo: la $t$ que multiplica convierte la transformada en una derivada, así que la ecuación algebraica que sale es de primer orden.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Volver, descomponiendo en fracciones simples

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la transformada inversa de $F(s) = \dfrac{3s}{s^{2}-s-6}$ .

La función f(t) cuya transformada es F(s).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el primer paso para antitransformar un cociente de polinomios?
02
La raíz positiva del denominador
COMP2
¿Cuál es la raíz positiva de $s^{2}-s-6=0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de la primera fracción
COMP2
En $\dfrac{3s}{(s-3)(s+2)} = \dfrac{A}{s-3}+\dfrac{B}{s+2}$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (9/5) o con un decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El denominador factoriza como $(s-3)(s+2)$ .
2. Se descompone en $\frac{9/5}{s-3}+\frac{6/5}{s+2}$ .
3. Cada trozo se reconoce en la tabla como una exponencial.
4. Luego $f(t) = \frac{9}{5}e^{3t}+\frac{6}{5}e^{-2t}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que la vuelta no te frene. Descomponer en fracciones simples con polos simples se hace evaluando en cada raíz, y con polos dobles aparece un factor $t$ : esos dos casos cubren casi todo lo que cae.

El sistema de dos ecuaciones, que es lo que más cae

Resolver un sistema de dos EDOs acopladas con Laplace: transformar las dos, resolver el sistema algebraico en $s$ , y antitransformar cada incógnita.

leerPara qué compensa de verdad

La lista de casos en que Laplace gana, y el sistema acoplado es el primero de ellos.

prácticaUn sistema de dos EDOs, resuelto con Laplace
Del boletín, el caso limpio. Hacerlo antes que los de examen ahorra la mitad del tiempo.
examenUn sistema acoplado que sale en espiral
De 2018-2019. Las raíces salen complejas y la solución gira: hay que saber leer eso en el resultado.
examenUn sistema cruzado donde una incógnita sale sola
De 2016-2017, y es por donde conviene empezar: el sistema está cruzado pero una de las dos incógnitas sale sola.
examenUn sistema acoplado cuya respuesta es la más simple posible
De 2017-2018, y el resultado es el aviso: después de todo el aparato, la respuesta es lo más simple posible. Si sale complicada, hay una cuenta mal.
examenDos ecuaciones que se persiguen, resueltas de un tirón
De 2021-2022. Dos ecuaciones que se persiguen, resueltas de un tirón.

Lo tienes cuando

Que sepas cuándo una de las dos incógnitas sale sola —pasa en tres de los cinco sistemas— y que no resuelvas el sistema entero por costumbre cuando basta con eliminar una.

Cuando la incógnita está dentro de una integral

Reconocer una ecuación integral o íntegro-diferencial, transformarla usando que $\int_{0}^{t}$ divide entre $s$ , y volver.

leerEl rodeo, que es la idea entera

La idea de por qué el rodeo funciona: derivar e integrar se convierten en multiplicar y dividir, y eso es lo que hace que estas ecuaciones se vuelvan álgebra.

prácticaUna ecuación integral, y la convolución
Del boletín, con la convolución explícita.
examenUna ecuación con la incógnita dentro de la integral
De 2015-2016, y el mismo problema volvió a caer en la extraordinaria de 2022-2023: dos de once, palabra por palabra.
examenUna ecuación con la incógnita dentro de una integral
De 2022-2023, el gemelo del anterior. Vale la pena hacerlos seguidos y ver que son el mismo.

Lo tienes cuando

Que no confundas las dos reglas: derivar multiplica por $s$ e integrar divide entre $s$ . Y que reconozcas una convolución cuando el integrando lleva $t-u$ dentro.

La fuerza que no existe hasta el segundo tres

Escribir con escalones un segundo miembro que se enciende tarde, y antitransformar el retraso que eso produce.

leerEl escalón, que es como se escribe «a partir de»

El apartado explica por qué hay que escribir la función retrasada en función de $t-3$ antes de transformar, que es el paso donde se pierde el ejercicio.

ejemploEscribir con el escalón una función que empieza tarde
El escalón y el retraso, por separado, antes de meterlos en una ecuación.
examenUna fuerza que no existe hasta el segundo tres
De 2023-2024, y es el único de las once extraordinarias con escalón. En la ordinaria cae más: si preparas las dos, este escalón te sirve para los dos exámenes.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Escribir con el escalón una función que empieza tarde

