tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación · 2016-2017

13 de marzo de 2017 · 2 ejercicios · 20 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Deducir De Moivre, y cobrarla en cos 4xNúmeros complejos2 + 3 + 5 = 10 pts
a) Utilizando la forma exponencial, deducir el módulo y argumento del producto de dos números complejos.

b) Demostrar la fórmula de De Moivre
$(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta)^{n} = \cos n\theta + i\operatorname{sen} n\theta$
c) Utilizando el apartado anterior calcular $\cos 4x$ .
La regla del producto, la demostración de De Moivre y cos 4x.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La definición de límite, aplicada al caso más simple que haySucesiones y series numéricas1 + 2 + 7 = 10 pts
Demostrar que el límite de la sucesión $\left\{\dfrac{1}{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ es 0. ¿Cuánto vale el límite de $\left\{-\dfrac{1}{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ ?
La demostración con epsilon, y el límite de la sucesión opuesta.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 47 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 13 de marzo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Deducir De Moivre, y cobrarla en cos 4x

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 23 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Utilizando la forma exponencial, deducir el módulo y argumento del producto de dos números complejos.

b) Demostrar la fórmula de De Moivre

(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta)^{n} = \cos n\theta + i\operatorname{sen} n\theta

c) Utilizando el apartado anterior calcular $\cos 4x$ .

La regla del producto, la demostración de De Moivre y cos 4x.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado c) dice «utilizando el apartado anterior». ¿Qué hay que hacer con De Moivre para que salga $\cos 4x$ ?
02
El coeficiente de cos⁴x
COMP2
Escribiendo $\cos 4x = a\cos^{4}x + b\cos^{2}x + c$ , ¿cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración de De Moivre. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por la fórmula de Euler, $\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta = e^{i\theta}$ .
2. Entonces $(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)^{n} = \left(e^{i\theta}\right)^{n} = e^{i n\theta}$ , usando que la exponencial convierte productos en sumas de exponentes.
3. Y deshaciendo Euler en sentido contrario, $e^{in\theta} = \cos n\theta + i\operatorname{sen}n\theta$ , que es la fórmula.
4. Alternativamente se demuestra por inducción sobre $n$ : el caso $n=1$ es trivial y el paso usa las fórmulas del seno y el coseno de una suma.
5. La fórmula vale para todo $n$ entero, positivo o negativo, porque $e^{-i\theta} = 1/e^{i\theta}$ .

Resolución completa

Los tres apartados son el mismo hilo: la forma exponencial explica el producto, el producto repetido es De Moivre, y De Moivre da las fórmulas del ángulo múltiple. Cinco de los diez puntos son COMP4, así que lo que se corrige es que ese hilo se vea.

a) El producto en forma exponencial

Con $z_{1} = r_{1}e^{i\theta_{1}}$ y $z_{2} = r_{2}e^{i\theta_{2}}$ :

z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}\,e^{i\theta_{1}}e^{i\theta_{2}} = r_{1}r_{2}\,e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}

El único paso es $e^{a}e^{b} = e^{a+b}$ , y de ahí se lee todo:

|z_{1}z_{2}| = |z_{1}||z_{2}|, \qquad \arg(z_{1}z_{2}) = \arg z_{1} + \arg z_{2}

Multiplicar es girar y escalar. El módulo escala, el argumento gira. Conviene decirlo con esas palabras: es lo que hace que el resto del ejercicio sea casi automático.

b) De Moivre

Tomando $r=1$ en lo anterior y multiplicando $n$ veces:

(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)^{n} = \left(e^{i\theta}\right)^{n} = e^{in\theta} = \cos n\theta + i\operatorname{sen} n\theta

Vale para todo entero $n$ : para negativos basta con $e^{-i\theta} = 1/e^{i\theta}$ .

c) cos 4x

Se escribe el mismo número de dos maneras y se igualan las partes reales. Por De Moivre con $n=4$ :

(\cos x + i\operatorname{sen}x)^{4} = \cos 4x + i\operatorname{sen}4x

Por el binomio de Newton, quedándonos con la parte real:

\cos^{4}x - 6\cos^{2}x\operatorname{sen}^{2}x + \operatorname{sen}^{4}x

Igualando y sustituyendo $\operatorname{sen}^{2}x = 1 - \cos^{2}x$ :

