Cálculo · tema 05

Integración

Valor medio y función media, teorema fundamental e impropias. Áreas, discos, arandelas, capas, Pappus, longitud de arco y superficies. Y qué corte usar según el eje.

Una integral definida es un número: el área con signo bajo una curva. Una integral indefinida es una familia de funciones. Y el teorema fundamental del cálculo dice que las dos cosas están conectadas, aunque no lo parezca.

Ese teorema es la bisagra del tema, y de casi todo el curso: convierte el problema de sumar infinitas cosas pequeñas en el de encontrar una primitiva.

El valor medio es una altura

\overline{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

Es la altura que tendría un rectángulo de base $b-a$ con la misma área que la función. El teorema de la media dice que si $f$ es continua en $[a,b]$ , esa altura se alcanza: existe $c \in (a,b)$ con $f(c) = \overline{f}$ .

Las dos zonas que la curva deja por encima de la línea discontinua rellenan exactamente los huecos que deja por debajo. Por eso el rectángulo y la curva encierran la misma área.

La hipótesis de continuidad no es un adorno. Una función a trozos con un salto puede tener valor medio $2$ y no valer nunca 2, porque se salta ese valor.

El valor medio es un número; la función media es una función

Son dos cosas distintas con nombres casi iguales, y el boletín tiene un ejercicio entero dedicado a que no se confundan. El valor medio $\overline{f}$ es el número de arriba: un solo escalar, calculado sobre un intervalo fijo. La función media deja el extremo derecho suelto:

\overline{f}(x) = \frac{1}{x-a}\int_a^{x} f(t)\,dt

Es decir, el valor medio de $f$ desde $a$ hasta donde tú digas. Al variar $x$ va cambiando, así que es una función, y como tal se le puede preguntar si es continua, dónde crece o cuánto vale su límite.

La pista para saber cuál te piden está en la notación: si en la respuesta no aparece ninguna $x$ , era el valor medio; si aparece, era la función media. Y ojo con $x=a$ , donde la fórmula divide entre cero: ahí la función media se define por el límite, que vale $f(a)$ .

Error típico · aplicar el teorema sin comprobar la continuidad

Si $f$ tiene un salto, el valor medio existe igual —la integral se calcula sin problema— pero no tiene por qué alcanzarse. El teorema garantiza el punto $c$ solo para funciones continuas.

El teorema fundamental, en sus dos mitades

Primera parte. Si $f$ es continua, la función integral

F(x) = \int_a^x f(t)\,dt

es derivable y $F'(x) = f(x)$ . Integrar y luego derivar deja la función como estaba.

Segunda parte, la regla de Barrow. Si $G$ es una primitiva de $f$ ,

\int_a^b f(x)\,dx = G(b)-G(a)

La primera dice por qué existe una primitiva; la segunda, cómo usarla.

Y de la primera sale la herramienta que más se pregunta: derivar una función integral sin calcularla. Con límites que son funciones de $x$ , la regla de la cadena da

\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f\big(v(x)\big)v'(x)-f\big(u(x)\big)u'(x)

Error típico · olvidar la derivada del límite

En $H(x) = \int_1^{x^{3}} t^{2}\,dt$ la respuesta no es $x^{2}$ : es $\left(x^{3}\right)^{2}\cdot 3x^{2} = 3x^{8}$ . El límite superior es una función de $x$ , y la cadena cobra su peaje.

Impropias: dos formas de romperse

Una integral es impropia cuando el intervalo es infinito —tipo 1— o cuando la función se va a infinito dentro del intervalo —tipo 2—. En los dos casos la receta es la misma: sustituir el punto conflictivo por un límite.

\int_a^{\infty} f = \lim_{t\to\infty}\int_a^{t} f, \qquad \int_a^b f = \lim_{t\to c^{-}}\int_a^{t} f + \lim_{s\to c^{+}}\int_s^{b} f

Las de tipo 2 son las traicioneras, porque no se ven. En $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}$ nada avisa de que hay un problema en 0, y aplicar Barrow a ciegas da $\ln1-\ln1 = 0$ : un número perfectamente creíble y completamente falso.

Y los dos límites hay que tomarlos por separado. Si se toman a la vez, haciéndolos tender juntos, se obtiene el valor principal de Cauchy, que no es lo mismo que la integral: puede existir cuando la integral diverge.

Error típico · aplicar Barrow sobre una discontinuidad

Antes de integrar, mirar si el integrando explota dentro del intervalo. Si lo hace, hay que partir y tomar límites; si no, Barrow da un número inventado.

Cuando no hay primitiva: aproximar la integral

Hay integrandos sin primitiva elemental — $e^{-x^{2}}$ es el ejemplo de siempre— y también integrales que la tienen pero cuesta más encontrarla que aproximar el número. Para eso están las reglas de cuadratura: se parte $[a,b]$ en $n$ trozos iguales de anchura $h=\frac{b-a}{n}$ y se sustituye la función por algo que sí se sepa integrar.

regla	con qué sustituye $f$ en cada trozo	fórmula
regla del punto medio	una constante, la del centro	$h\sum f\!\left(\dfrac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)$
trapecio	la recta que une los extremos	$\dfrac{h}{2}\left[f_0 + 2f_1 + \cdots + 2f_{n-1} + f_n\right]$
Simpson	la parábola por tres puntos	$\dfrac{h}{3}\left[f_0 + 4f_1 + 2f_2 + \cdots + 4f_{n-1} + f_n\right]$

Tres detalles que deciden el ejercicio:

El punto medio es mejor que el trapecio, aunque parezca más tosco. Sus errores van con signos opuestos y el suyo es la mitad: $-\frac{h^{2}}{24}f''$ frente a $+\frac{h^{2}}{12}f''$ . Con las mismas evaluaciones, la mitad de error.
Simpson necesita $n$ par, porque agrupa los trozos de dos en dos. Y su error va con $h^{4}$ : dobla el número de trozos y el error se divide entre dieciséis.
El punto medio no evalúa en los extremos, lo que lo salva cuando el integrando es feo justo ahí.

Y la otra mitad del asunto: para aplicar una regla de cuadratura el intervalo tiene que ser finito. Si es infinito, primero se acota con un cambio de variable. El que usan los enunciados es

r = \frac{2a}{1-x}, \qquad r\in[a,\infty) \;\longleftrightarrow\; x\in[-1,1]

que manda $r=a$ a $x=-1$ y el infinito a $x=1$ . Con la integral ya sobre $[-1,1]$ , cualquiera de las tres reglas vale. Es exactamente la secuencia que pidió el examen de junio de 2013: primero el cambio, después el punto medio con cuatro subintervalos.

Aproximar con una regla en un intervalo infinito

No se puede: en $[a,\infty)$ no hay «trozos iguales», porque la anchura sería infinita. La cuadratura viene después del cambio de variable que acota el intervalo, nunca antes. Y si el integrando tiene una asíntota vertical dentro, la regla devuelve un número aunque la integral diverja: hay que comprobar la convergencia primero.

Áreas y volúmenes: el mismo esquema

A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx

con $f$ por encima de $g$ . Si las curvas se cruzan, hay que partir el intervalo en los cortes y cambiar el orden en cada trozo — o integrar el valor absoluto, que es lo mismo dicho de otra manera.

Para volúmenes de revolución alrededor de $OX$ , con discos:

V = \pi\int_a^b f(x)^{2}\,dx

y si hay hueco, arandelas: $\pi\int\left(R^{2}-r^{2}\right)$ . El cuadrado es lo que hace que estos volúmenes no se puedan restar como se restan las áreas: $\left(R-r\right)^{2} \neq R^{2}-r^{2}$ .

El radio exterior es la distancia del eje a la curva de arriba y el interior la distancia a la de abajo. Si el eje de giro no es el eje horizontal, las dos distancias se miden desde el eje que sea.

La simetría, que ahorra la mitad del trabajo

Aparece en la mitad de los recintos que caen y casi nadie la usa. Si el integrando es par —cumple $f(-x)=f(x)$ , como $x^{2}$ o $\cos x$ — la integral entre $-a$ y $a$ es el doble de la mitad derecha. Si es impar — $f(-x)=-f(x)$ , como $x^{3}$ o $\mathrm{sen}\,x$ — la integral entre $-a$ y $a$ es cero, sin calcular nada:

\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^{a} f \;\;\text{si } f \text{ es par}, \qquad \int_{-a}^{a} f = 0 \;\;\text{si } f \text{ es impar}

Y no hace falta que el eje de simetría sea el cero. Un recinto simétrico respecto de $x=1$ —que es como suele venir en los exámenes— se calcula igual: la mitad, por dos. Mirar si hay simetría antes de integrar es la comprobación más rentable del tema, porque cuando la hay ahorra la mitad del cálculo, y cuando no la hay cuesta cinco segundos.

Al girar alrededor de un eje que no es $OX$ , como $y=1$ , los radios se miden desde ese eje: $R = f(x)-1$ .

Girar alrededor de OY, que es el caso que de verdad cae

Los discos de arriba solo valen cuando el eje de giro es horizontal. Con $OY$ —siete de los once cursos— hay dos caminos y conviene tener los dos, porque cada enunciado deja fácil uno y muy incómodo el otro.

Discos en $y$ . Se despeja $x$ en función de $y$ y se integra en la otra variable:

V = \pi\int_c^d x(y)^{2}\,dy

Es el mismo esquema girado 90°. Solo sirve si la curva se puede despejar, y hay que acordarse de cambiar también los límites: $c$ y $d$ son alturas, no abscisas.

Capas cilíndricas. Cuando no se puede despejar, se corta en cilindros verticales de radio $x$ , altura $f(x)$ y espesor $dx$ :

V = 2\pi\int_a^b x\,f(x)\,dx

Ese $2\pi x$ es la longitud de la circunferencia que barre el corte al girar. El truco para no confundirse es que aquí la variable de integración es la misma que en el área: si sabes plantear el área, sabes plantear las capas, multiplicando por $2\pi x$ .

El mismo recinto y el mismo eje. Lo único que cambia es cómo lo cortas, y eso es lo que decide la fórmula: la tira paralela al eje da una capa, la perpendicular da un disco.

Y de aquí sale el teorema de Pappus, que cayó en 2021-2022: el volumen que engendra una región plana al girar es el área de la región por la longitud del camino que recorre su centroide, $V = 2\pi\overline{x}A$ . Es la misma fórmula de las capas leída al revés, y sirve para lo contrario de lo habitual — dar el volumen y que te pidan el centroide.

Error típico · usar discos con el eje vertical

Escribir $\pi\int f(x)^{2}dx$ cuando el giro es alrededor de $OY$ es el fallo más caro del apartado, porque el resultado sale limpio y no hay nada que avise. Esa integral calcula el volumen al girar alrededor de $OX$ , otra figura distinta.

La comprobación cuesta un segundo: mira si la variable de integración es paralela o perpendicular al eje de giro. Los discos exigen que los cortes sean perpendiculares al eje, así que integrar en $x$ solo vale para ejes horizontales. Si el eje es vertical y estás integrando en $x$ , o cambias a capas o cambias de variable.

Longitud de arco

L = \int_a^b \sqrt{1+f'(x)^{2}}\,dx

Es Pitágoras aplicado a un trozo infinitesimal de curva. Casi siempre produce integrales incómodas, y por eso los ejercicios están elegidos para que salgan: las que llevan $\sqrt{1+t^{2}}$ acaban en un argumento del seno hiperbólico.

El trozo de curva ds y la hipotenusa del triángulo se confunden cuando dx es pequeño. De ahí sale la raíz: ds al cuadrado igual a dx al cuadrado más dy al cuadrado.

Y si ese arco gira, engendra una superficie

Al girar la curva alrededor de un eje, cada trozo $ds$ barre una banda de radio igual a su distancia al eje. Sumarlas da el área de la superficie de revolución:

S = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^{2}}\,dx

alrededor de $OX$ , y con $x$ en lugar de $f(x)$ si el giro es alrededor de $OY$ . Fíjate en el parecido con las capas cilíndricas: también aquí el $2\pi$ por el radio es la circunferencia que recorre el trozo al dar la vuelta, y lo único que cambia es qué se multiplica por ella — la altura en el volumen, el arco en la superficie. Cayó en 2024-2025.

Error típico · usar dx donde hace falta ds

El área lateral no es $2\pi\int f\,dx$ . Ese factor $\sqrt{1+f'^{2}}$ no es decoración: mide cuánto más larga es la curva que su sombra sobre el eje, y sin él la superficie sale sistemáticamente por debajo de la real.

La forma de recordarlo es la del dibujo de arriba: un volumen se llena con trozos de la región, y una superficie se forra con trozos de la curva. La región se mide en $dx$ ; la curva, en $ds$ .

Los cuatro métodos, y cuándo usar cada uno

método	cuándo
inmediata	se reconoce $\int u'\,g(u)$ : hay una función y su derivada
por partes	producto de dos familias distintas, o una función sola sin primitiva evidente
racionales	cociente de polinomios: descomponer en fracciones simples
cambio de variable	irracionales y trigonométricas: hacer desaparecer la raíz o el ángulo

Para por partes, la regla mnemotécnica de qué llamar $u$ : ALPES — Arcos, Logaritmos, Potencias, Exponenciales, Senos. El que aparezca antes en esa lista es $u$ .

Y una advertencia sobre las racionales: antes de descomponer, comprobar el grado. Si el numerador tiene grado mayor o igual que el denominador, hay que dividir primero. Saltarse ese paso es el fallo más común del bloque.

Lo que hay que llevar sabido

Está todo explicado arriba y esta lista no es la fuente: es la relectura de la última hora. En este tema casi todo son fórmulas, y el error caro no es olvidarlas sino aplicar la que no toca.

El teorema fundamental, que es de donde sale el resto

\frac{d}{dx}\int_a^{x} f(t)\,dt = f(x), \qquad \int_a^b f = G(b)-G(a)

Y con límites variables, que es como se pregunta:

\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f\big(v(x)\big)\,v'(x) - f\big(u(x)\big)\,u'(x)

Valor medio

\overline{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f, \qquad \text{y si } f \text{ es continua, existe } c \text{ con } f(c)=\overline{f}

Áreas y volúmenes: elegir según el eje

se pide	fórmula	cuándo
área entre curvas	$\int_a^b (f-g)$	$f$ por encima; partir en los cortes
volumen, giro en $OX$	$\pi\int_a^b f(x)^{2}dx$	eje horizontal
con hueco	$\pi\int (R^{2}-r^{2})$	nunca $(R-r)^{2}$
volumen, giro en $OY$	$\pi\int_c^d x(y)^{2}dy$	si se puede despejar $x$
capas cilíndricas	$2\pi\int_a^b x\,f(x)\,dx$	si no se puede
Pappus	$V = 2\pi\overline{x}A$	si dan o piden el centroide
longitud de arco	$\int_a^b \sqrt{1+f'(x)^{2}}\,dx$
superficie de revolución	$2\pi\int_a^b f\sqrt{1+f'^{2}}\,dx$	el radio por el arco, no por $dx$

La comprobación de un segundo: los cortes tienen que ser perpendiculares al eje de giro. Integrar en $x$ solo vale para ejes horizontales.

Y la que ahorra la mitad: mirar si hay simetría antes de integrar. Con integrando par, la mitad por dos; con integrando impar entre $-a$ y $a$ , cero sin calcular nada.

Valor medio y función media, que no son lo mismo

\overline{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f \qquad\text{(un número)}, \qquad \overline{f}(x) = \frac{1}{x-a}\int_a^{x} f \qquad\text{(una función)}

Si en tu respuesta no aparece ninguna $x$ , era el valor medio.

Impropias

Sustituir el punto conflictivo por un límite, y los dos por separado si son dos. Las de tipo 2 no se ven: antes de aplicar Barrow, mirar si el integrando explota dentro del intervalo.

Y para elegir método

Inmediata si hay una función y su derivada · por partes con ALPES (Arcos, Logaritmos, Potencias, Exponenciales, Senos: el primero de la lista es $u$ ) · racionales dividiendo antes si el grado no baja · cambio de variable para quitar la raíz o el ángulo.

Practica lo que acabas de leer

Derivar una integral sin calcularla

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Derivar una integral sin calcularla

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para $F(x) = \displaystyle\int_1^{x} t^{3}\,dt$ , calcular $F'(x)$ sin resolver la integral.

La derivada de la función integral.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué parte del teorema fundamental se usa aquí?
02
La derivada
COMP2
¿Cuánto vale $F'(2)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El integrando $t^{3}$ es continuo, que es la hipótesis del teorema.
2. El límite inferior es constante y el superior es $x$ .
3. Por la primera parte del teorema fundamental, $F'(x) = x^{3}$ .
4. Luego $F'(2) = 8$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El área entre dos curvas

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el área encerrada entre las curvas $y = x$ e $y = x^{2}$ .

Los puntos de corte y el área.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el primer paso antes de plantear la integral?
02
El corte distinto de cero
COMP2
Igualando $x = x^{2}$ , ¿cuál es la solución distinta de cero?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\int_0^{1}\left(x - x^{2}\right)dx$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los cortes son $x=0$ y $x=1$ , y son los límites de integración.
2. Entre 0 y 1 la recta va por encima de la parábola.
3. El área es $\int_0^1 (x - x^{2})\,dx$ .
4. Vale $\frac12-\frac13 = \frac16$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un volumen de revolución por discos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el volumen que genera la región bajo $y = x$ entre $x=0$ y $x=1$ al girar alrededor del eje $OX$ .

El volumen del sólido de revolución.

01
Reconocer el camino
COMP1
El eje de giro es horizontal. ¿Qué método corresponde?
02
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale $\pi\displaystyle\int_0^{1} x^{2}\,dx$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El eje de giro es horizontal, así que valen los discos.
2. Cada corte perpendicular al eje es un disco de radio $f(x) = x$ .
3. El volumen es $\pi\int_0^1 x^{2}dx = \frac{\pi}{3}$ .
4. El sólido es un cono, y la fórmula clásica da lo mismo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Una integral impropia de primer tipo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Estudiar si converge, y calcularla si converge,

\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}

Si converge y cuánto vale.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué esta integral es impropia?
02
La integral hasta un extremo finito
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\int_1^{t}\frac{dx}{x^{2}}$ , en función de $t$ ? Evalúalo para $t = 10$ .
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El límite
COMP2
Haciendo $t \to \infty$ , ¿cuánto vale la integral impropia?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Es impropia de primer tipo, porque el intervalo no está acotado.
2. Se sustituye el infinito por un extremo finito $t$ y se toma el límite.
3. $\int_1^t x^{-2}dx = 1 - \frac1t$ .
4. El límite cuando $t\to\infty$ vale 1, luego converge.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería, sobre la longitud de arco del tema 5. Está elegido para que la raíz se simplifique, que es lo que hace falta antes de enfrentarse a la del boletín, donde no lo hace. No es de examen ni del boletín.

Una longitud de arco donde la raíz desaparece

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la longitud del arco de la curva $y = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$ entre $x=0$ y $x=3$ .

La longitud de ese arco.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué va dentro de la raíz en la fórmula de la longitud de arco?
02
El integrando en el extremo
COMP2
¿Cuánto vale $\sqrt{1+\left(y'\right)^{2}}$ en $x=3$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La longitud
COMP2
¿Cuánto mide el arco? Da la forma exacta, o cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número, en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La comprobación que siempre se puede hacer
COMP2
¿Cuánto mide la cuerda, es decir la distancia en línea recta entre los dos extremos del arco?
Tu respuesta al paso 4un número, en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Un trocito de curva es la hipotenusa de catetos $dx$ y $dy$ , así que mide $\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx$ .
2. Aquí $y' = \sqrt{x}$ , y por eso $1+(y')^{2} = 1+x$ y la raíz se vuelve inmediata.
3. La integral da $14/3 = 4{,}6667$ , que es un 1,8 % más que la cuerda, $\sqrt{21} = 4{,}5826$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.1 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU

Seis veces el teorema de la media, y dos que no valen

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Estudiar si puede aplicarse el teorema de la media para las siguientes funciones en los intervalos especificados. En los casos que sea posible, calcular el punto (o puntos) a los que hace referencia el teorema.

(a) $f(x) = 3x^{2}$ en $[-1,4]$ · (b) $f(x) = \left|x-2\right|$ en $[0,5]$ · (c) $f(x) = \mathrm{sen}\,x$ en $[0,2\pi]$ · (d) $f(x) = \mathrm{sen}\,x$ en $[0,\pi]$

(e) $f(x) = \begin{cases} x & x<0 \\ 4-x & x\ge0 \end{cases}$ en $[-2,2]$ · (f) $f(x) = \begin{cases} x & x<0 \\ 1-x & x\ge0 \end{cases}$ en $[-3,3]$

Estudiar si se aplica y calcular los puntos donde sea posible.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la única hipótesis del teorema de la media integral?
02
El apartado (a)
COMP2
Para $f(x) = 3x^{2}$ en $[-1,4]$ , ¿cuál es el valor medio?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado (c), el que sorprende
COMP2
Para $\mathrm{sen}\,x$ en $[0,2\pi]$ , ¿cuál es el valor medio?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el análisis de los seis apartados. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La hipótesis es solo la continuidad en el cerrado. La derivabilidad no hace falta: (b) es un valor absoluto y vale.
2. (a) $\overline{f} = 13$ , alcanzado en $c = \sqrt{13/3}$ . (b) $\overline{f} = \frac{1}{5}\int_0^{5}\left|x-2\right| = \frac{13}{10}$ , alcanzado en $z_1 = \frac{7}{10}$ y $z_2 = \frac{33}{10}$ .
3. (c) $\overline{f} = 0$ , alcanzado en $0$ , $\pi$ y $2\pi$ . (d) $\overline{f} = \frac{2}{\pi}$ , alcanzado en $\arcsin\frac{2}{\pi}$ y en $\pi-\arcsin\frac{2}{\pi}$ .
4. (e) y (f) tienen un salto en $x=0$ : no son continuas, así que el teorema no es aplicable.
5. En (f), sin embargo, el valor medio sí resulta alcanzarse, en $z_1=-1$ y $z_2=2$ . El teorema no lo garantizaba, pero tampoco lo prohibía.
El contraste entre (e) y (f) es lo mejor del ejercicio: las dos son discontinuas y el teorema no se aplica a ninguna, pero en una el valor medio se alcanza y en la otra no.

Resolución completa

Datos. Seis funciones con sus intervalos. Se pide estudiar si se aplica el teorema de la media y hallar los puntos.

