tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · primera evaluación

Primera evaluación · 2018-2019

15 de octubre de 2018 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

La lente donde se cortan dos discosNúmeros complejos1 + 6 + 3 = 10 pts
Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:
$\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z-1}\right) > \frac{1}{2} \qquad \operatorname{Im}\left(\frac{1}{z-1}\right) > \frac{1}{2}$
Calcular la región y representarla.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una ecuación de grado seis que en realidad es de segundoNúmeros complejos0 + 6 + 4 = 10 pts
Calcular y representar las soluciones de la ecuación
$z^{6}+7z^{3}-8 = 0, \qquad z \in \mathbb{C}$
Calcular las seis soluciones y representarlas.
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Tres definiciones y la desigualdad que sobrevive al límiteSucesiones y series numéricas2 + 0 + 8 = 10 pts
a) Definir formalmente los siguientes conceptos: sucesión creciente, sucesión acotada, sucesión divergente hacia $-\infty$ .

b) Demostrar la siguiente propiedad. Sean $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ dos sucesiones tales que $x_n \le y_n \;\;\forall n \in \mathbb{N}$ y $\lim_{n\to\infty} x_n = x$ , $\lim_{n\to\infty} y_n = y$ . Entonces $x \le y$ .
Definir los tres conceptos y demostrar la propiedad.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Primera evaluación, 15 de octubre de 2018 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · Enunciado idéntico al ejercicio 1.22 del boletín del tema 1. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La lente donde se cortan dos discos

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:

\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z-1}\right) > \frac{1}{2} \qquad \operatorname{Im}\left(\frac{1}{z-1}\right) > \frac{1}{2}

Calcular la región y representarla.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que hacer antes de poder separar parte real e imaginaria?
02
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe la región simplificada, en $x$ e $y$ . Vale cualquier forma equivalente.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadapor ejemplo (x-2)^2 + y^2 < 1 & (x-1)^2 + (y+1)^2 < 1
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descripción de la región. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\frac{1}{z-1}$ exige $z \neq 1$ : se anota antes de operar.
2. Racionalizando, $\frac{1}{z-1} = \frac{(x-1)-iy}{D}$ con $D = \left|z-1\right|^{2} > 0$ .
3. La primera condición da el disco abierto $(x-2)^{2}+y^{2} < 1$ ; la segunda, el disco abierto $(x-1)^{2}+(y+1)^{2} < 1$ .
4. La distancia entre los centros $(2,0)$ y $(1,-1)$ es $\sqrt2 \approx 1{,}41$ , menor que la suma de los radios: los dos discos se cortan.
5. La región pedida es la lente de intersección, sin ninguno de los dos bordes.
Comprobar si el punto excluido cae dentro o fuera de la región es el paso que cierra bien el ejercicio. Casi siempre ya estaba fuera, pero hay que verlo.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Se pide la región de los $z$ con $\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z-1}\right) > \frac12$ y $\operatorname{Im}\left(\frac{1}{z-1}\right) > \frac12$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 1 · COMP2 6 · COMP4 3. Este examen tiene tres ejercicios y 30 puntos.

Este enunciado es el ejercicio 1.22 del boletín del tema 1, palabra por palabra.

1 · Restricción previa

$\frac{1}{z-1}$ exige $z \neq 1$ . Se anota antes de operar y se comprueba al final dónde cae ese punto.

2 · Separar parte real e imaginaria

Mientras $z-1$ esté en el denominador no se puede leer su parte real. Se racionaliza multiplicando por el conjugado, que convierte el denominador en un número real positivo:

\frac{1}{z-1} = \frac{\overline{z-1}}{\left|z-1\right|^{2}} = \frac{(x-1)-iy}{D}, \qquad D = (x-1)^{2}+y^{2} > 0

\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z-1}\right) = \frac{x-1}{D}, \qquad \operatorname{Im}\left(\frac{1}{z-1}\right) = \frac{-y}{D}

Ojo al signo de la parte imaginaria: el conjugado lo cambia. Es $\frac{-y}{D}$ , y de ahí que el segundo disco acabe por debajo del eje real.

