tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · recuperación del primer cuatrimestre, con la 5.ª evaluación

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 5.ª evaluación · 2017-2018

23 de abril de 2018 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Dos complejos atados por su cocienteNúmeros complejos2 + 6 + 2 = 10 pts
Calcular los números complejos $z_{1}$ y $z_{2}$ que cumplen las siguientes condiciones: $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ está situado en el eje imaginario positivo, el módulo de $z_{1}$ es el triple del módulo de $z_{2}$ , $z_{1}$ es la raíz $\sqrt[3]{-8}$ situada en el primer cuadrante.
Los dos números complejos, en la forma que prefieras.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El tanque de propano, y por qué no sale una esferaEstudio local de funciones reales de una variable real2 + 5 + 3 = 10 pts
Se quiere construir un tanque de acero con forma de cilindro circular recto y semiesferas en los extremos para almacenar propano. El costo por metro cuadrado de los extremos es el doble de la parte cilíndrica. ¿Qué dimensiones minimizan el costo si la capacidad deseada es de $10\pi\ \text{m}^{3}$ ?

Figura redibujada del enunciado original: el cilindro de altura h y radio r, con una semiesfera en cada extremo.

El radio y la altura del cilindro que minimizan el coste.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una composición que cambia de sentido cuatro vecesEstudio local de funciones reales de una variable real2 + 5 + 3 = 10 pts
Sean $f(x)$ y $g(x)$ las funciones de la figura. Estudiar el crecimiento/decrecimiento de la función $h(x)=g(f(x))$ en el intervalo $(1,5)$ .

Figura redibujada del enunciado original. Las dos curvas del original pasan por nudos enteros de la cuadrícula, así que aquí se dibujan con las parábolas que los unen: f(x) = 6 − (x−3)² y g(u) = 1 + (u−5)².

En qué tramos de (1,5) crece y en cuáles decrece la composición.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Quinta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 23 de abril de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos complejos atados por su cociente

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular los números complejos $z_{1}$ y $z_{2}$ que cumplen las siguientes condiciones: $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ está situado en el eje imaginario positivo, el módulo de $z_{1}$ es el triple del módulo de $z_{2}$ , $z_{1}$ es la raíz $\sqrt[3]{-8}$ situada en el primer cuadrante.

Los dos números complejos, en la forma que prefieras.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice, en términos de módulo y argumento, que $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ esté en el eje imaginario positivo?
02
El argumento de z₁
COMP2
¿Cuál es el argumento, en grados, de la raíz cúbica de $-8$ que está en el primer cuadrante?
Tu respuesta al paso 2un número en grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El módulo de z₂
COMP2
¿Cuánto vale $\left|z_{2}\right|$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El argumento de z₂
COMP2
¿Cuál es el argumento de $z_{2}$ , en grados, tomado entre $-180^{\circ}$ y $180^{\circ}$ ?
Tu respuesta al paso 4un número en grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $-8$ tiene módulo $8$ y argumento $180^{\circ}$ , así que sus raíces cúbicas tienen módulo $2$ y argumentos $60^{\circ}$ , $180^{\circ}$ y $300^{\circ}$ .
2. La del primer cuadrante es $z_{1}=2_{60^{\circ}}=1+\sqrt{3}\,i$ .
3. De $\left|z_{1}\right|=3\left|z_{2}\right|$ sale $\left|z_{2}\right|=\frac23$ .
4. De $\arg z_{1}-\arg z_{2}=90^{\circ}$ sale $\arg z_{2}=-30^{\circ}$ .
5. Por tanto $z_{2}=\frac23{}_{-30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac13 i$ , y se comprueba que $\frac{z_{1}}{z_{2}}=3i$ .

Resolución completa

La raíz. $-8$ en forma polar es $8_{180^{\circ}}$ . Sus raíces cúbicas tienen módulo $\sqrt[3]{8}=2$ y argumentos

\frac{180^{\circ}+360^{\circ}k}{3}=60^{\circ},\;180^{\circ},\;300^{\circ}

Solo la primera está en el primer cuadrante, así que la condición del enunciado la determina sin ambigüedad:

z_{1}=2_{60^{\circ}}=2\left(\frac12+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+\sqrt{3}\,i

Las dos condiciones sobre $z_{2}$ , separadas. Este es el punto: una de ellas habla solo del módulo y la otra solo del argumento, y por eso no hay que resolver ningún sistema.