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Escribir con la función escalón, y transformar,

f(t)= \begin{cases} 0 & t<3\\ \left(t-3\right)^{2} & t\ge3 \end{cases}

La función en una sola fórmula, y su transformada.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Para qué sirve multiplicar por $u(t-3)$ ?
02
El retraso
COMP2
La transformada es $e^{-as}\cdot\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ . ¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El numerador
COMP2
En $e^{-3s}\cdot\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ con $n=2$ , ¿cuánto vale el numerador $n!$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La función vale cero hasta $t=3$ , así que se escribe multiplicando por el escalón: $f(t)=\left(t-3\right)^{2}u(t-3)$ .
2. Tiene exactamente la forma $g(t-a)\,u(t-a)$ con $g(t)=t^{2}$ y $a=3$ , así que se le puede aplicar la traslación en $t$ .
3. Como $\mathcal{L}\{t^{2}\}=2/s^{3}$ , la transformada es $e^{-3s}\cdot 2/s^{3}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que sepas que $u(t-3)f(t-3)$ no es $u(t-3)f(t)$ , y que al volver arrastres el retraso hasta la respuesta en vez de perderlo por el camino.

lo tienes cuando:

Que ante un sistema de dos EDOs acopladas transformes las dos, despejes una incógnita del sistema algebraico y antitransformes, sin perder las condiciones iniciales por el camino. Y que reconozcas una convolución cuando la veas escrita como integral.

El sólido, su volumen y su centro de gravedad

9 de 11 — con un patrón que ahorra medio bloque2 escalones

Cae 9 de 11 años

«Calcular el volumen del sólido definido por las condiciones», y muy a menudo «y su centro de gravedad». Con dos superficies que se cortan.

Nueve ejercicios en nueve de las once convocatorias, y hay un patrón que ahorra medio bloque: cuatro de los nueve son un cilindro dentro de una esfera y tres más son un paraboloide con una tapa. Cambian los números, no el procedimiento. Y en cinco de los nueve se pide además el centro de gravedad, que es una integral más con el mismo recinto.

Qué coordenadas elegir, y el jacobiano que traen

Decidir entre cartesianas, cilíndricas y esféricas mirando la forma del sólido, y escribir el jacobiano correspondiente sin consultarlo.

leerIntegrales triples, y qué coordenadas elegir

Con la regla de decisión y los tres jacobianos, que son lo que hay que llevar de memoria.

ejemploLa primera integral en polares, y el jacobiano
La primera en polares, con el jacobiano a la vista. En tres dimensiones es lo mismo con una variable más.
prácticaEl mismo sólido, en cilíndricas y en esféricas
Del boletín: el mismo sólido en los dos sistemas, para ver cuál deja la integral más corta.
examenEl cilindro dentro de la esfera, y dónde está su centro
De 2020-2021, y el mismo sólido cayó en 2016-2017. Cuatro de las nueve convocatorias piden esta figura.
examenEl semicírculo, y la integral que solo sale en polares
De 2015-2016, y es el que enseña el criterio: en cartesianas la integral no sale en ninguno de los dos órdenes, y en polares sí.
examenUn cilindro con el fondo abollado, y una densidad que no es constante
De 2022-2023, y sube un peldaño: el fondo está abollado y la densidad no es constante, así que la triple no se puede separar.
examenUn cilindro dentro de una esfera, y dónde está su centro
De 2016-2017, y el mismo sólido volvió en 2020-2021. Cilíndricas, y el centro sale por simetría antes de integrar.
examenUn cilindro dentro de una esfera, esta vez con parámetro
De 2013-2014, y el cilindro dentro de la esfera con el radio sin fijar: el resultado sale en función del parámetro, que es la variante incómoda.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La primera integral en polares, y el jacobiano

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el área del círculo de radio 3 centrado en el origen mediante una integral doble en coordenadas polares.

El área del círculo, calculada con la integral.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al cambiar a polares, ¿en qué se convierte el diferencial de área?
02
La integral en el radio
COMP2
¿Cuánto vale $\int_{0}^{3}\rho\,d\rho$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (9/2) o con un decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área total
COMP2
Multiplicando por la integral en el ángulo, $\int_0^{2\pi}d\theta = 2\pi$ , ¿cuánto vale el área?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (9pi) o con tres decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En polares el círculo de radio 3 es el rectángulo $\rho\in[0,3]$ , $\theta\in[0,2\pi]$ .
2. El área es $\iint dA$ , y en polares $dA = \rho\,d\rho\,d\theta$ .
3. La integral se separa porque los límites son constantes y el integrando también.
4. Sale $(9/2)(2\pi) = 9\pi$ , que coincide con $\pi R^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante un sólido de revolución escribas cilíndricas por defecto, y que solo pases a esféricas cuando la esfera manda en los dos límites. El jacobiano mal puesto invalida la integral entera.

