tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · tercera evaluación

Tercera evaluación · 2023-2024

16 de enero de 2024 · 5 ejercicios · 50 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una tangente que vale i/2 y un cociente de módulosNúmeros complejos1 + 6 + 3 = 10 pts
a) Resolver la ecuación $\mathrm{tg}(z) = \dfrac{i}{2}$ , $z \in \mathbb{C}$ .

b) Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición $\left|\dfrac{z+i}{z-i}\right| > 2$ .
Resolver la ecuación y describir la región.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El polinomio de la inversa, leído en una gráficaEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 6 + 3 = 10 pts
En la siguiente figura se muestran una función $f(x)$ y sus respectivas derivadas. Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de la función inversa de $f(x)$ en el punto $x=2$ .

Figura redibujada del enunciado original. Los tres trazos son los del examen: negro continuo la funcion, rojo a trazos la primera derivada y azul punteado la segunda. El punto violeta marca el valor que hay que leer.

Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de $f^{-1}$ en $x=2$ .
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una función integral a la que se le resta una exponencialIntegración1 + 6 + 3 = 10 pts
Sea la función $f(x) = \displaystyle\int_0^{x^{2}}\mathrm{e}^{t^{2}}dt-\mathrm{e}^{x^{4}}$ . Estudiar el crecimiento/decrecimiento y los extremos relativos de $f(x)$ .
Estudiar crecimiento y extremos.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
De dónde sale el πab del área de la elipseIntegración1 + 8 + 1 = 10 pts
Utilizando integración calcular el área de una elipse de semiejes $a$ y $b$ .
Calcular el área por integración.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una partícula, y cuatro teoremas que hay que saber cuándo NO se aplicanIntegración2 + 4 + 4 = 10 pts
La posición de una partícula que se mueve en una dimensión viene dada por la función $x(t)$ , donde $x$ se mide en metros y $t$ en segundos. En la figura se muestra la velocidad $v(t)$ de la partícula en función del tiempo:

Figura redibujada del enunciado original. La velocidad es una quebrada con vertices en cero coma cero, quince coma quince, cuarenta coma menos diez y cincuenta coma diez.

Sabiendo que inicialmente $x(0)=0$ , contestar razonadamente las siguientes cuestiones:

a) ¿En qué posición se encuentra la partícula en el instante $t=50$ s?

b) ¿Cuándo se obtiene un espacio recorrido de 275 m?

c) Calcular la velocidad media de la partícula en el intervalo $[0,50]$ . ¿Es aplicable el teorema de la media para la función $v(t)$ en el intervalo $[0,50]$ ? En el caso de que el teorema pueda aplicarse, ¿en cuántos puntos se cumpliría? Indicarlos de forma aproximada en la figura.

d) ¿Es aplicable el teorema de Lagrange (Teorema del Valor Medio) para la función $v(t)$ en el intervalo $[0,50]$ ? Encontrar, si existen, los puntos en los que se cumple dicho teorema.

e) ¿Es aplicable el teorema de Lagrange (Teorema del Valor Medio) para la función $x(t)$ en el intervalo $[0,50]$ ? En el caso de que el teorema pueda aplicarse, ¿en cuántos puntos se cumpliría? Indicarlos de forma aproximada en la figura.
Responder los cinco apartados.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Tercera evaluación, 16 de enero de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una tangente que vale i/2 y un cociente de módulos

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Resolver la ecuación $\mathrm{tg}(z) = \dfrac{i}{2}$ , $z \in \mathbb{C}$ .

b) Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición $\left|\dfrac{z+i}{z-i}\right| > 2$ .

Resolver la ecuación y describir la región.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para resolver $\mathrm{tg}(z) = \frac i2$ , ¿por dónde se empieza?
02
La parte imaginaria de las soluciones
COMP2
Todas las soluciones tienen la misma parte imaginaria. ¿Cuál es?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El radio de la región de (b)
COMP2
La condición del apartado (b) define un disco. ¿Cuál es su radio?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descripción de la región. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Traducir el cociente. $\left|\frac{z+i}{z-i}\right|>2$ equivale a $\left|z+i\right| > 2\left|z-i\right|$ , siempre que $z \neq i$ .
2. Interpretarlo. Es el conjunto de puntos cuya distancia a $-i$ es más del doble que su distancia a $i$ : una circunferencia de Apolonio y su interior.
3. Operar. Elevando al cuadrado y completando cuadrados sale $x^{2}+\left(y-\frac53\right)^{2} < \frac{16}{9}$ .
4. Describirlo. Disco abierto de centro $\left(0,\frac53\right)$ y radio $\frac43$ , que corta al eje imaginario entre $\frac13$ y $3$ .
5. Y quitar el punto $z=i$ , donde el cociente no está definido: está dentro del disco, porque $\left(1-\frac53\right)^{2} = \frac49 < \frac{16}{9}$ .
El punto excluido está dentro, así que la región no es un disco sin más: es un disco perforado. Es el detalle que casi nadie escribe.

Resolución completa

Datos. Una ecuación con la tangente compleja y una desigualdad entre módulos.

