Preparar la tercera evaluación

El ejercicio 1, que siempre es de complejos

cae los 11 años — siempre el ejercicio 12 escalones

Cae 11 de 11 años

Lo mismo que en la primera evaluación: representar los complejos que cumplen una o dos condiciones, o resolver una ecuación en el plano.

Los once años, sin faltar uno, y siempre en el mismo sitio: el primero. Va aquí arriba porque es material que ya estudiaste y porque empezar el final con un ejercicio conocido cambia cómo va el resto de la hora.

Los que son un lugar geométrico

Traducir una o dos condiciones en figuras y dibujar la intersección, con su borde y sus puntos excluidos.

leerLugares geométricos: traducir la condición a una distancia

Ocho de los once son un lugar geométrico. Las traducciones y las tres figuras están aquí.

ejemploUn disco, y decidir si el borde entra
Un disco y su borde: la traducción de la que salen todas las demás regiones.
prácticaDos condiciones que se cortan
Dos condiciones que se cortan, que es lo que este hueco pide seis de los siete años.
prácticaDos condiciones sobre el inverso
examenUn disco partido justo por su centro
El del curso pasado. Del más reciente hacia atrás, que es como mejor se ve hacia dónde va el formato.
examenLa parte real de un cociente, que también es un disco
examenUna semirrecta a la que un semiplano le corta el principio
examenUn semiplano al que un disco le da un mordisco
examenDos condiciones sobre un inverso, y una lente
examenUna desigualdad entre complejos, que obliga a pensar antes de calcular
De la recuperación del primer cuatrimestre, y el más difícil de todos los lugares geométricos: antes de dibujar nada hay que decidir qué significa una desigualdad entre complejos.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un disco, y decidir si el borde entra

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Representar los afijos de los números complejos $z$ que verifican

\left|z - (1+2i)\right| \le 3

Qué figura es, dónde está su centro, cuánto mide su radio y si el borde entra.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice $\left|z - (1+2i)\right|$ , leído en castellano?
02
El radio
COMP2
Si la condición fuera con un igual, $\left|z-(1+2i)\right| = 3$ , sería una circunferencia. ¿Cuánto mide su radio?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un punto de prueba
COMP2
Comprueba tu región con un punto. ¿Cuánto vale $\left|z-(1+2i)\right|$ para $z = 1+2i$ , o sea el propio centro?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\left|z-(1+2i)\right|$ es la distancia de $z$ al punto $(1,2)$ .
2. La condición pide que esa distancia no pase de 3.
3. Es el disco de centro $(1,2)$ y radio 3.
4. Como la desigualdad es $\le$ , el borde entra y se dibuja continuo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 · Tercera evaluación, 19 de enero de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un disco partido justo por su centro

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las condiciones

\left|z^{2}\right| < 2\left(\mathrm{Re}(z)-\mathrm{Im}(z)\right) \qquad \wedge \qquad \frac{z+\overline{z}}{2} \ge \mathrm{Im}(z)+2

Calcular la región y representarla.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué conviene hacer con $\left|z^{2}\right|$ antes de operar?
02
El radio de la circunferencia
COMP2
La primera condición define un disco. ¿Cuál es su radio?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área de la región
COMP2
¿Cuál es el área de la región resultante? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe las dos condiciones en $x$ e $y$ . La figura comprobará si el trozo de disco que queda coincide con el del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; usa & para juntar las dos condiciones
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Traducir la primera condición. $\left|z^{2}\right| = \left|z\right|^{2} = x^{2}+y^{2}$ , y $\mathrm{Re}(z)-\mathrm{Im}(z) = x-y$ .
2. Completando cuadrados: $(x-1)^{2}+(y+1)^{2} < 2$ . Disco abierto de centro $(1,-1)$ y radio $\sqrt2$ .
3. Traducir la segunda. $\frac{z+\overline{z}}{2} = \mathrm{Re}(z) = x$ , luego $x \ge y+2$ , es decir $y \le x-2$ : semiplano cerrado.
4. Ver dónde cae el centro. En $(1,-1)$ la recta se cumple con igualdad: pasa justo por el centro del disco.
5. Luego la región es medio disco, el de abajo a la derecha, con el diámetro incluido y el arco excluido. Área $=\pi$ .
Los dos signos del enunciado son distintos a propósito: uno estricto y otro no. La frontera resultante es mixta, y describirla bien es parte del ejercicio.

Resolución completa

Datos. Dos condiciones sobre $z$ : una con el módulo al cuadrado y otra con la parte real.

1 · La primera condición

El módulo es multiplicativo, así que conviene simplificar antes de pasar a binómica:

\left|z^{2}\right| = \left|z\right|^{2} = x^{2}+y^{2}

Desarrollar $z^{2} = x^{2}-y^{2}+2xyi$ y tomar módulo después llevaría a

\sqrt{\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}+4x^{2}y^{2}} = \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} = x^{2}+y^{2}

lo mismo, dando un rodeo.

Con $\mathrm{Re}(z)-\mathrm{Im}(z) = x-y$ :

x^{2}+y^{2} < 2(x-y) \;\Longrightarrow\; x^{2}-2x+y^{2}+2y < 0

Completando cuadrados en las dos variables:

(x-1)^{2}+(y+1)^{2} < 2

\boxed{\text{Disco ABIERTO de centro } (1,-1) \text{ y radio } \sqrt2}

2 · La segunda condición

\frac{z+\overline{z}}{2} = \frac{(x+yi)+(x-yi)}{2} = x = \mathrm{Re}(z)

—una identidad que conviene reconocer de memoria—. La condición queda

x \ge y+2 \;\Longrightarrow\; y \le x-2

\boxed{\text{Semiplano CERRADO bajo la recta } y = x-2}

3 · Cómo encajan

La pregunta clave: ¿por dónde pasa la recta respecto del disco?

Sustituyendo el centro $(1,-1)$ en la recta:

-1 \overset{?}{=} 1-2 = -1 \quad\checkmark

La recta pasa exactamente por el centro. Así que corta al disco en dos mitades iguales, y la región es una de ellas.

Los extremos del diámetro son el centro $\pm\sqrt2$ en la dirección $\frac{(1,1)}{\sqrt2}$ :

(1,-1)\pm(1,1) \;\Longrightarrow\; (2,0) \ \text{ y } \ (0,-2)

\boxed{\text{La región es el SEMIDISCO inferior derecho}}

4 · El borde, que no es homogéneo

parte de la frontera	¿está incluida?	por qué
el arco de circunferencia	no	el disco es abierto ( $<$ )
el diámetro sobre la recta	sí	el semiplano es cerrado ( $\ge$ )

La región no es abierta ni cerrada. Los dos signos del enunciado son distintos a propósito, y describirlo bien es lo que puntúa.

5 · El área

A = \frac{\pi r^{2}}{2} = \frac{\pi\left(\sqrt2\right)^{2}}{2} = \frac{2\pi}{2}

\boxed{A = \pi \approx 3{,}1416}

6 · Comprobación

Con un punto interior. El centro $(1,-1)$ , es decir $z = 1-i$ :

\left|z^{2}\right| = \left|z\right|^{2} = 1+1 = 2

2\left(\mathrm{Re}-\mathrm{Im}\right) = 2\left(1-(-1)\right) = 4

$2 < 4$ ✔ Y la segunda: $1 \ge -1+2 = 1$ ✔ con igualdad, porque está sobre la recta.