El centro de gravedad, que es la misma integral con un factor

Calcular el centro de gravedad de un sólido, usando la simetría para no calcular las coordenadas que ya se saben.

leerPara qué sirve todo esto

Masa, centro de gravedad y momento de inercia son la misma integral con distinta función dentro, y verlo así ahorra memorizar tres fórmulas.

prácticaEl centro de gravedad de un cuarto de elipse
En el plano, que es donde se entiende. En el espacio es igual con una integral más.
examenUn paraboloide con tapa de cono, y dónde está su centro
De 2017-2018. Volumen y centro de gravedad del mismo sólido, que es el formato más frecuente.
examenEl cuenco rematado en punta, y su centro de gravedad
De 2023-2024, la misma figura con otros números. Si has hecho el anterior, este sale en la mitad de tiempo.

Lo tienes cuando

Que digas «por simetría, $\overline{x}=\overline{y}=0$ » y lo justifiques en una línea antes de calcular la única coordenada que falta. Y que compruebes que el resultado cae dentro del sólido.

lo tienes cuando:

Que ante dos superficies escribas la altura del corte y el radio en tres líneas, elijas cilíndricas sin dudar, y sepas que el centro de gravedad son las mismas integrales con un factor más — no un problema nuevo.

El gradiente, que aquí viene siempre en un enunciado en palabras

3 de 11 — siempre contado en palabras2 escalones

Cae 3 de 11 años

«Hacia dónde nadar para calentarse», «cuál de los seis mapas es el tuyo», «el gradiente y un tope del diez por ciento».

Tres de las once, y las tres veces el enunciado está en lenguaje del mundo, no de matemáticas: un nadador, un autobús, un mapa. Va aquí, justo antes de las integrales de línea, porque el gradiente es lo que convierte un campo en conservativo y las dos cosas se preguntan seguidas.

Hacia dónde, cuánto, y en qué dirección no cambia

Contestar las tres preguntas que el gradiente responde: la dirección de máximo crecimiento, cuánto crece en ella, y por dónde no cambia.

leerEl gradiente contesta las tres preguntas

Las tres preguntas, en el orden en que el examen las hace.

ejemploEl gradiente contesta tres preguntas de golpe
Las tres preguntas del gradiente, sin decorado.
prácticaHacia dónde nadar para calentarse
Es el mismo enunciado del examen de 2017-2018, y aquí lo tienes sin reloj.
prácticaDos ritmos de cambio, y las tres preguntas del gradiente
examenHacia dónde nadar para calentarse
De 2017-2018, y es la traducción más directa de las tres: la temperatura sube más deprisa en la dirección del gradiente.
examenEl autobús, el gradiente y un tope del diez por ciento
De 2013-2014, y añade una restricción que no es matemática: la pendiente no puede pasar del diez por ciento.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El gradiente contesta tres preguntas de golpe

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(x,y) = x^{2} + y^{2}$ , y el punto $P(3,4)$ . Calcular el gradiente en $P$ , la velocidad máxima de cambio, y una dirección en la que la función no cambie.

El gradiente, su módulo y una dirección de cambio nulo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dirección indica el vector gradiente en un punto?
02
El módulo del gradiente
COMP2
Con $\nabla f(3,4) = (6,8)$ , ¿cuánto vale la velocidad máxima de cambio en $P$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f_x = 2x$ y $f_y = 2y$ , luego $\nabla f(3,4) = (6,8)$ .
2. La velocidad máxima de cambio es $\lVert\nabla f\rVert = 10$ .
3. Una dirección de cambio nulo es la perpendicular: $(-8,6)$ , o su opuesta $(8,-6)$ .
4. Esa perpendicular es tangente a la curva de nivel, que aquí es la circunferencia $x^{2}+y^{2}=25$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que traduzcas el enunciado antes de derivar: «nadar para calentarse» es $+\nabla T$ , «bajar deprisa» es $-\nabla f$ , y «sin cambiar de altura» es la perpendicular al gradiente.

Leer un mapa de curvas de nivel

Identificar qué función corresponde a un mapa de curvas de nivel, y deducir el gradiente a partir de datos en vez de derivar.

leerY al revés: deducir el gradiente a partir de datos

Dos derivadas direccionales son dos ecuaciones, y el gradiente son dos incógnitas. De ahí sale.

ejemploLa curva de nivel que pasa por un punto
Una sola curva de nivel, antes de elegir entre seis mapas.
prácticaUn vector unitario perpendicular a la curva de nivel
prácticaDeducir el gradiente a partir de dos direccionales
Deducir el gradiente a partir de dos derivadas direccionales, que es la forma en que el examen da los datos cuando no da la fórmula.
examenSeis mapas de nivel, y dos números para elegir el tuyo
De 2018-2019, y es el ejercicio que junta las dos mitades: seis mapas para elegir, y dos derivadas direccionales para decidir.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La curva de nivel que pasa por un punto

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para $f(x,y) = x^{2} + y$ , encontrar la ecuación de la curva de nivel que pasa por el punto $P(-1,1)$ .