3 · Primera condición

\frac{x-1}{D} > \frac12

Como $D>0$ , multiplicar los dos miembros por $2D$ no cambia el sentido de la desigualdad —y esto hay que decirlo, es la hipótesis del paso—:

2(x-1) > (x-1)^{2}+y^{2}

0 > (x-1)^{2}-2(x-1)+y^{2} = x^{2}-4x+3+y^{2}

(x-2)^{2}+y^{2} < 1

Disco abierto de centro $(2,0)$ y radio 1.

4 · Segunda condición

\frac{-y}{D} > \frac12 \;\Longleftrightarrow\; -2y > (x-1)^{2}+y^{2}

(x-1)^{2}+y^{2}+2y < 0 \;\Longleftrightarrow\; (x-1)^{2}+(y+1)^{2} < 1

Disco abierto de centro $(1,-1)$ y radio 1.

5 · La intersección

¿Se cortan? La distancia entre los centros es

d = \sqrt{(2-1)^{2}+(0+1)^{2}} = \sqrt2 \approx 1{,}41

menor que la suma de los radios, que es 2, y mayor que su diferencia, que es 0. Luego se cortan en dos puntos y la intersección es una lente.

Los bordes no entran: las dos desigualdades son estrictas.

6 · El punto excluido

$z=1$ está a distancia 1 del centro $(2,0)$ y a distancia 1 del centro $(1,-1)$ : cae sobre las dos circunferencias. Como las desigualdades son estrictas, ya estaba fuera de la región y no hay que quitarlo aparte.

Merece la pena escribirlo: comprobar dónde cae el punto excluido es lo que cierra bien el ejercicio, aunque el resultado sea que no añade nada.

7 · Representación gráfica

Dos círculos de radio 1, uno centrado en $(2,0)$ y otro en $(1,-1)$ , con la zona común sombreada y los bordes en trazo discontinuo por ser abiertos. La lente queda en el cuarto cuadrante, más o menos entre $x=1{,}2$ y $x=2$ , con $y$ entre $-0{,}8$ y $0$ .

8 · Comprobación

Un punto de la lente, $(1{,}6,\,-0{,}5)$ :

Primer disco: $(1{,}6-2)^{2}+0{,}25 = 0{,}41 < 1$ ✔
Segundo disco: $(0{,}6)^{2}+(0{,}5)^{2} = 0{,}61 < 1$ ✔

Y en el enunciado original, con $D = 0{,}36+0{,}25 = 0{,}61$ :

\operatorname{Re} = \frac{0{,}6}{0{,}61} \approx 0{,}98 > 0{,}5 \;\checkmark \qquad \operatorname{Im} = \frac{0{,}5}{0{,}61} \approx 0{,}82 > 0{,}5 \;\checkmark

Y uno que debe fallar: $(2,0)$ , el centro del primer disco. Primer disco ✔, pero segundo: $(1)^{2}+(1)^{2} = 2 > 1$ ✗. Fuera, como debe — estar en un disco no basta.

Resultado

\boxed{\;(x-2)^{2}+y^{2} < 1 \quad\text{y}\quad (x-1)^{2}+(y+1)^{2} < 1\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Primera evaluación, 15 de octubre de 2018 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · Enunciado idéntico al ejercicio 1.11 del boletín del tema 1. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación de grado seis que en realidad es de segundo

COMP 26 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar las soluciones de la ecuación

z^{6}+7z^{3}-8 = 0, \qquad z \in \mathbb{C}

Calcular las seis soluciones y representarlas.

01
Reconocer el camino
COMP1
La ecuación es de grado 6. ¿Hay que resolver un polinomio de grado 6?
02
Las dos raíces auxiliares
COMP2
Con $w = z^{3}$ , ¿cuáles son las dos soluciones de $w^{2}+7w-8=0$ ?
Tu respuesta al paso 2los dos valores separados por una coma — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Cuántas soluciones tiene la ecuación original
COMP2
¿Cuántos números complejos cumplen $z^{6}+7z^{3}-8=0$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Como $z^{6} = \left(z^{3}\right)^{2}$ , el cambio $w = z^{3}$ convierte la ecuación en $w^{2}+7w-8 = 0$ .
2. Sus soluciones son $w_1 = 1$ y $w_2 = -8$ .
3. $z^{3} = 1 = e^{i\,0^{\circ}}$ : módulo 1 y argumentos $0^{\circ}$ , $120^{\circ}$ , $240^{\circ}$ .
4. $z^{3} = -8 = 8e^{i\,180^{\circ}}$ : módulo $\sqrt[3]{8} = 2$ y argumentos $60^{\circ}$ , $180^{\circ}$ , $300^{\circ}$ .
5. Seis soluciones en total, repartidas en dos circunferencias concéntricas de radios 1 y 2.
El dibujo lo dice todo: dos triángulos equiláteros, uno en cada circunferencia, girados $60^{\circ}$ el uno respecto del otro.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Resolver $z^{6}+7z^{3}-8 = 0$ en $\mathbb{C}$ y representar las soluciones.

