Cálculo · tema 04

Estudio local

Fermat, Rolle y Lagrange. Leer la gráfica de la derivada, clasificar con la segunda, Taylor con su resto y optimizar sin olvidar los bordes.

El tema se llama «estudio local» y el adjetivo es literal: todo lo que hay aquí consiste en mirar una función cerca de un punto y deducir cosas de lo que se ve ahí.

Los teoremas del valor medio dicen que la derivada tiene que tomar cierto valor en algún sitio. El polinomio de Taylor sustituye la función por un polinomio que se le parece mucho cerca de un punto. Y la optimización busca dónde la derivada se anula, que es donde la función deja de crecer.

Fermat: por qué se busca donde la derivada se anula

Antes que Rolle va este, porque es el que justifica el gesto que se repite todo el tema. Si $f$ tiene un extremo local en un punto $c$ interior al intervalo y es derivable en $c$ , entonces $f'(c) = 0$ .

La razón cabe en tres líneas y conviene saberla, porque el examen la ha pedido demostrada. Supón que en $c$ hay un máximo. Para $h$ pequeño, $f(c+h) - f(c) \le 0$ siempre. Al dividir entre $h$ el cociente sale $\le 0$ si $h>0$ y $\ge 0$ si $h<0$ . Como $f$ es derivable, los dos límites laterales existen y valen lo mismo, y el único número que es a la vez $\le 0$ y $\ge 0$ es el cero.

Las tres palabras del enunciado se ganan su sitio, y cada una tiene su contraejemplo:

local — no hace falta que sea el máximo de todo el intervalo;
interior — en $f(x)=x$ sobre $[0,1]$ el máximo está en 1 y la derivada no se anula, porque el extremo está en el borde;
derivable — en $f(x)=\left|x\right|$ el mínimo está en 0 y no hay derivada que anular.

Cayó en 2016-2017, 2019-2020 y 2020-2021, y en 2019-2020 fue el ejercicio entero: diez puntos, todos de explicación formal.

Error típico · leer Fermat al revés

Fermat dice «extremo ⇒ derivada nula». El recíproco es falso: que la derivada se anule no garantiza extremo. En $f(x)=x^{3}$ la derivada vale 0 en el origen y ahí no hay ni máximo ni mínimo, solo un punto de inflexión con tangente horizontal.

Por eso los puntos donde $f'=0$ se llaman críticos y no «extremos»: son candidatos. Decidir cuáles lo son de verdad es el apartado siguiente, y es donde se pierden los puntos de un problema de optimización que por lo demás está bien planteado.

Rolle y Lagrange son el mismo teorema

El teorema de Lagrange —o del valor medio— dice: si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ , entonces existe $c \in (a,b)$ con

f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

En palabras: en algún punto la pendiente instantánea coincide con la pendiente media. Si un coche recorre 100 km en una hora, en algún instante su velocímetro marcó exactamente 100 km/h.

El teorema de Rolle es el caso particular en que $f(a) = f(b)$ : entonces la pendiente media es 0 y existe $c$ con $f'(c) = 0$ . Si sales y vuelves al mismo sitio, en algún momento te paraste.

Las dos hipótesis son distintas y hay que comprobarlas por separado: continuidad en el cerrado y derivabilidad en el abierto. La segunda es más débil a propósito: permite tangentes verticales en los extremos.

Error típico · no comprobar las hipótesis

$f(x) = \left|x\right|$ en $[-1,1]$ cumple $f(-1)=f(1)$ y su derivada no se anula en ningún punto. No contradice a Rolle: es que no es derivable en 0. Los teoremas sin hipótesis son falsos.

Crecer y curvarse: lo que dicen la primera y la segunda derivada

Fermat da candidatos; esto los clasifica. Son dos preguntas independientes y conviene no mezclarlas, porque el examen las puntúa por separado:

lo que miras	lo que decide
signo de $f'$	si $f$ crece o decrece
ceros de $f'$	los puntos críticos: candidatos a extremo
signo de $f''$	la concavidad: si $f$ es convexa (abre hacia arriba) o cóncava
ceros de $f''$ con cambio de signo	los puntos de inflexión

«Concavidad» es la palabra que usan los enunciados —«estudiar el crecimiento y la concavidad», con esas letras, en ocho de los exámenes transcritos—, y significa exactamente eso: el signo de $f''$ . Cuando el examen pide «la concavidad» está pidiendo dónde es convexa, dónde cóncava y dónde están las inflexiones. Y ojo con el vocabulario, que en castellano se cruza: cóncava es la que abre hacia abajo, como una cueva, y convexa la que abre hacia arriba; algunos libros lo llaman «cóncava hacia arriba» y «cóncava hacia abajo» para no tener que elegir.

Y el criterio que resuelve el paso 6 de una optimización: en un punto crítico $c$ , si $f''(c) > 0$ hay mínimo y si $f''(c) < 0$ hay máximo. Si $f''(c) = 0$ el criterio no dice nada y hay que mirar el signo de $f'$ a los dos lados.

La primera derivada dice si sube o baja; la segunda, hacia dónde se abre. Son dos preguntas independientes, y por eso hay cuatro casos y no dos.

Cuando lo que te dan dibujado es la derivada

Es el formato de los tres últimos cursos —2023-2024, 2024-2025 y 2025-2026— y desconcierta la primera vez: el enunciado trae una gráfica y no es la de $f$ , es la de $f'$ . Todo lo que se pregunta sobre $f$ hay que leerlo del dibujo sin tener $f$ delante.

La traducción es directa una vez se acepta que la altura de la curva dibujada es la pendiente de la que no ves:

Lo dibujado es la derivada. Donde ella corta el eje, la función original tiene un extremo; donde ella tiene su propio mínimo, la original se dobla.

Las cuatro lecturas, en orden de lo que más se pregunta:

Donde la curva dibujada corta el eje, $f'=0$ : ahí $f$ tiene un punto crítico. Si además la curva pasa de arriba a abajo, era máximo; de abajo a arriba, mínimo.
Donde la curva está por encima del eje, $f$ crece; por debajo, decrece. El dibujo puede estar por debajo y subiendo a la vez, y eso significa que $f$ decrece cada vez más despacio.
Los extremos de la curva dibujada son los ceros de $f''$ : los puntos de inflexión de $f$ .
Donde la curva sube, $f''>0$ y $f$ es convexa; donde baja, cóncava.

Error típico · leer la gráfica como si fuera la función

El fallo no es de cálculo, es de lectura, y arrastra el ejercicio entero: se ve que la curva del dibujo tiene un mínimo en el origen y se contesta que $f$ tiene un mínimo en el origen. Ese mínimo es de $f'$ , no de $f$ , y lo que marca es un punto de inflexión.

La forma de no caer es escribir en el margen, antes de contestar nada, una tabla de dos filas: «lo dibujado: $f'$ » y «lo que preguntan: $f$ ». Suena a perder tiempo y son treinta segundos que cuestan seis o siete puntos cuando el enunciado, como el de 2024-2025, pregunta cuatro cosas seguidas sobre la misma gráfica.

El polinomio de Taylor es la mejor imitación local

Alrededor de $a$ , el polinomio de grado $n$ que más se parece a $f$ es

P_n(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\dots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}

Está construido para que él y la función coincidan en el punto y en las $n$ primeras derivadas. De ahí sale todo lo demás.

El caso $n=1$ ya se conoce: es la recta tangente, es decir el diferencial del tema anterior. Taylor solo continúa la idea con más términos.

Cuantos más términos, más lejos aguanta el parecido. Pero solo en el punto de apoyo la coincidencia es exacta: Taylor es una aproximación local.

Cuando el punto de apoyo es $a=0$ el polinomio recibe otro nombre y es el que más aparece en los enunciados: el polinomio de Maclaurin. No es un concepto nuevo, es Taylor centrado en el origen, y se llama así en cinco de los once cursos. Si un examen pide «el desarrollo de Maclaurin de orden 4», está pidiendo $P_4$ alrededor del cero y nada más.

Y una consecuencia que resuelve un tipo de ejercicio entero. Como los coeficientes de $P_n$ son los valores de las derivadas en el punto, un polinomio de grado $n$ queda determinado por $n+1$ datos: su valor y los de sus $n$ primeras derivadas. Por eso «reconstruir la cúbica que pasa por aquí con esta tangente y esta curvatura» —2022-2023 y 2024-2025— no se hace planteando un sistema de cuatro incógnitas: se hace leyendo cada condición como un coeficiente de Taylor, que sale directo y sin resolver nada.

Ese mismo recuento contesta la pregunta gemela: cuántas condiciones caben en un polinomio de grado $n$ . Exactamente $n+1$ . Ni una más, porque sobredeterminan; ni una menos, porque dejan la familia sin fijar.

El resto es la parte que se suele olvidar, y es la que se pregunta

f(x) = P_n(x) + R_n(x), \qquad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

con $\xi$ entre $a$ y $x$ . Esa expresión tiene nombre —el resto de Lagrange, o resto en forma de Lagrange— y es como lo nombran las resoluciones y los libros; hay otras formas de escribir el mismo resto, pero esta es la única que cae. El apellido no es casualidad: sale de aplicar el teorema del valor medio de Lagrange, el de más arriba, una vez por cada derivada.

Ese $\xi$ no se conoce —y no hace falta—: lo que se hace es acotarlo, sustituyendo $f^{(n+1)}(\xi)$ por su valor máximo posible.

Ese es el mecanismo de los dos ejercicios típicos:

«calcular con Taylor y estimar el error» → se acota $R_n$ ;
«cuántos términos hacen falta para una precisión dada» → se impone $\left|R_n\right| < \varepsilon$ y se despeja $n$ .

Error típico · dar el valor sin el error

Un polinomio de Taylor sin cota del resto es un número sin garantía: no se sabe cuántas cifras son de fiar. En un examen, el resto suele valer tantos puntos como el cálculo.

Seis desarrollos que conviene tener memorizados

Casi todas las series de potencias que se piden salen de estas, componiendo o derivando:

e^{x} = \sum_{n\ge0}\frac{x^{n}}{n!}, \qquad \mathrm{sen}\,x = \sum_{n\ge0}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \qquad \cos x = \sum_{n\ge0}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}

\ln(1+x) = \sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}, \qquad \frac{1}{1-x} = \sum_{n\ge0}x^{n}

(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^{2} + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^{3} + \dots

Las tres primeras convergen para todo $x$ ; las tres últimas, solo para $\left|x\right|<1$ . El radio de convergencia forma parte de la respuesta.

Y cómo se calcula ese radio: el criterio del cociente

Con los seis de arriba te lo sabes de memoria. Con cualquier otra serie hay que sacarlo, y la herramienta es siempre la misma: mirar qué le pasa al cociente de dos términos consecutivos.

L = \lim_{k\to\infty}\left\lvert\frac{a_{k+1}}{a_k}\right\rvert

La serie converge donde $L<1$ y diverge donde $L>1$ . Como en una serie de potencias el cociente casi siempre sale de la forma «algo por $\lvert x\rvert$ », la condición $L<1$ se despeja directamente en $x$ y eso te da el intervalo.

Dos casos que salen tal cual en los exámenes. En $\sum \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$ , el cociente es

\left\lvert\frac{a_{k+1}}{a_k}\right\rvert = \lvert x\rvert^{2}\cdot\frac{2k+1}{2k+3} \xrightarrow[k\to\infty]{} \lvert x\rvert^{2}

y pedir $\lvert x\rvert^{2}<1$ da radio $1$ . En cambio, si el término lleva un factorial abajo —como en el seno o el coseno— el cociente tiende a $0$ sea cual sea $x$ , y eso es exactamente lo que significa «radio infinito»: no es que no haya radio, es que el criterio sale a cero siempre.

El criterio no dice nada cuando el límite vale justo 1

$L=1$ es el caso indeciso, y no es una rareza: es lo que pasa en los extremos del intervalo. Por eso el radio se saca con el cociente y los dos extremos se estudian aparte, uno por uno, con otra herramienta —Leibniz si es alternada, la condición necesaria si el término no tiende a cero—.

Y por lo mismo hay series enteras donde el cociente no decide nunca: si el término general es un cociente de polinomios, $L$ vale 1 y hay que ir a otro criterio. Cayó así en 2025-2026, donde el enunciado obligaba a usar el criterio hipergeométrico precisamente porque d’Alembert se quedaba corto.

La última, la serie binómica, es la que resuelve los ejercicios de «calcular una raíz sin calculadora»: $\sqrt[3]{0{,}9}$ es $(1-0{,}1)^{1/3}$ con $\alpha=\frac13$ y $x=-0{,}1$ , y como $\left|x\right|$ es pequeño bastan dos o tres términos para la precisión que pidan. Cayó así en 2020-2021.