La ecuación de la curva de nivel por P.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es una curva de nivel de $f(x,y)$ ?
02
El valor de la constante
COMP2
¿Cuánto vale $k = f(-1,1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se evalúa la función en el punto, y sale $k = 2$ .
2. La curva de nivel es $x^{2} + y = 2$ .
3. Despejada, es la parábola $y = 2 - x^{2}$ : una parábola hacia abajo.
4. Es una ecuación en $x$ e $y$ sin $z$ , porque vive en el plano del mapa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que sepas leer en el espaciado de las curvas si la pendiente crece o se suaviza, y que uses dos derivadas direccionales para reconstruir el gradiente entero.

lo tienes cuando:

Que ante «hacia dónde» respondas con el gradiente y ante «cuánto sube» con su módulo, y que sepas leer un mapa de curvas de nivel al derecho —de la función al dibujo— y al revés.

La integral de línea, y el atajo que casi siempre existe

8 de 11 — casi siempre hay atajo3 escalones

Cae 8 de 11 años

«Calcular la integral de línea», «calcular el trabajo», «de dos formas distintas». Con una curva cerrada, o con un campo del que hay que decidir si es conservativo.

Ocho ejercicios en ocho de las once convocatorias, y el enunciado casi siempre esconde un atajo: o el campo es conservativo y solo importan los extremos, o la curva es cerrada y Green convierte la integral de línea en una integral doble. Tres de los ocho piden explícitamente «de dos formas distintas», que es el examen diciendo en voz alta que el atajo existe y que quiere verlo.

Lo primero: ¿es conservativo?

Comprobar si un campo deriva de un potencial, encontrarlo cuando lo hace, y usarlo para que la integral dependa solo de los extremos.

leerEl atajo grande: campos conservativos

Con la comprobación, la construcción del potencial y la advertencia del dominio, que es la que decide dos de los ocho ejercicios.

ejemploUn trabajo calculado a pelo, sin ningún atajo
Y el caso sin ningún atajo, para ver qué es lo que el atajo se ahorra: dos integrales y una parametrización.
ejemploComprobar si un campo es conservativo
Solo la comprobación, sin integrar nada. Es el escalón de entrada.
prácticaTres curvas, y el atajo que las contesta todas
Del boletín. Tres curvas distintas entre los mismos puntos, y una sola cuenta.
prácticaUn campo conservativo con una componente sin conocer
Del boletín, y es la comprobación usada al revés: se impone que el campo sea conservativo y de ahí sale la componente que falta.
examenUn campo en el espacio que no depende del camino
De 2018-2019, y es el mismo atajo con una dimensión más: en el espacio hay tres condiciones que comprobar, no una.
examenDos caminos entre los mismos puntos, y cuál da más trabajo
De 2024-2025, y el que enseña lo contrario: cuando el campo no es conservativo, el camino sí importa.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un trabajo calculado a pelo, sin ningún atajo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el trabajo del campo $\vec F = (y,\;x^{2})$ a lo largo del segmento que va de $(0,0)$ a $(1,1)$ .

El valor del trabajo sobre ese segmento.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué aquí hay que parametrizar, y no vale ningún atajo?
02
El trabajo
COMP2
Con $\vec r(t) = (t,t)$ para $t\in[0,1]$ , ¿cuánto vale el trabajo? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (5/6), o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $P_y = 1$ y $Q_x = 2x$ no coinciden, así que el campo no es conservativo.
2. La curva no es cerrada, así que Green tampoco vale: hay que parametrizar.
3. Con $\vec r(t)=(t,t)$ y $t\in[0,1]$ se recorre de $(0,0)$ a $(1,1)$ .
4. Sustituyendo, la integral queda $\int_0^1 (t+t^{2})\,dt = \frac56$ .

Resolución completa

Primero las dos comprobaciones, que son gratis y a veces ahorran el ejercicio entero:

pregunta	aquí
¿es conservativo?	$P_y = 1$ , $Q_x = 2x$ → no
¿es cerrada la curva?	va de $(0,0)$ a $(1,1)$ → no

Fallan las dos, así que toca la definición: parametrizar y sustituir.

