Cálculo · tema 01

Números complejos

Polar, conjugado, De Moivre y raíces; lugares geométricos —Apolonio, arco capaz, elipse—; exponencial y logaritmo complejos. Y por qué el seno no está acotado.

Un número complejo no tiene nada de imaginario. Es un par de números con una regla de multiplicar distinta de la habitual, y esa regla es toda la asignatura de este tema: multiplicar por un complejo gira y escala. Si te quedas con esa frase, la mitad de los ejercicios dejan de ser fórmulas que memorizar.

De dónde sale

La ecuación $x^2 + 1 = 0$ no tiene solución entre los reales. Se podría dejar ahí, pero pasa algo raro: al resolver ecuaciones de tercer grado con soluciones reales aparecen raíces de negativos en medio del cálculo y desaparecen al final. Los números estaban haciendo falta aunque no se vieran en el resultado.

Se define entonces $i$ con la única propiedad que importa:

i^2 = -1

Y a partir de ahí, todo lo demás sale solo. Un complejo es $z = a + bi$ con $a, b \in \mathbb{R}$ . A $a$ se le llama parte real y a $b$ parte imaginaria — ojo, la parte imaginaria es $b$ , no $bi$ .

Las dos formas, y por qué hacen falta las dos

La forma binómica $z = a + bi$ es cómoda para sumar: sumas cada parte por su lado. Pero para multiplicar es un desastre, porque tienes que desarrollar el producto y acordarte de que $i^2 = -1$ .

La forma polar $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\,e^{i\theta}$ es al revés: sumar es incómodo, multiplicar es trivial. Con

r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}, \qquad \theta = \arg z

el producto se convierte en: multiplica los módulos, suma los argumentos.

El plano complejo

mueve z y mira las dos formas a la vez

módulo |z| 2,00

argumento arg z 0,79 rad

multiplicar por w = 1∠θ 0,00 rad

binómica1,41 + 1,41i

polar2,00 ∠ 0,79

cuadranteI

arctan(b/a)0,79

z · w2,00 ∠ 0,79

Mueve el argumento y mira las dos columnas a la vez. Lo que estás viendo es que la forma binómica y la polar son el mismo punto: cambian las coordenadas con las que lo nombras, no el punto.

Multiplicar es girar y escalar

Si $z = r\,e^{i\theta}$ y $w = s\,e^{i\varphi}$ , entonces

z \cdot w = rs\,e^{i(\theta + \varphi)}

Multiplicar por $w$ hace dos cosas al mismo tiempo: estira el vector por un factor $s$ y lo gira un ángulo $\varphi$ . Multiplicar por $i$ — que tiene módulo 1 y argumento $\pi/2$ — es exactamente girar un cuarto de vuelta. De ahí sale $i^2 = -1$ sin ninguna fórmula: dos cuartos de vuelta es media vuelta, y media vuelta convierte el 1 en el −1.

La fórmula de De Moivre no es una fórmula nueva, es esta misma repetida $n$ veces:

\left(r\,e^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta}

El argumento y la trampa de arctan

Aquí es donde se pierden los puntos. El argumento cumple $\tan\theta = b/a$ , y de ahí sale la tentación de escribir $\theta = \arctan(b/a)$ y seguir.

Error típico · calcular el argumento con arctan a secas

La función $\arctan$ devuelve siempre un ángulo entre $-\pi/2$ y $\pi/2$ , es decir, siempre te sitúa en el primer o el cuarto cuadrante. Si tu número está a la izquierda del eje imaginario, el ángulo que obtienes está desviado exactamente $\pi$ .

Con $z = -1 - i$ el cociente $b/a$ vale 1, y el ángulo que sale de memoria es $\arctan(1) = \pi/4$ — que es el argumento de $1 + i$ , el número contrario. El módulo sale bien, el argumento sale girado media vuelta, y todo lo que venga después —potencias, raíces, regiones— sale mal sin que nada te avise.

Y no es un descuido de calculadora, porque en el examen no hay: el ángulo lo sacas de los valores que te sabes, y esos valores no llevan el cuadrante puesto. $\arctan(1)$ es $\pi/4$ tanto si vienes del primer cuadrante como del tercero, así que la información que falta no la va a poner nadie por ti.

Regla práctica: mira primero en qué cuadrante estás, y solo después escribe el ángulo. En la herramienta de arriba, lleva el punto a la izquierda del eje y compara las dos últimas celdas.

El conjugado, que hace casi todo el trabajo

El conjugado de $z = a + bi$ es $\overline{z} = a - bi$ : el mismo punto reflejado en el eje real. Suena a definición menor y es la herramienta más rentable del tema, porque al multiplicar un complejo por su conjugado desaparece la $i$ :

z\,\overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^{2}+b^{2} = |z|^{2}

De ahí sale cómo se divide. No hay una regla nueva: se multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador, y el denominador se vuelve real.

\frac{2+i}{3-i} = \frac{(2+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \frac{6+2i+3i-1}{9+1} = \frac{5+5i}{10} = \frac12+\frac12 i

Las otras tres propiedades que se usan en examen, y que conviene reconocer al vuelo cuando aparecen escondidas en un enunciado:

$z+\overline{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$ y $z-\overline{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$ . Cuando veas $\frac{z+\overline{z}}{2}$ en una condición, es la parte real disfrazada.
El conjugado entra y sale de productos y cocientes: $\overline{zw} = \overline{z}\,\overline{w}$ . Por eso $\left|\overline{z}+\overline{w}\right| = \left|z+w\right|$ — reflejar no cambia distancias.
Y la que más rinde: si $|z| = 1$ , entonces $\overline{z} = 1/z$ .

Esa última convierte ecuaciones que parecen imposibles en ecuaciones normales. $z^{4}\overline{z}\,i + 1 = 0$ parece de grado cinco; tomando módulos sale $|z| = 1$ , y entonces $\overline z = 1/z$ deja $z^{3} = i$ , que es de grado tres. El conjugado resta un grado, no lo suma.

Error típico · confundir el conjugado con el opuesto

$\overline{z}$ refleja en el eje real y cambia el signo de la parte imaginaria: $\overline{-1-i} = -1+i$ . El opuesto $-z$ gira media vuelta y cambia los dos signos: $-(-1-i) = 1+i$ . Son puntos distintos salvo que $z$ sea imaginario puro.

La consecuencia práctica está en el argumento: $\arg\overline{z} = -\arg z$ , mientras que $\arg(-z) = \arg z + \pi$ . Un ejercicio de regiones que confunda los dos te sale reflejado donde debía salir girado, y el dibujo parece razonable — que es lo peor que puede pasar.

Raíces n-ésimas: cuántas hay y por qué están repartidas

Buscar $\sqrt[n]{z}$ es buscar los $w$ tales que $w^n = z$ . En polar:

w_k = \sqrt[n]{r}\;e^{i\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1

Los $n$ resultados tienen el mismo módulo y sus argumentos van separados $2\pi/n$ : quedan en los vértices de un polígono regular de $n$ lados inscrito en una circunferencia. Esa imagen es la comprobación más rápida que tienes: si resuelves unas raíces cúbicas y los tres resultados no están a 120° unos de otros, hay un error antes.

Error típico · quedarse con una sola raíz

$\sqrt[3]{8}$ en los reales es 2, y punto. En los complejos son tres números, y 2 es solo uno de ellos. Cuando el enunciado dice «halla las raíces cúbicas», las tres van en la respuesta, y COMP4 se evalúa sobre si has justificado que son todas.

Lugares geométricos: traducir la condición a una distancia

Este es el ejercicio que ha caído los once años, y casi siempre es el primero del examen. El enunciado da una o dos condiciones sobre $z$ y pide el conjunto de puntos que las cumplen, dibujado. Nunca se resuelve despejando a lo bruto: se resuelve leyendo cada trozo como una frase sobre distancias o ángulos.

Las cuatro traducciones básicas, que hay que reconocer sin pensar:

$|z - z_0|$ es la distancia de $z$ al punto $z_0$ . Con un $=$ es una circunferencia; con un $\le$ , un disco.
$|z - p| = |z - q|$ son los puntos que equidistan de $p$ y de $q$ : la mediatriz del segmento que los une.
Las condiciones sobre $\operatorname{Re}(z)$ o $\operatorname{Im}(z)$ son semiplanos. Y ojo, que vienen disfrazadas: $\frac{z+\overline{z}}{2}$ es $\operatorname{Re}(z)$ , y $z - \overline{z} \ge 2i$ es $\operatorname{Im}(z) \ge 1$ .
$\arg(z - z_0) = \theta$ es una semirrecta que sale de $z_0$ — sale, no pasa: el punto $z_0$ no está.

Dos rutinas que aparecen en casi todos y que se puntúan aparte del dibujo. Primero, si hay un denominador, hay un punto excluido: en $\arg\frac{z-1}{z+i}$ hay que decir en voz alta que $z \neq -i$ , y el dibujo lleva ese punto hueco. Segundo, el borde depende del signo: con $<$ va discontinuo, con $\le$ va continuo, y con dos condiciones a la vez la región es la intersección.

Y la comprobación que casi nadie hace: elige un punto que claramente esté dentro y sustitúyelo en la condición original. Si no la cumple, la región está mal. Cuesta veinte segundos y vale puntos de COMP4.

Apolonio: cuando las dos distancias no van al mismo peso

Si la condición es $|z - a| = |z - b|$ sale la mediatriz. Pero en cuanto una de las dos distancias lleva un factor delante,

|z - a| = k\,|z - b|, \qquad k \neq 1,

deja de ser una recta y pasa a ser una circunferencia. Es la circunferencia de Apolonio, y ha caído en 2019-2020, 2021-2022, 2023-2024 y 2025-2026.

No hay que recordar dónde está el centro: sale solo al escribir $z = x + iy$ , elevar los dos lados al cuadrado y completar cuadrados. Con $|z| = 2|z - 3|$ :

x^{2}+y^{2} = 4\left[(x-3)^{2}+y^{2}\right] \;\Longrightarrow\; x^{2}+y^{2}-8x+12 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-4)^{2}+y^{2} = 4

Centro en $4$ y radio $2$ . Fíjate en dónde ha quedado: no está en el punto medio de $0$ y $3$ , sino desplazada hacia $3$ — el punto del que se está más cerca. Tiene sentido: si de todos los puntos del lugar te exigen estar el doble de lejos del origen que del $3$ , el sitio donde eso se cumple se agolpa alrededor del $3$ . Y por eso la circunferencia encierra al $3$ y deja el origen fuera.

Los puntos de la circunferencia están al doble de distancia del origen que del 3. El punto 2 la cumple —dista 2 del origen y 1 del 3— y el punto 6 también, con 6 y 3.

El arco capaz, y cuándo se rompe en una semirrecta

La otra familia no habla de distancias sino de ángulos. La condición

\arg\frac{z-a}{z-b} = \theta

dice que el segmento que une $a$ con $b$ se ve desde $z$ bajo el ángulo $\theta$ , y el conjunto de puntos desde los que un segmento se ve siempre igual es un arco de circunferencia que pasa por $a$ y por $b$ : el arco capaz. Ha caído en 2017-2018, 2020-2021, 2022-2023 y 2023-2024.

Lo que decide la nota no es reconocerlo, es quedarse con el arco correcto. El argumento tiene signo, así que de las dos mitades en que $a$ y $b$ parten la circunferencia solo vale una: la del lado donde el giro de $z-b$ a $z-a$ va en el sentido que pide $\theta$ . Y los extremos $a$ y $b$ nunca entran, porque en ellos el cociente no está definido.

Desde cualquier punto del arco grueso, el segmento de −1 a 1 se ve bajo 90°. Desde el arco punteado también se ve bajo 90°, pero con el signo contrario, y por eso queda fuera.

Hay un caso límite que en los últimos cursos aparece más que el arco entero: cuando $\theta$ vale $0$ o $\pi$ , el «arco» se estira hasta convertirse en una recta, porque ver el segmento bajo un ángulo nulo o llano es estar alineado con $a$ y $b$ . Con $\theta = \pi$ te quedas con el trozo entre los dos puntos; con $\theta = 0$ , con las dos semirrectas de fuera. La misma degeneración explica $\arg\frac{1}{z-a} = \theta$ , que es simplemente $\arg(z-a) = -\theta$ : una semirrecta desde $a$ .

La elipse, y la hipérbola que nunca cae

Si en vez de igualar o dividir las dos distancias las sumas,

|z - a| + |z - b| = c,

el lugar es una elipse de focos $a$ y $b$ . Es la definición de elipse tal cual, y por eso no hace falta desarrollar nada: se identifican los focos, se comprueba que $c$ es mayor que la distancia entre ellos —si no, no hay solución— y se dibuja. Con $|z-3| + |z+3| = 10$ los focos están en $\pm3$ , el semieje mayor es $5$ y el menor sale de $\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$ .

Desde el punto más alto las dos distancias valen 5 y suman 10, que es la condición. Ese punto es el que da el semieje menor: 4, por Pitágoras.

La diferencia de distancias daría una hipérbola, y conviene saberlo por una razón práctica: aparece como respuesta plausible en los ejercicios de opción múltiple, pero en once años no se ha pedido ni una vez. Si te sale una hipérbola, revisa el signo antes que el dibujo.

La parábola, que sale de mezclar un módulo con una coordenada

La tercera cónica llega por otro camino. Cuando la condición no compara dos distancias entre sí sino una distancia con una coordenada, del tipo $|z| + \operatorname{Im}(z) < c$ , lo que hay detrás es la definición de parábola: los puntos que equidistan de un foco y de una recta. Cayó en 2024-2025 y se resuelve despejando y elevando al cuadrado una sola vez, que es donde está la gracia — el módulo se va y no queda ninguna raíz:

\sqrt{x^{2}+y^{2}} < c - y \;\Longrightarrow\; x^{2}+y^{2} < c^{2}-2cy+y^{2} \;\Longrightarrow\; y < \frac{c^{2}-x^{2}}{2c}

Una parábola abierta hacia abajo, con el vértice en $c/2$ . Cuidado con un paso que se salta casi todo el mundo: para elevar al cuadrado hace falta que $c - y$ sea positivo, así que la condición $y < c$ va incorporada y hay que decirlo.

Cuando la condición viene sobre un cociente

La variante que más se repite en la última década no es ninguna de las anteriores: es una condición sobre la parte real o imaginaria de algo con $z$ en el denominador, del tipo $\operatorname{Re}(1/(z-i)) > 1$ . Parece otra cosa y no lo es. Se racionaliza con el conjugado —de ahí que el conjugado sea la herramienta transversal del tema—, se separa la parte real, y lo que queda es una desigualdad en $x$ e $y$ que al completar cuadrados resulta ser un disco.

Con $\operatorname{Re}\!\left(\frac{1}{z}\right) > 1$ y $z = x+iy$ :

\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^{2}} = \frac{x - iy}{x^{2}+y^{2}} \;\Longrightarrow\; \frac{x}{x^{2}+y^{2}} > 1 \;\Longrightarrow\; \left(x-\tfrac12\right)^{2}+y^{2} < \tfrac14

El disco abierto de centro $\frac12$ y radio $\frac12$ — sin el origen, que ya estaba excluido desde el principio porque ahí no se puede dividir. Ese punto hueco es exactamente el medio punto que se pierde.

Error típico · dibujar la región y olvidar lo que no está

Los tres descuidos que se repiten, en orden de frecuencia: el punto excluido cuando había un denominador; el borde, que va discontinuo con $<$ y continuo con $\le$ ; y el arco de más en los ejercicios de argumento, quedándose con la circunferencia entera en vez de con la mitad que cumple el signo.

Los tres tienen la misma cura, y es la del principio del apartado: coger un punto concreto del trozo dudoso y sustituirlo en la condición original, no en la que has deducido. Si el origen está en tu disco, mételo en $\operatorname{Re}(1/z) > 1$ y verás que ni siquiera se puede evaluar.

Cuando la variable sube al exponente

Hasta aquí $z$ ha estado siempre en la base. Queda la otra mitad del tema: qué pasa cuando la variable se mete dentro de una exponencial, un logaritmo o un seno. Es la parte que más sorprende, porque tres cosas que en los reales son verdades firmes dejan de serlo: el logaritmo pasa a tener infinitos valores, el seno deja de estar acotado, y el logaritmo de un número negativo pasa a existir.

Euler: la forma polar y la exponencial son la misma

La definición que lo ordena todo es

e^{i\theta} = \cos\theta + i\,\mathrm{sen}\,\theta,

y con ella la forma polar $r(\cos\theta + i\,\mathrm{sen}\,\theta)$ se escribe $r\,e^{i\theta}$ . No son dos notaciones que haya que traducir: son la misma cosa. La ventaja de la exponencial es que las reglas de siempre valen tal cual — multiplicar suma exponentes, que es justo «los módulos se multiplican y los argumentos se suman», y De Moivre queda en $(re^{i\theta})^n = r^ne^{in\theta}$ sin nada que memorizar.

Para un $z$ cualquiera, $e^{z} = e^{x+iy} = e^{x}e^{iy}$ : el módulo es $e^{x}$ y el argumento es $y$ . De ahí sale que $e^{z}$ nunca vale cero —su módulo es una exponencial real— y que es periódica de periodo $2\pi i$ , porque sumarle $2\pi i$ a $z$ no cambia el punto. Esa periodicidad es la causa de todo lo que viene después.

El logaritmo, que da infinitos valores

Si $e^{z}$ repite valores cada $2\pi i$ , su inversa no puede devolver uno solo. Despejando $e^{w} = z$ sale

\ln z = \ln|z| + i\,(\arg z + 2k\pi), \qquad k \in \mathbb{Z}.

Son infinitos valores alineados verticalmente, separados $2\pi$ entre sí. Al que corresponde $k=0$ con el argumento principal se le llama valor principal, y es el que se da cuando el enunciado pide «el» logaritmo, pero un ejercicio que solo escriba ese pierde los puntos de COMP4: la respuesta completa lleva el $2k\pi$ .

Y desaparece la restricción de los reales. $\ln(-1)$ existe: $|-1| = 1$ y $\arg(-1) = \pi$ , así que $\ln(-1) = i\pi + 2k\pi i$ . Comprobación en una línea: $e^{i\pi} = -1$ .

Esto es lo que resuelve las ecuaciones del tipo $e^{f(z)} = w$ , que han caído en 2015-2016, 2017-2018 y 2020-2021. Nunca tienen una solución: tienen una fila infinita de ellas, y decir cuántas y dónde están es parte de la respuesta.