Con un punto que debe quedar fuera. $z = 1+i$ , simétrico respecto de la recta:

\left|z\right|^{2} = 2, \qquad 2(1-1) = 0

$2 < 0$ es falso ✔ fuera del disco, y además del semiplano.

Con un punto del semidisco. $z = 1{,}5-1{,}5i$ :

\left|z\right|^{2} = 4{,}5, \qquad 2(1{,}5+1{,}5) = 6

$4{,}5 < 6$ ✔ Y $1{,}5 \ge -1{,}5+2 = 0{,}5$ ✔ Dentro.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Hacer tres seguidos sin abrir pista. Si tienes cerrado el bloque de regiones de la primera evaluación, esto ya está.

Los que son una ecuación

Resolver una ecuación en el plano complejo con raíces, conjugado o módulo, sin perder soluciones.

leerRaíces n-ésimas: cuántas hay y por qué están repartidas

Las raíces reparten el ángulo a partes iguales. Si no salen n, o no están equiespaciadas, hay un error antes.

ejemploPasar 1 + i a forma polar
Pasar a polar, que es lo que hace falta antes de girar nada.
prácticaUna ecuación con potencia y conjugado
prácticaEl cubo igual a menos el módulo
El cubo igual a menos el módulo: es el enunciado de 2017-2018, con el truco de tomar módulos primero.
examenUna ecuación de grado siete que esconde dos triángulos
Una ecuación de grado siete que esconde dos triángulos.
examenUna tangente que vale i/2 y un cociente de módulos
El único de los once con una tangente compleja. Sale de la definición exponencial, no de la trigonometría real.
examenUna ecuación con conjugado que se resuelve por el módulo
examenCuando el cubo vale menos el módulo
examenEl tercer vértice, y la identidad fundamental en el plano complejo
examenDos definiciones, con su fórmula y su ejemplo
examenUn coseno que vale 2, que en el plano complejo no es absurdo
De la recuperación del primer cuatrimestre. La ecuación que en los reales no existe, y la explicación de por qué en $\mathbb{C}$ sí: el coseno complejo no está acotado.
examenUna ecuación que parece difícil hasta que se lee Euler
El contrario del anterior: aquí el valor pedido sí está en $[-1,1]$ , y todas las soluciones salen reales. Los dos juntos enseñan a saber qué esperar antes de calcular.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Pasar 1 + i a forma polar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Escribir el número complejo $z = 1 + i$ en forma polar.

El módulo, el argumento y el número escrito como r·e^(iθ).

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular nada: ¿en qué cuadrante está $1+i$ ?
02
El módulo
COMP2
¿Cuánto vale $\left|z\right| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$ para $z = 1+i$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El argumento
COMP2
¿Cuánto vale $\arg z$ , en radianes?
Tu respuesta al paso 3en radianes; en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta final. Una de estas piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El punto está en el primer cuadrante, porque $a>0$ y $b>0$ .
2. $\left|z\right| = \sqrt{1+1} = \sqrt2$ .
3. $\tan\theta = 1$ y, estando en el primer cuadrante, $\theta = \pi/4$ .
4. Por tanto $z = \sqrt2\,e^{i\pi/4}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que salgan siempre todas las raíces y que no se te escape el caso z igual a cero cuando la ecuación lo admite.

lo tienes cuando:

Hacer tres de estos seguidos, del más reciente hacia atrás, sin abrir ninguna pista y en menos de quince minutos cada uno. Si ya tienes cerrada la ruta de la primera evaluación, esto es una comprobación, no estudio.

Taylor de algo que no se puede calcular

10 de 11 — el que distingue esta evaluación3 escalones

Cae 10 de 11 años

El polinomio de Maclaurin de una función definida por una integral, por una inversa o por una ecuación implícita — es decir, de algo que no se puede derivar a mano tantas veces.

Diez de los once años, y es el hueco que mejor distingue esta evaluación de la segunda. Allí Taylor se aplicaba a funciones conocidas; aquí la función no se puede escribir, y la gracia está en sacar los coeficientes sin derivarla. En 2024-2025 el enunciado pedía dos derivadas de orden alto y la respuesta correcta no derivaba ni una vez.

Componer en vez de derivar

Obtener el desarrollo de una función complicada partiendo de uno de los seis conocidos, sin calcular derivadas sucesivas.

leerSeis desarrollos que conviene tener memorizados

Aquí está el atajo: casi todos estos ejercicios se hacen componiendo uno de los seis, no derivando la función que te dan.

ejemploUn polinomio de Taylor de orden 2
Si vienes de cero, empieza aquí: el desarrollo más simple, con su cota del resto.
prácticaOcho desarrollos, y solo tres hay que calcular
Ocho desarrollos y solo tres hay que calcular.
prácticaLa tangente de dos grados, y cuánto se equivoca
examenLa serie del seno hiperbólico, sin derivar nada
examenLa serie del logaritmo de un cociente
examenLa serie que suma la armónica alternada

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un polinomio de Taylor de orden 2

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el polinomio de Maclaurin de orden 2 de $f(x) = e^{x}$ y usarlo para aproximar $e^{0{,}1}$ .

El polinomio y el valor aproximado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué quiere decir que el polinomio sea «de Maclaurin»?
02
El coeficiente de x²
COMP2
En $P_2(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^{2}$ , ¿cuánto vale el coeficiente de $x^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aproximación
COMP2
Sustituyendo $x = 0{,}1$ , ¿cuánto vale $P_2(0{,}1)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con tres decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Todas las derivadas de $e^{x}$ son $e^{x}$ , y en 0 valen 1.
2. Luego $P_2(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$ .
3. Sustituyendo $x = 0{,}1$ sale $1{,}105$ .
4. Es una aproximación, así que la respuesta completa lleva una cota del error.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante un polinomio de Maclaurin tu primer instinto sea buscar de cuál de los seis sale, y solo derives si de verdad no sale de ninguno.

Taylor de una integral, una inversa o una implícita

Sacar los coeficientes del desarrollo de una función que no se puede expresar, derivándola con el teorema fundamental o implícitamente.

leerEl polinomio de Taylor es la mejor imitación local

prácticaDos polinomios de Maclaurin sin calcular la integral
Dos polinomios de una función integral sin calcular la integral. Es exactamente la técnica que piden los de examen.
examenDeshacer un logaritmo para llegar a la función de dentro
examenDos derivadas de orden alto sin derivar ni una vez
Dos derivadas de orden alto sin derivar ni una vez: se leen del coeficiente del desarrollo.
examenEl polinomio de la inversa, leído en una gráfica
examenEl polinomio del logaritmo de una función que no se conoce
examenUn polinomio de una integral que no se puede calcular

Lo tienes cuando

Que no te bloquee ver una integral sin primitiva elemental: la derivada la da el teorema fundamental y con eso basta.

