tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · tercera evaluación

Tercera evaluación · 2015-2016

13 de enero de 2016 · 5 ejercicios · 50 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Dos definiciones, con su fórmula y su ejemploNúmeros complejos0 + 5 + 5 = 10 pts
Para cada uno de los siguientes conceptos, dar su definición (una frase), expresarlo mediante una expresión matemática y poner un ejemplo:

a) Logaritmo neperiano de un número complejo.

b) Derivada de una función real de variable real.
Definir, formular y ejemplificar los dos conceptos.
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La función valor medio de una quebradaIntegración2 + 5 + 3 = 10 pts
Sea la función continua $y(x)$ de la figura, definida en el intervalo $[1,3]$ . Se pide:

a) Calcular $\overline{y}(x)$ , la función valor medio de $y(x)$ .

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y concavidad/convexidad de $\overline{y}(x)$ .

c) Calcular el valor medio de $y(x)$ en el intervalo $\left[1,\tfrac32\right]$ .

Figura redibujada del enunciado original: y vale x menos uno entre 1 y 2, y vale 1 constante entre 2 y 3.

Calcular la función valor medio, estudiarla y evaluar en un intervalo.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El teorema del punto fijo, existencia y unicidadFunciones reales de una variable real0 + 2 + 8 = 10 pts
Enunciar y demostrar el Teorema del Punto Fijo (existencia y unicidad).
Enunciar y demostrar las dos partes.
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Invertir un coseno hiperbólico y derivar la inversaFunciones reales de una variable real0 + 7 + 3 = 10 pts
Calcular la función inversa $x(y)$ de la función $y(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{-2x}}{2}$ en el dominio $D = [0,\infty)$ , especificando el dominio $R$ de dicha función inversa. Calcular $\dfrac{dx}{dy}$ , expresando el resultado tanto en función de $x$ como en función de $y$ .
Calcular la inversa, su dominio y su derivada de las dos formas.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una integral con cambio dado y un sólido alrededor de y = 1Integración0 + 8 + 2 = 10 pts
a) Resolver la integral: $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}}$ (hacer el cambio $x = \tan z$ ).

b) Calcular el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región $D = \left\{f(x) \le 2\,\mathrm{sen}\,x,\ g(x) \ge 1,\ 0<x<\pi\right\}$ alrededor del eje $y=1$ . Representar el sólido.
Resolver la integral y calcular el volumen.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Tercera evaluación, 13 de enero de 2016 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos definiciones, con su fórmula y su ejemplo

COMP 25 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para cada uno de los siguientes conceptos, dar su definición (una frase), expresarlo mediante una expresión matemática y poner un ejemplo:

a) Logaritmo neperiano de un número complejo.

b) Derivada de una función real de variable real.

Definir, formular y ejemplificar los dos conceptos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tiene de particular el logaritmo de un complejo frente al de un real positivo?
02
El logaritmo de menos uno
COMP2
¿Cuál es la parte imaginaria del valor principal de $\ln(-1)$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado (b). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La frase. La derivada de $f$ en $a$ es la razón instantánea de cambio de $f$ en ese punto, o dicho geométricamente, la pendiente de la recta tangente a la gráfica en $\left(a,f(a) \right)$ .
2. La expresión. $f'(a) = \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ , o equivalentemente $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .
3. La condición. La derivada existe cuando ese límite existe y es finito. Si no, la función no es derivable en $a$ .
4. El ejemplo. Con $f(x)=x^{2}$ en $a=2$ : $\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^{2}-4}{h} = \lim_{h\to0}\left(4+h\right) = 4$ .
5. Y un contraejemplo, que redondea la respuesta: $f(x)=\left\lvert x\right\rvert$ en $a=0$ tiene derivadas laterales $-1$ y $+1$ : no coinciden, luego no es derivable.
Una definición completa lleva tres cosas: la frase, la fórmula y la condición de existencia. El examen pide además un ejemplo, y un contraejemplo lo mejora.

Resolución completa

Lo que se pide. Para cada concepto: una frase, una expresión matemática y un ejemplo. Cinco puntos por la terminología y cinco por la explicación formal.

1 · Apartado (a): logaritmo neperiano de un complejo

La frase. El logaritmo de $z \neq 0$ es cualquier número complejo cuya exponencial vale $z$ .

La expresión. Escribiendo $z$ en forma polar, $z = r\,\mathrm{e}^{i\theta}$ con $r = \left\lvert z\right\rvert>0$ :

\boxed{\ln z = \ln\left\lvert z\right\rvert +i\left(\arg z+2k\pi\right), \qquad k \in \mathbb{Z}}

Tres cosas que hay que decir:

Es multivaluado. Cada $z\neq0$ tiene infinitos logaritmos, separados por múltiplos de $2\pi i$ . La causa es que el argumento solo está definido salvo vueltas enteras.
El valor principal se obtiene tomando $\arg z \in (-\pi,\pi]$ , y se escribe $\mathrm{Ln}\,z$ .
$z=0$ queda fuera: no hay ningún $w$ con $\mathrm{e}^{w}=0$ .

