tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria extraordinaria

Convocatoria extraordinaria · 2013-2014

18 de junio de 2014 · 8 ejercicios · 80 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El cubo igual al cuadrado del conjugado, y cuatro sucesionesNúmeros complejos4 + 3 + 3 = 10 pts
a) Hallar los números complejos cuyo cubo sea igual al cuadrado de su conjugado. Representar sus afijos.

b) Dadas las sucesiones $\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ , $\left\{\frac{1}{n^{2}}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ , $\left\{\frac{\left(-1\right)^{n}}{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ , $\left\{\frac{1}{n+100}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ , calcular si existe el límite de cada una de ellas. Elegir entre estas sucesiones, para cada caso, dos de ellas que cumplan:

a) $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=0$ b) $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=1$ c) $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=\infty$ d) $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}$ no existe, pero la sucesión está acotada
Los complejos dibujados, y cuatro parejas de sucesiones.
- COMP 14 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El teorema fundamental, y la campana que no tiene extremosIntegración1 + 4 + 5 = 10 pts
Enunciar y demostrar el teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal. Aplíquese este teorema para estudiar los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función:
$F\left(t\right)=\int_{0}^{t}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\,dz$
El teorema con su demostración, y el estudio de F.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
De dónde sale esa fórmula, y cuánto te puedes fiarEstudio local de funciones reales de una variable real2 + 5 + 3 = 10 pts
Determinar el origen de la fórmula $\sqrt{x+1}\approx1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^{2}}{8}$ , $0<x<1$ , y acotar el error de la misma.
De dónde sale el polinomio, y una cota del error.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una primitiva con dos trucos y un área con dos bordesIntegración1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular:

a) $\displaystyle\int\frac{2x\ln\left(1+x^{2}\right)} {\left(1+x^{2}\right)^{2}}\,dx$

b) Área del recinto determinado por $x^{2}+y^{2}\le2$ , $x^{2}\le y$ , $x\ge0$ .
La primitiva y el área.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El autobús, el gradiente y un tope del diez por cientoFunciones reales de varias variables reales3 + 2 + 5 = 10 pts
El Ayuntamiento de cierta ciudad está planeando aumentar el uso del autobús público. Se estima que el uso que se hace del autobús público viene dado por una función $T\left(p,b\right)$ , donde $p$ es el coste de la campaña publicitaria de concienciación ciudadana y $b$ es el precio del billete de autobús. Durante este año, los valores de estas variables son $p=140$ y $b=35$ . Con estos valores, el uso del autobús se ha calculado para este año en $T\left(140,35\right)=450$ . Además, se sabe que $T_{p}\left(140,35\right)=3$ y $T_{b}\left(140,35\right)=-5$ . Se quiere modificar los valores actuales de $p$ y $b$ para el año que viene, a fin de lograr el mayor aumento posible en el uso del autobús. Sin embargo, el precio del billete no puede reducirse en más del $10\,\%$ del valor actual. Se pide:

a) Estimar los nuevos valores de $p$ y $b$ para lograr un aumento máximo de uso del autobús.

b) Estimar el uso del autobús que se obtendrá con esos nuevos valores de $p$ y $b$ .
Los nuevos p y b, y el uso estimado.
- COMP 13 puntos por reconocer
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos ecuaciones diferenciales de una tacadaEcuaciones diferenciales0 + 8 + 2 = 10 pts
Resolver las siguientes EDO:

a) $y''+5y=7\operatorname{sen}5x+2x^{2}+3$

b) $\dfrac{dy}{dx}+2y=e^{3x}$ , $y\left(0\right)=2$
La solución general de la primera y la particular de la segunda.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un cilindro dentro de una esfera, esta vez con parámetroIntegral múltiple2 + 5 + 3 = 10 pts
Considerar el sólido definido por las condiciones: $x^{2}+y^{2}\le2a^{2}$ ; $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4a^{2}$ .

a) Dibujar el sólido y calcular el área de su superficie.

b) Calcular el volumen del sólido.
El dibujo, el área de la superficie y el volumen.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La onda cuadrada, y qué vale la serie en el año 2013Introducción al análisis de Fourier2 + 5 + 3 = 10 pts
Calcular la serie de Fourier $S\left(t\right)$ de la función periódica
$y\left(t\right)= \begin{cases} -2 & -3<t<0\\ \;\;2 & 0<t<3 \end{cases}$
y analizar la convergencia de $S\left(t\right)$ . Calcular $S\left(2013\right)$ y $S\left(2014\right)$ .
La serie, su convergencia, y dos valores concretos.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 18 de junio de 2014 · Cálculo – Industriales y Civil, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El cubo igual al cuadrado del conjugado, y cuatro sucesiones

COMP 14 puntos por reconocer
COMP 23 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Hallar los números complejos cuyo cubo sea igual al cuadrado de su conjugado. Representar sus afijos.

b) Dadas las sucesiones $\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ , $\left\{\frac{1}{n^{2}}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ , $\left\{\frac{\left(-1\right)^{n}}{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ , $\left\{\frac{1}{n+100}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ , calcular si existe el límite de cada una de ellas. Elegir entre estas sucesiones, para cada caso, dos de ellas que cumplan:

a) $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=0$ b) $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=1$ c) $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=\infty$ d) $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}$ no existe, pero la sucesión está acotada