Y sirven para límites, que es el uso que más se olvida. Ante una indeterminación $\frac00$ , sustituir cada función por su desarrollo suele ser más rápido y más seguro que la regla de L’Hôpital —derivar arriba y abajo mientras siga la indeterminación—, sobre todo cuando L’Hôpital hay que aplicarla tres veces seguidas. Con

\frac{\text{sen}\,x - x}{x^{3}} = \frac{\left(x - \frac{x^{3}}{6} + \cdots\right) - x}{x^{3}} \;\xrightarrow[x\to0]{}\; -\frac16

se ve el resultado en una línea, mientras que L’Hôpital pide tres derivaciones del numerador y del denominador. Las dos herramientas valen; la de Taylor es la que además dice a qué velocidad se acerca.

Optimizar es traducir, no derivar

Los problemas de máximos y mínimos se fallan antes de derivar. El método es siempre el mismo y el orden importa:

Nombrar las variables y dibujar.
Escribir la función objetivo, lo que hay que hacer máximo o mínimo.
Escribir la restricción, que liga las variables.
Usar la restricción para dejar el objetivo con una sola variable.
Derivar, igualar a cero y resolver.
Comprobar que es máximo o mínimo, y no un punto de inflexión.
Comprobar que la solución tiene sentido físico.

Los pasos 1 a 4 son el ejercicio. El 5 es mecánico. Y los pasos 6 y 7 son los que separan una respuesta completa de una a medias.

Cuando lo que se pide es un extremo absoluto sobre un intervalo cerrado —y lo es en diez de los once cursos, aunque el enunciado no use esa palabra— el paso 6 tiene una versión más corta y más segura que estudiar signos. Weierstrass garantiza que el máximo y el mínimo existen y que están o en un punto crítico o en un extremo del intervalo, así que basta con evaluar la función objetivo en los candidatos y en los dos bordes, y comparar los números. No hace falta $f''$ ni tablas de signos: la lista más corta gana.

El detalle que se olvida es el borde. Un problema de optimización aplicado casi siempre trae un intervalo escondido en la geometría —«la base no puede ser negativa ni mayor que el cartón»—, y ese intervalo hay que escribirlo en el paso

Si no está escrito, los bordes no se evalúan.

Error típico · quedarse en «la derivada se anula aquí»

Que $f'(c)=0$ solo dice que hay un punto crítico. Puede ser máximo, mínimo o inflexión. Hay que decidirlo, con el signo de $f''$ o con el de $f'$ a los dos lados. Y hay que mirar además los extremos del intervalo, donde la derivada no tiene por qué anularse.

Lo que hay que llevar sabido

Como en los demás temas: está todo explicado arriba y esta lista no es la fuente, es lo que se relee la última hora. Aquí con un matiz — los tres teoremas se piden enunciados con sus hipótesis, y las hipótesis puntúan tanto como la conclusión.

Los tres teoremas, y en qué se distinguen

teorema	hipótesis	conclusión
Fermat	extremo local, punto interior, $f$ derivable ahí	$f'(c)=0$
Rolle	$f$ continua en $[a,b]$ , derivable en $(a,b)$ , $f(a)=f(b)$	existe $c$ con $f'(c)=0$
Lagrange	$f$ continua en $[a,b]$ , derivable en $(a,b)$	existe $c$ con $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Continuidad en el cerrado y derivabilidad en el abierto: la diferencia no es un descuido del enunciado, es a propósito. Y Rolle es Lagrange cuando la pendiente media vale cero.

Taylor y su resto

P_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}, \qquad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

con $\xi$ entre $a$ y $x$ . El $\xi$ no se conoce: se acota por el máximo de $\left|f^{(n+1)}\right|$ . Con $a=0$ se llama Maclaurin. Un valor sin cota del resto no vale los puntos del apartado.

Los desarrollos

e^{x} = \sum\frac{x^{n}}{n!}, \quad \mathrm{sen}\,x = \sum\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad \cos x = \sum\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}

\ln(1+x) = \sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}, \quad \frac{1}{1-x} = \sum x^{n}, \quad (1+x)^{\alpha} = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^{2}+\dots

Los tres primeros para todo $x$ ; los tres últimos solo si $\left|x\right|<1$ .

Clasificar y optimizar

$f'>0$ crece · $f'<0$ decrece · $f''>0$ convexa · $f''<0$ cóncava · $f''$ cambia de signo, inflexión. En un punto crítico, $f''(c)>0$ mínimo y $f''(c)<0$ máximo; si $f''(c)=0$ , el criterio calla y hay que mirar $f'$ a los dos lados.

Y para un extremo absoluto en un cerrado: Weierstrass garantiza que existe, y está en un punto crítico o en un borde. Se evalúan los candidatos y se comparan los números.

Practica lo que acabas de leer

Un punto crítico, y decidir qué es

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un punto crítico, y decidir qué es

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para $f(x) = x^{3} - 3x$ , encontrar sus puntos críticos y clasificarlos.

Los puntos donde la derivada se anula y qué es cada uno.

01
Reconocer el camino
COMP1
Si $f'(c) = 0$ , ¿qué se puede afirmar del punto $c$ ?
02
El punto crítico positivo
COMP2
Resolviendo $f'(x) = 3x^{2} - 3 = 0$ , ¿cuál es la solución positiva?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Clasificarlo
COMP2
Con $f''(x) = 6x$ , ¿cuánto vale $f''(1)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f'(x) = 3x^{2}-3$ se anula en $x = \pm 1$ .
2. $f''(x) = 6x$ , y $f''(1) = 6 > 0$ , luego en $x=1$ hay un mínimo.
3. $f''(-1) = -6 < 0$ , luego en $x=-1$ hay un máximo.
4. Son extremos relativos y no absolutos, porque la función no está acotada.

Resolución completa

Los candidatos. Se buscan donde la derivada se anula, que es lo que Fermat autoriza:

f'(x) = 3x^{2}-3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pm 1

Clasificarlos con el signo de la segunda derivada, $f''(x) = 6x$ :

punto	$f''$	qué es
$x=-1$	$-6 < 0$	máximo relativo
$x=1$	$6 > 0$	mínimo relativo

El detalle que se pierde. Son extremos relativos. La función es una cúbica y no está acotada, así que no tiene máximo ni mínimo absolutos. Si el enunciado pidiera absolutos sobre un intervalo cerrado, habría que evaluar también en los bordes.

Y si $f''(c)$ saliera cero, el criterio no diría nada y habría que mirar el signo de $f'$ a los dos lados del punto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El teorema del valor medio, aplicado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Comprobar que $f(x) = x^{2}$ cumple las hipótesis del teorema de Lagrange en $[0,2]$ y encontrar el punto $c$ que el teorema garantiza.

La comprobación de las hipótesis y el valor de c.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dos hipótesis pide el teorema de Lagrange, y en qué intervalos?
02
La pendiente media
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto que el teorema garantiza
COMP2
Resolviendo $f'(c) = 2$ , con $f'(x) = 2x$ , ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza sobra.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f(x)=x^{2}$ es un polinomio, luego continua en $[0,2]$ y derivable en $(0,2)$ .
2. La pendiente media vale $\frac{4-0}{2} = 2$ .
3. Lagrange garantiza un $c \in (0,2)$ con $f'(c) = 2$ .
4. Resolviendo $2c = 2$ sale $c = 1$ , que efectivamente está dentro.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

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Un polinomio de Taylor de orden 2

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el polinomio de Maclaurin de orden 2 de $f(x) = e^{x}$ y usarlo para aproximar $e^{0{,}1}$ .

El polinomio y el valor aproximado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué quiere decir que el polinomio sea «de Maclaurin»?
02
El coeficiente de x²
COMP2
En $P_2(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^{2}$ , ¿cuánto vale el coeficiente de $x^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aproximación
COMP2
Sustituyendo $x = 0{,}1$ , ¿cuánto vale $P_2(0{,}1)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con tres decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Todas las derivadas de $e^{x}$ son $e^{x}$ , y en 0 valen 1.
2. Luego $P_2(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$ .
3. Sustituyendo $x = 0{,}1$ sale $1{,}105$ .
4. Es una aproximación, así que la respuesta completa lleva una cota del error.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

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Optimizar, con la restricción a la vista

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Con 20 metros de valla se quiere cercar un rectángulo. ¿Qué dimensiones dan el área máxima?

Las dimensiones del rectángulo de área máxima.

01
Reconocer el camino
COMP1
En un problema de optimización, ¿qué es la «función objetivo»?
02
El objetivo con una sola variable
COMP2
Con perímetro $2x+2y=20$ , se despeja $y = 10-x$ y el área queda $A(x) = x(10-x)$ . ¿En qué valor de $x$ se anula $A'(x)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una pieza no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Objetivo, el área $A = xy$ ; restricción, el perímetro $2x+2y=20$ .
2. De la restricción, $y = 10-x$ , y el objetivo queda $A(x)=10x-x^{2}$ .
3. El intervalo es $0 < x < 10$ , porque los lados son positivos.
4. $A'(x)=10-2x$ se anula en $x=5$ , y $A''=-2<0$ , luego es máximo.
5. Con $x=5$ sale $y=5$ , un cuadrado de 25 m².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

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Lo dibujado es la derivada, no la función

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La gráfica de $f'$ es una recta que pasa por el origen con pendiente positiva, es decir $f'(x) = x$ . Decir dónde crece $f$ , dónde tiene extremos y cómo se curva.

Los intervalos de crecimiento, los extremos y la concavidad de f.

01
Reconocer el camino
COMP1
Lo dibujado corta el eje en $x=0$ . ¿Qué significa eso para $f$ ?
02
Dónde decrece
COMP2
$f$ decrece donde $f'$ es negativa. Con $f'(x) = x$ , ¿cuál es el mayor valor de $x$ en el que $f$ decrece?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la lectura completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Lo dibujado es $f'$ , así que su altura es la pendiente de $f$ .
2. Con $f' < 0$ para $x<0$ y $f' > 0$ para $x>0$ , la función decrece y luego crece.
3. En $x=0$ la derivada pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo de $f$ .
4. La curva dibujada sube siempre, luego $f'' > 0$ y $f$ es convexa en todo $\mathbb{R}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

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Dos curvas, y decidir cuál deriva a cuál

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la figura hay dos curvas, A y B, dibujadas sobre los mismos ejes. Una es la derivada de la otra. Decidir cuál es cuál, y justificarlo sin calcular nada.

Las dos líneas de puntos marcan x = −1 y x = 1. No hace falta ninguna fórmula: todo lo que decide la respuesta está en dónde corta una y dónde se pone horizontal la otra.

Cuál de las dos es la derivada, con el argumento que lo demuestra.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para decidir cuál es la derivada de cuál, ¿qué hay que mirar?
02
La pendiente de B en el origen
COMP2
Una vez decidido cuál es la derivada, ¿cuánto vale la pendiente de la curva B en $x = 0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. A corta al eje horizontal en $x=-1$ y en $x=1$ , exactamente donde B tiene sus dos tangentes horizontales.
2. Y los signos acompañan: a la izquierda de $-1$ la A es positiva y la B sube; entre $-1$ y $1$ la A es negativa y la B baja.
3. Luego A es la derivada de B, y no al revés.
4. El mínimo de A en $x=0$ dice además que ahí está el punto de inflexión de B, que es donde más deprisa baja.

Resolución completa

El criterio, y por qué es el único que hace falta. La derivada se anula exactamente donde la función tiene tangente horizontal. Así que entre dos curvas basta con comprobar una cosa: si los ceros de una caen bajo los extremos de la otra.

Aquí A corta el eje en $x=-1$ y en $x=1$ , y es justo donde B se pone horizontal. Luego A es la derivada de B.

La comprobación que lo cierra, y que es la que se puntúa. Con los ceros no basta: hay que mirar los signos, porque un cero de la derivada también podría ser un punto de inflexión.

dónde	signo de A	qué hace B
$x < -1$	positiva	sube
$-1 < x < 1$	negativa	baja
$x > 1$	positiva	sube

Las tres filas encajan, así que la lectura es coherente en todo el dibujo y no solo en dos puntos.

Por qué la lectura contraria se cae. Si B fuera la derivada de A, A tendría que ponerse horizontal en cada corte de B con el eje. B corta en tres sitios —el origen y dos cerca de los bordes— y A solo tiene una tangente horizontal, su vértice. Dos cortes sin pareja bastan para descartarla.

Es el error que más veces cuesta este ejercicio en el examen: encontrar una coincidencia y dar la respuesta por buena.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un desarrollo compuesto, sin derivar ni una vez

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Obtener los tres primeros términos no nulos del desarrollo de Maclaurin de $f(x) = e^{x^{2}}$ , sin calcular ninguna derivada.

