medido sobre 11 convocatorias — nada por intuición

Preparar la primera evaluación

Los temas 1 y 2, el 10 % de la nota. Esto no es el temario en orden: es un camino de principio a fin, desde lo que hay que saber hacer sin pensar hasta los cuatro huecos que el examen lleva once años repitiendo. Y el orden importa, porque la mayor parte de los puntos no se gana calculando.

1
El suelo, que no se examina solo
no da puntos — los sostiene todos4 escalones
Nada por sí mismo. Es lo que los cuatro ejercicios del examen dan por sabido antes de empezar: pasar de una forma a otra, dividir, girar.
En once años no ha caído ni un solo ejercicio que sea «pasa esto a polar». Y no hay prácticamente ninguno de los 22 ejercicios de tema 1 que se resuelva sin hacerlo, o sin racionalizar un cociente por el conjugado. Es el bloque que no da puntos por sí mismo y sin el cual los otros dos de complejos no se terminan a tiempo. Por eso va primero y por eso es corto.
Pasar de una forma a la otra
Coger cualquier complejo escrito en binómica y decir su módulo y su argumento, y al revés: leer una forma polar y escribirla como a + bi.
leerLas dos formas, y por qué hacen falta las dos
Por qué hay dos notaciones y cuándo conviene cada una. Sumar en binómica, multiplicar en polar.
1. ejemploPasar 1 + i a forma polar
  Empieza por aquí. Es el camino de ida con los números más sencillos que hay, y está resuelto paso a paso si te atascas.
2. ejemploVolver a binómica desde la forma polar
  El camino de vuelta, con el mismo tamaño de números.
3. prácticaUn cociente con exponenciales
  Y ahora el mismo viaje dentro de un ejercicio de verdad: aquí ya hay que racionalizar antes de poder pasar a polar.
nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.
Pasar 1 + i a forma polar
paso 1 de 4
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Escribir el número complejo $z = 1 + i$ en forma polar.
El módulo, el argumento y el número escrito como r·e^(iθ).
01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular nada: ¿en qué cuadrante está $1+i$ ?
02
El módulo
COMP2
¿Cuánto vale $\left|z\right| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$ para $z = 1+i$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El argumento
COMP2
¿Cuánto vale $\arg z$ , en radianes?
Tu respuesta al paso 3en radianes; en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta final. Una de estas piezas no debe entrar.
Ve eligiendo las piezas en orden.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Hacer los dos caminos, ida y vuelta, sin mirar la fórmula y sin calculadora. Si tienes que pararte a recordar cuál lleva el coseno, repite los dos ejemplos.
El argumento, y el cuadrante que lo decide
Calcular el argumento de cualquier complejo sin equivocarte de cuadrante, incluidos los casos en que la fórmula de la tangente ni siquiera se puede usar.
leerEl argumento y la trampa de arctan
El error más caro del tema, y el más fácil de evitar. En el examen no hay calculadora, así que el cuadrante lo pones tú.
1. ejemploEl argumento de un número del tercer cuadrante
  El caso que se falla. Fíjate en que los dos signos menos se cancelan al dividir y con ellos se pierde el cuadrante.
2. ejemploEl argumento cuando la parte real es cero
  El otro caso raro: cuando la parte real es cero no hay tangente que valga y hay que mirar el dibujo.
3. prácticaPotencia novena en forma binómica
  Ya con dificultad de boletín: un número del tercer cuadrante elevado a la novena. Si el argumento sale mal, sale todo mal.
nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.
El argumento de un número del tercer cuadrante
paso 1 de 4
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Calcular el argumento de $z = -1 - i$ .
El argumento en radianes, con el cuadrante justificado.
01
Reconocer el camino
COMP1
¿En qué cuadrante está $-1-i$ ?
02
Lo que devolvería el arcotangente
COMP2
¿Cuánto vale $\arctan(b/a)$ aquí, en radianes?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El argumento de verdad
COMP2
Corregido el cuadrante, ¿cuánto vale $\arg z$ ?
Tu respuesta al paso 3en radianes, entre −π y π; en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
Ve eligiendo las piezas en orden.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Delante de un complejo con alguna parte negativa, decir el cuadrante antes de tocar ninguna fórmula, y saber si al ángulo hay que sumarle o restarle pi. Sin dudar.
Dividir, que es multiplicar por el conjugado
Dividir dos complejos cualesquiera, y reconocer el conjugado cuando viene escondido dentro de una condición del enunciado.
leerEl conjugado, que hace casi todo el trabajo
La herramienta transversal. Aparece en cada cociente que se racionaliza y en las ecuaciones que parecen de grado cinco.
1. ejemploDividir dos complejos racionalizando
  Una división y nada más. Es el gesto que vas a repetir en medio de casi todos los ejercicios del tema.
2. ejemploUn número por su conjugado
  De dónde sale que el truco funcione: el producto de un número por su conjugado no tiene parte imaginaria.
3. prácticaUn parámetro real con cuatro condiciones
  Y aquí ya con un parámetro dentro, separando parte real e imaginaria para imponer una condición. Es el paso previo de la mitad de los lugares geométricos.
4. prácticaDos complejos con el cociente real
nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.
Dividir dos complejos racionalizando
paso 1 de 4
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Escribir en forma binómica el cociente
$z = \frac{2+i}{3-i}$
El cociente en la forma a + bi.
01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué hay que multiplicar arriba y abajo para hacer esta división?
02
El denominador
COMP2
¿Cuánto vale $(3-i)(3+i)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El resultado
COMP2
Termina la división. ¿Cuánto vale $z$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma binómica, por ejemplo 0,5+0,5i — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el desarrollo. Una pieza es falsa.
Ve eligiendo las piezas en orden.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Dividir dos complejos en menos de un minuto y con el signo correcto, y saber de memoria que un número por su conjugado es el módulo al cuadrado.
Potencias, con De Moivre
Elevar un complejo a una potencia alta sin desarrollar el binomio, pasando por la forma polar.
leerMultiplicar es girar y escalar
De Moivre no es una fórmula nueva: es «multiplica los módulos y suma los argumentos» repetido n veces.
1. prácticaLa potencia doceava de un cociente
