tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · primera evaluación

Primera evaluación · 2020-2021

19 de octubre de 2020 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El arco desde el que un segmento se ve bajo 45 gradosNúmeros complejos1 + 6 + 3 = 10 pts
Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición siguiente:
$\arg\left(\frac{\overline{z}+3i}{\overline{z}-3i}\right) = -\frac{\pi}{4}$
Calcular el lugar geométrico y representarlo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una exponencial cuyas soluciones son realesNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Resolver la ecuación
$e^{-iz} = -\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}, \qquad z \in \mathbb{C}$
y representar gráficamente la solución.
Resolver la ecuación y representar las soluciones.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Seis definiciones, y un supremo que no se alcanzaSucesiones y series numéricas2 + 1 + 7 = 10 pts
a) Definir formalmente los siguientes conceptos: sucesión creciente, sucesión decreciente, sucesión acotada, supremo, ínfimo y sucesión convergente.

b) Estudiar dichos conceptos para la sucesión $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ definida de la siguiente forma:
$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n} & n < 20 \\[10pt] 1-\dfrac{1}{n} & n \ge 20 \end{cases}$
c) Sea $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ la sucesión definida en el apartado anterior. ¿Es convergente la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ?
Definir, estudiar la sucesión y decidir sobre la serie.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 21 punto por calcular
- COMP 47 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Primera evaluación, 19 de octubre de 2020 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El arco desde el que un segmento se ve bajo 45 grados

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición siguiente:

\arg\left(\frac{\overline{z}+3i}{\overline{z}-3i}\right) = -\frac{\pi}{4}

Calcular el lugar geométrico y representarlo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Una diferencia de argumentos constante entre dos puntos fijos, ¿qué lugar geométrico da?
02
El radio del arco
COMP2
El segmento va de $-3i$ a $3i$ y se ve bajo $45^{\circ}$ . ¿Cuál es el radio de la circunferencia que contiene al arco?
Tu respuesta al paso 2un número, o una expresión como 3√2 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El centro
COMP2
¿Cuál es la abscisa del centro de esa circunferencia?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe en $x$ e $y$ el arco que sale, con la condición que selecciona el trozo correcto. La figura comprobará si coincide con la del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; usa & para juntar dos condiciones
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descripción del lugar geométrico. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La condición dice $\arg\left(\overline z+3i\right)-\arg\left(\overline z-3i\right) = -\frac{\pi}{4}$ : desde $\overline z$ , el segmento que une $-3i$ y $3i$ se ve bajo $45^{\circ}$ .
2. Por el teorema del ángulo inscrito, esos puntos forman un arco de la circunferencia que pasa por $-3i$ y $3i$ , con $R = \frac{6}{2\,\mathrm{sen}\,45^{\circ}} = 3\sqrt2$ y centro en $(\pm3, 0)$ .
3. El signo negativo del argumento selecciona el centro $(-3,0)$ y, dentro de esa circunferencia, el arco mayor, el de $x<0$ .
4. Los extremos $3i$ y $-3i$ quedan excluidos: en uno se anula el denominador y en el otro el numerador.
5. Como la circunferencia es simétrica respecto del eje real y el arco también lo es, conjugar no cambia nada: el lugar de $z$ es el mismo que el de $\overline z$ .
Ese último paso es el que casi nadie escribe. Que conjugar no cambie el resultado hay que comprobarlo, no suponerlo.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Se pide el lugar de los $z$ con $\arg\left(\frac{\overline z+3i}{\overline z-3i}\right) = -\frac{\pi}{4}$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 1 · COMP2 6 · COMP4 3. Este examen tiene tres ejercicios y 30 puntos, no cuatro y 40.

1 · Restricciones previas

El cociente exige $\overline z \neq 3i$ , y el argumento de 0 no está definido, así que también $\overline z \neq -3i$ . Los dos puntos quedan excluidos.

2 · Qué dice la condición

El argumento de un cociente es la diferencia de argumentos:

\arg\left(\overline z+3i\right)-\arg\left(\overline z-3i\right) = -\frac{\pi}{4}

$\arg\left(\overline z-(-3i)\right)$ es la dirección del vector que va de $-3i$ al afijo de $\overline z$ , y $\arg\left(\overline z-3i\right)$ la del que va de $3i$ . Que su diferencia sea constante significa que desde $\overline z$ el segmento que une $-3i$ y $3i$ se ve bajo un ángulo fijo de $45^{\circ}$ .