Los complejos dibujados, y cuatro parejas de sucesiones.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el apartado a), ¿qué se saca de tomar módulos en $z^{3}=\overline{z}^{2}$ ?
02
Cuántas soluciones hay
COMP2
¿Cuántos números complejos cumplen $z^{3}=\overline{z}^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El argumento de la primera solución no real
COMP2
¿Cuál es el argumento, en grados, de la solución no real con argumento positivo más pequeño?
Tu respuesta al paso 3un número de grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las cuatro parejas del apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las cuatro sucesiones tienden a $0$ , así que cualquier cociente es una indeterminación $\frac00$ y hay que mirarlo caso por caso.
2. a) $x_{n}=\frac{1}{n^{2}}$ , $y_{n}=\frac1n$ : el cociente es $\frac1n\to0$ . c) Al revés, el cociente es $n\to\infty$ .
3. b) $x_{n}=\frac1n$ , $y_{n}=\frac{1}{n+100}$ : el cociente es $\frac{n+100}{n}\to1$ . d) $x_{n}=\frac{\left(-1\right)^{n}}{n}$ , $y_{n}=\frac1n$ : el cociente es $\left(-1\right)^{n}$ , acotado y sin límite.

Resolución completa

a) La ecuación de módulos parte el problema. Tomando módulos en $z^{3}=\overline{z}^{2}$ , y usando que $\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|$ :

\left|z\right|^{3}=\left|z\right|^{2} \;\Longrightarrow\; \left|z\right|^{2}\left(\left|z\right|-1\right)=0

caso	qué sale
$\left\\|z\right\\|=0$	$z=0$ , que cumple la ecuación: $0=0$
$\left\\|z\right\\|=1$	queda por decidir el argumento

El caso interesante. Si $\left|z\right|=1$ , entonces $z\overline{z}=1$ , o sea $\overline{z}=\frac1z$ , y la ecuación se vuelve polinómica:

z^{3}=\left(\frac1z\right)^{2}=\frac{1}{z^{2}} \;\Longrightarrow\; z^{5}=1

\boxed{\;z=0\quad\text{y}\quad z=e^{2k\pi i/5},\;k=0,1,2,3,4\;}

Seis soluciones. El origen, y los cinco vértices de un pentágono regular inscrito en la circunferencia unidad, con uno de ellos en el $1$ .

Las seis soluciones: el origen, en rojo, y los cinco vértices de un pentágono regular inscrito en la circunferencia unidad, separados por 72 grados.

En forma polar, sin pasar por $z^{5}=1$ . Con $z=\rho e^{i\theta}$ , la ecuación de argumentos es $3\theta=-2\theta+2k\pi$ , o sea $5\theta=2k\pi$ . Sale lo mismo, y explica por qué aparece un $5$ donde el enunciado solo enseña un $3$ y un $2$ : conjugar cambia el signo del argumento, así que los exponentes se suman en vez de restarse.

b) Las cuatro sucesiones tienden a cero. Las cuatro, y por motivos distintos de velocidad:

sucesión	límite	cómo de rápido
$\frac1n$	$0$	de referencia
$\frac{1}{n^{2}}$	$0$	mucho más rápido
$\frac{\left(-1\right)^{n}}{n}$	$0$	igual de rápido, pero alternando
$\frac{1}{n+100}$	$0$	igual de rápido, desplazada

Y por eso todos los cocientes son indeterminaciones $\frac00$ , que es el punto del ejercicio: el mismo límite no impone nada sobre el cociente.

caso	$x_{n}$	$y_{n}$	el cociente
a) $\to0$	$\frac{1}{n^{2}}$	$\frac1n$	$\frac1n\to0$
b) $\to1$	$\frac1n$	$\frac{1}{n+100}$	$\frac{n+100}{n}\to1$
c) $\to\infty$	$\frac1n$	$\frac{1}{n^{2}}$	$n\to\infty$
d) no existe, acotada	$\frac{\left(-1\right)^{n}}{n}$	$\frac1n$	$\left(-1\right)^{n}$

El apartado d) es el más fino. El cociente vale exactamente $\left(-1\right)^{n}$ : está acotado —entre $-1$ y $1$ — y no converge, porque sus subsucesiones par e impar tienden a cosas distintas. Con $\frac{1}{n+100}$ en el denominador saldría $\frac{\left(-1\right)^{n}\left(n+100\right)}{n}$ , que también sirve, y con $\frac{1}{n^{2}}$ saldría $\left(-1\right)^{n}n$ , que no vale: no está acotado.

Cuatro de los diez puntos son COMP 1, el reparto más cargado de reconocimiento del corpus. Tiene sentido: el trabajo aquí es elegir bien, no calcular.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 18 de junio de 2014 · Cálculo – Industriales y Civil, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · Es copia literal del ejercicio 2 de la SEXTA EVALUACIÓN DEL MISMO CURSO, del 19 de mayo de 2014: un mes antes, y solo cambia el reparto de puntos. El mismo teorema se pidió enunciar y demostrar además en las terceras evaluaciones de 2018-2019, 2019-2020 y 2020-2021 · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El teorema fundamental, y la campana que no tiene extremos

COMP 11 punto por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Enunciar y demostrar el teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal. Aplíquese este teorema para estudiar los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función:

F\left(t\right)=\int_{0}^{t}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\,dz

El teorema con su demostración, y el estudio de F.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice el teorema fundamental sobre esta $F$ ?
02
El número de extremos relativos
COMP2
¿Cuántos extremos relativos tiene $F$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto de inflexión
COMP2
¿En qué valor de $t$ tiene $F$ su punto de inflexión?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de $F$ . Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El integrando $e^{-z^{2}/2}$ es continuo en todo $\mathbb{R}$ , así que el teorema fundamental se aplica y $F'\left(t\right)=e^{-t^{2}/2}$ .
2. $F'>0$ siempre: $F$ es estrictamente creciente y no tiene extremos relativos.
3. $F''\left(t\right)=-t\,e^{-t^{2}/2}$ se anula solo en $t=0$ y cambia de signo: ahí hay un punto de inflexión, y es el único.

