tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación · 2019-2020

24 de febrero de 2020 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un semiplano y una parábola, escritos con distanciasNúmeros complejos1 + 6 + 3 = 10 pts
Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las condiciones siguientes:
$\begin{cases} |z-2| > |z-2i| \\[2mm] |z| + \operatorname{Im}(z) < 4 \end{cases}$
La región del plano y su dibujo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un coseno que vale 2, que en el plano complejo no es absurdoNúmeros complejos2 + 0 + 8 = 10 pts
Resolver la ecuación $\cos z = 2$ , con $z \in \mathbb{C}$ .
Todas las soluciones complejas.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Si todos los términos son ≤ 0, el límite tambiénlos 10 puntos son demostración — cero cálculoSucesiones y series numéricas0 + 0 + 10 = 10 pts
Demostrar la siguiente propiedad: si $a_{n} \le 0$ para todo $n\in\mathbb{N}$ y $\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge hacia $L$ , entonces $L \le 0$ .
La demostración de que el signo pasa al límite.
- COMP 410 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una sucesión que cae de golpe, y la serie que aun así convergeSucesiones y series numéricas2 + 1 + 7 = 10 pts
a) Definir formalmente los siguientes conceptos: sucesión creciente, sucesión decreciente, supremo, ínfimo, sucesión convergente.

b) Estudiar dichos conceptos para la sucesión $\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ definida de la siguiente forma:
$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} 4 + \dfrac{1}{n} & n < 10 \\[3mm] \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} & n \ge 10 \end{cases}$
c) Sea $\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ la sucesión definida en el apartado anterior. ¿Es convergente la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ?
Las cinco definiciones, su estudio en esta sucesión y la serie.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 21 punto por calcular
- COMP 47 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 24 de febrero de 2020 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un semiplano y una parábola, escritos con distancias

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las condiciones siguientes:

\begin{cases} |z-2| > |z-2i| \\[2mm] |z| + \operatorname{Im}(z) < 4 \end{cases}

La región del plano y su dibujo.

01
Reconocer el camino
COMP1
«La distancia a $2$ es mayor que la distancia a $2i$ ». ¿Qué figura separa los dos casos?
02
La recta que separa
COMP2
Desarrollando $|z-2| > |z-2i|$ en cartesianas, queda $y > mx$ . ¿Cuánto vale $m$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El vértice de la parábola
COMP2
La segunda condición se reduce a $y < c - \frac{x^{2}}{8}$ . ¿Cuánto vale $c$ , la altura del vértice?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descripción. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La primera condición dice que $z$ está más lejos de $2$ que de $2i$ : es el semiplano abierto que la mediatriz $y=x$ deja del lado de $2i$ , o sea $y>x$ .
2. En la segunda, antes de elevar al cuadrado hay que exigir $4-y>0$ , porque un módulo no puede ser menor que un número negativo.
3. Elevando, $x^{2}+y^{2}<16-8y+y^{2}$ , y los $y^{2}$ se cancelan: queda $y<2-\frac{x^{2}}{8}$ , el interior de una parábola de vértice $(0,2)$ que abre hacia abajo.
4. La condición auxiliar $y<4$ se cumple sola, porque $2-\frac{x^{2}}{8}\le 2$ .
5. La región es la intersección: el trozo del interior de la parábola que queda por encima de la recta $y=x$ . Los dos bordes son abiertos.

Resolución completa

La primera condición: un semiplano

$|z-2|$ y $|z-2i|$ son las distancias de $z$ a los puntos $2$ y $2i$ . Pedir que la primera sea mayor es pedir estar del lado de $2i$ de la mediatriz.

Y la cuenta lo confirma. Elevando al cuadrado —lícito, porque los dos lados son distancias, no negativas:

(x-2)^{2}+y^{2} > x^{2}+(y-2)^{2} \;\Longrightarrow\; -4x > -4y \;\Longrightarrow\; y > x

Semiplano abierto por encima de $y=x$ .

La segunda: una parábola

\sqrt{x^{2}+y^{2}} < 4-y

Primero la condición de existencia: un módulo es $\ge 0$ , así que hace falta $4-y>0$ . Sin decir esto, elevar al cuadrado puede meter soluciones falsas, y es donde se pierde COMP4.

Con $y<4$ , elevando:

x^{2}+y^{2} < 16-8y+y^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2} < 16-8y \;\Longrightarrow\; y < 2-\frac{x^{2}}{8}

Es el interior de la parábola de vértice $(0,2)$ que abre hacia abajo. Y la condición auxiliar se cumple sola, porque $2-\frac{x^{2}}{8}\le 2<4$ .

