tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación · 2017-2018

12 de febrero de 2018 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una elipse escrita con distancias, y un sector que la recortaNúmeros complejos2 + 5 + 3 = 10 pts
Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las condiciones
$|z-4i| + |z+4i| < 10 \qquad \wedge \qquad \frac{\pi}{6} \le \arg z \le \frac{\pi}{3}$
La región del plano y su dibujo.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una identidad de siempre, ahora en todo el plano complejoNúmeros complejos2 + 5 + 3 = 10 pts
Demostrar la propiedad $\cos^{2} z - \operatorname{sen}^{2} z = \cos 2z$ para todo $z \in \mathbb{C}$ .
La demostración, válida en todo el plano complejo.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos sucesiones casi idénticas, y solo una convergeSucesiones y series numéricas2 + 1 + 7 = 10 pts
a) Definir el concepto de convergencia de una sucesión.

b) Estudiar, de forma argumentada, la convergencia de las siguientes sucesiones:
$\text{b.1)}\quad \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} 2 + \dfrac{1}{n} & n \text{ impar} \\[2mm] -2 - \dfrac{1}{n} & n \text{ par} \end{cases}$ $\text{b.2)}\quad \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} 2 + \dfrac{1}{n} & n < 50 \\[2mm] -2 - \dfrac{1}{n} & n \ge 50 \end{cases}$
La definición y el estudio argumentado de las dos sucesiones.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 21 punto por calcular
- COMP 47 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 12 de febrero de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una elipse escrita con distancias, y un sector que la recorta

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las condiciones

|z-4i| + |z+4i| < 10 \qquad \wedge \qquad \frac{\pi}{6} \le \arg z \le \frac{\pi}{3}

La región del plano y su dibujo.

01
Reconocer el camino
COMP1
«La suma de las distancias a dos puntos fijos es constante». ¿Qué lugar geométrico es?
02
El semieje horizontal de la elipse
COMP2
Puesta como $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ , ¿cuánto vale $b$ , el semieje sobre el eje real?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La pendiente del borde superior del sector
COMP2
La condición $\arg z \le \frac{\pi}{3}$ recorta con una semirrecta desde el origen. ¿Cuál es su pendiente?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descripción de la región. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La primera condición es la definición de elipse de focos $\pm4i$ con $2a=10$ ; como es una desigualdad estricta, se queda el interior, sin el borde.
2. De $a=5$ y $c=4$ sale $b=3$ , así que en cartesianas es $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}<1$ : una elipse alargada en vertical.
3. La segunda condición es un sector angular cerrado con vértice en el origen, entre las semirrectas de pendientes $\tan\frac\pi6$ y $\tan\frac\pi3$ , ambas incluidas.
4. El origen queda fuera: $\arg 0$ no está definido, así que $z=0$ no cumple la segunda condición.
5. La región es la intersección: el trozo del sector que queda dentro de la elipse, con los dos lados rectos incluidos y el arco elíptico excluido.

Resolución completa

La primera condición: una elipse

$|z-4i| + |z+4i|$ es la suma de las distancias de $z$ a los puntos $4i$ y $-4i$ . Que esa suma sea constante es la definición de elipse, con esos dos puntos como focos. Aquí la constante es 10, así que

2a = 10 \;\Rightarrow\; a = 5, \qquad c = 4, \qquad b^{2} = a^{2}-c^{2} = 9 \;\Rightarrow\; b = 3

Los focos están sobre el eje imaginario, así que el eje mayor es el vertical:

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} < 1

Y la desigualdad es estricta: el borde no entra.

Conviene decir de dónde sale la relación $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ en vez de soltarla: en el extremo del eje menor, las distancias a los dos focos son iguales y valen $a$ cada una, y con el semieje menor $b$ y la semidistancia focal $c$ forman un triángulo rectángulo.

La segunda: un sector

$\frac\pi6 \le \arg z \le \frac\pi3$ es un sector angular con vértice en el origen, limitado por las semirrectas

y = \frac{x}{\sqrt3} \quad (x>0) \qquad\text{y}\qquad y = \sqrt3\,x \quad (x>0)

Las dos incluidas, porque las desigualdades no son estrictas. Y el origen no: $\arg 0$ no está definido.