La parametrización. El segmento de $(0,0)$ a $(1,1)$ es $\vec r(t) = (t,t)$ con $t\in[0,1]$ — y conviene comprobar el sentido: en $t=0$ sale el origen y en $t=1$ el punto de llegada ✓

dx = dt, \qquad dy = dt

Sustituyendo, con $y = t$ y $x^{2} = t^{2}$ :

W = \int_0^{1} t\,dt + \int_0^{1} t^{2}\,dt = \left[\frac{t^{2}}{2}\right]_0^1 + \left[\frac{t^{3}}{3}\right]_0^1 = \frac12 + \frac13

\boxed{\;W = \frac56 \approx 0{,}8333\;}

Para qué sirve haber hecho este. Es el caso sin atajo, y por eso es la referencia: cuando en un ejercicio de examen el campo sí sea conservativo, lo que te ahorras es exactamente este trabajo — dos integrales y una parametrización — y se sustituye por restar el potencial en dos puntos. Verlo una vez a pelo es lo que hace que el atajo signifique algo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Comprobar si un campo es conservativo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Determinar cuál de estos dos campos es conservativo:

\vec V = (2xy,\; x^{2}) \qquad\text{y}\qquad \vec W = (y,\; 2x)

Cuál de los dos campos es conservativo, y por qué.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué igualdad hay que comprobar para saber si $(P,Q)$ es conservativo en el plano?
02
La derivada cruzada del primero
COMP2
Para $\vec V = (2xy,\,x^{2})$ , ¿cuánto vale $\partial P/\partial y$ ? Evalúalo en $x = 3$ .
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Para $\vec V$ : $P_y = 2x$ y $Q_x = 2x$ , coinciden, luego es conservativo.
2. Su potencial es $F = x^{2}y$ , y en efecto $\nabla F = (2xy,\,x^{2})$ .
3. Para $\vec W$ : $P_y = 1$ y $Q_x = 2$ , no coinciden.
4. Luego $\vec W$ no es conservativo, y su integral sí depende del camino.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que la comprobación sea automática y que no te saltes la hipótesis del dominio: un campo puede cumplir $P_{y}=Q_{x}$ y no ser conservativo si el recinto tiene un agujero.

Green, y cuándo no se puede aplicar

Convertir una integral sobre una curva cerrada en una integral doble, y reconocer las dos situaciones en que el teorema no vale: una singularidad dentro, o una curva que no es simple.

leerGreen: cuando la curva se cierra

Con las hipótesis escritas aparte, porque son ellas y no la fórmula lo que estos ejercicios evalúan.

prácticaLa curva cerrada donde Green no vale
Del boletín, y va directo al caso difícil.
examenEl agujero de un punto que rompe el teorema de Green
De 2015-2016. Rotacional nulo, singularidad dentro, y el resultado es $2\pi$ : no cero.
examenGreen entre dos parábolas, y la misma cuenta por el camino largo
De 2020-2021, y es el que conviene hacer entero: pide la misma cuenta por Green y por el camino largo, así que la comprobación va incluida.
examenUn campo con dos rectas prohibidas
De 2012-2013, y es el más incómodo de los ocho: aplicar Green a lo bruto da el resultado correcto por casualidad, y hay que explicar por qué eso no lo valida.

Lo tienes cuando

Que ante un campo irrotacional con una singularidad dentro no escribas «cero» automáticamente. Es la trampa que dos de los ocho ejercicios ponen a propósito, y cae casi todo el mundo.

La curva de la que no se dice nada, y el área que sí

Calcular una integral de línea sobre una curva cerrada de la que solo sabes el área que encierra, usando Green al revés.

leerGreen: cuando la curva se cierra

El caso concreto es que $Q_x - P_y$ salga constante: entonces la doble es esa constante por el área, y la curva no hace falta.

ejemploComprobar si un campo es conservativo
La comprobación de diez segundos: si el campo fuera conservativo, la integral sobre una curva cerrada valdría cero y no haría falta Green.
ejemploGreen en un triángulo, con el integrando constante
Green con el integrando constante y la curva conocida. El truco de los tres años es este mismo con la curva escondida.
prácticaGreen al revés, con el área como dato
Del boletín, y es exactamente este truco con números pequeños. Hazlo primero y los tres de examen son el mismo ejercicio.
examenEl área de diez, por tercera vez
De 2016-2017. El nombre del ejercicio no exagera: el mismo enunciado, con el mismo diez, cayó tres veces.
examenLa curva de la que no se dice nada, y el área que lo resuelve
De 2021-2022, la segunda vez.
examenUna curva que no te dan, y un área que sí
De 2023-2024, la tercera. Tres de once años con el mismo truco es el hueco más rentable de todo el segundo cuatrimestral.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Green en un triángulo, con el integrando constante

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular $\displaystyle\oint_C (-y)\,dx + x\,dy$ , donde $C$ es el borde del triángulo de vértices $(0,0)$ , $(4,0)$ y $(0,3)$ , recorrido en sentido antihorario.