2. prácticaSuma de dos potencias décimas
  Dos potencias décimas que se suman, y un atajo: son conjugados, así que las partes imaginarias se cancelan.
3. prácticaLa raíz cúbica de un cociente
4. prácticaUna potencia que tiene que salir real y negativa
5. examenUna potencia negativa en polar, y una identidad que vale en todo el plano
  De examen, y con exponente negativo: De Moivre vale igual, el módulo se va al denominador. Lleva detrás una identidad trigonométrica, que es el escalón de más abajo.
6. examenDeducir De Moivre, y cobrarla en cos 4x
  Este pide demostrar De Moivre y luego cobrarla en $\cos 4x$ . Si te lo saltas, sáltate también la mitad de la nota de COMP4 de este bloque.
Lo tienes cuando
Elevar a la doceava sin que te dé pereza, porque en polar es una multiplicación de nada. Y llegar a las raíces del bloque siguiente con esto automatizado.
Tu avance
Lo que vas resolviendo se marca aquí y se recuerda al volver. Se guarda solo en este navegador: no es una cuenta, no sale de tu ordenador, y desaparece si borras los datos del sitio.
lo tienes cuando:
Dividir dos complejos cualesquiera y pasar el resultado a polar en menos de un minuto, sin mirar apuntes y acertando el cuadrante del argumento a la primera. Si dudas del cuadrante, no has terminado este bloque.
2
Regiones del plano complejo
cae los 11 años — 7 pts de cálculo6 escalones
Cae 11 de 11 años
Calcular y representar gráficamente los afijos de los números complejos que verifican una o dos condiciones.
Es el único ejercicio que ha caído los once años sin faltar uno, y en nueve de ellos fue el número 1. Vale 7 puntos de cálculo de los 10: es el ejercicio con más COMP2 de todo el examen. Empieza por aquí porque es el más seguro y el que más rápido se automatiza.
De dónde sale ese dato
Contado sobre los once exámenes de primera evaluación publicados aquí, de 2015-2016 a 2025-2026.
Traducir una condición en una figura
Leer las cuatro frases básicas —distancia, mediatriz, semiplano y semirrecta— y dibujarlas sin hacer una sola cuenta.
leerLugares geométricos: traducir la condición a una distancia
Las cuatro traducciones, y las dos rutinas que se puntúan aparte del dibujo: el punto excluido y el borde.
1. ejemploUn disco, y decidir si el borde entra
  Empieza aquí. Una sola condición, sin álgebra: solo traducir y decidir si el borde entra.
2. ejemploLos puntos que equidistan de otros dos
  La segunda traducción, la que compara dos distancias. Sale una recta y no hace falta desarrollar nada.
3. prácticaDos condiciones que se cortan
  Ya de boletín, y con la vuelta de tuerca conceptual del tema: en los complejos no hay orden, así que una desigualdad entre complejos se lee entre módulos.
nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.
Un disco, y decidir si el borde entra
paso 1 de 4
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Representar los afijos de los números complejos $z$ que verifican
$\left|z - (1+2i)\right| \le 3$
Qué figura es, dónde está su centro, cuánto mide su radio y si el borde entra.
01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice $\left|z - (1+2i)\right|$ , leído en castellano?
02
El radio
COMP2
Si la condición fuera con un igual, $\left|z-(1+2i)\right| = 3$ , sería una circunferencia. ¿Cuánto mide su radio?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un punto de prueba
COMP2
Comprueba tu región con un punto. ¿Cuánto vale $\left|z-(1+2i)\right|$ para $z = 1+2i$ , o sea el propio centro?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza no debe entrar.
Ve eligiendo las piezas en orden.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Ver un módulo y decir «distancia a este punto» sin pensarlo, y saber si el borde entra o no mirando solo el signo de la desigualdad.
Apolonio, cuando las distancias no pesan igual
Reconocer que un cociente de módulos constante distinto de 1 da una circunferencia, y encontrar su centro y su radio completando cuadrados.
leerApolonio: cuando las dos distancias no van al mismo peso
Con la figura. Fíjate en dónde queda el centro: desplazado hacia el punto del que se está el doble de lejos.
1. prácticaUn lugar geométrico con un cociente de módulos
  El patrón limpio, sin nada más alrededor.
2. examenUn semiplano con un mordisco circular
3. examenUna razón que hay que calcular antes de usarla
  Aquí la razón no te la dan: hay que calcularla antes, resolviendo unas raíces cúbicas.
4. examenUna circunferencia de Apolonio con el área impuesta
  Y aquí al revés: te dan el área y hay que despejar el parámetro que la produce.
Lo tienes cuando
Llegar de la condición a la ecuación de la circunferencia sin consultar nada, y saber que el centro no queda en el punto medio.
El arco capaz, y quedarse con la mitad correcta
Reconocer que un argumento de un cociente constante da un arco, y decidir cuál de las dos mitades cumple el signo.
leerEl arco capaz, y cuándo se rompe en una semirrecta
Incluye la degeneración: con ángulo cero o llano el arco se estira y se convierte en una recta o en dos semirrectas.
1. prácticaUn lugar geométrico que es un arco
2. examenMedia circunferencia, y el signo que decide cuál
  Enunciado idéntico al del boletín. Si sale uno, sale el otro.
3. examenEl arco desde el que un segmento se ve bajo 45 grados
  Con conjugados y ángulo negativo, que es lo que decide qué arco te quedas.
4. examenCuando el lugar geométrico no tiene área
  La degeneración, y un lugar geométrico que no tiene área.
5. examenUna recta partida en dos, y un apartado sin solución
  El caso extremo: un apartado cuyo lugar geométrico es el conjunto vacío, y hay que saber decir por qué.
Lo tienes cuando
Que nunca se te quede la circunferencia entera cuando el enunciado solo pide un arco, y que los extremos salgan siempre excluidos.
La elipse, que sale de sumar distancias
Reconocer la definición de elipse escrita con módulos y sacar los semiejes sin desarrollar la ecuación.
leerLa elipse, y la hipérbola que nunca cae
Y la hipérbola, que aparece como respuesta plausible y en once años no se ha pedido ni una vez.
1. ejemploLos puntos que equidistan de otros dos
  La condición más simple sobre dos distancias. La elipse es esta con una suma en vez de una igualdad.
2. prácticaUna elipse recortada por un sector
3. examenUna elipse escrita con su definición
  El más abordable de los diecisiete: una condición, escrita en castellano, sin desigualdad ni denominador.
4. examenMedia elipse, cortada por una diagonal
5. examenUna elipse escrita con distancias, y un sector que la recorta
