tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · tercera evaluación

Tercera evaluación · 2024-2025

21 de enero de 2025 · 6 ejercicios · 60 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una ecuación de grado siete que esconde dos triángulosNúmeros complejos0 + 7 + 3 = 10 pts
Resolver la ecuación $z^{7}-9z^{4}+8z = 0$ , $z \in \mathbb{C}$ , y representar gráficamente las soluciones.
Resolver y representar.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una pelota que bota infinitas veces y recorre algo finitoSucesiones y series numéricas1 + 7 + 2 = 10 pts
Se suelta una pelota desde una altura de 9 metros. Con cada bote la pelota rebota hasta una altura del 80 % de su altura previa.

a) ¿Hasta qué altura rebota la pelota en el quinto bote?

b) ¿Cuál es la suma de las alturas de todos los botes?
Calcular la altura del quinto bote y la suma de todas.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos derivadas de orden alto sin derivar ni una vezEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 6 + 3 = 10 pts
a) Calcular el polinomio de McLaurin de orden 6 de la función $f(x) = \cos x$ .

b) Sea $g(x) = \cos\left(x^{2}\right)$ . Utilizando la fórmula obtenida en el apartado anterior calcular $g^{7)}(0)$ y $g^{8)}(0)$ .
Calcular el polinomio y las dos derivadas.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un recinto entre parábola y circunferencia, y lo que barre al girarIntegración0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $D$ el recinto limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2} \le 8$ , $y^{2} \le 2x$ .

a) Dibujar el recinto $D$ .

b) Calcular el área de $D$ .

c) Calcular el volumen del cuerpo generado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OY.
Dibujar, calcular el área y el volumen.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El triángulo más pequeño que se apoya en un puntoEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Consideremos una recta que pasa por el punto $(1,2)$ . Sabiendo que dicha recta corta a los ejes OX y OY en los puntos $(a,0)$ y $(0,b)$ $\left(\text{con } a,b>0\right)$ , calcular los valores de $a$ y $b$ para que el triángulo que forman la recta y los ejes coordenados tenga área mínima.
Calcular $a$ y $b$ .
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cómo crece el área de una superficie de revoluciónIntegración1 + 4 + 5 = 10 pts
El área $A$ del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje OX la gráfica de una función $f(x)$ definida en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ se calcula del siguiente modo:
$A = 2\pi\int_a^{b}f(x)\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^{2}}\;dx$
Considerar la función $f(x)$ continua en $[a,b]$ y dos veces derivable en $(a,b)$ cuya gráfica se muestra en la figura. Tomamos un punto cualquiera $u \in (a,b)$ y consideremos el área $A(u)$ del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje OX el tramo de la gráfica de $f(x)$ correspondiente al intervalo $[a,u]$ . Para la función de la figura se pide:

a) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y los extremos locales de $A(u)$ .

b) Estudiar la concavidad/convexidad y los puntos de inflexión de $A(u)$ .

c) Trazar una posible gráfica de $A(u)$ .

Figura redibujada del enunciado original. La funcion es positiva en todo el intervalo y tiene forma de valle: decrece hasta un minimo en c y despues crece. Hemos etiquetado ese minimo como c, que el original no nombra.

Estudiar $A(u)$ y trazar su gráfica.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Tercera evaluación, 21 de enero de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación de grado siete que esconde dos triángulos

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la ecuación $z^{7}-9z^{4}+8z = 0$ , $z \in \mathbb{C}$ , y representar gráficamente las soluciones.

Resolver y representar.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el primer movimiento?
02
Cuántas soluciones hay
COMP2
¿Cuántas soluciones distintas tiene la ecuación?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El módulo de las soluciones grandes
COMP2
Las seis soluciones no nulas están sobre dos circunferencias. ¿Cuál es el radio de la mayor?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la representación gráfica. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El origen. $z=0$ es una solución, y va dibujada como un punto en el centro.
2. Triángulo pequeño. Las raíces de $z^{3}=1$ tienen módulo 1 y argumentos $0$ , $\frac{2\pi}{3}$ y $\frac{4\pi}{3}$ : $1$ y $-\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i$ .
3. Triángulo grande. Las de $z^{3}=8$ tienen módulo 2 y los mismos argumentos: $2$ y $-1\pm\sqrt3\,i$ .
4. Los dos triángulos son equiláteros, están alineados —los argumentos coinciden— y uno es el otro escalado por 2 desde el origen.
5. En total, siete puntos: el origen y dos triángulos concéntricos y homotéticos.
Lo que decide la orientación es el argumento del número al que se le saca la raíz, no su módulo. Aquí los dos son reales positivos, y por eso las dos ternas comparten direcciones.

ecuación	soluciones
$z = 0$	1
$z^{3} = 1$	3
$z^{3} = 8$	3

Resolución completa

Datos. $z^{7}-9z^{4}+8z = 0$ en $\mathbb{C}$ .

1 · Factorizar, no dividir

Todos los términos tienen $z$ :

z^{7}-9z^{4}+8z = z\left(z^{6}-9z^{3}+8\right) = 0

Un producto es cero si lo es alguno de sus factores:

\boxed{z = 0} \qquad\text{o}\qquad z^{6}-9z^{3}+8 = 0

Dividir entre $z$ en vez de factorizar pierde esta primera solución. Es el error más frecuente aquí, y cuesta un punto entero.

2 · La ecuación bicúbica

Los exponentes que quedan son 6 y 3, los dos múltiplos de 3. Con $w = z^{3}$ :

w^{2}-9w+8 = 0 \;\Longrightarrow\; w = \frac{9\pm\sqrt{81-32}}{2} = \frac{9\pm7}{2}

w = 1 \qquad\text{y}\qquad w = 8

Quedan dos ecuaciones de raíces cúbicas.