El ejemplo. $z = -1$ , con $\left\lvert z\right\rvert = 1$ y $\arg z = \pi$ :

\ln(-1) = 0+i\left(\pi+2k\pi\right) = (2k+1)\pi i

\mathrm{Ln}(-1) = i\pi

Comprobación: $\mathrm{e}^{i\pi} = -1$ ✔ —la identidad de Euler—. Y también $\mathrm{e}^{3i\pi} = -1$ ✔, que es el siguiente valor.

Y lo que esto arregla: en $\mathbb{R}$ , $\ln(-1)$ no existe. En $\mathbb{C}$ existe, y hay infinitos.

2 · Un matiz que suma

La propiedad $\ln(ab) = \ln a+\ln b$ sigue valiendo, pero como igualdad entre conjuntos, no entre valores principales. Por ejemplo:

\mathrm{Ln}\left[(-1)\cdot(-1)\right] = \mathrm{Ln}(1) = 0

\mathrm{Ln}(-1)+\mathrm{Ln}(-1) = i\pi+i\pi = 2i\pi \neq 0

Los dos son logaritmos de 1, pero no el mismo. Señalarlo demuestra haber entendido la multivaluación.

3 · Apartado (b): derivada de una función real

La frase. La derivada de $f$ en $a$ es la razón instantánea de cambio de $f$ en ese punto; geométricamente, la pendiente de la recta tangente a la gráfica en $\left(a,f(a)\right)$ .

La expresión.

\boxed{f'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}

La condición. La derivada existe cuando ese límite existe y es finito. Si los límites laterales no coinciden, o si el límite es infinito, la función no es derivable en $a$ .

El ejemplo. $f(x) = x^{2}$ en $a=2$ :

f'(2) = \lim_{h\to0}\frac{(2+h)^{2}-2^{2}}{h} = \lim_{h\to0}\frac{4h+h^{2}}{h} = \lim_{h\to0}\left(4+h\right) = 4

La recta tangente en $(2,4)$ es $y = 4x-4$ .

4 · El contraejemplo que redondea

$f(x) = \left\lvert x\right\rvert$ en $a=0$ :

\lim_{h\to0^{+}}\frac{\left\lvert h\right\rvert}{h} = +1, \qquad \lim_{h\to0^{-}}\frac{\left\lvert h\right\rvert}{h} = -1

Las dos derivadas laterales existen pero no coinciden: no es derivable, aunque sí es continua.

La implicación va en un solo sentido:

\text{derivable en } a \;\Longrightarrow\; \text{continua en } a

y no al revés. Invertirla es el error más repetido de todo el tema.

5 · Cómo se estructura una respuesta así

El enunciado marca tres piezas por concepto, y conviene entregarlas separadas y en ese orden:

pieza	logaritmo complejo	derivada
frase	«el complejo cuya exponencial es $z$ »	«pendiente de la tangente»
expresión	$\ln\left\lvert z\right\rvert+i(\arg z+2k\pi)$	$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
ejemplo	$\mathrm{Ln}(-1)=i\pi$	$f=x^{2}$ , $f'(2)=4$

Y en los dos casos, el punto que separa una respuesta correcta de una completa es el matiz: la multivaluación en el primero, la existencia del límite en el segundo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Tercera evaluación, 13 de enero de 2016 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La función valor medio de una quebrada

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función continua $y(x)$ de la figura, definida en el intervalo $[1,3]$ . Se pide:

a) Calcular $\overline{y}(x)$ , la función valor medio de $y(x)$ .

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y concavidad/convexidad de $\overline{y}(x)$ .

c) Calcular el valor medio de $y(x)$ en el intervalo $\left[1,\tfrac32\right]$ .

Figura redibujada del enunciado original: y vale x menos uno entre 1 y 2, y vale 1 constante entre 2 y 3.