La región

La intersección: el trozo de sector que cae dentro de la elipse. Tres lados, y no todos rectos:

borde	¿entra?
semirrecta $y = x/\sqrt3$	sí
semirrecta $y = \sqrt3\,x$	sí
arco de elipse	no
vértice $z=0$	no

Es un sector elíptico, no un triángulo: el lado exterior es curvo. Y como el sector vive en el primer cuadrante, el trozo que se queda es el que va del origen hacia arriba y a la derecha, cortado por la elipse.

Lo que evalúa la COMP4

Tres puntos, y se los lleva el dibujo hecho con criterio: la elipse alargada en vertical —no una circunferencia—, los dos bordes rectos trazados con sus pendientes distintas, el arco en discontinuo por ser estricto, y el origen marcado como excluido. Un dibujo a ojo con una elipse redonda pierde esos puntos aunque las cuentas estén bien.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 12 de febrero de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una identidad de siempre, ahora en todo el plano complejo

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar la propiedad $\cos^{2} z - \operatorname{sen}^{2} z = \cos 2z$ para todo $z \in \mathbb{C}$ .

La demostración, válida en todo el plano complejo.

01
Reconocer el camino
COMP1
La identidad se sabe de bachillerato para ángulos reales. ¿Por qué hay que demostrarla otra vez?
02
El denominador que aparece al elevar el seno al cuadrado
COMP2
Al escribir $\operatorname{sen}^{2}z = \frac{\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)^{2}}{k}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por definición, $\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ y $\operatorname{sen} z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ , para todo $z\in\mathbb{C}$ .
2. Elevando al cuadrado: $\cos^{2}z = \frac{e^{2iz}+2+e^{-2iz}}{4}$ y $\operatorname{sen}^{2}z = \frac{e^{2iz}-2+e^{-2iz}}{-4}$ .
3. Restando, los dos denominadores se juntan y queda $\cos^{2}z - \operatorname{sen}^{2}z = \frac{2e^{2iz}+2e^{-2iz}}{4} = \frac{e^{2iz}+e^{-2iz}}{2}$ .
4. Y eso es exactamente $\cos(2z)$ , sin más que leer la definición del coseno con $2z$ en lugar de $z$ .
5. Todos los pasos son álgebra sobre la exponencial compleja, que está definida en todo $\mathbb{C}$ : la identidad vale para todo $z$ .

Resolución completa

Por qué no basta con «ya lo sé de bachillerato»

En $\mathbb{R}$ esta identidad se dibuja en la circunferencia goniométrica. En $\mathbb{C}$ no hay circunferencia que valga: el seno y el coseno se definen a partir de la exponencial,

\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \qquad \operatorname{sen} z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}

y con esa definición hay propiedades reales que se pierden — el coseno complejo no está acotado, y $\cos z = 2$ tiene solución. Así que comprobar cuáles sobreviven no es un trámite.

La demostración

\cos^{2} z = \frac{\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)^{2}}{4} = \frac{e^{2iz} + 2 + e^{-2iz}}{4}

\operatorname{sen}^{2} z = \frac{\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)^{2}}{(2i)^{2}} = \frac{e^{2iz} - 2 + e^{-2iz}}{-4} = -\,\frac{e^{2iz} - 2 + e^{-2iz}}{4}

Restando —y aquí el signo del $-4$ hace que en realidad se sumen:

\cos^{2}z - \operatorname{sen}^{2}z = \frac{e^{2iz}+2+e^{-2iz}}{4} + \frac{e^{2iz}-2+e^{-2iz}}{4} = \frac{2e^{2iz} + 2e^{-2iz}}{4} = \frac{e^{2iz}+e^{-2iz}}{2}

Y esa última expresión es la definición del coseno evaluada en $2z$ :

\boxed{\cos^{2}z - \operatorname{sen}^{2}z = \cos 2z \quad \forall z\in\mathbb{C}}

Los tres puntos de COMP4

No se los lleva la cuenta, que es corta. Se los lleva decir en qué momento se usa que $z$ es complejo: en ninguno. Todos los pasos son álgebra sobre $e^{w}$ , que está definida en todo el plano, así que la identidad vale en todo el plano. Esa frase, escrita, es la diferencia entre un 7 y un 10.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 12 de febrero de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos sucesiones casi idénticas, y solo una converge

