tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · primera evaluación

Primera evaluación · 2021-2022

18 de octubre de 2021 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una circunferencia de Apolonio con el área impuestaNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea $w$ un número imaginario puro positivo. Calcular el valor de $w$ para que el área encerrada por el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición
$\left|\frac{z-1}{z-w}\right| = \sqrt{2}$
sea $4\pi$ . Dibujar el lugar geométrico obtenido.
Calcular $w$ y dibujar el lugar geométrico.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una quinta potencia, un conjugado y el cero que se pierdeNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Resolver la ecuación
$i\,z^{5}\,\overline{z} = -\left|z\right|, \qquad z \in \mathbb{C}$
y representar gráficamente la solución.
Resolver la ecuación y representar las soluciones.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una sucesión compleja mirada por tres ventanasSucesiones y series numéricas1 + 2 + 7 = 10 pts
Sea la sucesión de números complejos
$\{z_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \left\{\frac{1}{n}\,e^{\frac{n\pi}{2}i}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$
Estudiar, utilizando definiciones formales, el crecimiento, decrecimiento y acotación de las sucesiones $\{\left|z_n\right|\}_{n\in\mathbb{N}}$ , $\{\arg(z_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ .
Estudiar las tres sucesiones reales asociadas.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 47 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una geométrica de razón negativaSucesiones y series numéricas1 + 6 + 3 = 10 pts
a) Estudiar la convergencia de la serie
$S = 5-\frac{10}{3}+\frac{20}{9}-\frac{40}{27}+\dots$
b) En caso de convergencia de la serie, obtener la suma de la misma.
Estudiar la convergencia y calcular la suma.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Primera evaluación, 18 de octubre de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una circunferencia de Apolonio con el área impuesta

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $w$ un número imaginario puro positivo. Calcular el valor de $w$ para que el área encerrada por el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición

\left|\frac{z-1}{z-w}\right| = \sqrt{2}

sea $4\pi$ . Dibujar el lugar geométrico obtenido.

Calcular $w$ y dibujar el lugar geométrico.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué figura es el lugar geométrico, antes de hacer ninguna cuenta?
02
El parámetro que pide el enunciado
COMP2
$w$ es imaginario puro positivo, $w = bi$ con $b>0$ . ¿Cuánto vale $b$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El centro
COMP2
Con $w=i$ , ¿cuál es el centro de la circunferencia? Dalo como número complejo.
Tu respuesta al paso 3forma binómica, por ejemplo -1+2i — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Con el valor de $w$ que has encontrado, escribe la circunferencia en $x$ e $y$ . La figura comprobará si es la misma que la del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; usa ^2 para los cuadrados
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La condición $\left|\frac{z-1}{z-w}\right| = \sqrt2$ es un cociente de distancias constante: una circunferencia de Apolonio.
2. Con $w=bi$ , elevando al cuadrado y completando cuadrados sale $(x+1)^{2}+(y-2b)^{2} = 2+2b^{2}$ .
3. El área encerrada es $\pi r^{2} = \pi\left(2+2b^{2}\right)$ , y tiene que valer $4\pi$ : $b^{2} = 1$ .
4. Como $w$ es imaginario puro positivo, se toma $b=1$ y por tanto $w = i$ .
5. El lugar es la circunferencia de centro $-1+2i$ y radio 2.
Que el enunciado hable de «el área encerrada» ya avisa de que el lugar es una curva cerrada. Leerlo ahorra el susto de acabar con una recta.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. $w$ imaginario puro positivo. El lugar de los $z$ con $\left|\frac{z-1}{z-w}\right| = \sqrt2$ tiene que encerrar un área de $4\pi$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 1 · COMP2 7 · COMP4 2.

1 · Reconocer la figura antes de calcular

La condición fija el cociente de las distancias del afijo de $z$ a dos puntos: al $1$ y al $w$ . El lugar de los puntos cuyo cociente de distancias a dos puntos fijos es constante y distinta de 1 es la circunferencia de Apolonio.