Calcular la función valor medio, estudiarla y evaluar en un intervalo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es la «función valor medio» $\overline y(x)$ ?
02
El valor medio en el intervalo pequeño
COMP2
¿Cuál es el valor medio de $y$ en $\left[1,\frac32\right]$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor medio en todo el intervalo
COMP2
¿Cuál es el valor medio de $y$ en $[1,3]$ entero?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de $\overline y$ . Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $[1,2]$ , con $y(t)=t-1$ : $\int_1^{x}(t-1)dt = \frac{(x-1)^{2}}{2}$ , luego $\overline y(x) = \frac{x-1}{2}$ : una recta.
2. En $[2,3]$ , sumando el trozo constante: $\int_1^{x}y = \frac12+(x-2)$ , luego $\overline y(x) = \frac{x-\frac32}{x-1} = 1-\frac{1/2}{x-1}$ .
3. Crece en todo el intervalo: en el primer tramo con pendiente constante $\frac12$ , y en el segundo con $\overline y' = \frac{1/2}{(x-1)^{2}} > 0$ .
4. La concavidad: en $[1,2]$ es una recta, así que $\overline y''=0$ ; en $[2,3]$ , $\overline y'' = -\frac{1}{(x-1)^{3}} < 0$ : cóncava.
5. Y encaja en $x=2$ : los dos trozos valen $\frac12$ y las dos derivadas valen $\frac12$ . $\overline y$ es de clase $C^{1}$ aunque $y$ tenga un pico ahí.
Integrar suaviza y promediar también. El pico de $y$ reaparece en $\overline y''$ , un orden más arriba.

Resolución completa

Datos. La quebrada de la figura: $y(x) = x-1$ en $[1,2]$ e $y(x)=1$ en $[2,3]$ .

1 · Qué es la función valor medio

\overline y(x) = \frac{1}{x-1}\int_1^{x}y(t)\,dt, \qquad x \in (1,3]

Es el promedio de $y$ desde el principio hasta $x$ . En $x=1$ la expresión da $\frac00$ , pero el límite existe y vale $y(1)=0$ : se extiende por continuidad.

2 · Apartado (a): los dos tramos

Tramo $1 \le x \le 2$ , con $y(t)=t-1$ :

\int_1^{x}(t-1)\,dt = \frac{(x-1)^{2}}{2}

\overline y(x) = \frac{1}{x-1}\cdot\frac{(x-1)^{2}}{2} = \frac{x-1}{2}

Tramo $2 \le x \le 3$ , sumando el trozo constante:

\int_1^{x}y = \underbrace{\frac12}_{[1,2]}+\underbrace{(x-2)}_{[2,x]} = x-\frac32

\overline y(x) = \frac{x-\frac32}{x-1}

\boxed{\overline y(x) = \begin{cases} \dfrac{x-1}{2} & 1 \le x \le 2\\[10pt] \dfrac{x-\frac32}{x-1} & 2 \le x \le 3 \end{cases}}

Encaja en $x=2$ : el primero da $\frac12$ y el segundo $\frac{1/2}{1} = \frac12$ ✔

3 · Apartado (b): crecimiento

En $[1,2]$ : es una recta de pendiente $\frac12$ , así que $\overline y' = \frac12 > 0$ : crece.

En $[2,3]$ : conviene reescribirla,

\overline y(x) = \frac{(x-1)-\frac12}{x-1} = 1-\frac{1}{2(x-1)}

\overline y'(x) = \frac{1}{2(x-1)^{2}} > 0

crece también.

\boxed{\overline y \text{ es creciente en todo } (1,3]}

Y no tiene extremos interiores: sus valores extremos están en la frontera, $\overline y(1)=0$ y $\overline y(3) = \frac34$ .

4 · Apartado (b): concavidad

En $[1,2]$ : recta, luego $\overline y'' = 0$ . Ni cóncava ni convexa, o las dos a la vez según el convenio.

En $[2,3]$ :

\overline y''(x) = -\frac{1}{(x-1)^{3}} < 0

\boxed{\overline y \text{ es CÓNCAVA en } (2,3)}

5 · El punto $x=2$ , que es lo interesante

	por la izquierda	por la derecha
$\overline y$	$\frac12$	$\frac12$
$\overline y'$	$\frac12$	$\frac{1}{2\cdot1^{2}} = \frac12$
$\overline y''$	$0$	$-1$

La función y su primera derivada encajan; la segunda salta.

Y eso tiene una lectura: $y$ tiene un pico en $x=2$ —sus derivadas laterales valen 1 y 0—, y al promediar ese pico sube un escalón: aparece en $\overline y''$ en vez de en $\overline y'$ .

Promediar suaviza, igual que integrar. $\overline y$ es de clase $C^{1}$ pero no $C^{2}$ .

Figura nuestra. En azul de trazos la funcion original y en verde su funcion valor medio. El punto rojo marca x igual a dos, donde la verde cambia de recta a curva sin romper la pendiente.