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 21 punto por calcular
COMP 47 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Definir el concepto de convergencia de una sucesión.

b) Estudiar, de forma argumentada, la convergencia de las siguientes sucesiones:

\text{b.1)}\quad \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} 2 + \dfrac{1}{n} & n \text{ impar} \\[2mm] -2 - \dfrac{1}{n} & n \text{ par} \end{cases}

\text{b.2)}\quad \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} 2 + \dfrac{1}{n} & n < 50 \\[2mm] -2 - \dfrac{1}{n} & n \ge 50 \end{cases}

La definición y el estudio argumentado de las dos sucesiones.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos sucesiones usan las mismas dos fórmulas. ¿Qué las diferencia?
02
El límite de la segunda
COMP2
¿A qué converge la sucesión b.2?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración de que b.1 no converge. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Si una sucesión converge a $l$ , toda subsucesión suya converge también a $l$ .
2. La subsucesión de los índices impares es $2+\frac1n$ , que converge a 2.
3. La de los índices pares es $-2-\frac1n$ , que converge a $-2$ .
4. Dos subsucesiones con límites distintos, así que la sucesión no puede converger: si convergiera, las dos tendrían que ir al mismo sitio.
5. Además está acotada —todos los términos están en $[-3,3]$ —, lo que confirma que estar acotada no basta para converger.

Resolución completa

Siete de los diez puntos son COMP4: lo que se corrige es el argumento, no el resultado.

a) La definición

$\{a_{n}\}$ converge a $l$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $m\in\mathbb{N}$ tal que $|a_{n}-l|<\varepsilon$ para todo $n\ge m$ .

Dos detalles que este ejercicio va a cobrar:

la condición se exige a partir de un $m$ , no para todos los $n$ ;
$|a_{n}-l|$ es una distancia, así que no distingue si la sucesión se acerca por arriba o por abajo.

b.1) No converge

El truco no es calcular, es partirla:

subsucesión	vale	tiende a
índices impares	$2 + \frac1n$	$2$
índices pares	$-2 - \frac1n$	$-2$

Si la sucesión convergiera a un $l$ , toda subsucesión suya convergería a ese mismo $l$ . Aquí hay dos que van a sitios distintos, luego no converge.

Se puede decir también con la definición, y conviene saberlo: tomando $\varepsilon = 1$ , ningún $l$ puede estar a distancia menor que 1 de $2$ y de $-2$ a la vez, porque esos dos puntos distan 4.

Y una observación que vale puntos: la sucesión está acotada, entre $-3$ y $3$ . Es el contraejemplo de manual a «acotada implica convergente».

b.2) Converge a −2

A partir de $n=50$ la sucesión es exactamente $-2-\frac1n$ . Los 49 primeros términos son un número finito y no intervienen: la definición solo pide que la condición se cumpla a partir de algún $m$ , y basta tomar $m\ge 50$ .

\lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty}\left(-2-\frac1n\right) = -2

Con $\varepsilon$ : dado $\varepsilon>0$ , tómese $m = \max\left(50, \left\lfloor\frac1\varepsilon\right\rfloor+1\right)$ ; para $n\ge m$ , $|a_{n}-(-2)| = \frac1n < \varepsilon$ .

Lo que el ejercicio está enseñando

Que el límite es un asunto de la cola. Las dos sucesiones toman los mismos dos valores y solo cambia cómo se reparten los índices: en una, los dos trozos se alternan para siempre y no hay cola que valga; en la otra, uno se agota y la cola es limpia. Cambiar 49 términos —o 49 millones— no cambia el límite; cambiar infinitos, sí.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación · 2017-2018

Reconocer el camino

El semieje horizontal de la elipse

La pendiente del borde superior del sector

Justificar el argumento

La primera condición: una elipse

La segunda: un sector

La región

Lo que evalúa la COMP4

Reconocer el camino

El denominador que aparece al elevar el seno al cuadrado

Justificar el argumento

Por qué no basta con «ya lo sé de bachillerato»

La demostración

Los tres puntos de COMP4

Reconocer el camino

El límite de la segunda

Justificar el argumento

a) La definición

b.1) No converge

b.2) Converge a −2

Lo que el ejercicio está enseñando