Saberlo de entrada vale el punto de COMP1 y encamina todo lo demás: como la figura es una circunferencia, la condición del área es una condición sobre el radio.

\pi r^{2} = 4\pi \;\Longrightarrow\; r = 2

Conviene decir también por qué no puede ser una recta: la mediatriz aparece cuando el cociente vale exactamente 1, porque entonces los términos cuadráticos se cancelan. Con $\sqrt2$ no se cancelan.

2 · La ecuación del lugar

Con $w = bi$ ( $b>0$ ) y $z = x+iy$ . Los dos miembros de $\left|z-1\right| = \sqrt2\,\left|z-bi\right|$ son no negativos, así que elevar al cuadrado es equivalente:

(x-1)^{2}+y^{2} = 2\left[x^{2}+(y-b)^{2}\right]

x^{2}-2x+1+y^{2} = 2x^{2}+2y^{2}-4by+2b^{2}

Pasando todo a un lado:

0 = x^{2}+2x+y^{2}-4by+2b^{2}-1

Completando cuadrados, $x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1$ y $y^{2}-4by = (y-2b)^{2}-4b^{2}$ :

(x+1)^{2}-1+(y-2b)^{2}-4b^{2}+2b^{2}-1 = 0

\boxed{\;(x+1)^{2}+(y-2b)^{2} = 2+2b^{2}\;}

Centro $(-1,\,2b)$ y radio $\sqrt{2+2b^{2}}$ .

Antes de seguir, una comprobación de coherencia que sale gratis: el radio al cuadrado, $2+2b^{2}$ , es siempre positivo, así que la figura existe para cualquier $b$ . Si hubiera salido algo que pudiera ser negativo, habría que discutir los casos.

3 · Imponer el área

\pi\left(2+2b^{2}\right) = 4\pi \;\Longrightarrow\; 2+2b^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; b^{2} = 1 \;\Longrightarrow\; b = \pm 1

El enunciado dice imaginario puro positivo, así que se descarta $b=-1$ :

\boxed{\;w = i\;}

Ese adjetivo no es decorativo: sin él habría dos soluciones, $w = i$ y $w = -i$ , con circunferencias simétricas respecto del eje real.

4 · El lugar geométrico

Sustituyendo $b=1$ :

(x+1)^{2}+(y-2)^{2} = 4

Circunferencia de centro $-1+2i$ y radio 2.

5 · Representación gráfica

Una circunferencia que pasa por $(-3,2)$ , $(1,2)$ , $(-1,0)$ y $(-1,4)$ : es tangente al eje real en el punto $(-1,0)$ , porque su centro está a distancia 2 de ese eje y el radio también vale 2.

Conviene marcar los dos puntos de referencia, $1$ y $w=i$ . Los dos quedan fuera del centro y alineados con él, que es como funciona siempre una circunferencia de Apolonio.

6 · Comprobación

Se toma un punto de la circunferencia y se comprueba la condición original. El más cómodo es $z = -1$ , o sea $(-1,0)$ , que está en ella porque $0+(0-2)^{2} = 4$ ✔:

\left|z-1\right| = \left|-2\right| = 2, \qquad \left|z-i\right| = \left|-1-i\right| = \sqrt2

\frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2 \quad\checkmark

Y otro por si acaso, $z = 1+2i$ , que también está en la circunferencia — $(1+1)^{2}+0 = 4$ ✔—:

\left|z-1\right| = \left|2i\right| = 2, \qquad \left|z-i\right| = \left|1+i\right| = \sqrt2, \qquad \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2 \quad\checkmark

Y el área: $\pi\cdot 2^{2} = 4\pi$ ✔, que es lo que pedía el enunciado.