Ese es el arco capaz, y el teorema del ángulo inscrito dice que es un arco de circunferencia que pasa por los dos extremos. El caso más conocido es el de $90^{\circ}$ , que da la circunferencia de diámetro el segmento; aquí el ángulo es la mitad, así que el arco es más abierto.

3 · La circunferencia

La cuerda es el segmento de $-3i$ a $3i$ , de longitud

c = 6

y la relación entre cuerda, radio y ángulo inscrito es $c = 2R\,\mathrm{sen}\,\theta$ :

6 = 2R\,\mathrm{sen}\,45^{\circ} = 2R\cdot\frac{\sqrt2}{2} = R\sqrt2 \;\Longrightarrow\; R = \frac{6}{\sqrt2} = 3\sqrt2

El centro está en la mediatriz de la cuerda —el eje real— a distancia

d = \sqrt{R^{2}-3^{2}} = \sqrt{18-9} = 3

del origen. Dos candidatos: $(3,0)$ y $(-3,0)$ .

4 · Cuál de los dos, y qué arco

Lo decide el signo del argumento, y la forma rápida es probar un punto.

Con $\overline z = -3-3\sqrt2 \approx -7{,}243$ —punto de la circunferencia izquierda, sobre el eje real—:

\arg\left(-7{,}243+3i\right) = 157{,}5^{\circ}, \qquad \arg\left(-7{,}243-3i\right) = -157{,}5^{\circ}

157{,}5-(-157{,}5) = 315^{\circ} \equiv -45^{\circ} \quad\checkmark

Y hay que comprobar además qué arco de esa circunferencia, porque la cuerda la parte en dos. Con $\overline z = -3+3\sqrt2\,i$ , del arco izquierdo:

\arg\left(-3+7{,}243i\right)-\arg\left(-3+1{,}243i\right) = 112{,}5^{\circ}-157{,}5^{\circ} = -45^{\circ} \quad\checkmark

Con $\overline z = -3+3\sqrt2 \approx 1{,}243$ , del arco derecho:

\arg\left(1{,}243+3i\right)-\arg\left(1{,}243-3i\right) = 67{,}5^{\circ}-(-67{,}5^{\circ}) = 135^{\circ} \quad\times

Sirve el arco mayor, el de $x<0$ .

5 · Deshacer el conjugado

Todo lo anterior describe el lugar de $\overline z$ . Falta pasar a $z$ , y esto hay que comprobarlo, no suponerlo: conjugar refleja respecto del eje real.

La circunferencia $(x+3)^{2}+y^{2} = 18$ está centrada en el eje real, así que es simétrica respecto de él. Y el arco elegido, el de $x<0$ , también lo es. Por tanto el reflejo del conjunto es el propio conjunto:

\left\{z\right\} = \overline{\left\{\overline z\right\}} = \left\{\overline z\right\}

El lugar de $z$ coincide con el de $\overline z$ .

6 · Representación gráfica

La circunferencia de centro $(-3,0)$ y radio $3\sqrt2 \approx 4{,}24$ , que pasa por $(0,3)$ y $(0,-3)$ y llega por la izquierda hasta $(-7{,}24,\,0)$ . De ella, el arco que queda a la izquierda del eje imaginario, con los dos extremos marcados con círculo hueco por estar excluidos.

7 · Comprobación

Un punto del arco, $z = -3-3\sqrt2\,i$ , o sea $\overline z = -3+3\sqrt2\,i$ :

\frac{\overline z+3i}{\overline z-3i} = \frac{-3+\left(3\sqrt2+3\right)i}{-3+\left(3\sqrt2-3\right)i}

cuyo argumento es $112{,}5^{\circ}-157{,}5^{\circ} = -45^{\circ}$ ✔

Y uno que debe fallar, del arco derecho: $\overline z = 1{,}243$ da $+135^{\circ}$ ✗, como se ha visto arriba.

Coherencia final: el arco elegido está más lejos del segmento que el otro, y eso es lo que tiene que pasar — cuanto más lejos se mira, más pequeño se ve el segmento, y $45^{\circ}$ es menor que los $135^{\circ}$ del arco cercano.