Resolución completa

El enunciado. Hay que decirlo con sus hipótesis, que son los cuatro puntos de COMP 2:

Si $f$ es continua en $\left[a,b\right]$ y se define
$F\left(x\right)=\int_{a}^{x}f\left(t\right)dt,$
entonces $F$ es derivable en $\left(a,b\right)$ y $F'\left(x\right)=f\left(x\right)$ .

La demostración. Se ataca el cociente incremental directamente:

\frac{F\left(x+h\right)-F\left(x\right)}{h} =\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f\left(t\right)dt

por la aditividad de la integral. Y ahora el teorema del valor medio integral: como $f$ es continua en $\left[x,x+h\right]$ , existe $c_{h}$ en ese intervalo con

\int_{x}^{x+h}f\left(t\right)dt=f\left(c_{h}\right)\,h

Sustituyendo, el cociente incremental vale $f\left(c_{h}\right)$ . Y cuando $h\to0$ , el punto $c_{h}$ queda atrapado entre $x$ y $x+h$ , así que $c_{h}\to x$ ; por la continuidad de $f$ ,

F'\left(x\right)=\lim_{h\to0}f\left(c_{h}\right)=f\left(x\right) \qquad\blacksquare

La continuidad se usa dos veces: para aplicar el valor medio integral y para pasar al límite. Conviene señalarlo.

La aplicación. $F\left(t\right)=\int_{0}^{t}e^{-z^{2}/2}dz$ no tiene primitiva elemental —es la campana de Gauss—, y aun así se estudia entera:

F'\left(t\right)=e^{-t^{2}/2}, \qquad F''\left(t\right)=-t\,e^{-t^{2}/2}

qué	conclusión
$F'>0$ para todo $t$	$F$ estrictamente creciente, sin extremos
$F''>0$ si $t<0$	cóncava hacia arriba a la izquierda
$F''<0$ si $t>0$	cóncava hacia abajo a la derecha
$F''\left(0\right)=0$ con cambio de signo	punto de inflexión en $t=0$

\boxed{\;\text{ningún extremo relativo; un único punto de inflexión, en } t=0\;}

F, en trazo grueso, y su derivada a trazos. F sube siempre, porque la campana nunca toca el cero, y su punto de inflexión está justo donde la campana alcanza su máximo. Las dos líneas horizontales marcan los límites ±√(π/2).

Lo que se ve en el dibujo. $F$ es la función de distribución de la campana: sube siempre, y sube más deprisa justo donde la campana es más alta, en el origen. El punto de inflexión de $F$ es el máximo de $F'$ , y eso es cierto siempre: los extremos de la derivada son las inflexiones de la función.

De propina, dos cosas que se pueden decir gratis. $F$ es impar, porque el integrando es par y el intervalo arranca en $0$ . Y está acotada:

\lim_{t\to\pm\infty}F\left(t\right)=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx\pm1{,}2533

Ese valor no se puede obtener con las técnicas de la asignatura —hace falta la integral de Gauss—, así que basta con decir que el límite existe porque $F$ es creciente y acotada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 18 de junio de 2014 · Cálculo – Industriales y Civil, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · Es el mismo desarrollo que el ejercicio 3 del primer cuatrimestral de la extraordinaria de 2017-2018, con otro intervalo · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

De dónde sale esa fórmula, y cuánto te puedes fiar

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Determinar el origen de la fórmula $\sqrt{x+1}\approx1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^{2}}{8}$ , $0<x<1$ , y acotar el error de la misma.

De dónde sale el polinomio, y una cota del error.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De dónde sale la fórmula?
02
La tercera derivada en el origen
COMP2
¿Cuánto vale $f'''\left(0\right)$ para $f\left(x\right)=\sqrt{1+x}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La cota del error
COMP2
¿Cuál es la cota del error para todo $x$ en $\left(0,1\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la acotación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El polinomio es el de McLaurin de orden 2 de $\sqrt{1+x}$ , y el error es el resto de Lagrange $R_{2}=\frac{f'''\left(\xi\right)}{3!}x^{3}$ con $\xi\in\left(0,x\right)$ .
2. $f'''\left(x\right)=\frac38\left(1+x\right)^{-5/2}$ es positiva y decreciente en $\left(0,1\right)$ : su máximo está en $x=0$ y vale $\frac38$ .
3. Por tanto $\left|R_{2}\right|\le\frac{x^{3}}{16}$ , y como $x<1$ queda $\left|R_{2}\right|<\frac{1}{16}$ .

Resolución completa

El origen: es un McLaurin de orden 2. Con $f\left(x\right)=\sqrt{1+x}=\left(1+x\right)^{1/2}$ :

	fórmula	en $x=0$
$f$	$\left(1+x\right)^{1/2}$	$1$
$f'$	$\frac12\left(1+x\right)^{-1/2}$	$\frac12$
$f''$	$-\frac14\left(1+x\right)^{-3/2}$	$-\frac14$
$f'''$	$\frac38\left(1+x\right)^{-5/2}$	$\frac38$

P_{2}\left(x\right)=f\left(0\right)+f'\left(0\right)x +\frac{f''\left(0\right)}{2!}x^{2} =1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}

\boxed{\;\text{es el polinomio de McLaurin de orden 2 de }\sqrt{1+x}\;}

El signo menos del término cuadrático no es un capricho: la raíz cuadrada es cóncava, crece cada vez más despacio, y la parábola que la imita tiene que abrir hacia abajo.