  El caso completo: una elipse escrita con la suma de distancias, y un sector angular que la recorta. Fíjate en que el recinto que queda no es un triángulo.
nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.
Los puntos que equidistan de otros dos
paso 1 de 3
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Representar los afijos de los números complejos $z$ que verifican
$\left|z - 2\right| = \left|z - 4i\right|$
Qué figura es y su ecuación en x e y.
01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué figura sale de igualar dos distancias?
02
La ecuación
COMP2
Con $z = x+iy$ , elevando al cuadrado los dos lados sale $(x-2)^{2}+y^{2} = x^{2}+(y-4)^{2}$ . Desarrollando y simplificando queda $y = mx + n$ . ¿Cuánto vale la pendiente $m$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
Ve eligiendo las piezas en orden.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Identificar focos y semiejes de memoria, y no confundir el mayor con el menor, que es el error que deja la elipse girada.
La parábola, de mezclar un módulo con una coordenada
Reconocer la condición que compara una distancia con una coordenada, y despejarla elevando al cuadrado una sola vez.
leerLa parábola, que sale de mezclar un módulo con una coordenada
1. prácticaUna mediatriz y una parábola
2. examenBajo una parábola y fuera de una circunferencia
3. examenUn semiplano y una parábola, escritos con distancias
  Los dos lugares de este bloque en el mismo enunciado: una mediatriz y una parábola. Y la restricción tácita antes de elevar al cuadrado se cobra aquí.
Lo tienes cuando
Acordarte de la restricción tácita que hace legítimo elevar al cuadrado, y escribirla en la respuesta.
Cuando la z está en el denominador
Racionalizar una condición sobre la parte real o imaginaria de un cociente y llegar al disco que define.
leerCuando la condición viene sobre un cociente
La variante que más se repite en la última década, y la que hace del conjugado la herramienta transversal del tema.
1. prácticaDos condiciones sobre el inverso
2. examenLa lente donde se cortan dos discos
  Mismo enunciado que el del boletín. Dos condiciones de este tipo se cortan en una lente.
3. examenUna desigualdad entre complejos, que obliga a pensar antes de calcular
  El más raro de todo el corpus, y el que más enseña: el enunciado escribe $1/z \ge \overline{z}$ , una desigualdad entre complejos, que no está definida. Hay que decidir qué significa antes de calcular, y la respuesta no es solo un trozo del eje real.
4. examenLos dos lugares de un cociente, y los dos puntos que hay que quitar
  De la recuperación de la quinta de 2020-2021. Dos lugares de un cociente a la vez, y dos puntos que hay que quitar: es el ejercicio que más insiste en el punto excluido.
Lo tienes cuando
Hacer la racionalización sin errores de signo y no olvidar nunca el punto excluido, que es el medio punto que se pierde.
Tu avance
Lo que vas resolviendo se marca aquí y se recuerda al volver. Se guarda solo en este navegador: no es una cuenta, no sale de tu ordenador, y desaparece si borras los datos del sitio.
lo tienes cuando:
Leer un enunciado con dos condiciones y saber, antes de escribir nada, qué figura sale de cada una. Y que el dibujo salga con el borde correcto, el punto excluido marcado y una comprobación con un punto interior.
3
El segundo ejercicio de complejos
el más variable5 escalones
Cae 11 de 11 años
Resolver una ecuación en el plano complejo, encontrar un vértice que falta o demostrar una identidad trigonométrica para argumentos complejos.
Los once exámenes llevan exactamente dos ejercicios de tema 1, así que este hueco también cae siempre. Lo que cambia es qué se pide dentro: es el más variable de los cuatro. Se ataca por frecuencia reciente, no por orden del boletín.
De dónde sale ese dato
Los once exámenes tienen dos ejercicios de tema 1 y el resto de tema 2, sin excepción.
Ecuaciones que son raíces n-ésimas
Resolver una ecuación del tipo z elevado a n igual a w, sacando las n raíces y colocándolas en su polígono regular.
leerRaíces n-ésimas: cuántas hay y por qué están repartidas
Las raíces reparten el ángulo a partes iguales. Si no salen n, o no están equiespaciadas, hay un error antes.
1. prácticaLas raíces cuartas de menos dieciséis
  El caso desnudo, sin nada alrededor. Cuatro raíces y un cuadrado.
2. prácticaUna ecuación de grado seis que es de segundo
  De grado seis, pero es de segundo con un cambio de variable. Ver el cambio es todo el ejercicio.
3. examenUna ecuación de grado seis que en realidad es de segundo
4. examenUna cúbica con el centro movido
  Con el centro movido, así que la traslación va antes que las raíces.
5. examenUna raíz cuarta que se lee en la figura
  El del curso pasado, con los datos leídos de una figura en vez de escritos.
6. examenTres raíces, y el triángulo que dibujan
  Las raíces de una cúbica que además hay que medir: perímetro y área del triángulo que dibujan. Ojo al primer paso — sacar $z$ factor común, no dividir entre $z$ .
nivel: practicaEjercicio 1.9 · Problemas complementarios, tema 1 · Cálculo, UPV/EHU (2018/2019 1E AT)
Las raíces cuartas de menos dieciséis
paso 1 de 4
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
$z^{4} + 16 = 0$
Calcular y representar gráficamente las soluciones, dando el resultado en forma binómica.
01
Reconocer el camino
COMP1
$z^4 = -16$ . En los reales esto no tendría solución. ¿Qué cambia en los complejos?
02
El módulo de las soluciones
COMP2
¿Cuánto vale el módulo de cada solución?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que justifica dónde están las cuatro soluciones. Una de las piezas no debe entrar.
Ve eligiendo las piezas en orden.
04
Las cuatro soluciones
COMP2
Escribe las cuatro soluciones en forma binómica, separadas por comas.
Tu respuesta al paso 4las cuatro, separadas por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Que salgan siempre las n raíces, ni una menos, y que puedas dibujar el polígono antes de terminar de calcularlas.
Ecuaciones con conjugado y módulo
Resolver ecuaciones donde aparecen a la vez la z, su conjugado y su módulo, tomando módulos primero para separar los casos.
leerEl conjugado, que hace casi todo el trabajo
La propiedad que rinde aquí es la última: si el módulo vale 1, el conjugado es el inverso, y eso resta un grado.
1. prácticaEl cubo igual a menos el módulo
  El más claro para ver los dos casos: o el módulo es cero, y entonces z también, o el módulo es uno.
2. prácticaUna ecuación con potencia y conjugado
3. examenUna quinta potencia, un conjugado y el cero que se pierde