1 · Apartado (a): la tangente en $\mathbb{C}$

En variable compleja, seno y coseno se definen con exponenciales:

\sin z = \frac{\mathrm{e}^{iz}-\mathrm{e}^{-iz}}{2i}, \qquad \cos z = \frac{\mathrm{e}^{iz}+\mathrm{e}^{-iz}}{2}

\mathrm{tg}\,z = \frac{1}{i}\cdot \frac{\mathrm{e}^{iz}-\mathrm{e}^{-iz}}{\mathrm{e}^{iz}+\mathrm{e}^{-iz}}

Multiplicando arriba y abajo por $\mathrm{e}^{iz}$ y llamando $w = \mathrm{e}^{2iz}$ :

\mathrm{tg}\,z = -i\,\frac{w-1}{w+1}

2 · Resolver

-i\,\frac{w-1}{w+1} = \frac i2 \;\Longrightarrow\; \frac{w-1}{w+1} = \frac{i}{2\cdot(-i)} = -\frac12

2w-2 = -w-1 \;\Longrightarrow\; 3w = 1 \;\Longrightarrow\; w = \frac13

Y ahora el logaritmo complejo, que es multivaluado —de ahí las infinitas soluciones—:

\mathrm{e}^{2iz} = \frac13 \;\Longrightarrow\; 2iz = \ln\frac13+2k\pi i = -\ln3+2k\pi i, \quad k \in \mathbb{Z}

Dividiendo entre $2i$ , y con $\frac{1}{2i} = -\frac i2$ :

z = -\frac i2\left(-\ln3+2k\pi i\right) = \frac{i\ln3}{2}+k\pi

\boxed{z = k\pi+\frac{\ln3}{2}\,i, \qquad k \in \mathbb{Z}}

Infinitas soluciones, todas a la misma altura $\frac{\ln3}{2}$ y separadas $\pi$ : la tangente compleja es periódica de periodo $\pi$ , igual que la real.

3 · Comprobación de (a)

Con $k=0$ , $z = \frac{i\ln3}{2}$ . Para un imaginario puro, $\mathrm{tg}(iy) = i\,\mathrm{th}(y)$ , y

\mathrm{th}\frac{\ln3}{2} = \frac{\mathrm{e}^{\ln3/2}-\mathrm{e}^{-\ln3/2}} {\mathrm{e}^{\ln3/2}+\mathrm{e}^{-\ln3/2}} = \frac{\sqrt3-\frac{1}{\sqrt3}}{\sqrt3+\frac{1}{\sqrt3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt3}}{\frac{4}{\sqrt3}} = \frac12

\mathrm{tg}\,z = i\cdot\frac12 = \frac i2 \quad\checkmark

4 · Apartado (b): qué dice la condición

\left|\frac{z+i}{z-i}\right| > 2 \;\Longleftrightarrow\; \left|z+i\right| > 2\left|z-i\right|, \qquad z \neq i

Leído en distancias: los puntos que están más del doble de lejos de $-i$ que de $i$ . El lugar donde la razón de distancias es constante es una circunferencia de Apolonio, y aquí queremos su interior.

5 · Operar

Con $z = x+yi$ :

x^{2}+(y+1)^{2} > 4\left[x^{2}+(y-1)^{2}\right]

x^{2}+y^{2}+2y+1 > 4x^{2}+4y^{2}-8y+4

0 > 3x^{2}+3y^{2}-10y+3

Dividiendo entre 3 y completando cuadrados:

x^{2}+y^{2}-\frac{10}{3}y+1 < 0

x^{2}+\left(y-\frac53\right)^{2} < \frac{25}{9}-1 = \frac{16}{9}

\boxed{\text{Disco ABIERTO de centro } \left(0,\tfrac53\right) \text{ y radio } \tfrac43}

Sobre el eje imaginario va de $\frac53-\frac43 = \frac13$ a $\frac53+\frac43 = 3$ .

6 · El punto que hay que quitar

$z = i$ anula el denominador, así que no pertenece a la región. Y cae dentro del disco:

0^{2}+\left(1-\frac53\right)^{2} = \frac49 < \frac{16}{9}

\boxed{\text{La región es el disco menos el punto } i}

Un disco perforado. Es el detalle que distingue una respuesta completa.

Figura nuestra: el enunciado pide representar. El borde va de trazos porque la desigualdad es estricta, y el circulo hueco marca el punto i, que esta dentro del disco pero fuera de la region.

7 · Comprobación de (b)

Con el centro, $z = \frac53 i$ :

\left|\frac{\frac53i+i}{\frac53i-i}\right| = \left|\frac{\frac83i}{\frac23i}\right| = 4 > 2 \quad\checkmark

Con un punto del borde, $z = 3i$ :

\left|\frac{4i}{2i}\right| = 2

exactamente 2, no mayor ✔ El borde queda fuera, como corresponde a la desigualdad estricta.

Con el otro extremo, $z = \frac13 i$ :

\left|\frac{\frac43i}{-\frac23i}\right| = 2 \quad\checkmark

También en el borde.

Con un punto de fuera, $z = 0$ :

\left|\frac{i}{-i}\right| = 1 \not> 2 \quad\checkmark

El origen está fuera, coherente con que el disco empiece en $\frac13 i$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Tercera evaluación, 16 de enero de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El polinomio de la inversa, leído en una gráfica

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la siguiente figura se muestran una función $f(x)$ y sus respectivas derivadas. Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de la función inversa de $f(x)$ en el punto $x=2$ .