6 · Apartado (c)

\overline y\!\left(\tfrac32\right) = \frac{\frac32-1}{2} = \frac14

\boxed{\text{El valor medio de } y \text{ en } \left[1,\tfrac32\right] \text{ es } \frac14 = 0{,}25}

Directamente, sin la fórmula del apartado (a):

\frac{1}{\frac32-1}\int_1^{3/2}(t-1)\,dt = 2\cdot\frac{(1/2)^{2}}{2} = 2\cdot\frac18 = \frac14 \quad\checkmark

7 · Comprobación

En un tramo lineal, el valor medio es la media de los extremos:

\frac{y(1)+y\left(\frac32\right)}{2} = \frac{0+0{,}5}{2} = 0{,}25 \quad\checkmark

El valor medio total:

\overline y(3) = \frac{3-\frac32}{3-1} = \frac{3/2}{2} = \frac34

y por áreas: triángulo $\frac12$ más rectángulo $1$ , dividido entre 2: $\frac{1{,}5}{2} = 0{,}75$ ✔

Cotas. Todo valor medio de $y$ tiene que estar entre su mínimo y su máximo:

0 \le \overline y(x) \le 1 \quad\text{para todo } x \quad\checkmark

Y en efecto $\overline y$ crece de 0 a $0{,}75$ sin llegar nunca a 1: no puede, porque siempre arrastra el tramo inicial donde $y$ vale poco.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Tercera evaluación, 13 de enero de 2016 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · Una versión de la misma pregunta cayó en la tercera evaluación de 2017-2018 · El examen no publica solución: la demostración es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El teorema del punto fijo, existencia y unicidad

COMP 22 puntos por calcular
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Enunciar y demostrar el Teorema del Punto Fijo (existencia y unicidad).

Enunciar y demostrar las dos partes.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué teorema previo da la existencia, y cuál la unicidad?
02
Una contracción concreta
COMP2
Con $f(x) = \frac{x}{4}+3$ en $[3,5]$ , ¿cuál es el punto fijo?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración de la unicidad. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Suponer dos puntos fijos distintos: $p \neq q$ con $f(p)=p$ y $f(q)=q$ .
2. Aplicar el teorema del valor medio a $f$ en el intervalo de extremos $p$ y $q$ : existe $\xi$ entre ellos con $f(p)-f(q) = f'(\xi)\left(p-q\right)$ .
3. Sustituir los puntos fijos: el primer miembro es $p-q$ , luego $p-q = f'(\xi)\left(p-q\right)$ .
4. Tomar valores absolutos y usar la hipótesis $\left\lvert f'\right\rvert \le k < 1$ : $\left\lvert p-q\right\rvert \le k\left\lvert p-q\right\rvert < \left\lvert p-q\right\rvert$ .
5. Contradicción: un número positivo no puede ser menor que sí mismo. Luego $p=q$ . $\blacksquare$
La contradicción sale de dividir entre $\left\lvert p-q\right\rvert$ , que es legítimo porque se ha supuesto $p\neq q$ . Ese detalle es la bisagra del argumento.

Resolución completa

Lo que se pide. Dos puntos por el enunciado y ocho por la demostración, que tiene dos mitades.

1 · El enunciado

Teorema del punto fijo. Sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ continua con $f\left([a,b]\right) \subseteq [a,b]$ . Entonces:

(existencia) Existe al menos un $c \in [a,b]$ con $f(c)=c$ .

(unicidad) Si además $f$ es derivable en $(a,b)$ y existe $k<1$ con $\left\lvert f'(x)\right\rvert \le k$ para todo $x \in (a,b)$ , ese punto fijo es único.

Las hipótesis, una por una:

hipótesis	para qué
$f$ continua	existencia (Bolzano)
$f\left([a,b]\right)\subseteq[a,b]$	existencia: fija los signos en los extremos
$\left\lvert f'\right\rvert \le k<1$	solo unicidad

2 · Existencia

La idea: convertir « $f(x)=x$ » en « $g(x)=0$ » y usar Bolzano.

g(x) = f(x)-x

continua en $[a,b]$ por serlo $f$ .

En el extremo izquierdo. Como $f(a) \in [a,b]$ , se tiene $f(a)\ge a$ :

g(a) = f(a)-a \ge 0

En el derecho. Como $f(b) \in [a,b]$ , se tiene $f(b)\le b$ :

g(b) = f(b)-b \le 0

Dos casos. Si $g(a)=0$ o $g(b)=0$ , el punto fijo es $a$ o $b$ y hemos terminado. Si no, $g(a)>0>g(b)$ y el teorema de Bolzano da $c \in (a,b)$ con

g(c) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \boxed{f(c) = c}

3 · Unicidad

Por reducción al absurdo. Supongamos dos puntos fijos distintos, $p \neq q$ , con $f(p)=p$ y $f(q)=q$ .