Resultado

\boxed{\;w = i;\qquad (x+1)^{2}+(y-2)^{2} = 4\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Primera evaluación, 18 de octubre de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una quinta potencia, un conjugado y el cero que se pierde

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la ecuación

i\,z^{5}\,\overline{z} = -\left|z\right|, \qquad z \in \mathbb{C}

y representar gráficamente la solución.

Resolver la ecuación y representar las soluciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
La incógnita aparece en los dos miembros y en uno va conjugada. ¿Por dónde se entra?
02
Cuántas soluciones hay
COMP2
¿Cuántos números complejos cumplen la ecuación?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El menor argumento positivo
COMP2
De las soluciones de módulo 1, ¿cuál es el menor argumento en grados?
Tu respuesta al paso 3un número de grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Tomando módulos, y como $\left|i\right|=1$ y $\left|\overline z\right| = \left|z\right|$ , queda $\left|z\right|^{6} = \left|z\right|$ .
2. Factorizando, $\left|z\right|\left(\left|z\right|^{5}-1\right) = 0$ : o $\left|z\right| = 0$ o $\left|z\right| = 1$ . No se divide entre $\left|z\right|$ , que perdería el primer caso.
3. Caso $z=0$ : cumple, porque $i\cdot0\cdot0 = 0 = -\left|0\right|$ .
4. Caso $\left|z\right|=1$ : con $z=e^{i\theta}$ , $z^{5}\overline z = e^{4i\theta}$ , y la ecuación da $\theta = 22{,}5^{\circ}+90^{\circ}k$ .
5. Cinco soluciones: el origen y los cuatro vértices de un cuadrado inscrito en la circunferencia unidad.
Fíjate en la asimetría del resultado: cuatro soluciones repartidas en círculo y una en el centro. No es un conjunto de raíces $n$ -ésimas, aunque se le parezca.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Resolver $i\,z^{5}\,\overline z = -\left|z\right|$ en $\mathbb{C}$ y representar las soluciones.

Reparto de puntos del examen: COMP1 1 · COMP2 7 · COMP4 2.

1 · Por qué no vale la fórmula de las raíces

La incógnita aparece en los dos miembros —a la derecha dentro de un módulo— y en uno de ellos conjugada. No es una ecuación del tipo $z^{n} = w$ con $w$ conocido, así que la fórmula de las raíces $n$ -ésimas no se aplica directamente.

La entrada natural es tomar módulos, que convierte una ecuación compleja en una ecuación real.

2 · Los módulos posibles

Usando $\left|i\right| = 1$ , $\left|z^{5}\right| = \left|z\right|^{5}$ y $\left|\overline z\right| = \left|z\right|$ :

\left|z\right|^{5}\cdot\left|z\right| = \left|z\right| \;\Longleftrightarrow\; \left|z\right|^{6} = \left|z\right| \;\Longleftrightarrow\; \left|z\right|\left(\left|z\right|^{5}-1\right) = 0

Como el módulo no es negativo, solo hay dos posibilidades:

\left|z\right| = 0 \qquad\text{o}\qquad \left|z\right| = 1

Aquí está la trampa del ejercicio: no se puede dividir entre $\left|z\right|$ . Hacerlo elimina el caso $\left|z\right|=0$ , que es una solución de verdad. Cuando un factor común puede anularse, se factoriza y se discuten los casos; no se cancela.

3 · Caso $\left|z\right| = 0$

Es inmediato: $z = 0$ . Y cumple la ecuación,

i\cdot 0^{5}\cdot\overline{0} = 0 = -\left|0\right| \quad\checkmark

4 · Caso $\left|z\right| = 1$

Con $z = e^{i\theta}$ , el conjugado es $\overline z = e^{-i\theta}$ , así que

z^{5}\,\overline z = e^{5i\theta}\cdot e^{-i\theta} = e^{4i\theta}

El conjugado resta su argumento: el exponente efectivo es $5-1 = 4$ , y no 6 como sugiere contar los factores. Multiplicando por $i = e^{i\,90^{\circ}}$ , el primer miembro es $e^{i\left(90^{\circ}+4\theta\right)}$ .