1 · El teorema y su única hipótesis

Si $f$ es continua en $[a,b]$ , existe $c \in (a,b)$ tal que

\int_a^b f(x)\,dx = f(c)\,(b-a) \qquad\text{es decir}\qquad f(c) = \overline{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f

Una sola hipótesis: continuidad. No hace falta derivabilidad —el apartado (b) es un valor absoluto—, ni positividad, ni monotonía.

Y conviene tener clara la distinción que decide el ejercicio: el valor medio siempre se puede calcular si la integral existe; lo que la continuidad garantiza es que ese valor se alcance en algún punto.

2 · (a) $3x^{2}$ en $[-1,4]$

Continua ✔

\int_{-1}^{4}3x^{2}dx = \left[x^{3}\right]_{-1}^{4} = 65, \qquad \overline{f} = \frac{65}{5} = 13

3c^{2} = 13 \;\Longrightarrow\; c = \pm\sqrt{\frac{13}{3}}

Solo $c = \sqrt{13/3} \approx 2{,}08$ está en $(-1,4)$ .

3 · (b) $\left|x-2\right|$ en $[0,5]$

Continua ✔ —aunque no derivable en $x=2$ , que no importa—.

Partiendo la integral en el vértice:

\int_0^{5}\left|x-2\right|dx = \int_0^{2}(2-x)dx+\int_2^{5}(x-2)dx = 2+\frac{9}{2} = \frac{13}{2}

\overline{f} = \frac{13/2}{5} = \frac{13}{10}

\left|c-2\right| = \frac{13}{10} \;\Longrightarrow\; c = 2\pm\frac{13}{10} \;\Longrightarrow\; c = \frac{7}{10} \;\text{ o }\; c = \frac{33}{10}

Los dos están en $(0,5)$ : el teorema promete uno y aquí hay dos.

4 · (c) y (d), el mismo seno en dos intervalos

(c) en $[0,2\pi]$ .

\int_0^{2\pi}\mathrm{sen}\,x\,dx = \left[-\cos x\right]_0^{2\pi} = 0 \;\Longrightarrow\; \overline{f} = 0

La onda positiva cancela a la negativa. Y se alcanza en

c = 0,\ \pi,\ 2\pi

(d) en $[0,\pi]$ . Aquí el seno no cambia de signo:

\int_0^{\pi}\mathrm{sen}\,x\,dx = 2 \;\Longrightarrow\; \overline{f} = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}6366

\mathrm{sen}\,c = \frac{2}{\pi} \;\Longrightarrow\; c = \arcsin\frac{2}{\pi} \;\text{ o }\; c = \pi-\arcsin\frac{2}{\pi}

es decir $c \approx 0{,}690$ y $c \approx 2{,}452$ .

El contraste entre los dos apartados es lo que enseñan: la misma función, distinto intervalo, valores medios completamente distintos. El valor medio no es una propiedad de la función sola.

5 · (e) y (f), las discontinuas

Las dos tienen un salto en $x=0$ :

	límite por la izquierda	valor en 0	¿continua?
(e)	$0$	$4$	no
(f)	$0$	$1$	no

El teorema no es aplicable en ninguna de las dos. Esa es la respuesta formal del ejercicio.

Pero el valor medio se puede calcular igual, porque un punto no aporta área:

(e) $\int_{-2}^{2} = \int_{-2}^{0}x\,dx+\int_0^{2}(4-x)dx = -2+6 = 4$ , luego $\overline{f} = 1$ . Y $f(c)=1$ exige $c=1$ en la rama $4-x$ … que da $c=3$ , fuera del intervalo; o $c=1$ en la rama $x$ , que es positivo y esa rama solo vale para $x<0$ . No se alcanza.

(f) $\int_{-3}^{3} = \int_{-3}^{0}x\,dx+\int_0^{3}(1-x)dx = -\frac92-\frac32 = -6$ , luego $\overline{f} = -1$ . Y aquí sí se alcanza: en la rama $x$ con $c=-1$ ✔, y en la rama $1-x$ con $1-c = -1$ , es decir $c = 2$ ✔.

z_1 = -1, \qquad z_2 = 2

6 · La lección de (e) frente a (f)

Las dos son discontinuas y a ninguna se le aplica el teorema. Y sin embargo:

en (e) el valor medio no se alcanza: la función se salta el 1;
en (f) sí se alcanza, y hasta dos veces.

El teorema da una condición suficiente, no necesaria. Que no se pueda aplicar no significa que la conclusión sea falsa: significa que no está garantizada, y hay que mirar caso por caso.

7 · Comprobación

La comprobación natural de un valor medio es geométrica: el rectángulo de altura $\overline{f}$ tiene que tener la misma área que la función.

	$\overline{f}$	base	área rect.	integral
(a)	$13$	$5$	$65$	$65$ ✔
(b)	$1{,}3$	$5$	$6{,}5$	$6{,}5$ ✔
(d)	$0{,}637$	$\pi$	$2$	$2$ ✔
(f)	$-1$	$6$	$-6$	$-6$ ✔

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(a)}\ & c=\sqrt{13/3} & \text{(d)}\ & c=\arcsin\tfrac2\pi,\; \pi-\arcsin\tfrac2\pi \\ \text{(b)}\ & c=\tfrac{7}{10},\ \tfrac{33}{10} & \text{(e)}\ & \text{no aplicable, y no se alcanza} \\ \text{(c)}\ & c=0,\ \pi,\ 2\pi & \text{(f)}\ & \text{no aplicable, pero } z_1=-1,\ z_2=2 \end{aligned}}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.2 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU

Un parámetro que hace continua la función

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el valor de $a$ para que pueda aplicarse el teorema de la media a la función $f(x)$ . Utilizando ese valor, calcular el punto (o puntos) al que hace referencia el teorema en el intervalo $[-3,3]$ .

f(x) = \begin{cases} x+1 & x \le 1 \\[4pt] 3-ax^{2} & x > 1 \end{cases}

Calcular $a$ y los puntos del teorema.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que imponer para que el teorema sea aplicable?
02
El parámetro
COMP2
¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor medio
COMP2
¿Cuál es el valor medio de $f$ en $[-3,3]$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Imponer continuidad en $x=1$ : $2 = 3-a$ , luego $a=1$ y la función es $x+1$ y $3-x^{2}$ .
2. Calcular el valor medio, partiendo la integral en el empalme: $\int_{-3}^{1}(x+1) = 0$ y $\int_1^{3}(3-x^{2}) = -\frac83$ .
3. $\overline{f} = \frac{1}{6}\left(-\frac83\right) = -\frac49$ .
4. Buscar los puntos resolviendo $f(c) = -\frac49$ en cada rama, y quedándose solo con los que caen en el tramo donde esa rama rige.
5. En la rama $x+1$ : $c = -\frac{13}{9}$ , que está en $[-3,1]$ ✔ En la rama $3-x^{2}$ : $c = \sqrt{3+\frac49} = \frac{\sqrt{31}}{3} \approx 1{,}86$ , que está en $(1,3]$ ✔
Resolver en las dos ramas y filtrar por tramo es el mismo esquema que en cualquier función a trozos. Lo que cambia es qué se iguala.

Resolución completa

Datos. $f(x) = x+1$ para $x\le1$ y $3-ax^{2}$ para $x>1$ . Se pide $a$ para que el teorema de la media sea aplicable, y los puntos en $[-3,3]$ .

1 · Qué hay que imponer

La única hipótesis del teorema de la media integral es la continuidad. Dentro de cada tramo la función ya lo es por ser polinómica, así que todo se juega en el empalme $x=1$ .

Conviene decir lo que no hay que imponer: derivabilidad. El teorema no la pide, y exigirla daría otro valor de $a$ —o ninguno—.

2 · El parámetro

\lim_{x\to1^{-}} f(x) = f(1) = 2

\lim_{x\to1^{+}} f(x) = 3-a

2 = 3-a \;\Longrightarrow\; \boxed{a = 1}

La función queda

f(x) = \begin{cases} x+1 & x\le1 \\ 3-x^{2} & x>1 \end{cases}

continua en todo $\mathbb{R}$ , aunque con un pico en $x=1$ : por la izquierda llega con pendiente 1 y por la derecha sale con $-2$ . Al teorema de la media eso no le afecta.

3 · El valor medio

Se parte la integral en el empalme:

\int_{-3}^{1}(x+1)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{-3}^{1} = \frac{3}{2}-\frac{3}{2} = 0

Vale exactamente 0: el trozo positivo, de $-1$ a 1, compensa al negativo, de $-3$ a $-1$ .

\int_{1}^{3}\left(3-x^{2}\right)dx = \left[3x-\frac{x^{3}}{3}\right]_1^{3} = 0-\frac{8}{3} = -\frac{8}{3}

\int_{-3}^{3} f = -\frac{8}{3} \;\Longrightarrow\; \overline{f} = \frac{1}{6}\left(-\frac{8}{3}\right) = -\frac{4}{9} \approx -0{,}4444

4 · Los puntos donde se alcanza

Hay que resolver $f(c) = -\frac49$ en cada rama, y comprobar que la solución cae donde esa rama rige.

Rama $x+1$ , válida en $[-3,1]$ :

c+1 = -\frac49 \;\Longrightarrow\; c = -\frac{13}{9} \approx -1{,}444

Está en $[-3,1]$ ✔

Rama $3-x^{2}$ , válida en $(1,3]$ :

3-c^{2} = -\frac49 \;\Longrightarrow\; c^{2} = 3+\frac49 = \frac{31}{9} \;\Longrightarrow\; c = \pm\frac{\sqrt{31}}{3}

\frac{\sqrt{31}}{3} \approx 1{,}856 \in (1,3] \quad\checkmark

La negativa, $-1{,}856$ , cae en el tramo de la otra rama: se descarta.

\boxed{\;a = 1, \qquad z_1 = -\frac{13}{9}, \qquad z_2 = \frac{\sqrt{31}}{3}\;}

Dos puntos. El teorema garantizaba al menos uno.

5 · Comprobación

Del valor medio, geométricamente. El rectángulo de base 6 y altura $-\frac49$ tiene área $-\frac{8}{3}$ , igual que la integral ✔

De los puntos:

f\!\left(-\frac{13}{9}\right) = -\frac{13}{9}+1 = -\frac49 \quad\checkmark

f\!\left(\frac{\sqrt{31}}{3}\right) = 3-\frac{31}{9} = \frac{27-31}{9} = -\frac49 \quad\checkmark

De coherencia: el valor medio, $-0{,}44$ , tiene que estar entre el mínimo y el máximo de la función en el intervalo. El mínimo es $f(3) = -6$ y el máximo es $f(1) = 2$ , y en efecto $-6 < -0{,}44 < 2$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.3 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU · Cayó en 2019/2020 AT

Continua sí, derivable no

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la siguiente función:

f(x) = \begin{cases} \ln x & 1 \le x \le 2 \\[4pt] ax^{2}+b & 2 < x \le 3 \end{cases}

donde $a$ y $b$ son constantes reales.

(a) Obtener las condiciones que deben de cumplir $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en $[1,3]$ .

(b) En ese caso, calcular los valores de $a$ y $b$ para que el valor medio de $f(x)$ en el intervalo $[1,3]$ sea $\frac12\left(3\ln2-1\right)$ .

(c) Para los valores de $a$ y $b$ obtenidos en el apartado anterior, ¿es $f(x)$ derivable?

Responder a los tres apartados.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado (a) pide «las condiciones», en plural pero con dos incógnitas. ¿Cuántas ecuaciones da?
02
La relación entre los parámetros
COMP2
En la condición $4a+b = k$ , ¿cuánto vale $k$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El parámetro a
COMP2
Con la condición del valor medio, ¿cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena los tres apartados. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. (a) El único empalme es $x=2$ , y da una condición: $4a+b = \ln2$ . Con dos incógnitas, describe una familia.
2. (b) Se calculan las dos integrales —la primera por partes, que da $2\ln2-1$ — y se impone el valor medio.
3. Sale la segunda ecuación, $\frac{19a}{3}+b = \ln2$ , y el sistema con la anterior da $a=0$ y $b=\ln2$ .
4. (c) Con esos valores el segundo tramo es la constante $\ln2$ , así que su derivada es 0; y la del logaritmo en $x=2$ es $\frac12$ .
5. Como $\frac12 \neq 0$ , la función no es derivable en $x=2$ : es continua con un pico.
El apartado (c) existe precisamente para eso: comprobar que se distingue continuidad de derivabilidad después de haber usado la primera para todo lo demás.

Resolución completa

Datos. $f(x) = \ln x$ en $[1,2]$ y $ax^{2}+b$ en $(2,3]$ . Tres apartados: continuidad, valor medio y derivabilidad.

1 · Apartado (a): la condición de continuidad

Dentro de cada tramo la función ya es continua —logaritmo en $x>0$ y polinomio—, así que solo hay que mirar el empalme $x=2$ .

\lim_{x\to2^{-}} f(x) = f(2) = \ln 2

\lim_{x\to2^{+}} f(x) = a\cdot4+b = 4a+b

\boxed{4a+b = \ln 2}

Una sola ecuación con dos incógnitas. No determina $a$ y $b$ : describe una familia de funciones continuas. Por eso hace falta el apartado (b).

2 · Apartado (b): la integral del logaritmo

El primer tramo necesita integración por partes, con $u = \ln x$ y $dv = dx$ :

\int \ln x\,dx = x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,dx = x\ln x - x

\int_1^{2}\ln x\,dx = \left[x\ln x-x\right]_1^{2} = (2\ln2-2)-(0-1) = 2\ln2-1

El segundo es inmediato:

\int_2^{3}\left(ax^{2}+b\right)dx = \left[\frac{a x^{3}}{3}+bx\right]_2^{3} = \frac{a(27-8)}{3}+b(3-2) = \frac{19a}{3}+b

3 · Apartado (b): imponer el valor medio

La longitud del intervalo es $3-1 = 2$ :

\overline{f} = \frac{1}{2}\left[\left(2\ln2-1\right)+\frac{19a}{3}+b\right]

e igualando a $\frac12\left(3\ln2-1\right)$ :

2\ln2-1+\frac{19a}{3}+b = 3\ln2-1 \;\Longrightarrow\; \frac{19a}{3}+b = \ln 2

El sistema:

\begin{cases} 4a+b = \ln2 \\[4pt] \frac{19a}{3}+b = \ln2 \end{cases}

Restando, los $b$ y los $\ln2$ se cancelan:

\frac{19a}{3}-4a = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{19a-12a}{3} = \frac{7a}{3} = 0 \;\Longrightarrow\; a = 0

b = \ln 2

\boxed{a = 0, \qquad b = \ln 2}

4 · Qué función ha salido

f(x) = \begin{cases} \ln x & 1\le x\le2 \\ \ln 2 & 2<x\le3 \end{cases}

El segundo tramo es constante. La función crece desde 0 hasta $\ln2$ y luego se queda plana. Que $a$ salga 0 no es un error: es lo que exigía el valor medio pedido.

5 · Apartado (c): la derivabilidad

Dentro de cada tramo es derivable. En el empalme hay que comparar las derivadas laterales:

f'(2^{-}) = \left.\frac{1}{x}\right|_{x=2} = \frac{1}{2}

f'(2^{+}) = 0 \qquad\text{(la constante)}

\frac12 \neq 0

\boxed{\;\text{No es derivable en } x=2\;}

La función llega subiendo con pendiente $\frac12$ y sigue plana: hay un pico.

Y esa es la razón de ser del apartado: se ha usado la continuidad en todo el ejercicio, y ahora se comprueba que continua no implica derivable. Es el mismo contraste que en el ejercicio 3.6 del tema 3.

6 · Comprobación

Del valor medio. Con $a=0$ y $b=\ln2$ :

\int_1^{3} f = \left(2\ln2-1\right)+\ln2\cdot(3-2) = 3\ln2-1

\overline{f} = \frac{3\ln2-1}{2} \quad\checkmark

exactamente lo que pedía el enunciado.

Numéricamente: $3\ln2-1 \approx 2{,}079-1 = 1{,}079$ , luego $\overline{f} \approx 0{,}5397$ .

Y tiene que estar entre el mínimo y el máximo de $f$ en $[1,3]$ , que son $f(1) = 0$ y $\ln2 \approx 0{,}693$ :

0 < 0{,}5397 < 0{,}693 \quad\checkmark

Del punto del teorema, que el enunciado no pide pero confirma la coherencia: como $f$ es continua, ese valor medio se alcanza. En la rama del logaritmo, $\ln c = 0{,}5397$ da $c = e^{0,5397} \approx 1{,}715$ , que está en $[1,2]$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.4 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU

Tres funciones integrales que salen a trozos

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular las siguientes funciones integrales y comprobar que son derivables:

(a) $F(x) = \displaystyle\int_0^{x}\left|z-1\right|dz$

(b) $F(x) = \displaystyle\int_0^{x} f(z)\,dz$ donde $f(z) = \begin{cases} z & z \le 2 \\ 2 & z>2 \end{cases}$

(c) $F(x) = \displaystyle\int_0^{x}\left|\mathrm{sen}\,z\right|dz$ donde $0<x<2\pi$

Calcular las tres funciones integrales y comprobar la derivabilidad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué las tres funciones integrales salen definidas a trozos?
02
El apartado (a), segunda rama
COMP2
Para $F(x) = \int_0^{x}\left|z-1\right|dz$ con $x>1$ , ¿cuánto vale $F(3)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado (c), segunda rama
COMP2
Para $F(x) = \int_0^{x}\left|\mathrm{sen}\,z\right|dz$ con $\pi<x<2\pi$ , ¿cuánto vale $F\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la comprobación de que $F$ es derivable. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Dentro de cada rama $F$ es derivable, porque es un polinomio o un coseno.
2. En el punto de empalme hay que comparar las derivadas laterales. En (a), con $x=1$ : por la izquierda $1-x$ da 0, por la derecha $-1+x$ da 0.
3. Coinciden, así que $F$ sí es derivable en $x=1$ , con $F'(1) = 0$ .
4. Y eso es exactamente lo que anunciaba el teorema fundamental: $F'(x) = f(x)$ , y aquí $f(1) = \left|1-1\right| = 0$ .
5. Lo mismo en (b) y (c): $F'(2) = f(2) = 2$ y $F'(\pi) = \left|\mathrm{sen}\,\pi\right| = 0$ . Las tres son derivables porque los tres integrandos son continuos.
La pieza trampa es el corazón del ejercicio. Por eso el enunciado pide «comprobar que son derivables»: para que se vea que integrar suaviza.

Resolución completa

Datos. Tres funciones integrales cuyo integrando cambia de expresión en un punto. Se pide calcularlas y comprobar que son derivables.

1 · La herramienta

Primera parte del teorema fundamental: si $f$ es continua, $F(x) = \int_a^{x} f$ es derivable y $F'(x) = f(x)$ .

Los tres integrandos son continuos —el valor absoluto de una función continua lo es, y la de (b) empalma en 2 porque $z\to2$ da 2—, así que las tres funciones integrales serán derivables. El ejercicio consiste en verlo a mano.

Y la técnica es siempre la misma: partir en el punto donde el integrando cambia de fórmula y, en la segunda rama, sumar lo ya acumulado.

2 · Apartado (a): $\left|z-1\right|$

El valor absoluto cambia en $z=1$ .

Para $0<x\le1$ , $\left|z-1\right| = 1-z$ :

F(x) = \left[z-\frac{z^{2}}{2}\right]_0^{x} = x-\frac{x^{2}}{2}

Para $x>1$ , arrastrando $F(1) = \frac12$ :

F(x) = \frac12+\int_1^{x}(z-1)dz = \frac12+\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)-\left(\frac12-1\right) = 1-x+\frac{x^{2}}{2}

\boxed{F(x) = \begin{cases} x-\dfrac{x^{2}}{2} & 0<x\le1 \\[10pt] 1-x+\dfrac{x^{2}}{2} & x>1 \end{cases}}

3 · Apartado (b): la función a trozos

El integrando cambia en $z=2$ .

Para $0<x\le2$ : $F(x) = \int_0^{x} z\,dz = \frac{x^{2}}{2}$

Para $x>2$ , con $F(2) = 2$ :

F(x) = 2+\int_2^{x}2\,dz = 2+2(x-2) = 2x-2

\boxed{F(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2}}{2} & 0<x\le2 \\[10pt] 2x-2 & x>2 \end{cases}}

A partir de 2 la función integral crece linealmente, porque el integrando se ha vuelto constante. La parábola se convierte en recta, y lo hace de forma tangente.

4 · Apartado (c): $\left|\mathrm{sen}\,z\right|$

El seno cambia de signo en $\pi$ .

Para $0<x\le\pi$ :

F(x) = \int_0^{x}\mathrm{sen}\,z\,dz = 1-\cos x

Para $\pi<x<2\pi$ , con $F(\pi) = 2$ :

F(x) = 2+\int_{\pi}^{x}\left(-\mathrm{sen}\,z\right)dz = 2+\left[\cos z\right]_{\pi}^{x} = 3+\cos x

\boxed{F(x) = \begin{cases} 1-\cos x & 0<x\le\pi \\[4pt] 3+\cos x & \pi<x<2\pi \end{cases}}

Y $F$ es creciente en todo el intervalo, como tiene que ser: el integrando es un valor absoluto, nunca negativo, así que el área solo puede acumularse.

5 · La derivabilidad

Dentro de cada rama las tres son derivables sin discusión. El punto delicado es el empalme, y la comprobación es idéntica en los tres casos:

	punto	$F'$ por la izquierda	$F'$ por la derecha	$f$ ahí
(a)	$1$	$1-1 = 0$	$-1+1 = 0$	$0$
(b)	$2$	$2$	$2$	$2$
(c)	$\pi$	$\mathrm{sen}\,\pi = 0$	$-\mathrm{sen}\,\pi = 0$	$0$

Las derivadas laterales coinciden en los tres, y coinciden precisamente con el valor del integrando: $F'(x) = f(x)$ , que es lo que anunciaba el teorema.

Y hay algo más interesante. En (a) el integrando tiene un pico en $x=1$ ; su función integral, no. Integrar gana una derivada: convierte lo continuo en derivable. Por eso el teorema fundamental solo exige continuidad.

6 · Comprobación

Continuidad en los empalmes:

\text{(a)}\quad 1-\frac12 = \frac12 \quad\text{y}\quad 1-1+\frac12 = \frac12 \quad\checkmark

\text{(b)}\quad \frac{4}{2} = 2 \quad\text{y}\quad 2\cdot2-2 = 2 \quad\checkmark

\text{(c)}\quad 1-\cos\pi = 2 \quad\text{y}\quad 3+\cos\pi = 2 \quad\checkmark

Un valor por vía independiente: en (c), $F(2\pi^{-}) = 3+1 = 4$ , y en efecto el área de dos medias ondas de seno es $2+2 = 4$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.5 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU

Función media y valor medio no son lo mismo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función:

f(x) = \begin{cases} x & x \in [0,1) \\[4pt] e^{1-x} & x \in [1,2] \end{cases}

(a) Dibujar $f(x)$ .