Reparto de puntos del examen: COMP2 6 · COMP4 4. No se evalúa COMP1, así que los cuatro puntos de explicación se los lleva justificar bien el cambio de variable y el recuento de soluciones.

Este enunciado es el ejercicio 1.11 del boletín del tema 1.

1 · La ecuación no es de sexto grado, es bicúbica

Solo aparecen $z^{6}$ y $z^{3}$ , y $z^{6} = \left(z^{3}\right)^{2}$ . El cambio

w = z^{3}

la convierte en una ecuación de segundo grado:

w^{2}+7w-8 = 0

Y conviene decir por qué el cambio es lícito: es una aplicación sobreyectiva de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$ , así que toda solución en $w$ procede de alguna $z$ , y no se pierde ninguna.

2 · Resolución en $w$

w = \frac{-7\pm\sqrt{49+32}}{2} = \frac{-7\pm9}{2} \;\Longrightarrow\; w_1 = 1, \quad w_2 = -8

Comprobación gratis: la suma de las raíces debe ser $-7$ y el producto $-8$ . Y $1+(-8) = -7$ ✔, $1\cdot(-8) = -8$ ✔.

3 · Deshacer el cambio: dos ecuaciones cúbicas

Aquí está el paso que decide el ejercicio. Deshacer el cambio no es escribir $z = \sqrt[3]{w}$ y quedarse con un número: es resolver $z^{3} = w$ , que en $\mathbb{C}$ tiene tres soluciones para cada $w$ .

$z^{3} = 1 = e^{i\,0^{\circ}}$ . Módulo $\sqrt[3]{1} = 1$ y argumentos $\frac{0^{\circ}+360^{\circ}k}{3} = 0^{\circ},\,120^{\circ},\,240^{\circ}$ :

z = 1, \qquad z = -\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i, \qquad z = -\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i

$z^{3} = -8 = 8\,e^{i\,180^{\circ}}$ . Módulo $\sqrt[3]{8} = 2$ y argumentos $\frac{180^{\circ}+360^{\circ}k}{3} = 60^{\circ},\,180^{\circ},\,300^{\circ}$ :

z = 1+\sqrt3\,i, \qquad z = -2, \qquad z = 1-\sqrt3\,i

4 · Recuento

Seis soluciones, que es exactamente lo que garantiza el teorema fundamental del álgebra para un polinomio de grado 6. Si salieran menos, faltaría alguna; si salieran más, habría una repetida.

Y vienen en pares conjugados, como tiene que pasar en toda ecuación de coeficientes reales: $-\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i$ y $1\pm\sqrt3\,i$ , más las dos reales $1$ y $-2$ .

5 · Representación gráfica

Los seis afijos se reparten en dos circunferencias concéntricas:

Tres en la de radio 1, a $0^{\circ}$ , $120^{\circ}$ y $240^{\circ}$ .
Tres en la de radio 2, a $60^{\circ}$ , $180^{\circ}$ y $300^{\circ}$ .

Cada terna es un triángulo equilátero, y uno está girado $60^{\circ}$ respecto del otro, así que los seis puntos quedan alternados angularmente: uno de radio 1, uno de radio 2, uno de radio 1…

6 · Comprobación

Con la solución real más cómoda, $z=-2$ :

z^{3} = -8, \qquad z^{6} = 64

64+7(-8)-8 = 64-56-8 = 0 \quad\checkmark

Con $z=1$ : $1+7-8 = 0$ ✔

Y con una compleja, $z = -\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$ , que tiene módulo 1 y argumento $120^{\circ}$ : su cubo tiene módulo 1 y argumento $360^{\circ} \equiv 0^{\circ}$ , o sea $z^{3} = 1$ , y entonces $z^{6} = 1$ . Sustituyendo: $1+7-8 = 0$ ✔

