tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · primera evaluación

Primera evaluación · 2017-2018

9 de octubre de 2017 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Media circunferencia, y el signo que decide cuálNúmeros complejos1 + 6 + 3 = 10 pts
Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la siguiente condición:
$\arg\left(\frac{z-2}{z-1}\right) = \frac{\pi}{2}$
Calcular el lugar geométrico y representarlo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una exponencial que da una recta verticalNúmeros complejos0 + 6 + 4 = 10 pts
Calcular y representar las soluciones de la ecuación
$e^{z} = -1+\sqrt{3}\,i, \qquad z \in \mathbb{C}$
Calcular las soluciones y representarlas.
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El límite de una sucesión de términos no positivosSucesiones y series numéricas2 + 0 + 8 = 10 pts
Demostrar la siguiente propiedad:
$\text{Si } a_n \le 0 \;\;\forall n \in \mathbb{N} \;\text{ y }\; \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} \text{ converge hacia } L, \text{ entonces } L \le 0$
Demostrar la propiedad.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Primera evaluación, 9 de octubre de 2017 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · Enunciado idéntico al ejercicio 1.23 del boletín del tema 1. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Media circunferencia, y el signo que decide cuál

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la siguiente condición:

\arg\left(\frac{z-2}{z-1}\right) = \frac{\pi}{2}

Calcular el lugar geométrico y representarlo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Un ángulo recto entre dos direcciones, ¿qué figura describe?
02
El radio
COMP2
¿Cuál es el radio de la circunferencia?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto más alto
COMP2
De los puntos del lugar geométrico, ¿cuál tiene mayor parte imaginaria? Dalo en forma binómica.
Tu respuesta al paso 3forma binómica, por ejemplo 1.5+0.5i — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe el lugar en $x$ e $y$ , incluyendo la condición que decide con qué mitad te quedas. La figura comprobará si coincide con la del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; usa & para juntar dos condiciones
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descripción del lugar geométrico. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El cociente exige $z \neq 1$ , y el argumento de 0 no está definido, así que también $z \neq 2$ .
2. $\arg\left(\frac{z-2}{z-1}\right) = \arg(z-2)-\arg(z-1)$ : la condición dice que desde $z$ el segmento que une 1 y 2 se ve bajo un ángulo recto.
3. Por el teorema del ángulo inscrito, esos puntos forman la circunferencia de diámetro ese segmento: centro $\left(\frac32,0\right)$ y radio $\frac12$ .
4. Pero la condición no es «ángulo recto» a secas, sino argumento exactamente $+\frac{\pi}{2}$ : en la mitad inferior el ángulo también es recto y el argumento sale $-\frac{\pi}{2}$ .
5. Probando el punto más alto, $\frac32+\frac12 i$ , sale $+i$ : vale la semicircunferencia superior, sin los extremos.
El paso que se olvida no es la circunferencia, es la mitad. Quedarse con la circunferencia entera duplica el lugar geométrico.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Se pide el lugar de los $z$ con $\arg\left(\frac{z-2}{z-1}\right) = \frac{\pi}{2}$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 1 · COMP2 6 · COMP4 3. Este examen tiene tres ejercicios y 30 puntos.

Este enunciado es el ejercicio 1.23 del boletín del tema 1.

1 · Restricciones previas

El cociente exige $z \neq 1$ . Y el argumento de $0$ no está definido, así que también $z \neq 2$ . Los dos puntos quedan excluidos desde el principio, y resulta que son justo los extremos del arco.

2 · Qué dice la condición

El argumento de un cociente es la diferencia de argumentos:

\arg\left(\frac{z-2}{z-1}\right) = \arg(z-2)-\arg(z-1)

$\arg(z-2)$ es la dirección del vector que va del punto $2$ al afijo de $z$ ; $\arg(z-1)$ , la del que va de $1$ . Que su diferencia valga $\frac{\pi}{2}$ significa que esos dos vectores forman un ángulo recto, es decir que desde $z$ el segmento que une 1 y 2 se ve bajo $90^{\circ}$ .

3 · El teorema del ángulo inscrito

Los puntos desde los que un segmento se ve bajo un ángulo recto forman la circunferencia que tiene ese segmento como diámetro. Aquí el segmento va de $(1,0)$ a $(2,0)$ :

\text{centro } \left(\frac{3}{2},\,0\right), \qquad r = \frac{\left|2-1\right|}{2} = \frac{1}{2}

\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+y^{2} = \frac{1}{4}

4 · Solo la mitad

Y aquí está el paso que decide el ejercicio. La condición no es «ángulo recto» a secas: es argumento exactamente $+\frac{\pi}{2}$ . En la mitad inferior el ángulo también es recto, pero el argumento del cociente sale $-\frac{\pi}{2}$ .