3 · Las raíces de $z^{3}=1$

En forma polar, con $1 = 1\cdot\mathrm{e}^{i(0+2k\pi)}$ :

r^{3} = 1 \Rightarrow r = 1, \qquad 3\theta = 2k\pi \Rightarrow \theta = \frac{2k\pi}{3}

$k$	$\theta$	forma binómica
0	$0$	$1$
1	$\frac{2\pi}{3}$	$-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$
2	$\frac{4\pi}{3}$	$-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$

4 · Las raíces de $z^{3}=8$

Mismo procedimiento, con $8 = 8\,\mathrm{e}^{i(0+2k\pi)}$ :

r = \sqrt[3]{8} = 2, \qquad \theta = \frac{2k\pi}{3}

$k$	$\theta$	forma binómica
0	$0$	$2$
1	$\frac{2\pi}{3}$	$-1+\sqrt3\,i$
2	$\frac{4\pi}{3}$	$-1-\sqrt3\,i$

Los argumentos son los mismos que antes, porque $1$ y $8$ son los dos reales positivos y tienen argumento cero. Solo cambia el módulo.

5 · Las siete soluciones

\boxed{ \begin{aligned} z &= 0\\ z &= 1,\quad -\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i,\quad -\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}i\\ z &= 2,\quad -1+\sqrt3\,i,\quad -1-\sqrt3\,i \end{aligned}}

Siete soluciones para un polinomio de grado siete: no falta ninguna y no hay repetidas.

6 · La representación

Figura nuestra: el enunciado pide representar. En verde el triangulo de las raices cubicas de 1, en violeta el de las de 8, y en rojo el origen.

Los dos triángulos son equiláteros y están alineados: el grande es el pequeño multiplicado por 2. No hay giro entre ellos, porque los dos números —1 y 8— tienen argumento cero.

7 · Comprobación

Sustituyendo $z=2$ :

2^{7}-9\cdot2^{4}+8\cdot2 = 128-144+16 = 0 \quad\checkmark

Sustituyendo $z=1$ :

1-9+8 = 0 \quad\checkmark

Con una compleja, $z = -1+\sqrt3\,i$ . En polar es $2\,\mathrm{e}^{2\pi i/3}$ , así que

z^{3} = 8\,\mathrm{e}^{2\pi i} = 8 \;\Longrightarrow\; z^{6} = 64

z^{6}-9z^{3}+8 = 64-72+8 = 0 \quad\checkmark

Por la suma de las raíces. En $z^{7}-9z^{4}+8z$ el coeficiente de $z^{6}$ es cero, así que las siete raíces deben sumar 0:

0+\left(1-\tfrac12-\tfrac12\right)+\left(2-1-1\right) + i\left(\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac{\sqrt3}{2}+\sqrt3-\sqrt3\right) = 0 \quad\checkmark

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Tercera evaluación, 21 de enero de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una pelota que bota infinitas veces y recorre algo finito

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se suelta una pelota desde una altura de 9 metros. Con cada bote la pelota rebota hasta una altura del 80 % de su altura previa.

a) ¿Hasta qué altura rebota la pelota en el quinto bote?

b) ¿Cuál es la suma de las alturas de todos los botes?

Calcular la altura del quinto bote y la suma de todas.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tipo de sucesión forman las alturas?

La altura del quinto bote

COMP2

¿Hasta qué altura llega la pelota en el quinto bote, en metros?

Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o un número, en metros con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Desarrollo

Contando los botes desde el primero:

bote	altura
1.º	$9\cdot0{,}8 = 7{,}2$
2.º	$9\cdot0{,}8^{2} = 5{,}76$
3.º	$9\cdot0{,}8^{3} = 4{,}608$
4.º	$9\cdot0{,}8^{4} = 3{,}6864$
5.º	$9\cdot0{,}8^{5} = 2{,}94912$

h_5 = 9\cdot0{,}8^{5} = 9\cdot0{,}32768 = 2{,}94912 \ \text{m}

El único sitio donde se falla es el exponente. La caída inicial de 9 m no es un bote: el primer bote ya sube a $7{,}2$ m.

03
La suma de todas las alturas
COMP2
¿Cuánto suman las alturas de todos los botes, en metros?
Tu respuesta al paso 3un número, en metros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la justificación del apartado (b). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Escribir el término general. La altura del bote $n$ -ésimo es $h_n = 9\cdot0{,}8^{\,n}$ , con $n \ge 1$ .
2. Reconocer la serie. $\sum h_n$ es geométrica de primer término $7{,}2$ y razón $0{,}8$ .
3. Comprobar la hipótesis. $\left|r\right| = 0{,}8 < 1$ , que es la condición necesaria y suficiente para que una geométrica converja.
4. Aplicar la fórmula: $S = \frac{a}{1-r} = \frac{7{,}2}{0{,}2} = 36$ metros.
5. La pelota da infinitos botes y aun así la suma de sus alturas es finita: 36 metros.
El apartado (b) existe para que quede claro que infinitos sumandos positivos pueden sumar algo finito. Es lo contrario de lo que dice la intuición, y es el corazón del tema.

Resolución completa

Datos. Altura inicial $9$ m, y cada bote alcanza el $80\,\%$ de la altura anterior.