4. examenUn parámetro real con cuatro condiciones
  De separar parte real e imaginaria con un parámetro dentro. Cuatro apartados con la misma técnica.
5. examenDos complejos atados por su cociente
  De la recuperación de la quinta de 2017-2018. Dos incógnitas complejas atadas por su cociente: se resuelve pasando a polar y separando módulo de argumento.
Lo tienes cuando
No perder nunca la solución z = 0, y usar que el conjugado es el inverso cuando el módulo vale 1 para bajar el grado.
Giros y polígonos
Encontrar los vértices que faltan de una figura multiplicando por una exponencial, que es girar.
leerMultiplicar es girar y escalar
El tercer vértice se obtiene multiplicando por una exponencial de argumento 60 o 90 grados, según la figura.
1. prácticaEl vértice de un triángulo rectángulo isósceles
2. prácticaUn rombo del que solo se conocen dos vértices
3. examenEl tercer vértice de un triángulo rectángulo isósceles
  Con la condición que decide cuál de los dos candidatos vale: «el de mayor componente imaginaria».
4. examenDeshacer un giro para encontrar el triángulo
  Aquí hay que deshacer un giro dado, no darlo.
Lo tienes cuando
Saber que multiplicar por i es girar 90 grados sin tener que comprobarlo, y elegir bien entre los dos candidatos que suelen salir.
Ecuaciones con la z en el exponente
Resolver una ecuación exponencial en el plano complejo sabiendo que no tiene una solución, sino una fila infinita de ellas.
leerEl logaritmo, que da infinitos valores
De dónde salen los infinitos valores: de que la exponencial es periódica de periodo 2πi.
1. prácticaUn logaritmo complejo disfrazado
2. prácticaUna ecuación exponencial en el plano complejo
3. examenUna exponencial cuyas soluciones son reales
4. examenUna exponencial que da una recta vertical
5. examenUn coseno que vale 2, que en el plano complejo no es absurdo
  $\cos z = 2$ , que en los reales es imposible. Se resuelve tomando logaritmo complejo, y por eso está aquí y no entre las trigonométricas.
Lo tienes cuando
Escribir siempre el 2kπ en la respuesta. Un logaritmo complejo sin la familia completa pierde los puntos de explicación formal.
Identidades con seno y coseno complejos
Demostrar una identidad trigonométrica en el plano complejo sustituyendo la definición exponencial y operando.
leerSeno y coseno, definidos con exponenciales
La definición, y por qué la acotación se pierde mientras las identidades algebraicas se conservan.
1. prácticaEl seno de una suma, para argumentos complejos
2. prácticaLa identidad del ángulo doble, en el plano complejo
3. prácticaCuando el coseno vale cinco
  La ecuación que en los reales no tiene solución. Se resuelve con el cambio t igual a la exponencial.
4. prácticaUna igualdad con coseno complejo
5. examenEl seno de una suma, para argumentos complejos
6. examenEl coseno al cuadrado, para argumentos complejos
7. examenUna identidad de siempre, ahora en todo el plano complejo
  La identidad de siempre, pero hay que decir por qué sigue valiendo en $\mathbb{C}$ . Tres puntos de COMP4 en esa frase.
8. examenUna ecuación trigonométrica que en el plano complejo no crece
  Se factoriza, no se divide: dividir entre $\operatorname{sen} z$ borra la mitad de las soluciones.
9. examenUna ecuación que parece difícil hasta que se lee Euler
  Parece difícil hasta que reconoces Euler y los dos senos se cancelan. Siete puntos de cálculo que se ganan mirando.
Lo tienes cuando
No invocar nunca la identidad real: la demostración que puntúa parte de la definición con exponenciales. Y recordar que el seno complejo no está acotado.
Tu avance
Lo que vas resolviendo se marca aquí y se recuerda al volver. Se guarda solo en este navegador: no es una cuenta, no sale de tu ordenador, y desaparece si borras los datos del sitio.
lo tienes cuando:
Ante una ecuación en el plano complejo, saber en qué caso estás —raíces n-ésimas, cambio de variable, o ecuación con conjugado y módulo— en los primeros treinta segundos, y no perder nunca la solución z = 0 ni quedarte con menos raíces de las que hay.
4
La demostración de sucesiones
el más rentable — 7+ pts sin una cuenta3 escalones
Cae 8 de 11 años
Razonar si una afirmación sobre el límite de una sucesión es verdadera o falsa, y demostrarlo con la definición.
El bloque más rentable del examen. Los once años tienen un ejercicio de tema 2 que se juega entero en explicación formal, con 7 puntos o más; en nueve de ellos no hay que hacer una sola cuenta. Y en ocho es la misma propiedad con otro disfraz. Dominar una demostración cubre un cuarto de la nota del parcial.
De dónde sale ese dato
«Una desigualdad no estricta sobrevive al paso al límite», en 2015-16, 2016-17, 2017-18, 2018-19, 2022-23, 2023-24, 2024-25 y 2025-26. Los enunciados de 2017-18 y 2024-25 son idénticos entre sí, y los de 2022-23 y 2023-24 también.
Leer la definición de límite
Entender el juego entre el épsilon y el m, y saber encontrar un m concreto cuando te dan un margen concreto.
leerQué significa exactamente converger
El orden de los cuantificadores es lo que se corrige: primero se da el épsilon y después se busca el término a partir del cual.
1. ejemploLeer la definición de límite en un caso concreto
  Empieza aquí. Un margen concreto, un número concreto, y se ve por qué el m depende del épsilon.
2. prácticaTres definiciones que hay que saber escribir
  Y ahora las siete definiciones escritas con cuantificadores, que es como las pide el examen.
3. examenLa definición de límite, aplicada al caso más simple que hay
  El caso más simple que existe, y siete de sus diez puntos son la demostración. Si no sabes producir el $m$ a partir del $\varepsilon$ , este es el sitio para aprenderlo.
4. examenDemostrar que algo NO es el límite
  Y ahora al revés: demostrar que $-2$ no es el límite. Negar la definición —cambiar los cuantificadores— es lo que se evalúa.
5. examenLa sucesión que se desploma en el término cien
  De la recuperación de la quinta de 2018-2019, y vale 0/2/8: casi todo es escribir las dos definiciones formales. La sucesión se desploma en el término cien, que es el contraejemplo de «crece siempre».
nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.
Leer la definición de límite en un caso concreto
paso 1 de 4
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Para la sucesión $a_n = \dfrac{1}{n}$ , que converge a $0$ , encontrar un $m$ que sirva en la definición de límite cuando $\varepsilon = 0{,}01$ .
El menor m natural a partir del cual todos los términos distan de 0 menos de 0,01.
01
Reconocer el camino
COMP1
En la definición de límite, ¿quién elige primero, $\varepsilon$ o $m$ ?