Los tres primeros términos no nulos del desarrollo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué no hace falta derivar para obtener este desarrollo?
02
El coeficiente de grado cuatro
COMP2
En $e^{x^{2}} = 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + \ldots$ , ¿cuál es el coeficiente de $x^{4}$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (1/2), o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se parte de $e^{u} = 1+u+\frac{u^{2}}{2!}+\frac{u^{3}}{3!}+\ldots$
2. Se sustituye $u = x^{2}$ , con lo que cada grado se duplica.
3. Queda $e^{x^{2}} = 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + \ldots$ , con solo potencias pares.
4. El radio de convergencia sigue siendo infinito, porque el de $e^{u}$ lo es.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La cota del error, que es media pregunta

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se aproxima $e^{x}$ por su polinomio de Maclaurin de orden 2 en el intervalo $[0, 1]$ . Acotar el error cometido.

Una cota del error de la aproximación en ese intervalo.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el resto de Lagrange $R_2(x) = \dfrac{f'''(\xi)}{3!}x^{3}$ , ¿qué es lo que hay que acotar?
02
La cota
COMP2
Con $f'''(\xi) = e^{\xi} \le e$ en $[0,1]$ y $x \le 1$ , ¿cuánto vale la cota $\dfrac{e}{6}$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (e/6), o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El resto de un polinomio de orden 2 es $R_2(x) = \frac{f'''(\xi)}{3!}x^{3}$ , con $\xi$ entre 0 y $x$ .
2. Todas las derivadas de $e^{x}$ son $e^{x}$ , así que $f'''(\xi) = e^{\xi}$ .
3. Como $\xi \in [0,1]$ y la exponencial crece, $e^{\xi} \le e$ .
4. Y como $x \le 1$ , entonces $x^{3}\le 1$ , así que la cota es $\frac{e}{6}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1 · Boletín «Estudio local. Problemas» · Cálculo, UPV/EHU

Tres funciones y una pendiente media

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Estudiar si es posible aplicar el teorema del valor medio (Lagrange) a las siguientes funciones en los intervalos indicados, y en caso afirmativo calcular el valor $c$ a que hace referencia este teorema.

(a) $f(x) = 3x-4$ en $[1,4]$ · (b) $f(x) = \sqrt{1-x}$ en $[-3,0]$ · (c) $f(x) = x-\dfrac{1}{x}$ en $[1,3]$

Estudiar las hipótesis y calcular $c$ donde sea posible.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las hipótesis de Lagrange son dos y no son la misma. ¿Cuáles?
02
El caso de la recta
COMP2
En (a), ¿para cuántos valores de $c$ se cumple la tesis?
Tu respuesta al paso 2escribe -1 si sirven todos los del intervalo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El caso de la raíz
COMP2
En (b), ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método y los tres resultados. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El método. Comprobar continuidad en el cerrado y derivabilidad en el abierto; calcular la pendiente media $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ; igualarla a $f'(c)$ y resolver.
2. (a) Es una recta: $f' \equiv 3$ y la pendiente media también es 3, así que sirve todo $c \in (1,4)$ .
3. (b) Pendiente media $-\frac13$ , y de $\frac{-1}{2\sqrt{1-c}} = -\frac13$ sale $c = -\frac54$ .
4. (c) $f(x) = x-\frac1x$ es continua y derivable en $[1,3]$ porque el 0 queda fuera. Pendiente media $\frac{8/3-0}{2} = \frac43$ , y de $1+\frac{1}{c^{2}} = \frac43$ sale $c = \sqrt3$ .
5. En los tres casos hay que comprobar que el $c$ obtenido cae dentro del intervalo abierto.
Resolver la ecuación es la mitad; la otra mitad es filtrar las soluciones que caen fuera. Ese filtro es donde se pierden los puntos.

Resolución completa

Datos. Tres funciones con sus intervalos. Se pide comprobar las hipótesis de Lagrange y, si se cumplen, hallar $c$ .

1 · El teorema y sus dos hipótesis

Si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ , existe $c \in (a,b)$ tal que

f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

La asimetría entre cerrado y abierto es deliberada: al pedir derivabilidad solo en el interior, el teorema sigue valiendo para funciones con tangente vertical en un extremo.

Y la tesis dice «existe al menos un $c$ »: no promete unicidad.

2 · (a) $f(x) = 3x-4$ en $[1,4]$

Hipótesis: un polinomio es continuo y derivable en todo $\mathbb{R}$ ✔

\frac{f(4)-f(1)}{4-1} = \frac{8-(-1)}{3} = 3

f'(x) = 3

La ecuación $f'(c) = 3$ se cumple para todos los $c$ :

\boxed{\forall c \in (1,4)}

Es lo que le pasa a cualquier recta: su pendiente instantánea coincide siempre con la media. El apartado está para recordar que el teorema garantiza existencia, no unicidad.

3 · (b) $f(x) = \sqrt{1-x}$ en $[-3,0]$

Hipótesis. El dominio de $\sqrt{1-x}$ es $x \le 1$ , y $[-3,0] \subset (-\infty,1]$ ✔. Es continua ahí. Y derivable en $(-3,0)$ , porque

f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{1-x}}

solo falla donde $1-x = 0$ , es decir en $x=1$ , fuera del intervalo ✔

Pendiente media:

\frac{f(0)-f(-3)}{0-(-3)} = \frac{1-2}{3} = -\frac{1}{3}

Igualando:

\frac{-1}{2\sqrt{1-c}} = -\frac13 \;\Longrightarrow\; \sqrt{1-c} = \frac32 \;\Longrightarrow\; 1-c = \frac94

\boxed{c = -\frac54 = -1{,}25}

Y está en $(-3,0)$ ✔

4 · (c) $f(x) = x-\frac{1}{x}$ en $[1,3]$

Hipótesis. La función no está definida en $x=0$ , pero el 0 no pertenece a $[1,3]$ , así que es continua y derivable en todo el intervalo ✔ Decirlo es parte de la respuesta: la restricción existe y hay que comprobar que no molesta.

Pendiente media:

f(1) = 1-1 = 0, \qquad f(3) = 3-\frac13 = \frac83

\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{8/3}{2} = \frac43

Derivada e igualdad:

f'(x) = 1+\frac{1}{x^{2}}

1+\frac{1}{c^{2}} = \frac43 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{c^{2}} = \frac13 \;\Longrightarrow\; c^{2} = 3 \;\Longrightarrow\; c = \pm\sqrt3

Y aquí el filtro: $-\sqrt3 \approx -1{,}73$ no está en $(1,3)$ , así que se descarta. Solo vale

\boxed{c = \sqrt3 \approx 1{,}732}

5 · Comprobación

	$c$	$f'(c)$	pendiente media	¿coinciden?
(a)	cualquiera	$3$	$3$	✔
(b)	$-1{,}25$	$\frac{-1}{2\sqrt{2{,}25}} = \frac{-1}{3}$	$-\frac13$	✔
(c)	$\sqrt3$	$1+\frac13 = \frac43$	$\frac43$	✔

Y en los tres casos $c$ cae dentro del intervalo abierto, que es la otra condición que hay que verificar.

Resultado

\boxed{\;\text{(a) } \forall c \in (1,4) \qquad \text{(b) } c = -\tfrac54 \qquad \text{(c) } c = \sqrt3\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2 · Boletín «Estudio local. Problemas» · Cálculo, UPV/EHU

Tres veces que la derivada tiene que anularse

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Estudiar si es posible aplicar el teorema de Rolle a las siguientes funciones en los intervalos indicados, y en caso afirmativo calcular el valor $c$ a que hace referencia este teorema.

(a) $f(x) = x^{2}+x+4$ en $[-3,2]$ · (b) $f(x) = x^{3}-6x^{2}+5x+3$ en $[1,5]$ · (c) $f(x) = \mathrm{sen}\,x$ en $[0,\pi]$

Estudiar las hipótesis y calcular $c$ donde sea posible.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hipótesis tiene Rolle que no tiene Lagrange?
02
El apartado (a)
COMP2
En (a), ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado (b)
COMP2
En (b), ¿cuánto vale $c$ ? En forma exacta, o con tres decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método y los tres resultados. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las tres hipótesis de Rolle: continua en el cerrado, derivable en el abierto y $f(a) = f(b)$ . La tercera es la que hay que comprobar aparte.
2. (a) $f(-3) = f(2) = 10$ ✔, y $f'(c) = 2c+1 = 0$ da $c = -\frac12$ , el vértice de la parábola.
3. (b) $f(1) = f(5) = 3$ ✔, y $3c^{2}-12c+5 = 0$ da $c = 2\pm\sqrt{\frac73}$ ; solo $2+\sqrt{\frac73} \approx 3{,}53$ está en $(1,5)$ .
4. (c) $\mathrm{sen}\,0 = \mathrm{sen}\,\pi = 0$ ✔, y $\cos c = 0$ da $c = \frac{\pi}{2}$ , la cima de la onda.
5. En los tres hay que filtrar las soluciones que caen fuera del intervalo abierto.
En los tres casos el intervalo está elegido a propósito para que los extremos valgan lo mismo. Ese detalle del enunciado no es casual.

Resolución completa

Datos. Tres funciones con sus intervalos. Se pide comprobar las hipótesis de Rolle y hallar $c$ .

1 · El teorema

Si $f$ es continua en $[a,b]$ , derivable en $(a,b)$ y $\boldsymbol{f(a) = f(b)}$ , entonces existe $c \in (a,b)$ con

f'(c) = 0

Es el caso particular de Lagrange en que la pendiente media vale 0. La tercera hipótesis es la propia de Rolle, y es la que hay que comprobar explícitamente: las dos primeras suelen ser inmediatas.

2 · (a) $f(x) = x^{2}+x+4$ en $[-3,2]$

Hipótesis. Polinomio: continuo y derivable en todo $\mathbb{R}$ ✔

f(-3) = 9-3+4 = 10, \qquad f(2) = 4+2+4 = 10 \quad\checkmark

Tesis.

f'(x) = 2x+1 = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{c = -\frac12}

Y $-\frac12 \in (-3,2)$ ✔

El único punto de derivada nula de una parábola es su vértice, así que aquí $c$ es único. Y el intervalo del enunciado está elegido para ser simétrico respecto de él: por eso los extremos coinciden.

3 · (b) $f(x) = x^{3}-6x^{2}+5x+3$ en $[1,5]$

Hipótesis. Polinomio ✔

f(1) = 1-6+5+3 = 3

f(5) = 125-150+25+3 = 3 \quad\checkmark

Tesis.

f'(x) = 3x^{2}-12x+5 = 0

x = \frac{12\pm\sqrt{144-60}}{6} = \frac{12\pm\sqrt{84}}{6} = 2\pm\frac{2\sqrt{21}}{6} = 2\pm\sqrt{\frac{7}{3}}

Las dos raíces son $\approx 3{,}528$ y $\approx 0{,}472$ . Solo la primera está en $(1,5)$ :

\boxed{c = 2+\sqrt{\frac{7}{3}} \approx 3{,}528}

El filtro es obligatorio. La ecuación algebraica no sabe nada del intervalo.

4 · (c) $f(x) = \mathrm{sen}\,x$ en $[0,\pi]$

Hipótesis. El seno es continuo y derivable en todo $\mathbb{R}$ ✔

\mathrm{sen}\,0 = 0, \qquad \mathrm{sen}\,\pi = 0 \quad\checkmark

Tesis.

f'(x) = \cos x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{\pi}{2}+k\pi

De todas esas, la única en $(0,\pi)$ es

\boxed{c = \frac{\pi}{2}}

que es la cima de la onda: el máximo del seno en ese intervalo.

5 · Qué tienen en común los tres

En los tres casos $c$ resulta ser un extremo local de la función:

	$c$	qué es
(a)	$-\frac12$	vértice, mínimo
(b)	$3{,}528$	mínimo local de la cúbica
(c)	$\frac{\pi}{2}$	máximo del seno

No es casualidad. Si $f(a) = f(b)$ y la función no es constante, tiene que subir y bajar —o al revés— dentro del intervalo, y en el punto de giro la derivada se anula. Esa es la demostración del teorema, y conviene tenerla en la cabeza: por el teorema de Weierstrass, una función continua en un cerrado alcanza su máximo y su mínimo, y si los extremos valen lo mismo al menos uno de ellos cae en el interior.

6 · Comprobación

	$f(a)$	$f(b)$	$c$	$f'(c)$
(a)	$10$	$10$	$-0{,}5$	$2(-0{,}5)+1 = 0$ ✔
(b)	$3$	$3$	$3{,}528$	$3(12{,}45)-12(3{,}528)+5 = 0{,}0$ ✔
(c)	$0$	$0$	$\frac{\pi}{2}$	$\cos\frac{\pi}{2} = 0$ ✔

Resultado

\boxed{\;\text{(a) } c = -\tfrac12 \qquad \text{(b) } c = 2+\sqrt{\tfrac73} \qquad \text{(c) } c = \tfrac{\pi}{2}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3 · Boletín «Estudio local. Problemas» · Cálculo, UPV/EHU · El boletín no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La tangente de dos grados, y cuánto se equivoca

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando el polinomio de Taylor de orden 2, calcular $\mathrm{tg}\,2^{\circ}$ y estimar el error cometido.