La cota del error. El resto de Lagrange de orden 2 es

R_{2}\left(x\right)=\frac{f'''\left(\xi\right)}{3!}\,x^{3}, \qquad 0<\xi<x

No hace falta saber dónde está $\xi$ : basta con acotar $\left|f'''\right|$ en todo el intervalo. Y $f'''\left(x\right)=\frac38\left(1+x\right)^{-5/2}$ es positiva y decreciente, así que su máximo en $\left(0,1\right)$ está en el extremo izquierdo:

\max_{0<x<1}\left|f'''\right|=\frac38

\left|R_{2}\left(x\right)\right|\le\frac{3/8}{6}\,x^{3} =\frac{x^{3}}{16}

\boxed{\;\left|R_{2}\right|<\frac{1}{16}=0{,}0625 \quad\text{para todo }0<x<1\;}

La comprobación, que aquí es especialmente instructiva:

$x$	error real	cota $\frac{x^{3}}{16}$
$0{,}1$	$0{,}000059$	$0{,}0000625$
$0{,}5$	$0{,}005995$	$0{,}0078$
$0{,}9$	$0{,}029655$	$0{,}0456$

La cota se cumple siempre y es ajustada cerca del origen; según $x$ crece se va quedando holgada, porque $f'''$ baja mientras la cota sigue usando su valor en $0$ .

La comparación con 2017-2018. El mismo polinomio salió en la extraordinaria de 2017-2018, pero allí se pedía $\sqrt{0{,}9}$ , o sea $x=-0{,}1$ . Y con $x$ negativo el máximo de $f'''$ cambia de extremo: $\left(1+x\right)^{-5/2}$ es mayor cuanto menor es $x$ , así que en $\left[-0{,}1,0\right]$ el máximo está en $-0{,}1$ y la cota sale $\frac{3}{8\left(0{,}9\right)^{5/2}}\cdot\frac{0{,}001}{6}$ . Es el mismo teorema y la misma función, y sin embargo la cuenta de la cota no se puede copiar de un año a otro.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 18 de junio de 2014 · Cálculo – Industriales y Civil, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una primitiva con dos trucos y un área con dos bordes

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular:

a) $\displaystyle\int\frac{2x\ln\left(1+x^{2}\right)} {\left(1+x^{2}\right)^{2}}\,dx$

b) Área del recinto determinado por $x^{2}+y^{2}\le2$ , $x^{2}\le y$ , $x\ge0$ .

La primitiva y el área.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el apartado a), ¿qué cambio de variable pide el integrando?
02
La primitiva en un punto
COMP2
Con $F\left(x\right)=-\frac{1+\ln\left(1+x^{2}\right)}{1+x^{2}}$ , ¿cuánto vale $F\left(1\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área del apartado b)
COMP2
¿Cuánto vale el área del recinto?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $u=1+x^{2}$ y $du=2x\,dx$ , la integral se convierte en $\int\frac{\ln u}{u^{2}}\,du$ .
2. Por partes, con $w=\ln u$ y $dv=u^{-2}du$ : $-\frac{\ln u}{u}+\int\frac{du}{u^{2}}$ .
3. Esa última integral vale $-\frac1u$ , así que el resultado es $-\frac{\ln u+1}{u}+C$ , y deshaciendo el cambio, $-\frac{1+\ln\left(1+x^{2}\right)}{1+x^{2}}+C$ .

Resolución completa

a) Dos técnicas encadenadas. Lo primero es ver que el $2x\,dx$ del numerador es la diferencial de $1+x^{2}$ :

u=1+x^{2},\qquad du=2x\,dx \;\Longrightarrow\; \int\frac{2x\ln\left(1+x^{2}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx =\int\frac{\ln u}{u^{2}}\,du

Y esa ya es una integración por partes de libro, con $w=\ln u$ y $dv=u^{-2}du$ , o sea $v=-\frac1u$ :

\int\frac{\ln u}{u^{2}}du =-\frac{\ln u}{u}+\int\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{u}\,du =-\frac{\ln u}{u}-\frac{1}{u}+C

\boxed{\;\int\frac{2x\ln\left(1+x^{2}\right)} {\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx =-\frac{1+\ln\left(1+x^{2}\right)}{1+x^{2}}+C\;}

Elegir bien $w$ y $dv$ . Al revés —tomando $w=u^{-2}$ — la integral se complica en vez de simplificarse. La regla práctica: el logaritmo va casi siempre en la parte que se deriva, porque su derivada es más simple que él.

b) El recinto. Tres condiciones:

condición	qué borde pone
$x^{2}+y^{2}\le2$	por arriba, la circunferencia de radio $\sqrt2$
$x^{2}\le y$	por abajo, la parábola $y=x^{2}$
$x\ge0$	por la izquierda, el eje OY

Dónde se cortan los dos bordes curvos. Sustituyendo $y=x^{2}$ en $x^{2}+y^{2}=2$ :

x^{2}+x^{4}=2 \;\Longrightarrow\; \left(x^{2}+2\right)\left(x^{2}-1\right)=0 \;\Longrightarrow\; x^{2}=1

Con $x\ge0$ , el corte es $\left(1,1\right)$ .