Como $f$ es continua en $[p,q]$ y derivable en $(p,q)$ , el teorema del valor medio de Lagrange da un $\xi$ entre ellos con

f(p)-f(q) = f'(\xi)\left(p-q\right)

Y como son puntos fijos, el primer miembro es $p-q$ :

p-q = f'(\xi)\left(p-q\right)

Tomando valores absolutos y usando la hipótesis:

\left\lvert p-q\right\rvert = \left\lvert f'(\xi)\right\rvert\left\lvert p-q\right\rvert \le k\left\lvert p-q\right\rvert

Y como $p\neq q$ , se puede dividir entre $\left\lvert p-q\right\rvert>0$ :

1 \le k < 1

Contradicción. Luego $p=q$ y el punto fijo es único. $\blacksquare$

4 · Sin la condición sobre la derivada no hay unicidad

$f(x) = \sqrt x$ en $[0,1]$ :

es continua ✔
$f\left([0,1]\right) = [0,1]$ ✔

así que existe punto fijo. Pero hay dos: $x=0$ y $x=1$ .

¿Por qué falla? Porque

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x} \xrightarrow[x\to0^{+}]{} +\infty

No hay ningún $k<1$ que acote la derivada en todo el intervalo. La hipótesis de unicidad no se cumple, y el resultado tampoco.

5 · La versión sin derivadas

Conviene mencionar que la unicidad no necesita que $f$ sea derivable. Basta con que sea contractiva:

\left\lvert f(x)-f(y)\right\rvert \le k\left\lvert x-y\right\rvert, \qquad k<1

La demostración es la misma sin el paso de Lagrange:

\left\lvert p-q\right\rvert = \left\lvert f(p)-f(q)\right\rvert \le k\left\lvert p-q\right\rvert

Y esta versión es la que se generaliza —el teorema de la aplicación contractiva de Banach— y la que sostiene los métodos numéricos de punto fijo.

6 · Para qué sirve

El teorema no solo dice que la solución existe: da un método para encontrarla. Iterando $x_{n+1} = f(x_n)$ desde cualquier punto de partida,

\left\lvert x_n-c\right\rvert \le k^{n}\left\lvert x_0-c\right\rvert \xrightarrow[n\to\infty]{} 0

El error se multiplica por $k$ en cada paso.

7 · Comprobación con un caso concreto

$f(x) = \frac x4+3$ en $[3,5]$ :

Hipótesis. Es creciente, así que $f\left([3,5]\right) = [3{,}75;\ 4{,}25] \subseteq [3,5]$ ✔ Y $\left\lvert f'\right\rvert = \frac14 < 1$ ✔

El punto fijo: $x = \frac x4+3$ da $x=4$ , que está en el interior ✔

La iteración, empezando en $x_0 = 5$ :

$n$	$x_n$	error
0	$5$	$1$
1	$4{,}25$	$0{,}25$
2	$4{,}0625$	$0{,}0625$
3	$4{,}015625$	$0{,}015625$

El error se divide entre 4 en cada paso, exactamente como predice $k = \frac14$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Tercera evaluación, 13 de enero de 2016 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Invertir un coseno hiperbólico y derivar la inversa

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la función inversa $x(y)$ de la función $y(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{-2x}}{2}$ en el dominio $D = [0,\infty)$ , especificando el dominio $R$ de dicha función inversa. Calcular $\dfrac{dx}{dy}$ , expresando el resultado tanto en función de $x$ como en función de $y$ .

Calcular la inversa, su dominio y su derivada de las dos formas.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué función es $y(x)$ , y por qué el enunciado restringe a $D = [0,\infty)$ ?
02
El extremo del recorrido
COMP2
El dominio de la inversa es $R = [m,\infty)$ . ¿Cuánto vale $m$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La derivada de la inversa
COMP2
¿Cuánto vale $\frac{dx}{dy}$ en $y=2$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo de la inversa. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Reconocer la función: $y = \frac{\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{-2x}}{2} = \mathrm{ch}(2x)$ , par y por tanto no inyectiva en $\mathbb{R}$ .
2. Multiplicar por $2\mathrm{e}^{2x}$ para quitar el exponente negativo: con $u = \mathrm{e}^{2x}$ queda $u^{2}-2yu+1 = 0$ .
3. Resolver: $u = y\pm\sqrt{y^{2}-1}$ . Y como $x\ge0$ implica $u = \mathrm{e}^{2x} \ge 1$ , hay que quedarse con el signo más.
4. Despejar $x$ : $x = \frac12\ln\left(y+\sqrt{y^{2}-1}\right)$ , para $y \in [1,\infty)$ .
5. La derivada: $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\,\mathrm{sh}(2x)}$ en función de $x$ , y $\frac{1}{2\sqrt{y^{2}-1}}$ en función de $y$ .
Los dos signos de la raíz son las dos mitades de la parábola hiperbólica. Elegir uno es la restricción del dominio, escrita en la fórmula.