Calcular el valor aproximado y acotar el error.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Alrededor de qué punto conviene desarrollar?
02
El valor aproximado
COMP2
¿Cuánto vale $\mathrm{tg}\,2^{\circ}$ con el polinomio de orden 2? En forma exacta, o con cinco decimales.
Tu respuesta al paso 2un número en forma exacta, o con cinco decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La cota del error
COMP2
El resto es $R_2 = \frac{f'''(\xi)}{6}x^{3}$ . Acotando $f'''$ por 3 en el intervalo, ¿cuánto vale la cota del error? Da un número con notación decimal.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Convertir a radianes: $2^{\circ} = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90} \approx 0{,}0349$ . Sin esto, todo lo demás es falso.
2. Elegir el punto de apoyo: $a=0$ , porque el ángulo está muy cerca y ahí la tangente y sus derivadas se conocen.
3. Las derivadas: $f(0)=0$ , $f'(0)=1$ , $f''(0)=0$ , así que $P_2(x) = x$ — el término cuadrático desaparece.
4. El valor: $\mathrm{tg}\,2^{\circ} \approx \frac{\pi}{90} \approx 0{,}03491$ .
5. El error: $\left|R_2\right| \le \frac{\max\left|f'''\right|}{3!} x^{3} \approx 2{,}1\cdot10^{-5}$ , así que hay cuatro decimales fiables.
Ese es el matiz fino del ejercicio: dos polinomios idénticos con dos cotas de error distintas. El orden que se declara importa.

Resolución completa

Aviso. El boletín no publica solución de este ejercicio. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Calcular $\mathrm{tg}\,2^{\circ}$ con el polinomio de Taylor de orden 2 y estimar el error.

1 · Convertir a radianes

Lo primero, y sin ello nada de lo demás vale:

2^{\circ} = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90} \approx 0{,}0349066

Las derivadas de las funciones trigonométricas presuponen radianes.

2 · Elegir el punto de apoyo

$a = 0$ . Está muy cerca —a $0{,}035$ — y ahí la tangente y sus derivadas se calculan de cabeza. Es el desarrollo de Maclaurin.

3 · Las derivadas en 0

f(x) = \mathrm{tg}\,x \;\Longrightarrow\; f(0) = 0

f'(x) = \sec^{2}x = 1+\mathrm{tg}^{2}x \;\Longrightarrow\; f'(0) = 1

f''(x) = 2\sec^{2}x\,\mathrm{tg}\,x \;\Longrightarrow\; f''(0) = 0

4 · El polinomio

P_2(x) = f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2} = 0+x+0 = x

El término cuadrático se anula, y no por casualidad: la tangente es una función impar, y las funciones impares solo tienen potencias impares en su desarrollo. Así que $P_2 = P_1 = x$ .

De ahí sale la regla de ingeniería « $\mathrm{tg}\,x \approx x$ para ángulos pequeños», que este ejercicio justifica.

5 · El valor

\mathrm{tg}\,2^{\circ} \approx \frac{\pi}{90} \approx 0{,}0349066

6 · El error, que es la otra mitad del ejercicio

R_2(x) = \frac{f'''(\xi)}{3!}x^{3}, \qquad \xi \in \left(0,\tfrac{\pi}{90}\right)

No hace falta saber cuánto vale $\xi$ : se acota. Derivando otra vez,

f'''(x) = 2\sec^{2}x\left(\sec^{2}x+2\,\mathrm{tg}^{2}x\right)

En $x=0$ vale 2, y en todo el intervalo —que es diminuto— apenas crece. Acotando con holgura por 3:

\left|R_2\right| \le \frac{3}{6}\left(\frac{\pi}{90}\right)^{3} = \frac{1}{2}\left(0{,}0349066\right)^{3} \approx 2{,}13\cdot10^{-5}

Conclusión: el resultado es fiable hasta la cuarta cifra decimal,

\mathrm{tg}\,2^{\circ} = 0{,}0349 \pm 0{,}0001

7 · Por qué declarar orden 2 mejora la garantía

El polinomio de orden 2 y el de orden 1 son el mismo, $x$ . Pero sus cotas de error no:

orden	resto	cota
1	$\frac{f''(\xi)}{2}x^{2}$	$\approx 4{,}3\cdot10^{-5}$
2	$\frac{f'''(\xi)}{6}x^{3}$	$\approx 2{,}1\cdot10^{-5}$

Saber que el término cuadrático se anula no cambia el número, pero duplica la precisión garantizada. Ese matiz es el contenido fino del ejercicio.

8 · Comprobación

El valor exacto es

\mathrm{tg}\,2^{\circ} = 0{,}0349208

y el error real cometido:

\left|0{,}0349208-0{,}0349066\right| = 1{,}42\cdot10^{-5}

menor que la cota de $2{,}13\cdot10^{-5}$ ✔ Una cota que se cumple es una cota bien calculada; si el error real la superara, habría un fallo en la acotación.

Y el signo también encaja: la aproximación se queda corta, porque el primer término omitido es $\frac{x^{3}}{3}$ , positivo.

Resultado

\boxed{\;\mathrm{tg}\,2^{\circ} \approx \frac{\pi}{90} \approx 0{,}03491, \qquad \left|\text{error}\right| \le 2{,}1\cdot10^{-5}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4 · Boletín «Estudio local. Problemas» · Cálculo, UPV/EHU · El boletín no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuántos términos para una precisión dada

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

¿Cuántos términos hay que tomar en el desarrollo

\mathrm{sen}\,x = x-\frac{x^{3}}{3!}+\dots

para calcular $\mathrm{sen}\,15^{\circ}$ con una exactitud menor que $0{,}0001$ ?

Determinar cuántos términos hacen falta.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se decide cuántos términos hacen falta?
02
El ángulo en radianes
COMP2
¿Cuánto es $15^{\circ}$ en radianes? En forma exacta, o con cinco decimales.
Tu respuesta al paso 2un número en forma exacta, o con cinco decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El número de términos
COMP2
¿Cuántos términos del desarrollo hacen falta?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Convertir a radianes: $15^{\circ} = \frac{\pi}{12} \approx 0{,}2618$ .
2. Elegir el criterio. El desarrollo del seno es alternado y sus términos decrecen en valor absoluto, así que el error al truncar es menor que el primer término omitido.
3. Probar términos. $\frac{x^{3}}{6} \approx 3\cdot10^{-3}$ , aún grande; $\frac{x^{5}}{120} \approx 1{,}0\cdot10^{-5}$ , ya menor que $10^{-4}$ .
4. Luego bastan dos términos: $\mathrm{sen}\,15^{\circ} \approx x-\frac{x^{3}}{6} \approx 0{,}25882$ .
5. El resultado coincide con el valor exacto hasta la quinta cifra, como garantizaba la cota.
Sin la alternancia habría que acotar $f^{(n+1)}$ , que para el seno es fácil —está acotada por 1— pero para otras funciones no.

Resolución completa

Aviso. El boletín no publica solución de este ejercicio. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. El desarrollo del seno y la precisión $0{,}0001$ . Se pregunta cuántos términos hacen falta para $\mathrm{sen}\,15^{\circ}$ .

1 · Convertir a radianes

15^{\circ} = \frac{15\pi}{180} = \frac{\pi}{12} \approx 0{,}261799

Que el ángulo sea menor que 1 importa: hace que las potencias $x^{3}, x^{5}, \dots$ decrezcan deprisa, y por eso bastarán pocos términos.

2 · El criterio, y por qué se puede usar

Hay dos formas de acotar el error:

La general, con el resto de Lagrange: $\left|R_n\right| \le \frac{\max\left|f^{(n+1)}\right|}{(n+1)!}x^{n+1}$ . Para el seno es cómoda porque todas sus derivadas están acotadas por 1.

La de las series alternadas, más directa: si una serie alterna y sus términos decrecen en valor absoluto, el error al truncar es menor que el primer término omitido.

El desarrollo del seno cumple las dos condiciones —alterna y, para $x<1$ , decrece—, así que se puede usar la segunda. Decirlo es parte de la respuesta: el criterio no vale para cualquier serie.

3 · Probar términos

\frac{x^{3}}{3!} = \frac{(0{,}261799)^{3}}{6} = \frac{0{,}0179441}{6} \approx 2{,}99\cdot10^{-3}

Demasiado grande: con un solo término el error rondaría $0{,}003$ , treinta veces la precisión pedida.

\frac{x^{5}}{5!} = \frac{(0{,}261799)^{5}}{120} = \frac{1{,}22980\cdot10^{-3}}{120} \approx 1{,}02\cdot10^{-5}

1{,}02\cdot10^{-5} < 10^{-4} \quad\checkmark

4 · Conclusión

Bastan dos términos:

\mathrm{sen}\,15^{\circ} \approx x-\frac{x^{3}}{6} = 0{,}261799-0{,}002991 = 0{,}258808

\boxed{\;\text{Dos términos: } x-\frac{x^{3}}{6}, \qquad \text{error} < 1{,}1\cdot10^{-5}\;}

5 · Comprobación

El valor exacto es

\mathrm{sen}\,15^{\circ} = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4} = 0{,}2588190

y el error real:

\left|0{,}2588190-0{,}2588083\right| = 1{,}07\cdot10^{-5}

Menor que $10^{-4}$ ✔, y muy cerca de la cota $1{,}02\cdot10^{-5}$ —la cota es tan ajustada porque en una alternada el error es casi el primer término omitido—.

Y para ver que un solo término no basta:

\left|0{,}2588190-0{,}261799\right| = 2{,}98\cdot10^{-3} > 10^{-4} \quad\times

Confirmado: uno se queda corto, dos sobran para la precisión pedida.

6 · Cómo cambiaría con otro ángulo

Merece la pena ver de qué depende el resultado, porque es lo que se pregunta de verdad:

ángulo	$x$ (rad)	$\frac{x^{3}}{6}$	$\frac{x^{5}}{120}$	términos
$15^{\circ}$	$0{,}262$	$3{,}0\cdot10^{-3}$	$1{,}0\cdot10^{-5}$	2
$45^{\circ}$	$0{,}785$	$8{,}1\cdot10^{-2}$	$2{,}5\cdot10^{-3}$	3
$90^{\circ}$	$1{,}571$	$6{,}5\cdot10^{-1}$	$8{,}0\cdot10^{-2}$	4

Cuanto más grande el ángulo, más términos. Por eso en la práctica se reduce siempre el ángulo al primer octante antes de desarrollar.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5 · Boletín «Estudio local. Problemas» · Cálculo, UPV/EHU · El boletín no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Ocho desarrollos, y solo tres hay que calcular

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Desarrollar las siguientes funciones en serie de potencias:

1. $f(x) = e^{x}$ · 2. $f(x) = \mathrm{sen}\,x$ · 3. $f(x) = \cos x$ · 4. $f(x) = \ln(1+x)$

5. $f(x) = \dfrac{1}{x-1}$ · 6. $f(x) = (1+x)^{m}$ · 7. $f(x) = x^{2}e^{x}$ · 8. $f(x) = \ln\dfrac{1+x}{1-x}$

Desarrollar las ocho en serie de potencias.

01
Reconocer el camino
COMP1
Ocho desarrollos parecen ocho ejercicios. ¿Lo son?
02
El radio de convergencia del logaritmo
COMP2
¿Cuál es el radio de convergencia del desarrollo de $\ln(1+x)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena los ocho desarrollos y sus relaciones. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los tres básicos salen de derivar y evaluar en 0: $e^{x} = \sum\frac{x^{n}}{n!}$ , $\mathrm{sen}\,x = \sum\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ , $\cos x = \sum\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}$ . Los tres convergen para todo $x$ .
2. El cuarto sale de integrar la geométrica: $\ln(1+x) = \sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}$ , con $\left|x\right|<1$ .
3. El quinto es la geométrica con un signo: $\frac{1}{x-1} = -\frac{1}{1-x} = -\sum_{n\ge0}x^{n}$ , con $\left|x\right|<1$ .
4. El sexto es la serie binómica: $(1+x)^{m} = \sum_{n\ge0}\binom{m}{n}x^{n}$ , con $\left|x\right|<1$ si $m$ no es un entero no negativo.
5. El séptimo y el octavo salen de los anteriores: $x^{2}e^{x} = \sum\frac{x^{n+2}}{n!}$ , y $\ln\frac{1+x}{1-x} = \ln(1+x)-\ln(1-x) = 2\sum_{n\ge0}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ .
Fíjate en el 8: al restar los dos logaritmos se cancelan los términos pares y queda una serie solo con potencias impares. Es la seña de que la función es impar.