El valor de la integral sobre el contorno cerrado.

01
Reconocer el camino
COMP1
El borde son tres segmentos. ¿Qué hace Green con ellos?
02
El integrando de la doble
COMP2
Con $P = -y$ y $Q = x$ , ¿cuánto vale $Q_x - P_y$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La curva es cerrada y va en sentido antihorario: Green se puede aplicar.
2. $Q_x - P_y = 1-(-1) = 2$ , constante en todo el plano.
3. Luego $\oint_C = \iint_D 2\,dA = 2\cdot\text{área}(D)$ .
4. El triángulo tiene área $\frac{4\cdot3}{2}=6$ , así que la integral vale 12.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.13 · Problemas complementarios, tema 8 · Cálculo, UPV/EHU (2017/2018 5E)

Green al revés, con el área como dato

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el trabajo realizado por el campo vectorial $V = (-3y,\;6x)$ desde el punto $A=(-1,0)$ al punto $B=(1,0)$ a lo largo de la trayectoria $L_1$ , sabiendo que el área sombreada de la figura vale $S = 10$ y que $L_1$ junto con el segmento de $B$ a $A$ encierra dicha área en sentido positivo.

El trabajo a lo largo de la trayectoria L1.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado da el área y pide un trabajo sobre una curva que ni siquiera describe. ¿Qué está sugiriendo?
02
El integrando de Green
COMP2
Con $P=-3y$ y $Q=6x$ , ¿cuánto vale $Q_x - P_y$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El trabajo sobre la curva abierta
COMP2
La integral cerrada vale $9\cdot 10 = 90$ , y el trabajo por el segmento de vuelta de $B$ a $A$ vale $12$ . ¿Cuánto vale el trabajo sobre $L_1$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El campo no es conservativo ( $P_y=-3 \neq 6=Q_x$ ), así que el camino importa.
2. Se cierra la curva con el segmento de $B$ a $A$ para poder aplicar Green.
3. Green da $\oint = \iint 9\,dA = 9S = 90$ , porque el integrando es constante.
4. Restando el trabajo del segmento de vuelta queda $\int_{L_1} = 78$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que al ver «una curva cerrada cualquiera que encierra un área de diez» no busques su ecuación: sepas que Green convierte la línea en una doble y que esa doble es el diez.

lo tienes cuando:

Que antes de parametrizar nada compruebes si el campo es conservativo, y que ante una curva cerrada mires si Green se puede aplicar — y sepas decir por qué no cuando no se puede, que es el caso que más puntos de COMP 4 reparte.

Fourier, con su ampliación y su suma de regalo

6 de 11 — el más irregular del segundo2 escalones

Cae 6 de 11 años

«Obtener la ampliación par o impar», «dibujar la función ampliada», «calcular la serie», «calcular los valores de $S$ y de $f$ en estos puntos», «calcular la suma de la serie». Cinco apartados encadenados.

Seis ejercicios en seis de las once convocatorias — el hueco más irregular del segundo cuatrimestral, pero el que más puntos da por hora estudiada cuando cae, porque los cinco apartados son siempre los mismos cinco. Y el último, la suma de una serie numérica, sale gratis del anterior: cuatro de los seis terminan en la serie de Leibniz o una pariente.

La paridad primero, y luego los coeficientes

Decidir la paridad de la función ampliada antes de integrar, y con eso anular la mitad de los coeficientes sin hacer ninguna cuenta.

leerMirar la paridad antes de integrar

Es el primer apartado del tema por la misma razón por la que es el primer paso del ejercicio: ahorra la mitad del trabajo.