El recinto entre la parábola y el arco, a la derecha del eje OY. Los dos bordes curvos se cortan en (1,1), y ese punto es el que fija el límite superior de la integral.

La integral. Para cada $x$ entre $0$ y $1$ , la $y$ va de la parábola al arco:

A=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{2-x^{2}}-x^{2}\right)dx

La primera parte es la del arco, con la primitiva de siempre:

\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx =\frac{x\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2}\arcsen\frac{x}{a}

\int_{0}^{1}\sqrt{2-x^{2}}\,dx =\frac{1\cdot1}{2}+1\cdot\arcsen\frac{1}{\sqrt2} =\frac12+\frac{\pi}{4}

y la segunda es inmediata, $\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac13$ .

\boxed{\;A=\frac12+\frac{\pi}{4}-\frac13=\frac16+\frac{\pi}{4} \approx0{,}952\;}

La comprobación de tamaño. El recinto está metido en el cuadrado $\left[0,1\right]\times\left[0,\sqrt2\right]$ , que mide $1{,}414$ , y ocupa claramente más de la mitad: $0{,}952$ encaja. Y el sector circular de $45°$ de radio $\sqrt2$ mide $\frac{\pi}{4}\approx0{,}785$ , así que el $\frac16$ de más es el trozo que el recinto añade por debajo de la diagonal.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 18 de junio de 2014 · Cálculo – Industriales y Civil, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El autobús, el gradiente y un tope del diez por ciento

COMP 13 puntos por reconocer
COMP 22 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El Ayuntamiento de cierta ciudad está planeando aumentar el uso del autobús público. Se estima que el uso que se hace del autobús público viene dado por una función $T\left(p,b\right)$ , donde $p$ es el coste de la campaña publicitaria de concienciación ciudadana y $b$ es el precio del billete de autobús. Durante este año, los valores de estas variables son $p=140$ y $b=35$ . Con estos valores, el uso del autobús se ha calculado para este año en $T\left(140,35\right)=450$ . Además, se sabe que $T_{p}\left(140,35\right)=3$ y $T_{b}\left(140,35\right)=-5$ . Se quiere modificar los valores actuales de $p$ y $b$ para el año que viene, a fin de lograr el mayor aumento posible en el uso del autobús. Sin embargo, el precio del billete no puede reducirse en más del $10\,\%$ del valor actual. Se pide:

a) Estimar los nuevos valores de $p$ y $b$ para lograr un aumento máximo de uso del autobús.

b) Estimar el uso del autobús que se obtendrá con esos nuevos valores de $p$ y $b$ .

Los nuevos p y b, y el uso estimado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿En qué dirección hay que moverse para que $T$ aumente lo más deprisa posible?
02
El nuevo precio del billete
COMP2
¿Cuál es el precio del billete el año que viene?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El uso estimado
COMP2
¿Qué uso del autobús se estima para el año que viene?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El gradiente $\nabla T=\left(3,-5\right)$ marca la dirección de máximo aumento: subir $p$ y bajar $b$ .
2. Moviéndose en esa dirección, $\left(\Delta p,\Delta b\right) =t\left(3,-5\right)$ , y el tope del $10\,\%$ fija $\Delta b=-3{,}5$ , o sea $t=0{,}7$ y $\Delta p=2{,}1$ .
3. Los nuevos valores son $p=142{,}1$ y $b=31{,}5$ , y el uso estimado $T\approx450+23{,}8=473{,}8$ .

Resolución completa

Lo que dan y lo que hay que hacer con ello. No se conoce $T$ : solo su valor y sus dos derivadas parciales en un punto. Con eso solo se puede hacer una cosa, y es aproximar linealmente:

\Delta T\approx T_{p}\,\Delta p+T_{b}\,\Delta b =3\,\Delta p-5\,\Delta b

a) La dirección. El gradiente es $\nabla T=\left(3,-5\right)$ , y marca la dirección de máximo crecimiento. Sus signos son la mitad del ejercicio:

	signo	qué significa
$T_{p}=3$	$+$	más publicidad, más uso
$T_{b}=-5$	$-$	más caro el billete, menos uso

Así que hay que subir $p$ y bajar $b$ . Y como $\left|T_{b}\right|>\left|T_{p}\right|$ , tocar el billete rinde más: cada euro de rebaja aporta $5$ usuarios y cada euro de publicidad solo $3$ .

El tope, y lo que fija. El billete no puede bajar más del $10\,\%$ :

\Delta b\ge-0{,}1\cdot35=-3{,}5

Como bajar siempre conviene, la restricción se agota: $\Delta b=-3{,}5$ . Y moviéndose en la dirección del gradiente, $\left(\Delta p,\Delta b\right)=t\left(3,-5\right)$ , ese valor fija la escala:

-5t=-3{,}5\;\Longrightarrow\;t=0{,}7\;\Longrightarrow\;\Delta p=2{,}1

\boxed{\;p=142{,}1\qquad b=31{,}5\;}

El plano de las dos variables. Desde el punto de este año, la flecha apunta en la dirección del gradiente —más publicidad, menos billete— y se detiene justo al tocar el tope del 10 %, que es lo que fija cuánto se avanza.

b) El uso estimado.