02
La desigualdad que hay que resolver
COMP2
$\left|a_n - 0\right| < 0{,}01$ es $\dfrac{1}{n} < 0{,}01$ . ¿A partir de qué valor de $n$ se cumple? Da el menor natural que la cumple.
Tu respuesta al paso 2un número natural — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Y con un margen diez veces menor
COMP2
Si ahora te piden $\varepsilon = 0{,}001$ , ¿cuál es el menor $n$ que sirve?
Tu respuesta al paso 3un número natural — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta formal. Una pieza no debe entrar.
Ve eligiendo las piezas en orden.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Escribir la definición con los cuantificadores en el orden correcto y sin mirar. Si dudas de si va primero el épsilon o el m, repite el ejemplo.
La demostración que más cae
Demostrar por reducción al absurdo que una desigualdad no estricta sobrevive al paso al límite, eligiendo bien el épsilon.
leerEl teorema que más cae: el signo se conserva en el límite
La plantilla, y el paso que separa el aprobado del sobresaliente: elegir el épsilon que fabrica la contradicción, no uno cualquiera.
1. ejemploPor qué el límite de términos positivos no tiene por qué ser positivo
  El caso más simple, con su contraejemplo. Es literalmente el enunciado que cae cinco de los once años.
2. prácticaLas desigualdades sobreviven al límite, pero debilitadas
  Si solo haces uno de boletín, este. Es la propiedad que cae ocho de once años.
3. prácticaEl límite de una sucesión de términos no negativos
4. prácticaInfinitos positivos e infinitos negativos
5. examenUna cota estricta que el límite no hereda
6. examenEl límite de una sucesión de términos no positivos
  Enunciado idéntico al de 2017-2018. Si sale uno, sale el otro.
7. examenDos sucesiones ordenadas y sus límites
8. examenLa desigualdad que sobrevive al límite (otra vez)
9. examenTres definiciones y la desigualdad que sobrevive al límite
10. examenEl límite de una sucesión de términos no positivos
11. examenEl límite de una sucesión de términos no negativos
12. examenVerdadera o falsa, y hay que demostrarlo
13. examenSi todos los términos son ≤ 0, el límite también
  La versión con $\le 0$ , y diez puntos enteros de COMP4. Aquí se ve por qué el $\varepsilon$ que hay que elegir es $L/2$ .
14. examenDos afirmaciones casi iguales, y solo una es cierta
  Las dos afirmaciones juntas, una cierta y otra falsa, para que se vea dónde exactamente se rompe la demostración cuando la desigualdad es estricta.
nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.
Por qué el límite de términos positivos no tiene por qué ser positivo
paso 1 de 3
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Se sabe que $a_n > 0$ para todo $n$ y que $a_n \to L$ . Decidir si se puede afirmar que $L > 0$ , y en caso contrario dar un contraejemplo.
Si la conclusión es L > 0 o L ≥ 0, con un contraejemplo que lo justifique.
01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se puede afirmar del límite?
02
El contraejemplo
COMP2
Toma $a_n = \dfrac{1}{n}$ , que cumple $a_n > 0$ para todo $n$ . ¿Cuánto vale su límite?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento completo. Una pieza es falsa.
Ve eligiendo las piezas en orden.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Que la plantilla de cinco pasos te salga sola, y que cierres siempre con desigualdad ancha y su contraejemplo.
El límite, si existe, es único
Demostrar la unicidad del límite con la misma técnica, cambiando solo qué épsilon se elige.
leerEl límite, si existe, es único
Cayó en 2019-2020. Misma técnica: suponer lo contrario y elegir bien el épsilon.
1. prácticaPor qué el límite es único
2. examenPor qué el límite de una sucesión es único
Lo tienes cuando
Ver que es la misma plantilla y que lo único que cambia es la distancia que se toma como épsilon: aquí, la mitad de la que separa los dos candidatos.
Tu avance
Lo que vas resolviendo se marca aquí y se recuerda al volver. Se guarda solo en este navegador: no es una cuenta, no sale de tu ordenador, y desaparece si borras los datos del sitio.
lo tienes cuando:
Escribir la demostración entera de carrerilla en papel, sin apuntes, en menos de diez minutos: suponer lo contrario, elegir el épsilon que fabrica la contradicción, cerrar con desigualdad ancha y rematar con el contraejemplo de por qué no puede ser estricta.
5
Series y sucesiones a trozos
el tipo en crecimiento3 escalones
Cae 3 de 11 años
Decidir el carácter de una serie y, si converge, calcular su suma. O estudiar una sucesión definida por tramos y la serie que forma.
El tipo en crecimiento. Hasta 2020-2021 el cuarto ejercicio era «definiciones formales más una sucesión a trozos»; desde 2021-2022 son series de verdad, y han caído tres de los últimos cinco cursos. Vale 6 puntos de cálculo.
De dónde sale ese dato
Series con suma en 2021-2022, 2024-2025 y 2025-2026. Antes de 2021-2022, ninguna.
La serie geométrica
Reconocer una geométrica por su razón, decidir si converge y sumarla, empiece donde empiece.
leerSeries: sumar infinitos términos
La condición necesaria sirve para descartar, nunca para confirmar. Y la geométrica hay que tenerla en la punta de los dedos.
1. ejemploSumar una serie geométrica
  Empieza aquí. La geométrica más simple que existe, con la razón a la vista.
2. prácticaLa serie geométrica, y cómo empezar a sumar más tarde
  Con su demostración, que es lo que pidió 2017-2018.
3. prácticaEl alpinista que nunca llega
  Una geométrica disfrazada de problema de un alpinista.
4. examenUna geométrica de razón negativa
  Con razón negativa, que no cambia la fórmula pero sí los signos.
5. examenDos definiciones, y un ejemplo que las distinga
  De definiciones: qué es una serie geométrica y qué es una sucesión recurrente, cada una con su ejemplo. Diez puntos que se pierden por dar un ejemplo que no distingue las dos cosas.
nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.
Sumar una serie geométrica
paso 1 de 4
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Calcular la suma de la serie
$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = 1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$
La suma, y por qué la serie converge.
01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué esta serie converge?
02
La razón
COMP2
¿Cuánto vale la razón $r$ , es decir, por cuánto se multiplica cada término para obtener el siguiente?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La suma
COMP2
Con $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} r^{n} = \frac{1}{1-r}$ , ¿cuánto suma la serie?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza sobra.