Aproximar un número, con su cota

Usar el polinomio para dar un valor y acotar el error con el resto de Lagrange.

leerEl resto es la parte que se suele olvidar, y es la que se pregunta

Lo tienes cuando

Que la cota salga sola detrás del número, sin que el enunciado tenga que pedirla.

lo tienes cuando:

Ante una función dada por una integral con extremo variable, escribir su polinomio de Maclaurin de orden 4 sin calcular la integral. Y saber hacer el camino de vuelta: leer una derivada de orden alto del coeficiente del desarrollo, en vez de derivar.

Áreas, volúmenes y lo que barre un recinto al girar

9 de 11 — el ejercicio más largo del examen3 escalones

Cae 9 de 11 años

Dibujar un recinto, calcular su área, y el volumen o la superficie que engendra al girar alrededor de un eje que casi nunca es OX.

Nueve de los once años, y es el ejercicio más largo del examen: suele traer tres apartados encadenados. El área se le da bien a casi todo el mundo; donde se pierden los puntos es en el eje de giro, porque los discos solo valen si el eje es horizontal y el enunciado casi siempre pone uno vertical o desplazado.

El área de un recinto

Dibujar el recinto, encontrar los cortes y plantear la integral con la curva de arriba menos la de abajo.

leerÁreas y volúmenes: el mismo esquema

Área entre curvas, discos y arandelas. Y por qué los volúmenes no se restan como se restan las áreas.

ejemploEl área entre dos curvas
Empieza aquí. Dos curvas que todo el mundo sabe dibujar, y el punto de prueba que decide el orden de la resta.
prácticaUna parábola y sus dos tangentes
prácticaUna parábola y su tangente paralela a una recta dada
prácticaLa parábola y las tangentes en sus dos cortes con el eje
prácticaUna raíz contra un valor absoluto
prácticaUn parámetro determinado por el área
prácticaUna parábola tumbada, y por qué conviene integrar en y
Por qué a veces conviene integrar en y. Es el mismo criterio que decide entre discos y capas.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El área entre dos curvas

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el área encerrada entre las curvas $y = x$ e $y = x^{2}$ .

Los puntos de corte y el área.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el primer paso antes de plantear la integral?
02
El corte distinto de cero
COMP2
Igualando $x = x^{2}$ , ¿cuál es la solución distinta de cero?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\int_0^{1}\left(x - x^{2}\right)dx$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los cortes son $x=0$ y $x=1$ , y son los límites de integración.
2. Entre 0 y 1 la recta va por encima de la parábola.
3. El área es $\int_0^1 (x - x^{2})\,dx$ .
4. Vale $\frac12-\frac13 = \frac16$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que el dibujo salga antes que la integral, y que compruebes con un punto cuál va por encima en vez de suponerlo.

El volumen al girar, y el eje que lo decide

Elegir entre discos y capas mirando si los cortes son perpendiculares o paralelos al eje de giro.

leerGirar alrededor de OY, que es el caso que de verdad cae

Con la figura de los dos cortes. Discos en y si se puede despejar, capas si no, y Pappus si aparece un centroide.

ejemploUn volumen de revolución por discos
Empieza aquí, con el eje horizontal y un sólido que se puede comprobar con la fórmula del cono.
prácticaGirar alrededor de una recta que no es un eje
Y ahora con un eje que no pasa por el origen.
prácticaDos elipsoides de la misma elipse
prácticaDe dónde salen las cinco fórmulas que te sabes de memoria
De dónde salen las cinco fórmulas de volumen que te sabes de memoria. Sirve de comprobación de todo el escalón.
prácticaEl área y el volumen bajo una exponencial
examenEl área entre una parábola tumbada y su tangente
examenUn recinto entre parábola y circunferencia, y lo que barre al girar
examenDe dónde sale el πab del área de la elipse
examenUn sector de cuarenta y cinco grados, su volumen y su perímetro
examenUna parábola tumbada, una paralela y el eje
examenUna parábola encerrada entre sus dos tangentes
examenUn recinto entre parábola, recta y eje, con sus dos volúmenes
examenUn lazo cerrado, su área y lo que barre al girar
examenUna integral con cambio dado y un sólido alrededor de y = 1

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un volumen de revolución por discos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el volumen que genera la región bajo $y = x$ entre $x=0$ y $x=1$ al girar alrededor del eje $OX$ .

El volumen del sólido de revolución.

01
Reconocer el camino
COMP1
El eje de giro es horizontal. ¿Qué método corresponde?
02
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale $\pi\displaystyle\int_0^{1} x^{2}\,dx$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El eje de giro es horizontal, así que valen los discos.
2. Cada corte perpendicular al eje es un disco de radio $f(x) = x$ .
3. El volumen es $\pi\int_0^1 x^{2}dx = \frac{\pi}{3}$ .
4. El sólido es un cono, y la fórmula clásica da lo mismo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que nunca escribas la integral de discos con un eje vertical. La comprobación es de un segundo y es la que más puntos salva.

La longitud del arco, y lo que barre

Calcular la longitud de una curva y el área de la superficie que engendra al girar.

leerLongitud de arco

Con la figura del triángulo infinitesimal, que es de donde sale la raíz.

Lo tienes cuando

Distinguir cuándo se integra en dx y cuándo en ds. Un volumen se llena con trozos de la región; una superficie se forra con trozos de la curva.

lo tienes cuando:

Delante de un enunciado nuevo, decidir en menos de un minuto si integras en x o en y y si usas discos o capas, y saber decir por qué. Y que el dibujo del recinto salga antes que la primera integral, siempre.

El teorema fundamental, y las funciones integrales

8 de 11 — tres años pidió enunciar y demostrar3 escalones

Cae 8 de 11 años

Enunciar el teorema fundamental y deducir de él la regla de Barrow, o derivar y estudiar una función definida por una integral con el extremo variable.

Ocho de los once años, y en tres seguidos —2018-19, 2019-20 y 2020-21— el enunciado fue literalmente «enunciar y demostrar». Es el bloque de COMP4 de esta evaluación: hay años en que estos puntos no exigen calcular nada y se pierden enteros por no tener el enunciado escrito.

Derivar una función integral

Derivar una integral con extremos variables sin calcularla, aplicando la cadena en cada extremo.

leerEl teorema fundamental, en sus dos mitades

La primera parte dice por qué existe la primitiva, la segunda cómo usarla. Y la fórmula con límites variables, que es lo que más se pregunta.

ejemploDerivar una integral sin calcularla
Empieza aquí. Un extremo constante y otro variable, con la comprobación por el camino largo.
prácticaSeis derivadas sin calcular ninguna integral
Seis derivadas sin calcular ninguna integral.
prácticaTres funciones integrales que salen a trozos
prácticaUna ecuación donde la incógnita es el límite de integración
examenEl valor medio parte el área en dos mitades iguales
examenUna función integral a la que se le resta una exponencial
examenLa función error, con el extremo superior al cuadrado
examenCuál de las tres es la función, y qué hace su integral menos ella
Este junta las dos evaluaciones: hay que decir cuál de las tres curvas es la función, cuál su derivada y cuál su integral.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Derivar una integral sin calcularla

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para $F(x) = \displaystyle\int_1^{x} t^{3}\,dt$ , calcular $F'(x)$ sin resolver la integral.