1 · Modelizar

«El 80 % de la altura previa» significa multiplicar por $0{,}8$ , no restar una cantidad. Así que las alturas forman una progresión geométrica de razón $r = 0{,}8$ :

h_n = 9\cdot0{,}8^{\,n}, \qquad n = 1,2,3,\ldots

El exponente es $n$ , no $n-1$ , porque los 9 metros iniciales son la caída, no un bote. El primer bote ya sube solo a $7{,}2$ m.

2 · Apartado (a)

h_5 = 9\cdot0{,}8^{5}

Sin calculadora —el examen no la permite—:

0{,}8^{2} = 0{,}64, \qquad 0{,}8^{4} = 0{,}64^{2} = 0{,}4096, \qquad 0{,}8^{5} = 0{,}4096\cdot0{,}8 = 0{,}32768

\boxed{h_5 = 9\cdot0{,}32768 = 2{,}94912 \ \text{m}}

Poco menos de tres metros: en cinco botes ha perdido dos tercios de la altura.

3 · Apartado (b)

S = \sum_{n=1}^{\infty}9\cdot0{,}8^{\,n}

Hipótesis que hay que declarar: es geométrica de razón $0{,}8$ , y

\left|r\right| = 0{,}8 < 1

Esa desigualdad es la condición necesaria y suficiente para que una serie geométrica converja. Sin ella la fórmula de la suma no vale.

S = \frac{\text{primer término}}{1-r} = \frac{7{,}2}{1-0{,}8} = \frac{7{,}2}{0{,}2}

\boxed{S = 36 \ \text{metros}}

4 · Qué significa el 36

La pelota da infinitos botes —matemáticamente nunca deja de botar— y, sin embargo, la suma de todas sus alturas es un número perfectamente finito: 36 metros, exactamente cuatro veces la altura de partida.

Esa es la idea que el ejercicio pone a prueba. Infinitos sumandos positivos pueden dar una suma finita, si decrecen lo bastante deprisa. Con $r = 0{,}8$ decrecen geométricamente, que es más que suficiente.

Y la regla general, que conviene recordar:

\frac{S}{h_0} = \frac{r}{1-r}

Con $r = 0{,}8$ sale 4; con $r = 0{,}5$ saldría 1; con $r = 0{,}9$ saldría 9. Cuanto más elástica la pelota, mucho más recorrido.

5 · Comprobación

Sumando los diez primeros botes a mano:

7{,}2+5{,}76+4{,}608+3{,}6864+2{,}94912+2{,}359+1{,}887+1{,}510 +1{,}208+0{,}966 = 32{,}12

Ya está en el 89 % del total, y lo que falta — $3{,}88$ m repartidos en infinitos botes— encaja: el bote 11 mide $0{,}773$ y desde ahí la cola geométrica suma $\frac{0{,}773}{0{,}2} = 3{,}86$ ✔

Por la fórmula de la suma parcial, como segunda vía:

S_N = 7{,}2\cdot\frac{1-0{,}8^{N}}{0{,}2} = 36\left(1-0{,}8^{N}\right)

Con $N=10$ : $36\left(1-0{,}1074\right) = 32{,}13$ ✔ Y al crecer $N$ , $0{,}8^{N}\to0$ y $S_N \to 36$ ✔

Coherencia con (a). $h_5 = 2{,}949$ y la cola desde el sexto bote vale $\frac{9\cdot0{,}8^{6}}{0{,}2} = 11{,}80$ . Sumando los cinco primeros — $24{,}20$ — da $36{,}00$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Tercera evaluación, 21 de enero de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos derivadas de orden alto sin derivar ni una vez

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular el polinomio de McLaurin de orden 6 de la función $f(x) = \cos x$ .

b) Sea $g(x) = \cos\left(x^{2}\right)$ . Utilizando la fórmula obtenida en el apartado anterior calcular $g^{7)}(0)$ y $g^{8)}(0)$ .

Calcular el polinomio y las dos derivadas.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el enunciado insiste en usar el apartado (a)?
02
El coeficiente de sexto grado
COMP2
En el polinomio de McLaurin de orden 6 de $\cos x$ , ¿cuál es el coeficiente de $x^{6}$ ? En forma exacta, o con seis decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La octava derivada
COMP2
¿Cuánto vale $g^{8)}(0)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento de (b). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sustituir. En el desarrollo de $\cos t$ se hace $t = x^{2}$ : $\cos\left(x^{2}\right) = 1-\frac{x^{4}}{2!}+\frac{x^{8}}{4!} -\ldots$
2. Observar qué potencias hay. Solo aparecen $x^{0}$ , $x^{4}$ , $x^{8}$ , $x^{12}$ …: los múltiplos de 4.
3. La séptima. No hay término en $x^{7}$ , así que su coeficiente es 0 y $g^{7)}(0) = 7!\cdot0 = 0$ .
4. La octava. El coeficiente de $x^{8}$ es $\frac{1}{4!}$ , luego $g^{8)}(0) = 8!\cdot\frac{1}{24} = 1680$ .
5. La unicidad del desarrollo de Taylor es lo que legitima el paso: el polinomio obtenido sustituyendo es el de $g$ , y por tanto sus coeficientes son los $\frac{g^{n)}(0)}{n!}$ .
Sustituir $x$ por $x^{2}$ duplica los grados, y por eso un polinomio corto en $\cos x$ da uno largo en $\cos\left(x^{2}\right)$ . Es lo que hace rentable el método.

Resolución completa

Datos. $f(x) = \cos x$ y $g(x) = \cos\left(x^{2}\right)$ .