\Delta T\approx3\left(2{,}1\right)-5\left(-3{,}5\right) =6{,}3+17{,}5=23{,}8

\boxed{\;T\approx450+23{,}8=473{,}8\;}

Un $5{,}3\,\%$ más de usuarios, y de ese aumento casi tres cuartas partes vienen del billete.

Los supuestos, que aquí valen cinco puntos. Este ejercicio tiene más COMP 4 que cálculo, y con razón: la cuenta son dos multiplicaciones. Lo que se puntúa es decir en voz alta lo que se está suponiendo.

Es una aproximación lineal. Se sustituye $T$ por su plano tangente en $\left(140,35\right)$ , y solo es fiable para incrementos pequeños. Un $6\,\%$ en $p$ y un $10\,\%$ en $b$ están en el límite de lo razonable.
El enunciado no pone tope a $p$ . Sin ninguna restricción sobre el presupuesto de publicidad, el aumento sería ilimitado: bastaría con gastar más. Lo que hace el problema resoluble es moverse en la dirección del gradiente y dejar que el tope del billete fije cuánto se avanza. Conviene escribirlo como supuesto, porque el enunciado no lo dice.
Las derivadas son de este año. Al cambiar $p$ y $b$ cambian también $T_{p}$ y $T_{b}$ , y la estimación no lo tiene en cuenta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 18 de junio de 2014 · Cálculo – Industriales y Civil, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos ecuaciones diferenciales de una tacada

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver las siguientes EDO:

a) $y''+5y=7\operatorname{sen}5x+2x^{2}+3$

b) $\dfrac{dy}{dx}+2y=e^{3x}$ , $y\left(0\right)=2$

La solución general de la primera y la particular de la segunda.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el apartado a), ¿hay resonancia con el término $7\operatorname{sen}5x$ ?
02
El coeficiente del seno
COMP2
En la solución particular de a), ¿cuál es el coeficiente que acompaña a $\operatorname{sen}5x$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La constante del apartado b)
COMP2
En $y=\frac{e^{3x}}{5}+Ce^{-2x}$ , ¿cuánto vale $C$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución del apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La característica $r^{2}+5=0$ da $r=\pm i\sqrt5$ , así que $y_{h}=C_{1}\cos\left(\sqrt5x\right) +C_{2}\operatorname{sen}\left(\sqrt5x\right)$ .
2. Para $7\operatorname{sen}5x$ se ensaya $A\cos5x+B\operatorname{sen}5x$ —no hay resonancia— y sale $A=0$ , $B=-\frac{7}{20}$ .
3. Para $2x^{2}+3$ se ensaya $ax^{2}+bx+c$ y sale $a=\frac25$ , $b=0$ , $c=\frac{11}{25}$ .

Resolución completa

a) Una lineal de segundo orden con dos forzamientos.

La homogénea. $r^{2}+5=0$ da $r=\pm i\sqrt5$ , raíces imaginarias puras:

y_{h}=C_{1}\cos\left(\sqrt5\,x\right) +C_{2}\operatorname{sen}\left(\sqrt5\,x\right)

El aviso de este ejercicio está aquí. La ecuación tiene un $5$ y el segundo miembro tiene otro, y no son el mismo: la homogénea oscila con frecuencia $\sqrt5\approx2{,}24$ y el forzamiento con frecuencia $5$ . No hay resonancia, y por tanto no hay que multiplicar por $x$ .

Superposición. El segundo miembro tiene dos partes y la ecuación es lineal, así que se resuelven por separado y se suman.

Para $7\operatorname{sen}5x$ : se ensaya $y_{1}=A\cos5x+B\operatorname{sen}5x$ . Como $y_{1}''=-25\,y_{1}$ :

y_{1}''+5y_{1}=-20\left(A\cos5x+B\operatorname{sen}5x\right) =7\operatorname{sen}5x

A=0,\qquad B=-\frac{7}{20}

Para $2x^{2}+3$ : se ensaya $y_{2}=ax^{2}+bx+c$ , con $y_{2}''=2a$ :

2a+5ax^{2}+5bx+5c=2x^{2}+3

grado	ecuación	resultado
$x^{2}$	$5a=2$	$a=\frac25$
$x$	$5b=0$	$b=0$
$1$	$2a+5c=3$	$c=\frac{11}{25}$

\boxed{\;y=C_{1}\cos\left(\sqrt5x\right) +C_{2}\operatorname{sen}\left(\sqrt5x\right) -\frac{7}{20}\operatorname{sen}5x +\frac25x^{2}+\frac{11}{25}\;}

El $2a$ que se cuela en el término independiente. Es el error más frecuente de este apartado: al derivar dos veces $ax^{2}$ queda $2a$ , que es constante y por tanto compite con el $c$ . Si se olvida, sale $c=\frac35$ en vez de $\frac{11}{25}$ .

b) Una lineal de primer orden con condición inicial.

y'+2y=e^{3x}

Factor integrante $e^{\int2dx}=e^{2x}$ :

\left(e^{2x}y\right)'=e^{2x}e^{3x}=e^{5x} \;\Longrightarrow\; e^{2x}y=\frac{e^{5x}}{5}+C

y=\frac{e^{3x}}{5}+Ce^{-2x}

Con $y\left(0\right)=2$ : $\frac15+C=2$ , o sea $C=\frac95$ .

\boxed{\;y=\frac{e^{3x}}{5}+\frac95e^{-2x}\;}

La comprobación. $y\left(0\right)=\frac15+\frac95=2$ ✓. Y derivando, $y'+2y$ da $e^{3x}$ en cualquier punto: en $x=0{,}4$ los dos lados valen $3{,}3201$ .