El segundo miembro, en este caso, vale $-\left|z\right| = -1 = e^{i\,180^{\circ}}$ .

Dos complejos de módulo 1 son iguales cuando sus argumentos coinciden salvo vueltas enteras:

90^{\circ}+4\theta = 180^{\circ}+360^{\circ}k \;\Longrightarrow\; 4\theta = 90^{\circ}+360^{\circ}k \;\Longrightarrow\; \theta = 22{,}5^{\circ}+90^{\circ}k

Con $k = 0,1,2,3$ :

\theta \in \left\{22{,}5^{\circ},\; 112{,}5^{\circ},\; 202{,}5^{\circ},\; 292{,}5^{\circ}\right\}

A partir de $k=4$ los ángulos se repiten módulo $360^{\circ}$ : no hay más soluciones distintas.

5 · Representación gráfica

Cinco afijos: el origen, y cuatro puntos sobre la circunferencia unidad separados $90^{\circ}$ , es decir los vértices de un cuadrado con el primero a $22{,}5^{\circ}$ —justo a mitad de camino entre el eje real y la bisectriz del primer cuadrante—.

Conviene marcar el origen con un punto grueso y decir en el dibujo que también es solución: es la parte que se pierde.

6 · Comprobación

Con $z = e^{i\,22{,}5^{\circ}}$ :

z^{5}\overline z = e^{i\,4\cdot22{,}5^{\circ}} = e^{i\,90^{\circ}} = i

i\cdot i = i^{2} = -1 = -\left|z\right| \quad\checkmark

Con $z = e^{i\,112{,}5^{\circ}}$ : $4\cdot112{,}5 = 450 \equiv 90^{\circ}$ , y sale lo mismo ✔

Con $z=0$ : los dos miembros valen 0 ✔

Y una que NO debe cumplirla, para ver que el conjunto no es más grande: $z = 1$ . Entonces $i\cdot1\cdot1 = i \neq -1$ ✗, y en efecto $0^{\circ}$ no está entre los cuatro ángulos.

Resultado

\boxed{\;z = 0 \quad\text{y}\quad z = e^{i\left(22{,}5^{\circ}+90^{\circ}k\right)},\; k=0,1,2,3\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Primera evaluación, 18 de octubre de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una sucesión compleja mirada por tres ventanas

COMP 11 punto por reconocer
COMP 22 puntos por calcular
COMP 47 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la sucesión de números complejos

\{z_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \left\{\frac{1}{n}\,e^{\frac{n\pi}{2}i}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

Estudiar, utilizando definiciones formales, el crecimiento, decrecimiento y acotación de las sucesiones $\{\left|z_n\right|\}_{n\in\mathbb{N}}$ , $\{\arg(z_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ .

Estudiar las tres sucesiones reales asociadas.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el enunciado pide estudiar tres sucesiones reales en vez de $\{z_n\}$ directamente?
02
El mayor valor de la parte imaginaria
COMP2
¿Cuál es el mayor valor que toma $\operatorname{Im}(z_n)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de las tres sucesiones. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Módulo. $\left|z_n\right| = \frac1n$ , porque $\left|e^{i\alpha}\right| = 1$ para todo $\alpha$ real. Es estrictamente decreciente — $\frac{1}{n+1} < \frac1n$ para todo $n$ — y acotada: $0 < \left|z_n\right| \le 1$ .
2. Argumento. $\arg(z_n) = \frac{n\pi}{2}$ reducido a su determinación principal, y recorre $\frac{\pi}{2},\ \pi,\ -\frac{\pi}{2},\ 0$ repitiéndose con periodo 4.
3. Por tanto el argumento no es creciente ni decreciente — $\arg z_1 < \arg z_2$ pero $\arg z_2 > \arg z_3$ — y sí es acotado, porque solo toma cuatro valores.
4. Parte imaginaria. $\operatorname{Im}(z_n) = \frac1n\mathrm{sen}\frac{n\pi}{2}$ toma los valores $1,\ 0,\ -\frac13,\ 0,\ \frac15,\ 0,\ -\frac17,\dots$
5. Tampoco es monótona —alterna de signo— y está acotada: $-\frac13 \le \operatorname{Im}(z_n) \le 1$ , alcanzando las dos cotas.
Tres ventanas sobre la misma sucesión y tres respuestas distintas. Esa es la razón de ser del ejercicio.