1 · Apartado (a)

Las derivadas del coseno se repiten con periodo 4:

$n$	$f^{n)}(x)$	$f^{n)}(0)$
0	$\cos x$	$1$
1	$-\sin x$	$0$
2	$-\cos x$	$-1$
3	$\sin x$	$0$
4	$\cos x$	$1$
5	$-\sin x$	$0$
6	$-\cos x$	$-1$

Todas las impares se anulan, porque el coseno es par. Sustituyendo en

P_6(x) = \sum_{n=0}^{6}\frac{f^{n)}(0)}{n!}x^{n}

\boxed{P_6(x) = 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!} = 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}}

En forma general:

\cos x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}

2 · Apartado (b): la idea

Calcular $g^{8)}$ derivando ocho veces $\cos\left(x^{2}\right)$ es inviable a mano: la regla de la cadena multiplica los términos en cada paso.

El atajo se apoya en la unicidad del desarrollo de Taylor: si se consigue escribir $g$ como una serie de potencias centrada en 0, esa serie es su desarrollo de McLaurin, y por tanto

\text{coeficiente de } x^{n} = \frac{g^{n)}(0)}{n!}

Ese teorema es lo que hay que citar; sin él, el atajo no está justificado.

3 · Sustituir

En el desarrollo de $\cos t$ se pone $t = x^{2}$ —vale para todo $t$ , así que también para $t = x^{2}$ —:

\cos\left(x^{2}\right) = 1-\frac{\left(x^{2}\right)^{2}}{2!} +\frac{\left(x^{2}\right)^{4}}{4!} -\frac{\left(x^{2}\right)^{6}}{6!}+\ldots

\boxed{\cos\left(x^{2}\right) = 1-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{8}}{24}-\frac{x^{12}}{720}+\ldots}

Los grados se han duplicado. El polinomio de orden 6 de $\cos x$ se convierte en el de orden 12 de $g$ : de sobra para llegar al grado 8.

Y solo aparecen potencias múltiplos de 4.

4 · Las dos derivadas

La séptima. No hay término en $x^{7}$ —7 no es múltiplo de 4—, luego su coeficiente vale 0:

\frac{g^{7)}(0)}{7!} = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{g^{7)}(0) = 0}

La octava. El término en $x^{8}$ es $\frac{x^{8}}{4!}$ :

\frac{g^{8)}(0)}{8!} = \frac{1}{24} \;\Longrightarrow\; g^{8)}(0) = \frac{8!}{24} = \frac{40320}{24}

\boxed{g^{8)}(0) = 1680}

5 · Un resultado que sale gratis

El mismo argumento da todas las derivadas impares:

g^{n)}(0) = 0 \quad\text{siempre que } n \text{ no sea múltiplo de }4

Porque $g$ es par — $g(-x) = \cos\left(x^{2}\right) = g(x)$ — y además su desarrollo salta de cuatro en cuatro. Así, $g^{5)}(0) = g^{6)}(0) = 0$ igual que la séptima.

6 · Comprobación

Numérica del polinomio (a). En $x = 0{,}5$ :

P_6(0{,}5) = 1-0{,}125+0{,}0026042-0{,}0000217 = 0{,}8775825

\cos(0{,}5) = 0{,}8775826 \quad\checkmark

Siete cifras exactas con cuatro términos.

De la octava derivada, por otra vía. Escribiendo $u = x^{4}$ , la parte relevante de $g$ es

\frac{x^{8}}{24}

y derivar ocho veces un monomio $\frac{x^{8}}{24}$ da $\frac{8!}{24} = 1680$ , mientras que todos los demás términos —de grado 4 y de grado 12 o más— se anulan en 0: los de grado menor porque desaparecen al derivar ocho veces, los de grado mayor porque conservan un factor $x$ ✔

De la séptima, por paridad. $g$ es par, así que $g'$ es impar, $g''$ par… y en general $g^{n)}$ es impar cuando $n$ lo es. Toda función impar derivable vale 0 en el origen, luego $g^{7)}(0)=0$ ✔ Una segunda justificación, independiente del desarrollo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Tercera evaluación, 21 de enero de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un recinto entre parábola y circunferencia, y lo que barre al girar

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el recinto limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2} \le 8$ , $y^{2} \le 2x$ .

a) Dibujar el recinto $D$ .

b) Calcular el área de $D$ .

c) Calcular el volumen del cuerpo generado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OY.

Dibujar, calcular el área y el volumen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué representa cada condición?
02
Dónde se cortan
COMP2
Las dos curvas se cortan en dos puntos. ¿Cuál es su abscisa común?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuál es el área de $D$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo del volumen. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El eje de giro es OY, y el recinto es simétrico respecto de $OX$ , así que la mitad de arriba y la de abajo barren el mismo sólido.
2. Cortar por planos $y =$ cte. Cada corte del recinto es un segmento horizontal de $x=\frac{y^{2}}{2}$ a $x=\sqrt{8-y^{2}}$ .
3. Al girar, ese segmento barre una corona circular de radio exterior $\sqrt{8-y^{2}}$ e interior $\frac{y^{2}}{2}$ .
4. Integrar las coronas: $V = \pi\int_{-2}^{2}\left[\left(8-y^{2}\right) -\frac{y^{4}}{4}\right]dy$ .
5. $V = 2\pi\left[8y-\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{5}}{20}\right]_0^{2} = 2\pi\cdot\frac{176}{15} = \frac{352\pi}{15} \approx 73{,}72$ .
El método de las coronas —o arandelas— es el que corresponde cuando el eje de giro es perpendicular a la variable de integración y el recinto no lo toca.

Resolución completa

Datos. $D$ definido por $x^{2}+y^{2}\le8$ y $y^{2}\le2x$ .