Resultado

\boxed{\;(x+3)^{2}+y^{2} = 18 \quad\text{con}\quad x<0\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Primera evaluación, 19 de octubre de 2020 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una exponencial cuyas soluciones son reales

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la ecuación

e^{-iz} = -\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}, \qquad z \in \mathbb{C}

y representar gráficamente la solución.

Resolver la ecuación y representar las soluciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántas soluciones tiene una ecuación $e^{w} = c$ con $c \neq 0$ ?
02
El argumento del segundo miembro
COMP2
¿Cuál es el argumento de $-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}$ , en grados?
Tu respuesta al paso 2un número de grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La solución principal
COMP2
¿Cuál es la solución con $k=0$ ? En forma exacta, o con su valor numérico.
Tu respuesta al paso 3un número, o una expresión como -5π/6 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El segundo miembro tiene módulo 1 y argumento $\frac{5\pi}{6}$ , luego vale $e^{i\frac{5\pi}{6}}$ .
2. Como la exponencial compleja es periódica de periodo $2\pi i$ , al tomar logaritmos aparece el término $2\pi k$ con $k \in \mathbb{Z}$ .
3. $-iz = \ln 1 + i\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\right) = i\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\right)$ .
4. Multiplicando por $i$ : $z = -\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\right)$ , $k \in \mathbb{Z}$ .
5. Todas las soluciones son reales, y sus afijos son puntos del eje real separados $2\pi$ entre sí.
Compara con el ejercicio 1.14 del boletín, $e^{iz} = 1+i$ : allí el módulo era $\sqrt2$ y las soluciones caían en una recta por debajo del eje real. Aquí el módulo es 1 y caen justo encima.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Resolver $e^{-iz} = -\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}$ en $\mathbb{C}$ y representar las soluciones.

Reparto de puntos del examen: COMP1 1 · COMP2 7 · COMP4 2.

1 · Por qué hay infinitas soluciones

La exponencial compleja es periódica de periodo $2\pi i$ :

e^{w+2\pi i} = e^{w}\,e^{2\pi i} = e^{w}

No es inyectiva, así que la ecuación $e^{w} = c$ con $c \neq 0$ tiene infinitas soluciones. Eso es lo que recoge el $2\pi k$ del logaritmo complejo:

\ln c = \ln\left|c\right| + i\left(\arg c + 2\pi k\right), \qquad k \in \mathbb{Z}

Aquí el segundo miembro no es cero, así que la ecuación tiene solución.

2 · El segundo miembro, en polar

\left|-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}\right| = \sqrt{\frac34+\frac14} = \sqrt1 = 1

La parte real es negativa y la imaginaria positiva: el afijo está en el segundo cuadrante. Con $\tan\theta = \frac{1/2}{-\sqrt3/2} = -\frac{1}{\sqrt3}$ , los ángulos candidatos son $-30^{\circ}$ y $150^{\circ}$ , y hay que quedarse con el del segundo cuadrante:

\arg = 150^{\circ} = \frac{5\pi}{6}

Se comprueba: $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}$ y $\mathrm{sen}\,\frac{5\pi}{6} = \frac12$ ✔

-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2} = e^{i\frac{5\pi}{6}}

3 · Tomar logaritmos y despejar

-iz = \ln 1 + i\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\right)

Y aquí entra el detalle que decide el signo: $\ln 1 = 0$ , así que no hay parte real en el logaritmo.

-iz = i\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\right)

Multiplicando los dos miembros por $i$ —que es lo mismo que dividir entre $-i$ —, y usando $i\cdot(-i) = 1$ en la izquierda e $i\cdot i = -1$ en la derecha:

z = -\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\right), \qquad k \in \mathbb{Z}

o, cambiando el nombre del índice, $z = -\frac{5\pi}{6}+2\pi m$ .

4 · La observación que vale los dos puntos de COMP4

Todas las soluciones son números reales. No es casualidad: el logaritmo aporta su parte real a través de $\ln\left|c\right|$ , y aquí $\left|c\right| = 1$ , así que ese término se anula. Al multiplicar por $i$ , lo que era parte imaginaria pasa a ser parte real, y no queda nada en la otra.

Merece la pena compararlo con el ejercicio 1.14 del boletín, $e^{iz} = 1+i$ : allí el módulo era $\sqrt2$ , el logaritmo aportaba $\ln\sqrt2$ y las soluciones caían sobre una recta horizontal por debajo del eje real. Aquí caen justo sobre el eje.