Figura redibujada del enunciado original. Los tres trazos son los del examen: negro continuo la funcion, rojo a trazos la primera derivada y azul punteado la segunda. El punto violeta marca el valor que hay que leer.

Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de $f^{-1}$ en $x=2$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué significa «en el punto $x=2$ » aquí?
02
Lo que se lee en la gráfica
COMP2
En el punto donde $f$ vale 2, ¿cuánto vale $f''$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente cuadrático
COMP2
En el polinomio de $f^{-1}$ , ¿cuál es el coeficiente de $(x-2)^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción de las fórmulas. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Partir de la identidad $f\left(f^{-1}(x)\right) = x$ , válida en todo el recorrido de $f$ .
2. Derivar una vez, con la regla de la cadena: $f'\left(f^{-1}(x)\right)\cdot\left(f^{-1}\right)'(x) = 1$ , de donde $\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f'\circ f^{-1}}$ .
3. Derivar otra vez: $f''\left(f^{-1}\right)\cdot\left[\left(f^{-1}\right)'\right]^{2} +f'\left(f^{-1}\right)\cdot\left(f^{-1}\right)'' = 0$ .
4. Despejar: $\left(f^{-1}\right)'' = -\frac{f''\circ f^{-1}}{\left(f'\circ f^{-1}\right)^{3}}$ , sustituyendo $\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f'}$ .
5. La hipótesis que lo permite todo: $f'(1) = 1 \neq 0$ , así que $f$ es localmente invertible y $f^{-1}$ es dos veces derivable en un entorno de 2.
Deducir las dos fórmulas derivando $f\left(f^{-1}(x)\right)=x$ es más seguro que memorizarlas: el signo sale solo.

Resolución completa

Datos. La gráfica de $f$ con sus dos derivadas, y el punto $x=2$ .

1 · Qué se pide, exactamente

El polinomio de Taylor de orden 2 de $g = f^{-1}$ centrado en 2:

P_2(x) = g(2)+g'(2)(x-2)+\frac{g''(2)}{2!}(x-2)^{2}

El 2 es un valor de $f$ , no de $x$ : hay que localizar el punto $a$ con $f(a)=2$ y leer allí las tres curvas.

2 · Lo que dice la gráfica

Medición. No se lee a ojo. Las tres curvas se han separado por color sobre el PDF a 400 ppp, con los ejes localizados por densidad de tinta: $x=0$ en el píxel 462, la vertical de $x=1$ en el 1183, $y=0$ en el 1228 y la horizontal de $y=7$ en el 220.

En $x=1$ salen $f = 2{,}02$ , $f' = 1{,}01$ y $f'' = 2{,}00$ . La azul es prácticamente la recta $f''(x) = 12{,}1\,(x-0{,}835)$ , y su cero cae donde la roja tiene el mínimo, medido en $x = 0{,}84$ . Las tres curvas son consistentes entre sí, lo que valida la escala.

\boxed{a = 1: \quad f(1) = 2, \quad f'(1) = 1, \quad f''(1) = 2}

Y por tanto $g(2) = f^{-1}(2) = 1$ .

La hipótesis clave: $f'(1) = 1 \neq 0$ . Sin eso no habría inversa derivable, y el ejercicio no tendría sentido. Además $f$ es creciente en todo el tramo dibujado —la roja está siempre por encima del eje—, así que es inyectiva y la inversa existe de verdad.

3 · Las dos fórmulas, deducidas

No hace falta memorizarlas. Partiendo de

f\left(g(x)\right) = x

Derivando con la regla de la cadena:

f'\left(g(x)\right)\,g'(x) = 1 \;\Longrightarrow\; g'(x) = \frac{1}{f'\left(g(x)\right)}

Derivando otra vez el producto:

f''\left(g\right)\left[g'\right]^{2}+f'\left(g\right)g'' = 0

g'' = -\frac{f''(g)\left[g'\right]^{2}}{f'(g)} = -\frac{f''(g)}{\left(f'(g)\right)^{3}}

usando $g' = \frac{1}{f'(g)}$ en el numerador.

4 · Sustituir

g(2) = 1

g'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac11 = 1

g''(2) = -\frac{f''(1)}{\left(f'(1)\right)^{3}} = -\frac{2}{1^{3}} = -2

P_2(x) = 1+1\cdot(x-2)+\frac{-2}{2}(x-2)^{2}

\boxed{P_2(x) = 1+(x-2)-(x-2)^{2}}

O desarrollado: $P_2(x) = -x^{2}+5x-5$ .

5 · Por qué la concavidad se da la vuelta

$f$ es convexa en $x=1$ — $f''=2>0$ — y su inversa resulta cóncava en $x=2$ — $g''=-2<0$ —. No es una casualidad numérica: es el signo menos de la fórmula.

La razón geométrica: las gráficas de $f$ y $f^{-1}$ son simétricas respecto de la recta $y=x$ , y una reflexión en esa recta intercambia «curvarse hacia arriba» con «curvarse hacia abajo». Lo que sí se conserva es el crecimiento.