Resolución completa

Aviso. El boletín no publica solución de este ejercicio. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Ocho funciones que desarrollar en serie de potencias.

1 · La estrategia: tres se calculan, cinco se deducen

Calcular ocho desarrollos derivando cada uno sería el camino largo. La forma eficiente —y la que se examina— es tener memorizados unos pocos y obtener los demás manipulándolos.

2 · Los que se calculan derivando

1. $e^{x}$ . Todas sus derivadas valen 1 en 0:

e^{x} = \sum_{n\ge0}\frac{x^{n}}{n!} = 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\dots \qquad \forall x \in \mathbb{R}

2. $\mathrm{sen}\,x$ . Sus derivadas en 0 se repiten con periodo 4: $0,1,0,-1$ :

\mathrm{sen}\,x = \sum_{n\ge0}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\dots \qquad \forall x

Solo potencias impares: el seno es una función impar.

3. $\cos x$ . Igual, con $1,0,-1,0$ :

\cos x = \sum_{n\ge0}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!} = 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\dots \qquad \forall x

Solo potencias pares: el coseno es par. Y derivando esta serie término a término sale la del seno cambiada de signo, como debe.

3 · Los que salen de la geométrica

La serie madre es

\frac{1}{1-t} = \sum_{n\ge0}t^{n}, \qquad \left|t\right|<1

5. $\frac{1}{x-1}$ . Basta un signo:

\frac{1}{x-1} = -\frac{1}{1-x} = -\sum_{n\ge0}x^{n} = -1-x-x^{2}-\dots \qquad \left|x\right|<1

4. $\ln(1+x)$ . Sustituyendo $t=-x$ e integrando:

\frac{1}{1+x} = \sum_{n\ge0}(-1)^{n}x^{n}

\ln(1+x) = \int_0^x \frac{dt}{1+t} = \sum_{n\ge0}\frac{(-1)^{n}x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}

= x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\dots \qquad \left|x\right|<1

Integrar no cambia el radio de convergencia.

6. $(1+x)^{m}$ . Es la serie binómica:

(1+x)^{m} = \sum_{n\ge0}\binom{m}{n}x^{n} = 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^{2}+\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}x^{3}+\dots

con $\left|x\right|<1$ . Si $m$ es un entero no negativo la serie se corta —es el binomio de Newton— y vale para todo $x$ .

4 · Los que salen de operar

7. $x^{2}e^{x}$ . Se multiplica el desarrollo de $e^{x}$ por $x^{2}$ , término a término:

x^{2}e^{x} = x^{2}\sum_{n\ge0}\frac{x^{n}}{n!} = \sum_{n\ge0}\frac{x^{n+2}}{n!} = x^{2}+x^{3}+\frac{x^{4}}{2!}+\frac{x^{5}}{3!}+\dots

válido para todo $x$ : multiplicar por un polinomio no cambia el radio.

8. $\ln\frac{1+x}{1-x}$ . Se usa la propiedad del logaritmo de un cociente:

\ln\frac{1+x}{1-x} = \ln(1+x)-\ln(1-x)

= \left(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\dots\right) - \left(-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\dots\right)

Los términos pares se cancelan y los impares se duplican:

= 2\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\dots\right) = 2\sum_{n\ge0}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \qquad \left|x\right|<1

Que queden solo potencias impares confirma que la función es impar, y lo es: cambiar $x$ por $-x$ invierte la fracción y cambia el signo del logaritmo.

5 · El radio es parte de la respuesta

desarrollo	radio	dónde vale
1, 2, 3, 7	$\infty$	todo $\mathbb{R}$
4, 5, 6, 8	1	$\lvert x\rvert<1$

Un desarrollo sin su intervalo está incompleto. Con $x=2$ , la función $\frac{1}{x-1}$ vale perfectamente 1, pero la serie $-\sum2^{n}$ no converge: la serie deja de representar a la función fuera del radio.

6 · Comprobación

Numérica, con $x = 0{,}5$ y cuatro términos de cada una:

	serie truncada	valor exacto
$e^{0,5}$	$1+0{,}5+0{,}125+0{,}0208 = 1{,}6458$	$1{,}6487$ ✔
$\ln1{,}5$	$0{,}5-0{,}125+0{,}0417-0{,}0156 = 0{,}4011$	$0{,}4055$ ✔
$\ln3$	$2(0{,}5+0{,}0417+0{,}00625+0{,}00112) = 1{,}0981$	$1{,}0986$ ✔

El tercero converge mucho más rápido que el segundo aunque calcule un número mayor, y esa es la utilidad práctica del desarrollo 8: sirve para calcular logaritmos con pocos términos.

De coherencia: derivando la serie del 8 término a término sale $2\sum x^{2n} = \frac{2}{1-x^{2}}$ , que es exactamente la derivada de $\ln\frac{1+x}{1-x}$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6 · Boletín «Estudio local. Problemas» · Cálculo, UPV/EHU

Un producto máximo con la suma fijada

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular los valores de $x$ e $y$ que verifican $x+y = 6$ y para los cuales el valor $xy^{2}$ es máximo.

Calcular los valores de $x$ e $y$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay dos variables y una sola derivada. ¿Cómo se arregla?
02
El valor de y
COMP2
¿Cuánto vale $y$ en el máximo?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Objetivo: maximizar $P = xy^{2}$ . Restricción: $x+y = 6$ .
2. Reducir a una variable: de la restricción, $x = 6-y$ , y sustituyendo, $f(y) = 6y^{2}-y^{3}$ .
3. Derivar e igualar a cero: $f'(y) = 12y-3y^{2} = 3y(4-y) = 0$ , con soluciones $y=0$ e $y=4$ .
4. Decidir cuál es máximo: $f''(y) = 12-6y$ , y $f''(4) = -12 < 0$ , así que $y=4$ es el máximo.
5. La respuesta: $x = 2$ , $y = 4$ , con $P = 2\cdot16 = 32$ .
El reparto 2-4 en vez de 3-3 tiene una explicación: la $y$ pesa más en el objetivo, así que se lleva la parte mayor. Con $xy^{3}$ sería $1{,}5$ y $4{,}5$ .

Resolución completa

Datos. $x+y = 6$ . Se pide maximizar $xy^{2}$ .

1 · El método, y por qué el orden importa

Todos los problemas de optimización con restricción siguen el mismo guion:

Escribir la función objetivo.
Escribir la restricción.
Usar la restricción para dejar el objetivo con una sola variable.
Derivar e igualar a cero.
Decidir si es máximo o mínimo.

Los pasos 1 a 3 son el ejercicio; el 4 es mecánico; el 5 es donde se pierden los puntos.

2 · Plantear

Objetivo: $P = xy^{2}$ , que hay que hacer máximo.

Restricción: $x+y = 6$ .

De la restricción, $x = 6-y$ , y sustituyendo:

f(y) = (6-y)y^{2} = 6y^{2}-y^{3}

Una sola variable. Conviene despejar la variable que no está elevada, para no arrastrar raíces.

3 · Derivar

f'(y) = 12y-3y^{2} = 3y\left(4-y\right)

f'(y) = 0 \;\Longrightarrow\; y = 0 \;\text{ o }\; y = 4

Dos puntos críticos. Hay que decidir cuál es cuál.

4 · Decidir cuál es el máximo

f''(y) = 12-6y

$y$	$f''(y)$	qué es	$P = xy^{2}$
$0$	$+12$	mínimo	$6\cdot0 = 0$
$4$	$-12$	máximo	$2\cdot16 = 32$

\boxed{\;x = 2, \qquad y = 4, \qquad P_{\max} = 32\;}

5 · Por qué el reparto no es equitativo

Con $x+y=6$ fijo, uno esperaría que el producto máximo saliera en el reparto igualado. Y lo haría si el objetivo fuera $xy$ : ahí el máximo está en $x=y=3$ .

Pero aquí la $y$ está elevada al cuadrado: pesa más en el producto, así que le conviene llevarse la parte mayor. El reparto óptimo es $2$ y $4$ , es decir $\frac13$ y $\frac23$ del total.

Y hay un patrón general detrás: para maximizar $x^{a}y^{b}$ con $x+y = S$ , el óptimo reparte $S$ en proporción a los exponentes:

x = \frac{a}{a+b}S, \qquad y = \frac{b}{a+b}S

Aquí $a=1$ , $b=2$ , $S=6$ : $x = \frac16\cdot6\cdot1 = 2$ y $y = \frac{2}{3}\cdot6 = 4$ ✔

6 · Comprobación

Evaluando alrededor del punto:

$y$	$x = 6-y$	$P = xy^{2}$
$3$	$3$	$27$
$3{,}5$	$2{,}5$	$30{,}6$
$\mathbf{4}$	$\mathbf{2}$	$\mathbf{32}$
$4{,}5$	$1{,}5$	$30{,}4$
$5$	$1$	$25$

El 32 es efectivamente el mayor: sube hasta $y=4$ y baja después ✔

Y el reparto igualado, $3$ y $3$ , da 27: menos que el óptimo, como anticipaba el razonamiento de los exponentes.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7 · Boletín «Estudio local. Problemas» · Cálculo, UPV/EHU

El rectángulo más grande bajo una parábola

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Obtener el rectángulo de área máxima cuya base se encuentra en el eje $OX$ y sus vértices superiores en la parábola $y = 6-x^{2}$ .

Obtener el rectángulo de área máxima.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué conviene llamar $x$ a la mitad de la base?
02
La semibase óptima
COMP2
¿Cuánto vale la semibase $x$ en el rectángulo de área máxima?
Tu respuesta al paso 2un número, o una expresión como √2 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área máxima
COMP2
¿Cuál es el área máxima? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número, o una expresión como 8√2 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Nombrar con simetría. Los vértices son $(\pm x,0)$ y $(\pm x, y)$ con $y = 6-x^{2}$ , así que la base es $2x$ y la altura $6-x^{2}$ .
2. Objetivo con una variable: $A(x) = 2x\left(6-x^{2}\right) = 12x-2x^{3}$ .
3. El intervalo con sentido: $x \in \left(0,\sqrt6\right)$ , porque fuera de ahí la altura sería negativa.
4. Derivar: $A'(x) = 12-6x^{2} = 0$ da $x = \sqrt2$ , descartando la raíz negativa por ser una longitud.
5. Comprobar que es máximo: $A''(\sqrt2) = -12\sqrt2 < 0$ ✔ Y el área vale $8\sqrt2 \approx 11{,}31$ , con base $2\sqrt2$ y altura 4.
El compromiso entre base y altura es toda la gracia del problema: crecer en una encoge la otra, y el óptimo está en medio.

Resolución completa

Datos. Rectángulo con la base en el eje $OX$ y los vértices superiores en $y = 6-x^{2}$ . Se pide el de área máxima.

1 · Nombrar aprovechando la simetría

La parábola es simétrica respecto del eje $OY$ , y el rectángulo también tiene que serlo: si un vértice superior está en $(x,y)$ de la parábola, el otro está en $(-x,y)$ .

Llamando $x$ a la semibase:


vértices inferiores	$(-x,0)$ y $(x,0)$
vértices superiores	$(-x,\,6-x^{2})$ y $(x,\,6-x^{2})$
base	$2x$
altura	$6-x^{2}$

Llamar $x$ a la semibase y no a la base entera evita arrastrar fracciones.

2 · La función objetivo y su dominio

A(x) = \text{base}\times\text{altura} = 2x\left(6-x^{2}\right) = 12x-2x^{3}

Con sentido geométrico solo para

x \in \left(0,\;\sqrt6\right)

porque la semibase tiene que ser positiva y la altura también: la parábola corta el eje en $\pm\sqrt6$ .

Decir el intervalo no es un adorno: es lo que permite descartar soluciones después.

3 · Derivar

A'(x) = 12-6x^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 2 \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt2

Se descarta $-\sqrt2$ por sentido físico: una longitud no es negativa. Y $\sqrt2 \approx 1{,}414$ está dentro de $\left(0,\sqrt6\right)$ ✔

4 · Comprobar que es máximo

A''(x) = -12x, \qquad A''(\sqrt2) = -12\sqrt2 < 0

Máximo ✔ Y hay que mirar también los extremos del intervalo, que es donde se esconden los máximos cuando la derivada no se anula:

A(0) = 0, \qquad A(\sqrt6) = 2\sqrt6\cdot0 = 0

Los dos dan área nula: el rectángulo degenera en un segmento. Así que el máximo está en el interior, en $x=\sqrt2$ .

5 · El resultado

A(\sqrt2) = 12\sqrt2-2\left(\sqrt2\right)^{3} = 12\sqrt2-4\sqrt2 = 8\sqrt2 \approx 11{,}3137

\boxed{\;\text{base } 2\sqrt2 \approx 2{,}83, \quad\text{altura } 4, \quad A_{\max} = 8\sqrt2 \approx 11{,}31\;}

6 · La lectura del resultado

La altura óptima es 4, y la parábola llega hasta 6. Es decir: el rectángulo renuncia a un tercio de la altura disponible para ganar base.