$n$	1	2	3	4	5	6	7
$\mathrm{sen}\frac{n\pi}{2}$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$1$	$0$	$-1$
$\operatorname{Im}(z_n)$	$1$	$0$	$-\frac13$	$0$	$\frac15$	$0$	$-\frac17$

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. $z_n = \frac{1}{n}e^{\frac{n\pi}{2}i}$ . Se pide estudiar crecimiento, decrecimiento y acotación de $\left|z_n\right|$ , $\arg(z_n)$ e $\operatorname{Im}(z_n)$ , con definiciones formales.

Reparto de puntos del examen: COMP1 1 · COMP2 2 · COMP4 7. Siete de diez son la explicación: el enunciado pide expresamente «utilizando definiciones formales», así que enunciarlas es parte de la respuesta.

1 · Por qué el enunciado desvía a tres sucesiones reales

Merece la pena empezar por aquí. En $\mathbb{C}$ no hay un orden compatible con las operaciones, así que preguntar si $\{z_n\}$ es creciente no significa nada. Lo que sí tiene sentido es estudiar sucesiones reales asociadas, y el enunciado elige tres: el tamaño, la dirección y una coordenada.

Las definiciones que se van a usar:

\{a_n\} \text{ creciente} \iff a_{n+1} > a_n \;\; \forall n

\{a_n\} \text{ decreciente} \iff a_{n+1} < a_n \;\; \forall n

\{a_n\} \text{ acotada} \iff \exists\, p,q \in \mathbb{R} : p \le a_n \le q \;\; \forall n

2 · El módulo

\left|z_n\right| = \left|\frac1n\right|\cdot \left|e^{\frac{n\pi}{2}i}\right| = \frac1n \cdot 1 = \frac{1}{n}

porque una exponencial de exponente imaginario puro tiene módulo 1.

Decreciente, y se prueba con la definición:

\left|z_{n+1}\right|-\left|z_n\right| = \frac{1}{n+1}-\frac1n = \frac{n-(n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}

No creciente, por lo mismo. Acotada:

0 < \frac1n \le 1 \qquad \forall n \in \mathbb{N}

El 1 es máximo, alcanzado en $n=1$ ; el 0 es ínfimo pero no mínimo, porque no se alcanza nunca.

3 · El argumento

\arg(z_n) = \frac{n\pi}{2} \pmod{2\pi}

Como $\frac{n\pi}{2}$ avanza un cuarto de vuelta cada vez, el argumento es periódico de periodo 4:

$n$	1	2	3	4	5	6	…
$\arg(z_n)$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$-\frac{\pi}{2}$	$0$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	…

—tomando la determinación principal en $(-\pi,\pi]$ —.

No es creciente: $\arg z_2 = \pi > -\frac{\pi}{2} = \arg z_3$ . No es decreciente: $\arg z_1 = \frac{\pi}{2} < \pi = \arg z_2$ . Basta un par de cada tipo.

Es acotada, y de la forma más rotunda: solo toma cuatro valores distintos, así que

-\frac{\pi}{2} \le \arg(z_n) \le \pi \qquad \forall n

Conviene advertir que la respuesta depende del convenio: si el argumento se toma en $[0,2\pi)$ , los valores son $\frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 0$ y las cotas cambian. Lo que no cambia es la conclusión: periódica, no monótona y acotada.