6 · Comprobación

Con una función concreta que tenga esos tres valores. El polinomio de $f$ en $x=1$ es

f(x) \approx 2+(x-1)+(x-1)^{2}

Su inversa aproximada se obtiene resolviendo $y = 2+u+u^{2}$ con $u = x-1$ :

u = \frac{-1+\sqrt{1+4(y-2)}}{2} = \frac{-1+\sqrt{4y-7}}{2}

Y entonces $g(y) = 1+u$ . Evaluando:

$y$	$g$ exacta	$P_2$	diferencia
$2$	$1$	$1$	$0$
$2{,}1$	$1{,}0916$	$1{,}0900$	$0{,}0016$
$1{,}9$	$0{,}8874$	$0{,}8900$	$0{,}0026$

El error es del orden de $(x-2)^{3}$ ✔ como corresponde a un polinomio de orden 2.

De coherencia entre las dos gráficas. $f$ pasa por $(1,2)$ con pendiente 1; $g$ debe pasar por $(2,1)$ con pendiente $\frac11 = 1$ . Los dos puntos son simétricos respecto de $y=x$ y las dos pendientes son inversas ✔ Con pendiente 1 la recta es su propia simétrica, y por eso las dos coinciden.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Tercera evaluación, 16 de enero de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una función integral a la que se le resta una exponencial

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $f(x) = \displaystyle\int_0^{x^{2}}\mathrm{e}^{t^{2}}dt-\mathrm{e}^{x^{4}}$ . Estudiar el crecimiento/decrecimiento y los extremos relativos de $f(x)$ .

Estudiar crecimiento y extremos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Se puede calcular la integral $\int_0^{x^{2}}\mathrm{e}^{t^{2}}dt$ ?
02
La derivada
COMP2
¿Cuánto vale $f'(1)$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Dónde está el máximo

COMP2

¿En qué abscisa positiva tiene $f$ un máximo relativo?

Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Desarrollo

f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2x\left(1-2x^{2}\right) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 0 \ \text{ó}\ x = \pm\frac{1}{\sqrt2}

Signos de $2x\left(1-2x^{2}\right)$ :

intervalo	signo	$f$
$\left(-\infty,-\frac{1}{\sqrt2}\right)$	$+$	crece
$\left(-\frac{1}{\sqrt2},0\right)$	$-$	decrece
$\left(0,\frac{1}{\sqrt2}\right)$	$+$	crece
$\left(\frac{1}{\sqrt2},+\infty\right)$	$-$	decrece

Máximos en $x = \pm\frac{1}{\sqrt2} \approx \pm0{,}7071$ y mínimo en $x=0$ .

Tres puntos críticos y un patrón sube–baja–sube–baja: la función tiene forma de doble joroba, simétrica respecto del eje vertical.

04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El dominio es todo $\mathbb{R}$ : $\mathrm{e}^{t^{2}}$ es continua en todo punto, así que la integral existe para cualquier extremo superior.
2. Derivar, con el teorema fundamental y la regla de la cadena: $f'(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^{4}}-4x^{3}\mathrm{e}^{x^{4}}$ .
3. Factorizar: $f'(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^{4}}\left(1-2x^{2}\right)$ , y como $\mathrm{e}^{x^{4}}>0$ el signo lo pone $2x\left(1-2x^{2}\right)$ .
4. Los puntos críticos son $x=0$ y $x=\pm\frac{1}{\sqrt2}$ , y el signo alterna: crece, decrece, crece, decrece.
5. Conclusión: máximos relativos en $\pm\frac{1}{\sqrt2}$ con valor $\int_0^{1/2}\mathrm{e}^{t^{2}}dt-\mathrm{e}^{1/4} \approx -0{,}739$ , y mínimo relativo en $0$ con $f(0) = -1$ .
La regla «la integral crece donde el integrando es positivo» exige extremo superior $x$ y que no haya nada más sumando. Aquí fallan las dos cosas.

Resolución completa

Datos. $f(x) = \int_0^{x^{2}}\mathrm{e}^{t^{2}}dt-\mathrm{e}^{x^{4}}$ .

1 · Lo primero: no hay primitiva

$\mathrm{e}^{t^{2}}$ no tiene primitiva elemental —es un hecho demostrado, no una limitación de quien resuelve—. Y precisamente por eso el enunciado pide el crecimiento y no el valor: todo se decide con $f'$ , que sí se calcula exactamente.

El dominio es $\mathbb{R}$ entero: el integrando es continuo en todo punto, así que la integral existe para cualquier extremo superior.

2 · Derivar

Llamando $F(u) = \int_0^{u}\mathrm{e}^{t^{2}}dt$ , el teorema fundamental del cálculo da $F'(u) = \mathrm{e}^{u^{2}}$ —la hipótesis, que el integrando sea continuo, se cumple—.

El primer sumando es $F\left(x^{2}\right)$ , así que hace falta la regla de la cadena:

\frac{d}{dx}F\left(x^{2}\right) = F'\left(x^{2}\right)\cdot2x = \mathrm{e}^{\left(x^{2}\right)^{2}}\cdot2x = 2x\,\mathrm{e}^{x^{4}}

El factor $2x$ es donde se falla. Sin él, el signo saldría al revés.