Otra forma de verlo, sin cuentas: $|z| + \operatorname{Im}(z)$ es «distancia al origen más altura», y eso constante es la definición de parábola de foco el origen y directriz la recta $y=4$ . La cuenta y la definición dicen lo mismo, y escribirlo así vale puntos.

La región

La intersección de las dos: el trozo del interior de la parábola que queda por encima de la recta $y=x$ . Está acotada, y se puede decir exactamente dónde. Los cortes salen de

x = 2-\frac{x^{2}}{8} \;\Longrightarrow\; x^{2}+8x-16 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -4 \pm 4\sqrt{2}

es decir $x \approx 1{,}657$ y $x \approx -9{,}657$ . Entre esos dos valores, la recta va por debajo de la parábola y queda el recinto: un «gajo» limitado por arriba por el arco de parábola y por abajo por la recta, con los dos bordes excluidos por ser las desigualdades estrictas.

Lo que evalúa la COMP4

Tres puntos, y se reparten en tres frases:

decir que la mediatriz es el lugar de los equidistantes y de qué lado cae la región, en vez de solo despejar;
exigir $4-y>0$ antes de elevar al cuadrado;
dibujar los dos bordes discontinuos, y marcar los dos puntos de corte.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 24 de febrero de 2020 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un coseno que vale 2, que en el plano complejo no es absurdo

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la ecuación $\cos z = 2$ , con $z \in \mathbb{C}$ .

Todas las soluciones complejas.

01
Reconocer el camino
COMP1
En $\mathbb{R}$ esta ecuación no tiene solución. ¿Por qué en $\mathbb{C}$ sí?
02
La parte imaginaria de la solución
COMP2
Todas las soluciones son de la forma $z = 2k\pi \pm i\,c$ . ¿Cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por definición, $\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ , así que la ecuación es $e^{iz}+e^{-iz} = 4$ .
2. Llamando $w = e^{iz}$ , que nunca es cero, queda $w + \frac1w = 4$ , es decir $w^{2}-4w+1=0$ .
3. Sus raíces son $w = 2\pm\sqrt3$ , las dos reales y positivas, y una inversa de la otra.
4. Tomando logaritmo complejo: $iz = \ln(2\pm\sqrt3) + 2k\pi i$ , porque el argumento de un real positivo es 0 salvo múltiplos de $2\pi$ .
5. Despejando, $z = 2k\pi \mp i\ln(2+\sqrt3)$ con $k\in\mathbb{Z}$ : dos rectas horizontales de puntos, simétricas respecto del eje real.

Resolución completa

Por qué la ecuación tiene sentido

La cota $|\cos x|\le 1$ es una propiedad del coseno real, y sale de que $\cos x$ es una coordenada sobre la circunferencia unidad. En $\mathbb{C}$ no hay tal circunferencia: el coseno se define como

\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

y con eso deja de estar acotado. De hecho, para $z = iy$ imaginario puro,

\cos(iy) = \frac{e^{-y}+e^{y}}{2} = \cosh y

que crece sin límite. Así que no solo $\cos z = 2$ tiene solución: $\cos z = 1000$ también.

Ocho de los diez puntos son COMP4, y buena parte se los lleva decir esto antes de calcular.

La resolución

e^{iz}+e^{-iz} = 4

Con $w = e^{iz}$ , que nunca vale cero:

w + \frac1w = 4 \;\Longrightarrow\; w^{2}-4w+1 = 0 \;\Longrightarrow\; w = \frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2} = 2\pm\sqrt3

Las dos raíces son reales y positivas, y su producto vale 1: son inversas. Tomando logaritmo complejo —y como el argumento de un real positivo es $0$ salvo múltiplos de $2\pi$ :

iz = \ln(2\pm\sqrt3) + 2k\pi i, \qquad k\in\mathbb{Z}

z = \frac{\ln(2\pm\sqrt3)}{i} + 2k\pi = 2k\pi - i\ln(2\pm\sqrt3)

Y usando $\ln(2-\sqrt3) = -\ln(2+\sqrt3)$ , las dos familias se juntan:

\boxed{\;z = 2k\pi \pm i\,\ln\!\left(2+\sqrt3\right), \qquad k\in\mathbb{Z}\;}

con $\ln(2+\sqrt3)\approx 1{,}3169579$ .

Dónde caen

Dos rectas horizontales, a altura $\pm\ln(2+\sqrt3)$ , con un punto cada $2\pi$ en cada una. Ninguna solución es real, como tenía que ser: si alguna lo fuera, tendríamos un coseno real valiendo 2.