ejemploLa paridad, que ahorra la mitad del trabajo
Dos funciones, dos casos opuestos, y ninguna integral.
prácticaLa ampliación impar, y el signo de la suma
Del boletín, y el caso que más cae: una recta ampliada de forma impar.
examenLa rampa, su espectro y la serie de Leibniz
De 2017-2018, y trae los cinco apartados completos, con Leibniz al final.
examenUna rampa desplazada hacia abajo, ampliada par
De 2022-2023, y el desplazamiento es la única diferencia con la rampa de siempre: la constante se va entera al coeficiente $a_0$ .
examenUna rampa que solo ocupa media onda, y la suma que sale del origen
De 2021-2022, y el detalle que se olvida: la mitad del periodo la función vale cero, pero esa mitad también hay que integrarla.
examenUna rampa ampliada de forma impar
Del examen global de mayo-junio de 2020, con los cinco apartados enteros y la serie de Leibniz al final, con el signo cambiado.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La paridad, que ahorra la mitad del trabajo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Decidir, sin calcular ninguna integral, qué coeficientes de Fourier se anulan para cada una de estas funciones periódicas de periodo $2\pi$ :

a) $f(t) = t^{2}$ en $(-\pi,\pi)$ b) $g(t) = t^{3}$ en $(-\pi,\pi)$

Qué coeficientes son nulos en cada caso, y por qué.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se comprueba si una función es par o impar?
02
El valor de la función reflejada
COMP2
Para $g(t)=t^{3}$ , ¿cuánto vale $g(-2)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $f(-t)=(-t)^{2}=t^{2}=f(t)$ , luego $f$ es par.
2. Por tanto todos los $b_n$ valen 0 y la serie es de cosenos.
3. b) $g(-t)=(-t)^{3}=-t^{3}=-g(t)$ , luego $g$ es impar.
4. Por tanto todos los $a_n$ valen 0, incluido $a_0$ , y la serie es de senos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante una ampliación impar escribas « $a_{n}=0$ para todo $n$ » y sigas, sin comprobarlo integrando. Y que sepas qué periodo va en la fórmula, que es donde se cuelan los errores de factor dos.

Dirichlet en los saltos, y la suma que sale de ahí

Decir a qué converge la serie en cada punto —incluidos los saltos que la propia ampliación ha creado— y usar ese valor para sumar una serie numérica.

leerEl apartado que sorprende: sumar una serie numérica

El mecanismo es siempre el mismo: se evalúa la serie en un punto elegido, se iguala al valor que da Dirichlet, y se despeja.

ejemploA qué converge la serie en un salto
Un salto y su media. Tres líneas, y es la mitad de los puntos de COMP 4 del bloque.
prácticaCinco puntos, y hay que decidir uno a uno
Del boletín. Cinco puntos, y hay que decidir uno a uno si la función es continua ahí.
examenUna escalera de dos peldaños, ampliada impar, y Leibniz otra vez
De 2023-2024, con los cinco apartados y una escalera de dos peldaños: el más completo de los seis.
examenLa onda cuadrada, y qué vale la serie en el año 2013
De 2013-2014. La onda cuadrada, y un apartado que pregunta cuánto vale la serie en un punto concreto — el año en que se hizo el examen.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

A qué converge la serie en un salto

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(t)$ la función periódica de periodo 2 definida por $f(t) = -1$ si $-1<t<0$ y $f(t)=1$ si $0<t<1$ . Calcular el valor de su serie de Fourier $S(t)$ en $t=0$ y en $t=0{,}5$ .

Los valores S(0) y S(0,5).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice el teorema de Dirichlet en un punto donde la función salta?
02
El valor en el salto
COMP2
En $t=0$ la función pasa de $-1$ a $1$ . ¿Cuánto vale $S(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $t=0$ hay un salto: por la izquierda $-1$ , por la derecha $1$ .
2. Dirichlet dice que $S(0)$ es la media, o sea 0.
3. En $t=0{,}5$ la función es continua y vale 1.
4. Luego $S(0{,}5) = 1$ , porque en los puntos de continuidad serie y función coinciden.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante un salto escribas la media de los dos límites laterales sin dudar, y que ante «calcular la suma de la serie» busques el punto donde evaluar en vez de intentar sumarla directamente.

lo tienes cuando:

Que hagas los cinco apartados en orden sin pararte a decidir qué toca, y que el quinto —la suma de la serie— lo saques evaluando la serie en un punto que ya has calculado, no volviendo a empezar.

Hacer una extraordinaria entera, con reloj

papel en blanco y reloj3 referencias

El examen completo: cuatro o cinco ejercicios, cuarenta o cincuenta puntos, dos horas y sin calculadora.