Ve eligiendo las piezas en orden.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Sumarla de memoria, incluida la versión que no empieza en cero, y saber demostrar la fórmula si te la piden.
Telescópicas y las otras dos
Descomponer en fracciones simples, ver qué se cancela y qué sobrevive, y reconocer las otras dos formas que han caído.
leerTelescópicas: casi todo se cancela
La señal para reconocerlas es un denominador factorizable en términos consecutivos.
1. ejemploUna serie telescópica, término a término
  Empieza aquí. La descomposición más simple, y se ve exactamente qué se cancela y qué no.
2. examenUna hipergeométrica, y dos series con los mismos rectángulos
  Del curso pasado. Fíjate en que el examen te regala el criterio dentro del enunciado: lo que se puntúa es aplicarlo bien.
3. examenUna serie que se decide leyendo la gráfica
  La de n por r elevado a n, con la razón leída de una gráfica.
nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.
Una serie telescópica, término a término
paso 1 de 4
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Calcular
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$
La descomposición en fracciones simples y la suma.
01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué señal indica que esta serie es telescópica?
02
La descomposición
COMP2
Se escribe $\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{A}{n} + \dfrac{B}{n+1}$ . ¿Cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La suma
COMP2
Escribiendo los primeros sumandos de $\left(\frac11-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots$ , ¿cuánto vale la suma total?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el desarrollo. Una pieza es falsa.
Ve eligiendo las piezas en orden.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Escribir cuatro sumandos desarrollados antes de decidir qué queda. Con tres factores en el denominador no sobrevive uno en cada punta.
Sucesiones definidas a trozos
Contestar por separado a crecimiento, acotación y convergencia de una sucesión partida en tramos, y a la serie que forma.
leerCreciente, decreciente, acotada
Las definiciones se piden literales, y supremo e ínfimo no son máximo y mínimo.
1. prácticaDe crecer como un cubo a estabilizarse en cinco
2. prácticaUna sucesión con un pico en medio
3. prácticaUna serie que no puede converger
4. prácticaUna sucesión decreciente y la serie que forma
5. prácticaAlternar infinitas veces o cambiar una sola vez
  El contraste que más rinde: alternar infinitas veces no es lo mismo que cambiar una sola vez.
6. prácticaDos parámetros a partir del supremo y el ínfimo
7. prácticaUna sucesión creciente que tiende a cero
8. prácticaComparar sucesiones que tienden a cero
9. examenLos primeros términos no cuentan para el límite, pero sí para la suma
10. examenCuatro definiciones y una serie que no puede converger
11. examenSeis definiciones, y un supremo que no se alcanza
12. examenTres tramos, un pico enorme y una serie que no converge
13. examenUna sucesión compleja mirada por tres ventanas
  El único puente entre los dos temas: una sucesión de complejos, y hay que mirar módulo, argumento y parte imaginaria por separado.
14. examenDos sucesiones casi idénticas, y solo una converge
  El contraste en estado puro: dos sucesiones con las mismas dos fórmulas, y solo converge una. Si haces uno solo de este escalón, que sea este.
15. examenUna sucesión que cae de golpe, y la serie que aun así converge
  A trozos, con un salto enorme en medio, y encima hay que decidir si su serie converge. Cuidado con contestar «converge porque el término tiende a cero».
Lo tienes cuando
No mezclar las tres preguntas. Los primeros términos no cuentan para el límite pero sí para la monotonía y para la suma.
Tu avance
Lo que vas resolviendo se marca aquí y se recuerda al volver. Se guarda solo en este navegador: no es una cuenta, no sale de tu ordenador, y desaparece si borras los datos del sitio.
lo tienes cuando:
Ver de qué tipo es una serie —geométrica, telescópica, con una n delante, o de las que traen el criterio escrito en el enunciado— sin probar fórmulas a ciegas. Y ante una sucesión a trozos, contestar por separado a crecimiento, acotación y convergencia sin mezclar las tres.
6
Los exámenes enteros, cronometrados
papel en blanco y reloj3 referencias
Sentarte con el papel en blanco, sin apuntes y con reloj, y hacer los cuatro ejercicios seguidos.
Los cuatro bloques anteriores entrenan cada hueco por separado, y eso no es lo que pasa en el aula: allí hay que repartir el tiempo entre los cuatro y decidir cuál se ataca primero. Estos tres son los más recientes, así que son los que mejor representan el formato actual — cuatro ejercicios y cuarenta puntos.
1. examen2025-2026 · 20 de octubre de 2025
  Empieza por el último. Cada página abre en blanco: las resoluciones están en la otra pestaña y conviene no tocarlas hasta terminar.
2. examen2024-2025 · 14 de octubre de 2024
3. examen2023-2024 · 16 de octubre de 2023
lo tienes cuando:
Hacer uno entero dentro del tiempo, sin abrir ninguna pista, y que al corregirlo no haya ningún ejercicio en blanco. No se trata de acertarlo todo: se trata de que ningún hueco te pille sin saber por dónde empezar.
7
Lo que hay que llevar sabido
no hay formulario: va en la cabeza2 referencias
Cae 4 de 11 años
El examen no deja formulario. Todo lo de aquí hay que llevarlo en la cabeza, y una parte se pide escrita literalmente.
«Definir formalmente los siguientes conceptos» es un apartado que ha caído en 2018-2019, 2019-2020, 2020-2021 y 2022-2023, y no se puede deducir: o te lo sabes o no. Lo mismo con las sumas de las series y con las identidades complejas. Este bloque existe para el rato de antes de entrar, y por eso va el último: es repaso, no aprendizaje.
De dónde sale ese dato
Contado sobre los enunciados que empiezan por «definir formalmente» o «escribe la definición»: 2018-2019, 2019-2020, 2020-2021 y 2022-2023.
1. leerLo que hay que llevar sabido
  Complejos: las formas, De Moivre y raíces, el conjugado, exponencial y logaritmo, y la tabla de las cinco traducciones de lugar geométrico.
2. leerLo que hay que llevar sabido
  Sucesiones: las siete definiciones formales en una tabla, la plantilla de la demostración y las cuatro sumas.
lo tienes cuando:
Escribir de memoria y en papel las siete definiciones con sus cuantificadores en el orden correcto, y las cuatro sumas de series, sin consultar nada. Si tienes que mirar una sola vez, todavía no.