Seno y coseno, definidos con exponenciales

Despejando $\cos\theta$ y $\mathrm{sen}\,\theta$ de la fórmula de Euler y de su versión con $-\theta$ salen las definiciones que valen para todo complejo:

\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \qquad \mathrm{sen}\,z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}

Con esto, las identidades de bachillerato siguen valiendo — $\mathrm{sen}^2z + \cos^2z = 1$ , la del seno de una suma, la del ángulo doble— y la forma de demostrarlas en examen es sustituir la definición y operar con exponenciales, no invocar la identidad real. Es un tipo de ejercicio fijo: cayó en 2016-2017, 2019-2020 y 2022-2023.

Lo que no sobrevive es la acotación. En los reales el seno vive entre $-1$ y $1$ ; en los complejos no tiene techo. Con $z = iy$ la definición da

\mathrm{sen}(iy) = \frac{e^{-y}-e^{y}}{2i} = i\,\mathrm{sh}\,y,

y $\mathrm{sh}$ crece sin límite: $|\mathrm{sen}(10i)|$ pasa de once mil. Por eso una ecuación como $\cos z = 5$ , que en los reales no tiene solución, en los complejos sí la tiene, y se resuelve con el cambio $t = e^{iz}$ , que la convierte en una ecuación de segundo grado en $t$ .

Las hiperbólicas son las mismas, giradas

$\mathrm{ch}\,y = \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}$ y $\mathrm{sh}\,y = \frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$ tienen la misma forma que el seno y el coseno complejos sin la $i$ . De ahí el puente que se usa constantemente al separar parte real e imaginaria:

\cos(iy) = \mathrm{ch}\,y, \qquad \mathrm{sen}(iy) = i\,\mathrm{sh}\,y

Nunca son el objetivo del ejercicio; aparecen siempre a mitad de camino, cuando desarrollas $\mathrm{sen}(x+iy)$ y te encuentras con senos y cosenos de un imaginario puro. Basta con reconocerlas.

Error típico · dar por hecho que el seno complejo está acotado

Ante $\cos z = 5$ la reacción automática es escribir «no tiene solución, porque el coseno está entre $-1$ y $1$ ». En $\mathbb{R}$ sería correcto. En $\mathbb{C}$ es el error que anula el ejercicio entero, y el enunciado está puesto exactamente para provocarlo.

La cota $|\cos z| \le 1$ es un teorema sobre los reales, no una propiedad de la función. Al extender la definición con exponenciales, lo que se conserva son las identidades algebraicas — $\mathrm{sen}^2+\cos^2=1$ entre ellas— y lo que se pierde es la acotación. De hecho las dos cosas conviven sin contradicción: $\mathrm{sen}^2z+\cos^2z=1$ con números complejos no obliga a que ninguno de los dos sea pequeño, porque un cuadrado complejo puede ser negativo.

Lo que hay que llevar sabido

Todo lo de abajo está explicado más arriba, con su porqué. Esto no es la fuente: es la relectura de la última hora, para el rato antes de entrar. Si alguna línea no te dice nada, el sitio donde entenderla es el apartado correspondiente, no esta lista.

Las formas y el paso entre ellas

z = a+bi = r(\cos\theta + i\,\mathrm{sen}\,\theta) = r\,e^{i\theta}, \qquad r = \sqrt{a^{2}+b^{2}}, \qquad \tan\theta = \frac{b}{a}

Y el argumento, siempre mirando primero el cuadrante.

Producto, potencia y raíces

z_1z_2 = r_1r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}, \qquad z^{n} = r^{n}e^{in\theta}, \qquad w_k = \sqrt[n]{r}\;e^{i\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)},\; k=0,\dots,n-1

El conjugado

z\,\overline{z} = |z|^{2}, \qquad z+\overline{z} = 2\operatorname{Re}(z), \qquad z-\overline{z} = 2i\operatorname{Im}(z), \qquad |z|=1 \Rightarrow \overline{z} = \frac1z

Exponencial, logaritmo y trigonométricas

e^{i\theta} = \cos\theta + i\,\mathrm{sen}\,\theta, \qquad \ln z = \ln|z| + i(\arg z + 2k\pi)

\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \qquad \mathrm{sen}\,z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \qquad \mathrm{sen}(iy) = i\,\mathrm{sh}\,y

Las cinco traducciones de lugar geométrico

la condición dice	el dibujo es
$\lvert z-z_0\rvert = \rho$	circunferencia de centro $z_0$ y radio $\rho$
$\lvert z-p\rvert = \lvert z-q\rvert$	mediatriz del segmento $pq$
$\lvert z-a\rvert = k\lvert z-b\rvert$ , $k\neq1$	circunferencia de Apolonio
$\arg\frac{z-a}{z-b} = \theta$	arco capaz sobre $ab$ (solo una mitad)
$\lvert z-a\rvert + \lvert z-b\rvert = c$	elipse de focos $a$ y $b$

Y las tres cosas que se olvidan al dibujar: el punto excluido si había denominador, el borde abierto o cerrado según el signo, y comprobar con un punto en la condición original.

Practica lo que acabas de leer

Un disco, y decidir si el borde entra

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un disco, y decidir si el borde entra

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Representar los afijos de los números complejos $z$ que verifican

\left|z - (1+2i)\right| \le 3

Qué figura es, dónde está su centro, cuánto mide su radio y si el borde entra.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice $\left|z - (1+2i)\right|$ , leído en castellano?
02
El radio
COMP2
Si la condición fuera con un igual, $\left|z-(1+2i)\right| = 3$ , sería una circunferencia. ¿Cuánto mide su radio?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un punto de prueba
COMP2
Comprueba tu región con un punto. ¿Cuánto vale $\left|z-(1+2i)\right|$ para $z = 1+2i$ , o sea el propio centro?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\left|z-(1+2i)\right|$ es la distancia de $z$ al punto $(1,2)$ .
2. La condición pide que esa distancia no pase de 3.
3. Es el disco de centro $(1,2)$ y radio 3.
4. Como la desigualdad es $\le$ , el borde entra y se dibuja continuo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Los puntos que equidistan de otros dos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Representar los afijos de los números complejos $z$ que verifican

\left|z - 2\right| = \left|z - 4i\right|

Qué figura es y su ecuación en x e y.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué figura sale de igualar dos distancias?
02
La ecuación
COMP2
Con $z = x+iy$ , elevando al cuadrado los dos lados sale $(x-2)^{2}+y^{2} = x^{2}+(y-4)^{2}$ . Desarrollando y simplificando queda $y = mx + n$ . ¿Cuánto vale la pendiente $m$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Igualar dos distancias da la mediatriz del segmento que une los dos puntos.
2. Los puntos son $(2,0)$ y $(0,4)$ , y su punto medio es $(1,2)$ .
3. Al desarrollar los cuadrados se cancelan los términos de segundo grado.
4. Queda la recta $y = \frac{x}{2}+\frac{3}{2}$ , que pasa por $(1,2)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Pasar 1 + i a forma polar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Escribir el número complejo $z = 1 + i$ en forma polar.

El módulo, el argumento y el número escrito como r·e^(iθ).

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular nada: ¿en qué cuadrante está $1+i$ ?
02
El módulo
COMP2
¿Cuánto vale $\left|z\right| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$ para $z = 1+i$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El argumento
COMP2
¿Cuánto vale $\arg z$ , en radianes?
Tu respuesta al paso 3en radianes; en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta final. Una de estas piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El punto está en el primer cuadrante, porque $a>0$ y $b>0$ .
2. $\left|z\right| = \sqrt{1+1} = \sqrt2$ .
3. $\tan\theta = 1$ y, estando en el primer cuadrante, $\theta = \pi/4$ .
4. Por tanto $z = \sqrt2\,e^{i\pi/4}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Volver a binómica desde la forma polar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Escribir en forma binómica el número complejo $z = 2\,e^{i\pi/3}$ .

Las partes real e imaginaria, y el número en la forma a + bi.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que hacer para pasar de polar a binómica?
02
La parte real
COMP2
¿Cuánto vale $a = r\cos\theta$ con $r = 2$ y $\theta = \pi/3$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La parte imaginaria
COMP2
¿Y cuánto vale $b = r\,\mathrm{sen}\,\theta$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza sobra.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De la forma polar se leen el módulo $r = 2$ y el argumento $\theta = \pi/3$ .
2. $a = r\cos\theta = 2\cdot\frac12 = 1$ .
3. $b = r\,\mathrm{sen}\,\theta = 2\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3$ .
4. Por tanto $z = 1 + \sqrt3\,i$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El argumento de un número del tercer cuadrante

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el argumento de $z = -1 - i$ .

El argumento en radianes, con el cuadrante justificado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿En qué cuadrante está $-1-i$ ?
02
Lo que devolvería el arcotangente
COMP2
¿Cuánto vale $\arctan(b/a)$ aquí, en radianes?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El argumento de verdad
COMP2
Corregido el cuadrante, ¿cuánto vale $\arg z$ ?
Tu respuesta al paso 3en radianes, entre −π y π; en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $a = -1 < 0$ y $b = -1 < 0$ , luego $z$ está en el tercer cuadrante.
2. $\tan\theta = b/a = 1$ , y $\arctan(1) = \pi/4$ .
3. $\pi/4$ está en el primer cuadrante, así que hay que corregir media vuelta.
4. $\arg z = \pi/4 - \pi = -3\pi/4$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El argumento cuando la parte real es cero

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el módulo y el argumento de $z = -2i$ .

El módulo y el argumento, y por qué aquí no sirve la fórmula de la tangente.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué pasa al intentar usar $\tan\theta = b/a$ con este número?
02
El módulo
COMP2
¿Cuánto vale $\left|-2i\right|$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El argumento
COMP2
¿Cuánto vale $\arg(-2i)$ , en radianes?
Tu respuesta al paso 3en radianes, entre −π y π; en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Sobra una pieza.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $a = 0$ , la fórmula $\tan\theta = b/a$ no se puede usar.
2. El afijo es el punto $(0,-2)$ , sobre el eje imaginario y hacia abajo.
3. Esa dirección forma un ángulo de $-\pi/2$ con el eje real positivo.
4. El módulo es la distancia al origen, que vale 2. Luego $z = 2\,e^{-i\pi/2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Dividir dos complejos racionalizando

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Escribir en forma binómica el cociente

z = \frac{2+i}{3-i}

El cociente en la forma a + bi.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué hay que multiplicar arriba y abajo para hacer esta división?
02
El denominador
COMP2
¿Cuánto vale $(3-i)(3+i)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El resultado
COMP2
Termina la división. ¿Cuánto vale $z$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma binómica, por ejemplo 0,5+0,5i — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el desarrollo. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se multiplica arriba y abajo por $3+i$ , el conjugado del denominador.
2. El denominador queda $(3-i)(3+i) = 9-i^{2} = 10$ , que es real.
3. El numerador queda $(2+i)(3+i) = 6+5i+i^{2} = 5+5i$ .
4. Dividir entre un real es repartirlo entre las dos partes, y sale $\frac12+\frac12 i$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un número por su conjugado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para $z = 3+4i$ , calcular $z\,\overline{z}$ y comprobar que coincide con $\left|z\right|^{2}$ .

El producto, el módulo, y la relación entre los dos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el conjugado de $z = 3+4i$ ?
02
El producto
COMP2
¿Cuánto vale $z\,\overline{z} = (3+4i)(3-4i)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El módulo
COMP2
¿Y cuánto vale $\left|z\right|$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza no es verdad.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El conjugado de $3+4i$ es $3-4i$ .
2. Al multiplicarlos, los términos con $i$ se cancelan y queda $9+16 = 25$ .
3. El módulo es $\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$ , y su cuadrado es 25.
4. Luego $z\,\overline{z} = \left|z\right|^{2}$ , y el resultado es siempre real y no negativo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.1 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2014/2015 7E)

Potencia novena en forma binómica

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el número complejo

z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}

Calcular $z^{9}$ , dando el resultado en forma binómica.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de tocar nada: ¿qué camino lleva a $z^{9}$ sin que se te vaya la tarde?
02
Módulo de z
COMP2
¿Cuánto vale $|z|$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que justifica el valor de $\arg z$ . Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $z$ tiene parte real $-\frac{\sqrt3}{2}$ y parte imaginaria $-\frac12$ : las dos negativas, luego su afijo está en el tercer cuadrante.
2. $\tan\theta = \dfrac{b}{a} = \dfrac{-1/2}{-\sqrt3/2} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ , y en $[0,2\pi)$ hay dos ángulos que lo cumplen: $\pi/6$ y $7\pi/6$ .
3. De los dos, el que cae en el tercer cuadrante es $7\pi/6$ . Por tanto $\arg z = \frac{7\pi}{6}$ .
4. Comprobación: $\cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}$ y $\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac12$ , que son exactamente las dos componentes de $z$ .
El orden importa menos que el hábito: mirar el cuadrante antes de tocar la calculadora.
04
La potencia, en forma binómica
COMP2
Con $z = e^{i7\pi/6}$ , aplica De Moivre y escribe $z^{9}$ en forma binómica.
Tu respuesta al paso 4forma binómica, tipo a+bi — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. $z = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{i}{2}$ . Se pide $z^{9}$ en forma binómica.

1 · Herramienta y por qué se puede aplicar

Se usa la fórmula de De Moivre: si $z = r\,e^{i\theta}$ con $r = |z|$ y $\theta = \arg z$ , entonces

z^{n} = r^{n} e^{i n\theta}, \qquad n \in \mathbb{Z}

La fórmula exige tener $z$ escrito en forma polar, y no impone ninguna condición adicional sobre $z$ salvo $z \neq 0$ cuando el exponente es negativo. Aquí $z \neq 0$ y $n = 9 > 0$ , así que es aplicable sin restricciones. El trabajo previo es obtener $r$ y $\theta$ .

2 · Módulo

r = |z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}} = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1

El afijo de $z$ está en la circunferencia unidad. Esto se usará al final como comprobación: si $|z| = 1$ , entonces $|z^{9}| = 1^{9} = 1$ .

3 · Argumento

Las dos componentes de $z$ son negativas, luego su afijo está en el tercer cuadrante. La condición que define el argumento es

\tan\theta = \frac{b}{a} = \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}

y en $[0,2\pi)$ la cumplen dos ángulos: $\theta = \pi/6$ y $\theta = 7\pi/6$ . Hay que quedarse con el del tercer cuadrante:

\arg z = \frac{7\pi}{6}

Escribir $\theta = \arctan\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\pi}{6}$ sería un error: $\arctan$ toma valores en $(-\pi/2, \pi/2)$ y por tanto nunca devuelve un ángulo del tercer cuadrante. Se comprueba que el elegido es el correcto:

\cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}

que son exactamente la parte real y la parte imaginaria de $z$ . Por tanto

z = 1\cdot e^{i\frac{7\pi}{6}} = e^{i\frac{7\pi}{6}}

4 · Aplicación de De Moivre

z^{9} = 1^{9}\,e^{i\,9\cdot\frac{7\pi}{6}} = e^{i\frac{63\pi}{6}} = e^{i\frac{21\pi}{2}}

El argumento se reduce al intervalo $[0,2\pi)$ restando vueltas completas:

\frac{21\pi}{2} - 5\cdot 2\pi = \frac{21\pi}{2} - \frac{20\pi}{2} = \frac{\pi}{2}

5 · Paso a forma binómica

z^{9} = \cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i\cdot 1

6 · Comprobación

Dos comprobaciones independientes, que cuestan veinte segundos:

Módulo. $|z| = 1 \Rightarrow |z^{9}| = 1$ , y en efecto $|i| = 1$ . Cualquier resultado con módulo distinto de 1 habría estado mal.
En grados. $\arg z = 7\pi/6 = 210^{\circ}$ , y $9 \cdot 210^{\circ} = 1890^{\circ} = 5\cdot 360^{\circ} + 90^{\circ}$ : cinco vueltas completas y un cuarto de vuelta, que deja el afijo en el semieje imaginario positivo.

Resultado

\boxed{\;z^{9} = i\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.2 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2017/2018 6E)

Suma de dos potencias décimas

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{10} + \left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^{10}

Calcular la suma y representar gráficamente el resultado.

01
Reconocer el camino
COMP1
Mira las dos bases antes de calcular nada. ¿Qué observación te ahorra la mitad del trabajo?
02
Módulo de la base
COMP2
¿Cuánto vale $\left|\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}\right|$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La primera potencia
COMP2
Con $z = \dfrac{1+i}{\sqrt2} = e^{i\pi/4}$ , ¿cuánto vale $z^{10}$ en forma binómica?
Tu respuesta al paso 3forma binómica, tipo a+bi — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que justifica el valor de la suma. Una de las piezas llega al resultado correcto por el camino equivocado, y no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos bases son conjugadas: $\dfrac{1-i}{\sqrt2}$ es la conjugada de $\dfrac{1+i}{\sqrt2}$ , porque solo cambia el signo de la parte imaginaria.
2. Conjugar y elevar se pueden hacer en cualquier orden: la conjugada de $z^{n}$ es la potencia $n$ -ésima de la conjugada de $z$ .
3. Por tanto la suma es $z^{10}$ más su conjugada, y eso vale $2\operatorname{Re}\left(z^{10}\right)$ .
4. Como $z^{10} = i$ es imaginario puro, $\operatorname{Re}(z^{10}) = 0$ y la suma vale 0.
Un número más su conjugado siempre es real: es $2\operatorname{Re}$ . Que aquí salga cero es lo que hay que justificar, y sale de que la potencia es imaginaria pura.
05
La suma
COMP2
¿Cuánto vale la suma completa?
Tu respuesta al paso 5forma binómica, tipo a+bi — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se pide el valor de

S = \left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{10} + \left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^{10}

y la representación gráfica del resultado.

1 · La observación que ahorra la mitad del trabajo

Antes de calcular conviene ver que las dos bases son conjugadas: en $\frac{1-i}{\sqrt2}$ solo ha cambiado el signo de la parte imaginaria respecto de $\frac{1+i}{\sqrt2}$ .

Como la conjugación respeta productos, conjugar y elevar se pueden hacer en cualquier orden: $\left(\overline{z}\right)^{n}$ es la conjugada de $z^{n}$ , para todo $n \in \mathbb{N}$ . Llamando $z = \frac{1+i}{\sqrt2}$ , la suma es

S = z^{10} + \left(\overline{z}\right)^{10} = 2\operatorname{Re}\left(z^{10}\right)

Basta entonces con calcular una de las dos potencias. Y de paso queda claro que $S$ es un número real, sea cual sea su valor.