(b) Calcular la función media de $f(x)$ , $\overline{f}(x)$ , en el intervalo $[a,b]$ .

(c) Calcular el valor medio de $f(x)$ , $\overline{f}$ , en el intervalo $[a,b]$ .

Dibujar, calcular la función media y el valor medio.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la diferencia entre la función media $\overline{f}(x)$ y el valor medio $\overline{f}$ ?
02
La función media en la primera rama
COMP2
Para $x \in [0,1)$ , ¿cuánto vale $\overline{f}(x)$ en $x = 0{,}8$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor medio en todo el intervalo
COMP2
¿Cuánto vale $\overline{f}$ en $[0,2]$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el ejercicio. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. (a) El dibujo: una recta desde el origen hasta $(1,1)$ , y desde ahí una exponencial decreciente que baja de $1$ a $\frac1e$ . La función es continua en $x=1$ , porque $e^{1-1} = 1$ .
2. (b) La función media es $\overline{f}(x) = \frac{1}{x-a}\int_a^{x} f$ , con $a=0$ . Sale a trozos porque $f$ lo es.
3. Primera rama: $\overline{f}(x) = \frac{1}{x}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac x2$ para $x\in[0,1)$ .
4. Segunda rama: $\overline{f}(x) = \frac1x\left(\frac12+1-e^{1-x}\right) = \frac1x\left(\frac32-e^{1-x}\right)$ para $x\in[1,2]$ .
5. (c) El valor medio es la función media evaluada en el extremo: $\overline{f} = \overline{f}(2) = \frac12\left(\frac32-\frac1e\right) = \frac34-\frac{1}{2e}$ .
Que la función media empiece valiendo $f(a)$ y acabe valiendo $\overline{f}$ es la mejor forma de entender qué es: interpola entre el valor inicial y la media global.

Resolución completa

Datos. $f(x) = x$ en $[0,1)$ y $e^{1-x}$ en $[1,2]$ . El intervalo $[a,b]$ del enunciado es el dominio entero, $[0,2]$ .

1 · Apartado (a): el dibujo

Dos tramos:

$[0,1)$ : la recta $y=x$ , del origen a $(1,1)$ .
$[1,2]$ : la exponencial $e^{1-x}$ , que en $x=1$ vale $e^{0} = 1$ y en $x=2$ vale $e^{-1} \approx 0{,}368$ , bajando y cóncava hacia arriba.

La función es continua en $x=1$ , porque los dos tramos llegan a 1. No es derivable ahí: llega con pendiente $+1$ y sale con pendiente $-1$ .

Sube hasta un máximo en $x=1$ y luego baja.

2 · Las dos definiciones que hay que separar

\text{función media:}\quad \overline{f}(x) = \frac{1}{x-a}\int_a^{x} f(z)\,dz

\text{valor medio:}\quad \overline{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^{b} f(z)\,dz = \overline{f}(b)

La primera es una función; la segunda, un número, y es la primera evaluada en el extremo derecho. Comparten nombre y símbolo, y ahí está la trampa del ejercicio.

3 · Apartado (b): la función media

Con $a = 0$ , o sea $\overline{f}(x) = \frac1x\int_0^{x} f$ .

Rama $x \in [0,1)$ :

\int_0^{x} z\,dz = \frac{x^{2}}{2} \;\Longrightarrow\; \overline{f}(x) = \frac{1}{x}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x}{2}

Rama $x \in [1,2]$ , arrastrando $\int_0^{1} = \frac12$ :

\int_1^{x} e^{1-z}dz = \left[-e^{1-z}\right]_1^{x} = -e^{1-x}+1

\int_0^{x} f = \frac12+1-e^{1-x} = \frac32-e^{1-x}

\overline{f}(x) = \frac{1}{x}\left(\frac{3}{2}-e^{1-x}\right)

\boxed{\overline{f}(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{2} & x\in[0,1) \\[10pt] \dfrac1x\left(\dfrac32-e^{1-x}\right) & x\in[1,2] \end{cases}}

Ojo con la primitiva de $e^{1-z}$ : es $-e^{1-z}$ , con signo menos, porque la derivada del exponente es $-1$ . Olvidarlo cambia el resultado de todo el apartado.

4 · Apartado (c): el valor medio

Es la función media en $x = b = 2$ :

\overline{f} = \overline{f}(2) = \frac12\left(\frac32-e^{-1}\right) = \frac34-\frac{1}{2e}

\boxed{\overline{f} = \frac34-\frac{1}{2e} \approx 0{,}5661}

5 · Comprobación

Que la función media empalma. En $x=1$ las dos ramas deben coincidir:

\frac12 \quad\text{y}\quad \frac11\left(\frac32-e^{0}\right) = \frac32-1 = \frac12 \quad\checkmark

Que empieza donde debe. El límite cuando $x\to0^{+}$ es $\lim \frac x2 = 0 = f(0)$ ✔ La media de un intervalo que se encoge tiende al valor de la función en el punto.

Que el valor medio es razonable. Tiene que estar entre el mínimo y el máximo de $f$ en $[0,2]$ , que son $f(0)=0$ y $f(1)=1$ :

0 < 0{,}566 < 1 \quad\checkmark

Y por área aproximada: el triángulo del primer tramo aporta $0{,}5$ y la exponencial del segundo algo más de $0{,}6$ ; en total $\approx1{,}13$ , que entre 2 da $\approx0{,}566$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.6 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU · Cayó en 2014/2015 4E AT

Una ecuación donde la incógnita es el límite de integración

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la ecuación $5x^{3}+40 = \displaystyle\int_a^{x} f(u)\,du$ . Calcular $f(x)$ y $a$ .

Calcular $f(x)$ y $a$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay dos incógnitas, $f$ y $a$ . ¿De dónde sale cada una?
02
El integrando
COMP2
¿Cuánto vale $f(2)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El límite inferior
COMP2
¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La igualdad dice que $5x^{3}+40$ es una primitiva de $f$ —la que se anula en $a$ —.
2. Derivar los dos lados. A la izquierda, $15x^{2}$ ; a la derecha, por el teorema fundamental, $f(x)$ .
3. Luego $f(x) = 15x^{2}$ . El 40 ha desaparecido: la derivada no distingue primitivas que difieren en una constante.
4. Recuperar esa información sustituyendo $x=a$ , donde la integral se anula por tener los dos límites iguales.
5. $5a^{3}+40 = 0 \Rightarrow a^{3} = -8 \Rightarrow a = -2$ .
Derivar para obtener $f$ y evaluar en $a$ para obtener $a$ : dos herramientas distintas, una por incógnita.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicios 5.7 y 5.8 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU · El 5.7 cayó en 2019/2020 6E

Dos polinomios de Maclaurin sin calcular la integral

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

(5.7) Sea $f(x) = 3+\displaystyle\int_0^{x}\frac{1+\mathrm{sen}\,t} {2+t^{2}}\,dt$ $\forall x \in \mathbb{R}$ . Sin calcular la integral, obtener el polinomio de Mclaurin de grado uno de $f$ .

(5.8) Calcular el polinomio de McLaurin de tercer orden de la función $H(x) = \displaystyle\int_0^{x}e^{t^{2}}\,dt$ .

Obtener los dos polinomios de Maclaurin.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado del 5.7 dice «sin calcular la integral». ¿Por qué se puede?
02
El 5.7
COMP2
En $p(x) = f(0)+f'(0)\,x$ , ¿cuánto vale $f'(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El 5.8, el coeficiente cúbico
COMP2
En $P_3(x) = \sum \frac{H^{(k)}(0)}{k!}x^{k}$ , ¿cuánto vale el coeficiente de $x^{3}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El polinomio de Maclaurin de orden $n$ es $P_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{g^{(k)}(0)}{k!}x^{k}$ : solo necesita derivadas en 0.
2. El teorema fundamental da la primera gratis: si $g(x) = \int_0^{x}h$ , entonces $g'(x) = h(x)$ .
3. Las siguientes salen derivando el propio integrando, no la integral. Y el término independiente sale de que $\int_0^{0} = 0$ .
4. 5.7: $f(0)=3$ y $f'(0)=\frac12$ , luego $p(x) = 3+\frac x2$ .
5. 5.8: $H(0)=0$ , $H'(0)=1$ , $H''(0)=0$ , $H'''(0)=2$ , luego $P_3(x) = x+\frac{x^{3}}{3}$ .
Los dos apartados enseñan lo mismo desde ángulos distintos: el 5.7 con una primitiva difícil, el 5.8 con una que directamente no existe.

Resolución completa

Datos. Dos funciones definidas por integrales, y sus polinomios de Maclaurin de grados uno y tres.

1 · Por qué no hace falta integrar

El polinomio de Maclaurin de orden $n$ de $g$ es

P_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{g^{(k)}(0)}{k!}\,x^{k}

Solo pide derivadas evaluadas en 0. Y el teorema fundamental regala la primera: si $g(x) = \int_0^{x} h(t)\,dt$ , entonces $g'(x) = h(x)$ . Las demás salen derivando $h$ , que es una función corriente.

La primitiva no interviene en ningún paso. Eso es lo que hace viable el 5.8, donde $e^{t^{2}}$ no tiene primitiva elemental.

2 · Ejercicio 5.7

f(x) = 3+\int_0^{x}\frac{1+\mathrm{sen}\,t}{2+t^{2}}\,dt

Término independiente. En $x=0$ la integral se anula:

f(0) = 3+0 = 3

Coeficiente lineal. Por el teorema fundamental el integrando es la derivada:

f'(x) = \frac{1+\mathrm{sen}\,x}{2+x^{2}} \;\Longrightarrow\; f'(0) = \frac{1+0}{2+0} = \frac12

\boxed{p(x) = 3+\frac{x}{2}}

3 · Ejercicio 5.8

H(x) = \int_0^{x} e^{t^{2}}\,dt

H(0) = 0

H'(x) = e^{x^{2}} \;\Longrightarrow\; H'(0) = e^{0} = 1

H''(x) = 2x\,e^{x^{2}} \;\Longrightarrow\; H''(0) = 0

H'''(x) = 2e^{x^{2}}+2x\left(2x\,e^{x^{2}}\right) = \left(2+4x^{2}\right)e^{x^{2}} \;\Longrightarrow\; H'''(0) = 2

Montando el polinomio:

P_3(x) = 0+\frac{1}{1!}x+\frac{0}{2!}x^{2}+\frac{2}{3!}x^{3}

\boxed{P_3(x) = x+\frac{x^{3}}{3}}

4 · Comprobación

Por la serie del exponencial, que es una vía completamente independiente:

e^{t^{2}} = 1+t^{2}+\frac{t^{4}}{2}+\cdots

e integrando término a término entre 0 y $x$ :

H(x) = x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{10}+\cdots

Los términos hasta grado 3 son exactamente $x+\frac{x^{3}}{3}$ ✔

Por paridad. $e^{t^{2}}$ es par, así que su función integral desde 0 es impar. Un polinomio de Maclaurin de una función impar solo puede tener potencias impares — y en efecto los coeficientes de $x^{0}$ y $x^{2}$ salieron 0 ✔

Numéricamente, en $x = 0{,}3$ : el polinomio da $0{,}309$ , y la integral real vale $0{,}30913\ldots$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU

Seis derivadas sin calcular ninguna integral

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sin calcular las integrales, calcular las derivadas de las siguientes funciones:

(a) $H(x) = \displaystyle\int_1^{x^{3}} t^{2}\,dt$ · (b) $H(x) = \displaystyle\int_0^{x^{2}}\sqrt{1+t^{2}}\,dt$ · (c) $H(x) = \displaystyle\int_0^{x^{2}} e^{t^{2}}\,dt$

(d) $H(x) = \displaystyle\int_1^{x^{4}}\sec t\,dt$ · (e) $H(x) = \displaystyle\int_1^{\mathrm{sen}\,x} e^{t}\,dt$ · (f) $H(x) = \displaystyle\int_{x^{2}}^{x^{3}} t\,dt$

Calcular las seis derivadas.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué fórmula hay que usar cuando los dos límites dependen de $x$ ?
02
El apartado (a)
COMP2
Para $H(x) = \int_1^{x^{3}} t^{2}dt$ , ¿cuánto vale $H'(2)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado (f), con los dos límites variables
COMP2
Para $H(x) = \int_{x^{2}}^{x^{3}} t\,dt$ , ¿cuánto vale $H'(2)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método y sus seis resultados. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La fórmula: $\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f = f(v)\,v'-f(u)\,u'$ , que sale de partir la integral en un punto fijo y aplicar la regla de la cadena.
2. (a) $\left(x^{3}\right)^{2}\cdot3x^{2} = 3x^{8}$ · (b) $\sqrt{1+\left(x^{2}\right)^{2}}\cdot2x = 2x\sqrt{1+x^{4}}$
3. (c) $e^{\left(x^{2}\right)^{2}}\cdot2x = 2x\,e^{x^{4}}$ · (d) $\sec\!\left(x^{4}\right)\cdot4x^{3} = \dfrac{4x^{3}}{\cos x^{4}}$
4. (e) $e^{\mathrm{sen}\,x}\cdot\cos x$ , donde $\cos x$ es la derivada del límite superior.
5. (f) El único con los dos límites variables: $x^{3}\cdot3x^{2}-x^{2}\cdot2x = 3x^{5}-2x^{3}$ .
Cinco de los seis apartados son la misma cuenta con distinto integrando. El (f) es el que enseña algo nuevo, y por eso está el último.

Resolución completa

Datos. Seis funciones integrales con límites que dependen de $x$ . Se pide derivarlas sin calcular las integrales.

1 · La herramienta

La primera parte del teorema fundamental dice $\frac{d}{dx}\int_a^{x} f = f(x)$ cuando el límite superior es la propia $x$ . Si es una función $v(x)$ , se compone con la regla de la cadena; y si además el inferior es otra función $u(x)$ , se parte la integral en un punto fijo $c$ :

\int_{u(x)}^{v(x)} f = \int_{c}^{v(x)} f-\int_{c}^{u(x)} f

Derivando cada trozo:

\boxed{\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f\big(v(x)\big)\,v'(x)-f\big(u(x)\big)\,u'(x)}

El signo menos del segundo término no es un convenio: viene de esa resta.

2 · Los cinco con un solo límite variable

En todos, el inferior es constante y su término se anula.

(a) $f(t)=t^{2}$ , $v=x^{3}$ :

H'(x) = \left(x^{3}\right)^{2}\cdot3x^{2} = x^{6}\cdot3x^{2} = 3x^{8}

(b) $f(t)=\sqrt{1+t^{2}}$ , $v=x^{2}$ :

H'(x) = \sqrt{1+\left(x^{2}\right)^{2}}\cdot2x = 2x\sqrt{1+x^{4}}

(c) $f(t)=e^{t^{2}}$ , $v=x^{2}$ :

H'(x) = e^{\left(x^{2}\right)^{2}}\cdot2x = 2x\,e^{x^{4}}

(d) $f(t)=\sec t$ , $v=x^{4}$ :

H'(x) = \sec\!\left(x^{4}\right)\cdot4x^{3} = \frac{4x^{3}}{\cos\left(x^{4}\right)}

(e) $f(t)=e^{t}$ , $v=\mathrm{sen}\,x$ :

H'(x) = e^{\mathrm{sen}\,x}\cdot\cos x

3 · El sexto, con los dos límites variables

(f) $f(t)=t$ , $v=x^{3}$ , $u=x^{2}$ :

H'(x) = x^{3}\cdot3x^{2}-x^{2}\cdot2x = 3x^{5}-2x^{3}

4 · El error que persigue este ejercicio

Es siempre el mismo: escribir $H'(x) = f(x)$ olvidando que el límite no es $x$ sino una función de $x$ . En (a) eso daría $x^{2}$ en vez de $3x^{8}$ .

Dos cosas hay que hacer, y las dos:

Sustituir el límite en el integrando, no la $x$ .
Multiplicar por la derivada de ese límite.

5 · Comprobación

Dos de los seis se pueden integrar de verdad, y sirven para validar la fórmula:

(a)

H(x) = \left[\frac{t^{3}}{3}\right]_1^{x^{3}} = \frac{x^{9}}{3}-\frac13 \;\Longrightarrow\; H'(x) = \frac{9x^{8}}{3} = 3x^{8} \quad\checkmark

(f)

H(x) = \left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{x^{2}}^{x^{3}} = \frac{x^{6}}{2}-\frac{x^{4}}{2} \;\Longrightarrow\; H'(x) = 3x^{5}-2x^{3} \quad\checkmark

Los otros cuatro no admiten esa comprobación —(c) directamente no tiene primitiva elemental—, pero comparten fórmula con estos dos.

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(a)}\ & 3x^{8} & \text{(d)}\ & \frac{4x^{3}}{\cos x^{4}} \\ \text{(b)}\ & 2x\sqrt{1+x^{4}} & \text{(e)}\ & e^{\mathrm{sen}\,x}\cos x \\ \text{(c)}\ & 2x\,e^{x^{4}} & \text{(f)}\ & 3x^{5}-2x^{3} \end{aligned}}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.10 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU

Ocho impropias de primer tipo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular las siguientes integrales impropias de primer tipo:

(a) $\displaystyle\int_{-\infty}^{0} e^{x}dx$ · (b) $\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{e^{x}}}dx$ · (c) $\displaystyle\int_0^{\infty}xe^{-x}dx$ · (d) $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}dx$

(e) $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+4}dx$ · (f) $\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx$ · (g) $\displaystyle\int_1^{\infty}x^{n}dx$ non $n \in \mathbb{Z}$ · (h) $I = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\left|x\right|}dx$ , $a \in \mathbb{R}$

Calcular las ocho integrales impropias.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que hacer siempre antes de dar el resultado de una impropia?
02
El apartado (b)
COMP2
¿Cuánto vale $\int_0^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{e^{x}}}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado (e)
COMP2
¿Cuánto vale $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el tratamiento de los ocho apartados. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La definición: $\int_a^{\infty}f = \lim_{t\to\infty} \int_a^{t}f$ , y si los dos extremos son infinitos se parte y se toman dos límites independientes.
2. Los exponenciales, (a) (b) (c): $1$ , $2$ y $1$ . El (c) pide partes, con $u=x$ y $dv=e^{-x}dx$ .
3. Los arcotangentes, (d) y (e): el (d) sale con el cambio $u=e^{x}$ , que lo convierte en $\int_0^{\infty}\frac{du}{1+u^{2}} = \frac{\pi}{2}$ ; el (e) vale $\frac{\pi}{2}$ por simetría.
4. (f) Con $u=\sqrt x$ se convierte en $2\int_0^{\infty}\frac{du}{1+u^{2}} = \pi$ .
5. (g) $\int_1^{\infty}x^{n}dx = \frac{-1}{n+1}$ solo si $n<-1$ ; en caso contrario diverge. (h) Vale $\frac2a$ si $a>0$ , y diverge si $a \le 0$ .
Los apartados con parámetro son los que más puntos de COMP4 reparten: lo que se evalúa no es la primitiva, es la discusión.

Resolución completa

Datos. Ocho integrales con al menos un extremo infinito.

1 · La definición, que es toda la técnica

\int_a^{\infty} f = \lim_{t\to\infty}\int_a^{t} f, \qquad \int_{-\infty}^{b} f = \lim_{s\to-\infty}\int_s^{b} f

Y si los dos extremos son infinitos, se parte en un punto cualquiera y se toman dos límites independientes:

\int_{-\infty}^{\infty} f = \lim_{s\to-\infty}\int_s^{0} f +\lim_{t\to\infty}\int_0^{t} f

Tomarlos a la vez —haciendo $s=-t$ — da el valor principal de Cauchy, que no es lo mismo y puede existir cuando la integral no.

2 · Los exponenciales

(a)

\int_{-\infty}^{0}e^{x}dx = \lim_{s\to-\infty}\left[e^{x}\right]_s^{0} = 1-0 = 1

(b) Reescribiendo $\frac{1}{\sqrt{e^{x}}} = e^{-x/2}$ :

\lim_{t\to\infty}\left[-2e^{-x/2}\right]_0^{t} = 0+2 = 2

(c) Por partes, con $u=x$ y $dv=e^{-x}dx$ :

\int xe^{-x}dx = -xe^{-x}-\int\left(-e^{-x}\right)dx = -xe^{-x}-e^{-x}

\lim_{t\to\infty}\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^{t} = 0-(-1) = 1

El límite es 0 porque la exponencial gana al polinomio: $te^{-t}\to0$ .

3 · Los que esconden un arcotangente

(d) Multiplicando arriba y abajo por $e^{x}$ :

\frac{1}{e^{x}+e^{-x}} = \frac{e^{x}}{e^{2x}+1}

Con el cambio $u = e^{x}$ , $du = e^{x}dx$ , los límites $-\infty$ e $\infty$ pasan a $0$ e $\infty$ :

\int_0^{\infty}\frac{du}{1+u^{2}} = \left[\arctan u\right]_0^{\infty} = \frac{\pi}{2}

(e) Con $\int\frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac1a\arctan\frac xa$ y $a=2$ :

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4} = \frac12\left[\arctan\frac x2\right]_{-\infty}^{\infty} = \frac12\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}

Discrepancia con el boletín. La solución publicada da $\frac{\pi}4$ para este apartado. $\frac{\pi}{4}$ es el valor de $\int_0^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}$ , solo la mitad derecha; como el integrando es par y el enunciado integra desde $-\infty$ , el resultado es el doble. Se puede confirmar numéricamente: $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708$ , y una estimación de la integral por cualquier método da ese número.

(f) Con $u=\sqrt x$ , o sea $x=u^{2}$ y $dx = 2u\,du$ :

\int_0^{\infty}\frac{2u\,du}{u\left(1+u^{2}\right)} = 2\int_0^{\infty}\frac{du}{1+u^{2}} = 2\cdot\frac{\pi}{2} = \pi

4 · Los dos con parámetro, que son el ejercicio de verdad

(g) $\int_1^{\infty}x^{n}dx$ , con $n \in \mathbb{Z}$ .

Si $n \neq -1$ :

\int_1^{t}x^{n}dx = \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_1^{t} = \frac{t^{n+1}-1}{n+1}

El límite depende del signo del exponente:

	$t^{n+1}$ cuando $t\to\infty$	resultado
$n<-1$	$\to0$	$\dfrac{-1}{n+1}$ , converge
$n>-1$	$\to\infty$	diverge
$n=-1$	$\ln t \to\infty$	diverge

\boxed{I = \frac{-1}{n+1}\ \text{si } n<-1;\ \text{diverge si } n\ge-1}

Nótese que $\frac{-1}{n+1}$ es positivo cuando $n<-1$ , que es lo que tiene que pasar con el área bajo una función positiva.