La derivada de la función integral.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué parte del teorema fundamental se usa aquí?
02
La derivada
COMP2
¿Cuánto vale $F'(2)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El integrando $t^{3}$ es continuo, que es la hipótesis del teorema.
2. El límite inferior es constante y el superior es $x$ .
3. Por la primera parte del teorema fundamental, $F'(x) = x^{3}$ .
4. Luego $F'(2) = 8$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que la fórmula con los dos extremos variables te salga sola, y que no se te olvide la derivada del límite superior.

Enunciar y demostrar Barrow

Enunciar las dos partes del teorema con sus hipótesis y deducir la regla de Barrow de la primera.

leerEl teorema fundamental, en sus dos mitades

ejemploDerivar una integral sin calcularla
Derivar una integral sin calcularla: la primera mitad del teorema, usada.
examenEnunciar el teorema fundamental y sacar Barrow de él
examenEl teorema fundamental y Barrow, tal como los pide el examen
examenEl teorema fundamental y Barrow, por tercer año
examenLa inversa de una cóncava, y el teorema fundamental demostrado

Lo tienes cuando

Escribirlo entero en papel sin apuntes. Cayó tres años seguidos con casi las mismas palabras, así que aquí la memoria sí paga.

El valor medio, y la función media

Calcular el valor medio de una función, y distinguirlo de la función media, que es otra cosa.

leerEl valor medio es una altura

Con la figura del rectángulo. La continuidad no es un adorno: sin ella la altura no se alcanza.

prácticaSeis veces el teorema de la media, y dos que no valen
prácticaUn parámetro que hace continua la función
prácticaContinua sí, derivable no
prácticaFunción media y valor medio no son lo mismo
El ejercicio que existe para que no se confundan.
examenLa función valor medio de una quebrada

Lo tienes cuando

Que sepas de un vistazo cuál te piden: si en la respuesta no aparece ninguna x, era el valor medio.

lo tienes cuando:

Escribir de memoria las dos partes del teorema con sus hipótesis y deducir Barrow de la primera, en papel y sin apuntes. Y derivar una función integral con los dos extremos variables sin olvidar la cadena en ninguno de los dos.

Lo que vuelve de la segunda evaluación

8 de 11 traen un ejercicio que vuelve3 escalones

Cae 8 de 11 años

Un teorema de continuidad enunciado y aplicado, una inversa, una implícita o un problema de optimización.

Ocho de los once años traen al menos un ejercicio de los temas 3 y 4 que no es de Taylor. No es un bloque nuevo: es la ruta de la segunda evaluación comprobada, y por eso es corto. Lo que cambia es el envoltorio — aquí suelen venir mezclados con una integral en el mismo enunciado.

Reconocer qué teorema te piden

Leer un enunciado largo y ver cuál de los cinco teoremas lo resuelve, con sus hipótesis.

leerEl punto fijo, que es Bolzano disfrazado

El que más ha caído aquí: dos veces con unicidad incluida, que es un argumento aparte del de existencia.

ejemploBolzano, y por qué la raíz existe
Un teorema de continuidad aplicado a un caso concreto, antes de enunciarlo.
prácticaUna raíz que existe, y que además es la única
Existe por Bolzano y es única por el crecimiento. Las dos mitades del punto fijo que caen en 2015-2016 y en 2017-2018.
examenDesde dónde debe salir el satélite
El del curso pasado, y el que mejor enseña el formato: un enunciado largo que por dentro es un teorema conocido.
examenUna partícula, y cuatro teoremas que hay que saber cuándo NO se aplican
Cuatro teoremas y hay que decir cuál se aplica en cada apartado. Es la prueba de fuego del bloque.
examenDos definiciones y un punto fijo
examenEl teorema del punto fijo, existencia y unicidad

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Bolzano, y por qué la raíz existe

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar que la ecuación $x^{3} + x - 1 = 0$ tiene una solución en el intervalo $[0,1]$ .

La comprobación de las hipótesis y la conclusión.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué garantiza el teorema de Bolzano?
02
El extremo izquierdo
COMP2
Con $f(x) = x^{3}+x-1$ , ¿cuánto vale $f(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El extremo derecho
COMP2
¿Y cuánto vale $f(1)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f(x) = x^{3}+x-1$ es un polinomio, luego es continua en $[0,1]$ .
2. $f(0) = -1 < 0$ y $f(1) = 1 > 0$ , signos distintos.
3. Por Bolzano existe $c \in (0,1)$ con $f(c) = 0$ .
4. Ese $c$ es la solución de la ecuación que se pedía.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Tercera evaluación, 19 de enero de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Desde dónde debe salir el satélite

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se ha lanzado un satélite espacial siguiendo la órbita descrita por la parábola $\left(\dfrac{x}{3}\right)^{2}+\dfrac{y}{9} = 1$ . En un momento dado, se desea que el satélite abandone su órbita y se dirija hacia una estación espacial situada en el punto $P = (3,1)$ . Para ello, el satélite debe salir en la dirección de la recta tangente a la órbita en el punto de salida. Determinar el o los puntos de la órbita desde los cuales el satélite debe salir para que la recta tangente pase por la estación espacial.

Determinar los puntos de salida.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se busca exactamente?
02
La órbita, despejada
COMP2
¿Cuánto vale $y$ cuando $x=0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Los puntos de salida
COMP2
Hay dos puntos válidos. ¿Cuál es la abscisa del que está más a la derecha?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Despejar la órbita. $\left(\frac x3\right)^{2}+\frac y9 = 1$ es $y = 9-x^{2}$ : una parábola, no una elipse, porque la $y$ no está al cuadrado.
2. Comprobar que $P$ no está en ella: $9-3^{2} = 0 \neq 1$ . La estación está fuera de la órbita.
3. La tangente genérica en $\left(a,9-a^{2}\right)$ , con $y'=-2x$ : $y = 9+a^{2}-2ax$ .
4. Imponer que pase por $P$ : $1 = 9+a^{2}-6a$ , es decir $a^{2}-6a+8=0$ , con raíces $a=2$ y $a=4$ .
5. Los puntos de salida son $(2,5)$ y $(4,-7)$ , y sus tangentes son $y=13-4x$ e $y=25-8x$ .
El número de soluciones depende de dónde esté el punto exterior, y el discriminante lo detecta. Aquí vale $4>0$ : dos tangentes.

Resolución completa

Datos. Órbita $\left(\frac x3\right)^{2}+\frac y9 = 1$ y estación en $P=(3,1)$ .

1 · Qué curva es, en realidad

La notación con dos denominadores invita a leer una elipse, pero la $y$ no está elevada al cuadrado:

\frac{x^{2}}{9}+\frac{y}{9} = 1 \;\Longrightarrow\; x^{2}+y = 9 \;\Longrightarrow\; \boxed{y = 9-x^{2}}

Es una parábola invertida, con vértice en $(0,9)$ y cortes con el eje horizontal en $x=\pm3$ . El propio enunciado lo dice, y conviene fijarse.