Resolución completa

Datos. $y(x) = \frac{\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{-2x}}{2}$ en $D = [0,\infty)$ .

1 · Qué función es

y(x) = \mathrm{ch}(2x)

el coseno hiperbólico del doble. Y es par:

y(-x) = \frac{\mathrm{e}^{-2x}+\mathrm{e}^{2x}}{2} = y(x)

Por eso el enunciado restringe a $x\ge0$ : en todo $\mathbb{R}$ cada valor tendría dos preimágenes y no habría inversa.

2 · El recorrido $R$

y'(x) = \mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{-2x} = 2\,\mathrm{sh}(2x)

En $[0,\infty)$ esto es $\ge0$ , y solo se anula en $x=0$ : $y$ es estrictamente creciente, luego inyectiva.

y(0) = 1, \qquad \lim_{x\to+\infty}y(x) = +\infty

\boxed{R = [1,\infty)}

3 · Despejar la inversa

El truco es quitar el exponente negativo. Multiplicando por $2\,\mathrm{e}^{2x}$ :

2y\,\mathrm{e}^{2x} = \mathrm{e}^{4x}+1

Con $u = \mathrm{e}^{2x}$ , queda una ecuación de segundo grado:

u^{2}-2yu+1 = 0 \;\Longrightarrow\; u = \frac{2y\pm\sqrt{4y^{2}-4}}{2} = y\pm\sqrt{y^{2}-1}

Cuál de los dos signos. Como $x\ge0$ :

u = \mathrm{e}^{2x} \ge 1

Y de las dos raíces, $y-\sqrt{y^{2}-1} \le 1$ mientras que $y+\sqrt{y^{2}-1} \ge 1$ . Hay que quedarse con el signo más.

—De hecho las dos raíces son inversas entre sí: su producto vale 1, por Vieta. La descartada corresponde a la rama $x \le 0$ —.

\mathrm{e}^{2x} = y+\sqrt{y^{2}-1}

\boxed{x(y) = \frac12\ln\left(y+\sqrt{y^{2}-1}\right), \qquad y \in [1,\infty)}

que es $\frac12\,\mathrm{argch}\,y$ .

4 · La derivada, en función de $x$

Por la regla de la derivada de la inversa:

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}

\boxed{\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\,\mathrm{sh}(2x)} = \frac{1}{\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{-2x}}}

Válido para $x>0$ . En $x=0$ el denominador se anula: ahí la inversa no es derivable, porque la función original tiene tangente horizontal y su reflejo tiene tangente vertical.

5 · La derivada, en función de $y$

Usando la identidad hiperbólica $\mathrm{ch}^{2}-\mathrm{sh}^{2} = 1$ :

\mathrm{sh}(2x) = \sqrt{\mathrm{ch}^{2}(2x)-1} = \sqrt{y^{2}-1}

—con signo positivo, porque $x\ge0$ implica $\mathrm{sh}(2x)\ge0$ —.

\boxed{\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\sqrt{y^{2}-1}}, \qquad y > 1}

6 · Comprobación

Derivando directamente la fórmula de $x(y)$ :

\frac{dx}{dy} = \frac12\cdot \frac{1+\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}}}{y+\sqrt{y^{2}-1}} = \frac12\cdot \frac{\frac{\sqrt{y^{2}-1}+y}{\sqrt{y^{2}-1}}}{y+\sqrt{y^{2}-1}} = \frac{1}{2\sqrt{y^{2}-1}} \quad\checkmark

El paréntesis se cancela entero: la fórmula es la misma por los dos caminos.

Numérica en un punto. Con $x=1$ :

y = \mathrm{ch}\,2 = 3{,}7622

\frac{dy}{dx} = 2\,\mathrm{sh}\,2 = 7{,}2537

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\sqrt{3{,}7622^{2}-1}} = \frac{1}{2\sqrt{13{,}154}} = \frac{1}{7{,}2537} = 0{,}13786

Y el producto de las dos derivadas vale $1$ ✔

De la inversa, comprobando que deshace. Con $y = 3{,}7622$ :

x = \frac12\ln\left(3{,}7622+\sqrt{13{,}154}\right) = \frac12\ln\left(7{,}3891\right) = \frac12\cdot2 = 1 \quad\checkmark

—y $7{,}3891 = \mathrm{e}^{2}$ , como debía—.