4 · La parte imaginaria

\operatorname{Im}(z_n) = \frac{1}{n}\,\mathrm{sen}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)

El seno recorre $1, 0, -1, 0$ y vuelve a empezar, así que

1,\quad 0,\quad -\frac13,\quad 0,\quad \frac15,\quad 0,\quad -\frac17,\quad 0,\quad \frac19,\;\dots

No es creciente: $\operatorname{Im}(z_1) = 1 > 0 = \operatorname{Im}(z_2)$ . No es decreciente: $\operatorname{Im}(z_3) = -\frac13 < 0 = \operatorname{Im}(z_4)$ .

Es acotada:

-\frac13 \le \operatorname{Im}(z_n) \le 1 \qquad \forall n

Las dos cotas se alcanzan —en $n=3$ y en $n=1$ —, así que son mínimo y máximo. Y como $\left|\operatorname{Im}(z_n)\right| \le \frac1n \to 0$ , la sucesión converge a 0 aunque no lo haga de forma ordenada.

5 · Lo que enseñan las tres juntas

La misma sucesión, vista de tres maneras, da tres respuestas distintas:

	monotonía	acotación
$\lvert z_n\rvert$	decreciente	sí, $(0,1]$
$\arg(z_n)$	ninguna, periódica	sí, cuatro valores
$\operatorname{Im}(z_n)$	ninguna, alterna	sí, $[-\frac13,1]$

Que el módulo decrezca no obliga a las coordenadas a hacerlo. El afijo va acercándose al origen en espiral, y en esa espiral la parte imaginaria sube y baja mientras la distancia al origen no deja de encogerse. Es la idea que el ejercicio quiere dejar clara.

6 · Comprobación

Los cinco primeros afijos, en binómica:

z_1 = i, \quad z_2 = -\frac12, \quad z_3 = -\frac13 i, \quad z_4 = \frac14, \quad z_5 = \frac15 i

Se ve la espiral: arriba, izquierda, abajo, derecha, arriba… cada vez más cerca del origen. Los módulos $1, \frac12, \frac13, \frac14, \frac15$ bajan siempre ✔, y las partes imaginarias $1, 0, -\frac13, 0, \frac15$ ni suben ni bajan de forma sostenida ✔.

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \left|z_n\right| &= \tfrac1n:\ \text{decreciente y acotada } (0,1] \\ \arg(z_n) &:\ \text{periódica de periodo 4, no monótona, acotada} \\ \operatorname{Im}(z_n) &:\ \text{alternada, no monótona, acotada } \left[-\tfrac13,1\right] \end{aligned}}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Primera evaluación, 18 de octubre de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una geométrica de razón negativa

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Estudiar la convergencia de la serie

S = 5-\frac{10}{3}+\frac{20}{9}-\frac{40}{27}+\dots

b) En caso de convergencia de la serie, obtener la suma de la misma.

Estudiar la convergencia y calcular la suma.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se identifica de qué tipo es una serie dada por sus primeros términos?
02
La razón
COMP2
¿Cuál es la razón de la serie?
Tu respuesta al paso 2un número, o una fracción como -2/3 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La suma
COMP2
¿Cuánto vale $S$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El cociente entre términos consecutivos es constante e igual a $-\frac23$ : la serie es geométrica.
2. Una geométrica converge si y solo si $\left|r\right|<1$ . Aquí $\left|-\frac23\right| = \frac23 < 1$ , luego converge.
3. Su suma es $\dfrac{a_1}{1-r}$ con $a_1 = 5$ .
4. $S = \dfrac{5}{1+\frac23} = \dfrac{5}{\frac53} = 3$ .
Con la geométrica se resuelven los dos apartados de una vez: la convergencia y la suma. Ese es el motivo de identificarla primero.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. $S = 5-\frac{10}{3}+\frac{20}{9}-\frac{40}{27}+\dots$ Se pide estudiar la convergencia y, si converge, sumar.