Por qué este orden

Primero el suelo, que no se examina solo pero sin el cual no sale nada. Después los cuatro huecos del examen ordenados por lo que rinden: lo que cae todos los años, y dentro de eso lo que más puntos vale. El bloque de la demostración va antes que el de series aunque sea de más adelante en el temario, porque son diez puntos que se repiten casi literalmente año tras año. Al final los exámenes enteros y el formulario, que son repaso, no aprendizaje. Dentro de cada escalón los ejercicios van de ejemplo a examen, y en ese orden. Los últimos de varios escalones son de las recuperaciones del primer cuatrimestre, que hasta 2020-2021 venían dentro de los cuadernillos de la cuarta y de la quinta evaluación y preguntan exactamente estos dos temas: veinte ejercicios más con los que medirse, diecisiete de la recuperación de la cuarta y tres de la de la quinta. Los recuentos de esta ruta, en cambio, siguen siendo sobre las once primeras evaluaciones y solo sobre ellas.

Cómo se han determinado los huecos de esta ruta. Un bloque sin falta[] no es un bloque sin mirar: el 29 de agosto de 2026 se pasaron los sesenta y dos bloques de las siete rutas por tres criterios medidos —si su tema tiene pocos ejemplos de entrada para lo que el examen le exige, si sus ejercicios usan una herramienta que la prosa de ese tema no nombra, y si algún escalón suyo empieza directamente en un ejercicio de examen— y solo se declara lo que sale de alguno de ellos.

El 6 de septiembre de 2026 se volvieron a pasar, con un cuarto criterio que el primer pase no tenía: si el bloque salta del ejemplo de entrada al ejercicio de examen sin ningún problema de boletín en medio. Ese señaló trece bloques que los otros tres daban por buenos, porque los tres miraban el primer peldaño y este mira el que falta en medio. Desde entonces cada bloque lleva anotada la fecha en que se le pasaron los cuatro, de modo que el bloque que se añada mañana y no se mire se va a notar.

Esta evaluación

Medido sobre 11 convocatorias · 39 ejercicios · 390 puntos.

COMP 144 puntos por reconocer
COMP 2156 puntos por calcular
COMP 4190 puntos por justificar

El 60,0 % de la nota no es calcular; la explicación formal sola vale el 48,7 %.

Esta ruta te lleva por los 39, sin dejarse ninguno. Un bloque no se acaba: se domina — cada uno te dice cómo sabes que ya lo tienes.