El segundo sumando:

\frac{d}{dx}\left(-\mathrm{e}^{x^{4}}\right) = -4x^{3}\mathrm{e}^{x^{4}}

f'(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^{4}}-4x^{3}\,\mathrm{e}^{x^{4}}

3 · Factorizar

\boxed{f'(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^{4}}\left(1-2x^{2}\right)}

El factor $\mathrm{e}^{x^{4}}$ es siempre positivo, así que no influye en el signo. Queda estudiar

h(x) = 2x\left(1-2x^{2}\right)

un polinomio con raíces

x = 0, \qquad x = \pm\frac{1}{\sqrt2} = \pm\frac{\sqrt2}{2} \approx \pm0{,}7071

4 · La tabla de signos

intervalo	$2x$	$1-2x^{2}$	$f'$	$f$
$\left(-\infty,-\frac{1}{\sqrt2}\right)$	$-$	$-$	$+$	crece
$\left(-\frac{1}{\sqrt2},0\right)$	$-$	$+$	$-$	decrece
$\left(0,\frac{1}{\sqrt2}\right)$	$+$	$+$	$+$	crece
$\left(\frac{1}{\sqrt2},+\infty\right)$	$+$	$-$	$-$	decrece

\boxed{ \begin{aligned} &\text{MÁXIMOS relativos en } x = \pm\tfrac{1}{\sqrt2}\\ &\text{MÍNIMO relativo en } x = 0 \end{aligned}}

5 · Los valores

f(0) = \int_0^{0}\mathrm{e}^{t^{2}}dt-\mathrm{e}^{0} = 0-1 = -1

f\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) = \int_0^{1/2}\mathrm{e}^{t^{2}}dt-\mathrm{e}^{1/4}

La integral no es elemental, pero se acota con su desarrollo:

\int_0^{1/2}\left(1+t^{2}+\frac{t^{4}}{2}+\frac{t^{6}}{6}\right)dt = \frac12+\frac{1}{24}+\frac{1}{320}+\frac{1}{5376} \approx 0{,}5450

f\left(\tfrac{1}{\sqrt2}\right) \approx 0{,}5450-1{,}2840 \approx -0{,}739

6 · Dos observaciones que puntúan

$f$ es par. Cambiando $x$ por $-x$ , el extremo superior $x^{2}$ y el exponente $x^{4}$ no varían:

f(-x) = f(x)

Y eso explica la simetría de la tabla: los dos máximos están a la misma altura, y el punto crítico central es forzosamente un extremo.

Los máximos son absolutos. Cuando $x\to\pm\infty$ , $\mathrm{e}^{x^{4}}$ crece mucho más deprisa que la integral —que vale aproximadamente $\frac{\mathrm{e}^{x^{4}}}{2x^{2}}$ —, así que

f(x) \approx \mathrm{e}^{x^{4}}\left(\frac{1}{2x^{2}}-1\right) \xrightarrow[x\to\pm\infty]{} -\infty

Con solo tres puntos críticos y la función cayendo a $-\infty$ en ambos lados, los máximos relativos son absolutos. Y $f<0$ en todo $\mathbb{R}$ .

7 · Comprobación

Del signo en puntos concretos:

$x$	$2x\left(1-2x^{2}\right)$	signo
$-1$	$-2\cdot(-1) = 2$	$+$ ✔ crece
$-0{,}5$	$-1\cdot0{,}5 = -0{,}5$	$-$ ✔ decrece
$0{,}5$	$1\cdot0{,}5 = 0{,}5$	$+$ ✔ crece
$1$	$2\cdot(-1) = -2$	$-$ ✔ decrece

Con la segunda derivada en el origen. Cerca de 0, $\mathrm{e}^{x^{4}} \approx 1$ y $f'(x) \approx 2x-4x^{3}$ , luego $f''(0) \approx 2 > 0$ : mínimo ✔

Numérica alrededor del máximo. Con la aproximación anterior:

$x$	$f(x)$
$0{,}6$	$-0{,}7444$
$0{,}7071$	$\mathbf{-0{,}7390}$
$0{,}8$	$-0{,}7495$

El valor central es el mayor ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Tercera evaluación, 16 de enero de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

De dónde sale el πab del área de la elipse

COMP 11 punto por reconocer
COMP 28 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando integración calcular el área de una elipse de semiejes $a$ y $b$ .

Calcular el área por integración.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo conviene plantear la integral?
02
La integral que aparece
COMP2
Tras el cambio $x = a\sin\theta$ , la integral se reduce a $\int_0^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta$ . ¿Cuánto vale?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Despejar la rama superior. De $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ sale $y = b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}$ .
2. Usar la simetría. La elipse es simétrica respecto de los dos ejes, así que $A = 4\int_0^{a}b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}\,dx$ .
3. Cambio de variable $x = a\sin\theta$ , con $dx = a\cos\theta\,d\theta$ . Los límites pasan de $[0,a]$ a $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ .
4. La raíz se simplifica: $\sqrt{1-\sin^{2}\theta} = \cos\theta$ , positivo porque $\theta \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ .
5. Queda $A = 4ab\int_0^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta = 4ab\cdot\frac{\pi}{4} = \pi ab$ .
Elegir el intervalo del cambio no es cosmético: es lo que permite quitar el valor absoluto. Por eso conviene reducir a un cuadrante antes de sustituir.