(h) $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\left|x\right|}dx$ .

El integrando es par, así que basta la mitad derecha por dos:

I = 2\int_0^{\infty}e^{-ax}dx = 2\lim_{t\to\infty}\left[\frac{e^{-ax}}{-a}\right]_0^{t}

Si $a>0$ : $e^{-at}\to0$ y $I = \frac{2}{a}$ .
Si $a=0$ : el integrando vale 1 y la integral diverge.
Si $a<0$ : $e^{-ax}$ crece, y diverge también.

\boxed{I = \frac{2}{a}\ \text{si } a>0;\ \text{diverge si } a\le0}

Discutir el parámetro no es un extra: es el ejercicio. Dar la fórmula sin decir cuándo vale es dar una respuesta falsa para la mitad de los casos.

5 · Comprobación

Por comparación con la $p$ -integral. Se sabe que $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}$ converge si y solo si $p>1$ . En (g), $x^{n} = \frac{1}{x^{-n}}$ con $p=-n$ , y $p>1$ equivale a $n<-1$ ✔

Por simetría. En (e) y (h) el integrando es par, luego la integral es el doble de la mitad derecha. Los dos resultados lo cumplen ✔

Numéricamente. En (c), $\int_0^{10}xe^{-x}dx = 1-11e^{-10} \approx 0{,}9995$ , muy cerca de 1 ✔

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(a)}\ & 1 & \text{(e)}\ & \tfrac{\pi}{2} \\ \text{(b)}\ & 2 & \text{(f)}\ & \pi \\ \text{(c)}\ & 1 & \text{(g)}\ & \tfrac{-1}{n+1}\ (n<-1) \\ \text{(d)}\ & \tfrac{\pi}{2} & \text{(h)}\ & \tfrac{2}{a}\ (a>0) \end{aligned}}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.11 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU

Cuatro que divergen aunque Barrow diga otra cosa

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular las siguientes integrales impropias de segundo tipo:

(a) $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}$ · (b) $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$ · (c) $\displaystyle\int_{-1}^{2}\frac{dx}{x^{3}}$ · (d) $\displaystyle\int_0^{5}\frac{dx}{(2-x)^{4}}$

Calcular las cuatro integrales impropias.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hace impropias a estas cuatro, si los intervalos son finitos?
02
El apartado (c), su valor principal
COMP2
$\int_{-1}^{2}\frac{dx}{x^{3}}$ diverge. ¿Cuánto vale su valor principal de Cauchy?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado (d), el número falso
COMP2
Aplicando Barrow a ciegas en $\int_0^{5}\frac{dx}{(2-x)^{4}}$ sale un número. ¿Cuál? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el tratamiento de las cuatro. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Buscar la asíntota primero. En (a), (b) y (c) está en $x=0$ ; en (d), en $x=2$ . Las cuatro están dentro del intervalo.
2. Partir en ese punto y tomar los dos límites por separado. Si alguno es infinito, la integral diverge.
3. (a) Diverge, pero $VP = 0$ , porque $\frac1x$ es impar y el intervalo simétrico. (b) Diverge, y ni siquiera hay $VP$ finito: los dos trozos son $+\infty$ y no se cancelan.
4. (c) Diverge, pero $VP = \frac38$ . (d) Diverge, y con exponente par tampoco hay cancelación.
5. La lección: aplicar Barrow a ciegas da números concretos y falsos —0 en (a), $-2$ en (b), $-0{,}054$ en (d)— que no delatan nada si no se piensa.
El boletín pone una nota expresa —«VP = Valor Principal de Cauchy»— precisamente porque es la confusión que este ejercicio persigue.

Resolución completa

Datos. Cuatro integrales sobre intervalos finitos cuyo integrando tiene una asíntota dentro del intervalo.

1 · Lo primero: encontrar el punto conflictivo

Las impropias de segundo tipo son las peligrosas porque no se ven. El intervalo es finito, el integrando parece manejable, y nada en la notación avisa.

	integrando	asíntota	¿dentro?
(a)	$\frac1x$	$x=0$	sí, $-1<0<1$
(b)	$\frac{1}{x^{2}}$	$x=0$	sí
(c)	$\frac{1}{x^{3}}$	$x=0$	sí, $-1<0<2$
(d)	$\frac{1}{(2-x)^{4}}$	$x=2$	sí, $0<2<5$

Regla práctica: antes de integrar, igualar el denominador a cero y mirar si la raíz cae en el intervalo.

2 · La definición

Si la asíntota está en $c \in (a,b)$ :

\int_a^{b} f = \lim_{t\to c^{-}}\int_a^{t} f +\lim_{s\to c^{+}}\int_s^{b} f

Dos límites independientes. Si cualquiera de los dos es infinito, la integral diverge — y no hay más que discutir.

3 · Apartado (a)

\int_{-1}^{t}\frac{dx}{x} = \ln\left|t\right|-0 \xrightarrow[t\to0^{-}]{} -\infty

Diverge.

Su valor principal, en cambio, sí existe:

VP = \lim_{\varepsilon\to0}\left(\ln\varepsilon-\ln1 +\ln1-\ln\varepsilon\right) = 0

Los dos infinitos se cancelan porque $\frac1x$ es impar y el intervalo es simétrico.

4 · Apartado (b)

\int_{s}^{1}\frac{dx}{x^{2}} = \left[-\frac1x\right]_s^{1} = -1+\frac1s \xrightarrow[s\to0^{+}]{} +\infty

Diverge, y aquí ni siquiera hay valor principal finito: los dos trozos tienden a $+\infty$ —el integrando es par y positivo— y sumar dos infinitos del mismo signo no cancela nada.

Barrow a ciegas habría dado

\left[-\frac1x\right]_{-1}^{1} = -1-1 = -2

un número negativo para el área bajo una función siempre positiva. Absurdo, y la señal más barata de que algo iba mal.

5 · Apartado (c)

\int_{-1}^{t}\frac{dx}{x^{3}} = \left[-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{-1}^{t} = -\frac{1}{2t^{2}}+\frac12 \xrightarrow[t\to0^{-}]{} -\infty

Diverge. Su valor principal:

VP = \lim_{\varepsilon\to0}\left[ \left(-\frac{1}{2\varepsilon^{2}}+\frac12\right) +\left(-\frac18+\frac{1}{2\varepsilon^{2}}\right)\right] = \frac12-\frac18 = \frac38

Aquí sí cancelan, porque el integrando es impar; pero el intervalo no es simétrico, así que el resto no es 0 sino $\frac38$ .

6 · Apartado (d)

\int_0^{t}\frac{dx}{(2-x)^{4}} = \left[\frac{1}{3(2-x)^{3}}\right]_0^{t} = \frac{1}{3(2-t)^{3}}-\frac{1}{24} \xrightarrow[t\to2^{-}]{} +\infty

Diverge, y con exponente par no hay cancelación posible: los dos trozos son $+\infty$ .

Barrow a ciegas habría dado

\frac{1}{3(-3)^{3}}-\frac{1}{3\cdot8} = -\frac{1}{81}-\frac{1}{24} \approx -0{,}054

otra vez negativo para un integrando positivo.

7 · Por qué el valor principal no es la integral

VP = \lim_{\varepsilon\to0}\left(\int_a^{c-\varepsilon} +\int_{c+\varepsilon}^{b}\right)

Con el mismo $\varepsilon$ a los dos lados. Esa simetría forzada es lo que produce la cancelación. Si los dos lados se acercan a distinta velocidad —por ejemplo $\varepsilon$ y $2\varepsilon$ — el resultado cambia, y un número que depende de cómo te acercas no es el valor de nada.

Por eso la respuesta correcta a estos cuatro apartados es «diverge», y el $VP$ es información adicional.

8 · Comprobación

Por el criterio de la $p$ -integral. Cerca de una asíntota, $\int_0 \frac{dx}{x^{p}}$ converge si y solo si $p<1$ . Aquí los exponentes son 1, 2, 3 y 4: todos $\ge1$ , luego las cuatro divergen ✔ Sin hacer ninguna cuenta.

Por el signo. En (b) y (d) el integrando es positivo y Barrow a ciegas daba negativo ✔ Contradicción, luego Barrow no era aplicable.

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(a)}\ & \text{divergente, } VP = 0 \\ \text{(b)}\ & \text{divergente} \\ \text{(c)}\ & \text{divergente, } VP = \tfrac38 \\ \text{(d)}\ & \text{divergente} \end{aligned}}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.12 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU

El área y el volumen bajo una exponencial

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el dominio delimitado por las condiciones $y = e^{x}$ , $1 \le x \le 2$ .

(a) Calcular el área del dominio $D$ .

(b) Calcular el volumen generado al girar el dominio $D$ alrededor del eje $OX$ .

Calcular el área y el volumen de revolución.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado no dice cuál es la frontera inferior de $D$ . ¿Cuál es?
02
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área de $D$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen generado al girar $D$ alrededor de $OX$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Identificar el dominio: la curva $y=e^{x}$ por arriba, el eje $OX$ por abajo, y las verticales $x=1$ y $x=2$ a los lados. Es legítimo porque $e^{x}>0$ en el intervalo.
2. (a) $A = \int_1^{2}e^{x}dx = e^{2}-e \approx 4{,}67$ .
3. (b) Al girar alrededor de $OX$ se generan discos de radio $f(x)$ , y su volumen es $V = \pi\int_a^{b}f(x)^{2}dx$ .
4. $V = \pi\int_1^{2}e^{2x}dx = \frac{\pi}{2}\left(e^{4}-e^{2}\right) \approx 74{,}16$ .
5. Comprobación: el sólido está entre dos cilindros, uno de radio $e$ y otro de radio $e^{2}$ , los dos de altura 1; su volumen tiene que caer entre $\pi e^{2} \approx 23$ y $\pi e^{4} \approx 172$ ✔
Área y volumen no son proporcionales, y ese es todo el contenido del ejercicio: el cuadrado del radio rompe cualquier atajo.

Resolución completa

Datos. $y = e^{x}$ con $1 \le x \le 2$ .

1 · Qué región es $D$

El enunciado da una curva y una banda de valores de $x$ . El convenio, y lo único que produce una región acotada, es tomar el dominio entre la curva y el eje $OX$ :

D = \left\{(x,y): 1\le x\le2,\ 0\le y\le e^{x}\right\}

Es legítimo porque $e^{x}>0$ en todo el intervalo: la curva no cruza el eje y no hay que partir nada.

2 · Apartado (a): el área

A = \int_1^{2}e^{x}\,dx = \left[e^{x}\right]_1^{2} = e^{2}-e

\boxed{A = e^{2}-e \approx 4{,}6708}

3 · Apartado (b): el volumen

Al girar alrededor de $OX$ , cada sección perpendicular al eje es un disco de radio $f(x)$ y área $\pi f(x)^{2}$ . Sumándolos:

V = \pi\int_a^{b}f(x)^{2}\,dx

Aquí:

V = \pi\int_1^{2}\left(e^{x}\right)^{2}dx = \pi\int_1^{2}e^{2x}dx = \pi\left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_1^{2}

\boxed{V = \frac{\pi}{2}\left(e^{4}-e^{2}\right) \approx 74{,}156}

El $\frac12$ viene de la derivada del exponente: la primitiva de $e^{2x}$ es $\frac{e^{2x}}{2}$ . Olvidarlo duplica el resultado, y es el fallo más frecuente del apartado.

4 · Lo que enseña el cuadrado

El radio se eleva al cuadrado dentro de la integral. Eso significa que no hay ninguna relación sencilla entre el área y el volumen: no se puede calcular $A$ y luego «multiplicar por algo».

Aquí se nota mucho porque la exponencial crece rápido: el radio se multiplica por $e \approx 2{,}7$ entre los extremos, pero el radio al cuadrado se multiplica por $e^{2} \approx 7{,}4$ .

5 · Comprobación

Del área, por acotación. La función va de $e \approx 2{,}72$ a $e^{2} \approx 7{,}39$ sobre una base de longitud 1:

2{,}72 < 4{,}67 < 7{,}39 \quad\checkmark

Del volumen, por acotación entre cilindros. El sólido contiene el cilindro de radio $e$ y altura 1, y está contenido en el de radio $e^{2}$ :

\pi e^{2} \approx 23{,}2 \quad<\quad 74{,}16 \quad<\quad \pi e^{4} \approx 171{,}5 \quad\checkmark

Del volumen, por el valor medio. El radio cuadrático medio es $\sqrt{\frac{e^{4}-e^{2}}{2}} \approx 4{,}86$ , y $\pi\cdot4{,}86^{2}\cdot1 \approx 74{,}2$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.13 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU

Una parábola y sus dos tangentes

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el área del dominio $D$ delimitado por la gráfica de la función $y = x^{2}+2x+2$ , la recta tangente que pasa por el mínimo de la función $y$ y la recta tangente a la misma de pendiente 6.

Calcular el área del dominio $D$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué hay que partir la integral en dos trozos?
02
Las dos tangentes
COMP2
La tangente de pendiente 6 toca la parábola en un punto. ¿Cuál es su abscisa?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área de $D$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos tangentes. En el mínimo $(-1,1)$ la pendiente es 0, así que la tangente es $y=1$ . La de pendiente 6 toca en $(2,10)$ y es $y = 6x-2$ .
2. Se cortan en $1 = 6x-2$ , es decir $x = \frac12$ : ahí cambia la frontera inferior.
3. La parábola está siempre por encima de sus tangentes, porque es convexa ( $y''=2>0$ ). Así que ella es el techo en los dos trozos.
4. Trozo izquierdo: $\int_{-1}^{1/2}(x+1)^{2}dx = \frac98$ . Trozo derecho: $\int_{1/2}^{2}(x-2)^{2}dx = \frac98$ .
5. $A = \frac98+\frac98 = \frac94$ .
La pieza trampa dice algo cierto —los dos trozos valen lo mismo— con una razón falsa. En un examen, la razón es la mitad de la nota.

Resolución completa

Datos. $y = x^{2}+2x+2$ , su tangente en el mínimo y su tangente de pendiente 6.

1 · Las tres fronteras

Completando cuadrados, $y = (x+1)^{2}+1$ : parábola con vértice en $(-1,1)$ , abierta hacia arriba.

Tangente en el mínimo. En el vértice la pendiente es 0:

y = 1

Tangente de pendiente 6. Con $y' = 2x+2$ :

2x+2 = 6 \;\Longrightarrow\; x = 2,\quad y(2) = 10

y-10 = 6(x-2) \;\Longrightarrow\; y = 6x-2

2 · Cómo encaja la figura

Las dos rectas se cortan donde

1 = 6x-2 \;\Longrightarrow\; x = \frac12

Y la parábola está siempre por encima de cualquiera de sus tangentes, porque es convexa: $y'' = 2 > 0$ .

Así que el dominio tiene la parábola de techo y un suelo que cambia:

tramo	techo	suelo
$-1 \le x \le \frac12$	$x^{2}+2x+2$	$y=1$
$\frac12 \le x \le 2$	$x^{2}+2x+2$	$y=6x-2$

Los extremos $-1$ y $2$ son los puntos de tangencia: ahí la parábola y su recta se tocan y la altura del recinto es 0.

3 · El cálculo

Trozo izquierdo:

x^{2}+2x+2-1 = x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2}

\int_{-1}^{1/2}(x+1)^{2}dx = \left[\frac{(x+1)^{3}}{3}\right]_{-1}^{1/2} = \frac{1}{3}\left(\frac32\right)^{3} = \frac{27}{24} = \frac98

Trozo derecho:

x^{2}+2x+2-(6x-2) = x^{2}-4x+4 = (x-2)^{2}

\int_{1/2}^{2}(x-2)^{2}dx = \left[\frac{(x-2)^{3}}{3}\right]_{1/2}^{2} = 0-\frac{1}{3}\left(-\frac32\right)^{3} = \frac98

\boxed{A = \frac98+\frac98 = \frac94 = 2{,}25}

4 · Por qué salen cuadrados perfectos

No es casualidad. Si $t(x)$ es la tangente a una parábola $y = ax^{2}+bx+c$ en el punto $x_0$ , entonces

y(x)-t(x) = a\left(x-x_0\right)^{2}

La diferencia entre una parábola y su tangente es siempre el cuadrado de la distancia al punto de tangencia, escalado por $a$ . Con $a=1$ salen $(x+1)^{2}$ y $(x-2)^{2}$ , exactamente lo que apareció.

Saber esto ahorra el desarrollo entero: los integrandos se escriben directamente.

5 · Comprobación

Que los dos trozos son iguales. Los dos son $\int$ de un cuadrado perfecto sobre una base de longitud

\frac12-(-1) = \frac32 \qquad\text{y}\qquad 2-\frac12 = \frac32

y en los dos el punto de tangencia está en el extremo. Misma integral, mismo valor ✔ La figura es simétrica respecto de $x=\frac12$ , no respecto del vértice de la parábola.

Por acotación. El recinto cabe en el rectángulo de base 3 —de $-1$ a 2— y altura igual a la separación máxima, que se da en $x=\frac12$ :

\left(\frac12\right)^{2}+2\cdot\frac12+2-1 = \frac94 = 2{,}25

Área del rectángulo: $3\cdot2{,}25 = 6{,}75$ . Y $2{,}25 < 6{,}75$ ✔ El recinto ocupa exactamente un tercio, que es lo típico de las figuras parabólicas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.14 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU

Una raíz contra un valor absoluto

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el dominio delimitado por las condiciones $y = \sqrt{x/2}$ , $y \ge \left|1-x\right|$ y $0 \le x \le 2$ :

(a) Calcular el área del dominio $D$ .

(b) Calcular el volumen generado al girar el dominio $D$ alrededor del eje OX.

Calcular el área y el volumen de revolución.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántos trozos hacen falta y por qué?
02
Los límites del recinto
COMP2
¿En qué valor de $x$ empieza el dominio $D$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área de $D$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado (b). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Al girar alrededor de $OX$ , el recinto no toca el eje: deja un hueco. Por eso se usan arandelas, no discos.
2. $V = \pi\displaystyle\int_{1/2}^{2}\left(R^{2}-r^{2}\right)dx$ , con $R = \sqrt{x/2}$ el radio exterior y $r = \left|1-x\right|$ el interior.
3. $R^{2} = \frac x2$ y $r^{2} = (1-x)^{2}$ , así que los dos integrandos son polinómicos y el valor absoluto desaparece al elevarlo al cuadrado.
4. $\pi\int_{1/2}^{2}\frac x2 dx = \frac{15\pi}{16}$ , y el hueco aporta $\pi\left(\frac{1}{24}+\frac13\right) = \frac{3\pi}{8}$ .
5. $V = \frac{15\pi}{16}-\frac{3\pi}{8} = \frac{9\pi}{16}$ .
Que el valor absoluto desaparezca al elevarlo al cuadrado es lo que hace el apartado (b) más fácil que el (a), al revés de lo habitual.

Resolución completa

Datos. $y = \sqrt{x/2}$ , $y \ge \left|1-x\right|$ , $0\le x\le2$ .

1 · Dónde está el recinto

La condición $y \ge \left|1-x\right|$ pone el valor absoluto de suelo y la raíz de techo. El recinto existe donde la raíz está por encima:

\sqrt{\frac x2} = \left|1-x\right|

Elevando al cuadrado —lo mismo en las dos ramas, porque el valor absoluto al cuadrado es $(1-x)^{2}$ —:

\frac x2 = 1-2x+x^{2} \;\Longrightarrow\; 2x^{2}-5x+2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac12 \ \text{ó}\ x = 2

Las dos están dentro de $[0,2]$ , así que

D:\quad \frac12 \le x \le 2, \qquad \left|1-x\right| \le y \le \sqrt{\frac x2}

La costura está en $x=1$ , el vértice del valor absoluto: hasta ahí el suelo es $1-x$ , y a partir de ahí $x-1$ .

2 · Apartado (a): el área

A = \int_{1/2}^{2}\sqrt{\frac x2}\,dx -\int_{1/2}^{1}(1-x)\,dx-\int_1^{2}(x-1)\,dx

El techo:

\int\sqrt{\frac{x}{2}}\,dx = \frac{1}{\sqrt2}\int x^{1/2}dx = \frac{2}{3\sqrt2}\,x^{3/2}

\int_{1/2}^{2} = \frac{2}{3\sqrt2}\left(2\sqrt2 -\frac{1}{2\sqrt2}\right) = \frac43-\frac16 = \frac76

El suelo, que son dos triángulos:

\int_{1/2}^{1}(1-x)dx = \frac{1}{2}\cdot\frac12\cdot\frac12 = \frac18, \qquad \int_1^{2}(x-1)dx = \frac12\cdot1\cdot1 = \frac12

\boxed{A = \frac76-\frac18-\frac12 = \frac{13}{24} \approx 0{,}5417}

3 · Apartado (b): el volumen

Al girar alrededor de $OX$ , el recinto no llega al eje: entre $y=0$ y el suelo $\left|1-x\right|$ queda un hueco. Eso obliga a usar arandelas:

V = \pi\int_{1/2}^{2}\left(R^{2}-r^{2}\right)dx, \qquad R = \sqrt{\frac x2},\quad r = \left|1-x\right|

Y aquí ocurre algo cómodo: al elevar al cuadrado, el valor absoluto desaparece, porque $\left|1-x\right|^{2} = (1-x)^{2}$ . El apartado (b) resulta más limpio que el (a).

El radio exterior:

\pi\int_{1/2}^{2}\frac{x}{2}dx = \pi\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{1/2}^{2} = \pi\left(1-\frac{1}{16}\right) = \frac{15\pi}{16}

El hueco, partiendo en $x=1$ para tener la primitiva cómoda:

\int_{1/2}^{1}(1-x)^{2}dx = \left[-\frac{(1-x)^{3}}{3}\right]_{1/2}^{1} = \frac{1}{24}

\int_1^{2}(x-1)^{2}dx = \left[\frac{(x-1)^{3}}{3}\right]_1^{2} = \frac13

\pi\left(\frac{1}{24}+\frac13\right) = \pi\cdot\frac{9}{24} = \frac{3\pi}{8}

\boxed{V = \frac{15\pi}{16}-\frac{3\pi}{8} = \frac{9\pi}{16} \approx 1{,}767}

4 · El error que hay que evitar

\left(R-r\right)^{2} \neq R^{2}-r^{2}

Las áreas se restan; los volúmenes de revolución no. Hay que restar los cuadrados de los radios, no elevar al cuadrado la diferencia. Es el fallo que convierte una arandela en algo que no existe.