Por qué el $e^{3x}$ y el $e^{-2x}$ conviven sin estorbarse. El exponente de la homogénea es $-2$ y el del forzamiento es $3$ : distintos, así que tampoco aquí hay resonancia. Si el segundo miembro hubiera sido $e^{-2x}$ , la particular habría llevado un $x$ delante.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 18 de junio de 2014 · Cálculo – Industriales y Civil, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · Mismo objeto que el ejercicio 1 del segundo cuatrimestral de 2016-2017-ext y de 2020-2021-ext, pero con radios proporcionales a un parámetro y sin ninguna condición sobre z, así que hay dos casquetes en vez de uno · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un cilindro dentro de una esfera, esta vez con parámetro

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Considerar el sólido definido por las condiciones: $x^{2}+y^{2}\le2a^{2}$ ; $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4a^{2}$ .

a) Dibujar el sólido y calcular el área de su superficie.

b) Calcular el volumen del sólido.

El dibujo, el área de la superficie y el volumen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántas piezas tiene la superficie del sólido?
02
Dónde se cortan
COMP2
Con $a=1$ , ¿a qué altura $z$ positiva se cortan el cilindro y la esfera?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
Con $a=1$ , ¿cuánto vale el volumen del sólido?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo del área. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El cilindro tiene radio $a\sqrt2$ y la esfera $2a$ , y se cortan en $z=\pm a\sqrt2$ : la pared cilíndrica mide $2a\sqrt2$ de alto.
2. Su área lateral es $2\pi\left(a\sqrt2\right) \left(2a\sqrt2\right)=8\pi a^{2}$ .
3. Cada casquete esférico tiene altura $h=2a-a\sqrt2$ y área $2\pi Rh=4\pi a^{2}\left(2-\sqrt2\right)$ ; los dos suman $8\pi a^{2}\left(2-\sqrt2\right)$ .

Resolución completa

a) Qué sólido es. Dos condiciones y ninguna sobre $z$ :

condición	qué es
$x^{2}+y^{2}\le2a^{2}$	dentro de un cilindro de radio $a\sqrt2$ , eje OZ
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4a^{2}$	dentro de la esfera de radio $2a$

Como $a\sqrt2<2a$ , el cilindro es más estrecho. El sólido es un cilindro abombado por los dos extremos, simétrico respecto del plano $z=0$ .

Dónde se cortan. En el borde del cilindro, $r=a\sqrt2$ :

z^{2}=4a^{2}-2a^{2}=2a^{2} \;\Longrightarrow\; z=\pm a\sqrt2

El radio del cilindro y la altura de corte valen lo mismo, $a\sqrt2$ .

La sección del sólido por un plano que contiene al eje OZ. La pared es el cilindro de radio a√2 y las dos tapas son casquetes de la esfera de radio 2a. Sin condición sobre z hay casquete arriba y abajo.

El área, pieza a pieza. Son tres.

La pared cilíndrica. Radio $a\sqrt2$ , altura $2a\sqrt2$ :

A_{1}=2\pi\left(a\sqrt2\right)\left(2a\sqrt2\right)=8\pi a^{2}

Los dos casquetes. Un casquete de una esfera de radio $R$ y altura $h$ mide $2\pi Rh$ — una fórmula que conviene recordar porque no depende del radio del casquete. Aquí $R=2a$ y $h=2a-a\sqrt2$ :

A_{2}=2\cdot2\pi\left(2a\right)\left(2a-a\sqrt2\right) =8\pi a^{2}\left(2-\sqrt2\right)

\boxed{\;A=8\pi a^{2}+8\pi a^{2}\left(2-\sqrt2\right) =8\pi a^{2}\left(3-\sqrt2\right)\approx39{,}86\,a^{2}\;}

b) El volumen. En cilíndricas, con la altura completa $2\sqrt{4a^{2}-r^{2}}$ porque el sólido baja y sube:

V=4\pi\int_{0}^{a\sqrt2}r\sqrt{4a^{2}-r^{2}}\;dr =4\pi\left[-\frac13\left(4a^{2}-r^{2}\right)^{3/2} \right]_{0}^{a\sqrt2}

=\frac{4\pi}{3}\left[\left(4a^{2}\right)^{3/2} -\left(2a^{2}\right)^{3/2}\right] =\frac{4\pi}{3}\left(8a^{3}-2\sqrt2\,a^{3}\right)

\boxed{\;V=\frac{8\pi}{3}a^{3}\left(4-\sqrt2\right) \approx21{,}66\,a^{3}\;}

Las dos comprobaciones de tamaño.

La esfera entera mide $\frac43\pi\left(2a\right)^{3} =\frac{32\pi}{3}a^{3}\approx33{,}51\,a^{3}$ , y el sólido es un trozo de ella: $21{,}66$ es el $65\,\%$ . Razonable, porque el cilindro corta dos cuñas laterales bastante grandes.
El cilindro con tapas planas a la altura $\pm a\sqrt2$ mediría $\pi\left(2a^{2}\right)\left(2a\sqrt2\right)\approx17{,}77\,a^{3}$ , y los dos casquetes añaden lo que falta hasta $21{,}66$ .