2 · Forma polar de la base

|z| = \frac{|1+i|}{\sqrt2} = \frac{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt2}{\sqrt2} = 1

El afijo de $1+i$ está en el primer cuadrante, y ahí sí coinciden el arcotangente y el argumento:

\arg z = \arctan\frac{1}{1} = \frac{\pi}{4}

Luego $z = e^{i\pi/4}$ . Módulo 1: elevar a la décima no cambia el tamaño, solo gira.

3 · Aplicación de De Moivre

z^{10} = \left(e^{i\pi/4}\right)^{10} = e^{i\frac{10\pi}{4}} = e^{i\frac{5\pi}{2}}

Se reduce el argumento al intervalo $[0,2\pi)$ restando una vuelta completa:

\frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{5\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}

z^{10} = \cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2} = i

4 · La suma

Por el apartado 1, y como $z^{10} = i$ es imaginario puro:

S = 2\operatorname{Re}(i) = 2\cdot 0 = 0

O escrito término a término, que es lo mismo:

S = i + \overline{i} = i + (-i) = 0

5 · Comprobación

Por una vía completamente distinta, sin pasar por la forma polar. Como $(1+i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i$ :

(1+i)^{10} = \left[(1+i)^{2}\right]^{5} = (2i)^{5} = 32\,i^{5} = 32i

y como $\left(\sqrt2\right)^{10} = 2^{5} = 32$ , se recupera $z^{10} = 32i/32 = i$ . Análogamente $(1-i)^{10} = -32i$ , y la suma vuelve a dar 0.

6 · Representación gráfica

Lo que se pide dibujar es el resultado, no los sumandos: el afijo de $S = 0$ es el origen.

Conviene añadir los dos sumandos para que se vea por qué: sus afijos son $i$ y $-i$ , simétricos respecto del eje real y sobre la circunferencia unidad. Colocados como vectores desde el origen, la regla del paralelogramo los lleva de vuelta al punto de partida.

Resultado

\boxed{\;S = 0\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.3 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU

Un cociente con exponenciales

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

\frac{1 - e^{i\pi/2}}{1 + e^{i\pi/2}}

Escribir en forma binómica.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado impone por las exponenciales. ¿Cuál es el primer paso?
02
El valor de la exponencial
COMP2
¿Cuánto vale $e^{i\pi/2}$ ?
Tu respuesta al paso 2forma binómica, tipo a+bi — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que justifica por qué se multiplica por el conjugado. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sustituyendo queda $\dfrac{1-i}{1+i}$ , con el denominador complejo: todavía no es forma binómica.
2. Se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador, $1-i$ . Eso no cambia el valor: es multiplicar por 1.
3. El producto $(1+i)(1-i) = 1^2 + 1^2 = 2$ es real, que era el objetivo de toda la maniobra.
4. Con el denominador ya real, basta dividir el numerador entre 2 para leer la parte real y la imaginaria.
Racionalizar no es un truco: es la única forma de escribir un cociente en forma binómica, porque «forma binómica» significa exactamente que el denominador ha desaparecido.
04
El cociente
COMP2
Con $e^{i\pi/2} = i$ , ¿cuánto vale la expresión?
Tu respuesta al paso 4forma binómica, tipo a+bi — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se pide escribir en forma binómica

w = \frac{1 - e^{i\pi/2}}{1 + e^{i\pi/2}}

1 · Qué es la exponencial que aparece

Por la fórmula de Euler, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\,\mathrm{sen}\,\theta$ para todo $\theta$ real. Con $\theta = \pi/2$ :

e^{i\pi/2} = \cos\frac{\pi}{2} + i\,\mathrm{sen}\,\frac{\pi}{2} = 0 + i = i

El enunciado es, entonces, un cociente de binomios disfrazado:

w = \frac{1-i}{1+i}

2 · Por qué hay que racionalizar

«Forma binómica» significa $a+bi$ con $a$ y $b$ reales, y eso exige que no quede ningún complejo en el denominador. Se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador, $1-i$ : multiplicar arriba y abajo por lo mismo no cambia el valor, y el producto de un complejo por su conjugado es real,

(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2

que es justo lo que hace falta.

3 · La operación

w = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{(1-i)^2}{1^2+1^2} = \frac{(1-i)^2}{2}

Desarrollando el numerador, y usando $i^2=-1$ :

(1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i

w = \frac{-2i}{2} = -i

4 · Comprobación

Por una vía distinta, en forma polar. El numerador $1-i$ tiene módulo $\sqrt2$ y argumento $-\pi/4$ —cuarto cuadrante—; el denominador $1+i$ tiene módulo $\sqrt2$ y argumento $\pi/4$ . Al dividir, los módulos se dividen y los argumentos se restan:

w = \frac{\sqrt2}{\sqrt2}\,e^{i\left(-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)} = e^{-i\pi/2} = -i

Las dos vías coinciden.

Resultado

\boxed{\;\frac{1 - e^{i\pi/2}}{1 + e^{i\pi/2}} = -i\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.4 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2019/2020 4E AT)

La potencia doceava de un cociente

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

\left( \frac{\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(\frac{-1+i}{\sqrt{2}}\right)} {2i\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^{1/3}} \right)^{12}

Calcular el valor de la expresión.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay cuatro factores, un cociente, una raíz cúbica y un exponente 12. ¿Por dónde se empieza?
02
El módulo del cociente
COMP2
Antes de elevar a 12, ¿cuánto vale el módulo del cociente que va dentro del paréntesis?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El argumento del cociente
COMP2
¿Cuánto vale el argumento del cociente, en grados, antes de elevar a 12?
Tu respuesta al paso 3en grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
La raíz cúbica del denominador tiene tres valores, así que el enunciado parece ambiguo. Ordena el razonamiento que resuelve la ambigüedad. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{1/3}$ no es un número: son tres, con argumentos $-15°$ , $105°$ y $225°$ .
2. Elegir una u otra cambia el argumento del cociente en múltiplos de $120°$ .
3. Al elevar a la doceava, ese cambio se multiplica por 12: pasa a ser un múltiplo de $1440°$ , es decir, cuatro vueltas exactas.
4. Cuatro vueltas no cambian nada, así que el resultado es el mismo con cualquiera de las tres raíces: la ambigüedad desaparece.
Esto no es un detalle de purista: es exactamente el tipo de justificación que COMP4 evalúa. El número sale igual escribiéndolo o sin escribirlo; la nota, no.
05
El resultado
COMP2
Eleva a la doceava y da el resultado en forma binómica.
Tu respuesta al paso 5forma binómica, tipo a+bi — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se pide el valor de

W = \left( \frac{\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(\frac{-1+i}{\sqrt{2}}\right)} {2i\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^{1/3}} \right)^{12}

1 · Herramienta y por qué se puede aplicar

Todo el ejercicio son productos, un cociente y potencias, y en forma polar esas tres operaciones son inmediatas: los módulos se multiplican, dividen y elevan; los argumentos se suman, restan y multiplican. Se usa la fórmula de De Moivre, válida para todo $z \neq 0$ , y aquí ningún factor es cero.

2 · Cada factor en forma polar

factor	módulo	argumento
$1+i\sqrt3$	$\sqrt{1+3} = 2$	$60°$ (primer cuadrante)
$\frac{-1+i}{\sqrt2}$	$1$	$135°$ (segundo cuadrante)
$2i$	$2$	$90°$
$\frac{1-i}{\sqrt2}$	$1$	$-45°$ (cuarto cuadrante)

La raíz cúbica del último divide su argumento entre tres: $-45°/3 = -15°$ , y deja el módulo en 1.

3 · El cociente

Numerador: módulo $2 \cdot 1 = 2$ , argumento $60° + 135° = 195°$ .

Denominador: módulo $2 \cdot 1 = 2$ , argumento $90° - 15° = 75°$ .

\frac{\text{num}}{\text{den}} = \frac{2}{2}\,e^{i(195° - 75°)} = e^{i\,120°}

4 · La ambigüedad de la raíz cúbica, y por qué no importa

$\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{1/3}$ tiene tres valores, con argumentos $-15°$ , $105°$ y $225°$ : se diferencian en $120°$ . Elegir otro cambia el argumento del cociente en un múltiplo de $120°$ , y al elevar a la doceava ese cambio queda multiplicado por 12,

12 \cdot 120° = 1440° = 4\cdot 360°

que son cuatro vueltas completas. El resultado es el mismo con cualquiera de las tres. Conviene escribirlo: el enunciado parecía ambiguo y no lo es.

5 · La potencia

W = \left(e^{i\,120°}\right)^{12} = e^{i\,1440°} = e^{i\,0°} = 1

6 · Comprobación

El módulo tiene que ser $1^{12} = 1$ , y lo es. Y el argumento final, $1440°$ , es múltiplo exacto de $360°$ : el afijo cae en el semieje real positivo, que es donde está el 1.

Resultado

\boxed{\;W = 1\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.5 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2011/2012 2E)

La raíz cúbica de un cociente

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

\sqrt[3]{\frac{-2+2i}{1+i\sqrt{3}}}

Expresar en forma binómica.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el camino corto?
02
El módulo del cociente
COMP2
¿Cuánto vale el módulo de $\dfrac{-2+2i}{1+i\sqrt3}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número; puedes escribirlo como √2 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El argumento del cociente
COMP2
¿Cuánto vale su argumento, en grados?
Tu respuesta al paso 3en grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que justifica cuántas raíces hay y cómo están colocadas. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Buscar $\sqrt[3]{w}$ es buscar los $z$ tales que $z^3 = w$ : una ecuación de tercer grado, que tiene tres soluciones.
2. Todas tienen el mismo módulo, $\sqrt[3]{|w|}$ , porque al elevar al cubo el módulo se eleva al cubo.
3. Sus argumentos son $\frac{\theta + 360°k}{3}$ con $k=0,1,2$ : sumarle una vuelta a $w$ no lo cambia a él, pero sí cambia la raíz.
4. Los tres argumentos se diferencian en $120°$ , así que los afijos son los vértices de un triángulo equilátero.
La imagen del triángulo equilátero es la comprobación más rápida que tienes: si tus tres raíces no están a $120°$ , hay un error antes.
05
El módulo de las raíces
COMP2
¿Cuánto vale el módulo común de las tres raíces?
Tu respuesta al paso 5un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
El menor de los tres argumentos
COMP2
De los tres argumentos de las raíces, ¿cuál es el más pequeño, en grados?
Tu respuesta al paso 6en grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se pide expresar en forma binómica

z = \sqrt[3]{\frac{-2+2i}{1+i\sqrt{3}}}

1 · Herramienta y por qué se puede aplicar

Se usa la fórmula de las raíces $n$ -ésimas: si $w = r\,e^{i\theta}$ con $w \neq 0$ , sus $n$ raíces son

z_k = \sqrt[n]{r}\;e^{i\frac{\theta + 360°k}{n}}, \qquad k = 0,1,\dots,n-1

Exige tener $w$ en forma polar y $w \neq 0$ . Aquí el numerador no es cero, así que el cociente tampoco: es aplicable. El trabajo previo es simplificar el cociente.

2 · El cociente, en forma polar

Módulos:

|-2+2i| = \sqrt{4+4} = 2\sqrt2, \qquad \left|1+i\sqrt3\right| = \sqrt{1+3} = 2

Argumentos: el afijo de $-2+2i$ está en el segundo cuadrante —parte real negativa, imaginaria positiva—, así que su argumento es $135°$ y no el $-45°$ que da el arcotangente a secas. El de $1+i\sqrt3$ está en el primero, con $\tan\theta = \sqrt3$ , luego $60°$ .

En un cociente los módulos se dividen y los argumentos se restan:

w = \frac{2\sqrt2}{2}\;e^{i(135° - 60°)} = \sqrt2\;e^{i\,75°}

3 · Las tres raíces

z_k = \sqrt[3]{\sqrt2}\;e^{i\frac{75° + 360°k}{3}} = 2^{1/6}\,e^{i\theta_k}, \qquad k = 0,1,2

con

\theta_0 = 25°, \qquad \theta_1 = 145°, \qquad \theta_2 = 265°

Es decir:

z_0 = 2^{1/6}\left(\cos 25° + i\,\mathrm{sen}\,25°\right), \quad z_1 = 2^{1/6}\left(\cos 145° + i\,\mathrm{sen}\,145°\right), \quad z_2 = 2^{1/6}\left(\cos 265° + i\,\mathrm{sen}\,265°\right)

4 · Sobre la «forma binómica» que pide el enunciado

Los cosenos y senos de $25°$ , $145°$ y $265°$ no son valores exactos cómodos: la forma binómica solo se puede escribir con decimales aproximados, y por eso la solución oficial del boletín deja las tres raíces en forma trigonométrica. Si se quiere el valor numérico:

z_0 \approx 1{,}017 + 0{,}474\,i, \quad z_1 \approx -0{,}920 + 0{,}644\,i, \quad z_2 \approx -0{,}098 - 1{,}118\,i

Merece la pena decirlo en el examen en vez de dejar la sensación de que falta terminar el ejercicio.

5 · Comprobación

Los tres argumentos se diferencian exactamente en $120°$ , y los tres módulos coinciden: los afijos son los vértices de un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia de radio $2^{1/6}$ . Además, $\left(2^{1/6}\right)^3 = 2^{1/2} = \sqrt2$ , que es el módulo del cociente de partida, y $3 \cdot 25° = 75°$ , que es su argumento. Elevando al cubo se recupera $w$ .

Resultado

\boxed{\;z_k = 2^{1/6}\left(\cos\theta_k + i\,\mathrm{sen}\,\theta_k\right),\quad \theta_k \in \{25°,\,145°,\,265°\}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.8 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2019/2020 3E AT)

Una ecuación cúbica con cociente

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

z^{3} = \frac{-1+i}{\sqrt{3}+i}

Calcular y representar gráficamente las soluciones de la ecuación.

01
Reconocer el camino
COMP1
El segundo miembro es un cociente y la incógnita está al cubo. ¿Qué hay que hacer primero?
02
El segundo miembro, en polar
COMP2
¿Cuánto vale el argumento del cociente $\dfrac{-1+i}{\sqrt3+i}$ , en grados?
Tu respuesta al paso 2en grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que justifica cuántas soluciones tiene la ecuación y dónde están. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ecuación es $z^{3} = w$ con $w = 2^{-1/2}e^{i105°}$ , y $w \neq 0$ .
2. Una ecuación polinómica de grado 3 tiene exactamente 3 soluciones en $\mathbb{C}$ , contando multiplicidades.
3. Todas tienen módulo $\sqrt[3]{|w|} = 2^{-1/6}$ , porque al elevar al cubo el módulo se eleva al cubo.
4. Sus argumentos son $\frac{105° + 360°k}{3}$ con $k=0,1,2$ , es decir $35°$ , $155°$ y $275°$ .
Tres soluciones, mismo módulo, separadas $120°$ : un triángulo equilátero. Esa imagen es la que hay que dibujar.
04
El módulo de las soluciones
COMP2
¿Cuál es el módulo común de las tres soluciones?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se pide resolver y representar

z^{3} = \frac{-1+i}{\sqrt{3}+i}

1 · Simplificar el segundo miembro

Módulos y argumentos por separado:

|-1+i| = \sqrt{2}, \qquad \arg(-1+i) = 135°\ \text{(segundo cuadrante)}

\left|\sqrt3+i\right| = \sqrt{3+1} = 2, \qquad \arg\left(\sqrt3+i\right) = 30°\ \text{(primer cuadrante, } \tan\theta = 1/\sqrt3)

En un cociente los módulos se dividen y los argumentos se restan:

w = \frac{-1+i}{\sqrt3+i} = \frac{\sqrt2}{2}\,e^{i(135°-30°)} = 2^{-1/2}\,e^{i\,105°}

2 · Herramienta y por qué se puede aplicar

La ecuación es ahora $z^3 = w$ con $w \neq 0$ , así que se aplica la fórmula de las raíces $n$ -ésimas:

z_k = \sqrt[3]{|w|}\;e^{i\frac{\arg w + 360°k}{3}}, \qquad k = 0,1,2

Son exactamente tres, ni una más ni una menos: una ecuación polinómica de grado 3 tiene tres soluciones en $\mathbb{C}$ .

3 · Las tres soluciones

|z| = \sqrt[3]{2^{-1/2}} = 2^{-1/6} \approx 0{,}8909

\theta_k = \frac{105° + 360°k}{3} \;\Longrightarrow\; \theta_0 = 35°,\quad \theta_1 = 155°,\quad \theta_2 = 275°

z_0 = 2^{-1/6}e^{i\,35°}, \qquad z_1 = 2^{-1/6}e^{i\,155°}, \qquad z_2 = 2^{-1/6}e^{i\,275°}

4 · Representación gráfica

Los tres afijos están sobre la circunferencia de radio $2^{-1/6}$ —algo por dentro de la unidad— y separados exactamente $120°$ : son los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen, con el primer vértice a $35°$ .

5 · Comprobación

Elevando la primera al cubo: el módulo pasa a $\left(2^{-1/6}\right)^3 = 2^{-1/2}$ y el argumento a $3 \cdot 35° = 105°$ , que es exactamente $w$ . Y $3 \cdot 155° = 465° = 105° + 360°$ , la misma dirección tras una vuelta; igual con $3 \cdot 275° = 825° = 105° + 2\cdot 360°$ .

Resultado

\boxed{\;z_k = 2^{-1/6}\,e^{i\theta_k},\quad \theta_k \in \{35°,\,155°,\,275°\}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.9 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2018/2019 1E AT)

Las raíces cuartas de menos dieciséis

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

z^{4} + 16 = 0

Calcular y representar gráficamente las soluciones, dando el resultado en forma binómica.

01
Reconocer el camino
COMP1
$z^4 = -16$ . En los reales esto no tendría solución. ¿Qué cambia en los complejos?
02
El módulo de las soluciones
COMP2
¿Cuánto vale el módulo de cada solución?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que justifica dónde están las cuatro soluciones. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se escribe el segundo miembro en polar: $-16 = 16\,e^{i\,180°}$ , porque su afijo está en el semieje real negativo.
2. Si $z = r e^{i\theta}$ , entonces $z^4 = r^4 e^{i\,4\theta}$ , así que $r^4 = 16$ y $4\theta = 180° + 360°k$ .
3. De la primera igualdad, $r = 2$ ; de la segunda, $\theta = 45° + 90°k$ .
4. Con $k=0,1,2,3$ salen $45°$ , $135°$ , $225°$ y $315°$ : los cuatro vértices de un cuadrado.
Cuatro soluciones a $90°$ unas de otras: un cuadrado inscrito en la circunferencia de radio 2, girado $45°$ respecto de los ejes.
04
Las cuatro soluciones
COMP2
Escribe las cuatro soluciones en forma binómica, separadas por comas.
Tu respuesta al paso 4las cuatro, separadas por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se pide resolver $z^4 + 16 = 0$ , dar las soluciones en forma binómica y representarlas.