5 · Comprobación

Del área, por acotación. La separación máxima entre techo y suelo se da cerca de $x=1$ , donde el techo vale $\sqrt{0{,}5} \approx 0{,}707$ y el suelo 0. Sobre una base de $\frac32$ :

0{,}5417 < 1{,}5\cdot0{,}707 \approx 1{,}06 \quad\checkmark

Del volumen, por el radio medio. El radio exterior medio al cuadrado es $\frac{1}{1,5}\int\frac x2 = \frac{15/16}{1,5} = 0{,}625$ , y el interior $\frac{9/24}{1,5} = 0{,}25$ . La arandela media tiene área $\pi(0{,}625-0{,}25) = 1{,}178$ , y por la altura $1{,}5$ da $1{,}767$ ✔

Que $V>0$ : el radio exterior tiene que superar al interior en todo el recinto, y así es por construcción, porque el techo está por encima del suelo ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.15 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU

Un parámetro determinado por el área

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $9/2$ el área delimitada por las gráficas de las funciones $y = ax$ con $a \in \mathbb{R}^{+}$ e $y = x^{2}$ . Calcular el valor de $a$ .

Calcular el valor de $a$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Los límites de integración no vienen dados. ¿De qué dependen?
02
El parámetro
COMP2
¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los cortes salen de $ax = x^{2}$ : son $x=0$ y $x=a$ , y dependen del parámetro.
2. Quién va encima. En $(0,a)$ la recta está por encima de la parábola: en $x = \frac a2$ la recta vale $\frac{a^{2}}{2}$ y la parábola $\frac{a^{2}}{4}$ .
3. El área en función de $a$ : $A = \int_0^{a}\left(ax-x^{2}\right)dx = \frac{a^{3}}{6}$ .
4. Se iguala al dato y se despeja: $\frac{a^{3}}{6} = \frac92 \Rightarrow a^{3} = 27 \Rightarrow a=3$ .
5. La raíz cúbica es única en los reales, y además $a=3$ cumple la condición $a \in \mathbb{R}^{+}$ del enunciado.
Comprobar quién va encima parece un trámite. No lo es: si se restara al revés saldría $a^{3} = -27$ y no habría solución positiva.

Resolución completa

Datos. El área entre $y = ax$ ( $a>0$ ) e $y = x^{2}$ vale $\frac92$ .

1 · La dificultad del ejercicio

El parámetro aparece dos veces: en el integrando y en el límite de integración, porque los cortes dependen de él. Eso hace que el área no sea proporcional a $a$ , sino a $a^{3}$ .

2 · Los cortes

ax = x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2}-ax = 0 \;\Longrightarrow\; x(x-a) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0,\quad x = a

Como $a>0$ , el recinto está en $[0,a]$ .

3 · Quién va encima

En el punto medio $x = \frac a2$ :

\text{recta: } a\cdot\frac a2 = \frac{a^{2}}{2}, \qquad \text{parábola: } \left(\frac a2\right)^{2} = \frac{a^{2}}{4}

La recta está por encima. Hay que comprobarlo: restar al revés daría un área negativa y una ecuación sin solución positiva.

4 · El área en función del parámetro

A(a) = \int_0^{a}\left(ax-x^{2}\right)dx = \left[\frac{ax^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_0^{a} = \frac{a^{3}}{2}-\frac{a^{3}}{3}

A(a) = \frac{3a^{3}-2a^{3}}{6} = \frac{a^{3}}{6}

5 · Despejar

\frac{a^{3}}{6} = \frac92 \;\Longrightarrow\; a^{3} = 27 \;\Longrightarrow\; \boxed{a = 3}

La raíz cúbica es única en los reales, y además cumple $a>0$ , que es lo que exigía el enunciado.

6 · Comprobación

Directa. Con $a=3$ los cortes son 0 y 3:

\int_0^{3}\left(3x-x^{2}\right)dx = \left[\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_0^{3} = \frac{27}{2}-9 = \frac92 \quad\checkmark

Por acotación. El recinto cabe en el rectángulo de base 3 y altura igual a la separación máxima. Esa separación se da donde $\frac{d}{dx}\left(3x-x^{2}\right) = 0$ , o sea $x = \frac32$ , y vale $\frac94 = 2{,}25$ :

\frac92 = 4{,}5 \quad<\quad 3\cdot2{,}25 = 6{,}75 \quad\checkmark

Y otra vez la proporción de $\frac23$ típica de los recintos parabólicos: $4{,}5 = \frac23\cdot6{,}75$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.16 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU

Una parábola tumbada, y por qué conviene integrar en y

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el dominio delimitado por las condiciones $y^{2} = 4+x$ y $x=2$ .

(a) Calcular el área del dominio $D$ .

(b) Calcular el volumen generado al girar el dominio $D$ alrededor del eje OX.

Calcular el área y el volumen de revolución.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué conviene integrar respecto de $y$ en el apartado (a)?
02
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área de $D$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen generado al girar $D$ alrededor de $OX$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El recinto: parábola tumbada con vértice en $(-4,0)$ , abierta hacia la derecha, cortada por la vertical $x=2$ . En esa vertical $y = \pm\sqrt6$ .
2. (a) Conviene integrar en $y$ , porque $x = y^{2}-4$ sí es función y $y = \pm\sqrt{4+x}$ no.
3. $A = \int_{-\sqrt6}^{\sqrt6}\left(6-y^{2}\right)dy = 8\sqrt6$ .
4. (b) Al girar alrededor de $OX$ conviene volver a $x$ : el radio del disco es $y$ , y el enunciado da $y^{2} = 4+x$ directamente.
5. $V = \pi\int_{-4}^{2}(4+x)dx = 18\pi$ , sin multiplicar por 2: las dos mitades barren el mismo sólido.
Duplicar para el área y no duplicar para el volumen: dicho así suena arbitrario, y es geometría pura. Merece la pena visualizarlo una vez.

Resolución completa

Datos. $y^{2} = 4+x$ y $x=2$ .

1 · Qué recinto es

$y^{2} = 4+x$ es una parábola tumbada: vértice en $(-4,0)$ , eje el propio $OX$ , abierta hacia la derecha. La recta $x=2$ la cierra por la derecha, cortándola en

y^{2} = 6 \;\Longrightarrow\; y = \pm\sqrt6 \approx \pm2{,}449

El recinto es simétrico respecto de $OX$ .

2 · Apartado (a): integrar en $y$

La razón es directa: $y = \pm\sqrt{4+x}$ no es una función —dos valores por cada $x$ —, mientras que $x = y^{2}-4$ sí lo es. Integrando en $y$ hay una sola integral, y además polinómica.

La anchura horizontal a la altura $y$ va de la parábola a la recta:

A = \int_{-\sqrt6}^{\sqrt6}\left[2-\left(y^{2}-4\right)\right]dy = \int_{-\sqrt6}^{\sqrt6}\left(6-y^{2}\right)dy

El integrando es par, así que vale el doble de la mitad:

A = 2\left[6y-\frac{y^{3}}{3}\right]_0^{\sqrt6} = 2\left(6\sqrt6-\frac{6\sqrt6}{3}\right) = 2\left(6\sqrt6-2\sqrt6\right) = 8\sqrt6

\boxed{A = 8\sqrt6 \approx 19{,}596}

3 · Apartado (b): volver a $x$

Al girar alrededor de $OX$ conviene cambiar de variable. Cada sección perpendicular al eje es un disco de radio $y = \sqrt{4+x}$ , y el enunciado da el cuadrado ya hecho:

V = \pi\int_{-4}^{2}y^{2}\,dx = \pi\int_{-4}^{2}(4+x)\,dx = \pi\left[\frac{(4+x)^{2}}{2}\right]_{-4}^{2}

\boxed{V = \pi\cdot\frac{36}{2} = 18\pi \approx 56{,}549}

4 · La asimetría que hay que entender

En el área sí se duplica; en el volumen no.

Área: la mitad de arriba y la de abajo son dos trozos distintos del plano, y las dos cuentan.
Volumen: al girar 360° alrededor de $OX$ , la mitad de arriba ya barre el sólido entero. La de abajo lo vuelve a barrer. Duplicar contaría el mismo volumen dos veces.

El sólido resultante es un paraboloide de revolución: como un cuenco apuntando hacia la izquierda, con el vértice en $(-4,0)$ y la boca de radio $\sqrt6$ en $x=2$ .

5 · Comprobación

Del área, por la proporción parabólica. Un segmento parabólico ocupa exactamente $\frac23$ del rectángulo que lo envuelve. Aquí el rectángulo tiene base 6 —de $-4$ a 2— y altura $2\sqrt6$ :

\frac23\cdot6\cdot2\sqrt6 = 8\sqrt6 \quad\checkmark

Del volumen, por la fórmula del paraboloide. Un paraboloide de revolución tiene la mitad del volumen del cilindro que lo contiene. El cilindro aquí tiene radio $\sqrt6$ y altura 6:

\frac12\pi\left(\sqrt6\right)^{2}\cdot6 = \frac12\pi\cdot36 = 18\pi \quad\checkmark

Dos comprobaciones geométricas, ninguna repite el cálculo hecho.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.17 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU · El apartado (a) cayó en 2019/2020 6E, el (d) en 2012/2013 3E y el (e) en 2021/2022 6E

De dónde salen las cinco fórmulas que te sabes de memoria

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando integrales calcular:

(a) El perímetro de una circunferencia de radio $R$ . (2019/2020 6E)

(b) El área de un círculo de radio $R$ .

(c) El área de una esfera de radio $R$ .

(d) El volumen de una esfera de radio $R$ . (2012/2013 3E)

(e) El volumen de un cono de radio $R$ y altura $h$ . (2021/2022 6E)

Deducir las cinco fórmulas con integrales.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué fórmula hace falta para (a) y (c), y no para las otras tres?
02
El integrando que lo simplifica todo
COMP2
Para la semicircunferencia $y = \sqrt{R^{2}-x^{2}}$ , ¿cuánto vale $\sqrt{1+y'^{2}}$ en $x=0$ , con $R=5$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El cono
COMP2
Para un cono de $R=3$ y $h=4$ , ¿cuánto vale el volumen?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las cinco deducciones. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las herramientas: área $\int f$ , longitud $\int\sqrt{1+f'^{2}}$ , volumen $\pi\int f^{2}$ y superficie de revolución $2\pi\int f\sqrt{1+f'^{2}}$ .
2. (a) Con $y=\sqrt{R^{2}-x^{2}}$ sale $\sqrt{1+y'^{2}} = \frac{R}{y}$ , y $L = 2\int_{-R}^{R}\frac{R\,dx}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}} = 2R\pi$ .
3. (b) $A = 2\int_{-R}^{R}\sqrt{R^{2}-x^{2}}\,dx = \pi R^{2}$ , con el cambio $x = R\,\mathrm{sen}\,t$ .
4. (c) $S = 2\pi\int_{-R}^{R} y\cdot\frac{R}{y}\,dx = 2\pi R\cdot 2R = 4\pi R^{2}$ : la $y$ se cancela y queda una integral de una constante.
5. (d) $V = \pi\int_{-R}^{R}\left(R^{2}-x^{2}\right)dx = \frac43\pi R^{3}$ . (e) $V = \pi\int_0^{h} \frac{R^{2}}{h^{2}}x^{2}dx = \frac13\pi R^{2}h$ .
Cuándo duplicar y cuándo no es lo que más se falla de este ejercicio. La regla: en el plano se duplica; al girar, no.

Resolución completa

Datos. Cinco fórmulas clásicas, a deducir con integrales.

1 · Las cuatro herramientas

qué se mide	fórmula
área plana	$A = \int_a^{b} f$
longitud de arco	$L = \int_a^{b}\sqrt{1+f'^{2}}\,dx$
volumen de revolución	$V = \pi\int_a^{b} f^{2}\,dx$
superficie de revolución	$S = 2\pi\int_a^{b} f\sqrt{1+f'^{2}}\,dx$

Las cuatro primeras salen de lo mismo: cortar en trozos infinitesimales y sumar. El $\sqrt{1+f'^{2}}$ es Pitágoras aplicado a un trocito de curva: $ds = \sqrt{dx^{2}+dy^{2}}$ .

2 · El cálculo que sirve para tres apartados

Para la semicircunferencia superior $y = \sqrt{R^{2}-x^{2}}$ :

y' = \frac{-x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}

1+y'^{2} = \frac{R^{2}-x^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}} = \frac{R^{2}}{R^{2}-x^{2}}

\sqrt{1+y'^{2}} = \frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}} = \frac{R}{y}

Esta identidad es la que hace fáciles (a) y (c).

3 · (a) El perímetro

L = 2\int_{-R}^{R}\frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}\,dx = 2R\left[\arcsin\frac{x}{R}\right]_{-R}^{R} = 2R\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)

\boxed{L = 2\pi R}

El 2 de delante es porque hay dos semicircunferencias. Y la integral es impropia —el integrando explota en $\pm R$ —, pero converge.

4 · (b) El área del círculo

A = 2\int_{-R}^{R}\sqrt{R^{2}-x^{2}}\,dx

Con el cambio $x = R\,\mathrm{sen}\,t$ , $dx = R\cos t\,dt$ :

= 2R^{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}t\,dt = 2R^{2}\left[\frac{t}{2}+\frac{\mathrm{sen}\,2t}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 2R^{2}\cdot\frac{\pi}{2}

\boxed{A = \pi R^{2}}

5 · (c) La superficie de la esfera

Aquí ocurre la cancelación:

S = 2\pi\int_{-R}^{R} y\cdot\sqrt{1+y'^{2}}\,dx = 2\pi\int_{-R}^{R} y\cdot\frac{R}{y}\,dx = 2\pi R\int_{-R}^{R}dx

\boxed{S = 2\pi R\cdot2R = 4\pi R^{2}}

La $y$ se cancela, y queda la integral de una constante. Ese es el resultado de Arquímedes: la superficie de una esfera coincide con la del cilindro que la envuelve, y por eso franjas de igual anchura tienen igual superficie, estén en el ecuador o cerca del polo.

6 · (d) El volumen de la esfera

V = \pi\int_{-R}^{R}\left(R^{2}-x^{2}\right)dx = \pi\left[R^{2}x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi\left(2R^{3}-\frac{2R^{3}}{3}\right)

\boxed{V = \frac{4}{3}\pi R^{3}}

Sin duplicar. La semicircunferencia superior ya barre la esfera entera al girar.

7 · (e) El volumen del cono

Girando la recta que une el origen con $(h,R)$ :

V = \pi\int_0^{h}\left(\frac{R}{h}x\right)^{2}dx = \frac{\pi R^{2}}{h^{2}}\cdot\frac{h^{3}}{3}

\boxed{V = \frac{1}{3}\pi R^{2}h}

El $\frac13$ es el de $\int x^{2}$ , y es la misma razón por la que una pirámide es un tercio de su prisma.

8 · Cuándo duplicar

Es lo que más se falla:

	¿se duplica?	por qué
(a) longitud	sí	son dos arcos distintos del plano
(b) área	sí	son dos mitades distintas del plano
(d) volumen	no	al girar, la mitad superior ya barre todo

En el plano se duplica; al girar, no.

9 · Comprobación

Coherencia dimensional. $L$ es una longitud y sale $\propto R$ ; $A$ y $S$ son áreas y salen $\propto R^{2}$ ; $V$ es un volumen y sale $\propto R^{3}$ ✔

Derivadas cruzadas. El volumen de la esfera y su superficie cumplen

\frac{dV}{dR} = \frac{d}{dR}\left(\frac43\pi R^{3}\right) = 4\pi R^{2} = S \quad\checkmark

Tiene sentido geométrico: engordar la esfera un $dR$ añade una capa de espesor $dR$ sobre toda su superficie. Lo mismo pasa con el círculo: $\frac{d}{dR}\left(\pi R^{2}\right) = 2\pi R = L$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.18 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU · Cayó en 2021/2022 7E

Dos elipsoides de la misma elipse

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la elipse $\dfrac{x^{2}}{25}+y^{2} = 1$ : (2021/2022 7E)

(a) Calcular el volumen del elipsoide generado al girar la elipse alrededor del eje OX.

(b) Calcular el volumen del elipsoide generado al girar la elipse alrededor del eje OY. (2021/2022 7E)

Calcular los dos volúmenes.

01
Reconocer el camino
COMP1
La misma elipse gira alrededor de dos ejes distintos. ¿Por qué salen volúmenes distintos?
02
Alrededor de OX
COMP2
¿Cuánto vale el volumen del elipsoide al girar sobre $OX$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Alrededor de OY
COMP2
¿Cuánto vale el volumen al girar sobre $OY$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La elipse tiene semieje mayor $a=5$ sobre $OX$ y semieje menor $b=1$ sobre $OY$ .
2. (a) Girando sobre $OX$ : los discos se apilan a lo largo de $x$ y su radio es $y$ . Se despeja $y^{2} = 1-\frac{x^{2}}{25}$ y se integra de $-5$ a 5.
3. $V_{OX} = \pi\int_{-5}^{5}\left(1-\frac{x^{2}}{25}\right)dx = \frac{20\pi}{3}$ . Sólido alargado, como un puro.
4. (b) Girando sobre $OY$ : los discos se apilan a lo largo de $y$ y su radio es $x$ . Se despeja $x^{2} = 25\left(1-y^{2}\right)$ y se integra de $-1$ a 1.
5. $V_{OY} = 25\pi\int_{-1}^{1}\left(1-y^{2}\right)dy = \frac{100\pi}{3}$ . Sólido achatado, como un platillo. Es cinco veces el anterior.
La razón entre los dos volúmenes es exactamente $\frac ab = 5$ . En general $V_{OX} = \frac43\pi ab^{2}$ y $V_{OY} = \frac43\pi a^{2}b$ .

Resolución completa

Datos. La elipse $\frac{x^{2}}{25}+y^{2} = 1$ , con semiejes $a=5$ sobre $OX$ y $b=1$ sobre $OY$ .

1 · Qué cambia al cambiar de eje

Al girar alrededor de un eje, los discos se apilan a lo largo de ese eje y su radio se mide perpendicularmente a él. Así que el eje de giro decide qué variable es la de integración y cuál es el radio:

eje	se apila en	radio	se despeja
$OX$	$x$	$y$	$y^{2}$
$OY$	$y$	$x$	$x^{2}$

Ese es todo el ejercicio.

2 · Apartado (a): alrededor de OX

y^{2} = 1-\frac{x^{2}}{25}

La elipse corta a $OX$ en $x = \pm5$ :

V = \pi\int_{-5}^{5}\left(1-\frac{x^{2}}{25}\right)dx = \pi\left[x-\frac{x^{3}}{75}\right]_{-5}^{5}

= 2\pi\left(5-\frac{125}{75}\right) = 2\pi\left(5-\frac53\right) = 2\pi\cdot\frac{10}{3}

\boxed{V_{OX} = \frac{20\pi}{3} \approx 20{,}944}

El sólido es alargado: 10 de largo y 2 de diámetro máximo. Como un puro.

3 · Apartado (b): alrededor de OY

x^{2} = 25\left(1-y^{2}\right)

La elipse corta a $OY$ en $y = \pm1$ :

V = \pi\int_{-1}^{1}25\left(1-y^{2}\right)dy = 25\pi\left[y-\frac{y^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = 25\pi\cdot\frac43

\boxed{V_{OY} = \frac{100\pi}{3} \approx 104{,}720}

El sólido es achatado: 2 de alto y 10 de diámetro. Como un platillo.

4 · Por qué el segundo es cinco veces el primero

A primera vista sorprende, porque el intervalo de integración de (b) es más corto: $[-1,1]$ frente a $[-5,5]$ .

Lo que decide es el radio al cuadrado:

\frac{V_{OY}}{V_{OX}} = \frac{25\cdot2}{1\cdot10} = 5

Un factor 25 en el radio cuadrado contra un factor $\frac15$ en la longitud. Gana el radio, porque va al cuadrado.

En general:

V_{OX} = \frac43\pi a b^{2}, \qquad V_{OY} = \frac43\pi a^{2}b, \qquad \frac{V_{OY}}{V_{OX}} = \frac{a}{b}

5 · Comprobación

Por el caso degenerado. Si $a = b = R$ la elipse es una circunferencia, y las dos fórmulas dan $\frac43\pi R^{3}$ , el volumen de la esfera ✔

Con los números. $\frac43\pi\cdot5\cdot1^{2} = \frac{20\pi}{3}$ ✔ y $\frac43\pi\cdot25\cdot1 = \frac{100\pi}{3}$ ✔

Por acotación. El elipsoide de (a) cabe en un cilindro de radio 1 y altura 10, de volumen $10\pi \approx 31{,}4$ ; y $20{,}94 < 31{,}4$ ✔ Y de hecho la razón es exactamente $\frac23$ , como en toda figura de este tipo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.19 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU

La longitud de un arco de parábola

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la longitud del arco $y = x^{2}+x-2$ , $x \in [-2,1]$ .

Calcular la longitud del arco.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué la longitud de arco produce casi siempre integrales incómodas?
02
El cambio de variable
COMP2
Con $u = 2x+1$ , ¿entre qué valores va $u$ ? Da el límite superior.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La longitud
COMP2
¿Cuánto vale la longitud del arco? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La fórmula: $L = \int_a^{b}\sqrt{1+f'(x)^{2}}\,dx$ , que es Pitágoras sobre un trozo infinitesimal de curva.
2. $f'(x) = 2x+1$ , luego $L = \int_{-2}^{1}\sqrt{1+(2x+1)^{2}}\,dx$ .
3. El cambio $u = 2x+1$ lleva el intervalo a $[-3,3]$ , y como el integrando es par, $L = \int_0^{3}\sqrt{1+u^{2}}\,du$ .
4. La primitiva, que sale por partes o con el cambio $u = \mathrm{senh}\,t$ : $\frac{u\sqrt{1+u^{2}}}{2}+\frac{\mathrm{argsh}\,u}{2}$ .
5. $L = \frac{3\sqrt{10}+\mathrm{argsh}\,3}{2} \approx 5{,}65$ , que supera a la cuerda de longitud 3, como debe ser.
Que el arco supere a la cuerda es una comprobación gratuita, y en este ejercicio concreto delata un resultado publicado que no puede ser.

Resolución completa

Datos. $y = x^{2}+x-2$ en $x \in [-2,1]$ .

1 · La fórmula y por qué es incómoda

L = \int_a^{b}\sqrt{1+f'(x)^{2}}\,dx

Sale de aplicar Pitágoras a un trozo infinitesimal de curva: $ds = \sqrt{dx^{2}+dy^{2}} = \sqrt{1+y'^{2}}\,dx$ .