2 · Dónde está la estación

P = (3,1): \qquad 9-3^{2} = 0 \neq 1

$P$ no está sobre la órbita. Está por encima del punto $(3,0)$ de la parábola, es decir en la zona exterior —la de encima de la curva, que para una parábola invertida es el «fuera»—.

Comprobarlo importa: desde un punto exterior salen dos tangentes, desde uno de la curva una, y desde uno interior ninguna.

3 · La tangente genérica

y' = -2x \;\Longrightarrow\; y'(a) = -2a

Tangente en el punto $\left(a,\,9-a^{2}\right)$ :

y-\left(9-a^{2}\right) = -2a\,(x-a)

y = 9-a^{2}-2ax+2a^{2} = 9+a^{2}-2ax

4 · Imponer la condición

La tangente debe pasar por $(3,1)$ :

1 = 9+a^{2}-2a\cdot3 \;\Longrightarrow\; a^{2}-6a+8 = 0

a = \frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2} = \frac{6\pm2}{2}

\boxed{a = 2 \quad\text{y}\quad a = 4}

Los puntos de salida:

Q_1 = \left(2,\ 9-4\right) = (2,\,5)

Q_2 = \left(4,\ 9-16\right) = (4,\,-7)

5 · Las dos trayectorias

punto de salida	pendiente	recta
$(2,5)$	$-4$	$y = 13-4x$
$(4,-7)$	$-8$	$y = 25-8x$

La primera es una salida suave, todavía en la parte alta de la órbita; la segunda es mucho más inclinada y ocurre cuando el satélite ya ha caído por debajo del eje.

6 · Comprobación

Que las dos tangentes pasan por $P$ :

y(3) = 13-12 = 1 \quad\checkmark \qquad y(3) = 25-24 = 1 \quad\checkmark

Que los puntos están en la órbita:

9-2^{2} = 5 \quad\checkmark \qquad 9-4^{2} = -7 \quad\checkmark

Que son tangentes y no secantes. Igualando la recta $y=13-4x$ a la parábola:

9-x^{2} = 13-4x \;\Longrightarrow\; x^{2}-4x+4 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-2)^{2} = 0

Raíz doble en $x=2$ : se tocan en un solo punto ✔ Y con la otra: $x^{2}-8x+16 = (x-4)^{2} = 0$ ✔

Que el discriminante de la ecuación de corte sea cero es la definición de tangencia, y es la comprobación más fuerte del ejercicio.

Del número de soluciones. El discriminante de $a^{2}-6a+8$ vale $4>0$ : dos tangentes, coherente con que $P$ sea exterior. Con un punto interior —por ejemplo $P=(0,8)$ , que está por debajo de la parábola en $x=0$ — saldría $a^{2}+1=0$ , sin solución real ✔ Ojo con elegir el punto: $(0,10)$ está encima de $y=9-x^{2}$ , o sea fuera, y desde ahí salen dos tangentes, $a=\pm1$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante un enunciado con contexto sepas separar el decorado del teorema que hay debajo.

Límites por sucesiones, e inversas

Negar la existencia de un límite con dos sucesiones, y derivar una función inversa.

leerUn límite no existe si dos caminos discrepan

ejemploUna inversa, y el signo que hay que elegir
Una inversa y el signo que hay que elegir, que es la mitad de este hueco.
prácticaDos sucesiones que discrepan
Dos sucesiones que discrepan, que es exactamente la técnica del examen de 2018-2019.
prácticaLas seis derivadas de las inversas, en dos variables
examenUn límite que no existe, y la curvatura de una composición
examenInvertir un coseno hiperbólico y derivar la inversa

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Una inversa, y el signo que hay que elegir

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar la inversa de $f(x) = x^{2}$ definida en $(-\infty, 0]$ .

La fórmula de la inversa, con el signo correcto.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el enunciado se molesta en decir el dominio?
02
Un valor de comprobación
COMP2
Si $f^{-1}$ es la inversa, ¿cuánto vale $f^{-1}(9)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza sobra.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $(-\infty,0]$ la función es inyectiva, así que tiene inversa.
2. De $y = x^{2}$ se despeja $x = \pm\sqrt{y}$ .
3. Como el dominio de partida son los negativos, se toma la raíz negativa.
4. $f^{-1}(x) = -\sqrt{x}$ , definida para $x \ge 0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que la técnica de las dos sucesiones te salga sola, porque es la misma que niega una convergencia en el tema 2.

Optimización y tangentes impuestas

Resolver un problema de máximos o mínimos, o encontrar tangentes con una condición de pendiente.

leerOptimizar es traducir, no derivar

ejemploOptimizar, con la restricción a la vista
Optimizar con la restricción a la vista, antes de que la esconda un enunciado.
prácticaEl triángulo más pequeño que pasa por un punto
Es el enunciado de 2024-2025 tal cual: el triángulo más pequeño que pasa por un punto.
prácticaUn punto por el que la curva pasa dos veces
examenEl triángulo más pequeño que se apoya en un punto
examenDos tangentes a una elipse con la pendiente impuesta
examenEl bidón que gasta menos chapa

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Optimizar, con la restricción a la vista

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Con 20 metros de valla se quiere cercar un rectángulo. ¿Qué dimensiones dan el área máxima?

Las dimensiones del rectángulo de área máxima.

01
Reconocer el camino
COMP1
En un problema de optimización, ¿qué es la «función objetivo»?
02
El objetivo con una sola variable
COMP2
Con perímetro $2x+2y=20$ , se despeja $y = 10-x$ y el área queda $A(x) = x(10-x)$ . ¿En qué valor de $x$ se anula $A'(x)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una pieza no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Objetivo, el área $A = xy$ ; restricción, el perímetro $2x+2y=20$ .
2. De la restricción, $y = 10-x$ , y el objetivo queda $A(x)=10x-x^{2}$ .
3. El intervalo es $0 < x < 10$ , porque los lados son positivos.
4. $A'(x)=10-2x$ se anula en $x=5$ , y $A''=-2<0$ , luego es máximo.
5. Con $x=5$ sale $y=5$ , un cuadrado de 25 m².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

El mismo criterio del bloque de optimización de la segunda: llegar a una sola variable con su intervalo antes de derivar.

lo tienes cuando:

Reconocer, leyendo el enunciado, cuál de los cinco teoremas te están pidiendo, y escribirlo con sus hipótesis antes de empezar a operar. Si tienes cerrada la ruta de la segunda evaluación, esto ya está.

Las integrales sueltas, y las impropias

5 de 11 como ejercicio propio — y dentro de todos2 escalones

Cae 5 de 11 años

Calcular una integral por el método que toque, o decidir si una impropia converge y cuánto vale.

Cinco de los once años traen una integral como ejercicio propio, y además todas las integrales de los otros bloques hay que saber resolverlas. Las impropias son el sitio donde más se regalan puntos: aplicar Barrow sobre una discontinuidad da un número creíble y falso, y el examen pone ese caso a propósito.