Resolución completa

Datos. Una elipse de semiejes $a$ y $b$ .

1 · La ecuación y la rama a integrar

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Despejando la rama superior:

y = b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}, \qquad x \in [-a,a]

2 · Reducir a un cuadrante

La elipse es simétrica respecto de los dos ejes: cambiar $x$ por $-x$ o $y$ por $-y$ deja la ecuación igual. Así que el primer cuadrante es la cuarta parte:

A = 4\int_0^{a}b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}\,dx

Esto no es solo comodidad. Al integrar solo donde $x \ge 0$ , el cambio de variable que viene se puede hacer en un intervalo donde el coseno no cambia de signo, y el valor absoluto de la raíz desaparece legítimamente.

3 · El cambio de variable

x = a\sin\theta, \qquad dx = a\cos\theta\,d\theta

$x$	$\theta$
$0$	$0$
$a$	$\frac{\pi}{2}$

La raíz:

\sqrt{1-\frac{a^{2}\sin^{2}\theta}{a^{2}}} = \sqrt{1-\sin^{2}\theta} = \left|\cos\theta\right| = \cos\theta

—y aquí sí se puede quitar el valor absoluto, porque $\theta \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ —.

A = 4\int_0^{\pi/2}b\cos\theta\cdot a\cos\theta\,d\theta = 4ab\int_0^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta

4 · La integral del coseno al cuadrado

Con la fórmula del ángulo doble $\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$ :

\int_0^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta = \left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin2\theta}{4}\right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}

A = 4ab\cdot\frac{\pi}{4}

\boxed{A = \pi ab}

5 · De dónde sale cada factor

Merece la pena señalar de dónde viene cada pieza del resultado:

pieza	origen
$\pi$	de $\int_0^{\pi/2}\cos^{2} = \frac{\pi}{4}$
$a$	del $dx = a\cos\theta\,d\theta$
$b$	del factor de la rama superior

El área es lineal en cada semieje: doblar $a$ dobla el área. Tiene sentido, porque una elipse es una circunferencia estirada por un factor $\frac ab$ en una dirección, y estirar multiplica el área por ese factor.

6 · Comprobación

El caso circular. Con $a=b=r$ :

A = \pi r^{2} \quad\checkmark

Por la interpretación como estiramiento. La transformación $(u,v) \mapsto (au,bv)$ lleva la circunferencia unidad a esta elipse y multiplica las áreas por $ab$ . Como el círculo unidad mide $\pi$ :

A = \pi\cdot ab \quad\checkmark

Una segunda demostración, sin integrar, que confirma el resultado.

Por acotación. La elipse está dentro del rectángulo $[-a,a]\times[-b,b]$ , de área $4ab$ , y contiene el rombo de diagonales $2a$ y $2b$ , de área $2ab$ :

2ab < \pi ab \approx 3{,}14\,ab < 4ab \quad\checkmark

Numérica, con $a=2$ y $b=1$ . Sumando 100 rectángulos bajo $y = \sqrt{1-x^{2}/4}$ en $[0,2]$ y multiplicando por 4 sale $6{,}277$ , frente a $2\pi = 6{,}283$ ✔ La pequeña diferencia es el error de la discretización cerca del borde vertical.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 · Tercera evaluación, 16 de enero de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una partícula, y cuatro teoremas que hay que saber cuándo NO se aplican

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La posición de una partícula que se mueve en una dimensión viene dada por la función $x(t)$ , donde $x$ se mide en metros y $t$ en segundos. En la figura se muestra la velocidad $v(t)$ de la partícula en función del tiempo:

Figura redibujada del enunciado original. La velocidad es una quebrada con vertices en cero coma cero, quince coma quince, cuarenta coma menos diez y cincuenta coma diez.

Sabiendo que inicialmente $x(0)=0$ , contestar razonadamente las siguientes cuestiones:

a) ¿En qué posición se encuentra la partícula en el instante $t=50$ s?

b) ¿Cuándo se obtiene un espacio recorrido de 275 m?

c) Calcular la velocidad media de la partícula en el intervalo $[0,50]$ . ¿Es aplicable el teorema de la media para la función $v(t)$ en el intervalo $[0,50]$ ? En el caso de que el teorema pueda aplicarse, ¿en cuántos puntos se cumpliría? Indicarlos de forma aproximada en la figura.

d) ¿Es aplicable el teorema de Lagrange (Teorema del Valor Medio) para la función $v(t)$ en el intervalo $[0,50]$ ? Encontrar, si existen, los puntos en los que se cumple dicho teorema.

e) ¿Es aplicable el teorema de Lagrange (Teorema del Valor Medio) para la función $x(t)$ en el intervalo $[0,50]$ ? En el caso de que el teorema pueda aplicarse, ¿en cuántos puntos se cumpliría? Indicarlos de forma aproximada en la figura.

Responder los cinco apartados.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué diferencia hay entre la posición en $t=50$ y el espacio recorrido?

La posición final

COMP2

¿En qué posición está la partícula en $t=50$ s?