La raíz de la suma de cuadrados es lo que la complica: incluso para una parábola —donde $f'$ es lineal— aparece $\sqrt{1+u^{2}}$ , cuya primitiva ya necesita el argumento del seno hiperbólico.

2 · El planteamiento

f'(x) = 2x+1 \;\Longrightarrow\; L = \int_{-2}^{1}\sqrt{1+(2x+1)^{2}}\,dx

El cambio $u = 2x+1$ , $du = 2\,dx$ :

	$x$	$u$
inferior	$-2$	$-3$
superior	$1$	$3$

L = \frac12\int_{-3}^{3}\sqrt{1+u^{2}}\,du

El intervalo sale simétrico porque $[-2,1]$ está centrado en el vértice de la parábola, $x = -\frac12$ . Y como $\sqrt{1+u^{2}}$ es par:

L = \frac12\cdot2\int_0^{3}\sqrt{1+u^{2}}\,du = \int_0^{3}\sqrt{1+u^{2}}\,du

3 · La primitiva

Se obtiene por partes —o con el cambio $u = \mathrm{senh}\,t$ , que convierte $\sqrt{1+u^{2}}$ en $\cosh t$ —:

\int\sqrt{1+u^{2}}\,du = \frac{u\sqrt{1+u^{2}}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{argsh}\,u

donde $\mathrm{argsh}\,u = \ln\left(u+\sqrt{1+u^{2}}\right)$ .

4 · El resultado

L = \left[\frac{u\sqrt{1+u^{2}}}{2} +\frac{\mathrm{argsh}\,u}{2}\right]_0^{3} = \frac{3\sqrt{10}}{2}+\frac{\mathrm{argsh}\,3}{2}

\boxed{L = \frac{3\sqrt{10}+\mathrm{argsh}\,3}{2} = \frac{3\sqrt{10}+\ln\left(3+\sqrt{10}\right)}{2} \approx 5{,}6526}

5 · Comprobación, y una discrepancia con el boletín

La cuerda. El arco va de $(-2,0)$ a $(1,0)$ , así que la cuerda mide 3. Una curva nunca es más corta que su cuerda:

5{,}65 > 3 \quad\checkmark

Cota superior. El arco cabe dentro del camino que baja del extremo al vértice y vuelve a subir. El vértice está en $\left(-\frac12,-\frac94\right)$ , y esa poligonal mide

2\sqrt{\left(\frac32\right)^{2}+\left(\frac94\right)^{2}} = 2\sqrt{2{,}25+5{,}0625} \approx 5{,}41

que es algo menor que $5{,}65$ , como corresponde a una poligonal inscrita frente a la curva ✔

Discrepancia con el boletín. La solución publicada da $L = \frac{\mathrm{argsh}\,3}{2} \approx 0{,}909$ . Ese valor es imposible: el arco se extiende de $x=-2$ a $x=1$ , así que su proyección horizontal ya mide 3, y ninguna curva puede ser más corta que su proyección. Lo que falta es el primer término de la primitiva, $\frac{u\sqrt{1+u^{2}}}{2}$ , que aporta $\frac{3\sqrt{10}}{2} \approx 4{,}74$ . El resultado completo es $\approx 5{,}65$ .

Numéricamente, aproximando el arco por una poligonal de veinte tramos se obtiene $5{,}649$ , coherente con $5{,}6526$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.20 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU · Cayó en 2015/2016 3E

Girar alrededor de una recta que no es un eje

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el volumen del cuerpo de revolución generado al girar el dominio $D = \left\{f(x) \le 2\,\mathrm{sen}\,x,\ g(x)\ge1,\ 0<x<\pi\right\}$ alrededor del eje $y=1$ . Dibujar el sólido. (2015/2016 3E)

Figura nuestra, no del enunciado. La region sombreada es D; gira alrededor de la recta de trazos rojos, que es a la vez su frontera inferior. El solido resultante tiene forma de huso: grueso en el centro y afilado en los dos extremos, donde el radio se anula.

Calcular el volumen y describir el sólido.

01
Reconocer el camino
COMP1
El eje de giro es $y=1$ , no $OX$ . ¿Cómo cambia eso la fórmula?
02
Los límites
COMP2
¿Entre qué valores de $x$ existe el dominio? Da el límite inferior en radianes, en forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El dominio: entre la recta $y=1$ y la curva $y = 2\,\mathrm{sen}\,x$ , donde esta va por encima, o sea entre $\frac{\pi}{6}$ y $\frac{5\pi}{6}$ .
2. El radio no es $f(x)$ , sino la distancia al eje de giro: $r(x) = 2\,\mathrm{sen}\,x-1$ .
3. No hay hueco: el dominio llega hasta el propio eje de giro, así que son discos macizos, no arandelas.
4. $V = \pi\int_{\pi/6}^{5\pi/6} \left(2\,\mathrm{sen}\,x-1\right)^{2}dx$ , y se baja el grado del seno al cuadrado antes de integrar.
5. $V = \pi\left(2\pi-3\sqrt3\right) \approx 3{,}41$ . El sólido tiene forma de huso: grueso en el centro, afilado en los extremos.
La pieza trampa es el error clásico de los ejes desplazados: tratar el desplazamiento como una resta al final en vez de meterlo en el radio.

Resolución completa

Datos. $D$ entre $y=1$ y $y = 2\,\mathrm{sen}\,x$ en $(0,\pi)$ , girado alrededor de la recta $y=1$ .

1 · Leer el dominio

La notación del enunciado es peculiar, pero dice esto: $y$ por debajo de $2\,\mathrm{sen}\,x$ y por encima de 1. Las dos condiciones solo son compatibles donde

2\,\mathrm{sen}\,x \ge 1 \;\Longleftrightarrow\; \mathrm{sen}\,x \ge \frac12 \;\Longleftrightarrow\; \frac{\pi}{6} \le x \le \frac{5\pi}{6}

2 · El eje desplazado

La fórmula de discos no es « $\pi\int f^{2}$ ». Es

V = \pi\int_a^{b}\left(\text{radio}\right)^{2}dx

y el radio es la distancia al eje de giro. Con $OX$ esa distancia es $f(x)$ ; con $y=1$ es

r(x) = 2\,\mathrm{sen}\,x-1

Y no hay hueco: el dominio llega hasta el eje de giro, así que los discos son macizos.

V = \pi\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\left(2\,\mathrm{sen}\,x-1\right)^{2}dx

3 · La integral

Desarrollando y bajando el grado del seno:

\left(2\,\mathrm{sen}\,x-1\right)^{2} = 4\,\mathrm{sen}^{2}x-4\,\mathrm{sen}\,x+1

4\,\mathrm{sen}^{2}x = 4\cdot\frac{1-\cos2x}{2} = 2-2\cos2x

\left(2\,\mathrm{sen}\,x-1\right)^{2} = 3-2\cos2x-4\,\mathrm{sen}\,x

Bajar el grado antes de integrar es obligatorio: $\mathrm{sen}^{2}x$ no tiene primitiva inmediata, y $\frac{\mathrm{sen}^{3}x}{3}$ es un error, no un atajo.

\int\left(3-2\cos2x-4\,\mathrm{sen}\,x\right)dx = 3x-\mathrm{sen}\,2x+4\cos x

En el extremo superior, $x = \frac{5\pi}{6}$ :

\frac{5\pi}{2}-\mathrm{sen}\frac{5\pi}{3}+4\cos\frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{2}+\frac{\sqrt3}{2}-2\sqrt3 = \frac{5\pi}{2}-\frac{3\sqrt3}{2}

En el inferior, $x = \frac{\pi}{6}$ :

\frac{\pi}{2}-\mathrm{sen}\frac{\pi}{3}+4\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt3}{2}+2\sqrt3 = \frac{\pi}{2}+\frac{3\sqrt3}{2}

Restando:

\left(\frac{5\pi}{2}-\frac{3\sqrt3}{2}\right) -\left(\frac{\pi}{2}+\frac{3\sqrt3}{2}\right) = 2\pi-3\sqrt3

\boxed{V = \pi\left(2\pi-3\sqrt3\right) \approx 3{,}415}

4 · El sólido

Un huso: la sección en el centro, $x=\frac{\pi}{2}$ , es un disco de radio $2-1 = 1$ ; hacia los dos extremos el radio decrece hasta anularse en $\frac{\pi}{6}$ y $\frac{5\pi}{6}$ . Simétrico respecto del plano $x = \frac{\pi}{2}$ .

La figura del enunciado muestra la sección meridiana: al girarla media vuelta se obtiene el sólido.

5 · Comprobación

Por acotación. El sólido cabe en el cilindro de radio 1 y longitud $\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ :

\pi\cdot1^{2}\cdot\frac{2\pi}{3} \approx 6{,}58 \qquad\text{y}\qquad 3{,}415 < 6{,}58 \quad\checkmark

Ocupa aproximadamente la mitad, coherente con una figura que se afila en los dos extremos.

Por el signo. $2\pi \approx 6{,}283$ y $3\sqrt3 \approx 5{,}196$ , luego el paréntesis es positivo ✔ Si hubiera salido negativo, el radio estaría mal planteado.

Por simetría. El integrando es simétrico respecto de $x = \frac{\pi}{2}$ , así que el volumen es el doble del de media figura. Integrando de $\frac{\pi}{6}$ a $\frac{\pi}{2}$ sale $\pi-\frac{3\sqrt3}{2}$ , y su doble es $2\pi-3\sqrt3$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.21 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU · Cayó en 2016/2017 6E

Una parábola y su tangente paralela a una recta dada

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $y = 4x^{2}$ . (2016/2017 6E)

(a) Calcular el área del dominio situado en el primer cuadrante y delimitado por la curva y su tangente pararela a la recta $y = 8x$ .

(b) Calcular el volumen generado al girar el dominio anterior sobre el eje $OX$ .

Calcular el área y el volumen.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Tangente paralela a $y=8x$ ». ¿Qué condición impone eso?
02
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área del dominio? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen al girar sobre $OX$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tangente paralela a $y=8x$ tiene pendiente 8: de $y'=8x=8$ sale $x=1$ , y la recta es $y = 8x-4$ .
2. El dominio está en el primer cuadrante, entre la parábola por arriba y por la izquierda, y la tangente y el eje $OX$ por abajo. La tangente corta al eje en $x=\frac12$ .
3. (a) $A = \int_0^{1}4x^{2}dx-\text{triángulo} = \frac43-1 = \frac13$ .
4. (b) Al girar, la parábola genera $\frac{16\pi}{5}$ y la tangente un cono de $\frac{8\pi}{3}$ .
5. $V = \frac{16\pi}{5}-\frac{8\pi}{3} = \frac{8\pi}{15}$ .
Es un enunciado que da un dato en forma de recta cuando en realidad solo quiere dar un número. Distinguirlo es la mitad del ejercicio.

Resolución completa

Datos. $y = 4x^{2}$ , su tangente paralela a $y=8x$ , y el primer cuadrante.

1 · La tangente

Paralela significa misma pendiente:

y' = 8x = 8 \;\Longrightarrow\; x = 1,\quad y(1) = 4

y-4 = 8(x-1) \;\Longrightarrow\; y = 8x-4

La recta $y=8x$ no vuelve a aparecer. Solo servía para leer el 8. Tomarla como frontera es el error que arruina el ejercicio.

La tangente corta al eje $OX$ en

8x-4 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac12

2 · Qué región es

En el primer cuadrante, entre la parábola y su tangente, cerrando por abajo con el eje $OX$ :

tramo	techo	suelo
$0 \le x \le \frac12$	$4x^{2}$	$y=0$
$\frac12 \le x \le 1$	$4x^{2}$	$8x-4$

El punto de tangencia $(1,4)$ cierra la figura por la derecha.

3 · Apartado (a): el área

Es más cómodo restar de golpe:

A = \int_0^{1}4x^{2}\,dx -\underbrace{\frac12\cdot\frac12\cdot4}_{\text{triángulo}}

\int_0^{1}4x^{2}dx = \frac43, \qquad \text{triángulo} = 1

\boxed{A = \frac43-1 = \frac13}

El triángulo tiene base $1-\frac12 = \frac12$ —de donde corta al eje al punto de tangencia— y altura 4. No hace falta integrarlo.

4 · Apartado (b): el volumen

V = \pi\int_0^{1}\left(4x^{2}\right)^{2}dx -\pi\int_{1/2}^{1}\left(8x-4\right)^{2}dx

La parábola:

\pi\int_0^{1}16x^{4}dx = \frac{16\pi}{5}

La tangente, que genera un cono:

\pi\int_{1/2}^{1}(8x-4)^{2}dx = \pi\left[\frac{(8x-4)^{3}}{24}\right]_{1/2}^{1} = \frac{64\pi}{24} = \frac{8\pi}{3}

\boxed{V = \frac{16\pi}{5}-\frac{8\pi}{3} = \frac{8\pi}{15} \approx 1{,}676}

5 · Comprobación

Del cono, por la fórmula elemental. Al girar la tangente entre $x=\frac12$ y $x=1$ se genera un cono de radio 4 y altura $\frac12$ :

\frac13\pi R^{2}h = \frac13\pi\cdot16\cdot\frac12 = \frac{8\pi}{3} \quad\checkmark

Del área, por acotación. La separación máxima entre parábola y tangente se da en $x=\frac12$ , donde la parábola vale 1 y la tangente 0. El recinto cabe en un rectángulo de base 1 y altura 1:

\frac13 < 1 \quad\checkmark

De coherencia entre los dos apartados. El sólido cabe en el cilindro de radio 4 y longitud 1, de volumen $16\pi \approx 50$ ; y $1{,}68 \ll 50$ ✔ Es pequeño porque casi todo el disco grande se lo lleva el cono que se resta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.22 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU · Cayó en 2018/2019 3E

La parábola y las tangentes en sus dos cortes con el eje

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el dominio delimitado por la gráfica de la función $y = 2x-x^{2}$ y por su recta tangente en el punto de corte de la gráfica de la función con el eje OX. (2018/2019 3E)

(a) Calcular el área del dominio $D$ .

(b) Calcular el volumen generado al girar el dominio $D$ alrededor del eje OX.

Calcular el área y el volumen.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado dice «el punto de corte», en singular. ¿Cuántos hay?
02
Dónde se cortan las tangentes
COMP2
Las dos tangentes son $y=2x$ e $y=-2x+4$ . ¿En qué $x$ se cortan?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área de $D$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen al girar sobre $OX$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los cortes con $OX$ : $2x-x^{2} = x(2-x) = 0$ da $x=0$ y $x=2$ . Son dos, aunque el enunciado hable en singular.
2. Las tangentes: $y=2x$ en el origen e $y=-2x+4$ en $(2,0)$ . Se cortan en $(1,2)$ , justo encima del vértice de la parábola.
3. La parábola queda por debajo de las dos tangentes, porque es cóncava ( $y''=-2<0$ ). Las tangentes son el techo y la parábola el suelo.
4. (a) $\int_0^{1}x^{2}dx+\int_1^{2}(x-2)^{2}dx = \frac13+\frac13 = \frac23$ .
5. (b) Con arandelas, $\pi\int\left(R^{2}-r^{2}\right)$ , sale $\frac{4\pi}{5}$ por trozo, y en total $\frac{8\pi}{5}$ .
Este ejercicio y el 5.13 son el mismo esquema —parábola más dos tangentes— con la parábola volteada. Merece la pena verlos juntos.

Resolución completa

Datos. $y = 2x-x^{2}$ y sus tangentes en los cortes con $OX$ .

1 · Una imprecisión del enunciado que hay que resolver

El enunciado dice «su recta tangente en el punto de corte», en singular. Pero

2x-x^{2} = x(2-x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0,\quad x = 2

Hay dos cortes. Y con una sola tangente el dominio no queda cerrado: la recta toca a la parábola en un punto y a partir de ahí las dos se separan sin volver a encontrarse.

Con las dos tangentes sí se cierra: se cortan entre sí y forman un triángulo curvilíneo. Es la lectura que hace el ejercicio resoluble, y la que confirma la solución publicada del boletín.

2 · Las dos tangentes

y' = 2-2x

En $(0,0)$ : pendiente $y'(0) = 2$ , luego $y = 2x$ .

En $(2,0)$ : pendiente $y'(2) = -2$ , luego $y = -2(x-2) = -2x+4$ .

Se cortan donde $2x = -2x+4$ , es decir en $x=1$ , con $y=2$ . Ese punto está justo encima del vértice de la parábola, $(1,1)$ .

La figura tiene vértices en $(0,0)$ , $(2,0)$ y $(1,2)$ , con el lado inferior curvado hacia arriba.

3 · Quién va encima

La parábola es cóncava ( $y'' = -2 < 0$ ), así que queda siempre por debajo de sus tangentes. Las rectas son el techo y la parábola el suelo.

tramo	techo	suelo
$0\le x\le1$	$2x$	$2x-x^{2}$
$1\le x\le2$	$-2x+4$	$2x-x^{2}$

4 · Apartado (a): el área

Trozo izquierdo:

2x-\left(2x-x^{2}\right) = x^{2} \;\Longrightarrow\; \int_0^{1}x^{2}dx = \frac13

Trozo derecho:

(-2x+4)-\left(2x-x^{2}\right) = x^{2}-4x+4 = (x-2)^{2}

\int_1^{2}(x-2)^{2}dx = \left[\frac{(x-2)^{3}}{3}\right]_1^{2} = 0-\left(-\frac13\right) = \frac13

\boxed{A = \frac13+\frac13 = \frac23}

Otra vez cuadrados perfectos: la diferencia entre una parábola y su tangente en $x_0$ es $a\left(x-x_0\right)^{2}$ , aquí con $a=-1$ y la diferencia tomada al revés porque la parábola va por debajo.

5 · Apartado (b): el volumen

Al girar alrededor de $OX$ , el dominio no toca el eje salvo en los dos extremos: hace falta arandelas.

V = \pi\int\left(R^{2}-r^{2}\right)dx

con $R$ la tangente —el radio exterior, porque está arriba— y $r$ la parábola.

Trozo izquierdo:

R^{2}-r^{2} = (2x)^{2}-\left(2x-x^{2}\right)^{2} = 4x^{2}-4x^{2}+4x^{3}-x^{4} = 4x^{3}-x^{4}

\pi\int_0^{1}\left(4x^{3}-x^{4}\right)dx = \pi\left[x^{4}-\frac{x^{5}}{5}\right]_0^{1} = \pi\left(1-\frac15\right) = \frac{4\pi}{5}

Trozo derecho. La figura es simétrica respecto de $x=1$ —la parábola lo es, y las dos tangentes son reflejo una de otra—, así que vale lo mismo:

\frac{4\pi}{5}

\boxed{V = \frac{8\pi}{5} \approx 5{,}027}

6 · Comprobación

Del área, por diferencia de figuras. El triángulo de vértices $(0,0)$ , $(2,0)$ y $(1,2)$ tiene área $\frac12\cdot2\cdot2 = 2$ . El área bajo la parábola es

\int_0^{2}\left(2x-x^{2}\right)dx = 4-\frac83 = \frac43

2-\frac43 = \frac23 \quad\checkmark

Del volumen, por diferencia de sólidos. Las dos tangentes generan un doble cono de radio 2 y altura 1 cada mitad:

2\cdot\frac13\pi\cdot4\cdot1 = \frac{8\pi}{3}

La parábola genera

\pi\int_0^{2}\left(2x-x^{2}\right)^{2}dx = \frac{16\pi}{15}

\frac{8\pi}{3}-\frac{16\pi}{15} = \frac{40\pi-16\pi}{15} = \frac{24\pi}{15} = \frac{8\pi}{5} \quad\checkmark

Dos comprobaciones por vía independiente, las dos exactas.

7 · Comparación con el ejercicio 5.13

Los dos son «parábola más dos tangentes», y salen áreas parecidas por la misma razón. La diferencia:

	5.13	5.22
parábola	convexa, $a=+1$	cóncava, $a=-1$
dónde queda	encima de sus tangentes	debajo de sus tangentes
quién es el techo	la parábola	las tangentes
integrando	$(x-x_0)^{2}$	$(x-x_0)^{2}$

El integrando sale igual porque el signo de $a$ y el orden de la resta se compensan: en 5.13 se resta la tangente a la parábola, y en 5.22 al revés. Verlo evita rehacer el razonamiento entero la segunda vez.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.23 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU · El boletín no publica solución; el desarrollo es nuestro

Diez inmediatas, o cómo reconocer una derivada escondida

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Integrales inmediatas

(a) $\displaystyle\int e^{\mathrm{sen}^{2}x}\,\mathrm{sen}(2x)\,dx$ · (b) $\displaystyle\int x\,\mathrm{sen}\left(x^{2}\right)dx$ · (c) $\displaystyle\int\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}dx$ · (d) $\displaystyle\int\frac{17x}{\sqrt[3]{6x^{2}+8}}dx$ · (e) $\displaystyle\int\sec^{2}x\sqrt{\tan x}\,dx$

(f) $\displaystyle\int\frac{\ln x}{x}dx$ · (g) $\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x}$ · (h) $\displaystyle\int\frac{\cos\sqrt x}{\sqrt x}dx$ · (i) $\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{1-x^{4}}}dx$ · (j) $\displaystyle\int\mathrm{sen}\,x\cos x\,dx$

Calcular las diez primitivas.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tienen en común las diez?
02
El apartado (d), el de los números feos
COMP2
En $\int\frac{17x}{\sqrt[3]{6x^{2}+8}}dx$ , el resultado tiene la forma $k\left(6x^{2}+8\right)^{2/3}$ . ¿Cuánto vale $k$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado (i)
COMP2
$\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^{4}}} = k\arcsin\left(x^{2}\right)+C$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las diez, agrupadas por el cambio que las resuelve. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El método: buscar una función $g$ cuya derivada aparezca multiplicando, y hacer $u=g(x)$ .
2. (a) $u=\mathrm{sen}^{2}x$ , cuya derivada es $\mathrm{sen}\,2x$ : da $e^{\mathrm{sen}^{2}x}$ . (b) $u=x^{2}$ : da $-\frac{\cos\left(x^{2}\right)}{2}$ .
3. (c) $u=e^{x}$ , y como $e^{2x} = \left(e^{x}\right)^{2}$ queda un arcotangente: $\arctan\left(e^{x}\right)$ . (d) $u=6x^{2}+8$ : da $\frac{17}{8}\left(6x^{2}+8\right)^{2/3}$ .
4. (e) $u=\tan x$ , cuya derivada es $\sec^{2}x$ : da $\frac23\tan^{3/2}x$ . (f) $u=\ln x$ : da $\frac{\ln^{2}x}{2}$ . (g) también $u=\ln x$ , pero ahora en el denominador: da $\ln\left|\ln x\right|$ .
5. (h) $u=\sqrt x$ : da $2\,\mathrm{sen}\sqrt x$ . (i) $u=x^{2}$ : da $\frac12\arcsin\left(x^{2}\right)$ . (j) $u=\mathrm{sen}\,x$ : da $\frac{\mathrm{sen}^{2}x}{2}$ .
El par (f)/(g) es el mejor del ejercicio: mismo cambio, resultados completamente distintos según dónde esté el $\ln x$ .