1 · Apartado (a): las dos curvas

La primera es un disco cerrado de centro el origen y radio

r = \sqrt8 = 2\sqrt2 \approx 2{,}83

La segunda, $y^{2}\le2x$ , se lee mejor despejada:

x \ge \frac{y^{2}}{2}

Es la zona a la derecha de la parábola tumbada $y^{2}=2x$ , que tiene su vértice en el origen y se abre hacia las $x$ positivas.

Los cortes. Sustituyendo $y^{2}=2x$ en la circunferencia:

x^{2}+2x = 8 \;\Longrightarrow\; x^{2}+2x-8 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2 \ \text{ó}\ x = -4

$x=-4$ hay que descartarla: exigiría $y^{2} = -8$ , imposible. Es una raíz falsa introducida al sustituir, y comprobarla es parte del ejercicio.

Con $x=2$ sale $y = \pm2$ :

(2,\,2) \qquad\text{y}\qquad (2,\,-2)

Figura nuestra: el enunciado pide dibujarla. En negro la parabola, en violeta el arco de circunferencia que cierra el recinto, y sombreada la region D, que acaba en punta en el origen.

El recinto tiene forma de hoja: acaba en punta en el origen —el vértice de la parábola— y se cierra a la derecha con el arco de circunferencia entre $(2,2)$ y $(2,-2)$ .

2 · Apartado (b): el área

Conviene integrar en $y$ , porque las dos curvas se despejan como $x$ en función de $y$ sin partir nada:

A = \int_{-2}^{2}\left[\underbrace{\sqrt{8-y^{2}}}_{\text{derecha}} -\underbrace{\frac{y^{2}}{2}}_{\text{izquierda}}\right]dy

El recinto es simétrico respecto del eje $OX$ —al cambiar $y$ por $-y$ las dos condiciones no varían—, así que basta la mitad de arriba:

A = 2\int_0^{2}\left[\sqrt{8-y^{2}}-\frac{y^{2}}{2}\right]dy

Parte circular, con la primitiva estándar $\int\sqrt{a^{2}-y^{2}}\,dy = \frac y2\sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac ya$ y $a = 2\sqrt2$ :

\int_0^{2}\sqrt{8-y^{2}}\,dy = \left[\frac y2\sqrt{8-y^{2}}+4\arcsin\frac{y}{2\sqrt2}\right]_0^{2}

= \frac22\sqrt4+4\arcsin\frac{2}{2\sqrt2} = 2+4\arcsin\frac{1}{\sqrt2} = 2+4\cdot\frac{\pi}{4} = 2+\pi

Parte parabólica:

\int_0^{2}\frac{y^{2}}{2}\,dy = \left[\frac{y^{3}}{6}\right]_0^{2} = \frac86 = \frac43

A = 2\left(2+\pi-\frac43\right) = 2\left(\frac23+\pi\right)

\boxed{A = \frac43+2\pi \approx 7{,}6165}

3 · Apartado (c): el volumen al girar sobre OY

El eje de giro es vertical y la integración va en $y$ : cada corte horizontal del recinto es un segmento que, al girar, barre una corona circular.

radio	vale
exterior	$\sqrt{8-y^{2}}$ (la circunferencia)
interior	$\frac{y^{2}}{2}$ (la parábola)

Hay hueco porque el borde izquierdo del recinto no es el eje $OY$ , sino la parábola: solo lo toca en el vértice.

V = \pi\int_{-2}^{2}\left[\left(\sqrt{8-y^{2}}\right)^{2} -\left(\frac{y^{2}}{2}\right)^{2}\right]dy = \pi\int_{-2}^{2}\left[8-y^{2}-\frac{y^{4}}{4}\right]dy

Aprovechando otra vez la simetría:

V = 2\pi\left[8y-\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{5}}{20}\right]_0^{2} = 2\pi\left[16-\frac83-\frac{32}{20}\right]

Con denominador común 15:

16-\frac83-\frac85 = \frac{240-40-24}{15} = \frac{176}{15}

\boxed{V = \frac{352\pi}{15} \approx 73{,}72}

4 · Comprobación

De los puntos de corte. $(2,2)$ : en la circunferencia $4+4 = 8$ ✔ y en la parábola $4 = 2\cdot2$ ✔

Del área, por acotación. El recinto cabe dentro del rectángulo $[0;2{,}83]\times[-2,2]$ , de área $11{,}3$ , y contiene el triángulo de vértices $(0,0)$ , $(2,2)$ , $(2,-2)$ , de área 4:

4 < 7{,}62 < 11{,}3 \quad\checkmark

Del área, por geometría pura. La recta vertical $x=2$ pasa por los dos puntos de corte y parte $D$ en dos trozos que se calculan por separado:

Trozo izquierdo ( $0\le x\le2$ ), limitado solo por la parábola, con $\left|y\right|\le\sqrt{2x}$ :

\int_0^{2}2\sqrt{2x}\,dx = 2\sqrt2\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^{2} = 2\sqrt2\cdot\frac{2}{3}\cdot2\sqrt2 = \frac{16}{3}

Trozo derecho ( $2\le x\le2\sqrt2$ ): es el segmento circular que deja la cuerda $x=2$ . Vale el sector de $-45°$ a $45°$ menos el triángulo de vértices $(0,0)$ , $(2,2)$ y $(2,-2)$ :

\underbrace{\frac{90}{360}\cdot\pi\cdot8}_{2\pi} -\underbrace{\frac{4\cdot2}{2}}_{4} = 2\pi-4

Sumando:

\frac{16}{3}+2\pi-4 = 2\pi+\frac43 \quad\checkmark

Coincide con la integral, y sin usar el $\arcsin$ : es una comprobación completamente independiente.