\cos 4x = 8\cos^{4}x - 8\cos^{2}x + 1

Y de la parte imaginaria sale gratis la otra fórmula:

\operatorname{sen}4x = 4\cos^{3}x\operatorname{sen}x - 4\cos x\operatorname{sen}^{3}x

La comprobación que cabe en una línea

En $x=0$ : $\cos 0 = 1$ y $8 - 8 + 1 = 1$ . En $x = \pi/2$ : $\cos 2\pi = 1$ y $\cos x = 0$ , así que la expresión vale 1. Dos valores no demuestran nada, pero cazan casi cualquier error de signo o de coeficiente, y cuestan diez segundos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 13 de marzo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La definición de límite, aplicada al caso más simple que hay

COMP 11 punto por reconocer
COMP 22 puntos por calcular
COMP 47 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar que el límite de la sucesión $\left\{\dfrac{1}{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ es 0. ¿Cuánto vale el límite de $\left\{-\dfrac{1}{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ ?

La demostración con epsilon, y el límite de la sucesión opuesta.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Demostrar que el límite es 0». Siete de los diez puntos son COMP4. ¿Qué se espera exactamente?
02
El m que hace falta
COMP2
Para $\varepsilon = 0{,}01$ , ¿cuál es el menor natural $m$ tal que $\left|\frac1n\right| < \varepsilon$ para todo $n \ge m$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Definición. $\lim a_{n} = l$ significa: para todo $\varepsilon>0$ existe $m\in\mathbb{N}$ tal que $|a_{n}-l|<\varepsilon$ para todo $n\ge m$ .
2. Aquí $a_{n}=\frac1n$ y $l=0$ , así que hay que acotar $\left|\frac1n - 0\right| = \frac1n$ .
3. Dado $\varepsilon>0$ , $\frac1n<\varepsilon \iff n>\frac{1}{\varepsilon}$ , y por la propiedad arquimediana existe un natural mayor que $\frac{1}{\varepsilon}$ : ese es el $m$ .
4. Como el $m$ se ha construido para un $\varepsilon$ arbitrario, la definición se cumple y $\lim \frac1n = 0$ .
5. Para la segunda, $\left|-\frac1n - 0\right| = \frac1n$ es la misma cota, así que sirve el mismo $m$ y el límite también es 0.

Resolución completa

Siete de los diez puntos son COMP4. El resultado no está en duda: lo que se corrige es la demostración.

La definición, escrita entera

$\lim_{n\to\infty} a_{n} = l$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $m\in\mathbb{N}$ tal que $|a_{n}-l|<\varepsilon$ para todo $n\ge m$ .

El orden de los cuantificadores es lo que se evalúa: primero te dan el $\varepsilon$ , después tú produces el $m$ . Escribirlo al revés —«existe $m$ tal que para todo $\varepsilon$ »— dice otra cosa, mucho más fuerte y casi siempre falsa.

La demostración

Sea $\varepsilon>0$ . Como todos los términos son positivos,

\left|\frac1n - 0\right| = \frac1n

y queremos $\frac1n<\varepsilon$ , es decir $n>\frac{1}{\varepsilon}$ . Por la propiedad arquimediana de $\mathbb{R}$ existe un natural $m>\frac{1}{\varepsilon}$ . Para todo $n\ge m$ se tiene entonces $n \ge m > \frac1\varepsilon$ , luego

\left|\frac1n - 0\right| = \frac1n < \varepsilon

Como $\varepsilon$ era arbitrario, $\lim \frac1n = 0$ . $\blacksquare$

El segundo límite

\left|-\frac1n - 0\right| = \left|\frac1n\right| = \frac1n

Es la misma cota, así que el mismo $m$ vale y el límite también es 0.

No hace falta repetir la demostración: basta con señalar que el valor absoluto se come el signo. Es la respuesta corta y es la buena. Quien rehace toda la cuenta no se equivoca, pero está diciendo que no ha visto por qué la pregunta iba justo después de la otra.

Lo que la pregunta está midiendo de verdad

Que entiendas que la definición mide distancias, no posiciones. Por eso una sucesión que se acerca desde arriba y otra que se acerca desde abajo tienen exactamente la misma demostración: $|a_{n}-l|$ no distingue lados.