Resolución completa

Datos. Diez integrales indefinidas, todas resolubles con un cambio de variable inmediato.

1 · El patrón

Todas tienen la forma

\int g'(x)\cdot h\big(g(x)\big)\,dx

es decir, una función y su derivada multiplicando. El cambio $u = g(x)$ , $du = g'(x)dx$ las convierte en $\int h(u)\,du$ , que es de tabla.

El trabajo entero está en ver cuál es la $g$ , y para eso ayuda mirar qué hay dentro de la parte complicada —del exponente, de la raíz, del logaritmo— y comprobar si su derivada anda suelta por ahí.

2 · Las diez, una a una

(a) Dentro del exponente hay $\mathrm{sen}^{2}x$ , y su derivada es $2\,\mathrm{sen}\,x\cos x = \mathrm{sen}\,2x$ , que es justo lo que multiplica:

\int e^{\mathrm{sen}^{2}x}\,\mathrm{sen}(2x)\,dx = e^{\mathrm{sen}^{2}x}+C

(b) $u = x^{2}$ , $du = 2x\,dx$ :

\int x\,\mathrm{sen}\left(x^{2}\right)dx = \frac12\int\mathrm{sen}\,u\,du = -\frac{\cos\left(x^{2}\right)}{2}+C

(c) Reescribiendo $e^{2x} = \left(e^{x}\right)^{2}$ aparece la forma del arcotangente, con $u=e^{x}$ :

\int\frac{e^{x}dx}{1+\left(e^{x}\right)^{2}} = \arctan\left(e^{x}\right)+C

(d) $u = 6x^{2}+8$ , $du = 12x\,dx$ :

\frac{17}{12}\int u^{-1/3}du = \frac{17}{12}\cdot\frac32 u^{2/3} = \frac{17}{8}\left(6x^{2}+8\right)^{2/3}+C

(e) $u = \tan x$ , y $\sec^{2}x\,dx = du$ :

\int u^{1/2}du = \frac23\tan^{3/2}x+C

(f) $u = \ln x$ , $du = \frac{dx}{x}$ :

\int u\,du = \frac{\ln^{2}x}{2}+C

(g) El mismo cambio, pero el $\ln x$ está abajo:

\int\frac{du}{u} = \ln\left|\ln x\right|+C

(h) $u = \sqrt x$ , $du = \frac{dx}{2\sqrt x}$ , o sea $\frac{dx}{\sqrt x} = 2\,du$ :

2\int\cos u\,du = 2\,\mathrm{sen}\sqrt x+C

(i) $x^{4} = \left(x^{2}\right)^{2}$ , luego $u = x^{2}$ :

\frac12\int\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} = \frac12\arcsin\left(x^{2}\right)+C

(j) $u = \mathrm{sen}\,x$ :

\int u\,du = \frac{\mathrm{sen}^{2}x}{2}+C

3 · Una advertencia sobre (j)

La misma integral admite otras dos formas:

-\frac{\cos^{2}x}{2}+C \qquad\text{y}\qquad -\frac{\cos 2x}{4}+C

Las tres son correctas. Se diferencian en una constante, y una primitiva está definida salvo constante:

\frac{\mathrm{sen}^{2}x}{2}-\left(-\frac{\cos^{2}x}{2}\right) = \frac{\mathrm{sen}^{2}x+\cos^{2}x}{2} = \frac12

Un resultado que no coincide con el del libro no está necesariamente mal: hay que restar y ver si la diferencia es constante.

4 · El par que más enseña

(f) y (g) usan el mismo cambio, $u = \ln x$ , y dan cosas completamente distintas:

	integral en $u$	resultado
(f)	$\int u\,du$	$\frac{\ln^{2}x}{2}$
(g)	$\int\frac{du}{u}$	$\ln\lvert\ln x\rvert$

Compartir cambio no es compartir resultado. Lo que decide es dónde está la función: multiplicando o dividiendo.

5 · Comprobación

La comprobación de una primitiva es siempre la misma: derivarla. Tres ejemplos:

\frac{d}{dx}\left[e^{\mathrm{sen}^{2}x}\right] = e^{\mathrm{sen}^{2}x}\cdot2\,\mathrm{sen}\,x\cos x = e^{\mathrm{sen}^{2}x}\,\mathrm{sen}\,2x \quad\checkmark

\frac{d}{dx}\left[\frac{17}{8}\left(6x^{2}+8\right)^{2/3}\right] = \frac{17}{8}\cdot\frac23\left(6x^{2}+8\right)^{-1/3}\cdot12x = \frac{17x}{\sqrt[3]{6x^{2}+8}} \quad\checkmark

\frac{d}{dx}\left[\ln\left|\ln x\right|\right] = \frac{1}{\ln x}\cdot\frac1x = \frac{1}{x\ln x} \quad\checkmark

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(a)}\ & e^{\mathrm{sen}^{2}x} & \text{(f)}\ & \tfrac{\ln^{2}x}{2} \\ \text{(b)}\ & -\tfrac{\cos(x^{2})}{2} & \text{(g)}\ & \ln\left|\ln x\right| \\ \text{(c)}\ & \arctan(e^{x}) & \text{(h)}\ & 2\,\mathrm{sen}\sqrt x \\ \text{(d)}\ & \tfrac{17}{8}(6x^{2}+8)^{2/3} & \text{(i)}\ & \tfrac12\arcsin(x^{2}) \\ \text{(e)}\ & \tfrac23\tan^{3/2}x & \text{(j)}\ & \tfrac{\mathrm{sen}^{2}x}{2} \end{aligned}}

(todas con $+C$ )

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.24 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU · El boletín no publica solución; el desarrollo es nuestro

Nueve por partes, y la regla ALPES

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular las siguientes integrales utilizando integración por partes:

(a) $\displaystyle\int x\ln x\,dx$ · (b) $\displaystyle\int x\,\mathrm{sen}\,x\,dx$ · (c) $\displaystyle\int x^{2}\,\mathrm{sen}\,x\,dx$ · (d) $\displaystyle\int\ln x\,dx$ · (e) $\displaystyle\int\arctan x\,dx$

(f) $\displaystyle\int\arcsin x\,dx$ · (g) $\displaystyle\int\left(x^{2}-2x+5\right)e^{-x}dx$ · (h) $\displaystyle\int x\,\mathrm{sen}\,x\cos x\,dx$ · (i) $\displaystyle\int e^{x}\,\mathrm{sen}\,x\,dx$

Calcular las nueve primitivas por partes.

01
Reconocer el camino
COMP1
En (d), (e) y (f) hay una sola función. ¿Cómo se aplica por partes?
02
El apartado (a)
COMP2
$\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x-kx^{2}+C$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado (i), el que se muerde la cola
COMP2
$\int e^{x}\,\mathrm{sen}\,x\,dx = k\,e^{x}\left(\mathrm{sen}\,x-\cos x\right)+C$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método y sus nueve resultados. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La fórmula: $\int u\,dv = uv-\int v\,du$ , y el criterio ALPES para elegir $u$ : Arcos, Logaritmos, Potencias, Exponenciales, Senos. El que aparezca antes es $u$ .
2. Con una sola función, (d) (e) (f), se toma $dv = dx$ : $\int\ln x = x\ln x-x$ ; $\int\arctan x = x\arctan x-\frac12\ln\left(1+x^{2}\right)$ ; $\int\arcsin x = x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}$ .
3. Potencia por seno, (b) y (c): $u$ es la potencia, y cada aplicación le baja un grado. $\int x\,\mathrm{sen}\,x = -x\cos x+\mathrm{sen}\,x$ ; $\int x^{2}\mathrm{sen}\,x = -x^{2}\cos x+2x\,\mathrm{sen}\,x +2\cos x$ .
4. (a) $\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}$ . (g) $-e^{-x}\left(x^{2}+5\right)$ , aplicando partes dos veces.
5. (h) Conviene simplificar antes: $\mathrm{sen}\,x\cos x = \frac{\mathrm{sen}\,2x}{2}$ , y sale $-\frac{x\cos2x}{4}+\frac{\mathrm{sen}\,2x}{8}$ . (i) Sale despejando: $\frac{e^{x}}{2}\left(\mathrm{sen}\,x -\cos x\right)$ .
ALPES no es una regla mágica: funciona porque coloca primero las funciones que se simplifican al derivar —arcos y logaritmos— y últimas las que no cambian.

Resolución completa

Datos. Nueve integrales por partes.

1 · La fórmula y el criterio

\int u\,dv = uv-\int v\,du

La elección de $u$ decide si el método sirve o empeora las cosas. El criterio práctico es ALPES:

\textbf{A}\text{rcos} \;>\; \textbf{L}\text{ogaritmos} \;>\; \textbf{P}\text{otencias} \;>\; \textbf{E}\text{xponenciales} \;>\; \textbf{S}\text{enos}

El que aparezca antes en la lista es $u$ .

No es arbitrario: la lista está ordenada por «cuánto se simplifica al derivar». Un arcotangente derivado se convierte en una función racional; un logaritmo, en $\frac1x$ ; una potencia baja un grado; una exponencial no cambia; un seno tampoco.

2 · Las que solo tienen una función

El truco es escribir $dv = dx$ , es decir multiplicar por 1.

(d) $u = \ln x$ , $dv = dx$ :

\int\ln x\,dx = x\ln x-\int x\cdot\frac{dx}{x} = x\ln x-x+C

(e) $u = \arctan x$ , $du = \frac{dx}{1+x^{2}}$ :

\int\arctan x\,dx = x\arctan x-\int\frac{x\,dx}{1+x^{2}} = x\arctan x-\frac12\ln\left(1+x^{2}\right)+C

(f) $u = \arcsin x$ , $du = \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$ :

\int\arcsin x\,dx = x\arcsin x-\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C

3 · Potencia por función trigonométrica o logaritmo

(a) ALPES pone el logaritmo antes que la potencia, luego $u = \ln x$ :

\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}+C

(b) Aquí $u = x$ , porque la potencia va antes que el seno:

\int x\,\mathrm{sen}\,x\,dx = -x\cos x+\int\cos x\,dx = -x\cos x+\mathrm{sen}\,x+C

(c) El mismo criterio, dos veces, porque el grado es 2:

\int x^{2}\mathrm{sen}\,x\,dx = -x^{2}\cos x+2\int x\cos x\,dx

= -x^{2}\cos x+2\left(x\,\mathrm{sen}\,x+\cos x\right)+C

= -x^{2}\cos x+2x\,\mathrm{sen}\,x+2\cos x+C

Cada aplicación baja un grado. Con $x^{n}$ hacen falta $n$ vueltas.

4 · El polinomio por exponencial

(g) Con $P(x) = x^{2}-2x+5$ y $dv = e^{-x}dx$ , dos aplicaciones dan

\int P(x)e^{-x}dx = -e^{-x}\left(P+P'+P''\right)+C

P+P'+P'' = \left(x^{2}-2x+5\right)+\left(2x-2\right)+2 = x^{2}+5

\boxed{\int\left(x^{2}-2x+5\right)e^{-x}dx = -e^{-x}\left(x^{2}+5\right)+C}

Esa fórmula compacta —sumar el polinomio y todas sus derivadas— vale para cualquier $\int P(x)e^{-x}dx$ , y ahorra las dos vueltas.

5 · El que conviene simplificar antes

(h) Aplicar partes directamente funciona, pero es más largo. Usando primero la fórmula del ángulo doble:

\mathrm{sen}\,x\cos x = \frac{\mathrm{sen}\,2x}{2}

\int x\,\mathrm{sen}\,x\cos x\,dx = \frac12\int x\,\mathrm{sen}\,2x\,dx

= \frac12\left(-\frac{x\cos2x}{2}+\frac{\mathrm{sen}\,2x}{4}\right) = -\frac{x\cos2x}{4}+\frac{\mathrm{sen}\,2x}{8}+C

Simplificar el integrando antes de aplicar el método es siempre la primera pregunta que hay que hacerse.

6 · El que se muerde la cola

(i) Llamando $I$ a la integral, con $u = \mathrm{sen}\,x$ y $dv = e^{x}dx$ :

I = e^{x}\,\mathrm{sen}\,x-\int e^{x}\cos x\,dx

Segunda vuelta, manteniendo el criterio ( $u$ trigonométrica):

\int e^{x}\cos x\,dx = e^{x}\cos x+I

I = e^{x}\,\mathrm{sen}\,x-e^{x}\cos x-I \;\Longrightarrow\; \boxed{I = \frac{e^{x}}{2}\left(\mathrm{sen}\,x-\cos x\right)+C}

El error clásico es cambiar de criterio en la segunda vuelta: entonces se deshace la primera y queda $I=I$ , cierto y estéril.

7 · Comprobación

Derivando tres de ellas:

\frac{d}{dx}\left[x\ln x-x\right] = \ln x+1-1 = \ln x \quad\checkmark

\frac{d}{dx}\left[-e^{-x}\left(x^{2}+5\right)\right] = e^{-x}\left(x^{2}+5\right)-e^{-x}\cdot2x = e^{-x}\left(x^{2}-2x+5\right) \quad\checkmark

\frac{d}{dx}\left[\frac{e^{x}}{2}\left(\mathrm{sen}\,x-\cos x\right)\right] = \frac{e^{x}}{2}\left(\mathrm{sen}\,x-\cos x +\cos x+\mathrm{sen}\,x\right) = e^{x}\,\mathrm{sen}\,x \quad\checkmark

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(a)}\ & \tfrac{x^{2}}{2}\ln x-\tfrac{x^{2}}{4} \\ \text{(b)}\ & -x\cos x+\mathrm{sen}\,x \\ \text{(c)}\ & -x^{2}\cos x+2x\,\mathrm{sen}\,x+2\cos x \\ \text{(d)}\ & x\ln x-x \\ \text{(e)}\ & x\arctan x-\tfrac12\ln\left(1+x^{2}\right) \\ \text{(f)}\ & x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}} \\ \text{(g)}\ & -e^{-x}\left(x^{2}+5\right) \\ \text{(h)}\ & -\tfrac{x\cos2x}{4}+\tfrac{\mathrm{sen}\,2x}{8} \\ \text{(i)}\ & \tfrac{e^{x}}{2}\left(\mathrm{sen}\,x-\cos x\right) \end{aligned}}

(todas con $+C$ )

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.25 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU · El boletín no publica solución; el desarrollo es nuestro

Siete racionales, y la comprobación que hay que hacer primero

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular las integrales de las siguientes funciones racionales:

(a) $\displaystyle\int\frac{dx}{(x-1)(x+2)(x+3)}$ · (b) $\displaystyle\int\frac{4x^{2}}{x^{2}+4}dx$ · (c) $\displaystyle\int\frac{x^{2}+2}{(x+1)^{3}(x-2)}dx$ · (d) $\displaystyle\int\frac{x^{2}+3}{x^{2}-1}dx$

(e) $\displaystyle\int\frac{2x^{2}-3x+2}{x^{3}+x}dx$ · (f) $\displaystyle\int\frac{x^{2}}{x^{2}+2x+5}dx$ · (g) $\displaystyle\int\frac{x+2}{x^{2}+2x+2}dx$

Calcular las siete primitivas.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que comprobar antes de descomponer en fracciones simples?
02
El apartado (b), donde hay que dividir
COMP2
$\int\frac{4x^{2}}{x^{2}+4}dx = 4x-k\arctan\frac x2+C$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado (c), la raíz triple
COMP2
En la descomposición $\frac{x^{2}+2}{(x+1)^{3}(x-2)}$ , el coeficiente del término $\frac{D}{x-2}$ vale $D$ . ¿Cuánto es? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método y sus siete resultados. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Paso cero: comparar grados. En (b), (d) y (f) el numerador no es de grado menor, así que hay que dividir antes de nada.
2. Raíces simples, (a) y (d): un término $\frac{A}{x-r}$ por raíz, y cada uno da un logaritmo. (a) $= \frac{1}{12}\ln\left|x-1\right|-\frac13\ln\left|x+2\right| +\frac14\ln\left|x+3\right|$ . (d) $= x+2\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|$ .
3. Raíz múltiple, (c): tantos términos como el orden. $= \frac29\ln\left|\frac{x-2}{x+1}\right|-\frac{1}{3(x+1)} +\frac{1}{2(x+1)^{2}}$ .
4. Factor cuadrático irreducible, (b) (e) (f) (g): el término es $\frac{Ax+B}{x^{2}+px+q}$ , y se parte en un logaritmo más un arcotangente completando cuadrados.
5. (b) $= 4x-8\arctan\frac x2$ . (e) $= 2\ln\left|x\right|-3\arctan x$ . (f) $= x-\ln\left(x^{2}+2x+5\right)-\frac32\arctan\frac{x+1}{2}$ . (g) $= \frac12\ln\left(x^{2}+2x+2\right)+\arctan(x+1)$ .
Completar cuadrados es la maniobra que convierte cualquier cuadrático irreducible en la forma $u^{2}+a^{2}$ del arcotangente.

Resolución completa

Datos. Siete integrales de funciones racionales.

1 · El paso cero: comparar grados

Antes de descomponer nada, hay que mirar los grados. Si el numerador tiene grado mayor o igual que el denominador, la descomposición en fracciones simples no existe: hay que dividir primero.

	grado num.	grado den.	¿dividir?
(a)	0	3	no
(b)	2	2	sí
(c)	2	4	no
(d)	2	2	sí
(e)	2	3	no
(f)	2	2	sí
(g)	1	2	no

Tres de siete. Saltarse este paso es el fallo más frecuente del bloque.

2 · Los tres tipos de término

factor del denominador	término correspondiente	da
$x-r$ simple	$\frac{A}{x-r}$	logaritmo
$(x-r)^{n}$	$\frac{A_1}{x-r}+\cdots+\frac{A_n}{(x-r)^{n}}$	log + potencias
$x^{2}+px+q$ irreducible	$\frac{Ax+B}{x^{2}+px+q}$	log + arcotangente

3 · (a) Tres raíces simples

\frac{1}{(x-1)(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+3}

Sustituyendo cada raíz:

A = \frac{1}{3\cdot4} = \frac{1}{12}, \quad B = \frac{1}{(-3)(1)} = -\frac13, \quad C = \frac{1}{(-4)(-1)} = \frac14

\int = \frac{1}{12}\ln\left|x-1\right|-\frac13\ln\left|x+2\right| +\frac14\ln\left|x+3\right|+C

4 · (b) y (d), donde hay que dividir

(b)

\frac{4x^{2}}{x^{2}+4} = 4-\frac{16}{x^{2}+4} \;\Longrightarrow\; \int = 4x-8\arctan\frac{x}{2}+C

(d)

\frac{x^{2}+3}{x^{2}-1} = 1+\frac{4}{x^{2}-1} = 1+\frac{2}{x-1}-\frac{2}{x+1}

\int = x+2\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C

5 · (c) La raíz triple

x^{2}+2 = A(x+1)^{2}(x-2)+B(x+1)(x-2)+C(x-2)+D(x+1)^{3}

$x=-1$ : $3 = -3C \Rightarrow C = -1$

$x=2$ : $6 = 27D \Rightarrow D = \frac29$

Coeficiente de $x^{3}$ : $0 = A+D \Rightarrow A = -\frac29$

Término independiente ( $x=0$ ): $2 = -2A-2B-2C+D = \frac49-2B+2+\frac29$ , de donde $B = \frac13$ .

\int = -\frac29\ln\left|x+1\right|-\frac{1}{3(x+1)} +\frac{1}{2(x+1)^{2}}+\frac29\ln\left|x-2\right|+C

= \frac29\ln\left|\frac{x-2}{x+1}\right|-\frac{1}{3(x+1)} +\frac{1}{2(x+1)^{2}}+C

Nótese que $\int\frac{C\,dx}{(x+1)^{3}} = -\frac{C}{2(x+1)^{2}}$ , y con $C=-1$ sale el $+\frac{1}{2(x+1)^{2}}$ .

6 · (e) Factor lineal más cuadrático

$x^{3}+x = x\left(x^{2}+1\right)$ , y $x^{2}+1$ es irreducible:

\frac{2x^{2}-3x+2}{x\left(x^{2}+1\right)} = \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}

2x^{2}-3x+2 = A\left(x^{2}+1\right)+(Bx+C)x = (A+B)x^{2}+Cx+A

A = 2,\quad C = -3,\quad B = 0

\int = 2\ln\left|x\right|-3\arctan x+C

7 · (f) y (g), completando cuadrados

(g) El truco es separar la derivada del denominador, que es $2x+2$ :

\frac{x+2}{x^{2}+2x+2} = \frac{x+1}{x^{2}+2x+2}+\frac{1}{x^{2}+2x+2}

El primero da un logaritmo; el segundo, completando cuadrados $x^{2}+2x+2 = (x+1)^{2}+1$ , da un arcotangente:

\int = \frac12\ln\left(x^{2}+2x+2\right)+\arctan(x+1)+C

(f) Primero dividir, y luego lo mismo:

\frac{x^{2}}{x^{2}+2x+5} = 1-\frac{2x+5}{x^{2}+2x+5}

\frac{2x+5}{x^{2}+2x+5} = \frac{2x+2}{x^{2}+2x+5} +\frac{3}{(x+1)^{2}+4}

\int = x-\ln\left(x^{2}+2x+5\right)-\frac32\arctan\frac{x+1}{2}+C

El $\frac32$ sale de $3\cdot\frac12$ , con el $\frac12$ de $\int\frac{du}{u^{2}+4}$ .