Del volumen, por acotación. El sólido cabe dentro del cilindro de radio $2\sqrt2$ y altura 4:

\pi\cdot8\cdot4 = 32\pi \approx 100{,}5

y $73{,}7 < 100{,}5$ ✔ Ocupa el 73 % del cilindro, coherente con que el hueco central sea estrecho.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 · Tercera evaluación, 21 de enero de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El triángulo más pequeño que se apoya en un punto

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Consideremos una recta que pasa por el punto $(1,2)$ . Sabiendo que dicha recta corta a los ejes OX y OY en los puntos $(a,0)$ y $(0,b)$ $\left(\text{con } a,b>0\right)$ , calcular los valores de $a$ y $b$ para que el triángulo que forman la recta y los ejes coordenados tenga área mínima.

Calcular $a$ y $b$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué estructura tiene el problema?
02
El corte con el eje horizontal
COMP2
¿Cuánto vale $a$ en el óptimo?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área mínima
COMP2
¿Cuánto vale el área mínima?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la justificación de que es un mínimo. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El dominio. Hace falta $a>1$ : con $a\le1$ la recta que pasa por $(1,2)$ no puede cortar el eje $OY$ en un $b>0$ .
2. El signo de $A'$ . El denominador $(a-1)^{2}$ es positivo, así que el signo lo pone $a(a-2)$ , y con $a>1$ lo pone $a-2$ .
3. Luego $A' < 0$ en $(1,2)$ y $A' > 0$ en $(2,\infty)$ : la función baja y luego sube, y $a=2$ es un mínimo.
4. Es mínimo absoluto, porque $A$ es continua en $(1,\infty)$ , solo tiene ese punto crítico, y tiende a $+\infty$ en los dos extremos del intervalo.
5. Los límites lo confirman: $A(a)\to+\infty$ cuando $a\to1^{+}$ —la recta se vuelve casi vertical— y cuando $a\to\infty$ —casi horizontal—.
En un intervalo abierto no basta comparar con los extremos: hay que mirar los límites. Ese es el matiz que distingue este problema de uno en intervalo cerrado.

Resolución completa

Datos. Una recta por $(1,2)$ que corta a los ejes en $(a,0)$ y $(0,b)$ , con $a,b>0$ .

1 · Plantear

La función a minimizar es el área del triángulo rectángulo de catetos $a$ y $b$ :

A = \frac{ab}{2}

La ligadura es que la recta pase por $(1,2)$ . Con la ecuación segmentaria —la que usa directamente los cortes con los ejes—:

\frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1 \;\Longrightarrow\; \frac1a+\frac2b = 1

Sin esa ligadura no habría mínimo: acercando $a$ a cero el área se hace tan pequeña como se quiera.

2 · Reducir a una variable

\frac2b = 1-\frac1a = \frac{a-1}{a} \;\Longrightarrow\; b = \frac{2a}{a-1}

El dominio: para que $b>0$ hace falta $a>1$ . Tiene sentido geométrico — la recta debe cortar el eje $OX$ a la derecha del punto $(1,2)$ , o no podrá bajar hasta él con pendiente negativa.

A(a) = \frac{a}{2}\cdot\frac{2a}{a-1} = \frac{a^{2}}{a-1}, \qquad a \in (1,\infty)

3 · Derivar

A'(a) = \frac{2a(a-1)-a^{2}\cdot1}{(a-1)^{2}} = \frac{2a^{2}-2a-a^{2}}{(a-1)^{2}} = \frac{a^{2}-2a}{(a-1)^{2}} = \frac{a(a-2)}{(a-1)^{2}}

A'(a) = 0 \;\Longrightarrow\; a = 0 \ \text{(fuera del dominio)} \quad\text{o}\quad a = 2

4 · Justificar que es el mínimo absoluto

El denominador $(a-1)^{2}>0$ siempre, y en el dominio $a>0$ , así que el signo de $A'$ es el de $a-2$ :

intervalo	$A'$	$A$
$(1,2)$	$<0$	decrece
$(2,\infty)$	$>0$	crece

Baja y luego sube: $a=2$ es un mínimo.

Y es absoluto porque el intervalo es abierto y

\lim_{a\to1^{+}}\frac{a^{2}}{a-1} = +\infty, \qquad \lim_{a\to\infty}\frac{a^{2}}{a-1} = +\infty

Con un único punto crítico y la función disparándose en los dos extremos, no hay dónde esconder un valor menor.

Este es el argumento que puntúa. Comprobar solo $A''(2)>0$ demuestra que es mínimo local, y el enunciado pide el mínimo a secas.

5 · El resultado

a = 2 \;\Longrightarrow\; b = \frac{2\cdot2}{2-1} = 4

\boxed{a = 2, \qquad b = 4, \qquad A_{\min} = \frac{2\cdot4}{2} = 4}

La recta óptima:

\frac x2+\frac y4 = 1 \;\Longleftrightarrow\; y = 4-2x

6 · La propiedad que se ve al final

a = 2\cdot1, \qquad b = 2\cdot2

Los cortes óptimos son el doble de las coordenadas del punto. No es casualidad: rehaciendo el problema con un punto genérico $(p,q)$ sale $a = 2p$ y $b = 2q$ , y el área mínima $2pq$ .

Equivale a decir que el punto dado es el punto medio del segmento que la recta determina entre los ejes. Ese es el enunciado geométrico del resultado, y conviene darlo: es exactamente el tipo de observación que pide COMP4.