Los bloques anteriores entrenan herramientas sueltas. Un examen entero entrena otra cosa: repartir el tiempo. Con cuatro ejercicios y dos horas salen treinta minutos por ejercicio, y quien se atasca en el primero pierde los otros tres. Va aquí porque no enseña nada nuevo: mide.

examen2024-2025 · 26 de junio de 2025
La más reciente, y del formato de diez ejercicios: cinco y cincuenta cada cuatrimestral. Es el formato que se lleva usando desde 2023-2024.
examen2021-2022 · 29 de junio de 2022
Del formato de ocho, cuatro y cuarenta por cuatrimestral, que es el que se usó once años seguidos. Su primer cuatrimestral es entero de estudio local: tres ejercicios del tema 4 de cuatro.
examen2015-2016 · 20 de junio de 2016
El más corto del corpus, siete ejercicios, y el único con los dos cuatrimestrales de distinto tamaño junto con el de 2017-2018.

lo tienes cuando:

Terminar una extraordinaria completa en el tiempo, con el dibujo hecho en los que lo piden y sin dejar ningún apartado de justificación en blanco. Si un ejercicio te lleva más de cuarenta minutos, la cuenta que no sale es la del reloj.

Lo que hay que llevar sabido

va en la cabeza o no va5 referencias

El examen no deja formulario ni calculadora — está impreso en la cabecera de siete de los once cuadernillos. Los jacobianos, la tabla de transformadas y las fórmulas de los coeficientes hay que llevarlos en la cabeza.

Es lo que más se pierde por no saberlo de memoria y no se puede deducir en el momento: un jacobiano mal puesto invalida la integral entera, y un par de la tabla de Laplace confundido da una función distinta sin que nada avise. Va el último porque es repaso, no aprendizaje: es el bloque del rato de antes de entrar.

leerLo que hay que llevar sabido
Las traducciones de lugares geométricos y las fórmulas de De Moivre, que son las que abren el examen todos los años.
leerLo que hay que llevar sabido
Los seis desarrollos memorizados, sin los cuales el ejercicio de Taylor no cabe en el tiempo.
leerLo que hay que llevar sabido
Los jacobianos de polares, cilíndricas y esféricas, y la regla de qué coordenadas elegir según la forma del sólido.
leerLo que hay que llevar sabido
La tabla, y los dos desplazamientos —el de $s$ y el de $t$ — que se confunden entre sí.
leerLo que hay que llevar sabido
Las fórmulas de los coeficientes, la regla de Dirichlet y las cuatro sumas que salen de evaluar una serie en un punto.

lo tienes cuando:

Escribir de memoria y en papel las cinco traducciones de lugares geométricos, los tres jacobianos, los ocho pares de la tabla de Laplace y las tres fórmulas de los coeficientes de Fourier. Si tienes que mirar una sola vez, todavía no.

Preparar la convocatoria extraordinaria

Dibujar, que es por donde empieza casi todo

La región, traducida a una distancia

Reconocer el camino

La ecuación

Justificar el argumento

El sólido, cortado por un plano que contiene el eje

Reconocer el camino

El límite superior interior

Justificar el argumento

La función periódica, y su ampliación

Reconocer el camino

El límite por la derecha en pi

Reducir el argumento

Justificar el argumento

Complejos, el único hueco que no falta ni un año

Ecuaciones con conjugado y con potencias

Reconocer el camino

El módulo

El argumento

Justificar el argumento

Lugares geométricos, con su dibujo

Reconocer el camino

El radio

Un punto de prueba

Justificar el argumento

Cuando la variable sube al exponente

El ejercicio 3, que casi siempre es Taylor

El polinomio, que casi nunca hay que derivar

Reconocer el camino

El coeficiente de grado cuatro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de x²

La aproximación

Justificar el argumento

La cota del error, que vale la mitad del ejercicio

Reconocer el camino

La cota

Justificar el argumento

Estudiar una función, casi siempre a partir de un dibujo

Cuál de las dos curvas es la derivada

Reconocer el camino

Dónde decrece

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La pendiente de B en el origen

Justificar el argumento

El estudio completo, cuando sí hay fórmula

Reconocer el camino

El punto crítico positivo

Clasificarlo

Justificar el argumento

El máximo y el mínimo, que es el ejercicio con más puntos de cálculo

Traducir el enunciado, que es donde se gana o se pierde

Reconocer el camino

El objetivo con una sola variable

Justificar el argumento

Los que vienen disfrazados de otra cosa

La integral que no se sabe hacer, y que hay que estudiar igual

Derivar una integral sin calcularla

Reconocer el camino

La derivada

Justificar el argumento

El polinomio de Taylor de algo que no tiene primitiva

Áreas, volúmenes, y las integrales que hay que saber hacer antes

El área entre dos curvas, y cuándo conviene integrar en y

Reconocer el camino

El corte distinto de cero

El área

Justificar el argumento

El volumen que engendra al girar

Reconocer el camino

El volumen

Justificar el argumento

Antes del área, la primitiva

Las impropias, y decidir si existen

Reconocer el camino

La integral hasta un extremo finito

El límite