Elegir el método

Mirar una integral y saber si va por inmediata, por partes, por fracciones simples o por cambio de variable.

leerLos cuatro métodos, y cuándo usar cada uno

La tabla de qué método para qué forma, ALPES para las partes, y la comprobación del grado antes de descomponer una racional.

prácticaDiez inmediatas, o cómo reconocer una derivada escondida
Diez inmediatas. Reconocer una derivada escondida es lo que ahorra el tiempo que después hace falta en el ejercicio largo.
prácticaNueve por partes, y la regla ALPES
prácticaSiete racionales, y la comprobación que hay que hacer primero
prácticaSiete irracionales: hacer desaparecer la raíz
prácticaDiez trigonométricas, y dos erratas del enunciado
examenIntegrar un valor absoluto, y comprobar una función de densidad
examenUna integral que se simplifica y otra que ni siquiera existe
examenUna integral trigonométrica que se arregla dividiendo por el coseno
examenOrdenar tres aproximaciones, y una integral de tangentes
examenUna integral con el cambio ya dado

nivel: practicaEjercicio 5.23 · Problemas complementarios, tema 5 · Cálculo, UPV/EHU · El boletín no publica solución; el desarrollo es nuestro

Diez inmediatas, o cómo reconocer una derivada escondida

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Integrales inmediatas

(a) $\displaystyle\int e^{\mathrm{sen}^{2}x}\,\mathrm{sen}(2x)\,dx$ · (b) $\displaystyle\int x\,\mathrm{sen}\left(x^{2}\right)dx$ · (c) $\displaystyle\int\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}dx$ · (d) $\displaystyle\int\frac{17x}{\sqrt[3]{6x^{2}+8}}dx$ · (e) $\displaystyle\int\sec^{2}x\sqrt{\tan x}\,dx$

(f) $\displaystyle\int\frac{\ln x}{x}dx$ · (g) $\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x}$ · (h) $\displaystyle\int\frac{\cos\sqrt x}{\sqrt x}dx$ · (i) $\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{1-x^{4}}}dx$ · (j) $\displaystyle\int\mathrm{sen}\,x\cos x\,dx$

Calcular las diez primitivas.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tienen en común las diez?
02
El apartado (d), el de los números feos
COMP2
En $\int\frac{17x}{\sqrt[3]{6x^{2}+8}}dx$ , el resultado tiene la forma $k\left(6x^{2}+8\right)^{2/3}$ . ¿Cuánto vale $k$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado (i)
COMP2
$\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^{4}}} = k\arcsin\left(x^{2}\right)+C$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las diez, agrupadas por el cambio que las resuelve. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El método: buscar una función $g$ cuya derivada aparezca multiplicando, y hacer $u=g(x)$ .
2. (a) $u=\mathrm{sen}^{2}x$ , cuya derivada es $\mathrm{sen}\,2x$ : da $e^{\mathrm{sen}^{2}x}$ . (b) $u=x^{2}$ : da $-\frac{\cos\left(x^{2}\right)}{2}$ .
3. (c) $u=e^{x}$ , y como $e^{2x} = \left(e^{x}\right)^{2}$ queda un arcotangente: $\arctan\left(e^{x}\right)$ . (d) $u=6x^{2}+8$ : da $\frac{17}{8}\left(6x^{2}+8\right)^{2/3}$ .
4. (e) $u=\tan x$ , cuya derivada es $\sec^{2}x$ : da $\frac23\tan^{3/2}x$ . (f) $u=\ln x$ : da $\frac{\ln^{2}x}{2}$ . (g) también $u=\ln x$ , pero ahora en el denominador: da $\ln\left|\ln x\right|$ .
5. (h) $u=\sqrt x$ : da $2\,\mathrm{sen}\sqrt x$ . (i) $u=x^{2}$ : da $\frac12\arcsin\left(x^{2}\right)$ . (j) $u=\mathrm{sen}\,x$ : da $\frac{\mathrm{sen}^{2}x}{2}$ .
El par (f)/(g) es el mejor del ejercicio: mismo cambio, resultados completamente distintos según dónde esté el $\ln x$ .

Resolución completa

Datos. Diez integrales indefinidas, todas resolubles con un cambio de variable inmediato.

1 · El patrón

Todas tienen la forma

\int g'(x)\cdot h\big(g(x)\big)\,dx

es decir, una función y su derivada multiplicando. El cambio $u = g(x)$ , $du = g'(x)dx$ las convierte en $\int h(u)\,du$ , que es de tabla.

El trabajo entero está en ver cuál es la $g$ , y para eso ayuda mirar qué hay dentro de la parte complicada —del exponente, de la raíz, del logaritmo— y comprobar si su derivada anda suelta por ahí.

2 · Las diez, una a una

(a) Dentro del exponente hay $\mathrm{sen}^{2}x$ , y su derivada es $2\,\mathrm{sen}\,x\cos x = \mathrm{sen}\,2x$ , que es justo lo que multiplica:

\int e^{\mathrm{sen}^{2}x}\,\mathrm{sen}(2x)\,dx = e^{\mathrm{sen}^{2}x}+C

(b) $u = x^{2}$ , $du = 2x\,dx$ :

\int x\,\mathrm{sen}\left(x^{2}\right)dx = \frac12\int\mathrm{sen}\,u\,du = -\frac{\cos\left(x^{2}\right)}{2}+C

(c) Reescribiendo $e^{2x} = \left(e^{x}\right)^{2}$ aparece la forma del arcotangente, con $u=e^{x}$ :

\int\frac{e^{x}dx}{1+\left(e^{x}\right)^{2}} = \arctan\left(e^{x}\right)+C

(d) $u = 6x^{2}+8$ , $du = 12x\,dx$ :

\frac{17}{12}\int u^{-1/3}du = \frac{17}{12}\cdot\frac32 u^{2/3} = \frac{17}{8}\left(6x^{2}+8\right)^{2/3}+C

(e) $u = \tan x$ , y $\sec^{2}x\,dx = du$ :

\int u^{1/2}du = \frac23\tan^{3/2}x+C

(f) $u = \ln x$ , $du = \frac{dx}{x}$ :

\int u\,du = \frac{\ln^{2}x}{2}+C

(g) El mismo cambio, pero el $\ln x$ está abajo:

\int\frac{du}{u} = \ln\left|\ln x\right|+C

(h) $u = \sqrt x$ , $du = \frac{dx}{2\sqrt x}$ , o sea $\frac{dx}{\sqrt x} = 2\,du$ :

2\int\cos u\,du = 2\,\mathrm{sen}\sqrt x+C

(i) $x^{4} = \left(x^{2}\right)^{2}$ , luego $u = x^{2}$ :

\frac12\int\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} = \frac12\arcsin\left(x^{2}\right)+C

(j) $u = \mathrm{sen}\,x$ :

\int u\,du = \frac{\mathrm{sen}^{2}x}{2}+C

3 · Una advertencia sobre (j)

La misma integral admite otras dos formas:

-\frac{\cos^{2}x}{2}+C \qquad\text{y}\qquad -\frac{\cos 2x}{4}+C

Las tres son correctas. Se diferencian en una constante, y una primitiva está definida salvo constante:

\frac{\mathrm{sen}^{2}x}{2}-\left(-\frac{\cos^{2}x}{2}\right) = \frac{\mathrm{sen}^{2}x+\cos^{2}x}{2} = \frac12

Un resultado que no coincide con el del libro no está necesariamente mal: hay que restar y ver si la diferencia es constante.