Se decide probando un punto. En el más alto de la circunferencia, $z = \frac32+\frac12 i$ :

\frac{z-2}{z-1} = \frac{-\frac12+\frac12 i}{\frac12+\frac12 i} = \frac{-1+i}{1+i} = \frac{(-1+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{2i}{2} = i

cuyo argumento es $+\frac{\pi}{2}$ ✔. Luego sirve la mitad superior.

\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+y^{2} = \frac{1}{4} \qquad\text{con}\qquad y>0

Los extremos $1$ y $2$ no entran, y ya estaban excluidos por las restricciones previas: encaja.

5 · Por qué aquí no se usa el comprobador de regiones

Este lugar geométrico es una curva, no una región con área. La herramienta de comparación de regiones que usan otros ejercicios del sitio compara manchas de puntos, y dos curvas dibujadas con grosores distintos no se solapan aunque sean la misma. Por eso este ejercicio se resuelve dando el centro, el radio y la mitad.

6 · Representación gráfica

Una semicircunferencia de centro $\left(\frac32,0\right)$ y radio $\frac12$ , dibujada solo por encima del eje real, con los dos extremos — $(1,0)$ y $(2,0)$ — marcados con círculo hueco por estar excluidos. El punto más alto es $\left(\frac32,\frac12\right)$ .

7 · Comprobación

Con $z = \frac32+\frac12 i$ : está en la circunferencia porque $0+\frac14 = \frac14$ ✔, tiene $y>0$ ✔ y el cociente vale $i$ ✔.

Con el simétrico, $z = \frac32-\frac12 i$ : está en la circunferencia, pero

\frac{z-2}{z-1} = \frac{-\frac12-\frac12 i}{\frac12-\frac12 i} = \frac{-1-i}{1-i} = -i

de argumento $-\frac{\pi}{2}$ ✗. Queda fuera, como debe.

Y uno que no esté en la circunferencia, $z = 3$ :

\frac{3-2}{3-1} = \frac12

real positivo, de argumento 0 ✗. También fuera.

Resultado

\boxed{\;\left(x-\tfrac{3}{2}\right)^{2}+y^{2} = \tfrac{1}{4} \quad\text{con}\quad y>0\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Primera evaluación, 9 de octubre de 2017 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una exponencial que da una recta vertical

COMP 26 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar las soluciones de la ecuación

e^{z} = -1+\sqrt{3}\,i, \qquad z \in \mathbb{C}

Calcular las soluciones y representarlas.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hace que la exponencial compleja tenga infinitas preimágenes?
02
La parte real de las soluciones
COMP2
¿Cuál es la parte real de todas las soluciones? En forma exacta, o con tres decimales.
Tu respuesta al paso 2un número, o una expresión como ln 2 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El argumento del segundo miembro
COMP2
¿Cuál es el argumento de $-1+\sqrt3\,i$ , en grados?
Tu respuesta al paso 3un número de grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El segundo miembro tiene módulo $\sqrt{1+3} = 2$ y argumento $\frac{2\pi}{3}$ , por estar en el segundo cuadrante.
2. La exponencial compleja es periódica de periodo $2\pi i$ , así que al tomar logaritmos aparece $2\pi k$ con $k \in \mathbb{Z}$ .
3. $z = \ln 2 + i\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k\right)$ , $k \in \mathbb{Z}$ .
4. Todas tienen la misma parte real, $\ln 2$ , y partes imaginarias que se diferencian en $2\pi$ .
5. Los afijos son puntos equiespaciados sobre la recta vertical $x = \ln 2$ .
Si el módulo hubiera sido menor que 1, la recta caería a la izquierda; si valiera exactamente 1, sobre el eje imaginario. El módulo coloca la recta.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Resolver $e^{z} = -1+\sqrt3\,i$ en $\mathbb{C}$ y representar las soluciones.

Reparto de puntos del examen: COMP2 6 · COMP4 4. No se evalúa COMP1, así que los cuatro puntos de explicación se los llevan justificar la periodicidad y describir bien el dibujo.

1 · Por qué hay infinitas soluciones

La exponencial compleja es periódica de periodo $2\pi i$ :

e^{z+2\pi i} = e^{z}\,e^{2\pi i} = e^{z}\cdot 1 = e^{z}

No es inyectiva, así que $e^{z} = c$ tiene infinitas soluciones siempre que $c \neq 0$ . Y $c \neq 0$ aquí, así que la ecuación tiene solución: de hecho la exponencial nunca vale cero, porque $\left|e^{z}\right| = e^{\operatorname{Re} z} > 0$ .