El paso que más se falla

Despejar $z$ de $iz = \ln(\cdot) + 2k\pi i$ . Dividir entre $i$ es multiplicar por $-i$ , así que el término real se vuelve imaginario y el imaginario se vuelve real. Quien se salta ese cambio acaba con la parte real y la imaginaria intercambiadas, y sitúa las soluciones sobre el eje imaginario en vez de sobre dos horizontales.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 24 de febrero de 2020 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Si todos los términos son ≤ 0, el límite también

COMP 410 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar la siguiente propiedad: si $a_{n} \le 0$ para todo $n\in\mathbb{N}$ y $\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge hacia $L$ , entonces $L \le 0$ .

La demostración de que el signo pasa al límite.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la forma natural de demostrar esto?
02
La cota que aparece en el absurdo
COMP2
Supón $L = 0{,}6$ y toma $\varepsilon = L/2$ . La definición garantiza $a_{n} > L - \varepsilon$ a partir de cierto $m$ . ¿Cuánto vale esa cota?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración por reducción al absurdo. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Supongamos, por reducción al absurdo, que $L>0$ .
2. Como $\{a_{n}\}$ converge a $L$ , la definición vale para cualquier $\varepsilon>0$ ; en particular para $\varepsilon = \frac{L}{2}$ , que es positivo por ser $L>0$ .
3. Existe entonces $m$ tal que $|a_{n}-L|<\frac{L}{2}$ para todo $n\ge m$ , lo que equivale a $\frac{L}{2} < a_{n} < \frac{3L}{2}$ .
4. En particular $a_{m} > \frac{L}{2} > 0$ , y eso contradice la hipótesis de que todos los términos son $\le 0$ .
5. Luego la suposición era falsa y $L\le 0$ . $\blacksquare$

Resolución completa

Diez puntos de COMP4 y ninguno de cálculo: aquí solo se corrige la demostración.

La idea

Si el límite fuera positivo, la definición obligaría a que casi todos los términos estuvieran cerca de él, y por tanto fueran positivos. Eso choca con que todos son $\le 0$ . Basta con elegir la banda de forma que no toque el cero.

La demostración

Supongamos, por reducción al absurdo, que $L>0$ .

Como $\{a_{n}\}\to L$ , la definición se cumple para todo $\varepsilon>0$ . Tomemos

\varepsilon = \frac{L}{2} > 0

Existe entonces $m\in\mathbb{N}$ tal que, para todo $n\ge m$ ,

|a_{n}-L| < \frac{L}{2} \iff L - \frac{L}{2} < a_{n} < L + \frac{L}{2} \iff \frac{L}{2} < a_{n} < \frac{3L}{2}

En particular $a_{m} > \frac{L}{2} > 0$ , lo que contradice la hipótesis $a_{n}\le 0$ para todo $n$ .

Por tanto la suposición es falsa y $L\le 0$ . $\blacksquare$

Por qué ε = L/2 y no otro

Porque tiene que cumplir dos cosas a la vez: ser positivo —si no, la definición no se puede invocar— y ser menor que $L$ , para que la banda quede entera a la derecha del cero. Cualquier $\varepsilon$ con $0<\varepsilon<L$ vale; $L/2$ es el más cómodo de escribir.

Elegir $\varepsilon = L$ deja la cota inferior en 0 exactamente y obliga a razonar con desigualdades estrictas en el borde. Funciona, pero da más trabajo por nada.

El matiz que hay que decir

La propiedad es con desigualdad débil en las dos puntas, y no se puede afinar: si todos los $a_{n}$ son estrictamente negativos, el límite puede ser 0. El contraejemplo es $a_{n} = -\frac1n$ . Escribirlo al final demuestra que se ha entendido qué conserva el límite y qué no — y es, literalmente, el ejercicio 3 de la recuperación del año siguiente.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 24 de febrero de 2020 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una sucesión que cae de golpe, y la serie que aun así converge

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 21 punto por calcular
COMP 47 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Definir formalmente los siguientes conceptos: sucesión creciente, sucesión decreciente, supremo, ínfimo, sucesión convergente.

b) Estudiar dichos conceptos para la sucesión $\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ definida de la siguiente forma:

\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} 4 + \dfrac{1}{n} & n < 10 \\[3mm] \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} & n \ge 10 \end{cases}

c) Sea $\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ la sucesión definida en el apartado anterior. ¿Es convergente la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ?

Las cinco definiciones, su estudio en esta sucesión y la serie.