4 · El par que más enseña

(f) y (g) usan el mismo cambio, $u = \ln x$ , y dan cosas completamente distintas:

	integral en $u$	resultado
(f)	$\int u\,du$	$\frac{\ln^{2}x}{2}$
(g)	$\int\frac{du}{u}$	$\ln\lvert\ln x\rvert$

Compartir cambio no es compartir resultado. Lo que decide es dónde está la función: multiplicando o dividiendo.

5 · Comprobación

La comprobación de una primitiva es siempre la misma: derivarla. Tres ejemplos:

\frac{d}{dx}\left[e^{\mathrm{sen}^{2}x}\right] = e^{\mathrm{sen}^{2}x}\cdot2\,\mathrm{sen}\,x\cos x = e^{\mathrm{sen}^{2}x}\,\mathrm{sen}\,2x \quad\checkmark

\frac{d}{dx}\left[\frac{17}{8}\left(6x^{2}+8\right)^{2/3}\right] = \frac{17}{8}\cdot\frac23\left(6x^{2}+8\right)^{-1/3}\cdot12x = \frac{17x}{\sqrt[3]{6x^{2}+8}} \quad\checkmark

\frac{d}{dx}\left[\ln\left|\ln x\right|\right] = \frac{1}{\ln x}\cdot\frac1x = \frac{1}{x\ln x} \quad\checkmark

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(a)}\ & e^{\mathrm{sen}^{2}x} & \text{(f)}\ & \tfrac{\ln^{2}x}{2} \\ \text{(b)}\ & -\tfrac{\cos(x^{2})}{2} & \text{(g)}\ & \ln\left|\ln x\right| \\ \text{(c)}\ & \arctan(e^{x}) & \text{(h)}\ & 2\,\mathrm{sen}\sqrt x \\ \text{(d)}\ & \tfrac{17}{8}(6x^{2}+8)^{2/3} & \text{(i)}\ & \tfrac12\arcsin(x^{2}) \\ \text{(e)}\ & \tfrac23\tan^{3/2}x & \text{(j)}\ & \tfrac{\mathrm{sen}^{2}x}{2} \end{aligned}}

(todas con $+C$ )

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Decidirlo en diez segundos, y en las racionales comprobar el grado antes de descomponer.

Las impropias, y la trampa que no se ve

Reconocer los dos tipos de impropia, sustituir el punto conflictivo por un límite y decidir si converge.

leerImpropias: dos formas de romperse

Las de tipo 2 no se ven. Y los dos límites hay que tomarlos por separado, o lo que sale es el valor principal, que no es lo mismo.

ejemploUna integral impropia de primer tipo
Empieza aquí. Una de primer tipo que converge, con el contraste del exponente que la haría divergir.
prácticaOcho impropias de primer tipo
prácticaCuatro que divergen aunque Barrow diga otra cosa
Cuatro que divergen aunque Barrow diga otra cosa. Es el ejercicio que enseña por qué hay que mirar antes de integrar.
examenUna integral impropia que basta con partir por la mitad

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Una integral impropia de primer tipo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Estudiar si converge, y calcularla si converge,

\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}

Si converge y cuánto vale.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué esta integral es impropia?
02
La integral hasta un extremo finito
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\int_1^{t}\frac{dx}{x^{2}}$ , en función de $t$ ? Evalúalo para $t = 10$ .
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El límite
COMP2
Haciendo $t \to \infty$ , ¿cuánto vale la integral impropia?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Es impropia de primer tipo, porque el intervalo no está acotado.
2. Se sustituye el infinito por un extremo finito $t$ y se toma el límite.
3. $\int_1^t x^{-2}dx = 1 - \frac1t$ .
4. El límite cuando $t\to\infty$ vale 1, luego converge.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que antes de aplicar Barrow mires siempre si el integrando explota dentro del intervalo. Las de tipo 2 no avisan.

lo tienes cuando:

Mirar una integral y saber en diez segundos por qué método va. Y antes de aplicar Barrow, comprobar siempre si el integrando explota dentro del intervalo, aunque nada en el enunciado lo sugiera.

Sucesiones y series, que también vuelven

5 de 11 — pero 10 puntos cuando cae2 escalones

Cae 5 de 11 años

Decidir si una serie converge y sumarla, o razonar si una afirmación sobre sucesiones es verdadera o falsa.

Cinco de los once años. Es el hueco menos frecuente del final, y aun así son diez puntos cuando cae. Va aquí abajo por eso, no porque se pueda saltar: los dos últimos cursos que lo trajeron son 2024-2025 y 2025-2026, así que la tendencia es al alza.

Sumar una serie

Reconocer el tipo de serie y sumarla, con la demostración de la fórmula si te la piden.

leerSeries: sumar infinitos términos

La condición necesaria sirve para descartar, nunca para confirmar. Y la geométrica hay que tenerla en la punta de los dedos.

ejemploSumar una serie geométrica
Si vienes de cero, empieza aquí.
prácticaLa serie geométrica, y cómo empezar a sumar más tarde
Con su demostración, que es lo que pidió 2017-2018.
prácticaEl alpinista que nunca llega
examenSeries hipergeométricas, y unos cilindros que no convergen
examenUna pelota que bota infinitas veces y recorre algo finito
examenDemostrar la suma de la geométrica, y usarla desde el tercer término

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Sumar una serie geométrica

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la suma de la serie

\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = 1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots

La suma, y por qué la serie converge.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué esta serie converge?
02
La razón
COMP2
¿Cuánto vale la razón $r$ , es decir, por cuánto se multiplica cada término para obtener el siguiente?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La suma
COMP2
Con $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} r^{n} = \frac{1}{1-r}$ , ¿cuánto suma la serie?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza sobra.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La serie es geométrica, con $r = \frac12$ .
2. Como $\left|r\right| < 1$ , converge.
3. Su suma vale $\frac{1}{1-r} = \frac{1}{1/2} = 2$ .
4. Empieza en $n=0$ , así que la fórmula se aplica tal cual.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que la geométrica te salga de memoria, incluida la versión que no empieza en cero, y que sepas demostrarla.

Decidir si una afirmación es verdadera

Razonar sobre sucesiones con contraejemplos y con subsucesiones que discrepan.

leerQué significa exactamente converger

Dos subsucesiones que discrepan tumban una convergencia en una línea, sin épsilon ninguno.

prácticaAlternar infinitas veces o cambiar una sola vez
examenTres afirmaciones sobre sucesiones, y dos son falsas
examenDos sucesiones casi iguales, y una derivada desde la definición
examenDos afirmaciones casi iguales, y solo una es cierta
De la recuperación del primer cuatrimestre, y el formato exacto de este escalón: una afirmación cierta que hay que demostrar y una falsa que hay que tumbar con un contraejemplo.
examenDos sucesiones casi idénticas, y solo una converge
Dos sucesiones con las mismas dos fórmulas, y solo converge una. Negar una convergencia por subsucesiones, en su forma más limpia.