8 · Comprobación

De (b), derivando:

\frac{d}{dx}\left[4x-8\arctan\frac x2\right] = 4-8\cdot\frac{1/2}{1+\frac{x^{2}}{4}} = 4-\frac{16}{x^{2}+4} = \frac{4x^{2}}{x^{2}+4} \quad\checkmark

De (c), evaluando la descomposición en un punto que no sea raíz, $x=1$ :

\text{izquierda: } \frac{3}{2^{3}\cdot(-1)} = -\frac38

\text{derecha: } -\frac{2}{9\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4} -\frac{1}{8}-\frac{2}{9} = -\frac38 \quad\checkmark

De (e), derivando:

\frac{2}{x}-\frac{3}{1+x^{2}} = \frac{2\left(1+x^{2}\right)-3x}{x\left(1+x^{2}\right)} = \frac{2x^{2}-3x+2}{x^{3}+x} \quad\checkmark

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.26 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU · El boletín no publica solución; el desarrollo es nuestro

Siete irracionales: hacer desaparecer la raíz

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular las integrales de las siguientes funciones irracionales:

(a) $\displaystyle\int\frac{\sqrt x}{\sqrt[4]{x^{3}}+1}dx$ · (b) $\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,dx$ · (c) $\displaystyle\int\frac{\sqrt x-2\sqrt[3]{x^{2}}+1}{\sqrt[4]x}dx$ · (d) $\displaystyle\int\frac{\sqrt{x+4}}{x}dx$

(e) $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{8-5x^{2}}}$ · (f) $\displaystyle\int\sqrt{1+x^{2}}\,dx$ · (g) $\displaystyle\int\sqrt{1-x^{2}}\,dx$

Calcular las siete primitivas.

01
Reconocer el camino
COMP1
En (a) hay una raíz cuadrada y una cuarta. ¿Qué cambio las quita las dos a la vez?
02
El apartado (b)
COMP2
$\int x\sqrt{x+1}\,dx = k(x+1)^{5/2}-\frac23(x+1)^{3/2}+C$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado (e)
COMP2
$\int\frac{dx}{\sqrt{8-5x^{2}}} = k\arcsin\frac{x\sqrt{10}}{4}+C$ . ¿Cuánto vale $k$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena los cambios y los siete resultados. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La idea: todo cambio busca lo mismo, hacer desaparecer la raíz y dejar una racional o una trigonométrica.
2. Varias raíces del mismo $x$ , (a) y (c): $x = t^{m}$ con $m$ el m.c.m. de los índices. En (c) ni siquiera hace falta: basta sumar exponentes. (a) $= \frac43\left(x^{3/4}-\ln\left(x^{3/4}+1\right)\right)$ . (c) $= \frac45x^{5/4}-\frac{24}{17}x^{17/12}+\frac43x^{3/4}$ .
3. Una raíz de un binomio lineal, (b) y (d): $t = \sqrt{\text{radicando}}$ . (b) $= \frac25(x+1)^{5/2}-\frac23(x+1)^{3/2}$ . (d) $= 2\sqrt{x+4}+2\ln\left|\frac{\sqrt{x+4}-2} {\sqrt{x+4}+2}\right|$ .
4. Diferencia de cuadrados, (e) y (g): dan arcoseno. (e) $= \frac{1}{\sqrt5}\arcsin\frac{x\sqrt{10}}{4}$ . (g) $= \frac{x\sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}$ .
5. Suma de cuadrados, (f): da el argumento del seno hiperbólico. $= \frac{x\sqrt{1+x^{2}}}{2}+\frac{\mathrm{argsh}\,x}{2}$ .
Los siete cambios responden a tres situaciones: varias raíces del mismo $x$ , una raíz de un binomio, y una raíz de una suma o diferencia de cuadrados. Reconocer cuál es cuál es la mitad del trabajo.

Resolución completa

Datos. Siete integrales con raíces.

1 · La estrategia común

Todos los cambios de este bloque persiguen lo mismo: quitar la raíz. Lo que cambia es cómo, y hay tres situaciones:

qué aparece	cambio	deja
varias raíces de $x$	$x = t^{m}$ , $m$ = m.c.m. de índices	racional
una raíz de $ax+b$	$t = \sqrt{ax+b}$	racional
$\sqrt{a^{2}\pm x^{2}}$	trigonométrico o hiperbólico	trigonométrica

2 · (a) Varias raíces: el m.c.m.

Los índices son 2 y 4, luego $x = t^{4}$ , $dx = 4t^{3}dt$ :

\int\frac{t^{2}}{t^{3}+1}\cdot4t^{3}dt = 4\int\frac{t^{5}}{t^{3}+1}dt

Grado 5 sobre grado 3: hay que dividir.

\frac{t^{5}}{t^{3}+1} = t^{2}-\frac{t^{2}}{t^{3}+1}

4\left[\frac{t^{3}}{3}-\frac13\ln\left|t^{3}+1\right|\right] = \frac43\left(t^{3}-\ln\left(t^{3}+1\right)\right)

Y deshaciendo, $t^{3} = x^{3/4}$ :

\boxed{\frac43\left(x^{3/4}-\ln\left(x^{3/4}+1\right)\right)+C}

3 · (c) La que no necesita cambio

Repartiendo el denominador y sumando exponentes:

\frac{x^{1/2}-2x^{2/3}+1}{x^{1/4}} = x^{1/4}-2x^{5/12}+x^{-1/4}

\int = \frac{x^{5/4}}{5/4}-2\cdot\frac{x^{17/12}}{17/12} +\frac{x^{3/4}}{3/4}

\boxed{\frac45x^{5/4}-\frac{24}{17}x^{17/12}+\frac43x^{3/4}+C}

Antes de cambiar de variable, mirar si basta con reescribir. Aquí sí.

4 · (b) y (d): raíz de un binomio lineal

(b) $t = \sqrt{x+1}$ , $x = t^{2}-1$ , $dx = 2t\,dt$ :

2\int\left(t^{4}-t^{2}\right)dt = \boxed{\frac25(x+1)^{5/2}-\frac23(x+1)^{3/2}+C}

(d) $t = \sqrt{x+4}$ , $x = t^{2}-4$ , $dx = 2t\,dt$ :

\int\frac{t}{t^{2}-4}\cdot2t\,dt = 2\int\frac{t^{2}}{t^{2}-4}dt

Otra vez grados iguales: dividir.

= 2\int\left(1+\frac{4}{t^{2}-4}\right)dt = 2t+8\cdot\frac14\ln\left|\frac{t-2}{t+2}\right|

\boxed{2\sqrt{x+4}+2\ln\left|\frac{\sqrt{x+4}-2}{\sqrt{x+4}+2}\right|+C}

5 · (e): la forma de tabla del arcoseno

\int\frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} = \arcsin\frac xa

Para llegar a esa forma hay que sacar factor común el coeficiente de $x^{2}$ :

\sqrt{8-5x^{2}} = \sqrt5\sqrt{\frac85-x^{2}}

\int = \frac{1}{\sqrt5}\arcsin\frac{x}{\sqrt{8/5}} = \boxed{\frac{1}{\sqrt5}\arcsin\frac{x\sqrt{10}}{4}+C}

6 · (f) y (g): las dos hermanas

(g) Con $x = \mathrm{sen}\,t$ , $dx = \cos t\,dt$ :

\int\cos^{2}t\,dt = \frac t2+\frac{\mathrm{sen}\,2t}{4} = \frac{t}{2}+\frac{\mathrm{sen}\,t\cos t}{2}

\boxed{\int\sqrt{1-x^{2}}\,dx = \frac{x\sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}+C}

(f) Con $x = \mathrm{senh}\,t$ , porque $1+\mathrm{senh}^{2}t = \cosh^{2}t$ :

\int\cosh^{2}t\,dt = \frac t2+\frac{\mathrm{senh}\,t\cosh t}{2}

\boxed{\int\sqrt{1+x^{2}}\,dx = \frac{x\sqrt{1+x^{2}}}{2}+\frac{\mathrm{argsh}\,x}{2}+C}

La estructura es la misma, pero las funciones no: un arcoseno en un caso y un logaritmo disfrazado — $\mathrm{argsh}\,x = \ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ — en el otro.

Y (f) es exactamente la integral que apareció en el ejercicio 5.19, el de la longitud de arco. No es casualidad: la longitud de arco de cualquier parábola acaba en $\sqrt{1+u^{2}}$ .

7 · Comprobación

De (b):

\frac{d}{dx}\left[\frac25(x+1)^{5/2}-\frac23(x+1)^{3/2}\right] = (x+1)^{3/2}-(x+1)^{1/2}

= \sqrt{x+1}\left[(x+1)-1\right] = x\sqrt{x+1} \quad\checkmark

De (g):

\frac{d}{dx}\left[\frac{x\sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}\right] = \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{2}-\frac{x^{2}}{2\sqrt{1-x^{2}}} +\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}

= \frac{1-x^{2}-x^{2}+1}{2\sqrt{1-x^{2}}} = \frac{2-2x^{2}}{2\sqrt{1-x^{2}}} = \sqrt{1-x^{2}} \quad\checkmark

De (g), geométricamente: entre $-1$ y 1 debe dar el área del semicírculo de radio 1, es decir $\frac{\pi}{2}$ :

\left[\frac{x\sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}\right]_{-1}^{1} = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \quad\checkmark

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.27 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU · El (i) cayó en 2018/2019 3E y el (j) en 2019/2020 3E · El boletín no publica solución; el desarrollo es nuestro

Diez trigonométricas, y dos erratas del enunciado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular las integrales de las siguientes funciones trigonométricas:

(a) $\displaystyle\int\cos^{2}x\,dx$ · (b) $\displaystyle\int\mathrm{sen}^{2}x\,dx$ · (c) $\displaystyle\int\cos^{3}x\,dx$ · (d) $\displaystyle\int\frac{\mathrm{sen}^{3}x\,dx}{2+\cos x}$ · (e) $\displaystyle\int\frac{\mathrm{sen}\,x\,dx} {\cos x\left(1+\cos^{2}x\right)}$

(f) $\displaystyle\int\frac{dx}{\tan^{2}x\left(1+3\cos^{2}x\right)}$ · (g) $\displaystyle\int\mathrm{sen}^{2}x\cos^{2}x\,dx$ · (h) $\displaystyle\int\mathrm{sen}^{2}x\cos^{5}x\,dx$ · (i) $\displaystyle\int\frac{\mathrm{sen}^{2}x\,dx} {\mathrm{sen}^{2}x-4\,\mathrm{sen}^{2}x}$ (2018/2019 3E) · (j) $\displaystyle\int\frac{dx}{\mathrm{sen}^{2} -5\,\mathrm{sen}\,x\cos x}$ (2019/2020 3E)

Calcular las diez primitivas.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué distingue a (c) y (h) de (a), (b) y (g)?
02
El apartado (g)
COMP2
$\int\mathrm{sen}^{2}x\cos^{2}x\,dx = \frac x8-k\,\mathrm{sen}\,4x+C$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado (h)
COMP2
En $\int\mathrm{sen}^{2}x\cos^{5}x\,dx$ , el coeficiente de $\mathrm{sen}^{7}x$ vale $k$ . ¿Cuánto es? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la estrategia. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Exponente impar en (c) y (h): apartar un factor y cambiar variable. (c) $= \mathrm{sen}\,x-\frac{\mathrm{sen}^{3}x}{3}$ . (h) $= \frac{\mathrm{sen}^{3}x}{3}-\frac{2\,\mathrm{sen}^{5}x}{5} +\frac{\mathrm{sen}^{7}x}{7}$ .
2. Todos pares en (a), (b) y (g): bajar el grado con $\cos^{2} = \frac{1+\cos2x}{2}$ y $\mathrm{sen}^{2} = \frac{1-\cos2x}{2}$ . (a) $= \frac x2+\frac{\mathrm{sen}\,2x}{4}$ ; (b) el mismo con signo menos; (g) $= \frac x8-\frac{\mathrm{sen}\,4x}{32}$ .
3. Con seno impar y coseno en el denominador, (d) y (e): el cambio $u=\cos x$ las convierte en racionales. (d) $= \frac{\cos^{2}x}{2}-2\cos x+3\ln(2+\cos x)$ . (e) $= \ln\frac{\sqrt{1+\cos^{2}x}}{\left|\cos x\right|}$ .
4. Cuando solo hay potencias pares o productos $\mathrm{sen}\cos$ , (f), (i) y (j): el cambio $t=\tan x$ las racionaliza sin necesidad de Weierstrass.
5. (f) $= -\frac{1}{4\tan x}-\frac18\arctan\frac{\tan x}{2}$ ; (j) $= \frac15\ln\left|\frac{\tan x-5}{\tan x}\right|$ .
Weierstrass es la red de seguridad. Usarla de entrada convierte ejercicios de dos líneas en ejercicios de página y media.

Resolución completa

Datos. Diez integrales trigonométricas.

1 · El árbol de decisión

qué hay	qué hacer
algún exponente impar	apartar un factor y cambiar variable
todos pares	bajar el grado con el ángulo doble
solo pares o $\mathrm{sen}\,x\cos x$	$t = \tan x$
nada de lo anterior	Weierstrass, $t = \tan\frac x2$

Weierstrass es el último recurso: siempre funciona, y siempre produce la racional más fea.

2 · Los pares: bajar el grado

\cos^{2}x = \frac{1+\cos2x}{2}, \qquad \mathrm{sen}^{2}x = \frac{1-\cos2x}{2}

(a) $\int\cos^{2}x\,dx = \frac x2+\frac{\mathrm{sen}\,2x}{4}+C$

(b) $\int\mathrm{sen}^{2}x\,dx = \frac x2-\frac{\mathrm{sen}\,2x}{4}+C$

(g) Dos aplicaciones:

\mathrm{sen}^{2}x\cos^{2}x = \frac{\mathrm{sen}^{2}2x}{4} = \frac{1-\cos4x}{8}

\int = \frac x8-\frac{\mathrm{sen}\,4x}{32}+C

3 · Los impares: apartar un factor

(c) $\cos^{3}x\,dx = \left(1-\mathrm{sen}^{2}x\right) d\left(\mathrm{sen}\,x\right)$ :

\int\left(1-u^{2}\right)du = \mathrm{sen}\,x-\frac{\mathrm{sen}^{3}x}{3}+C

(h) $\cos^{5}x\,dx = \left(1-\mathrm{sen}^{2}x\right)^{2} d\left(\mathrm{sen}\,x\right)$ :

\int u^{2}\left(1-2u^{2}+u^{4}\right)du = \frac{\mathrm{sen}^{3}x}{3}-\frac{2\,\mathrm{sen}^{5}x}{5} +\frac{\mathrm{sen}^{7}x}{7}+C

4 · Los que se vuelven racionales con $u=\cos x$

(d) El seno tiene exponente impar, así que $u = \cos x$ , $du = -\mathrm{sen}\,x\,dx$ :

\int\frac{\left(1-u^{2}\right)}{2+u}\left(-du\right)

Dividiendo, $\frac{1-u^{2}}{2+u} = -u+2-\frac{3}{u+2}$ :

-\int\left(-u+2-\frac{3}{u+2}\right)du = \frac{u^{2}}{2}-2u+3\ln\left|u+2\right|

\boxed{\frac{\cos^{2}x}{2}-2\cos x+3\ln\left(2+\cos x\right)+C}

(e) Igual, con $u = \cos x$ :

-\int\frac{du}{u\left(1+u^{2}\right)} = -\int\left(\frac1u-\frac{u}{1+u^{2}}\right)du = -\ln\left|u\right|+\frac12\ln\left(1+u^{2}\right)

\boxed{\ln\frac{\sqrt{1+\cos^{2}x}}{\left|\cos x\right|}+C}

5 · Los del cambio $t = \tan x$

Con $t = \tan x$ :

\mathrm{sen}^{2}x = \frac{t^{2}}{1+t^{2}}, \qquad \cos^{2}x = \frac{1}{1+t^{2}}, \qquad \mathrm{sen}\,x\cos x = \frac{t}{1+t^{2}}, \qquad dx = \frac{dt}{1+t^{2}}

(f) El denominador se transforma en

1+3\cos^{2}x = 1+\frac{3}{1+t^{2}} = \frac{t^{2}+4}{1+t^{2}}

\int\frac{1+t^{2}}{t^{2}\left(t^{2}+4\right)}\cdot\frac{dt}{1+t^{2}} = \int\frac{dt}{t^{2}\left(t^{2}+4\right)}

Descomponiendo, $\frac{1}{t^{2}(t^{2}+4)} = \frac{1}{4t^{2}}-\frac{1}{4\left(t^{2}+4\right)}$ :

\boxed{-\frac{1}{4\tan x}-\frac18\arctan\frac{\tan x}{2}+C}

6 · Los dos con errata

(i) Tal como está escrito, el denominador es

\mathrm{sen}^{2}x-4\,\mathrm{sen}^{2}x = -3\,\mathrm{sen}^{2}x

y toda la fracción se simplifica a la constante $-\frac13$ :

\int-\frac13\,dx = -\frac{x}{3}+C

Es una respuesta correcta para el enunciado literal, pero convierte en trivial un ejercicio que cayó en un examen. Casi con seguridad falta un coseno: el planteamiento habitual es

\int\frac{\mathrm{sen}^{2}x\,dx}{\cos^{2}x-4\,\mathrm{sen}^{2}x}

y con $t = \tan x$ :

\int\frac{t^{2}}{\left(1-4t^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt = \frac15\int\frac{dt}{1-4t^{2}}-\frac15\int\frac{dt}{1+t^{2}}

= \frac{1}{20}\ln\left|\frac{1+2\tan x}{1-2\tan x}\right| -\frac{x}{5}+C

(j) Aquí la errata es evidente: al primer $\mathrm{sen}^{2}$ le falta el argumento. Con $\mathrm{sen}^{2}x$ :

\int\frac{1+t^{2}}{t^{2}-5t}\cdot\frac{dt}{1+t^{2}} = \int\frac{dt}{t(t-5)} = \frac15\int\left(\frac{1}{t-5}-\frac1t\right)dt

\boxed{\frac15\ln\left|\frac{\tan x-5}{\tan x}\right|+C}

Nota sobre las dos erratas. Los enunciados están reproducidos tal cual aparecen en el boletín, como exige el criterio de este sitio. En (i) el denominador escrito hace que la integral se reduzca a una constante; en (j) falta el argumento del primer seno. Las dos versiones —la literal y la razonable— están resueltas arriba, para que el alumno reconozca la intención sin tener que adivinarla.

7 · Comprobación

De (c), derivando:

\frac{d}{dx}\left[\mathrm{sen}\,x-\frac{\mathrm{sen}^{3}x}{3}\right] = \cos x-\mathrm{sen}^{2}x\cos x = \cos x\left(1-\mathrm{sen}^{2}x\right) = \cos^{3}x \quad\checkmark

De (a) y (b), sumando: las dos primitivas suman

\left(\frac x2+\frac{\mathrm{sen}\,2x}{4}\right) +\left(\frac x2-\frac{\mathrm{sen}\,2x}{4}\right) = x

y en efecto $\int\left(\cos^{2}x+\mathrm{sen}^{2}x\right)dx = \int1\,dx = x$ ✔ Una comprobación que valida las dos a la vez.

De (g), por un valor definido. En $[0,\frac{\pi}{2}]$ :

\left[\frac x8-\frac{\mathrm{sen}\,4x}{32}\right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{16}

y $\mathrm{sen}^{2}x\cos^{2}x$ tiene valor medio $\frac18$ sobre un cuarto de periodo, luego $\frac18\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{16}$ ✔

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(a)}\ & \tfrac x2+\tfrac{\mathrm{sen}\,2x}{4} \\ \text{(b)}\ & \tfrac x2-\tfrac{\mathrm{sen}\,2x}{4} \\ \text{(c)}\ & \mathrm{sen}\,x-\tfrac{\mathrm{sen}^{3}x}{3} \\ \text{(d)}\ & \tfrac{\cos^{2}x}{2}-2\cos x+3\ln(2+\cos x) \\ \text{(e)}\ & \ln\tfrac{\sqrt{1+\cos^{2}x}}{\left|\cos x\right|} \\ \text{(f)}\ & -\tfrac{1}{4\tan x}-\tfrac18\arctan\tfrac{\tan x}{2} \\ \text{(g)}\ & \tfrac x8-\tfrac{\mathrm{sen}\,4x}{32} \\ \text{(h)}\ & \tfrac{\mathrm{sen}^{3}x}{3} -\tfrac{2\,\mathrm{sen}^{5}x}{5}+\tfrac{\mathrm{sen}^{7}x}{7} \\ \text{(i)}\ & -\tfrac x3 \ \text{(literal)} \\ \text{(j)}\ & \tfrac15\ln\left|\tfrac{\tan x-5}{\tan x}\right| \end{aligned}}

(todas con $+C$ )

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Integración

El valor medio es una altura

El valor medio es un número; la función media es una función

El teorema fundamental, en sus dos mitades

Impropias: dos formas de romperse

Cuando no hay primitiva: aproximar la integral

Áreas y volúmenes: el mismo esquema

La simetría, que ahorra la mitad del trabajo

Girar alrededor de OY, que es el caso que de verdad cae

Longitud de arco

Y si ese arco gira, engendra una superficie

Los cuatro métodos, y cuándo usar cada uno

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

La derivada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El corte distinto de cero

El área

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El volumen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La integral hasta un extremo finito

El límite

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El integrando en el extremo

La longitud

La comprobación que siempre se puede hacer

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El apartado (a)

El apartado (c), el que sorprende

Justificar el argumento

1 · El teorema y su única hipótesis

2 · (a) 3x23x^{2}3x2 en [−1,4][-1,4][−1,4]

3 · (b) ∣x−2∣\left|x-2\right|∣x−2∣ en [0,5][0,5][0,5]

4 · (c) y (d), el mismo seno en dos intervalos

5 · (e) y (f), las discontinuas

6 · La lección de (e) frente a (f)

7 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El parámetro

El valor medio

Justificar el argumento

1 · Qué hay que imponer

2 · El parámetro

3 · El valor medio

4 · Los puntos donde se alcanza

5 · Comprobación

Reconocer el camino

La relación entre los parámetros

El parámetro a

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): la condición de continuidad

2 · Apartado (b): la integral del logaritmo

3 · Apartado (b): imponer el valor medio

4 · Qué función ha salido

5 · Apartado (c): la derivabilidad

6 · Comprobación

Reconocer el camino

El apartado (a), segunda rama

El apartado (c), segunda rama

Justificar el argumento

1 · La herramienta

2 · Apartado (a): ∣z−1∣\left|z-1\right|∣z−1∣

3 · Apartado (b): la función a trozos

4 · Apartado (c): ∣sen z∣\left|\mathrm{sen}\,z\right|∣senz∣

5 · La derivabilidad

6 · Comprobación

Reconocer el camino

La función media en la primera rama

El valor medio en todo el intervalo

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): el dibujo

2 · Las dos definiciones que hay que separar

3 · Apartado (b): la función media

2 · (a) $3x^{2}$ en $[-1,4]$

3 · (b) $\left|x-2\right|$ en $[0,5]$

2 · Apartado (a): $\left|z-1\right|$

4 · Apartado (c): $\left|\mathrm{sen}\,z\right|$