7 · Comprobación

Que la recta pasa por el punto. $y = 4-2\cdot1 = 2$ ✔

Que el punto es el punto medio. El segmento va de $(2,0)$ a $(0,4)$ , y su punto medio es $\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+4}{2}\right) = (1,2)$ ✔

Probando valores alrededor:

$a$	$b = \frac{2a}{a-1}$	$A = \frac{ab}{2}$
$1{,}5$	$6$	$4{,}5$
$2$	$4$	$\mathbf{4}$
$3$	$3$	$4{,}5$
$5$	$2{,}5$	$6{,}25$

El 4 es el menor ✔ Y curiosamente $a=1{,}5$ y $a=3$ dan lo mismo, como corresponde a una curva con un mínimo suave.

Por la desigualdad de las medias, sin derivar. De $\frac1a+\frac2b = 1$ y AM–GM:

1 = \frac1a+\frac2b \ge 2\sqrt{\frac{2}{ab}} \;\Longrightarrow\; 1 \ge \frac{8}{ab} \;\Longrightarrow\; ab \ge 8 \;\Longrightarrow\; A \ge 4

con igualdad cuando $\frac1a = \frac2b$ , es decir $b=2a$ , que junto a la ligadura da $a=2$ , $b=4$ ✔ Una demostración completamente independiente del cálculo diferencial.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 6 · Tercera evaluación, 21 de enero de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cómo crece el área de una superficie de revolución

COMP 11 punto por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El área $A$ del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje OX la gráfica de una función $f(x)$ definida en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ se calcula del siguiente modo:

A = 2\pi\int_a^{b}f(x)\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^{2}}\;dx

Considerar la función $f(x)$ continua en $[a,b]$ y dos veces derivable en $(a,b)$ cuya gráfica se muestra en la figura. Tomamos un punto cualquiera $u \in (a,b)$ y consideremos el área $A(u)$ del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje OX el tramo de la gráfica de $f(x)$ correspondiente al intervalo $[a,u]$ . Para la función de la figura se pide:

a) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y los extremos locales de $A(u)$ .

b) Estudiar la concavidad/convexidad y los puntos de inflexión de $A(u)$ .

c) Trazar una posible gráfica de $A(u)$ .

Figura redibujada del enunciado original. La funcion es positiva en todo el intervalo y tiene forma de valle: decrece hasta un minimo en c y despues crece. Hemos etiquetado ese minimo como c, que el original no nombra.

Estudiar $A(u)$ y trazar su gráfica.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué teorema hay que citar para derivar $A(u)$ ?
02
El signo de la derivada
COMP2
¿En cuántos puntos del interior se anula $A'(u)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de la concavidad. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Derivar otra vez, con la regla del producto: $A'' = 2\pi\left[f'\sqrt{1+f'^{2}} +f\cdot\frac{f'f''}{\sqrt{1+f'^{2}}}\right]$ .
2. Sacar $f'$ factor común: $A'' = \frac{2\pi f'}{\sqrt{1+f'^{2}}} \left[\left(1+f'^{2}\right)+f\,f''\right]$ .
3. El corchete es positivo: $1+f'^{2}>0$ siempre, $f>0$ por la figura, y $f''>0$ porque la curva es convexa en todo el intervalo.
4. Luego el signo de $A''$ es el de $f'$ : negativo antes del mínimo de $f$ y positivo después.
5. $A$ es cóncava en $(a,c)$ , convexa en $(c,b)$ , y tiene un punto de inflexión en $c$ , el mínimo de $f$ .
El papel de $f''$ aquí es solo garantizar que el corchete sea positivo. Quien decide la concavidad de $A$ es $f'$ .

factor	signo	por qué
$2\pi$	$>0$	constante
$f(u)$	$>0$	la gráfica está por encima del eje
$\sqrt{1+f'^{2}}$	$\ge1$	un radicando siempre $\ge1$

Resolución completa

Datos. $A(u) = 2\pi\int_a^{u}f(x)\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^{2}}dx$ , con $f$ la del dibujo: positiva en todo $[a,b]$ y con forma de valle, decreciente hasta un mínimo en $c$ y creciente después.

1 · Lo que se lee en la figura

Antes de derivar nada conviene dejar escritas las tres cosas que la gráfica dice, porque son las hipótesis de todo lo demás:

lectura	consecuencia
$f(x)>0$ en todo $[a,b]$ — la curva no toca el eje	$A'$ no se anula
$f'<0$ en $(a,c)$ , $f'>0$ en $(c,b)$ , $f'(c)=0$	decide la concavidad de $A$
la curva es convexa: $f''>0$	hace positivo el corchete de $A''$

2 · Apartado (a): crecimiento

El integrando $f(x)\sqrt{1+f'(x)^{2}}$ es continuo — $f$ lo es y $f'$ también, porque $f$ es dos veces derivable—, así que el teorema fundamental del cálculo se aplica:

A'(u) = 2\pi f(u)\sqrt{1+\left(f'(u)\right)^{2}}

Los tres factores son positivos:

2\pi>0, \qquad f(u)>0 \ \text{(por la figura)}, \qquad \sqrt{1+f'(u)^{2}}\ge1>0

\boxed{A'(u)>0 \ \text{en todo } (a,b)}

$A$ es estrictamente creciente y no tiene ningún extremo local. Sus valores extremos están en la frontera: el mínimo en $u=a$ , donde $A(a) = 0$ , y el máximo en $u=b$ .

Y tiene sentido: $A(u)$ es un área acumulada, y añadir tramo solo puede sumar superficie.

Ojo al error natural: el mínimo de $f$ no es un extremo de $A$ . Ahí $A$ sigue creciendo, solo que más despacio.