Esa ambigüedad es la que recoge el logaritmo complejo:

\ln c = \ln\left|c\right| + i\left(\arg c + 2\pi k\right), \qquad k \in \mathbb{Z}

2 · El segundo miembro, en polar

\left|-1+\sqrt3\,i\right| = \sqrt{1+3} = 2

El afijo tiene parte real negativa y parte imaginaria positiva: está en el segundo cuadrante. Con $\tan\theta = -\sqrt3$ los candidatos son $120^{\circ}$ y $300^{\circ}$ , y hay que quedarse con el primero:

\arg = 120^{\circ} = \frac{2\pi}{3}

Se comprueba: $2\cos\frac{2\pi}{3} = -1$ y $2\,\mathrm{sen}\,\frac{2\pi}{3} = \sqrt3$ ✔

-1+\sqrt3\,i = 2\,e^{i\frac{2\pi}{3}}

3 · Tomar logaritmos

z = \ln 2 + i\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k\right), \qquad k \in \mathbb{Z}

Aquí no hay que despejar nada más: la incógnita estaba sola en el exponente.

4 · Representación gráfica

Todas las soluciones tienen la misma parte real, $\ln 2 \approx 0{,}693$ , y partes imaginarias separadas $2\pi$ :

\dots,\quad \ln 2 - \frac{4\pi}{3}\,i, \quad \ln 2 + \frac{2\pi}{3}\,i, \quad \ln 2 + \frac{8\pi}{3}\,i, \quad\dots

Es decir, puntos equiespaciados sobre la recta vertical $x = \ln 2$ , a la derecha del eje imaginario.

La posición de la recta la fija el módulo: como $2>1$ , su logaritmo es positivo y la recta cae a la derecha. Con módulo 1 caería justo sobre el eje imaginario, y con módulo menor que 1, a la izquierda.

Merece la pena compararlo con el ejercicio 2 del examen 2020-2021, que era $e^{-iz} = c$ : allí la $i$ del exponente cruzaba los papeles y las soluciones caían en una recta horizontal. Aquí no hay $i$ multiplicando, y la recta es vertical.

5 · Comprobación

Con $k=0$ , $z = \ln 2 + \frac{2\pi}{3}i$ :

e^{z} = e^{\ln 2}\,e^{i\frac{2\pi}{3}} = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\,\mathrm{sen}\,\frac{2\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right) = -1+\sqrt3\,i \quad\checkmark

Con $k=1$ , $z = \ln 2 + \frac{8\pi}{3}i$ :

e^{z} = 2\,e^{i\frac{8\pi}{3}} = 2\,e^{i\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi\right)} = 2\,e^{i\frac{2\pi}{3}} \quad\checkmark

Las dos dan lo mismo, como tiene que ser.

Y una comprobación de coherencia que sale gratis: el módulo del resultado tiene que ser 2, y $\left|e^{z}\right| = e^{\ln 2} = 2$ ✔

Resultado

\boxed{\;z = \ln 2 + i\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k\right), \qquad k \in \mathbb{Z}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Primera evaluación, 9 de octubre de 2017 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · Mismo enunciado que el ejercicio 3 de 2024-2025. El examen no publica solución: la demostración es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El límite de una sucesión de términos no positivos

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar la siguiente propiedad:

\text{Si } a_n \le 0 \;\;\forall n \in \mathbb{N} \;\text{ y }\; \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} \text{ converge hacia } L, \text{ entonces } L \le 0

Demostrar la propiedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué la conclusión es $L \le 0$ y no $L < 0$ ?
02
El épsilon de la reducción al absurdo
COMP2
Se supone $L>0$ para llegar al absurdo. Con $L = 0{,}6$ , ¿qué $\varepsilon$ conviene tomar?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por reducción al absurdo, supongamos que $L>0$ .
2. Se toma $\varepsilon = \dfrac{L}{2} > 0$ , positivo precisamente porque se ha supuesto $L$ positivo.
3. Por definición de límite existe $m$ tal que $\left|a_n-L\right| < \varepsilon$ para todo $n>m$ ; en particular $a_n > L-\varepsilon = \dfrac{L}{2} > 0$ .
4. Pero la hipótesis dice $a_n \le 0$ para todo $n$ . Contradicción, luego $L \le 0$ .
El ejemplo y la demostración hacen trabajos distintos, y los dos hacen falta: uno prueba la propiedad, el otro marca su límite.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una demostración propuesta, pendiente de revisión.