Del módulo:

\left|z_{1}\right|=3\left|z_{2}\right| \;\Longrightarrow\; \left|z_{2}\right|=\frac{2}{3}

Del argumento: estar en el eje imaginario positivo significa argumento $90^{\circ}$ , y el argumento de un cociente es la diferencia de argumentos:

\arg z_{1}-\arg z_{2}=90^{\circ} \;\Longrightarrow\; \arg z_{2}=60^{\circ}-90^{\circ}=-30^{\circ}

La solución.

z_{1}=1+\sqrt{3}\,i, \qquad z_{2}=\frac23{}_{-30^{\circ}} =\frac{2}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac12 i\right) =\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{3}i

La comprobación, que es rápida en polar:

\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{2_{60^{\circ}}}{\frac23{}_{-30^{\circ}}} =3_{90^{\circ}}=3i

Módulo $3$ —el triple, como pedía— y argumento recto, sobre el eje imaginario positivo. Si hubiéramos tomado $\arg z_{2}=+30^{\circ}$ habría salido $3_{30^{\circ}}$ , que no está en ningún eje.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Quinta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 23 de abril de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El tanque de propano, y por qué no sale una esfera

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se quiere construir un tanque de acero con forma de cilindro circular recto y semiesferas en los extremos para almacenar propano. El costo por metro cuadrado de los extremos es el doble de la parte cilíndrica. ¿Qué dimensiones minimizan el costo si la capacidad deseada es de $10\pi\ \text{m}^{3}$ ?

Figura redibujada del enunciado original: el cilindro de altura h y radio r, con una semiesfera en cada extremo.

El radio y la altura del cilindro que minimizan el coste.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se minimiza y con qué ligadura?
02
El radio óptimo
COMP2
¿Cuánto vale el radio, en metros, que minimiza el coste?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales, en metros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La proporción entre altura y radio
COMP2
En el óptimo, ¿cuántas veces mayor que el radio es la altura del cilindro?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos semiesferas juntas son una esfera: superficie $4\pi r^{2}$ y volumen $\frac43\pi r^{3}$ .
2. Ligadura: $\pi r^{2}h+\frac43\pi r^{3}=10\pi$ , de donde $rh=\frac{10}{r}-\frac43 r^{2}$ .
3. Función objetivo: con $c$ el precio del metro cuadrado cilíndrico, $C=2\pi c\left(rh+4r^{2}\right)$ , y sustituyendo $\frac{C}{2\pi c}=\frac{10}{r}+\frac83 r^{2}$ .
4. Derivando e igualando a cero, $r^{3}=\frac{15}{8}$ y $r=\frac{\sqrt[3]{15}}{2}\approx 1{,}2331$ m.
5. Es mínimo porque la segunda derivada, $\frac{20}{r^{3}}+\frac{16}{3}$ , es positiva para todo $r>0$ .
6. Sustituyendo, $h=4r\approx 4{,}9324$ m.

Resolución completa

La geometría. Un cilindro de radio $r$ y altura $h$ con una semiesfera en cada extremo. Las dos semiesferas juntas forman una esfera completa, así que

V=\pi r^{2}h+\frac43\pi r^{3}, \qquad A_{\text{cilindro}}=2\pi rh, \qquad A_{\text{extremos}}=4\pi r^{2}

La ligadura. $V=10\pi$ , y dividiendo entre $\pi$ :

r^{2}h+\frac43 r^{3}=10 \qquad\Longrightarrow\qquad rh=\frac{10}{r}-\frac43 r^{2}

El coste. Si el metro cuadrado de cilindro cuesta $c$ , el de los extremos cuesta $2c$ :

C=c\cdot 2\pi rh+2c\cdot 4\pi r^{2} =2\pi c\left(rh+4r^{2}\right)

El $c$ es un factor constante y positivo: no mueve el mínimo, así que se puede tirar. Sustituyendo la ligadura:

\frac{C}{2\pi c}=\frac{10}{r}-\frac43 r^{2}+4r^{2} =\frac{10}{r}+\frac83 r^{2}

El mínimo.

-\frac{10}{r^{2}}+\frac{16}{3}r=0 \;\Longrightarrow\; r^{3}=\frac{30}{16}=\frac{15}{8} \;\Longrightarrow\; r=\frac{\sqrt[3]{15}}{2}\approx 1{,}2331\ \text{m}

Es mínimo: la segunda derivada es $\frac{20}{r^{3}}+\frac{16}{3}>0$ para todo $r>0$ .

La altura. Aquí sale lo bonito. Como $10=\frac{16}{3}r^{3}$ ,

h=\frac{10}{r^{2}}-\frac43 r =\frac{16}{3}r-\frac43 r =4r\approx 4{,}9324\ \text{m}

Por qué no sale una esfera. Si el acero costara lo mismo en todas partes habría que minimizar el área, y entonces la respuesta sería la figura de menor superficie para un volumen dado: la esfera, con $h=0$ . Cambiar el precio de los casquetes a $2c$ los penaliza, y la solución «estira» el tanque hasta $h=4r$ para poner más superficie en la parte barata. Ese es el contenido físico del ejercicio, y es lo que hay que escribir en COMP4.