Reparto de puntos del examen: COMP1 1 · COMP2 6 · COMP4 3.

1 · Identificar la serie

Cuando una serie se da por sus primeros términos, lo primero es buscar el patrón. Se prueba el cociente entre consecutivos:

\frac{-\frac{10}{3}}{5} = -\frac{2}{3}, \qquad \frac{\frac{20}{9}}{-\frac{10}{3}} = -\frac{2}{3}, \qquad \frac{-\frac{40}{27}}{\frac{20}{9}} = -\frac{2}{3}

Constante. La serie es geométrica de primer término $a_1 = 5$ y razón

r = -\frac{2}{3}

Conviene comprobarlo con dos o tres cocientes y no con uno solo: dos términos cualesquiera siempre tienen un cociente, y eso no los hace geométricos.

El término general, por si hace falta escribirlo:

a_n = 5\left(-\frac23\right)^{n-1}, \qquad n \ge 1

2 · Apartado (a): la convergencia

Una serie geométrica converge si y solo si $\left|r\right| < 1$ . Aquí

\left|r\right| = \frac{2}{3} < 1

así que la serie converge.

Merece la pena decir por qué el criterio es exacto y no solo suficiente: la suma parcial vale

S_N = a_1\,\frac{1-r^{N}}{1-r}

y todo depende de $r^{N}$ . Con $\left|r\right|<1$ tiende a 0 y el límite existe; con $\left|r\right|\ge1$ no tiende a 0 y no hay límite. No hay zona gris.

3 · Apartado (b): la suma

S = \frac{a_1}{1-r} = \frac{5}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{5}{1+\frac{2}{3}} = \frac{5}{\frac{5}{3}} = 5\cdot\frac{3}{5} = 3

El signo de la razón se cambia al pasar al denominador, y ahí está el error que más se comete: escribir $1-\frac23 = \frac13$ y obtener 15.

4 · Comprobación

Sumando términos a mano, que además enseña cómo converge una alternada:

$N$	1	2	3	4	5	6
$S_N$	$5$	$1{,}667$	$3{,}889$	$2{,}407$	$3{,}395$	$2{,}737$

Las sumas parciales van saltando por encima y por debajo de 3, acercándose cada vez más. Eso es lo típico de una serie alternada convergente, y es una comprobación visual muy rápida.

De coherencia: como la serie alterna y empieza en 5 restando $\frac{10}{3}$ , la suma tiene que estar entre $S_2 = 1{,}67$ y $S_1 = 5$ . Y 3 lo está ✔. Si hubiera salido 15, esta comprobación lo habría cazado al instante.

Resultado

\boxed{\;\text{(a) converge, porque } \left|r\right| = \tfrac23 < 1 \qquad \text{(b) } S = 3\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Primera evaluación · 2021-2022

Reconocer el camino

El parámetro que pide el enunciado

El centro

Verificar la región

Justificar el argumento

1 · Reconocer la figura antes de calcular

2 · La ecuación del lugar

3 · Imponer el área

4 · El lugar geométrico

5 · Representación gráfica

6 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

Cuántas soluciones hay

El menor argumento positivo

Justificar el argumento

1 · Por qué no vale la fórmula de las raíces

2 · Los módulos posibles

3 · Caso ∣z∣=0\left|z\right| = 0∣z∣=0

4 · Caso ∣z∣=1\left|z\right| = 1∣z∣=1

5 · Representación gráfica

6 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El mayor valor de la parte imaginaria

Justificar el argumento

1 · Por qué el enunciado desvía a tres sucesiones reales

2 · El módulo

3 · El argumento

4 · La parte imaginaria

5 · Lo que enseñan las tres juntas

6 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

La razón

La suma

Justificar el argumento

1 · Identificar la serie

2 · Apartado (a): la convergencia

3 · Apartado (b): la suma

4 · Comprobación

Resultado

3 · Caso $\left|z\right| = 0$

4 · Caso $\left|z\right| = 1$