Datos. $a_n \le 0$ para todo $n$ y $a_n \to L$ . Demostrar que $L \le 0$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 2 · COMP4 8. Ni un punto de cálculo.

El mismo enunciado cayó en el ejercicio 3 de 2024-2025, allí con los diez puntos enteros en COMP4. Y es el reflejo del 2.3 del boletín, que prueba lo simétrico para términos no negativos.

1 · Estrategia

La tesis es una desigualdad no estricta, y esas se demuestran casi siempre por reducción al absurdo: se supone lo contrario, $L>0$ , y se busca el choque con la hipótesis.

Conviene escribir la definición que se va a usar, porque es parte de lo que se puntúa:

\lim a_n = L \iff \forall \varepsilon>0 \;\exists\, m \in \mathbb{N} :\; n>m \Rightarrow \left|a_n-L\right| < \varepsilon

2 · La demostración

Supongamos $L>0$ . Entonces se puede tomar

\varepsilon = \frac{L}{2} > 0

—positivo precisamente porque $L$ lo es, y esto hay que decirlo: si $L$ fuera negativo, este $\varepsilon$ no valdría—.

Por la definición de límite existe $m \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n>m$

\left|a_n-L\right| < \varepsilon \;\Longrightarrow\; a_n > L-\varepsilon = L-\frac{L}{2} = \frac{L}{2} > 0

Es decir: todos los términos a partir de $m$ serían estrictamente positivos. Pero la hipótesis dice que $a_n \le 0$ para todo $n$ . Contradicción.

Por tanto la suposición era falsa y

L \le 0 \qquad \blacksquare

3 · Por qué $\le$ y no $<$

La conclusión no se puede reforzar, y el contraejemplo es inmediato:

a_n = -\frac{1}{n}

tiene todos sus términos estrictamente negativos y su límite es exactamente 0.

La regla general: al pasar al límite, las desigualdades estrictas se debilitan. De $a_n<0$ solo se deduce $L \le 0$ .

Y ojo con el papel de ese ejemplo: no demuestra el enunciado. Sirve para marcar su frontera, no para probarlo. Confundir las dos cosas es lo que castiga la pieza trampa de este ejercicio.

4 · La misma propiedad, del otro lado

Aplicando este resultado a la sucesión $-a_n$ , que es no negativa, se obtiene $-L \ge 0$ , es decir $L \le 0$ : los dos enunciados —este y el 2.3 del boletín— son equivalentes y cada uno se deduce del otro.

Escribirlo en el examen no ahorra la demostración, pero enseña que se ha visto la simetría.

5 · Comprobación

No sustituye a la demostración, pero detecta signos cambiados. Se construye una sucesión que tienda a un límite positivo y se cuenta cuántos términos consigue mantener no positivos:

a_n = 0{,}6-\frac{1}{n} \;\longrightarrow\; 0{,}6

a_1 = -0{,}4 \le 0, \qquad a_2 = 0{,}1 > 0, \qquad a_3 = 0{,}27 > 0,\dots

Solo uno. Y con el $\varepsilon = 0{,}3$ de la demostración: desde $\frac1n < 0{,}3$ , o sea $n \ge 4$ , todos superan $0{,}3$ . Los términos no positivos son siempre finitos, que es justo lo que la hipótesis —«para todo $n$ »— prohíbe.

Resultado

\boxed{\;a_n \le 0 \;\;\forall n \;\;\text{y}\;\; a_n \to L \;\;\Longrightarrow\;\; L \le 0\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Primera evaluación · 2017-2018

Reconocer el camino

El radio

El punto más alto

Verificar la región

Justificar el argumento

1 · Restricciones previas

2 · Qué dice la condición

3 · El teorema del ángulo inscrito

4 · Solo la mitad

5 · Por qué aquí no se usa el comprobador de regiones

6 · Representación gráfica

7 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

La parte real de las soluciones

El argumento del segundo miembro

Justificar el argumento

1 · Por qué hay infinitas soluciones

2 · El segundo miembro, en polar

3 · Tomar logaritmos

4 · Representación gráfica

5 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El épsilon de la reducción al absurdo

Justificar el argumento

1 · Estrategia

2 · La demostración

3 · Por qué ≤\le≤ y no <<<

4 · La misma propiedad, del otro lado

5 · Comprobación

Resultado

3 · Por qué $\le$ y no $<$