1 · Por qué esto tiene solución aquí y no en los reales

La ecuación es $z^4 = -16$ . En $\mathbb{R}$ no hay solución: una potencia par de un real nunca es negativa. En $\mathbb{C}$ sí, porque elevar a una potencia gira: cuatro giros de $45°$ llevan al semieje real negativo, que es donde está el $-16$ .

2 · Herramienta

Se escribe el segundo miembro en polar,

-16 = 16\,e^{i\,180°}

y se aplica la fórmula de las raíces $n$ -ésimas, válida porque $-16 \neq 0$ :

z_k = \sqrt[4]{16}\;e^{i\frac{180° + 360°k}{4}}, \qquad k = 0,1,2,3

Son cuatro porque el grado es 4.

3 · Módulo y argumentos

|z| = \sqrt[4]{16} = 2

\theta_k = \frac{180° + 360°k}{4} = 45° + 90°k \;\Longrightarrow\; 45°,\; 135°,\; 225°,\; 315°

4 · Paso a forma binómica

Como $\cos 45° = \mathrm{sen}\,45° = \frac{\sqrt2}{2}$ y el módulo es 2, cada componente vale $2\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \sqrt2$ :

z_0 = \sqrt2 + i\sqrt2, \quad z_1 = -\sqrt2 + i\sqrt2, \quad z_2 = -\sqrt2 - i\sqrt2, \quad z_3 = \sqrt2 - i\sqrt2

que se escribe de forma compacta como

z = \sqrt2\,(\pm 1 \pm i)

5 · Representación gráfica

Los cuatro afijos son los vértices de un cuadrado inscrito en la circunferencia de radio 2, con los vértices sobre las bisectrices de los cuadrantes. Vienen además en pares conjugados — $z_0$ con $z_3$ , y $z_1$ con $z_2$ —, como tiene que pasar en toda ecuación de coeficientes reales.

6 · Comprobación

Con la primera: $(\sqrt2+i\sqrt2)^2 = 2 + 2\cdot 2i + 2i^2 = 4i$ , y $(4i)^2 = -16$ . Se cumple la ecuación.

Resultado

\boxed{\;z = \sqrt2\,(\pm 1 \pm i)\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.10 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU

Cuando el cuadrado es el conjugado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

z^{2} = \overline{z}

Calcular y representar gráficamente las soluciones de la ecuación.

01
Reconocer el camino
COMP1
Aquí no se puede aplicar la fórmula de las raíces: la incógnita aparece a los dos lados y en uno está conjugada. ¿Por dónde se entra?
02
Los módulos posibles
COMP2
Tomando módulos queda $|z|^2 = |z|$ . ¿Cuáles son los dos valores posibles de $|z|$ ? Escríbelos separados por comas.
Tu respuesta al paso 2los dos, separados por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del caso $|z| = 1$ . Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Si $|z| = 1$ , entonces $z\,\overline{z} = |z|^2 = 1$ , de donde $\overline{z} = \dfrac{1}{z}$ .
2. Sustituyendo en la ecuación: $z^{2} = \dfrac{1}{z}$ , y multiplicando por $z$ queda $z^{3} = 1$ .
3. Multiplicar por $z$ es legítimo aquí porque en este caso $|z| = 1$ , así que $z \neq 0$ .
4. Las raíces cúbicas de la unidad son $1$ , $e^{i120°}$ y $e^{i240°}$ , es decir $1$ y $-\frac12 \pm \frac{\sqrt3}{2}i$ .
Juntando los dos casos: el $0$ del primero y las tres raíces cúbicas de la unidad del segundo. Cuatro soluciones en total.
04
Todas las soluciones
COMP2
Escribe todas las soluciones en forma binómica, separadas por comas.
Tu respuesta al paso 4todas, separadas por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se pide resolver y representar $z^{2} = \overline{z}$ .

1 · Por qué no vale la fórmula de las raíces

La incógnita aparece en los dos miembros, y en uno de ellos conjugada. No es una ecuación del tipo $z^n = w$ , así que la fórmula de las raíces no se puede aplicar directamente. La entrada natural es tomar módulos, que convierte una ecuación compleja en una ecuación real.

2 · Los módulos posibles

Tomando módulos en los dos miembros, y usando $\left|z^{2}\right| = |z|^{2}$ y $\left|\overline{z}\right| = |z|$ :

|z|^{2} = |z| \;\Longrightarrow\; |z|\left(|z|-1\right) = 0

Como el módulo no es negativo, solo hay dos posibilidades: $|z| = 0$ o $|z| = 1$ . Conviene no dividir entre $|z|$ : eso perdería el caso $|z| = 0$ , que es una solución de verdad.

3 · Caso $|z| = 0$

Es inmediato: $z = 0$ . Y comprueba la ecuación, porque $0^{2} = 0 = \overline{0}$ .

4 · Caso $|z| = 1$

De $z\,\overline{z} = |z|^{2} = 1$ se despeja $\overline{z} = 1/z$ , que es lícito porque en este caso $z \neq 0$ . Sustituyendo:

z^{2} = \frac{1}{z} \;\Longrightarrow\; z^{3} = 1

Las raíces cúbicas de la unidad tienen módulo 1 y argumentos $\frac{0° + 360°k}{3} = 0°,\,120°,\,240°$ :

z = 1, \qquad z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}i, \qquad z = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}i

5 · Representación gráfica

Cuatro afijos: el origen, y los tres vértices de un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia unidad, con un vértice en el 1 y los otros dos simétricos respecto del eje real.

6 · Comprobación

Con $z = -\frac12 + \frac{\sqrt3}{2}i$ , que tiene módulo 1 y argumento $120°$ : su cuadrado tiene módulo 1 y argumento $240°$ , y su conjugado tiene módulo 1 y argumento $-120° = 240°$ . Coinciden, así que cumple la ecuación.

Resultado

\boxed{\;z \in \left\{0,\; 1,\; -\tfrac12 + \tfrac{\sqrt3}{2}i,\; -\tfrac12 - \tfrac{\sqrt3}{2}i\right\}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.11 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2018/2019 3E)

Una ecuación con potencia y conjugado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

z^{4}\,\overline{z}\,i + 1 = 0

Calcular y representar gráficamente las soluciones de la ecuación.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay una potencia, un conjugado y un factor $i$ . ¿Cuál es la forma de atacarlo?
02
El módulo
COMP2
En polar la ecuación es $r^{5}e^{i(3\theta + 90°)} = 1\cdot e^{i180°}$ . ¿Cuánto vale $r$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
El 5 es el exponente, no el valor. De $r^{5} = 1$ con $r$ real y no negativo sale $r = 1$ .
Un módulo nunca es negativo. Y aunque se permitiera, $(-1)^5 = -1 \neq 1$ .
Si $r = 0$ el primer miembro sería 0, y la ecuación pide que valga
1. Aquí, a diferencia de otros ejercicios del boletín, el cero no es solución.
Iguala módulos: $\left|z^4\overline{z}i\right| = r^4\cdot r\cdot 1 = r^5$ , y el segundo miembro tiene módulo 1.
Desarrollo
Con $z = re^{i\theta}$ :
$z^{4}\overline{z} = r^{4}e^{4i\theta}\cdot re^{-i\theta} = r^{5}e^{3i\theta}$
Multiplicando por $i = e^{i90°}$ e igualando a $-1 = e^{i180°}$ :
$r^{5}e^{i(3\theta+90°)} = 1\cdot e^{i180°}$
Los módulos han de coincidir: $r^{5} = 1$ , y como $r \ge 0$ es real, $r = 1$ .
Todas las soluciones están en la circunferencia unidad. Solo falta saber en qué direcciones.
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que obtiene los argumentos. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Igualando los argumentos: $3\theta + 90° = 180° + 360°k$ , con $k \in \mathbb{Z}$ .
2. El $+360°k$ hay que ponerlo: dos argumentos que difieren en vueltas enteras representan el mismo número.
3. Despejando, $\theta = 30° + 120°k$ .
4. Los valores $k=0,1,2$ dan $30°$ , $150°$ y $270°$ ; a partir de $k=3$ se repiten los mismos afijos.
Tres soluciones separadas $120°$ : otra vez un triángulo equilátero, esta vez con un vértice a $30°$ .
04
Las soluciones
COMP2
Escribe las soluciones en forma binómica, separadas por comas.
Tu respuesta al paso 4todas, separadas por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se pide resolver y representar

z^{4}\,\overline{z}\,i + 1 = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad z^{4}\,\overline{z}\,i = -1

1 · Por qué se pasa a polar

Aparecen una potencia, un conjugado y un producto. En forma binómica eso es un polinomio de quinto grado en dos variables reales; en forma polar, en cambio, la potencia multiplica el argumento y el conjugado lo cambia de signo, y todo se simplifica de golpe.

Con $z = re^{i\theta}$ :

z^{4}\overline{z} = r^{4}e^{4i\theta}\cdot re^{-i\theta} = r^{5}e^{3i\theta}

2 · La ecuación, separada en dos

Como $i = e^{i90°}$ y $-1 = e^{i180°}$ :

r^{5}\,e^{i(3\theta + 90°)} = 1\cdot e^{i\,180°}

Dos complejos son iguales cuando coinciden sus módulos y sus argumentos salvo vueltas enteras. Eso da dos ecuaciones:

r^{5} = 1, \qquad 3\theta + 90° = 180° + 360°k

3 · Resolución

De la primera, y como $r$ es un módulo —real y no negativo—, $r = 1$ .

De la segunda:

3\theta = 90° + 360°k \;\Longrightarrow\; \theta = 30° + 120°k

Con $k = 0, 1, 2$ salen $30°$ , $150°$ y $270°$ . A partir de $k=3$ los ángulos se repiten módulo $360°$ : no hay más soluciones distintas.

4 · Las soluciones, en forma binómica

z_0 = \frac{\sqrt3}{2} + \frac{1}{2}i, \qquad z_1 = -\frac{\sqrt3}{2} + \frac{1}{2}i, \qquad z_2 = -i

5 · Representación gráfica

Tres afijos sobre la circunferencia unidad, separados $120°$ : un triángulo equilátero con un vértice a $30°$ y otro apuntando hacia abajo, al $-i$ .

6 · Comprobación

Con $z_2 = -i$ : $z_2^{4} = (-i)^4 = 1$ y su conjugada es $i$ , luego el primer miembro vale $1 \cdot i \cdot i = i^{2} = -1$ . Cumple la ecuación.

Resultado

\boxed{\;z_k = e^{i\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\right)},\quad k = 0,1,2\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.12 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2018/2019 1E)

Una ecuación de grado seis que es de segundo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

z^{6} + 7z^{3} - 8 = 0

Calcular y representar gráficamente las soluciones de la ecuación.

01
Reconocer el camino
COMP1
Grado seis. ¿Hay que resolver un polinomio de sexto grado?
02
El cambio de variable
COMP2
Con $w = z^{3}$ , resuelve $w^{2} + 7w - 8 = 0$ . ¿Cuáles son los dos valores de $w$ ? Escríbelos separados por comas.
Tu respuesta al paso 2los dos, separados por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que cuenta las soluciones. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El cambio $w = z^{3}$ transforma la ecuación en $w^{2}+7w-8=0$ , con soluciones $w = 1$ y $w = -8$ .
2. Deshacer el cambio no es sustituir: cada valor de $w$ obliga a resolver una ecuación $z^{3} = w$ .
3. Cada una de esas dos ecuaciones cúbicas aporta tres soluciones distintas.
4. En total $2 \times 3 = 6$ , que coincide con el grado de la ecuación original, como garantiza el teorema fundamental del álgebra.
El teorema fundamental del álgebra es la comprobación: si no salen seis, falta algo.
04
Las seis soluciones
COMP2
Escribe las seis soluciones en forma binómica, separadas por comas.
Tu respuesta al paso 4las seis, separadas por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se pide resolver y representar $z^{6} + 7z^{3} - 8 = 0$ .

1 · La ecuación no es de sexto grado, es bicúbica

Solo aparecen $z^{6}$ y $z^{3}$ , y $z^{6} = \left(z^{3}\right)^{2}$ . El cambio $w = z^{3}$ la convierte en una ecuación de segundo grado:

w^{2} + 7w - 8 = 0

2 · Resolución en $w$

w = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2} = \frac{-7 \pm 9}{2} \;\Longrightarrow\; w_1 = 1,\quad w_2 = -8

3 · Deshacer el cambio: dos ecuaciones cúbicas

Aquí está el paso que decide el ejercicio. Deshacer el cambio no es escribir $z = \sqrt[3]{w}$ y quedarse con un número: es resolver $z^{3} = w$ , que en $\mathbb{C}$ tiene tres soluciones para cada $w$ .

$z^{3} = 1 = e^{i0°}$ : módulo 1, argumentos $0°$ , $120°$ , $240°$ .

z = 1, \qquad -\frac12 + \frac{\sqrt3}{2}i, \qquad -\frac12 - \frac{\sqrt3}{2}i

$z^{3} = -8 = 8e^{i180°}$ : módulo $\sqrt[3]{8} = 2$ , argumentos $60°$ , $180°$ , $300°$ .

z = 1 + \sqrt3\,i, \qquad -2, \qquad 1 - \sqrt3\,i

4 · Recuento

Seis soluciones, que es exactamente lo que garantiza el teorema fundamental del álgebra para una ecuación de grado seis. Si salieran menos, faltaría alguna.

5 · Representación gráfica

Los seis afijos se reparten en dos circunferencias concéntricas: tres en la de radio 1, a $0°$ , $120°$ y $240°$ ; y tres en la de radio 2, a $60°$ , $180°$ y $300°$ . Cada terna es un triángulo equilátero, y uno está girado $60°$ respecto del otro, de modo que los seis puntos quedan alternados como los vértices de un hexágono irregular.

6 · Comprobación

Con $z = -2$ : $z^{3} = -8$ y $z^{6} = 64$ , luego $64 + 7(-8) - 8 = 64 - 56 - 8 = 0$ . Cumple.

Resultado

\boxed{\;z \in \left\{1,\; -\tfrac12 \pm \tfrac{\sqrt3}{2}i,\; 1 \pm \sqrt3\,i,\; -2\right\}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.13 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2017/2018 3E)

El cubo igual a menos el módulo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

z^{3} = -|z|

Calcular y representar gráficamente las soluciones de la ecuación.

01
Reconocer el camino
COMP1
El segundo miembro no es un número dado: depende de la propia incógnita. ¿Qué se hace?
02
Los módulos posibles
COMP2
De $|z|^{3} = |z|$ , ¿qué valores puede tomar $|z|$ ? Escríbelos separados por comas.
Tu respuesta al paso 2separados por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del caso $|z| = 1$ . Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Si $|z| = 1$ , el segundo miembro vale $-|z| = -1$ , que ya es un número conocido.
2. La ecuación pasa a ser $z^{3} = -1$ , del tipo $z^{n} = w$ : ahora sí se puede aplicar la fórmula de las raíces.
3. $-1 = e^{i180°}$ , así que los argumentos son $\frac{180° + 360°k}{3} = 60°,\,180°,\,300°$ .
4. Las tres tienen módulo $\sqrt[3]{1} = 1$ , coherente con el caso que se está estudiando.
Con el $0$ del primer caso, cuatro soluciones en total.
04
Todas las soluciones
COMP2
Escribe todas las soluciones en forma binómica, separadas por comas.
Tu respuesta al paso 4todas, separadas por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se pide resolver y representar $z^{3} = -|z|$ .

1 · Una ecuación donde el segundo miembro depende de la incógnita

No es del tipo $z^{n} = w$ con $w$ conocido: el segundo miembro es $-|z|$ . La forma de entrar es tomar módulos, que convierte la ecuación compleja en una real.

\left|z^{3}\right| = \left|-|z|\right| \;\Longrightarrow\; |z|^{3} = |z|

2 · Los dos casos

|z|\left(|z|^{2}-1\right) = 0

Como $|z| \ge 0$ , solo hay dos posibilidades: $|z| = 0$ o $|z| = 1$ . La raíz $|z| = -1$ de la ecuación real se descarta por no ser un módulo admisible.

No conviene dividir entre $|z|$ para simplificar: eso eliminaría el caso $|z| = 0$ , que aporta una solución de verdad.

3 · Caso $|z| = 0$

$z = 0$ , y cumple: $0^{3} = 0 = -|0|$ .

4 · Caso $|z| = 1$

El segundo miembro vale $-1$ , así que la ecuación es

z^{3} = -1 = e^{i\,180°}

Ahora sí es del tipo $z^n = w$ . Módulo $\sqrt[3]{1} = 1$ —coherente con el caso— y argumentos

\theta_k = \frac{180° + 360°k}{3} = 60°,\; 180°,\; 300°

z = \frac12 + \frac{\sqrt3}{2}i, \qquad z = -1, \qquad z = \frac12 - \frac{\sqrt3}{2}i

Merece la pena subrayar por qué las dos primeras valen aunque no sean reales: elevar al cubo triplica el argumento, y tres veces $60°$ son $180°$ , que es la dirección del $-1$ .

5 · Representación gráfica

Cuatro afijos: el origen y tres puntos de la circunferencia unidad a $60°$ , $180°$ y $300°$ , que forman un triángulo equilátero con un vértice en el $-1$ .

6 · Comprobación

Con $z = \frac12 + \frac{\sqrt3}{2}i$ , de módulo 1 y argumento $60°$ : su cubo tiene módulo 1 y argumento $180°$ , es decir $-1$ . Y $-|z| = -1$ . Coinciden.