Y una observación que ahorra trabajo: la proporción $h=4r$ no depende de la capacidad. Con $20\pi$ m³ el tanque sería más grande, pero con la misma forma.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Quinta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 23 de abril de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una composición que cambia de sentido cuatro veces

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $f(x)$ y $g(x)$ las funciones de la figura. Estudiar el crecimiento/decrecimiento de la función $h(x)=g(f(x))$ en el intervalo $(1,5)$ .

Figura redibujada del enunciado original. Las dos curvas del original pasan por nudos enteros de la cuadrícula, así que aquí se dibujan con las parábolas que los unen: f(x) = 6 − (x−3)² y g(u) = 1 + (u−5)².

En qué tramos de (1,5) crece y en cuáles decrece la composición.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De qué depende el signo de $h'$ ?
02
Cuántos tramos
COMP2
¿En cuántos subintervalos hay que partir $(1,5)$ para estudiar el signo de $h'$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor máximo de h
COMP2
¿Cuánto vale $h$ en su máximo relativo de $(1,5)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De la figura: $f$ crece en $(1,3)$ y decrece en $(3,5)$ , con $f(1)=f(5)=2$ y máximo $f(3)=6$ ; y $g$ decrece hasta $u=5$ y crece a partir de ahí.
2. Por la regla de la cadena, $h'(x)=g'\left(f(x)\right)\cdot f'(x)$ .
3. $f(x)=5$ en $x=2$ y en $x=4$ , que es donde el primer factor cambia de signo; el segundo cambia en $x=3$ .
4. En $(1,2)$ : $f$ crece y $f(x)<5$ , así que $g'<0$ y $f'>0$ : $h$ decrece.
5. En $(2,3)$ : $f$ sigue creciendo pero ya con $f(x)>5$ , así que los dos factores son positivos: $h$ crece.
6. En $(3,4)$ : $f$ decrece con $f(x)>5$ , así que $g'>0$ y $f'<0$ : $h$ decrece. Y en $(4,5)$ , con $f(x)<5$ y $f$ decreciendo, los dos factores son negativos: $h$ crece.

Resolución completa

Lo que dice la figura.

$f$ está definida en $[1,5]$ : crece de $f(1)=2$ hasta el máximo $f(3)=6$ y vuelve a bajar hasta $f(5)=2$ . Su recorrido es $[2,6]$ .
$g$ está definida al menos en $[2,6]$ : decrece desde $g(2)=10$ hasta el mínimo $g(5)=1$ y vuelve a subir hasta $g(6)=2$ .

Que el recorrido de $f$ caiga dentro del dominio de $g$ es lo que permite componerlas, y conviene decirlo.

La regla de la cadena.

h'(x)=g'\left(f(x)\right)\cdot f'(x)

Hay dos factores y cada uno cambia de signo por su cuenta:

$f'(x)$ cambia de signo en $x=3$ : positivo antes, negativo después.
$g'\left(f(x)\right)$ cambia de signo cuando $f(x)$ cruza el $5$ , que es donde $g$ tiene su mínimo. Y $f$ vale $5$ en dos abscisas: $x=2$ y $x=4$ .

Los cuatro tramos.

tramo	$f(x)$	$f'$	$g'(f)$	$h'$	$h$
$(1,2)$	entre 2 y 5	$+$	$-$	$-$	decrece
$(2,3)$	entre 5 y 6	$+$	$+$	$+$	crece
$(3,4)$	entre 5 y 6	$-$	$+$	$-$	decrece
$(4,5)$	entre 2 y 5	$-$	$-$	$+$	crece

Los extremos. $h$ tiene mínimos en $x=2$ y $x=4$ , los dos con $h=g(5)=1$ , y un máximo relativo en $x=3$ , con $h=g(6)=2$ .

La forma de $h$ . Empieza en $h(1)=g(2)=10$ , cae hasta $1$ , sube a $2$ , vuelve a caer a $1$ y sube otra vez hasta $h(5)=g(2)=10$ . Es simétrica respecto de $x=3$ , porque las dos funciones que la componen lo son respecto de sus vértices.

El error que este ejercicio persigue. Mirar solo el máximo de $f$ y concluir que $h$ tiene dos tramos. La composición no hereda los cambios de sentido de $f$ : hereda los suyos y los que provoca $g$ al ser cruzado su punto crítico. Por eso son cuatro y no dos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 5.ª evaluación · 2017-2018

Reconocer el camino

El argumento de z₁

El módulo de z₂

El argumento de z₂

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El radio óptimo

La proporción entre altura y radio

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Cuántos tramos

El valor máximo de h

Justificar el argumento