Ese compromiso es la esencia del problema. Subir la altura estrecha el rectángulo, y bajarla lo achata; el óptimo está donde las dos pérdidas se equilibran.

7 · Comprobación

$x$	base	altura	área
$1$	$2$	$5$	$10$
$1{,}2$	$2{,}4$	$4{,}56$	$10{,}9$
$\mathbf{1{,}414}$	$\mathbf{2{,}83}$	$\mathbf{4}$	$\mathbf{11{,}31}$
$1{,}6$	$3{,}2$	$3{,}44$	$11{,}0$
$2$	$4$	$2$	$8$

Sube hasta $\sqrt2$ y baja después ✔

Y una comprobación de sentido: el rectángulo tiene que caber en el recinto entre la parábola y el eje, cuya área es

\int_{-\sqrt6}^{\sqrt6}\left(6-x^{2}\right)dx = 8\sqrt6 \approx 19{,}6

El rectángulo ocupa $11{,}31$ , un 58 % de ese recinto: plausible para el rectángulo inscrito más grande ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8 · Boletín «Estudio local. Problemas» · Cálculo, UPV/EHU · El enunciado impreso está incompleto: falta el punto por el que pasa la hipotenusa. Se ha reconstruido a partir de la propia solución del boletín; ver la resolución. Pendiente de tu revisión.

El triángulo más pequeño que pasa por un punto

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el área mínima de un triángulo rectángulo cuyo vértice correspondiente al ángulo recto se encuentra en el punto $(0,0)$ , cuyos lados contiguos están sobre los ejes $OX$ y $OY$ , y cuya hipotenusa pasa por el punto $(3,7)$ .

Calcular el área mínima del triángulo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Sin la condición de que la hipotenusa pase por un punto fijo, ¿cuál sería el área mínima?
02
El cateto horizontal óptimo
COMP2
Llamando $a$ al cateto sobre el eje $OX$ , ¿cuánto vale en el mínimo?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área mínima
COMP2
¿Cuál es el área mínima?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Detectar el dato que falta. Sin una condición que impida encoger el triángulo, el área baja hasta 0 y no hay mínimo. El enunciado necesita fijar un punto de la hipotenusa.
2. Plantear. Con catetos $a$ y $b$ , la hipotenusa es $\frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1$ , y pasar por $(3,7)$ da $\frac3a+\frac7b = 1$ .
3. Reducir a una variable: $b = \frac{7a}{a-3}$ , con $a>3$ para que $b>0$ , y $A(a) = \frac{7a^{2}}{2(a-3)}$ .
4. Derivar: $A'(a) = \frac{7a(a-6)}{2(a-3)^{2}}$ , que se anula en $a=0$ —fuera del dominio— y en $a=6$ .
5. Comprobar y concluir: $A'$ cambia de negativo a positivo en $a=6$ , así que es mínimo. $b=14$ y $A = 42$ .
Los dos comportamientos extremos son fáciles de ver: con $a$ cerca de 3 la hipotenusa se pone casi vertical y $b$ se dispara; con $a$ grande es la base la que se dispara.

Resolución completa

Aviso sobre el enunciado. El boletín, tal como está impreso, pide «el área mínima de un triángulo rectángulo con el vértice recto en $(0,0)$ y los catetos sobre los ejes», sin ninguna condición más. Así planteado el problema no tiene solución: el triángulo se puede encoger indefinidamente y el ínfimo del área es 0, que no se alcanza.

La solución que el boletín publica es $A = -\frac{7}{2}\cdot\frac{a^{2}}{3-a}$ , y de ahí se puede reconstruir el dato que falta. Reescribiéndola como $A = \frac{7a^{2}}{2(a-3)}$ y comparándola con la fórmula general de este problema cuando la hipotenusa pasa por un punto $(p,q)$ —que es $A = \frac{q\,a^{2}}{2(a-p)}$ —, sale $p=3$ y $q=7$ .

Es decir: falta decir que la hipotenusa pasa por $(3,7)$ . Además, lo que el boletín llama «solución» no es el área mínima sino el área en función de $a$ , a medio camino. Aquí se completa el ejercicio hasta el final. Todo esto queda pendiente de tu revisión.

Datos. Triángulo rectángulo con el vértice recto en el origen, catetos sobre los ejes y la hipotenusa pasando por $(3,7)$ . Se pide el área mínima.

1 · Por qué hace falta el punto

Merece la pena decirlo antes de calcular, porque es lo que da sentido al problema. Sin ninguna restricción, un triángulo con catetos $a$ y $b$ tiene área $\frac{ab}{2}$ , y tomando $a$ y $b$ tan pequeños como se quiera el área se acerca a 0 sin alcanzarlo. No hay mínimo.

La condición de pasar por un punto fijo impide encogerlo: cuanto más se estrecha por un lado, más se estira por el otro.

2 · Plantear

Con los catetos $a$ sobre $OX$ y $b$ sobre $OY$ , la hipotenusa es la recta que une $(a,0)$ con $(0,b)$ , cuya ecuación canónica es

\frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1

Objetivo: $A = \frac{ab}{2}$ , que hay que minimizar.

Restricción: pasar por $(3,7)$ :

\frac{3}{a}+\frac{7}{b} = 1

3 · Reducir a una variable

\frac{7}{b} = 1-\frac{3}{a} = \frac{a-3}{a} \;\Longrightarrow\; b = \frac{7a}{a-3}

El dominio: hace falta $a>3$ para que $b$ sea positivo. Si $a<3$ , el punto $(3,7)$ quedaría fuera del triángulo. Decir el dominio es lo que luego permite descartar soluciones.

A(a) = \frac{ab}{2} = \frac{a}{2}\cdot\frac{7a}{a-3} = \frac{7a^{2}}{2(a-3)}, \qquad a>3

4 · Derivar

Con la regla del cociente:

A'(a) = \frac{7}{2}\cdot\frac{2a(a-3)-a^{2}\cdot1}{(a-3)^{2}} = \frac{7}{2}\cdot\frac{2a^{2}-6a-a^{2}}{(a-3)^{2}} = \frac{7}{2}\cdot\frac{a^{2}-6a}{(a-3)^{2}}

A'(a) = \frac{7a(a-6)}{2(a-3)^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; a = 0 \;\text{ o }\; a = 6

El $a=0$ no está en el dominio $a>3$ : se descarta.

5 · Comprobar que es mínimo

El denominador $(a-3)^{2}$ es siempre positivo, así que el signo de $A'$ es el de $a(a-6)$ , y con $a>3$ el factor $a$ también es positivo:

intervalo	signo de $(a-6)$	$A'$	$A$
$3<a<6$	negativo	$<0$	decrece
$a>6$	positivo	$>0$	crece

Cambia de decrecer a crecer: mínimo en $a=6$ ✔

6 · El resultado

b = \frac{7\cdot6}{6-3} = 14

\boxed{\;a = 6, \qquad b = 14, \qquad A_{\min} = \frac{6\cdot14}{2} = 42\;}

7 · Una propiedad que sale de propina

La hipotenusa va de $(6,0)$ a $(0,14)$ . Su punto medio es

\left(\frac{6+0}{2},\;\frac{0+14}{2}\right) = (3,\;7)

exactamente el punto fijo. No es casualidad: en este problema el triángulo de área mínima es siempre aquel cuya hipotenusa tiene al punto dado como punto medio, y de ahí sale una forma alternativa de resolverlo sin derivar: $a = 2p$ y $b = 2q$ .

Con $p=3$ y $q=7$ : $a=6$ , $b=14$ , $A = \frac{2p\cdot2q}{2} = 2pq = 42$ ✔

8 · Comprobación

$a$	$b = \frac{7a}{a-3}$	$A = \frac{ab}{2}$
$4$	$28$	$56$
$5$	$17{,}5$	$43{,}75$
$\mathbf{6}$	$\mathbf{14}$	$\mathbf{42}$
$7$	$12{,}25$	$42{,}9$
$10$	$10$	$50$

Baja hasta 42 y vuelve a subir ✔

Y el comportamiento en los extremos confirma que el mínimo tiene que estar dentro: con $a\to3^{+}$ el cateto vertical se dispara, y con $a\to\infty$ el horizontal.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9 · Boletín «Estudio local. Problemas» · Cálculo, UPV/EHU

La caja de cartón que menos material gasta

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se quiere construir una caja de cartón sin tapa, de base cuadrada y volumen $108\ \text{m}^{3}$ . Calcular la mínima cantidad de cartón a utilizar.

Calcular la superficie mínima de cartón.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Sin tapa» cambia la fórmula. ¿Cuántas caras tiene la caja?
02
El lado de la base
COMP2
¿Cuánto mide el lado de la base, en metros?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La cantidad de cartón
COMP2
¿Cuántos metros cuadrados de cartón hacen falta?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Nombrar: lado de la base $x$ , altura $h$ . Objetivo: minimizar la superficie. Restricción: $x^{2}h = 108$ .
2. Contar caras. Sin tapa son cinco: la base, $x^{2}$ , y los cuatro laterales, $4xh$ .
3. Reducir a una variable: $h = \frac{108}{x^{2}}$ , y $A(x) = x^{2}+\frac{432}{x}$ , con $x>0$ .
4. Derivar: $A'(x) = 2x-\frac{432}{x^{2}} = 0$ da $x^{3} = 216$ , es decir $x=6$ , y entonces $h=3$ .
5. Comprobar: $A''(6) = 6>0$ , mínimo ✔ Y $A = 36+72 = 108\ \text{m}^{2}$ .
Ese contraste es el contenido del ejercicio: quitar una cara cambia la proporción óptima. La geometría depende de qué se está pagando.

Resolución completa

Datos. Caja sin tapa, base cuadrada, volumen $108\ \text{m}^{3}$ . Se pide la mínima superficie de cartón.

1 · Contar bien las caras

Es el paso donde se estropea el ejercicio antes de empezar. Sin tapa la caja tiene cinco caras:

cara	área
base	$x^{2}$
cuatro laterales	$4xh$

A = x^{2}+4xh

Con tapa sería $2x^{2}+4xh$ , y el resultado saldría distinto.

2 · La restricción

V = x^{2}h = 108 \;\Longrightarrow\; h = \frac{108}{x^{2}}

3 · Reducir a una variable

A(x) = x^{2}+4x\cdot\frac{108}{x^{2}} = x^{2}+\frac{432}{x}, \qquad x>0

El dominio $x>0$ es obligatorio: una longitud no es negativa, y en $x=0$ la función ni siquiera está definida.

4 · Derivar

A'(x) = 2x-\frac{432}{x^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; 2x^{3} = 432 \;\Longrightarrow\; x^{3} = 216 \;\Longrightarrow\; x = 6

h = \frac{108}{36} = 3

5 · Comprobar que es mínimo

A''(x) = 2+\frac{864}{x^{3}}, \qquad A''(6) = 2+\frac{864}{216} = 6 > 0

Mínimo ✔ Y además $A''>0$ para todo $x>0$ , así que la función es convexa en todo el dominio y el mínimo es global, no solo local.

6 · El resultado

A = 6^{2}+\frac{432}{6} = 36+72 = 108

\boxed{\;\text{base } 6\times6\ \text{m},\quad \text{altura } 3\ \text{m}, \quad A_{\min} = 108\ \text{m}^{2}\;}

7 · La proporción óptima, y por qué no es un cubo

\frac{\text{lado}}{\text{altura}} = \frac{6}{3} = 2

La base mide el doble que la altura. Y no es casualidad del 108: sale igual con cualquier volumen. De $2x^{3} = 4V$ se obtiene $x = \sqrt[3]{2V}$ y $h = \frac{V}{x^{2}} = \frac{x}{2}$ siempre.

Conviene contrastarlo con la intuición: para una caja cerrada, la forma óptima es el cubo. Aquí no lo es, porque la tapa no se paga: si la cara de arriba es gratis, conviene hacerla grande y bajar la caja.

La diferencia es notable. Un cubo de volumen 108 tendría lado $\sqrt[3]{108} \approx 4{,}76$ y, sin tapa, superficie

4{,}76^{2}+4\cdot4{,}76\cdot4{,}76 \approx 22{,}7+90{,}6 = 113{,}3\ \text{m}^{2}

más que los 108 de la caja óptima ✔

8 · Comprobación

$x$	$h = \frac{108}{x^{2}}$	$A = x^{2}+4xh$
$4$	$6{,}75$	$16+108 = 124$
$5$	$4{,}32$	$25+86{,}4 = 111{,}4$
$\mathbf{6}$	$\mathbf{3}$	$\mathbf{36+72 = 108}$
$7$	$2{,}20$	$49+61{,}7 = 110{,}7$
$8$	$1{,}69$	$64+54 = 118$

Baja hasta 108 y vuelve a subir ✔

Y el volumen se conserva en todas las filas: $6^{2}\cdot3 = 108$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 10 · Boletín «Estudio local. Problemas» · Cálculo, UPV/EHU

El canal que más agua lleva

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se quiere construir un canal abierto de capacidad máxima. La base y los lados deben de ser de 10 m y la inclinación de los dos lados sobre la base es la misma, $\alpha$ . ¿Cuánto mide la base superior?