Resultado

\boxed{\;z \in \left\{0,\; \tfrac12 + \tfrac{\sqrt3}{2}i,\; -1,\; \tfrac12 - \tfrac{\sqrt3}{2}i\right\}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.6 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2015/2016 7E)

Un logaritmo complejo disfrazado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

z = \frac{2}{i}\ln\left(\frac{1+i}{1-i}\right)

Calcular y representar.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay un logaritmo de un número complejo. ¿Qué hay que tener presente antes de escribir nada?
02
El argumento del logaritmo
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{1+i}{1-i}$ ?
Tu respuesta al paso 2forma binómica, tipo a+bi — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que calcula $\ln i$ y llega al resultado. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El logaritmo complejo es $\ln w = \ln|w| + i\left(\arg w + 2\pi k\right)$ para $w \neq 0$ .
2. Con $w = i$ : $|i| = 1$ , así que $\ln|i| = \ln 1 = 0$ , y $\arg i = \frac{\pi}{2}$ .
3. Por tanto $\ln i = i\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)$ , sin parte real.
4. Multiplicando por $\frac{2}{i} = -2i$ y usando $-i \cdot i = 1$ : $z = 2\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) = \pi + 4\pi k$ .
El $2\pi k$ del logaritmo se convierte en $4\pi k$ al multiplicar por 2: los puntos quedan separados $4\pi$ , no $2\pi$ .
04
El valor principal
COMP2
¿Qué valor toma $z$ para $k = 0$ ?
Tu respuesta al paso 4un número; vale escribirlo como 3.1416 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se pide calcular y representar

z = \frac{2}{i}\ln\left(\frac{1+i}{1-i}\right)

1 · Simplificar el argumento del logaritmo

\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)} = \frac{2i}{2} = i

El enunciado era, entonces, $z = \frac{2}{i}\ln i$ .

2 · El logaritmo complejo, y por qué es infinito

Para todo $w \neq 0$ ,

\ln w = \ln|w| + i\left(\arg w + 2\pi k\right), \qquad k \in \mathbb{Z}

El $2\pi k$ no es un adorno: el argumento de un complejo está definido salvo vueltas enteras, así que el logaritmo devuelve infinitos valores. Es la diferencia esencial con el logaritmo real.

Con $w = i$ : $|i| = 1$ , luego $\ln|i| = 0$ ; y $\arg i = \frac{\pi}{2}$ .

\ln i = i\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)

3 · El factor de fuera

\frac{2}{i} = \frac{2}{i}\cdot\frac{-i}{-i} = -2i

y por tanto, usando $-i \cdot i = -i^{2} = 1$ :

z = -2i \cdot i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right) = 2\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right) = \pi + 4\pi k

Conviene subrayarlo porque sorprende: el resultado es real. La parte imaginaria del logaritmo se ha vuelto real al multiplicar por $-2i$ .

4 · Representación gráfica

Los afijos son puntos del eje real, separados $4\pi$ entre sí:

\dots,\; -7\pi,\; -3\pi,\; \pi,\; 5\pi,\; 9\pi,\; \dots

Es una sucesión infinita de puntos equiespaciados, no un único punto.

5 · Comprobación

Con $k=0$ , $z = \pi$ . Deshaciendo: $\frac{i z}{2} = \frac{i\pi}{2}$ , y $e^{i\pi/2} = i$ , que es efectivamente el número cuyo logaritmo se pedía.

Resultado

\boxed{\;z = \pi + 4\pi k,\qquad k \in \mathbb{Z}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.7 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2013/2014 3E)

Una igualdad con coseno complejo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

\cos\left(\frac{\pi}{2} + i\ln 2\right) = -\frac{3i}{4}

Razonar si la igualdad es cierta.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que usar para calcular el coseno de un número complejo?
02
El seno hiperbólico que aparece
COMP2
Al aplicar la fórmula aparece $\mathrm{senh}(\ln 2)$ . ¿Cuánto vale?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que decide si la igualdad es cierta. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se aplica la fórmula de adición: $\cos(a+b) = \cos a\cos b - \mathrm{sen}\,a\,\mathrm{sen}\,b$ , con $a = \frac{\pi}{2}$ y $b = i\ln 2$ .
2. Como $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ y $\mathrm{sen}\,\frac{\pi}{2} = 1$ , el primer sumando desaparece y queda $-\,\mathrm{sen}(i\ln 2)$ .
3. Para argumento imaginario puro, $\mathrm{sen}(ix) = i\,\mathrm{senh}\,x$ , así que $\mathrm{sen}(i\ln 2) = i\,\mathrm{senh}(\ln 2)$ .
4. Con $\mathrm{senh}(\ln 2) = \frac34$ , el resultado es $-\frac{3}{4}i$ , que coincide con el enunciado: la igualdad es cierta.
La igualdad es cierta, pero lo que se evalúa es el camino. Escribir «cierta» sin la fórmula de adición y el paso por el seno hiperbólico no puntúa.
04
El valor del coseno
COMP2
¿Cuánto vale $\cos\left(\frac{\pi}{2} + i\ln 2\right)$ ?
Tu respuesta al paso 4forma binómica, tipo a+bi — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se pide razonar si es cierta la igualdad

\cos\left(\frac{\pi}{2} + i\ln 2\right) = -\frac{3i}{4}

1 · Qué es el coseno de un número complejo

Se define a partir de la exponencial,

\cos w = \frac{e^{iw} + e^{-iw}}{2}

y de esa definición se sigue que la fórmula de adición sigue valiendo en $\mathbb{C}$ . Conviene decirlo antes de usarla: es la hipótesis del razonamiento.

Conviene también avisar de lo que no se conserva: en $\mathbb{C}$ el coseno no está acotado. La desigualdad $|\cos x| \le 1$ solo vale para argumentos reales.

2 · Aplicar la fórmula de adición

Con $a = \frac{\pi}{2}$ y $b = i\ln 2$ :

\cos(a+b) = \cos a\cos b - \mathrm{sen}\,a\,\mathrm{sen}\,b

Como $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ y $\mathrm{sen}\,\frac{\pi}{2} = 1$ , el primer sumando se anula:

\cos\left(\frac{\pi}{2} + i\ln 2\right) = -\,\mathrm{sen}\left(i\ln 2\right)

3 · Del seno complejo al hiperbólico

Para argumento imaginario puro,

\mathrm{sen}(ix) = i\,\mathrm{senh}\,x

lo que se comprueba directamente en la definición exponencial. Por tanto

\cos\left(\frac{\pi}{2} + i\ln 2\right) = -i\,\mathrm{senh}(\ln 2)

4 · El valor del seno hiperbólico

\mathrm{senh}(\ln 2) = \frac{e^{\ln 2} - e^{-\ln 2}}{2} = \frac{2 - \frac12}{2} = \frac{3}{4}

5 · Conclusión

\cos\left(\frac{\pi}{2} + i\ln 2\right) = -\frac{3}{4}i

que es exactamente el segundo miembro del enunciado. La igualdad es cierta.

6 · Comprobación

Por la definición exponencial, con $w = \frac{\pi}{2}+i\ln 2$ : $e^{iw} = e^{i\pi/2}e^{-\ln 2} = i\cdot\frac12$ y $e^{-iw} = e^{-i\pi/2}e^{\ln 2} = -i\cdot 2$ . Su semisuma es

\frac{\frac{i}{2} - 2i}{2} = \frac{-\frac{3i}{2}}{2} = -\frac{3}{4}i

Las dos vías coinciden.

Resultado

\boxed{\;\text{La igualdad es cierta}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.14 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2015/2016 2E)

Una ecuación exponencial en el plano complejo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

e^{iz} = 1+i, \qquad z \in \mathbb{C}

Resolver la ecuación y representar gráficamente los afijos de las soluciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para despejar $z$ hay que aplicar el logaritmo. ¿Qué precaución exige eso aquí?
02
El logaritmo del segundo miembro
COMP2
¿Cuánto vale la parte real de $\ln(1+i)$ , es decir $\ln|1+i|$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que despeja $z$ . Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Tomando logaritmos: $iz = \ln(1+i) = \ln\sqrt2 + i\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)$ , con $k \in \mathbb{Z}$ .
2. Se despeja dividiendo entre $i$ , o lo que es lo mismo, multiplicando por $-i$ .
3. $z = -i\ln\sqrt2 + \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)$ , donde el segundo sumando ha quedado real.
4. Es decir, $z = \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right) - \frac{i}{2}\ln 2$ : parte real variable y parte imaginaria fija.
Todas las soluciones tienen la misma parte imaginaria y partes reales separadas $2\pi$ .
04
La solución principal
COMP2
¿Qué solución corresponde a $k = 0$ ?
Tu respuesta al paso 4forma binómica, tipo a+bi — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se pide resolver $e^{iz} = 1+i$ con $z \in \mathbb{C}$ , y representar los afijos de las soluciones.

1 · Por qué hay infinitas soluciones

La exponencial compleja es periódica de periodo $2\pi i$ : $e^{w+2\pi i} = e^{w}$ . No es inyectiva, así que una ecuación $e^{w} = c$ con $c \neq 0$ tiene infinitas soluciones. Eso es lo que recoge el $2\pi k$ del logaritmo complejo:

\ln w = \ln|w| + i\left(\arg w + 2\pi k\right), \qquad k \in \mathbb{Z}

Aquí $c = 1+i \neq 0$ , así que la ecuación tiene solución.

2 · Tomar logaritmos

iz = \ln(1+i) = \ln|1+i| + i\left(\arg(1+i) + 2\pi k\right)

Con $|1+i| = \sqrt2$ y $\arg(1+i) = \frac{\pi}{4}$ —bisectriz del primer cuadrante—:

iz = \ln\sqrt2 + i\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)

3 · Despejar

Se multiplica por $-i$ , que es lo mismo que dividir entre $i$ :

z = -i\ln\sqrt2 + \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)

y como $\ln\sqrt2 = \frac{1}{2}\ln 2$ :

z = \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right) - \frac{i}{2}\ln 2, \qquad k \in \mathbb{Z}

Merece la pena fijarse en lo que ha hecho la división entre $i$ : ha cruzado las dos partes. El módulo de $1+i$ ha acabado en la parte imaginaria de $z$ , y su argumento en la parte real.

4 · Representación gráfica

Todos los afijos tienen la misma parte imaginaria, $-\frac{\ln 2}{2} \approx -0{,}347$ , y partes reales $\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ . Son, por tanto, puntos equiespaciados sobre una recta horizontal ligeramente por debajo del eje real, separados $2\pi \approx 6{,}28$ entre sí.

5 · Comprobación

Con $k=0$ , $z = \frac{\pi}{4} - \frac{i}{2}\ln 2$ . Entonces

iz = \frac{i\pi}{4} + \frac{\ln 2}{2} \;\Longrightarrow\; e^{iz} = e^{\ln\sqrt2}\,e^{i\pi/4} = \sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\mathrm{sen}\,\frac{\pi}{4}\right) = 1+i

Resultado

\boxed{\;z = \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right) - \frac{i}{2}\ln 2, \qquad k \in \mathbb{Z}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.15 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2016/2017 7E)

Cuando el coseno vale cinco

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

\cos z = 5, \qquad z \in \mathbb{C}

Resolver la ecuación.

01
Reconocer el camino
COMP1
En los reales esta ecuación no tiene solución. ¿Qué se hace en $\mathbb{C}$ ?
02
La ecuación auxiliar
COMP2
Con $u = e^{iz}$ la ecuación es $u^{2} - 10u + 1 = 0$ . ¿Cuáles son las dos raíces? Escríbelas separadas por comas.
Tu respuesta al paso 2los dos valores, separados por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que despeja $z$ a partir de $u$ . Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Deshacer el cambio es resolver $e^{iz} = u$ para cada uno de los dos valores de $u$ .
2. Tomando logaritmos: $iz = \ln u + 2\pi k\,i$ , porque $u$ es real y positivo y su argumento es 0.
3. Multiplicando por $-i$ : $z = -i\ln u + 2\pi k$ .
4. Con $u = 5 \pm 2\sqrt6$ queda $z = -i\ln\left(5\pm2\sqrt6\right) + 2\pi k$ .
Dos familias infinitas, simétricas respecto del eje real y equiespaciadas $2\pi$ en horizontal.
04
La solución principal
COMP2
Tomando $u = 5+2\sqrt6$ y $k = 0$ , ¿cuál es la solución?
Tu respuesta al paso 4forma binómica, tipo a+bi — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se pide resolver $\cos z = 5$ con $z \in \mathbb{C}$ .

1 · Por qué esto tiene sentido

En $\mathbb{R}$ la ecuación no tiene solución, porque $|\cos x| \le 1$ . Esa cota, sin embargo, no vale en $\mathbb{C}$ : el coseno complejo se define por

\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}

y esa expresión no está acotada. Conviene decirlo explícitamente, porque es la hipótesis que hace legítimo el ejercicio.

2 · El cambio de variable

Con $u = e^{iz}$ , que nunca vale cero, la ecuación se escribe

\frac{u + u^{-1}}{2} = 5 \;\Longrightarrow\; u + \frac{1}{u} = 10 \;\Longrightarrow\; u^{2} - 10u + 1 = 0

Multiplicar por $u$ es lícito precisamente porque $u = e^{iz} \neq 0$ .

3 · Resolución de la auxiliar

u = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt6}{2} = 5 \pm 2\sqrt6

Las dos raíces son reales y positivas, y su producto es $(5+2\sqrt6)(5-2\sqrt6) = 25-24 = 1$ : cada una es la inversa de la otra.

4 · Deshacer el cambio

Para cada valor de $u$ hay que resolver $e^{iz} = u$ . Como $u$ es real positivo, su argumento es 0 y su logaritmo es

\ln u + 2\pi k\,i, \qquad k \in \mathbb{Z}

Entonces $iz = \ln u + 2\pi k i$ , y multiplicando por $-i$ :

z = -i\ln u + 2\pi k

es decir

z = -i\ln\left(5 \pm 2\sqrt6\right) + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}

5 · Las dos familias son simétricas

Como $5-2\sqrt6 = \dfrac{1}{5+2\sqrt6}$ , se tiene

\ln\left(5-2\sqrt6\right) = -\ln\left(5+2\sqrt6\right)

así que las dos familias tienen la misma parte real y partes imaginarias opuestas: los afijos son puntos equiespaciados $2\pi$ sobre dos rectas horizontales simétricas respecto del eje real, a altura $\pm 2{,}2924$ aproximadamente.

6 · Comprobación

Con $z = -i\ln\left(5+2\sqrt6\right)$ : entonces $e^{iz} = e^{\ln(5+2\sqrt6)} = 5+2\sqrt6$ y $e^{-iz} = 5-2\sqrt6$ . Su semisuma es

\frac{\left(5+2\sqrt6\right)+\left(5-2\sqrt6\right)}{2} = \frac{10}{2} = 5

Resultado

\boxed{\;z = -i\ln\left(5 \pm 2\sqrt6\right) + 2\pi k,\qquad k \in \mathbb{Z}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.16 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2014/2015 6E)

Los dos vértices que faltan de un cuadrado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se quiere cercar un recinto cuadrado en un terreno que contiene el afijo del número complejo $2+2i$ . Dos vértices contiguos son $z_1 = 2i$ y $z_2 = 2+i$ .

¿Cuáles son los otros dos vértices? Representar gráficamente el recinto.

01
Reconocer el camino
COMP1
Tienes un lado del cuadrado y necesitas los otros dos vértices. ¿Qué herramienta lo resuelve en una línea?
02
El vector del lado
COMP2
¿Cuánto vale $z_2 - z_1$ ?
Tu respuesta al paso 2forma binómica, tipo a+bi — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que obtiene los otros dos vértices. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El vector del lado es $v = z_2 - z_1 = 2-i$ .
2. El lado contiguo es perpendicular y de la misma longitud: se obtiene girando $v$ un cuarto de vuelta, es decir multiplicando por $i$ o por $-i$ .
3. $i\,v = i(2-i) = 2i - i^{2} = 1 + 2i$ .
4. Los otros dos vértices son $z_1 + iv$ y $z_2 + iv$ , es decir $1+4i$ y $3+3i$ .
El dato de que el recinto «contiene el afijo de $2+2i$ » no era decorativo: es lo que elige entre las dos soluciones geométricas.
04
Los dos vértices que faltan
COMP2
Escribe los otros dos vértices, separados por comas.
Tu respuesta al paso 4los dos, separados por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Cuadrado con dos vértices contiguos $z_1 = 2i$ y $z_2 = 2+i$ , que contiene el afijo de $2+2i$ . Se piden los otros dos vértices.

1 · La herramienta

En un cuadrado, dos lados contiguos son perpendiculares y de la misma longitud. En el plano complejo eso es exactamente multiplicar por $i$ :

i\,z = e^{i\pi/2}\,z

gira $z$ un cuarto de vuelta y no toca su módulo. Es la propiedad que la teoría del tema resume como «multiplicar es girar y escalar», con el caso particular de que $i$ solo gira.

2 · El vector del lado conocido

v = z_2 - z_1 = (2+i) - 2i = 2 - i

con $|v| = \sqrt{4+1} = \sqrt5$ : ese es el lado del cuadrado.

3 · El giro

i\,v = i(2-i) = 2i - i^{2} = 1 + 2i

Los otros dos vértices se obtienen desplazando los conocidos por ese vector:

z_3 = z_1 + iv = 2i + (1+2i) = 1 + 4i

z_4 = z_2 + iv = (2+i) + (1+2i) = 3 + 3i

4 · Por qué este giro y no el otro

Multiplicar por $-i$ también da un cuadrado, con vértices $-1$ y $1-i$ . Los dos son geométricamente correctos, y el enunciado desempata con un dato que parecía de adorno: el recinto contiene el afijo de $2+2i$ .

El cuadrado $\{2i,\,2+i,\,3+3i,\,1+4i\}$ tiene su centro en

\frac{z_1+z_4}{2} = \frac{2i + 3+3i}{2} = \frac{3}{2} + \frac{5}{2}i

y el punto $(2,2)$ queda dentro.

El otro cuadrado, el de vértices $\{2i,\,2+i,\,1-i,\,-1\}$ , se descuelga hacia abajo desde el mismo lado y deja $(2,2)$ fuera. Se comprueba sin dibujar: recorriendo sus vértices en orden, el punto $(2,2)$ queda a la izquierda del lado $2i \to 2+i$ pero a la derecha del lado $2+i \to 1-i$ , y un punto interior tiene que quedar del mismo lado de los cuatro.

5 · Representación gráfica

Los cuatro afijos, en orden: $(0,2) \to (2,1) \to (3,3) \to (1,4)$ y de vuelta al primero. Es un cuadrado de lado $\sqrt5$ girado respecto de los ejes, con el punto $(2,2)$ en su interior.

6 · Comprobación

Los cuatro lados miden lo mismo: $|z_2-z_1| = |2-i| = \sqrt5$ y $|z_3-z_2| = |1+2i| = \sqrt5$ . Y son perpendiculares, porque uno es el otro multiplicado por $i$ .