3 · Apartado (b): concavidad

Derivando $A'$ con la regla del producto:

A''(u) = 2\pi\left[f'\sqrt{1+f'^{2}} +f\cdot\frac{2f'f''}{2\sqrt{1+f'^{2}}}\right]

Sacando $\frac{f'}{\sqrt{1+f'^{2}}}$ factor común:

A''(u) = \frac{2\pi\,f'(u)}{\sqrt{1+f'(u)^{2}}} \left[\left(1+f'(u)^{2}\right)+f(u)\,f''(u)\right]

El corchete es positivo, con los tres datos de la figura:

\underbrace{1+f'^{2}}_{>0} +\underbrace{f}_{>0}\cdot\underbrace{f''}_{>0} \;>\; 0

Y el factor de delante tiene el signo de $f'$ . Por tanto:

tramo	$f'$	$A''$	$A$
$(a,c)$	$<0$	$<0$	cóncava
$(c,b)$	$>0$	$>0$	convexa

\boxed{A \text{ tiene un punto de inflexión en } c, \text{ el mínimo de } f}

4 · El desplazamiento de un orden

Es la idea que el ejercicio quiere ver escrita. Como $A'$ es proporcional a $f$ —salvo el factor de la raíz, que nunca cambia de signo—, todo se corre un escalón:

en $f$	en $A$
ceros de $f$	extremos de $A$
extremos de $f$	inflexiones de $A$
inflexiones de $f$	—

Aquí $f$ no tiene ceros, y por eso $A$ no tiene extremos. Y $f$ tiene un extremo en $c$ , y por eso $A$ tiene ahí su inflexión.

La convexidad de $f$ — $f''>0$ — no se transmite a $A$ : solo sirve para asegurar el signo del corchete.

5 · Apartado (c): la gráfica

Figura nuestra: el apartado c pide trazarla. Arranca en cero en a, crece siempre, es concava hasta c y convexa despues. El punto rojo marca la inflexion.

Los rasgos que la gráfica debe tener, y que son los que puntúan:

$A(a) = 0$ — el intervalo $[a,a]$ no genera superficie.
Creciente en todo el intervalo, sin ningún máximo ni mínimo interior.
Cóncava hasta $c$ : crece con pendiente cada vez menor.
Convexa desde $c$ : la pendiente vuelve a aumentar.
Un solo punto de inflexión, en $c$ .

El resultado es una curva en forma de ese tumbada.

6 · Comprobación

Con un caso concreto que reproduce la figura. Tomando $f(x) = 1+x^{2}$ en $[-1,1]$ —positiva, convexa, con mínimo en $c=0$ —:

A'(u) = 2\pi\left(1+u^{2}\right)\sqrt{1+4u^{2}}

que es positivo para todo $u$ ✔ Y

A''(u) = \frac{2\pi\cdot2u}{\sqrt{1+4u^{2}}} \left[\left(1+4u^{2}\right)+\left(1+u^{2}\right)\cdot2\right]

El corchete vale $3+6u^{2}>0$ , y el factor de delante tiene el signo de $u$ : negativo antes de 0, positivo después ✔ Inflexión en $u=0$ , que es el mínimo de $f$ ✔

Un contraejemplo que aclara el papel de $f''$ . Con $f(x) = 2-x^{2}$ en $[-1,1]$ —positiva pero cóncava—, el corchete es

\left(1+4x^{2}\right)+\left(2-x^{2}\right)(-2) = 8x^{2}-3

que cambia de signo en $x = \pm\sqrt{3/8}$ . Con esa $f$ , $A$ tendría hasta tres inflexiones. Es la prueba de que la convexidad de la figura no es un adorno: sin ella el apartado (b) no se resuelve con este argumento ✔

Del sentido físico. $A(b)$ es el área total de la superficie de revolución, y $A(u)$ va acumulándola de izquierda a derecha. Una función que acumula algo positivo no puede decrecer nunca ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Tercera evaluación · 2024-2025

Reconocer el camino

Cuántas soluciones hay

El módulo de las soluciones grandes

Justificar el argumento

1 · Factorizar, no dividir

2 · La ecuación bicúbica

3 · Las raíces de z3=1z^{3}=1z3=1

4 · Las raíces de z3=8z^{3}=8z3=8

5 · Las siete soluciones

6 · La representación

7 · Comprobación

Reconocer el camino

La altura del quinto bote

La suma de todas las alturas

Justificar el argumento

1 · Modelizar

2 · Apartado (a)

3 · Apartado (b)

4 · Qué significa el 36

5 · Comprobación

Reconocer el camino

El coeficiente de sexto grado

La octava derivada

Justificar el argumento

1 · Apartado (a)

2 · Apartado (b): la idea

3 · Sustituir

4 · Las dos derivadas

5 · Un resultado que sale gratis

6 · Comprobación

Reconocer el camino

Dónde se cortan

El área

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): las dos curvas

2 · Apartado (b): el área

3 · Apartado (c): el volumen al girar sobre OY

4 · Comprobación

Reconocer el camino

El corte con el eje horizontal

El área mínima

Justificar el argumento

1 · Plantear

2 · Reducir a una variable

3 · Derivar

4 · Justificar que es el mínimo absoluto

5 · El resultado

6 · La propiedad que se ve al final

7 · Comprobación

Reconocer el camino

El signo de la derivada

Justificar el argumento

1 · Lo que se lee en la figura

2 · Apartado (a): crecimiento

3 · Apartado (b): concavidad

4 · El desplazamiento de un orden

5 · Apartado (c): la gráfica

6 · Comprobación

3 · Las raíces de $z^{3}=1$

4 · Las raíces de $z^{3}=8$