Resultado

\boxed{\;z \in \left\{\,1,\; -\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i,\; -\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}i,\; 1+\sqrt3\,i,\; -2,\; 1-\sqrt3\,i \,\right\}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Primera evaluación, 15 de octubre de 2018 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El apartado (a) es el ejercicio 2.2 del boletín y el (b) es el 2.5. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres definiciones y la desigualdad que sobrevive al límite

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Definir formalmente los siguientes conceptos: sucesión creciente, sucesión acotada, sucesión divergente hacia $-\infty$ .

b) Demostrar la siguiente propiedad. Sean $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ dos sucesiones tales que $x_n \le y_n \;\;\forall n \in \mathbb{N}$ y $\lim_{n\to\infty} x_n = x$ , $\lim_{n\to\infty} y_n = y$ . Entonces $x \le y$ .

Definir los tres conceptos y demostrar la propiedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
En la definición de «divergente hacia $-\infty$ », ¿por qué importa el orden de los cuantificadores?
02
La definición, aplicada
COMP2
Para $a_n = -n^{2}$ y $M = -400$ , ¿cuál es el menor $n_0$ tal que $a_n < M$ para todo $n>n_0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración del apartado (b). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por reducción al absurdo, supongamos $x>y$ , y sea $\varepsilon = \dfrac{x-y}{2} > 0$ .
2. Existe $m_1$ tal que $x_n > x-\varepsilon = \dfrac{x+y}{2}$ para todo $n>m_1$ .
3. Existe $m_2$ tal que $y_n < y+\varepsilon = \dfrac{x+y}{2}$ para todo $n>m_2$ .
4. Para $n>\max(m_1,m_2)$ valen las dos, y entonces $y_n < \dfrac{x+y}{2} < x_n$ , en contra de $x_n \le y_n$ .
5. Contradicción, luego $x \le y$ .
Es el mismo épsilon de los ejercicios 2.3 a 2.6 del boletín y de otros tres exámenes de esta colección. Conviene tenerlo como reflejo.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. (a) Definir creciente, acotada y divergente hacia $-\infty$ . (b) Demostrar que $x_n \le y_n$ y la convergencia de las dos implican $x \le y$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 2 · COMP4 8. Ni un punto de cálculo.

Los dos apartados están en el boletín del tema 2: el (a) es el ejercicio 2.2 y el (b) es el 2.5. Los tres ejercicios de este examen están en los boletines — el 1 es el 1.22 y el 2 es el 1.11 —, así que esta convocatoria se podía haber respondido entera con ellos delante.

1 · Apartado (a): las tres definiciones

Sucesión creciente.

\{a_n\} \text{ creciente} \iff a_{n+1} > a_n \quad \forall n \in \mathbb{N}

Sin excepciones: basta un par consecutivo que falle para que deje de serlo.

Sucesión acotada.

\{a_n\} \text{ acotada} \iff \exists\, p,q \in \mathbb{R} \;:\; p \le a_n \le q \quad \forall n \in \mathbb{N}

Las dos cotas. Con solo la de arriba se tiene «acotada superiormente», que es más débil: $a_n = -n^{2}$ la cumple y no está acotada. Equivalentemente: $\exists K>0 : \left|a_n\right| \le K$ para todo $n$ .

Sucesión divergente hacia $-\infty$ .

\lim a_n = -\infty \iff \forall M \in \mathbb{R} \;\exists\, n_0 \in \mathbb{N} \;:\; n>n_0 \Rightarrow a_n < M

2 · Lo que de verdad se evalúa en (a): el orden de los cuantificadores

En la tercera definición, $n_0$ va después de $M$ , y eso significa que puede depender de él. Escribirlo al revés diría que un mismo índice sirve para todas las cotas, que es falso.

Se ve con un ejemplo, y conviene ponerlo: para $a_n = -n^{2}$ ,

$M$	menor $n_0$ que sirve
$-100$	$10$
$-400$	$20$
$-10\,000$	$100$

El índice crece con la exigencia. Ningún $n_0$ fijo vale para todos los $M$ .

Y el contraste entre las tres definiciones, que es lo que las une: las dos primeras hablan de todos los términos; la tercera, solo de los que hay a partir de cierto punto. Es la misma diferencia que separa la monotonía de la convergencia.