Resultado

\boxed{\;z_3 = 1+4i, \qquad z_4 = 3+3i\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.17 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2016/2017 1E)

El vértice de un triángulo rectángulo isósceles

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Los afijos de $z_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{i}{2}$ , $z_2 = i$ y $z_3$ forman un triángulo rectángulo isósceles, y los vértices de la hipotenusa son los afijos de $z_1$ y $z_2$ .

Hallar $z_3$ , el de mayor componente imaginaria.

01
Reconocer el camino
COMP1
Sabes que $z_1$ y $z_2$ son los extremos de la hipotenusa. ¿Dónde está $z_3$ ?
02
El punto medio de la hipotenusa
COMP2
¿Cuál es el punto medio del segmento que une $z_1$ y $z_2$ ?
Tu respuesta al paso 2forma binómica, tipo a+bi — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que construye $z_3$ . Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sea $m$ el punto medio de la hipotenusa y $h = z_2 - z_1$ el vector que la recorre.
2. Por ser isósceles, $z_3$ está en la mediatriz de la hipotenusa, que pasa por $m$ y es perpendicular a $h$ .
3. Por ser rectángulo en $z_3$ , la distancia de $z_3$ a $m$ es el radio de la circunferencia de diámetro la hipotenusa, es decir $\frac{|h|}{2}$ .
4. Girar $\frac{h}{2}$ un cuarto de vuelta da un vector perpendicular y de la longitud justa: $z_3 = m \pm \dfrac{i\,h}{2}$ .
El signo $\pm$ da los dos vértices posibles, uno a cada lado de la hipotenusa. El enunciado se queda con el de mayor parte imaginaria.
04
El vértice pedido
COMP2
Calcula $z_3$ , el de mayor componente imaginaria.
Tu respuesta al paso 4forma binómica, tipo a+bi — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. $z_1 = \frac{\sqrt3}{2} - \frac{i}{2}$ y $z_2 = i$ son los extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles. Se pide el tercer vértice, el de mayor componente imaginaria.

1 · Qué obligan las dos condiciones

Isósceles: los dos catetos miden lo mismo, así que $z_3$ equidista de $z_1$ y $z_2$ : está en la mediatriz de la hipotenusa.

Rectángulo en $z_3$ : por el teorema del ángulo inscrito, $z_3$ está en la circunferencia que tiene la hipotenusa como diámetro. Su centro es el punto medio $m$ y su radio, $\frac{|h|}{2}$ con $h = z_2-z_1$ .

Las dos condiciones juntas dejan exactamente dos puntos, simétricos respecto de la hipotenusa.

2 · Punto medio y vector de la hipotenusa

m = \frac{z_1+z_2}{2} = \frac{\frac{\sqrt3}{2} + \frac{i}{2}}{2} = \frac{\sqrt3}{4} + \frac{i}{4}

h = z_2 - z_1 = -\frac{\sqrt3}{2} + \frac{3}{2}i

3 · El giro

Un vector perpendicular a $h$ y de la mitad de su longitud es $\frac{ih}{2}$ , porque multiplicar por $i$ gira $90°$ sin cambiar el módulo:

\frac{i\,h}{2} = \frac{i}{2}\left(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{3}{2}i\right) = -\frac{3}{4} - \frac{\sqrt3}{4}i

Y los dos vértices posibles son

z_3 = m \pm \frac{i\,h}{2}

4 · Elegir el que pide el enunciado

Con el signo $+$ : $z_3 = \frac{\sqrt3-3}{4} + i\frac{1-\sqrt3}{4} \approx -0{,}317 - 0{,}183\,i$ .

Con el signo $-$ : $z_3 = \frac{3+\sqrt3}{4} + i\frac{1+\sqrt3}{4} \approx 1{,}183 + 0{,}683\,i$ .

El de mayor componente imaginaria es el segundo.

5 · Comprobación

Los dos catetos han de medir lo mismo:

|z_3 - z_1| = |z_3 - z_2| = \frac{|h|}{\sqrt2}

Con $|h| = \sqrt{\frac34 + \frac94} = \sqrt3$ , cada cateto mide $\sqrt{3/2} \approx 1{,}22$ , y la hipotenusa $\sqrt3 \approx 1{,}73$ . Se cumple el teorema de Pitágoras: $2\cdot\frac32 = 3 = |h|^2$ .

Resultado

\boxed{\;z_3 = \frac{3+\sqrt3}{4} + i\,\frac{1+\sqrt3}{4}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.18 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2012/2013 7E)

Un rombo del que solo se conocen dos vértices

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Los vértices opuestos de un rombo son los afijos de $z_1 = 2-i$ y $z_2 = 6+2i$ . La longitud de la otra diagonal es el doble de la que forman dichos vértices.

Hallar los otros vértices y el área del rombo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué propiedad del rombo permite colocar los dos vértices que faltan?
02
El centro del rombo
COMP2
¿Dónde se cortan las dos diagonales?
Tu respuesta al paso 2forma binómica, tipo a+bi — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que sitúa los otros dos vértices. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La primera diagonal es $d = z_2 - z_1 = 4+3i$ , de longitud $|d| = 5$ .
2. El enunciado dice que la otra diagonal mide el doble: $10$ . Desde el centro, cada mitad mide $5$ .
3. La segunda diagonal es perpendicular a la primera, así que su dirección se obtiene girando $d$ un cuarto de vuelta: $i\,d$ .
4. Como $|d| = 5$ , el vector $\frac{i\,d}{|d|}\cdot 5 = i\,d$ tiene exactamente la longitud de media diagonal, y los vértices son $c \pm i\,d$ … con cuidado de normalizar antes.
La clave es girar primero y ajustar la longitud después: dirección y módulo son dos decisiones distintas.
04
Los dos vértices que faltan
COMP2
Escribe los otros dos vértices, separados por comas.
Tu respuesta al paso 4los dos, separados por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área del rombo?
Tu respuesta al paso 5un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Rombo con vértices opuestos $z_1 = 2-i$ y $z_2 = 6+2i$ ; la otra diagonal mide el doble. Se piden los otros dos vértices y el área.

1 · Las dos propiedades que lo resuelven

En un rombo las diagonales se cortan en su punto medio y son perpendiculares entre sí. Con eso, la segunda diagonal queda determinada salvo su longitud, y la longitud la da el enunciado.

2 · Centro y primera diagonal

c = \frac{z_1+z_2}{2} = \frac{8+i}{2} = 4 + \frac{1}{2}i

d = z_2 - z_1 = 4+3i, \qquad |d| = \sqrt{16+9} = 5

3 · La segunda diagonal

Mide $2 \cdot 5 = 10$ , así que desde el centro hay que avanzar $5$ en dirección perpendicular a $d$ , hacia los dos lados.

Girar $d$ un cuarto de vuelta es multiplicar por $i$ :

i\,d = i(4+3i) = -3+4i

y como girar no cambia el módulo, $|id| = 5$ : justo la mitad de la diagonal grande. No hace falta reescalar nada.

z_3 = c + i\,d = 1 + \frac{9}{2}i, \qquad z_4 = c - i\,d = 7 - \frac{7}{2}i

4 · El área

\text{Área} = \frac{D\cdot d}{2} = \frac{10\cdot 5}{2} = 25

5 · Comprobación

Los cuatro lados tienen que medir lo mismo:

|z_3 - z_1| = \left|(1+\tfrac92 i) - (2-i)\right| = |-1 + \tfrac{11}{2}i| = \sqrt{1 + 30{,}25} \approx 5{,}59

|z_3 - z_2| = \left|(1+\tfrac92 i) - (6+2i)\right| = |-5 + \tfrac52 i| = \sqrt{25 + 6{,}25} \approx 5{,}59

Coinciden, así que la figura es efectivamente un rombo.

Resultado

\boxed{\;z_3 = 1 + \tfrac{9}{2}i, \qquad z_4 = 7 - \tfrac{7}{2}i, \qquad \text{Área} = 25\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.25 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2015/2016 1E)

Un parámetro real con cuatro condiciones

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el número complejo

z = \frac{2+i}{a-i}, \qquad a \in \mathbb{R}

Calcular el valor de $a$ para que (a) $z$ sea real; (b) $z$ sea imaginario puro; (c) el afijo esté en la bisectriz del primer cuadrante; (d) el afijo esté en la circunferencia $x^{2}+y^{2}=1$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Son cuatro preguntas sobre el mismo número. ¿Cuál es el trabajo previo que sirve para las cuatro?
02
(a) Para que z sea real
COMP2
¿Qué valor de $a$ hace que $z$ sea un número real?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
(b) Para que z sea imaginario puro
COMP2
¿Y para que $z$ sea imaginario puro?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
El apartado (c) pide que el afijo esté en la bisectriz del primer cuadrante. Ordena el razonamiento. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La bisectriz del primer cuadrante es la recta $y = x$ con $x>0$ : no basta con que las dos coordenadas sean iguales, tienen que ser positivas.
2. Igualando las dos componentes: $\frac{2a-1}{a^{2}+1} = \frac{a+2}{a^{2}+1}$ .
3. Como el denominador es común y nunca nulo, se simplifica: $2a-1 = a+2$ , de donde $a = 3$ .
4. Se comprueba el signo: con $a=3$ las dos componentes valen $\frac{5}{10} = \frac12 > 0$ , así que el afijo está en el primer cuadrante y la solución vale.
El hábito que enseña este apartado: cuando una condición geométrica menciona un cuadrante, hay una comprobación de signo esperándote.
05
(c) y (d)
COMP2
Da el valor de $a$ del apartado (c) y los del apartado (d) —los que ponen el afijo en la circunferencia unidad—, todos separados por comas.
Tu respuesta al paso 5separados por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. $z = \dfrac{2+i}{a-i}$ con $a \in \mathbb{R}$ .

1 · El trabajo que sirve para los cuatro apartados

Se racionaliza una sola vez:

z = \frac{2+i}{a-i}\cdot\frac{a+i}{a+i} = \frac{(2+i)(a+i)}{a^{2}+1}

Desarrollando el numerador:

(2+i)(a+i) = 2a + 2i + ai + i^{2} = (2a-1) + (a+2)i

z = \underbrace{\frac{2a-1}{a^{2}+1}}_{\operatorname{Re} z} + i\,\underbrace{\frac{a+2}{a^{2}+1}}_{\operatorname{Im} z}

Conviene observar que $a^{2}+1 > 0$ siempre: el denominador nunca se anula, así que ninguna de las condiciones tendrá restricciones ocultas.

2 · (a) $z$ real

Parte imaginaria nula:

\frac{a+2}{a^{2}+1} = 0 \;\Longrightarrow\; a = -2

Comprobación: $z = \frac{-5}{5} = -1$ , real.

3 · (b) $z$ imaginario puro

Parte real nula:

\frac{2a-1}{a^{2}+1} = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{1}{2}

Comprobación: $z = 2i$ .

4 · (c) El afijo en la bisectriz del primer cuadrante

La bisectriz del primer cuadrante es $y = x$ con $x>0$ . Primero la igualdad:

\frac{2a-1}{a^{2}+1} = \frac{a+2}{a^{2}+1} \;\Longrightarrow\; 2a-1 = a+2 \;\Longrightarrow\; a = 3

Y después el signo, que es la parte que se olvida: con $a=3$ las dos componentes valen $\frac{5}{10} = \frac12 > 0$ . El afijo está en el primer cuadrante, así que $a=3$ es válido. Si hubiera salido negativo, el afijo estaría en la bisectriz del tercero y habría que rechazarlo.

5 · (d) El afijo en la circunferencia unidad

La condición $x^{2}+y^{2}=1$ es exactamente $|z| = 1$ , y el módulo de un cociente es el cociente de módulos:

|z| = \frac{|2+i|}{|a-i|} = \frac{\sqrt5}{\sqrt{a^{2}+1}} = 1 \;\Longrightarrow\; a^{2}+1 = 5 \;\Longrightarrow\; a = \pm 2

Las dos valen: la condición es simétrica en el signo de $a$ porque solo aparece $a^{2}$ .

Resultado

\boxed{\;\text{(a) } a=-2 \quad \text{(b) } a=\tfrac12 \quad \text{(c) } a=3 \quad \text{(d) } a=\pm 2\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.26 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2018/2019 2E)

Una potencia que tiene que salir real y negativa

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar los valores de $a \in \mathbb{R}$ para que el número complejo $z = \left(2e^{2i}\right)^{a}$ sea un número real negativo tal que $1 < |z| < 2^{6}$ .

Hallar todos los valores de $a$ que cumplen las dos condiciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay dos condiciones: «real negativo» y una desigualdad de módulos. ¿Cómo se organizan?
02
El módulo, en función de a
COMP2
¿Cuál es el módulo de $z = \left(2e^{2i}\right)^{a}$ ? Escribe el valor de $|z|$ para $a = 3$ .
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que impone que $z$ sea real y negativo. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El argumento de $z$ es $2a$ , porque elevar a $a$ multiplica el argumento por $a$ .
2. Un número es real y negativo cuando su argumento es $\pi$ salvo vueltas enteras: $2a = \pi + 2\pi k$ , con $k \in \mathbb{Z}$ .
3. Despejando, $a = \frac{\pi}{2} + \pi k$ .
4. La condición del módulo, $2^{a} \in (1, 2^{6})$ , equivale a $0 < a < 6$ porque la exponencial de base 2 es creciente.
Dos condiciones, dos filtros: el argumento genera los candidatos y el módulo los recorta.
04
Los valores válidos
COMP2
¿Qué valores de $a$ cumplen las dos condiciones? Escríbelos separados por comas.
Tu respuesta al paso 4separados por comas; valen los decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se busca $a \in \mathbb{R}$ tal que $z = \left(2e^{2i}\right)^{a}$ sea real negativo con $1 < |z| < 2^{6}$ .

1 · Separar módulo y argumento

La base está ya en forma polar: $2e^{2i}$ tiene módulo 2 y argumento 2 radianes. Al elevar a $a$ , el módulo se eleva y el argumento se multiplica:

$z = 2^{a}\,e^{i\,2a}$

Las dos condiciones del enunciado caen cada una en un lado:

«real negativo» afecta al argumento;
$1<|z|<2^{6}$ afecta al módulo.

2 · Por qué la potencia está bien definida, y con qué convenio

Antes de operar hay que decir algo que el enunciado da por supuesto. Para exponente real no entero, la potencia compleja se define por

$w^{a} = e^{a\ln w}, \qquad \ln w = \ln|w| + i\left(\arg w + 2\pi k\right),\; k \in \mathbb{Z}$

así que es multivaluada, igual que la raíz cúbica del ejercicio 1.4. Aquí, con $w = 2e^{2i}$ :

$w^{a} = 2^{a}\,e^{i\,a\left(2 + 2\pi k\right)}$

El módulo, $2^{a}$ , no depende de $k$ : la condición $1<|z|<2^{6}$ es la misma con cualquier determinación. El argumento sí depende, y por eso el convenio importa.

Se toma la determinación principal, $k=0$ , que es la que usa la solución del boletín y la que hace que $\left(2e^{2i}\right)^{a}$ signifique lo que la notación sugiere. Con ella el argumento es $2a$ , y el resto del ejercicio sale.

Merece la pena escribir en el examen qué pasaría sin ese convenio. La condición de argumento general es

$a\left(2+2\pi k\right) = \pi + 2\pi m, \qquad k, m \in \mathbb{Z}$

y con $k=1$ , $m=0$ ya sale $a = \dfrac{\pi}{2+2\pi} \approx 0{,}38$ , que también cae dentro de la horquilla $0<a<6$ . Es decir: sin fijar la determinación habría infinitas respuestas. El convenio es parte de la respuesta, no un tecnicismo que se pueda omitir.

3 · La condición de argumento

Un complejo es real y negativo exactamente cuando su argumento vale $\pi$ salvo vueltas enteras:

$2a = \pi + 2\pi k \;\Longrightarrow\; a = \frac{\pi}{2} + \pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

Eso da infinitos candidatos, todos reales.

4 · La condición de módulo

$1 < 2^{a} < 2^{6} \;\Longleftrightarrow\; 2^{0} < 2^{a} < 2^{6} \;\Longleftrightarrow\; 0 < a < 6$

usando que $t \mapsto 2^{t}$ es estrictamente creciente.

5 · Cruzar las dos

$a = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}571 \;\checkmark \qquad a = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}712 \;\checkmark$

$a = \frac{5\pi}{2} \approx 7{,}854 \;\times \qquad a = -\frac{\pi}{2} \;\times$

6 · Comprobación

Con $a = \frac{\pi}{2}$ : el argumento es $2a = \pi$ , luego $z$ es real negativo, y $|z| = 2^{\pi/2} \approx 2{,}97$ , que está entre 1 y 64.

Con $a = \frac{3\pi}{2}$ : argumento $3\pi \equiv \pi$ , real negativo también, y $|z| = 2^{3\pi/2} \approx 26{,}2$ , dentro de la horquilla.

Resultado

\boxed{\;a = \frac{\pi}{2} \quad \text{y} \quad a = \frac{3\pi}{2}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.29 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2017/2018 2E)

Dos complejos con el cociente real

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar los números complejos $z_1$ y $z_2$ tales que $z_1 + z_2 = 1+2i$ , $\operatorname{Re}(z_1) = 2$ y $\dfrac{z_1}{z_2}$ es real.

Hallar $z_1$ y $z_2$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Tres condiciones y dos incógnitas complejas. ¿Qué significa geométricamente que $z_1/z_2$ sea real?
02
El segundo número, en función del primero
COMP2
Si $z_1 = 2 + bi$ , ¿cuál es la parte real de $z_2$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que impone que el cociente sea real. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\dfrac{z_1}{z_2}$ es real si y solo si $z_1 = \lambda z_2$ para algún $\lambda$ real, es decir, si los afijos están alineados con el origen.
2. Dos complejos $u$ y $v$ están alineados con el origen exactamente cuando $\operatorname{Re}(u)\operatorname{Im}(v) - \operatorname{Im}(u)\operatorname{Re}(v) = 0$ .
3. Sustituyendo $u = z_1 = 2+bi$ y $v = z_2 = -1+(2-b)i$ : $2(2-b) - b(-1) = 0$ .
4. Operando: $4 - 2b + b = 0$ , de donde $b = 4$ .
La condición de alineación es el determinante de las dos componentes: es la misma que se usa para saber si dos vectores son paralelos.
04
Los dos números
COMP2
Escribe $z_1$ y $z_2$ , separados por comas.
Tu respuesta al paso 4los dos, separados por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Resolución completa

Datos. Se buscan $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ con

z_1 + z_2 = 1+2i, \qquad \operatorname{Re}(z_1) = 2, \qquad \frac{z_1}{z_2} \in \mathbb{R}

1 · Reducir a una sola incógnita real

Por la segunda condición, $z_1 = 2+bi$ con $b \in \mathbb{R}$ desconocido. De la primera:

z_2 = (1+2i) - (2+bi) = -1 + (2-b)i

Todo el problema depende ya de un único número real, $b$ .