5 · Representación gráfica

Puntos del eje real, equiespaciados $2\pi \approx 6{,}28$ :

\dots,\; -\frac{5\pi}{6}-2\pi,\; -\frac{5\pi}{6},\; -\frac{5\pi}{6}+2\pi,\; \dots

es decir, aproximadamente

\dots,\; -8{,}90,\quad -2{,}62,\quad 3{,}67,\quad 9{,}95,\;\dots

Una sucesión infinita de puntos sobre una recta, no un único punto.

6 · Comprobación

Con $k=0$ , $z = -\frac{5\pi}{6}$ :

-iz = -i\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = i\,\frac{5\pi}{6}

e^{i\frac{5\pi}{6}} = \cos\frac{5\pi}{6}+i\,\mathrm{sen}\,\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2} \quad\checkmark

Con $k=-1$ , $z = -\frac{5\pi}{6}+2\pi = \frac{7\pi}{6}$ :

-iz = -i\,\frac{7\pi}{6} \;\Longrightarrow\; e^{-i\frac{7\pi}{6}} = e^{i\left(2\pi-\frac{7\pi}{6}\right)} = e^{i\frac{5\pi}{6}} \quad\checkmark

Las dos dan lo mismo, como tiene que ser.

Resultado

\boxed{\;z = -\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k \in \mathbb{Z}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Primera evaluación, 19 de octubre de 2020 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Seis definiciones, y un supremo que no se alcanza

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 21 punto por calcular
COMP 47 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Definir formalmente los siguientes conceptos: sucesión creciente, sucesión decreciente, sucesión acotada, supremo, ínfimo y sucesión convergente.

b) Estudiar dichos conceptos para la sucesión $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ definida de la siguiente forma:

\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n} & n < 20 \\[10pt] 1-\dfrac{1}{n} & n \ge 20 \end{cases}

c) Sea $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ la sucesión definida en el apartado anterior. ¿Es convergente la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ?

Definir, estudiar la sucesión y decidir sobre la serie.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué diferencia hay entre supremo y máximo?
02
El ínfimo
COMP2
¿Cuál es el menor valor que toma la sucesión?
Tu respuesta al paso 2un número en forma exacta, o con cinco decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de la sucesión y la serie. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. No es creciente: el primer tramo decrece, $a_1 = 0{,}8 > 0{,}64 = a_2$ .
2. No es decreciente: en el empalme sube de golpe, $a_{19} \approx 0{,}0144$ y $a_{20} = 0{,}95$ .
3. Es acotada: $a_{19} \le a_n < 1$ para todo $n$ .
4. Ínfimo $= a_{19} = \left(\frac45\right)^{19}$ , y es mínimo porque se alcanza. Supremo $= 1$ , y no es máximo, porque $1-\frac1n < 1$ siempre.
5. Converge a 1, porque la cola es $1-\frac1n$ y solo la cola cuenta.
El apartado (c) se responde con el resultado del (b) en una línea. Por eso el orden importa.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. $a_n = \left(\frac45\right)^{n}$ para $n<20$ y $a_n = 1-\frac1n$ para $n\ge20$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 2 · COMP2 1 · COMP4 7. Un solo punto de cálculo sobre diez.

1 · Apartado (a): las seis definiciones

\{a_n\} \text{ creciente} \iff a_{n+1} > a_n \quad \forall n \in \mathbb{N}

\{a_n\} \text{ decreciente} \iff a_{n+1} < a_n \quad \forall n \in \mathbb{N}

\{a_n\} \text{ acotada} \iff \exists\, p,q \in \mathbb{R} : p \le a_n \le q \quad \forall n \in \mathbb{N}

Supremo: la menor de las cotas superiores. Es decir, $S$ es supremo si $a_n \le S$ para todo $n$ y, para todo $\varepsilon>0$ , existe algún $a_n > S-\varepsilon$ —si no, $S-\varepsilon$ sería una cota superior más pequeña—.

Ínfimo: la mayor de las cotas inferiores, con la condición simétrica.

\lim a_n = L \iff \forall\varepsilon>0\;\exists\, m \in \mathbb{N} :\; n>m \Rightarrow \left|a_n-L\right| < \varepsilon

La distinción que este ejercicio quiere oír: supremo no es máximo. El supremo existe siempre que haya cota superior; el máximo, solo si algún término lo alcanza.