El parámetro no complica nada. Todas las cantidades salen proporcionales a $a^{2}$ y $a^{3}$ , que es lo que tiene que pasar por homogeneidad dimensional: un área va con el cuadrado de una longitud y un volumen con el cubo. Si en algún paso apareciera un $a$ suelto sumado a un $a^{2}$ , sería señal de error.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 18 de junio de 2014 · Cálculo – Industriales y Civil, Donostiako Eskola Politeknikoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La onda cuadrada, y qué vale la serie en el año 2013

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la serie de Fourier $S\left(t\right)$ de la función periódica

y\left(t\right)= \begin{cases} -2 & -3<t<0\\ \;\;2 & 0<t<3 \end{cases}

y analizar la convergencia de $S\left(t\right)$ . Calcular $S\left(2013\right)$ y $S\left(2014\right)$ .

La serie, su convergencia, y dos valores concretos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se puede decir de los coeficientes antes de integrar?
02
El periodo
COMP2
¿Cuál es el periodo de $y$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor en 2014
COMP2
¿Cuánto vale $S\left(2014\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo de $S\left(2013\right)$ . Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El periodo es $6$ , así que $S\left(2013\right)=S\left(r\right)$ donde $r$ es el resto de dividir $2013$ entre $6$ .
2. $2013=6\cdot335+3$ , así que $r=3$ .
3. En $t=3$ la función salta de $2$ a $-2$ , y el teorema de Dirichlet dice que la serie converge a la semisuma: $\frac{2+\left(-2\right)}{2}=0$ .

Resolución completa

La función. Es una onda cuadrada de amplitud $2$ y periodo $6$ : vale $-2$ durante media onda y $+2$ durante la otra media.

T=6,\qquad L=3,\qquad\text{frecuencias }\frac{n\pi}{3}

La onda cuadrada y la suma de sus ocho primeros armónicos impares. El 2013 cae justo en un salto, donde la serie converge a la semisuma, cero; el 2014 cae dentro de un tramo, donde converge a la función.

La simetría ahorra la mitad del trabajo. $y\left(-t\right)=-y\left(t\right)$ : la función es impar, así que todos los $a_{n}$ —incluido $a_{0}$ — son cero sin integrar nada.

Los coeficientes del seno.

b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-3}^{3}y\left(t\right) \operatorname{sen}\frac{n\pi t}{3}\,dt =\frac{2}{3}\int_{0}^{3}2\operatorname{sen}\frac{n\pi t}{3}\,dt

—el factor $2$ de doblar la integral por simetría ya está incluido—.

=\frac43\left[-\frac{3}{n\pi}\cos\frac{n\pi t}{3}\right]_{0}^{3} =\frac{4}{n\pi}\left(1-\cos n\pi\right) =\frac{4}{n\pi}\left(1-\left(-1\right)^{n}\right)

b_{n}= \begin{cases} \dfrac{8}{n\pi} & n \text{ impar}\\[6pt] 0 & n \text{ par} \end{cases}

\boxed{\;S\left(t\right)=\frac{8}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2k+1}\operatorname{sen}\frac{\left(2k+1\right)\pi t}{3}\;}

Los primeros: $b_{1}=\frac{8}{\pi}\approx2{,}546$ , $b_{3}=\frac{8}{3\pi}\approx0{,}849$ , $b_{5}=\frac{8}{5\pi}\approx0{,}509$ .

Que los armónicos pares se anulen es la firma de una función con simetría de media onda: $y\left(t+3\right)=-y\left(t\right)$ . Verlo antes de integrar ahorra la mitad de las cuentas.

La convergencia. Por el teorema de Dirichlet — $y$ es continua a trozos y con derivada continua a trozos—:

dónde	a qué converge
puntos de continuidad	a $y\left(t\right)$ , o sea $\pm2$
saltos: $t=0,\pm3,\pm6,\ldots$	a la semisuma, $\frac{2+\left(-2\right)}{2}=0$

Y la convergencia no es uniforme cerca de los saltos: es el fenómeno de Gibbs, y no desaparece por muchos armónicos que se sumen.

Los dos valores. La clave es reducir al periodo, que es $6$ :

2013=6\cdot335+3 \;\Longrightarrow\; S\left(2013\right)=S\left(3\right)

Y $t=3$ es un salto: la función pasa de $2$ a $-2$ .

\boxed{\;S\left(2013\right)=0\;}

2014=6\cdot335+4 \;\Longrightarrow\; S\left(2014\right)=S\left(4\right)

Y $4$ cae dentro de $\left(3,6\right)$ , que por periodicidad es el tramo equivalente a $\left(-3,0\right)$ : ahí $y=-2$ , y es un punto de continuidad.

\boxed{\;S\left(2014\right)=-2\;}

Por qué el enunciado elige esos dos años. No es decoración: uno cae justo en una discontinuidad y el otro no. El ejercicio está comprobando dos cosas distintas —saber reducir al periodo y saber qué dice Dirichlet en un salto— con una sola pregunta.

El error que hay que evitar. Reducir $2013$ módulo $3$ en vez de módulo $6$ da $0$ , que también es un salto y también daría $S=0$ : se acierta por casualidad. Pero con $2014$ el módulo $3$ da $1$ , y ahí la función vale $+2$ : la respuesta saldría con el signo cambiado. El periodo es $6$ , no $3$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria extraordinaria · 2013-2014

Reconocer el camino

Cuántas soluciones hay

El argumento de la primera solución no real

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El número de extremos relativos

El punto de inflexión

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La tercera derivada en el origen

La cota del error

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La primitiva en un punto

El área del apartado b)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El nuevo precio del billete

El uso estimado

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente del seno

La constante del apartado b)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde se cortan

El volumen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El periodo

El valor en 2014

Justificar el argumento