2 · Qué significa que el cociente sea real

\frac{z_1}{z_2} = \lambda \in \mathbb{R} \;\Longleftrightarrow\; z_1 = \lambda z_2

es decir, los afijos de $z_1$ y $z_2$ están alineados con el origen. Para dos complejos $u$ y $v$ , esa condición se escribe

\operatorname{Re}(u)\operatorname{Im}(v) - \operatorname{Im}(u)\operatorname{Re}(v) = 0

que es el mismo determinante que decide si dos vectores del plano son paralelos.

3 · Imponerla

2\,(2-b) - b\,(-1) = 0 \;\Longrightarrow\; 4 - 2b + b = 0 \;\Longrightarrow\; 4 - b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 4

4 · Los dos números

z_1 = 2+4i, \qquad z_2 = -1-2i

5 · Comprobación

Las tres condiciones, una a una:

$z_1+z_2 = (2-1) + (4-2)i = 1+2i$ ✔
$\operatorname{Re}(z_1) = 2$ ✔
$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{2+4i}{-1-2i} = \dfrac{2(1+2i)}{-(1+2i)} = -2$ , real ✔

El cociente vale $-2$ : los dos afijos están en la misma recta por el origen, en sentidos opuestos, y $z_1$ es el doble de largo.

Resultado

\boxed{\;z_1 = 2+4i, \qquad z_2 = -1-2i\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.27 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2015/2016 4E) · El boletín no publica solución de este ejercicio: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La identidad del ángulo doble, en el plano complejo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar la siguiente igualdad:

\mathrm{sen}^{2} z = \frac{1 - \cos 2z}{2} \qquad \forall z \in \mathbb{C}

Demostrar la igualdad para todo complejo.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado dice demostrar, y para todo $z$ complejo. ¿Desde dónde se empieza?
02
Una comprobación previa
COMP2
Antes de demostrar, conviene comprobar en un punto. ¿Cuánto vale $\mathrm{sen}^{2}(i)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por definición, $\mathrm{sen}\,z = \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ , válida para todo $z \in \mathbb{C}$ .
2. Elevando al cuadrado, y usando $(2i)^{2} = -4$ : $\mathrm{sen}^{2}z = \dfrac{\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)^{2}}{-4} = \dfrac{2 - e^{2iz} - e^{-2iz}}{4}$ .
3. Por definición también, $\cos 2z = \dfrac{e^{2iz}+e^{-2iz}}{2}$ , sin más que sustituir $z$ por $2z$ .
4. Entonces $\dfrac{1-\cos 2z}{2} = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{e^{2iz}+e^{-2iz}}{2}\right) = \dfrac{2 - e^{2iz} - e^{-2iz}}{4}$ .
Las dos vías llegan a la misma expresión, $\frac{2 - e^{2iz} - e^{-2iz}}{4}$ , y en ningún paso se ha supuesto nada sobre $z$ : la igualdad vale para todo complejo.

Resolución completa

Aviso. El boletín no publica solución de este ejercicio. Lo que sigue es una demostración propuesta, pendiente de revisión.

Enunciado. Demostrar que $\mathrm{sen}^{2} z = \dfrac{1-\cos 2z}{2}$ para todo $z \in \mathbb{C}$ .

1 · De dónde se parte

En $\mathbb{C}$ el seno y el coseno se definen a partir de la exponencial:

\mathrm{sen}\,z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \qquad \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

Es importante decirlo antes de empezar: no se puede invocar la identidad trigonométrica real, porque estas son funciones distintas. De hecho hay propiedades reales que no sobreviven —el coseno complejo no está acotado, y $\mathrm{sen}^{2}z$ puede ser negativo—, así que la igualdad hay que probarla con la definición en la mano.

Las dos definiciones valen para todo $z$ complejo, sin restricciones: la exponencial compleja está definida en todo el plano.

2 · El primer miembro

\mathrm{sen}^{2}z = \left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right)^{2} = \frac{\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)^{2}}{(2i)^{2}} = \frac{\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)^{2}}{-4}

Desarrollando el cuadrado del binomio, y usando $e^{iz}\cdot e^{-iz} = e^{0} = 1$ :

\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)^{2} = e^{2iz} - 2 + e^{-2iz}

Por tanto

\mathrm{sen}^{2}z = \frac{e^{2iz} - 2 + e^{-2iz}}{-4} = \frac{2 - e^{2iz} - e^{-2iz}}{4}

3 · El segundo miembro

La definición del coseno con el argumento $2z$ :

\cos 2z = \frac{e^{2iz} + e^{-2iz}}{2}

y entonces

\frac{1-\cos 2z}{2} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{e^{2iz}+e^{-2iz}}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2 - e^{2iz} - e^{-2iz}}{2} = \frac{2 - e^{2iz} - e^{-2iz}}{4}

4 · Conclusión

Los dos miembros son la misma expresión:

\mathrm{sen}^{2}z = \frac{2 - e^{2iz} - e^{-2iz}}{4} = \frac{1-\cos 2z}{2}

En ningún paso se ha supuesto nada sobre $z$ —ni que sea real, ni que esté en ninguna región—, así que la igualdad vale para todo $z \in \mathbb{C}$ , que es lo que se pedía. $\blacksquare$

5 · Comprobación numérica

No forma parte de la demostración, pero conviene hacerla para detectar errores de signo. Con $z = i$ :

\mathrm{sen}^{2}(i) = -\mathrm{senh}^{2}(1) \approx -1{,}3811

$\frac{1-\cos 2i}{2} = \frac{1-\cosh 2}{2} \approx \frac{1-3{,}7622}{2} \approx -1{,}3811$

Coinciden. Y de paso se ve algo que en $\mathbb{R}$ sería imposible: el cuadrado de un seno ha salido negativo. Es la señal de que estas son funciones nuevas y de que la identidad había que demostrarla.

Resultado

$\boxed{\;\mathrm{sen}^{2} z = \frac{1-\cos 2z}{2} \quad\text{para todo } z \in \mathbb{C}\;}$

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.28 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2019/2020 1E) · El boletín no publica solución de este ejercicio: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El seno de una suma, para argumentos complejos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar que

\mathrm{sen}(z_1+z_2) = \mathrm{sen}\,z_1\cos z_2 + \cos z_1\,\mathrm{sen}\,z_2 \qquad \forall z_1, z_2 \in \mathbb{C}

Demostrar la fórmula de adición para argumentos complejos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué hay que demostrar esto, si la fórmula de adición ya se conoce de bachillerato?
02
Una comprobación previa
COMP2
Comprueba en un caso concreto: ¿cuánto vale $\mathrm{sen}(2i)$ ?
Tu respuesta al paso 2forma binómica, tipo a+bi — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se parte de las definiciones $\mathrm{sen}\,w = \dfrac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}$ y $\cos w = \dfrac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}$ , válidas para todo $w \in \mathbb{C}$ .
2. Se desarrolla el segundo miembro: al multiplicar $\mathrm{sen}\,z_1\cos z_2$ aparecen cuatro exponenciales, con denominador $4i$ .
3. Lo mismo con $\cos z_1\,\mathrm{sen}\,z_2$ : otras cuatro exponenciales, también sobre $4i$ .
4. Al sumar, los términos con $e^{i(z_1-z_2)}$ y $e^{-i(z_1-z_2)}$ se cancelan, y los otros se duplican.
Lo que queda tras la cancelación es $\frac{e^{i(z_1+z_2)} - e^{-i(z_1+z_2)}}{2i}$ , que es exactamente la definición de $\mathrm{sen}(z_1+z_2)$ .

Resolución completa

Aviso. El boletín no publica solución de este ejercicio. Lo que sigue es una demostración propuesta, pendiente de revisión.

Enunciado. Demostrar que para todos $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$

\mathrm{sen}(z_1+z_2) = \mathrm{sen}\,z_1\cos z_2 + \cos z_1\,\mathrm{sen}\,z_2

1 · Por qué hay algo que demostrar

La fórmula se conoce para ángulos reales, pero el seno y el coseno complejos son funciones nuevas, definidas por

\mathrm{sen}\,w = \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}, \qquad \cos w = \frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}, \qquad w \in \mathbb{C}

Que una propiedad real se conserve no es automático: el seno complejo, por ejemplo, no está acotado. Así que la fórmula de adición hay que probarla, y se prueba con la definición.

2 · Desarrollar el segundo miembro

Primer sumando:

\mathrm{sen}\,z_1\cos z_2 = \frac{e^{iz_1}-e^{-iz_1}}{2i}\cdot\frac{e^{iz_2}+e^{-iz_2}}{2}

= \frac{e^{i(z_1+z_2)} + e^{i(z_1-z_2)} - e^{-i(z_1-z_2)} - e^{-i(z_1+z_2)}}{4i}

Segundo sumando:

\cos z_1\,\mathrm{sen}\,z_2 = \frac{e^{iz_1}+e^{-iz_1}}{2}\cdot\frac{e^{iz_2}-e^{-iz_2}}{2i}

= \frac{e^{i(z_1+z_2)} - e^{i(z_1-z_2)} + e^{-i(z_1-z_2)} - e^{-i(z_1+z_2)}}{4i}

3 · Sumar

Los términos en $e^{i(z_1-z_2)}$ aparecen con signos opuestos y se cancelan; lo mismo los de $e^{-i(z_1-z_2)}$ . Los otros dos se duplican:

\mathrm{sen}\,z_1\cos z_2 + \cos z_1\,\mathrm{sen}\,z_2 = \frac{2e^{i(z_1+z_2)} - 2e^{-i(z_1+z_2)}}{4i} = \frac{e^{i(z_1+z_2)} - e^{-i(z_1+z_2)}}{2i}

4 · Conclusión

Esa última expresión es, por definición, $\mathrm{sen}(z_1+z_2)$ :

\mathrm{sen}\,z_1\cos z_2 + \cos z_1\,\mathrm{sen}\,z_2 = \mathrm{sen}(z_1+z_2)

No se ha usado ninguna hipótesis sobre $z_1$ ni $z_2$ más allá de ser complejos, así que la igualdad vale para todos. $\blacksquare$

5 · Comprobación numérica

Con $z_1 = z_2 = i$ :

\mathrm{sen}(2i) = i\,\mathrm{senh}\,2 \approx 3{,}6269\,i

2\,\mathrm{sen}\,i\cos i = 2\left(i\,\mathrm{senh}\,1\right)\cosh 1 \approx 2(1{,}1752\,i)(1{,}5431) \approx 3{,}6269\,i

Coinciden, como tenía que ser.

Resultado

\boxed{\;\mathrm{sen}(z_1+z_2) = \mathrm{sen}\,z_1\cos z_2 + \cos z_1\,\mathrm{sen}\,z_2 \quad \forall\, z_1, z_2 \in \mathbb{C}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.19 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2013/2014 5E)

Un lugar geométrico con un cociente de módulos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

\left|\frac{z-(2+i)}{z-(1+i)}\right| < \sqrt{3}

Calcular y representar gráficamente el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ que cumplen la condición.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice esta condición en lenguaje de distancias?
02
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Quita los módulos elevando al cuadrado, simplifica y escribe la condición en $x$ e $y$ . La figura comprobará si tu región coincide con la del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; usa ^2 para los cuadrados
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que justifica la forma del resultado. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los dos miembros de $|A| < \sqrt3\,|B|$ son no negativos, así que elevar al cuadrado es una transformación equivalente: no añade ni pierde soluciones.
2. El denominador obliga a exigir $z \neq 1+i$ , porque en ese punto la expresión no está definida.
3. Al desarrollar, los términos en $x^{2}$ e $y^{2}$ no se cancelan: quedan con coeficiente 2, y por eso el resultado es una circunferencia y no una recta.
4. Completando cuadrados aparece $\left(x-\frac12\right)^{2}+(y-1)^{2} > \frac34$ : el exterior de una circunferencia.
Cuando el cociente de distancias es constante sale siempre una circunferencia —se llama circunferencia de Apolonio—, salvo que la constante sea 1, en cuyo caso degenera en la mediatriz.

Resolución completa

Datos. Se pide el lugar geométrico de los $z$ con

\left|\frac{z-(2+i)}{z-(1+i)}\right| < \sqrt{3}

1 · Qué dice la condición

$|z-w|$ es la distancia del afijo de $z$ al punto $w$ . La condición pide que la distancia a $2+i$ sea menor que $\sqrt3$ veces la distancia a $1+i$ : un cociente de distancias acotado.

Hay una restricción previa: el denominador no puede anularse, así que $z \neq 1+i$ .

2 · Quitar los módulos

El módulo de un cociente es el cociente de módulos, y los dos son no negativos, así que se puede pasar multiplicando y elevar al cuadrado sin perder ni añadir soluciones:

|z-(2+i)|^{2} < 3\,|z-(1+i)|^{2}

Con $z = x+iy$ :

(x-2)^{2}+(y-1)^{2} < 3\left[(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\right]

3 · Simplificar

x^{2}-4x+4+(y-1)^{2} < 3x^{2}-6x+3+3(y-1)^{2}

0 < 2x^{2}-2x-1+2(y-1)^{2}

0 < x^{2}-x-\frac{1}{2}+(y-1)^{2}

Completando el cuadrado en $x$ , con $x^{2}-x = \left(x-\frac12\right)^{2}-\frac14$ :

\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+(y-1)^{2} > \frac{1}{4}+\frac{1}{2} = \frac{3}{4}

4 · Interpretación y dibujo

Es el exterior de la circunferencia de centro $\left(\frac12,1\right)$ y radio $\frac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}87$ , sin incluir el borde.

Conviene subrayar el cambio de sentido: la condición de partida era «menor que» y la final es «mayor que». No es una errata: al pasar el denominador y agrupar, los términos cambian de lado.

El punto excluido $z = 1+i$ , es decir $(1,1)$ , está dentro de la circunferencia —su distancia al centro es $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 < 0{,}87$ —, así que ya quedaba fuera de la región: la restricción no añade nada.

5 · Comprobación

Se toma un punto claramente dentro de la región, por ejemplo el origen: $\left(0-\frac12\right)^2+(0-1)^2 = 1{,}25 > 0{,}75$ ✔. Y en la condición original:

\left|\frac{0-(2+i)}{0-(1+i)}\right| = \frac{\sqrt5}{\sqrt2} \approx 1{,}58 < \sqrt3 \approx 1{,}73 \;\checkmark

Resultado

\boxed{\;\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+(y-1)^{2} > \tfrac{3}{4}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.20 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2018/2019 4E)

Dos condiciones que se cortan

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

\begin{cases} |z|^{2} \ge \operatorname{Im}(z) \\[2pt] \dfrac{1}{z} \ge \overline{z} \end{cases}

Calcular y representar gráficamente el lugar geométrico de los afijos que cumplen las dos condiciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
La segunda condición compara dos números complejos con $\ge$ . ¿Qué hay que entender?
02
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Simplifica las dos condiciones y escríbelas en $x$ e $y$ , unidas por &. La figura comprobará si tu región coincide.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadados condiciones en x e y, unidas por &
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento de la segunda condición. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La desigualdad se lee entre módulos: $\left|\dfrac{1}{z}\right| \ge \left|\overline{z}\right|$ .
2. $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|}$ y $\left|\overline{z}\right| = |z|$ , así que queda $\dfrac{1}{|z|} \ge |z|$ .
3. Hace falta $z \neq 0$ para que $\frac1z$ exista, y entonces $|z| > 0$ : se puede multiplicar por $|z|$ sin cambiar el sentido.
4. Queda $1 \ge |z|^{2}$ , es decir el disco unidad cerrado, quitando el origen.
Multiplicar por $|z|$ es seguro porque es positivo. Si se hubiera multiplicado por $z$ , que es complejo, la desigualdad habría dejado de tener sentido.

Resolución completa

Datos. Se pide la región de los $z$ que cumplen a la vez

|z|^{2} \ge \operatorname{Im}(z) \qquad\text{y}\qquad \frac{1}{z} \ge \overline{z}

1 · Una advertencia previa sobre la segunda condición

En $\mathbb{C}$ no hay orden: escribir $u \ge v$ entre complejos no significa nada por sí solo. La forma estándar de leer una desigualdad así —y la que reproduce la solución del boletín— es comparando módulos. Conviene decirlo explícitamente antes de operar: es parte de la justificación.

2 · Primera condición

Con $z = x+iy$ , $|z|^{2} = x^{2}+y^{2}$ y $\operatorname{Im}(z) = y$ :

x^{2}+y^{2} \ge y \;\Longleftrightarrow\; x^{2}+y^{2}-y \ge 0

Completando el cuadrado en $y$ , con $y^{2}-y = \left(y-\frac12\right)^{2}-\frac14$ :

x^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2} \ge \frac{1}{4}

Es el exterior (con borde) de la circunferencia de centro $\left(0,\frac12\right)$ y radio $\frac12$ , que pasa por el origen y es tangente al eje real.

3 · Segunda condición

\left|\frac{1}{z}\right| \ge \left|\overline{z}\right| \;\Longleftrightarrow\; \frac{1}{|z|} \ge |z|

Para que $\frac1z$ exista hace falta $z \neq 0$ , y entonces $|z|>0$ , así que se puede multiplicar por $|z|$ sin cambiar el sentido:

1 \ge |z|^{2} \;\Longleftrightarrow\; x^{2}+y^{2} \le 1

Es el disco unidad cerrado, quitando el origen.

4 · La intersección

La región pedida es el disco unidad al que se le quita el interior del círculo pequeño tangente al eje real por arriba. Queda una figura con forma de luna: todo el disco unidad salvo una mordida circular en la parte superior.

El origen queda excluido por la segunda condición, aunque cumpla la primera.

5 · Comprobación

Un punto claramente dentro: $z = -0{,}5i$ , es decir $(0,-0{,}5)$ .

Primera: $0 + (-0{,}5-0{,}5)^{2} = 1 \ge 0{,}25$ ✔
Segunda: $|z|^{2} = 0{,}25 \le 1$ ✔

Y uno que debe quedar fuera: $z = 0{,}5i$ , el centro del círculo pequeño. $0 + (0{,}5-0{,}5)^{2} = 0 < 0{,}25$ ✗ — falla la primera, como tenía que ser.