Tu respuesta al paso 2un número, en metros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Desarrollo

x(50) = \int_0^{50}v(t)\,dt

Descomponiendo en triángulos:

tramo	base	altura	área
$[0,15]$	15	$+15$	$+112{,}5$
$[15,30]$	15	$+15$	$+112{,}5$
$[30,40]$	10	$-10$	$-50$
$[40,45]$	5	$-10$	$-25$
$[45,50]$	5	$+10$	$+25$

x(50) = 112{,}5+112{,}5-50-25+25 = 175 \ \text{m}

El tramo negativo —de $t=30$ a $t=45$ — es un retroceso: la partícula da marcha atrás 75 metros y luego vuelve a avanzar.

03
Cuándo se han recorrido 275 metros
COMP2
¿En qué instante el espacio recorrido llega a 275 m?
Tu respuesta al paso 3un número, en segundos — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena los apartados (c), (d) y (e). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. (c) La velocidad media es $\frac{x(50)-x(0)}{50} = \frac{175}{50} = 3{,}5$ m/s.
2. El teorema de la media integral solo exige que $v$ sea continua en $[0,50]$ , y lo es: la quebrada no tiene saltos. Luego sí se aplica.
3. Resolviendo $v(t) = 3{,}5$ en los tres tramos salen $t = 3{,}5$ , $t = 26{,}5$ y $t = 46{,}75$ : tres puntos.
4. (d) Lagrange para $v$ : NO se aplica. $v$ tiene picos en $t=15$ y $t=40$ , así que no es derivable en $(0,50)$ .
5. (e) Lagrange para $x$ : SÍ se aplica. $x$ es una primitiva de $v$ , que es continua, así que $x$ es derivable con $x'=v$ . Los puntos son los mismos tres de (c).
Los apartados (d) y (e) están puestos uno detrás de otro a propósito: la misma pregunta, un escalón de derivada más arriba, y la respuesta cambia.

instante	recorrido
$t=15$	$112{,}5$
$t=30$	$225$
$t=40$	$225+50 = 275$
$t=45$	$300$
$t=50$	$325$

Resolución completa

Datos. $v(t)$ es la quebrada de la figura, con vértices en $(0,0)$ , $(15,15)$ , $(40,-10)$ y $(50,10)$ . Y $x(0)=0$ .

1 · Escribir $v$ por tramos

Leyendo las pendientes de la figura:

v(t) = \begin{cases} t & 0 \le t \le 15\\ 30-t & 15 \le t \le 40\\ 2t-90 & 40 \le t \le 50 \end{cases}

Los cortes con el eje están en $t=30$ y $t=45$ , y coinciden con lo que se ve dibujado ✔

2 · Apartado (a): la posición en $t=50$

x(50) = x(0)+\int_0^{50}v(t)\,dt = \int_0^{50}v(t)\,dt

Con áreas de triángulos, respetando el signo:

tramo	figura	área
$[0,15]$	triángulo de base 15 y altura 15	$+112{,}5$
$[15,30]$	triángulo de base 15 y altura 15	$+112{,}5$
$[30,45]$	triángulo de base 15 y altura $-10$	$-75$
$[45,50]$	triángulo de base 5 y altura 10	$+25$

\boxed{x(50) = 112{,}5+112{,}5-75+25 = 175 \ \text{m}}

3 · Apartado (b): el espacio recorrido

El espacio recorrido es $\int_0^{t}\left|v\right|$ : todas las áreas en positivo, porque retroceder también es recorrer.

instante	acumulado
$15$	$112{,}5$
$30$	$225$
$40$	$225+50 = \mathbf{275}$
$45$	$300$
$50$	$325$

\boxed{t = 40 \ \text{s}}

Y merece la pena señalar el contraste: en $t=50$ la partícula ha recorrido 325 m pero está a solo 175 m del origen. La diferencia, $150 = 2\times75$ , es el retroceso ida y vuelta.

4 · Apartado (c): velocidad media y teorema de la media

v_{\text{media}} = \frac{x(50)-x(0)}{50-0} = \frac{175}{50} = 3{,}5 \ \text{m/s}

—que es también $\frac{1}{50}\int_0^{50}v$ , el valor medio integral de $v$ —.

¿Es aplicable el teorema de la media? Su hipótesis es que $v$ sea continua en el intervalo cerrado. Lo es: la quebrada está formada por segmentos que se enganchan sin saltos. Los picos no rompen la continuidad, solo la derivabilidad.

\boxed{\text{SÍ se aplica}}

El teorema garantiza al menos un punto con $v(c) = 3{,}5$ . Buscándolos todos:

tramo	ecuación	solución
$[0,15]$	$t = 3{,}5$	$t = 3{,}5$ ✔
$[15,40]$	$30-t = 3{,}5$	$t = 26{,}5$ ✔
$[40,50]$	$2t-90 = 3{,}5$	$t = 46{,}75$ ✔

\boxed{\text{Tres puntos: } t = 3{,}5,\ 26{,}5,\ 46{,}75}

En la figura son los tres cortes de la quebrada con la horizontal $v = 3{,}5$ : uno subiendo, otro bajando y otro subiendo.

5 · Apartado (d): Lagrange para $v$

Las hipótesis del teorema del valor medio son dos:

$v$ continua en $[0,50]$ — se cumple;
$v$ derivable en $(0,50)$ — no se cumple.