01
Reconocer el camino
COMP1
La sucesión pasa de valer $\approx 4{,}11$ en $n=9$ a valer $\approx 0{,}017$ en $n=10$ . ¿Qué es entonces?
02
El supremo
COMP2
¿Cuál es el supremo de la sucesión?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La convergencia de una serie no depende de un número finito de términos: los nueve primeros suman una cantidad fija y no pueden estropear nada.
2. A partir de $n=10$ la serie es $\sum_{n\ge 10}\left(\frac23\right)^{n}$ , una serie geométrica de razón $r=\frac23$ .
3. Como $|r| = \frac23 < 1$ , esa cola converge, y vale $\frac{(2/3)^{10}}{1-2/3} = 3\left(\frac23\right)^{10}$ .
4. Por tanto la serie completa converge, y su suma es $\sum_{n=1}^{9}\left(4+\frac1n\right) + 3\left(\frac23\right)^{10} = 36 + H_{9} + 3\left(\frac23\right)^{10} \approx 38{,}88$ .
5. Que $a_{n}\to 0$ era condición necesaria para que la serie pudiera converger, pero no suficiente: hacía falta el argumento geométrico.

Resolución completa

a) Las cinco definiciones

concepto	definición
creciente	$a_{n+1}\ge a_{n}$ para todo $n$ (estrictamente, si $>$ )
decreciente	$a_{n+1}\le a_{n}$ para todo $n$ (estrictamente, si $<$ )
supremo	la menor de las cotas superiores del conjunto $\{a_{n}\}$
ínfimo	la mayor de las cotas inferiores
convergente	existe $l$ tal que $\forall\varepsilon>0\ \exists m$ con $\lvert a_{n}-l\rvert<\varepsilon$ para todo $n\ge m$

Y el matiz que este ejercicio va a cobrar: el supremo puede o no alcanzarse. Si se alcanza, se llama máximo; si no, sigue existiendo pero no es ningún término de la sucesión.

b) El estudio

Los primeros términos:

5,\;4{,}5,\;4{,}333,\;4{,}25,\;4{,}2,\;4{,}167,\;4{,}143,\;4{,}125,\;4{,}111,\; 0{,}0173,\;0{,}0116,\;\dots

Monotonía. Hay que comprobar tres cosas, y la tercera es la que se olvida:

dentro del primer trozo, $4+\frac1n$ decrece al crecer $n$ ;
dentro del segundo, $\left(\frac23\right)^{n}$ decrece porque la razón está entre 0 y 1;
en el salto, $a_{9} = 4+\frac19 \approx 4{,}111$ y $a_{10} = \left(\frac23\right)^{10}\approx 0{,}0173$ , así que también baja.

Luego la sucesión es estrictamente decreciente.

Supremo e ínfimo.

\sup\{a_{n}\} = a_{1} = 5 \quad\text{(alcanzado: es máximo)}

\inf\{a_{n}\} = 0 \quad\text{(no alcanzado: no hay mínimo)}

Convergencia. Para $n\ge 10$ la sucesión es $\left(\frac23\right)^{n}$ con razón en $(0,1)$ , luego

\lim_{n\to\infty} a_{n} = 0

También se puede argumentar sin calcular: es decreciente y acotada inferiormente por 0, luego converge, y su límite es el ínfimo, que es 0.

c) La serie

Sí converge. Dos ingredientes:

Los nueve primeros términos no cuentan. La convergencia de una serie no cambia si se modifica un número finito de términos: solo cambia el valor de la suma.
La cola es geométrica. $\sum_{n\ge 10}\left(\frac23\right)^{n}$ tiene razón $\frac23$ , y $\left|\frac23\right|<1$ .

Y como es geométrica se puede sumar del todo:

\sum_{n=10}^{\infty}\left(\frac23\right)^{n} = \frac{\left(\frac23\right)^{10}}{1-\frac23} = 3\left(\frac23\right)^{10} \approx 0{,}052

\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \underbrace{\sum_{n=1}^{9}\left(4+\frac1n\right)}_{36 + H_{9}} + 3\left(\frac23\right)^{10} \approx 36 + 2{,}829 + 0{,}052 = 38{,}881

El error que este apartado busca

Contestar «converge porque $a_{n}\to 0$ ». Que el término general tienda a cero es necesario pero no suficiente, y el contraejemplo lo tiene todo el mundo a mano: la serie armónica $\sum\frac1n$ tiene término general tendiendo a cero y diverge. Aquí lo que decide es que la cola sea geométrica de razón menor que 1.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación · 2019-2020

Reconocer el camino

La recta que separa

El vértice de la parábola

Justificar el argumento

La primera condición: un semiplano

La segunda: una parábola

La región

Lo que evalúa la COMP4

Reconocer el camino

La parte imaginaria de la solución

Justificar el argumento

Por qué la ecuación tiene sentido

La resolución

Dónde caen

El paso que más se falla

Reconocer el camino

La cota que aparece en el absurdo

Justificar el argumento

La idea

La demostración

Por qué ε = L/2 y no otro

El matiz que hay que decir

Reconocer el camino

El supremo

Justificar el argumento

a) Las cinco definiciones

b) El estudio

c) La serie

El error que este apartado busca