Resultado

\boxed{\;x^{2}+\left(y-\tfrac{1}{2}\right)^{2} \ge \tfrac{1}{4} \quad\text{y}\quad x^{2}+y^{2} \le 1\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.21 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2017/2018 4E)

Una elipse recortada por un sector

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

|z-4i| + |z+4i| < 10 \qquad \wedge \qquad \frac{\pi}{6} \le \arg(z) \le \frac{\pi}{3}

Calcular y representar gráficamente el lugar geométrico de los afijos que cumplen las dos condiciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Suma de distancias a dos puntos, constante». ¿Qué figura es?
02
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe las dos condiciones simplificadas, unidas por &. Para el sector puedes seguir usando arg(z).
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadados condiciones unidas por &; vale pi como constante
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento sobre la segunda condición. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\arg(z)$ es el ángulo que forma el afijo con el semieje real positivo, medido desde el origen.
2. Fijar $\arg(z) = \theta_0$ da una semirrecta desde el origen, no una recta entera: solo la mitad con ese ángulo.
3. Al pedir $\frac{\pi}{6} \le \arg(z) \le \frac{\pi}{3}$ se obtiene el sector angular comprendido entre las dos semirrectas, es decir entre $30°$ y $60°$ .
4. El origen queda excluido, porque su argumento no está definido.
Una condición sobre el módulo acota y una sobre el argumento orienta. Aquí hay una de cada, y por eso la región es una cuña acotada.

Resolución completa

Datos. Se pide la región de los $z$ que cumplen

|z-4i| + |z+4i| < 10 \qquad\text{y}\qquad \frac{\pi}{6} \le \arg(z) \le \frac{\pi}{3}

1 · La primera condición es una elipse, por definición

$|z-4i|$ es la distancia del afijo al punto $(0,4)$ , y $|z+4i|$ la distancia a $(0,-4)$ . Que la suma de las distancias a dos puntos fijos sea constante es exactamente la definición de elipse, con esos dos puntos como focos. Al ser una desigualdad estricta, la región es el interior.

2 · Los semiejes

2a = 10 \;\Longrightarrow\; a = 5, \qquad 2c = 8 \;\Longrightarrow\; c = 4

b^{2} = a^{2}-c^{2} = 25-16 = 9 \;\Longrightarrow\; b = 3

Los focos están sobre el eje imaginario, así que el eje mayor es el vertical y la ecuación es

\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{5^{2}} < 1

Merece la pena comprobar la coherencia: $a > c$ , como debe ser para que la elipse exista. Si la suma de distancias hubiera sido menor que la separación entre focos, no habría ningún punto.

3 · La segunda condición es un sector

$\arg(z)$ mide el ángulo desde el semieje real positivo. Fijarlo da una semirrecta desde el origen; acotarlo entre dos valores da el sector angular entre las dos semirrectas, en este caso entre $30°$ y $60°$ . El origen queda excluido porque su argumento no está definido.

El sector es infinito: es la elipse la que lo recorta.

4 · La intersección

La región es la porción del interior de la elipse comprendida entre las dos semirrectas: una cuña en el primer cuadrante, con el vértice en el origen y limitada por el arco de elipse.

5 · Comprobación

Se toma un punto del sector, por ejemplo el de argumento $45°$ y módulo 2: $(x,y) \approx (1{,}41,\,1{,}41)$ .

Elipse: $\frac{2}{9}+\frac{2}{25} \approx 0{,}30 < 1$ ✔
Sector: $45°$ está entre $30°$ y $60°$ ✔

Y en la condición original: $|z-4i| \approx 2{,}9$ y $|z+4i| \approx 5{,}6$ , que suman $8{,}5 < 10$ ✔

Resultado

\boxed{\;\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{5^{2}} < 1 \quad\text{y}\quad \frac{\pi}{6} \le \arg(z) \le \frac{\pi}{3}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.22 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2018/2019 1E)

Dos condiciones sobre el inverso

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z-1}\right) > \frac{1}{2} \qquad \wedge \qquad \operatorname{Im}\left(\frac{1}{z-1}\right) > \frac{1}{2}

Calcular y representar gráficamente el lugar geométrico de los afijos que cumplen las dos condiciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay que separar parte real e imaginaria de $\frac{1}{z-1}$ . ¿Cómo?
02
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Simplifica las dos condiciones y escríbelas en $x$ e $y$ , unidas por &.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadados condiciones en x e y, unidas por &
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Hay que exigir $z \neq 1$ , porque en ese punto $\frac{1}{z-1}$ no está definida.
2. Con $D = |z-1|^{2} > 0$ , se escribe $\frac{1}{z-1} = \frac{(x-1)-iy}{D}$ y se leen las dos partes.
3. Como $D$ es positivo, multiplicar las dos desigualdades por $D$ no cambia su sentido.
4. Cada una se convierte, completando cuadrados, en el interior de una circunferencia de radio 1.
Multiplicar por $D$ es seguro precisamente porque $D>0$ . Si el denominador pudiera ser negativo habría que separar casos y darle la vuelta a la desigualdad en uno de ellos.

Resolución completa

Datos. Se pide la región de los $z$ con

\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z-1}\right) > \frac12 \qquad\text{y}\qquad \operatorname{Im}\left(\frac{1}{z-1}\right) > \frac12

1 · Restricción previa

$\frac{1}{z-1}$ exige $z \neq 1$ . Se anota antes de operar.

2 · Separar parte real e imaginaria

Multiplicando por el conjugado del denominador, con $D = |z-1|^{2} = (x-1)^{2}+y^{2}$ :

\frac{1}{z-1} = \frac{(x-1) - iy}{(x-1)^{2}+y^{2}} = \frac{(x-1) - iy}{D}

\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z-1}\right) = \frac{x-1}{D}, \qquad \operatorname{Im}\left(\frac{1}{z-1}\right) = \frac{-y}{D}

3 · Primera condición

\frac{x-1}{D} > \frac12 \;\Longleftrightarrow\; 2(x-1) > (x-1)^{2}+y^{2}

—multiplicar por $2D$ no cambia el sentido porque $D>0$ — y agrupando:

0 > x^{2}-4x+3+y^{2} \;\Longleftrightarrow\; (x-2)^{2}+y^{2} < 1

4 · Segunda condición

\frac{-y}{D} > \frac12 \;\Longleftrightarrow\; -2y > (x-1)^{2}+y^{2}

\;\Longleftrightarrow\; (x-1)^{2}+y^{2}+2y < 0 \;\Longleftrightarrow\; (x-1)^{2}+(y+1)^{2} < 1

5 · La región

Dos discos abiertos de radio 1, con centros $(2,0)$ y $(1,-1)$ . La distancia entre los centros es $\sqrt{1+1} = \sqrt2 \approx 1{,}41$ , menor que la suma de los radios, así que se cortan: la región pedida es la lente de intersección.

El punto excluido $z=1$ está a distancia 1 de los dos centros, o sea sobre las dos circunferencias, y las desigualdades son estrictas: ya estaba fuera.

6 · Comprobación

Se toma un punto de la lente, por ejemplo $(1{,}6,\,-0{,}5)$ :

$(1{,}6-2)^{2}+0{,}25 = 0{,}41 < 1$ ✔
$(1{,}6-1)^{2}+(-0{,}5+1)^{2} = 0{,}36+0{,}25 = 0{,}61 < 1$ ✔

Y en la condición original, con $D = 0{,}36+0{,}25 = 0{,}61$ : $\operatorname{Re} = \frac{0{,}6}{0{,}61} \approx 0{,}98 > 0{,}5$ ✔ y $\operatorname{Im} = \frac{0{,}5}{0{,}61} \approx 0{,}82 > 0{,}5$ ✔

Resultado

\boxed{\;(x-2)^{2}+y^{2} < 1 \quad\text{y}\quad (x-1)^{2}+(y+1)^{2} < 1\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.23 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2017/2018 1E)

Un lugar geométrico que es un arco

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

\arg\left(\frac{z-2}{z-1}\right) = \frac{\pi}{2}

Calcular y representar gráficamente el lugar geométrico de los afijos que cumplen la condición.

01
Reconocer el camino
COMP1
El argumento de un cociente es una diferencia de argumentos. ¿Qué significa geométricamente que valga $\frac{\pi}{2}$ ?
02
El radio del arco
COMP2
El lugar es un arco de circunferencia. ¿Cuál es su radio?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe en $x$ e $y$ el lugar que sale de imponer que ese cociente tenga argumento $\pi/2$ . La figura comprobará si tu curva coincide con la del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; usa ^2 para los cuadrados, y & para juntar dos condiciones
04
Justificar el argumento
COMP4
La condición no da la circunferencia entera, sino media. Ordena el razonamiento. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Hay que exigir $z \neq 1$ —el denominador— y $z \neq 2$ , porque el argumento de 0 no está definido.
2. Por el teorema del ángulo inscrito, los puntos desde los que el segmento $[1,2]$ se ve bajo un ángulo recto forman la circunferencia de diámetro ese segmento.
3. Pero el enunciado no pide ángulo $\pm\frac{\pi}{2}$ , sino exactamente $+\frac{\pi}{2}$ : hay que quedarse con un sentido de giro.
4. Comprobando un punto concreto se ve cuál: en $z = \frac32 + \frac12 i$ , el cociente vale $i$ , cuyo argumento es $+\frac{\pi}{2}$ . Vale la mitad superior.
El resultado es el arco superior, sin los extremos: la semicircunferencia con $y>0$ .

Resolución completa

Datos. Se pide el lugar de los $z$ con $\arg\left(\frac{z-2}{z-1}\right) = \frac{\pi}{2}$ .

1 · Restricciones previas

El cociente exige $z \neq 1$ . Y el argumento de $0$ no está definido, así que también $z \neq 2$ . Los dos puntos quedan excluidos desde el principio.

2 · Qué dice la condición

El argumento de un cociente es la diferencia de argumentos:

\arg\left(\frac{z-2}{z-1}\right) = \arg(z-2) - \arg(z-1)

$\arg(z-2)$ es la dirección del vector que va del punto $2$ al afijo de $z$ , y $\arg(z-1)$ la del que va del punto $1$ . Que su diferencia valga $\frac{\pi}{2}$ significa que esos dos vectores forman un ángulo recto, es decir, que desde $z$ el segmento que une $1$ y $2$ se ve bajo $90°$ .

3 · El teorema del ángulo inscrito

Los puntos desde los que un segmento se ve bajo un ángulo recto forman la circunferencia que tiene ese segmento como diámetro. Aquí el segmento va de $(1,0)$ a $(2,0)$ :

\text{centro } \left(\frac{3}{2},0\right), \qquad r = \frac{1}{2}

\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}

4 · Solo la mitad

La condición no es «ángulo recto» a secas: es argumento exactamente $+\frac{\pi}{2}$ . En la mitad inferior el ángulo también es recto, pero el argumento del cociente sale $-\frac{\pi}{2}$ .

Se decide con un punto. En el más alto de la circunferencia, $z = \frac32 + \frac12 i$ :

\frac{z-2}{z-1} = \frac{-\frac12+\frac12 i}{\frac12+\frac12 i} = \frac{(-1+i)}{(1+i)} = i

cuyo argumento es $+\frac{\pi}{2}$ ✔. Luego sirve la mitad superior.

5 · El resultado, y por qué no se usa aquí el verificador

\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+y^{2} = \frac{1}{4} \qquad\text{con}\qquad y > 0

Este lugar geométrico es una curva, no una región con área. La herramienta de comprobación de regiones de los ejercicios anteriores compara manchas de puntos, y dos curvas dibujadas con grosores distintos no se solapan aunque sean la misma: por eso este ejercicio se resuelve con el centro y el radio en vez de escribiendo la condición.

6 · Comprobación

Con $z = \frac32+\frac12 i$ : está en la circunferencia, porque $0 + \frac14 = \frac14$ ✔, tiene $y>0$ ✔, y el cociente vale $i$ ✔.

Con el punto simétrico $z = \frac32-\frac12 i$ : está en la circunferencia, pero el cociente vale $-i$ , de argumento $-\frac{\pi}{2}$ ✗. Queda fuera, como debe.

Resultado

\boxed{\;\left(x-\tfrac{3}{2}\right)^{2}+y^{2} = \tfrac{1}{4} \quad\text{con}\quad y>0\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.24 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2019/2020 4E)

Una mediatriz y una parábola

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

\begin{cases} |z-2| > |z-2i| \\[2pt] |z| + \operatorname{Im}(z) < 4 \end{cases}

Calcular y representar gráficamente el lugar geométrico de los afijos que cumplen las dos condiciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
La primera condición compara dos distancias. ¿Qué región describe?
02
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Simplifica las dos condiciones y escríbelas en $x$ e $y$ , unidas por &.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadados condiciones en x e y, unidas por &
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento de la segunda condición, que es la delicada. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se aísla la raíz: $\sqrt{x^{2}+y^{2}} < 4-y$ .
2. Elevar al cuadrado solo es equivalente si los dos miembros son no negativos, así que hace falta $4-y > 0$ , es decir $y<4$ .
3. Con esa condición, elevando queda $x^{2}+y^{2} < 16-8y+y^{2}$ , y los $y^{2}$ se cancelan.
4. Despejando, $y < 2-\frac{x^{2}}{8}$ . Y esta condición ya implica $y<2<4$ , así que la restricción previa no añade nada nuevo.
El hábito que enseña: cada vez que se eleva al cuadrado, escribir la condición de signo. A veces sobra, como aquí; a veces es la mitad de la respuesta.

Resolución completa

Datos. Se pide la región de los $z$ con

|z-2| > |z-2i| \qquad\text{y}\qquad |z| + \operatorname{Im}(z) < 4

1 · La herramienta, y por qué basta con ella

Las dos condiciones están escritas con módulos, y un módulo es una distancia. La estrategia es siempre la misma: traducir cada distancia a coordenadas con $z = x+iy$ y ver qué figura queda como frontera.

Lo único delicado es que traducir implica elevar al cuadrado, y elevar al cuadrado solo es una equivalencia cuando los dos miembros son no negativos. En la primera condición lo son —son dos módulos, y no hay nada que exigir—; en la segunda aparece un $4-y$ que puede ser negativo, y ahí sí hay que pararse antes de elevar. Esa diferencia entre las dos es lo que de verdad evalúa el ejercicio.

2 · Primera condición: un semiplano

$|z-2|$ es la distancia al punto $(2,0)$ y $|z-2i|$ la distancia a $(0,2)$ . Pedir que la primera sea mayor es pedir estar más lejos de 2 que de $2i$ . La frontera —donde son iguales— es la mediatriz del segmento que los une, y la desigualdad selecciona uno de los dos semiplanos.

Elevando al cuadrado, que es equivalente por ser los dos miembros no negativos:

$(x-2)^{2}+y^{2} > x^{2}+(y-2)^{2}$

$x^{2}-4x+4+y^{2} > x^{2}+y^{2}-4y+4 \;\Longrightarrow\; -4x > -4y \;\Longrightarrow\; y > x$

Los términos cuadráticos se cancelan: por eso la frontera es una recta y no una cónica.

3 · Segunda condición: una parábola

$\sqrt{x^{2}+y^{2}} + y < 4 \;\Longleftrightarrow\; \sqrt{x^{2}+y^{2}} < 4-y$

Antes de elevar al cuadrado hay que exigir que el miembro derecho sea positivo: $y < 4$ . Con eso:

$x^{2}+y^{2} < 16-8y+y^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2} < 16-8y \;\Longrightarrow\; y < 2-\frac{x^{2}}{8}$

Y esta condición implica $y \le 2 < 4$ , así que la restricción previa se cumple sola. Conviene decirlo: no es que no hiciera falta comprobarla, es que al comprobarla resulta redundante.

4 · La región

Por encima de la recta $y=x$ y por debajo de la parábola $y = 2-\frac{x^{2}}{8}$ , que tiene el vértice en $(0,2)$ y abre hacia abajo.

Las dos curvas se cortan donde $x = 2-\frac{x^{2}}{8}$ , es decir $x^{2}+8x-16 = 0$ , con soluciones $x = -4 \pm 4\sqrt2$ . La región es el recinto comprendido entre esos dos cortes, con forma de hoja.

5 · Comprobación

Se toma un punto interior, por ejemplo $(-1, 1)$ :

$y > x$ : $1 > -1$ ✔
$y < 2-\frac{1}{8} = 1{,}875$ : $1 < 1{,}875$ ✔

Y en las condiciones originales: $|z-2| = |-3+i| = \sqrt{10} \approx 3{,}16$ y $|z-2i| = |-1-i| = \sqrt2 \approx 1{,}41$ , luego $3{,}16 > 1{,}41$ ✔; y $|z| + \operatorname{Im}(z) = \sqrt2 + 1 \approx 2{,}41 < 4$ ✔

Resultado

\boxed{\;y > x \quad\text{y}\quad y < 2-\frac{x^{2}}{8}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Números complejos

De dónde sale

Las dos formas, y por qué hacen falta las dos

El plano complejo

Multiplicar es girar y escalar

El argumento y la trampa de arctan

El conjugado, que hace casi todo el trabajo

Raíces n-ésimas: cuántas hay y por qué están repartidas

Lugares geométricos: traducir la condición a una distancia

Apolonio: cuando las dos distancias no van al mismo peso

El arco capaz, y cuándo se rompe en una semirrecta

La elipse, y la hipérbola que nunca cae

La parábola, que sale de mezclar un módulo con una coordenada

Cuando la condición viene sobre un cociente

Cuando la variable sube al exponente

Euler: la forma polar y la exponencial son la misma

El logaritmo, que da infinitos valores

Seno y coseno, definidos con exponenciales

Las hiperbólicas son las mismas, giradas

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

El radio

Un punto de prueba

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La ecuación

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El módulo

El argumento

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La parte real

La parte imaginaria

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Lo que devolvería el arcotangente

El argumento de verdad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El módulo

El argumento

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El denominador

El resultado

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El producto

El módulo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Módulo de z

Justificar el argumento

La potencia, en forma binómica

1 · Herramienta y por qué se puede aplicar

2 · Módulo

3 · Argumento

4 · Aplicación de De Moivre

5 · Paso a forma binómica

6 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

Módulo de la base

La primera potencia

Justificar el argumento

La suma

1 · La observación que ahorra la mitad del trabajo

2 · Forma polar de la base

3 · Aplicación de De Moivre

4 · La suma

5 · Comprobación

6 · Representación gráfica

Resultado

Reconocer el camino

El valor de la exponencial

Justificar el argumento

El cociente

1 · Qué es la exponencial que aparece

2 · Por qué hay que racionalizar