Lo tienes cuando

Que ante un verdadero o falso busques primero un contraejemplo, que es más rápido que demostrar.

lo tienes cuando:

Ver de qué tipo es una serie sin probar fórmulas, y demostrar la suma de la geométrica de memoria, que es lo que pidió 2017-2018. Si tienes cerrada la ruta de la primera evaluación, esto es repaso.

El tema que no toca, y que aun así ha caído dos veces

no toca — y ha caído 2 de 111 escalón

Cae 2 de 11 años

«Hacia dónde escapa la cucaracha», «ajustar el gradiente para que apunte a la bisectriz».

La tercera evaluación es de los temas 1 a 5, y dos de los once años trajeron un ejercicio de varias variables: 2019-2020 y 2020-2021. Dos de once no es un hueco fiable, y por eso este bloque va al final y es corto. Está aquí por una razón concreta: si cae y no lo has visto nunca, son diez puntos que ni se intentan.

Las tres preguntas del gradiente, y nada más

Calcular el gradiente de una función de dos variables y usarlo para contestar hacia dónde crece más, cuánto, y por dónde no cambia.

leerEl gradiente contesta las tres preguntas

Con este apartado basta para los dos ejercicios. El tratamiento completo del tema está en la ruta de la cuarta evaluación, que es donde de verdad se examina.

ejemploEl gradiente contesta tres preguntas de golpe
El ejemplo de entrada, para llegar a los dos de examen sabiendo qué es cada cosa.
examenHacia dónde escapa la cucaracha
De 2019-2020, y es la pregunta directa: hacia dónde escapa, que es la dirección en que la temperatura baja más deprisa.
examenAjustar el gradiente para que apunte a la bisectriz
De 2020-2021, y va al revés: te dicen hacia dónde tiene que apuntar el gradiente y hay que ajustar los parámetros.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El gradiente contesta tres preguntas de golpe

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(x,y) = x^{2} + y^{2}$ , y el punto $P(3,4)$ . Calcular el gradiente en $P$ , la velocidad máxima de cambio, y una dirección en la que la función no cambie.

El gradiente, su módulo y una dirección de cambio nulo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dirección indica el vector gradiente en un punto?
02
El módulo del gradiente
COMP2
Con $\nabla f(3,4) = (6,8)$ , ¿cuánto vale la velocidad máxima de cambio en $P$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f_x = 2x$ y $f_y = 2y$ , luego $\nabla f(3,4) = (6,8)$ .
2. La velocidad máxima de cambio es $\lVert\nabla f\rVert = 10$ .
3. Una dirección de cambio nulo es la perpendicular: $(-8,6)$ , o su opuesta $(8,-6)$ .
4. Esa perpendicular es tangente a la curva de nivel, que aquí es la circunferencia $x^{2}+y^{2}=25$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que la derivada direccional te salga como el producto escalar del gradiente por un vector unitario, que es donde falla casi todo el mundo la primera vez.

lo tienes cuando:

Que ante «hacia dónde» contestes con el gradiente y ante «cuánto sube» con su módulo. No hace falta más para estos dos.

Los exámenes enteros, cronometrados

papel en blanco y reloj3 referencias

Sentarte con el papel en blanco, sin apuntes y con reloj, y hacer los seis ejercicios seguidos.

Aquí el simulacro pesa más que en las otras dos evaluaciones, porque son seis ejercicios de cinco temas distintos y la dificultad de verdad es cambiar de tema seis veces sin perder el hilo. Repartir el tiempo es parte del examen.

examen2025-2026 · 19 de enero de 2026
Empieza por el último. Cada página abre en blanco: las resoluciones están en la otra pestaña y conviene no tocarlas hasta terminar.
examen2024-2025 · 21 de enero de 2025
examen2023-2024 · 16 de enero de 2024

lo tienes cuando:

Hacer uno entero dentro del tiempo, sin abrir ninguna pista, y que al corregirlo no haya ningún ejercicio en blanco. Y saber, antes de empezar, en qué orden vas a atacarlos.

Lo que hay que llevar sabido

cinco temas de material cerrado5 referencias

El examen no deja formulario, y en el final entra todo. Las definiciones, los enunciados de los teoremas y las fórmulas de volumen se piden de memoria.

Es la evaluación con más material cerrado de las tres: cinco temas de definiciones, teoremas y fórmulas. Este bloque va el último porque es el repaso de la última hora, y son los cinco formularios de los cinco temas en fila.

leerLo que hay que llevar sabido
Integración: el teorema fundamental, la tabla de áreas y volúmenes con el criterio del eje, y cómo elegir método.
leerLo que hay que llevar sabido
Estudio local: los tres teoremas, Taylor con su resto y los seis desarrollos.
leerLo que hay que llevar sabido
Funciones reales: continuidad, Bolzano, Weierstrass y punto fijo.
leerLo que hay que llevar sabido
Sucesiones: las siete definiciones formales y las cuatro sumas.
leerLo que hay que llevar sabido
Complejos: las formas, el conjugado y las cinco traducciones de lugar geométrico.

lo tienes cuando:

Escribir en papel, de memoria y sin consultar nada, el teorema fundamental con sus dos partes, la tabla de volúmenes con el criterio del eje, los seis desarrollos y las siete definiciones de sucesiones. Si tienes que mirar una sola vez, todavía no.

Preparar la tercera evaluación

El ejercicio 1, que siempre es de complejos

Los que son un lugar geométrico

Reconocer el camino

El radio

Un punto de prueba

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El radio de la circunferencia

El área de la región

Verificar la región

Justificar el argumento

1 · La primera condición

2 · La segunda condición

3 · Cómo encajan

4 · El borde, que no es homogéneo

5 · El área

6 · Comprobación

Los que son una ecuación

Reconocer el camino

El módulo

El argumento

Justificar el argumento

Taylor de algo que no se puede calcular

Componer en vez de derivar

Reconocer el camino

El coeficiente de x²

La aproximación

Justificar el argumento

Taylor de una integral, una inversa o una implícita

Aproximar un número, con su cota

Áreas, volúmenes y lo que barre un recinto al girar

El área de un recinto

Reconocer el camino

El corte distinto de cero

El área

Justificar el argumento

El volumen al girar, y el eje que lo decide

Reconocer el camino

El volumen

Justificar el argumento

La longitud del arco, y lo que barre

El teorema fundamental, y las funciones integrales

Derivar una función integral

Reconocer el camino

La derivada

Justificar el argumento

Enunciar y demostrar Barrow

El valor medio, y la función media

Lo que vuelve de la segunda evaluación

Reconocer qué teorema te piden

Reconocer el camino

El extremo izquierdo

El extremo derecho

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La órbita, despejada

Los puntos de salida

Justificar el argumento

1 · Qué curva es, en realidad

2 · Dónde está la estación

3 · La tangente genérica

4 · Imponer la condición

5 · Las dos trayectorias

6 · Comprobación

Límites por sucesiones, e inversas

Reconocer el camino

Un valor de comprobación

Justificar el argumento

Optimización y tangentes impuestas

Reconocer el camino

El objetivo con una sola variable

Justificar el argumento

Las integrales sueltas, y las impropias

Elegir el método

Reconocer el camino

El apartado (d), el de los números feos

El apartado (i)

Justificar el argumento

1 · El patrón