En el borde. $y=1$ da $x = \frac12\ln(1+0) = 0$ ✔ y allí $\frac{dx}{dy}$ se dispara, coherente con la tangente vertical.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 · Tercera evaluación, 13 de enero de 2016 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una integral con cambio dado y un sólido alrededor de y = 1

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Resolver la integral: $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}}$ (hacer el cambio $x = \tan z$ ).

b) Calcular el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región $D = \left\{f(x) \le 2\,\mathrm{sen}\,x,\ g(x) \ge 1,\ 0<x<\pi\right\}$ alrededor del eje $y=1$ . Representar el sólido.

Resolver la integral y calcular el volumen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el cambio $x = \tan z$ resuelve la integral de (a)?
02
La integral
COMP2
¿Cuánto vale la integral del apartado (a)? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuál es el volumen del sólido del apartado (b)? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el planteamiento de (b). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Leer el recinto. $D$ es la zona entre la recta $y=1$ por abajo y la curva $y = 2\,\mathrm{sen}\,x$ por arriba, dentro de $(0,\pi)$ .
2. Localizar dónde existe: hace falta $2\,\mathrm{sen}\,x \ge 1$ , es decir $x \in \left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]$ . Fuera de ahí la curva va por debajo de la recta y el recinto está vacío.
3. El eje de giro es $y=1$ , que es justamente el borde inferior del recinto: el sólido es macizo, sin hueco.
4. El radio de cada disco es la distancia al eje: $2\,\mathrm{sen}\,x-1$ .
5. Integrar: $V = \pi\int_{\pi/6}^{5\pi/6} \left(2\,\mathrm{sen}\,x-1\right)^{2}dx = 2\pi^{2}-3\sqrt3\,\pi$ .
Girar alrededor de $y=k$ en vez de $y=0$ solo afecta al radio. Es la traslación más barata que hay.

Resolución completa

Datos. Una integral con el cambio indicado y un sólido de revolución alrededor de una recta que no es un eje coordenado.

1 · Apartado (a): el cambio

x = \tan z, \qquad dx = \sec^{2}z\,dz

Y la identidad clave:

x^{2}+1 = \tan^{2}z+1 = \sec^{2}z

\left(x^{2}+1\right)^{3/2} = \left(\sec^{2}z\right)^{3/2} = \left\lvert\sec z\right\rvert^{3} = \sec^{3}z

—el valor absoluto se quita porque el cambio se hace en $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ , donde el coseno es positivo—.

2 · La integral se simplifica del todo

\int\frac{\sec^{2}z\,dz}{\sec^{3}z} = \int\frac{dz}{\sec z} = \int\cos z\,dz = \mathrm{sen}\,z

Los límites:

$x$	$z = \arctan x$
$-1$	$-\frac{\pi}{4}$
$1$	$\frac{\pi}{4}$

\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}} = \left[\mathrm{sen}\,z\right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \frac{\sqrt2}{2}-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)

\boxed{= \sqrt2 \approx 1{,}4142}

3 · Comprobación de (a)

Deshaciendo el cambio, la primitiva en función de $x$ es

\mathrm{sen}\,z = \frac{\tan z}{\sec z} = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}

\left[\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2} = \sqrt2 \quad\checkmark

Derivando esa primitiva, con la regla del cociente:

\frac{d}{dx}\left[x\left(1+x^{2}\right)^{-1/2}\right] = \left(1+x^{2}\right)^{-1/2}-x^{2}\left(1+x^{2}\right)^{-3/2}

= \frac{\left(1+x^{2}\right)-x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{3/2}} = \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{3/2}} \quad\checkmark

Por acotación. El integrando vale 1 en $x=0$ y $\frac{1}{2\sqrt2} = 0{,}354$ en los extremos, así que la integral está entre $2\cdot0{,}354 = 0{,}71$ y $2\cdot1 = 2$ :

0{,}71 < 1{,}414 < 2 \quad\checkmark

4 · Apartado (b): el recinto

D = \left\{(x,y) : 1 \le y \le 2\,\mathrm{sen}\,x,\ 0<x<\pi\right\}

Dónde existe. Hace falta $2\,\mathrm{sen}\,x \ge 1$ :

\mathrm{sen}\,x \ge \frac12 \;\Longrightarrow\; \frac{\pi}{6} \le x \le \frac{5\pi}{6}

Fuera de ese tramo la curva va por debajo de la recta y el recinto está vacío. Localizar esos límites es la mitad del apartado.

Figura nuestra: el enunciado pide representar el solido. Sombreada la region que gira, y en rojo de trazos el eje de giro, que es tambien su borde inferior. Al girar se obtiene un cuerpo con forma de bala roma, macizo y afilado en los dos extremos.

5 · El radio y la integral

El eje de giro es $y=1$ , que es el borde inferior del recinto. Así que el sólido es macizo: cada corte es un disco lleno, sin hueco.