Calcular la anchura de la base superior.

01
Reconocer el camino
COMP1
La sección del canal es un trapecio. ¿Cuál es la variable del problema?
02
El ángulo óptimo
COMP2
¿Cuál es el ángulo $\alpha$ que maximiza el área, en grados?
Tu respuesta al paso 2un número de grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La base superior
COMP2
¿Cuánto mide la base superior, en metros?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La variable es el ángulo. Las tres chapas miden 10 m y son dato; lo único que se elige es cuánto se abren.
2. La geometría del trapecio: altura $10\,\mathrm{sen}\,\alpha$ , base menor 10, base mayor $10+20\cos\alpha$ .
3. El área: $A(\alpha) = \frac{B+b}{2}h = 100\,\mathrm{sen}\,\alpha(1+\cos\alpha)$ .
4. Derivar y usar $\mathrm{sen}^{2} = 1-\cos^{2}$ para dejar todo en cosenos: $2\cos^{2}\alpha+\cos\alpha-1 = 0$ .
5. Resolver y filtrar: $\cos\alpha = \frac12$ o $\cos\alpha=-1$ ; la segunda no tiene sentido físico. Luego $\alpha = 60^{\circ}$ y la base superior mide 20 m.
El compromiso entre profundidad y anchura es el mismo mecanismo que en el rectángulo bajo la parábola. Cambia la geometría, no la idea.

Resolución completa

Datos. Canal abierto con la base y los dos lados de 10 m, inclinados un ángulo $\alpha$ igual sobre la base. Se pide la base superior que hace máxima la capacidad.

1 · Qué se puede elegir y qué no

La capacidad del canal por metro de longitud es el área de su sección, que es un trapecio isósceles.

Y aquí está lo característico del problema: las tres longitudes están fijadas en 10 m. No se puede hacer la base más ancha ni los lados más largos; lo único que se elige es cuánto se abren.

Por eso la variable natural es el ángulo $\alpha$ , y el objetivo se escribe con senos y cosenos.

2 · La geometría del trapecio

Cada lado de 10 m inclinado $\alpha$ sobre la horizontal aporta:


altura	$h = 10\,\mathrm{sen}\,\alpha$
voladizo horizontal	$10\cos\alpha$ por cada lado
base menor	$b = 10$
base mayor	$B = 10+2\cdot10\cos\alpha = 10+20\cos\alpha$

3 · La función objetivo

A(\alpha) = \frac{B+b}{2}\cdot h = \frac{\left(10+20\cos\alpha\right)+10}{2}\cdot10\,\mathrm{sen}\,\alpha

= \left(10+10\cos\alpha\right)\cdot10\,\mathrm{sen}\,\alpha = 100\,\mathrm{sen}\,\alpha\left(1+\cos\alpha\right)

con $\alpha \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right]$ : por debajo de 0 no hay canal y por encima de $90^{\circ}$ los lados se cerrarían hacia dentro.

4 · Derivar

A'(\alpha) = 100\left[\cos\alpha\left(1+\cos\alpha\right) + \mathrm{sen}\,\alpha\left(-\mathrm{sen}\,\alpha\right)\right]

= 100\left[\cos\alpha+\cos^{2}\alpha-\mathrm{sen}^{2}\alpha\right]

Y aquí el paso que ordena la ecuación: sustituir $\mathrm{sen}^{2}\alpha = 1-\cos^{2}\alpha$ para dejarlo todo en cosenos:

= 100\left[\cos\alpha+\cos^{2}\alpha-1+\cos^{2}\alpha\right] = 100\left[2\cos^{2}\alpha+\cos\alpha-1\right]

5 · Resolver y filtrar

Con $c = \cos\alpha$ :

2c^{2}+c-1 = 0 \;\Longrightarrow\; c = \frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4} = \frac{-1\pm3}{4}

c = \frac12 \qquad\text{o}\qquad c = -1

$c=-1$ daría $\alpha = 180^{\circ}$ : los lados tumbados hacia atrás, sin sentido físico. Se descarta.

\cos\alpha = \frac12 \;\Longrightarrow\; \alpha = 60^{\circ}

6 · El resultado

B = 10+20\cos60^{\circ} = 10+10 = 20

\boxed{\;\text{base superior } = 20\ \text{m}\;}

Con área

A = 100\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{3}{2} = 75\sqrt3 \approx 129{,}9\ \text{m}^{2}

7 · La figura que sale

El trapecio óptimo tiene los tres lados de 10 y la base mayor de 20: es medio hexágono regular de lado 10.

No es casualidad, y es un resultado clásico: entre todos los trapecios con tres lados fijos, el de área máxima es el que se inscribe en una semicircunferencia — y con tres lados iguales, ese es el medio hexágono.

8 · Comprobación

$\alpha$	altura	base sup.	área
$30^{\circ}$	$5$	$27{,}3$	$93{,}3$
$45^{\circ}$	$7{,}07$	$24{,}1$	$120{,}7$
$\mathbf{60^{\circ}}$	$\mathbf{8{,}66}$	$\mathbf{20}$	$\mathbf{129{,}9}$
$75^{\circ}$	$9{,}66$	$15{,}2$	$121{,}6$
$90^{\circ}$	$10$	$10$	$100$

El máximo está en $60^{\circ}$ ✔

Y la última fila desmonta la intuición de «cuanto más profundo, mejor»: con los lados verticales el canal es el más hondo posible y lleva un 23 % menos de agua que el óptimo. Lo que se gana en profundidad se pierde en anchura, y con creces.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 11 · Boletín «Estudio local. Problemas» · Cálculo, UPV/EHU

El rectángulo más grande dentro de media circunferencia

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una semicircunferencia de radio $a$ .

Calcular la base y la altura del rectángulo.

01
Reconocer el camino
COMP1
El radio se llama $a$ y no es un número. ¿Qué cambia eso?
02
La semibase óptima
COMP2
Si el radio fuera $a = 10$ , ¿cuánto valdría la semibase del rectángulo óptimo?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La proporción del rectángulo
COMP2
¿Cuántas veces es la base más larga que la altura?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Nombrar con simetría. El rectángulo tiene la base en el diámetro y los vértices superiores en el arco, así que es simétrico respecto del centro: semibase $x$ , altura $y = \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ .
2. Objetivo: $A(x) = 2x\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ , con $x \in (0,a)$ .
3. Truco: maximizar $A^{2} = 4x^{2}(a^{2}-x^{2})$ en lugar de $A$ , que evita derivar la raíz y tiene el máximo en el mismo sitio porque $A>0$ .
4. Derivar: $8x(a^{2}-2x^{2}) = 0$ da $x = \frac{a}{\sqrt2}$ , descartando $x=0$ por degenerado.
5. El resultado: base $a\sqrt2$ , altura $\frac{a}{\sqrt2}$ , área $a^{2}$ . La base es el doble de la altura.
En una circunferencia completa sí saldría un cuadrado. Es la media circunferencia la que rompe la simetría vertical.

Resolución completa

Datos. Semicircunferencia de radio $a$ . Se pide el rectángulo inscrito de área máxima.

1 · Nombrar aprovechando la simetría

El rectángulo tiene la base sobre el diámetro y los dos vértices superiores sobre el arco. Como el arco es simétrico respecto del eje vertical, el rectángulo también lo es.

Poniendo el centro en el origen y llamando $x$ a la semibase:


vértices inferiores	$(\pm x,\,0)$
vértices superiores	$(\pm x,\,y)$ con $x^{2}+y^{2} = a^{2}$
base	$2x$
altura	$y = \sqrt{a^{2}-x^{2}}$

2 · La función objetivo

A(x) = 2x\sqrt{a^{2}-x^{2}}, \qquad x \in (0,a)

El parámetro $a$ es una constante del problema: se deriva respecto de $x$ tratándolo como si fuera un número.

3 · El truco de maximizar el cuadrado

Derivar esa raíz es engorroso. Como $A>0$ en todo el dominio, $A$ y $A^{2}$ alcanzan el máximo en el mismo punto, y $A^{2}$ es un polinomio:

f(x) = A^{2} = 4x^{2}\left(a^{2}-x^{2}\right) = 4a^{2}x^{2}-4x^{4}

Ese cambio es aplicable siempre que la función objetivo sea positiva, y ahorra bastante trabajo.

4 · Derivar

f'(x) = 8a^{2}x-16x^{3} = 8x\left(a^{2}-2x^{2}\right) = 0

x = 0 \qquad\text{o}\qquad x^{2} = \frac{a^{2}}{2}

El $x=0$ da un rectángulo degenerado de área nula: se descarta. Queda

x = \frac{a}{\sqrt2} = \frac{a\sqrt2}{2}

5 · Comprobar que es máximo

f''(x) = 8a^{2}-48x^{2}, \qquad f''\!\left(\frac{a}{\sqrt2}\right) = 8a^{2}-48\cdot\frac{a^{2}}{2} = 8a^{2}-24a^{2} = -16a^{2} < 0

Máximo ✔ Y los extremos del dominio dan área nula —en $x=0$ no hay base y en $x=a$ no hay altura—, así que el máximo está en el interior.

6 · Las dimensiones

\text{base} = 2x = \frac{2a}{\sqrt2} = a\sqrt2

\text{altura} = \sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt2}

\boxed{\;\text{base } = a\sqrt2, \qquad \text{altura } = \frac{a}{\sqrt2}, \qquad A_{\max} = a^{2}\;}

7 · Dos lecturas del resultado

La proporción es 2 a 1. La base mide exactamente el doble que la altura, sea cual sea el radio. El rectángulo óptimo es apaisado, no cuadrado.

Y conviene decir por qué no es un cuadrado: el cuadrado es óptimo cuando lo que se fija es el perímetro. Aquí lo que restringe es el arco, y la media circunferencia impide crecer hacia arriba tanto como hacia los lados. En una circunferencia completa —con el rectángulo centrado— sí saldría un cuadrado.

El área es $a^{2}$ . Sin raíces y sin $\pi$ : el rectángulo máximo inscrito en una semicircunferencia de radio $a$ tiene exactamente el área del cuadrado de lado $a$ .

Y ocupa

\frac{a^{2}}{\frac{\pi a^{2}}{2}} = \frac{2}{\pi} \approx 63{,}7\ \%

del semicírculo, una proporción que tampoco depende del radio.

8 · Comprobación

Con $a=1$ , para que los números se lean:

$x$	altura	área $2xy$
$0{,}5$	$0{,}866$	$0{,}866$
$0{,}6$	$0{,}8$	$0{,}96$
$\mathbf{0{,}707}$	$\mathbf{0{,}707}$	$\mathbf{1{,}000}$
$0{,}8$	$0{,}6$	$0{,}96$
$0{,}9$	$0{,}436$	$0{,}785$

El máximo es 1, que es $a^{2}$ ✔ Y en el óptimo la semibase y la altura coinciden: los dos valen $\frac{1}{\sqrt2}$ . Es decir, el vértice superior está justo a $45^{\circ}$ sobre el arco.

Esa es otra forma de recordar el resultado: el vértice va en la bisectriz.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12 · Boletín «Estudio local. Problemas» · Cálculo, UPV/EHU

El rectángulo más grande dentro de un triángulo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el área máxima del rectángulo inscrito en un triángulo equilátero de lado $a$ .

Calcular el área máxima del rectángulo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la variable más cómoda para este problema?
02
La altura óptima
COMP2
Si el triángulo tiene altura $h$ , ¿a qué fracción de $h$ está el lado superior del rectángulo óptimo?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área máxima
COMP2
Con $a = 4$ , ¿cuál es el área máxima del rectángulo?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La altura del triángulo: $h = \frac{a\sqrt3}{2}$ , por Pitágoras sobre medio triángulo.
2. La anchura por semejanza: a la altura $y$ , el triángulo mide $w(y) = a\left(1-\frac{y}{h}\right)$ — vale $a$ abajo y 0 en el vértice.
3. El objetivo: $A(y) = a\left(1-\frac{y}{h}\right)y$ , una parábola que se anula en $y=0$ y en $y=h$ .
4. El máximo de una parábola está en el punto medio de sus raíces: $y = \frac{h}{2}$ , sin necesidad de derivar.
5. El resultado: base $\frac{a}{2}$ , altura $\frac{a\sqrt3}{4}$ y área $\frac{\sqrt3\,a^{2}}{8}$ , que es la mitad del triángulo.
La semejanza es la herramienta, pero entre los triángulos pequeño y grande. Es lo que convierte «la anchura a la altura y» en una fórmula.