3 · Apartado (b): estrategia

Reducción al absurdo. La negación de $x \le y$ es $x>y$ , y de esa diferencia positiva sale el épsilon.

4 · Apartado (b): la demostración

Supongamos $x>y$ y tomemos

\varepsilon = \frac{x-y}{2} > 0

Por converger $\{x_n\}$ , existe $m_1$ tal que para todo $n>m_1$

\left|x_n-x\right| < \varepsilon \;\Longrightarrow\; x_n > x-\varepsilon = \frac{x+y}{2}

Por converger $\{y_n\}$ , existe $m_2$ tal que para todo $n>m_2$

\left|y_n-y\right| < \varepsilon \;\Longrightarrow\; y_n < y+\varepsilon = \frac{x+y}{2}

Sea $n > \max(m_1,m_2)$ : las dos valen a la vez, y encadenando

y_n < \frac{x+y}{2} < x_n

es decir $y_n < x_n$ , en contra de la hipótesis. Contradicción, luego $x \le y$ . $\blacksquare$

5 · Los dos detalles que valen la nota

Por qué la mitad y no la distancia entera. Con $\varepsilon = x-y$ los dos entornos se tocarían en el punto medio y podría darse $x_n = y_n$ , que no contradice $x_n \le y_n$ . Con la mitad los entornos quedan disjuntos y el choque es limpio.

El máximo de los dos índices. Cada sucesión aporta su propio $m$ y no tienen por qué coincidir. Sin el máximo no se sabe que las dos desigualdades valen en el mismo $n$ , y sin eso no se pueden encadenar.

6 · La desigualdad se debilita

Aunque la hipótesis fuera estricta, $x_n < y_n$ , la conclusión seguiría siendo $x \le y$ y no $x<y$ . Contraejemplo inmediato:

x_n = 0, \qquad y_n = \frac1n

cumplen $x_n < y_n$ para todo $n$ y sus límites son iguales, los dos 0.

7 · Comprobación

De (a), aplicando las tres definiciones a $a_n = -n^{2}$ :

definición	¿la cumple?	por qué
creciente	no	$a_2 = -4 < -1 = a_1$
acotada	no	no hay cota inferior
divergente a $-\infty$	sí	dado $M$ , basta $n_0 = \lceil\sqrt{\lvert M\rvert}\rceil$

De (b), con $x=5$ e $y=2$ : tomando $x_n = 5-\frac4n$ e $y_n = 2+\frac4n$ , la desigualdad $x_n \le y_n$ se cumple en $n=1,2$ y se rompe a partir de $n=3$ . Y con $\varepsilon = 1{,}5$ salen $m_1 = m_2 = 2$ : el cruce aparece justo en $n>\max(m_1,m_2) = 2$ ✔

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(a) } & \text{creciente: } a_{n+1}>a_n\ \forall n;\quad \text{acotada: } \exists p,q : p \le a_n \le q\ \forall n; \\ & \text{divergente a } -\infty:\ \forall M\ \exists n_0 : n>n_0 \Rightarrow a_n<M \\[6pt] \text{(b) } & x_n \le y_n\ \forall n,\ x_n \to x,\ y_n \to y \;\Longrightarrow\; x \le y \end{aligned}}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Primera evaluación · 2018-2019

Reconocer el camino

Verificar la región

Justificar el argumento

1 · Restricción previa

2 · Separar parte real e imaginaria

3 · Primera condición

4 · Segunda condición

5 · La intersección

6 · El punto excluido

7 · Representación gráfica

8 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

Las dos raíces auxiliares

Cuántas soluciones tiene la ecuación original

Justificar el argumento

1 · La ecuación no es de sexto grado, es bicúbica

2 · Resolución en www

3 · Deshacer el cambio: dos ecuaciones cúbicas

4 · Recuento

5 · Representación gráfica

6 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

La definición, aplicada

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): las tres definiciones

2 · Lo que de verdad se evalúa en (a): el orden de los cuantificadores

3 · Apartado (b): estrategia

4 · Apartado (b): la demostración

5 · Los dos detalles que valen la nota

6 · La desigualdad se debilita

7 · Comprobación

Resultado

2 · Resolución en $w$