\text{radio} = 2\,\mathrm{sen}\,x-1

V = \pi\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\left(2\,\mathrm{sen}\,x-1\right)^{2}dx

Girar alrededor de $y=1$ en vez de $y=0$ solo cambia el radio. Los límites de integración son los mismos: dependen de dónde está el recinto, no del eje.

6 · Calcular

\left(2\,\mathrm{sen}\,x-1\right)^{2} = 4\,\mathrm{sen}^{2}x-4\,\mathrm{sen}\,x+1

Con $\mathrm{sen}^{2}x = \frac{1-\cos2x}{2}$ :

= 2-2\cos2x-4\,\mathrm{sen}\,x+1 = 3-2\cos2x-4\,\mathrm{sen}\,x

\int\left(3-2\cos2x-4\,\mathrm{sen}\,x\right)dx = 3x-\mathrm{sen}\,2x+4\cos x

En $x = \frac{5\pi}{6}$ , con $\mathrm{sen}\frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt3}{2}$ y $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}$ :

\frac{5\pi}{2}+\frac{\sqrt3}{2}-2\sqrt3 = \frac{5\pi}{2}-\frac{3\sqrt3}{2}

En $x = \frac{\pi}{6}$ , con $\mathrm{sen}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}$ y $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt3}{2}$ :

\frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt3}{2}+2\sqrt3 = \frac{\pi}{2}+\frac{3\sqrt3}{2}

La diferencia:

\left(\frac{5\pi}{2}-\frac{3\sqrt3}{2}\right) -\left(\frac{\pi}{2}+\frac{3\sqrt3}{2}\right) = 2\pi-3\sqrt3

\boxed{V = \pi\left(2\pi-3\sqrt3\right) = 2\pi^{2}-3\sqrt3\,\pi \approx 3{,}4150}

7 · Comprobación de (b)

Que el resultado es positivo, y por poco:

2\pi = 6{,}2832, \qquad 3\sqrt3 = 5{,}1962

2\pi-3\sqrt3 = 1{,}0870 > 0 \quad\checkmark

Por acotación. El sólido cabe dentro del cilindro de radio 1 —el máximo de $2\,\mathrm{sen}\,x-1$ , alcanzado en $x=\frac{\pi}{2}$ — y longitud $\frac{2\pi}{3}$ :

\pi\cdot1^{2}\cdot\frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi^{2}}{3} \approx 6{,}58

3{,}42 < 6{,}58 \quad\checkmark

Ocupa el 52 % del cilindro, coherente con un cuerpo que se afila hasta un punto en los dos extremos.

En el centro. En $x = \frac{\pi}{2}$ el radio vale $2-1 = 1$ , el mayor posible ✔ Y en $x = \frac{\pi}{6}$ y $x = \frac{5\pi}{6}$ vale 0: el sólido acaba en punta ✔

Numérica. Sumando cien discos entre $\frac{\pi}{6}$ y $\frac{5\pi}{6}$ sale $3{,}4148$ , frente a los $3{,}4150$ exactos ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Tercera evaluación · 2015-2016

Reconocer el camino

El logaritmo de menos uno

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): logaritmo neperiano de un complejo

2 · Un matiz que suma

3 · Apartado (b): derivada de una función real

4 · El contraejemplo que redondea

5 · Cómo se estructura una respuesta así

Reconocer el camino

El valor medio en el intervalo pequeño

El valor medio en todo el intervalo

Justificar el argumento

1 · Qué es la función valor medio

2 · Apartado (a): los dos tramos

3 · Apartado (b): crecimiento

4 · Apartado (b): concavidad

5 · El punto x=2x=2x=2, que es lo interesante

6 · Apartado (c)

7 · Comprobación

Reconocer el camino

Una contracción concreta

Justificar el argumento

1 · El enunciado

2 · Existencia

3 · Unicidad

4 · Sin la condición sobre la derivada no hay unicidad

5 · La versión sin derivadas

6 · Para qué sirve

7 · Comprobación con un caso concreto

Reconocer el camino

El extremo del recorrido

La derivada de la inversa

Justificar el argumento

1 · Qué función es

2 · El recorrido RRR

3 · Despejar la inversa

4 · La derivada, en función de xxx

5 · La derivada, en función de yyy

6 · Comprobación

Reconocer el camino

La integral

El volumen

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): el cambio

2 · La integral se simplifica del todo

3 · Comprobación de (a)

4 · Apartado (b): el recinto

5 · El radio y la integral

6 · Calcular

7 · Comprobación de (b)

5 · El punto $x=2$ , que es lo interesante

2 · El recorrido $R$

4 · La derivada, en función de $x$

5 · La derivada, en función de $y$