En $t=15$ la pendiente pasa de $+1$ a $-1$ , y en $t=40$ de $-1$ a $+2$ . Son picos: las derivadas laterales no coinciden.

\boxed{\text{NO es aplicable}}

Conviene añadir que la tesis tampoco se cumple. La tesis pediría un $c$ con

v'(c) = \frac{v(50)-v(0)}{50} = \frac{10-0}{50} = 0{,}2

pero $v'$ solo toma los valores $1$ , $-1$ y $2$ . Ningún punto cumple la conclusión: no es que el teorema no se pueda usar y aun así valga; es que sin la hipótesis el resultado es falso.

6 · Apartado (e): Lagrange para $x$

x(t) = \int_0^{t}v(u)\,du

Como $v$ es continua, el teorema fundamental del cálculo dice que $x$ es derivable en todo punto y $x'(t) = v(t)$ .

\boxed{\text{SÍ es aplicable}}

Integrar suaviza. $v$ tiene picos y $x$ no: es derivable en todas partes. Lo que $x$ no es es dos veces derivable en $t=15$ y $t=40$ , pero Lagrange no lo pide.

La tesis:

x'(c) = \frac{x(50)-x(0)}{50} = 3{,}5 \;\Longrightarrow\; v(c) = 3{,}5

\boxed{\text{Los mismos tres puntos: } t = 3{,}5,\ 26{,}5,\ 46{,}75}

7 · Lo que enseña el ejercicio

Los apartados (c), (d) y (e) son la misma pregunta a tres niveles, y conviene verlo escrito:

apartado	función	hipótesis que falla	¿aplica?
(c) media integral de $v$	$v$	ninguna: basta continuidad	sí
(d) Lagrange para $v$	$v$	derivabilidad (picos)	no
(e) Lagrange para $x$	$x$	ninguna: $x' = v$ existe	sí

Y (c) y (e) dan los mismos tres puntos, porque son literalmente el mismo enunciado: el valor medio de $v$ y la pendiente media de su primitiva son el mismo número.

8 · Comprobación

De $x(50)$ por tramos, integrando las fórmulas:

\int_0^{15}t\,dt = \frac{225}{2} = 112{,}5 \quad\checkmark

\int_{15}^{40}(30-t)\,dt = \left[30t-\frac{t^{2}}{2}\right]_{15}^{40} = (1200-800)-(450-112{,}5) = 400-337{,}5 = 62{,}5

\int_{40}^{50}(2t-90)\,dt = \left[t^{2}-90t\right]_{40}^{50} = (2500-4500)-(1600-3600) = -2000+2000 = 0

x(50) = 112{,}5+62{,}5+0 = 175 \quad\checkmark

El último tramo aporta cero neto: los 25 m de retroceso entre 40 y 45 se compensan exactamente con los 25 de avance entre 45 y 50, porque los dos triángulos son iguales.

De los tres puntos de (c):

v(3{,}5) = 3{,}5 \ \checkmark \qquad v(26{,}5) = 30-26{,}5 = 3{,}5 \ \checkmark \qquad v(46{,}75) = 93{,}5-90 = 3{,}5 \ \checkmark

De coherencia entre (a) y (b). Recorrido $325$ , desplazamiento $175$ ; la diferencia $150$ debe ser el doble de lo retrocedido: $2\times75 = 150$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Tercera evaluación · 2023-2024

Reconocer el camino

La parte imaginaria de las soluciones

El radio de la región de (b)

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): la tangente en C\mathbb{C}C

2 · Resolver

3 · Comprobación de (a)

4 · Apartado (b): qué dice la condición

5 · Operar

6 · El punto que hay que quitar

7 · Comprobación de (b)

Reconocer el camino

Lo que se lee en la gráfica

El coeficiente cuadrático

Justificar el argumento

1 · Qué se pide, exactamente

2 · Lo que dice la gráfica

3 · Las dos fórmulas, deducidas

4 · Sustituir

5 · Por qué la concavidad se da la vuelta

6 · Comprobación

Reconocer el camino

La derivada

Dónde está el máximo

Justificar el argumento

1 · Lo primero: no hay primitiva

2 · Derivar

3 · Factorizar

4 · La tabla de signos

5 · Los valores

6 · Dos observaciones que puntúan

7 · Comprobación

Reconocer el camino

La integral que aparece

Justificar el argumento

1 · La ecuación y la rama a integrar

2 · Reducir a un cuadrante

3 · El cambio de variable

4 · La integral del coseno al cuadrado

5 · De dónde sale cada factor

6 · Comprobación

Reconocer el camino

La posición final

Cuándo se han recorrido 275 metros

Justificar el argumento

1 · Escribir vvv por tramos

2 · Apartado (a): la posición en t=50t=50t=50

3 · Apartado (b): el espacio recorrido

4 · Apartado (c): velocidad media y teorema de la media

5 · Apartado (d): Lagrange para vvv

6 · Apartado (e): Lagrange para xxx

7 · Lo que enseña el ejercicio

8 · Comprobación

1 · Apartado (a): la tangente en $\mathbb{C}$

1 · Escribir $v$ por tramos

2 · Apartado (a): la posición en $t=50$

5 · Apartado (d): Lagrange para $v$

6 · Apartado (e): Lagrange para $x$