Lo que falta, dicho en voz alta

Series y sucesiones a trozos

El temario oficial de la asignatura incluye «métodos numéricos» dentro del tema 2 —y también del 5 y del 9—, y de eso hay una parte escrita y otra que no. Conviene separarlas, porque no son el mismo hueco. Escrita está la cuadratura: el tema 5 tiene su apartado con la regla del punto medio, el trapecio y Simpson, sus tres fórmulas y sus errores —por qué el punto medio es mejor que el trapecio con las mismas evaluaciones, por qué Simpson necesita $n$ par—, más el cambio de variable que hace falta para aplicarlas en un intervalo infinito. Sin escribir están buscar raíces —Newton-Raphson, bisección— y resolver una ecuación diferencial paso a paso —Euler, Runge-Kutta—.

Series y sucesiones a trozos

Y eso no es un olvido, porque está contado sobre lo que el examen pide. De los 425 ejercicios de las 88 convocatorias transcritas, dos tocan un método numérico y los dos son de integración: la regla del punto medio con cuatro subintervalos en la extraordinaria de 2012-2013, que es el examen más antiguo del corpus, y —seis años después— ordenar de menor a mayor la aproximación por el extremo izquierdo, la del extremo derecho y el valor exacto, en la tercera evaluación de 2018-2019. El segundo no pide calcular nada: pide razonar por qué una suma por la izquierda se queda corta cuando la función crece. De Newton-Raphson, de bisección, de Euler y de Runge-Kutta, cero en trece años.

Series y sucesiones a trozos

Esta nota decía «un solo enunciado» y «aquí no hay nada de eso: ni trapecios, ni Simpson» hasta el 10 de septiembre de 2026, y las dos mitades estaban mal. La segunda es la que enseña algo: se publicó como ausente un apartado que existe, y es justo el caso que hay que contar antes de escribir nada. El recuento se hace sobre el enunciado y el pide, nunca sobre las resoluciones —que una resolución nuestra itere para cerrar una cuenta no significa que el examen pida el método— y quitando la figura redibujada, porque su descripción dice «trapecio» y «punto medio» hablando de geometría: eran dos falsos positivos de tres.

Los exámenes enteros, cronometrados

No hay cronómetro en la página, así que el reloj lo pones tú. Lo que vas resolviendo sí se recuerda, pero solo en este navegador: el sitio es estático y no tiene cuentas, así que si cambias de ordenador empiezas la cuenta de cero.

Lo que hay que llevar sabido

Las dos listas son una segunda copia de cosas que ya están explicadas en los temas, y eso tiene un riesgo: si un día se corrige la teoría y no se corrige aquí, esto miente. Desde el 8 de septiembre de 2026 hay un guardián, y conviene decir qué parte cubre y cuál no. Cubre el caso en que la prosa anuncia su propio tamaño —«y las tres frases de COMP4» seguido de tres viñetas—: son diecisiete anuncios así en el sitio y el guion los recuenta. Lo que no cubre, y es el riesgo grande, es una fórmula o un enunciado que se corrija arriba y no aquí abajo: eso no se puede comprobar solo, y por eso esta nota sigue abierta.

Lo que hay que llevar sabido

No se puede imprimir solo el formulario. Cada uno vive al final de la página de su tema, así que imprimir arrastra el tema entero, y eso es mucho más de lo que esta nota decía: medido en A4 el 10 de septiembre de 2026, 121 folios el de complejos y 41 el de sucesiones. Decía «diecinueve» y «diez», que es seis veces menos y no lo había medido nadie — un tema no es un capítulo, es su prosa más sus treinta y siete ejercicios enteros con su resolución, y eso es lo que sale por la impresora. Se imprime bien; lo que no es, es la hoja suelta que este bloque querría ser. Y con estas cifras deja de ser un inconveniente y pasa a ser un motivo: mientras el formulario no tenga página propia, esto no se imprime.

Un hueco declarado es información; uno escondido, una promesa incumplida.

empieza por el bloque 1 aunque te sepas el tema

Preparar la primera evaluación

El suelo, que no se examina solo

Pasar de una forma a la otra

Reconocer el camino

El módulo

El argumento

Justificar el argumento

El argumento, y el cuadrante que lo decide

Reconocer el camino

Lo que devolvería el arcotangente

El argumento de verdad

Justificar el argumento

Dividir, que es multiplicar por el conjugado

Reconocer el camino

El denominador

El resultado

Justificar el argumento

Potencias, con De Moivre

Regiones del plano complejo

Traducir una condición en una figura

Reconocer el camino

El radio

Un punto de prueba

Justificar el argumento

Apolonio, cuando las distancias no pesan igual

El arco capaz, y quedarse con la mitad correcta

La elipse, que sale de sumar distancias

Reconocer el camino

La ecuación

Justificar el argumento

La parábola, de mezclar un módulo con una coordenada

Cuando la z está en el denominador

El segundo ejercicio de complejos

Ecuaciones que son raíces n-ésimas

Reconocer el camino

El módulo de las soluciones

Justificar el argumento

Las cuatro soluciones

1 · Por qué esto tiene solución aquí y no en los reales

2 · Herramienta

3 · Módulo y argumentos

4 · Paso a forma binómica

5 · Representación gráfica

6 · Comprobación

Resultado

Ecuaciones con conjugado y módulo

Giros y polígonos

Ecuaciones con la z en el exponente

Identidades con seno y coseno complejos

La demostración de sucesiones

Leer la definición de límite

Reconocer el camino

La desigualdad que hay que resolver

Y con un margen diez veces menor

Justificar el argumento

La demostración que más cae

Reconocer el camino

El contraejemplo

Justificar el argumento

El límite, si existe, es único

Series y sucesiones a trozos

La serie geométrica

Reconocer el camino

La razón

La suma

Justificar el argumento

Telescópicas y las otras dos

Reconocer el camino

La descomposición

La suma

Justificar el argumento

Sucesiones definidas a trozos

Los exámenes enteros, cronometrados

Lo que hay que llevar sabido