2 · Apartado (b): los términos

0{,}8,\; 0{,}64,\; 0{,}512,\; \dots,\; \underbrace{0{,}01441}_{a_{19}},\; \underbrace{0{,}95}_{a_{20}},\; 0{,}9524,\; 0{,}9545,\;\dots

El primer tramo llega hasta $n=19$ , porque la condición es $n<20$ estricta.

No es creciente: $a_1 = 0{,}8 > 0{,}64 = a_2$ . El primer tramo es decreciente, porque la base $\frac45$ está entre 0 y 1.

No es decreciente: en el empalme la sucesión da un salto hacia arriba,

a_{19} \approx 0{,}01441 \;<\; 0{,}95 = a_{20}

Las dos comprobaciones son necesarias: «no creciente» no descarta «decreciente».

Es acotada.

\left(\frac45\right)^{19} \le a_n < 1 \qquad \forall n

Ínfimo. El primer tramo decrece hasta $a_{19}$ y el segundo empieza en $0{,}95$ , así que el menor valor de toda la sucesión es

\inf = a_{19} = \left(\frac45\right)^{19} \approx 0{,}01441

Y es mínimo, porque se alcanza en $n=19$ .

Supremo. El primer tramo no pasa de $0{,}8$ , y el segundo se acerca a 1 sin llegar:

1-\frac1n < 1 \qquad \forall n

Luego $\sup = 1$ , y no es máximo: ningún término vale 1. Este es el punto del ejercicio.

Converge. Solo cuenta la cola:

\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right) = 1

Converge a 1 sin ser monótona, otro recordatorio de que el teorema «monótona y acotada implica convergente» da una condición suficiente y no necesaria.

3 · Apartado (c): la serie

La condición necesaria dice que si $\sum a_n$ converge, entonces $a_n \to 0$ . Acabamos de ver que $a_n \to 1 \neq 0$ .

\boxed{\;\text{La serie } \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ NO converge}\;}

De hecho diverge a $+\infty$ : a partir de $n=20$ se suman infinitos términos, todos mayores que $0{,}95$ .

Y la advertencia gemela, que conviene dejar escrita: que el término general tienda a cero no basta para que la serie converja. La serie armónica lo cumple y suma infinito. La condición sirve para descartar, nunca para confirmar.

4 · Comprobación

Del ínfimo, comprobando que el primer tramo de verdad baja por debajo del segundo:

\left(\frac45\right)^{19} = \left(\frac45\right)^{16}\left(\frac45\right)^{2}\left(\frac45\right) \approx 0{,}02815 \times 0{,}64 \times 0{,}8 \approx 0{,}01441

que es mucho menor que $0{,}95$ ✔

Del supremo, viendo que 1 no se alcanza pero se acerca cuanto se quiera: con $\varepsilon = 10^{-3}$ hace falta $\frac1n < 10^{-3}$ , o sea $n>1000$ , y $a_{1001} = 0{,}999 > 1-\varepsilon$ ✔. Hay términos tan cerca de 1 como se quiera, y ninguno igual a 1: eso es exactamente ser supremo sin ser máximo.

De la divergencia de la serie, con una cota por debajo: para $N>20$ ,

\sum_{n=1}^{N} a_n > \sum_{n=20}^{N} 0{,}95 = 0{,}95\,(N-19) \;\xrightarrow[N\to\infty]{}\; \infty

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(b) } & \text{ni creciente ni decreciente; acotada;}\; \inf = \left(\tfrac45\right)^{19} \text{(mínimo)},\; \sup = 1 \text{ (no máximo)};\; L = 1 \\[4pt] \text{(c) } & \text{la serie no converge, porque } a_n \to 1 \neq 0 \end{aligned}}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Primera evaluación · 2020-2021

Reconocer el camino

El radio del arco

El centro

Verificar la región

Justificar el argumento

1 · Restricciones previas

2 · Qué dice la condición

3 · La circunferencia

4 · Cuál de los dos, y qué arco

5 · Deshacer el conjugado

6 · Representación gráfica

7 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El argumento del segundo miembro

La solución principal

Justificar el argumento

1 · Por qué hay infinitas soluciones

2 · El segundo miembro, en polar

3 · Tomar logaritmos y despejar

4 · La observación que vale los dos puntos de COMP4

5 · Representación gráfica

6 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El ínfimo

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): las seis definiciones

2 · Apartado (b): los términos

3 · Apartado (c): la serie

4 · Comprobación

Resultado