Resolución completa

Datos. Triángulo equilátero de lado $a$ . Se pide el área máxima de un rectángulo inscrito.

1 · La altura del triángulo

Partiendo el equilátero por su altura queda un triángulo rectángulo de hipotenusa $a$ y cateto $\frac{a}{2}$ :

h = \sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt3}{2}

2 · Elegir la variable, y la semejanza

El rectángulo tiene la base sobre la base del triángulo y los dos vértices superiores sobre los lados. La variable cómoda es la altura $y$ a la que está su lado superior.

A esa altura, el triángulo que queda por encima es semejante al original, con razón $\frac{h-y}{h}$ . Así que la anchura del triángulo a la altura $y$ es

w(y) = a\cdot\frac{h-y}{h} = a\left(1-\frac{y}{h}\right)

Se comprueba en los extremos: en $y=0$ vale $a$ , la base entera; en $y=h$ vale 0, el vértice ✔

3 · La función objetivo

A(y) = w(y)\cdot y = a\left(1-\frac{y}{h}\right)y = ay-\frac{a}{h}y^{2}, \qquad y \in (0,h)

Es una parábola en $y$ que abre hacia abajo y se anula en $y=0$ y en $y=h$ .

4 · El máximo

Como es una parábola, su vértice está en el punto medio de sus dos raíces —sin necesidad de derivar—:

y = \frac{0+h}{2} = \frac{h}{2}

Y derivando, para confirmarlo:

A'(y) = a-\frac{2a}{h}y = 0 \;\Longrightarrow\; y = \frac{h}{2}

A''(y) = -\frac{2a}{h} < 0 \;\Longrightarrow\; \text{máximo} \ \checkmark

5 · Las dimensiones y el área

Altura del rectángulo:

y = \frac{h}{2} = \frac{a\sqrt3}{4}

Base:

w\!\left(\frac{h}{2}\right) = a\left(1-\frac12\right) = \frac{a}{2}

Área:

A = \frac{a}{2}\cdot\frac{a\sqrt3}{4} = \frac{\sqrt3\,a^{2}}{8}

\boxed{\;A_{\max} = \sqrt3\,\frac{a^{2}}{8}, \quad\text{con base } \frac{a}{2} \text{ y altura } \frac{a\sqrt3}{4}\;}

6 · La mitad exacta

El área del triángulo equilátero es

A_{\triangle} = \frac{\sqrt3}{4}a^{2}

y la del rectángulo, $\frac{\sqrt3}{8}a^{2}$ : exactamente la mitad.

Y no depende de que el triángulo sea equilátero. En cualquier triángulo, el rectángulo inscrito de área máxima tiene la altura a la mitad y ocupa la mitad del área, porque el razonamiento —anchura lineal en $y$ , objetivo parabólico, vértice en el medio— es el mismo.

Es un resultado que merece la pena recordar: la mitad, siempre.

7 · Comprobación

Con $a = 4$ , para que se lean los números. Entonces $h = 2\sqrt3 \approx 3{,}464$ y el triángulo tiene área $4\sqrt3 \approx 6{,}928$ .

$y$	anchura $w(y)$	área $wy$
$0{,}87$	$3$	$2{,}60$
$1{,}39$	$2{,}4$	$3{,}33$
$\mathbf{1{,}732}$	$\mathbf{2}$	$\mathbf{3{,}464}$
$2{,}08$	$1{,}6$	$3{,}33$
$2{,}60$	$1$	$2{,}60$

El máximo está en $y = \frac{h}{2} = 1{,}732$ y vale $2\sqrt3 = 3{,}464$ , justo la mitad de $6{,}928$ ✔

La tabla es simétrica alrededor del máximo, como corresponde a una parábola: los valores en $1{,}39$ y $2{,}08$ coinciden, y los de $0{,}87$ y $2{,}60$ también.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 13 · Boletín «Estudio local. Problemas» · Cálculo, UPV/EHU · El enunciado dice «en un póster de 216 cm²», pero los 216 cm² son el área de la inscripción, no la del póster: si el póster estuviera fijado, no habría nada que minimizar. Ver la resolución.

El póster que menos cartón gasta

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se quiere hacer un póster con una inscripción central de $216\ \text{cm}^{2}$ , con márgenes laterales de 2 cm y márgenes verticales de 3 cm. Calcular las dimensiones del póster que permita utilizar el mínimo cartón posible.

Calcular las dimensiones del póster.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es lo que está fijado y qué es lo que se minimiza?
02
La anchura del póster
COMP2
¿Cuánto mide de ancho el póster óptimo, en centímetros?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área total de cartón
COMP2
¿Cuánto cartón se gasta, en centímetros cuadrados?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Nombrar: $x$ e $y$ son las dimensiones del póster. La inscripción mide $(x-4)$ por $(y-6)$ , porque hay dos márgenes de cada tipo.
2. La restricción es el área de la inscripción: $(x-4)(y-6) = 216$ , de donde $y = 6+\frac{216}{x-4}$ .
3. El objetivo es el área del póster: $A(x) = 6x+\frac{216x}{x-4}$ , con $x>4$ .
4. Derivar: $A'(x) = 6-\frac{864}{(x-4)^{2}} = 0$ da $(x-4)^{2} = 144$ , es decir $x=16$ .
5. El resultado: póster de $16\times24$ cm, con $384\ \text{cm}^{2}$ de cartón e inscripción de $12\times18$ .
Fíjate en la proporción: el póster es $16\times24$ —relación $\frac23$ — y la inscripción $12\times18$ , la misma relación. No es casualidad.

Resolución completa

Aviso sobre el enunciado. El boletín dice «en un póster de $216\ \text{cm}^{2}$ se quiere incluir una inscripción central…», pero los 216 cm² tienen que ser el área de la inscripción, no la del póster: si el póster estuviera fijado, su área ya sería 216 y no habría nada que minimizar.

La solución publicada, $24$ y $16$ , lo confirma: con inscripción $12\times18 = 216$ los márgenes cuadran, y con póster de 216 no cuadra nada. Aquí se resuelve con esa lectura.

Datos. Inscripción de $216\ \text{cm}^{2}$ , márgenes laterales de 2 cm y verticales de 3 cm. Se pide el póster de área mínima.

1 · Nombrar, con cuidado con los márgenes

Sean $x$ la anchura del póster e $y$ su altura.

Los márgenes van a los dos lados, así que se restan dos veces en cada dirección:

	póster	márgenes	inscripción
ancho	$x$	$2+2 = 4$	$x-4$
alto	$y$	$3+3 = 6$	$y-6$

Restar una sola vez es el error más frecuente del ejercicio.

2 · Objetivo y restricción

Objetivo: minimizar el cartón, $A = xy$ .

Restricción: la inscripción mide 216:

(x-4)(y-6) = 216

3 · Reducir a una variable

y-6 = \frac{216}{x-4} \;\Longrightarrow\; y = 6+\frac{216}{x-4}

A(x) = x\left(6+\frac{216}{x-4}\right) = 6x+\frac{216x}{x-4}, \qquad x>4

El dominio $x>4$ es obligatorio: con $x \le 4$ la inscripción tendría anchura nula o negativa.

4 · Derivar

Para el segundo sumando, regla del cociente:

\left(\frac{216x}{x-4}\right)' = 216\cdot\frac{(x-4)\cdot1-x\cdot1}{(x-4)^{2}} = 216\cdot\frac{-4}{(x-4)^{2}} = \frac{-864}{(x-4)^{2}}

A'(x) = 6-\frac{864}{(x-4)^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; (x-4)^{2} = 144

x-4 = \pm12 \;\Longrightarrow\; x = 16 \;\text{ o }\; x = -8

El $x=-8$ está fuera del dominio: se descarta.

5 · Comprobar que es mínimo

A''(x) = \frac{1728}{(x-4)^{3}}, \qquad A''(16) = \frac{1728}{12^{3}} = 1 > 0

Mínimo ✔ Y para $x>4$ el denominador es siempre positivo, así que $A''>0$ en todo el dominio: el mínimo es global.

6 · El resultado

y = 6+\frac{216}{12} = 6+18 = 24

\boxed{\;\text{póster de } 16 \times 24\ \text{cm}, \qquad A_{\min} = 384\ \text{cm}^{2}\;}

con inscripción de $12\times18$ cm.

7 · La proporción, que no es casual

\frac{\text{ancho}}{\text{alto}}_{\text{póster}} = \frac{16}{24} = \frac23

\frac{\text{ancho}}{\text{alto}}_{\text{inscripción}} = \frac{12}{18} = \frac23

La misma. Y hay una razón: en el óptimo, la relación entre las dimensiones sigue la de los márgenes, $\frac{2}{3}$ . El póster se estira en la dirección donde los márgenes cuestan más.

Tiene sentido: como los márgenes verticales son mayores, conviene que haya menos superficie desperdiciada arriba y abajo en proporción, y eso se consigue haciendo el póster más alto que ancho.

8 · Comprobación

$x$	$y = 6+\frac{216}{x-4}$	inscripción	$A = xy$
$10$	$42$	$6\times36 = 216$ ✔	$420$
$13$	$30$	$9\times24 = 216$ ✔	$390$
$\mathbf{16}$	$\mathbf{24}$	$\mathbf{12\times18 = 216}$ ✔	$\mathbf{384}$
$20$	$19{,}5$	$16\times13{,}5 = 216$ ✔	$390$
$25$	$16{,}3$	$21\times10{,}3 = 216$ ✔	$407$

Todas las filas cumplen la restricción, y el área baja hasta 384 y vuelve a subir ✔

Del desperdicio: los márgenes ocupan $384-216 = 168\ \text{cm}^{2}$ , un 44 % del póster. Es mucho, y es justo lo que hace que optimizar la forma tenga sentido: en el peor caso de la tabla el desperdicio sería de $420-216 = 204\ \text{cm}^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Estudio local

Fermat: por qué se busca donde la derivada se anula

Rolle y Lagrange son el mismo teorema

Crecer y curvarse: lo que dicen la primera y la segunda derivada

Cuando lo que te dan dibujado es la derivada

El polinomio de Taylor es la mejor imitación local

El resto es la parte que se suele olvidar, y es la que se pregunta

Seis desarrollos que conviene tener memorizados

Y cómo se calcula ese radio: el criterio del cociente

Optimizar es traducir, no derivar

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

El punto crítico positivo

Clasificarlo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La pendiente media

El punto que el teorema garantiza

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de x²

La aproximación

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El objetivo con una sola variable

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde decrece

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La pendiente de B en el origen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de grado cuatro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La cota

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El caso de la recta

El caso de la raíz

Justificar el argumento

1 · El teorema y sus dos hipótesis

2 · (a) f(x)=3x−4f(x) = 3x-4f(x)=3x−4 en [1,4][1,4][1,4]

3 · (b) f(x)=1−xf(x) = \sqrt{1-x}f(x)=1−x​ en [−3,0][-3,0][−3,0]

4 · (c) f(x)=x−1xf(x) = x-\frac{1}{x}f(x)=x−x1​ en [1,3][1,3][1,3]

5 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El apartado (a)

El apartado (b)

Justificar el argumento

1 · El teorema

2 · (a) f(x)=x2+x+4f(x) = x^{2}+x+4f(x)=x2+x+4 en [−3,2][-3,2][−3,2]

3 · (b) f(x)=x3−6x2+5x+3f(x) = x^{3}-6x^{2}+5x+3f(x)=x3−6x2+5x+3 en [1,5][1,5][1,5]

4 · (c) f(x)=sen xf(x) = \mathrm{sen}\,xf(x)=senx en [0,π][0,\pi][0,π]

5 · Qué tienen en común los tres

6 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El valor aproximado

La cota del error

Justificar el argumento

1 · Convertir a radianes

2 · Elegir el punto de apoyo

3 · Las derivadas en 0

4 · El polinomio

5 · El valor

6 · El error, que es la otra mitad del ejercicio

7 · Por qué declarar orden 2 mejora la garantía

8 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El ángulo en radianes

El número de términos

Justificar el argumento

1 · Convertir a radianes

2 · El criterio, y por qué se puede usar

3 · Probar términos

4 · Conclusión

2 · (a) $f(x) = 3x-4$ en $[1,4]$

3 · (b) $f(x) = \sqrt{1-x}$ en $[-3,0]$

4 · (c) $f(x) = x-\frac{1}{x}$ en $[1,3]$

2 · (a) $f(x) = x^{2}+x+4$ en $[-3,2]$

3 · (b) $f(x) = x^{3}-6x^{2}+5x+3$ en $[1,5]$

4 · (c) $f(x) = \mathrm{sen}\,x$ en $[0,\pi]$