tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · primera evaluación

Primera evaluación · 2016-2017

10 de octubre de 2016 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El tercer vértice de un triángulo rectángulo isóscelesNúmeros complejos1 + 6 + 3 = 10 pts
Hallar el número complejo $z_3$ (el de mayor componente imaginaria) tal que los afijos de los números complejos $z_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}$ , $z_2 = i$ y $z_3$ formen un triángulo rectángulo isósceles; los vértices de la hipotenusa son los afijos de $z_1$ y $z_2$ .
Hallar el tercer vértice.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una elipse escrita con su definiciónNúmeros complejos2 + 5 + 3 = 10 pts
Hallar la ecuación del lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ cuya suma de distancias a los números $z_1 = 1+i$ y $z_2 = 1-i$ es igual a 4. Representar gráficamente el lugar geométrico obtenido.
Hallar la ecuación del lugar geométrico y representarlo.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El límite de una sucesión de términos no negativosSucesiones y series numéricas2 + 0 + 8 = 10 pts
Demostrar la siguiente propiedad:
$\text{Si } a_n \ge 0 \;\;\forall n \in \mathbb{N} \;\text{ y }\; \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} \text{ converge hacia } L, \text{ entonces } L \ge 0$
Demostrar la propiedad.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Primera evaluación, 10 de octubre de 2016 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · Enunciado idéntico al ejercicio 1.15 del boletín del tema 1. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El tercer vértice de un triángulo rectángulo isósceles

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar el número complejo $z_3$ (el de mayor componente imaginaria) tal que los afijos de los números complejos $z_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}$ , $z_2 = i$ y $z_3$ formen un triángulo rectángulo isósceles; los vértices de la hipotenusa son los afijos de $z_1$ y $z_2$ .

Hallar el tercer vértice.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Rectángulo isósceles con la hipotenusa dada» son dos condiciones. ¿Qué obliga cada una?
02
La hipotenusa
COMP2
¿Cuánto mide la hipotenusa, $\left|z_2-z_1\right|$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, o una expresión como √3 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El tercer vértice
COMP2
¿Cuál es $z_3$ , el de mayor componente imaginaria? Da su parte real en forma exacta, o con tres decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Isósceles significa que los dos catetos miden lo mismo, así que $z_3$ equidista de $z_1$ y $z_2$ : está en la mediatriz de la hipotenusa.
2. Rectángulo en $z_3$ significa, por el teorema del ángulo inscrito, que $z_3$ está en la circunferencia de diámetro la hipotenusa: centro $m$ y radio $\frac{\left|h\right|}{2}$ .
3. Las dos condiciones juntas dejan exactamente dos puntos, $z_3 = m \pm \frac{ih}{2}$ , simétricos respecto de la hipotenusa.
4. Multiplicar por $i$ gira un cuarto de vuelta sin tocar el módulo, y por eso $\frac{ih}{2}$ es perpendicular a $h$ y mide justo el radio.
5. El enunciado desempata con «el de mayor componente imaginaria»: $z_3 = \frac{3+\sqrt3}{4}+\frac{1+\sqrt3}{4}i$ .
Que los catetos midan $\frac{\left|h\right|}{\sqrt2}$ y no $\left|h\right|$ es lo que distingue el rectángulo isósceles del equilátero. Y es Pitágoras: $2c^{2} = h^{2}$ .

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. $z_1 = \frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}$ y $z_2 = i$ son los extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles. Se pide el tercer vértice, el de mayor componente imaginaria.

Reparto de puntos del examen: COMP1 1 · COMP2 6 · COMP4 3. Este examen tiene tres ejercicios y 30 puntos.

Este enunciado es el ejercicio 1.15 del boletín del tema 1.

1 · Qué obligan las dos condiciones

Isósceles. Los dos catetos miden lo mismo, así que $z_3$ equidista de $z_1$ y de $z_2$ : está en la mediatriz de la hipotenusa.

Rectángulo en $z_3$ . Por el teorema del ángulo inscrito, los puntos desde los que un segmento se ve bajo $90^{\circ}$ forman la circunferencia que tiene ese segmento como diámetro. Su centro es el punto medio $m$ y su radio, $\frac{\left|h\right|}{2}$ con $h = z_2-z_1$ .

Las dos condiciones juntas dejan exactamente dos puntos: los extremos del diámetro perpendicular a la hipotenusa, simétricos respecto de ella. Por eso el enunciado añade «el de mayor componente imaginaria».

2 · Punto medio y vector de la hipotenusa

m = \frac{z_1+z_2}{2} = \frac{\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}+i}{2} = \frac{\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}}{2} = \frac{\sqrt3}{4}+\frac{i}{4}

h = z_2-z_1 = -\frac{\sqrt3}{2}+\frac{3}{2}i, \qquad \left|h\right| = \sqrt{\frac34+\frac94} = \sqrt3

3 · El giro

Un vector perpendicular a $h$ y de la mitad de su longitud es $\frac{ih}{2}$ : multiplicar por $i$ gira $90^{\circ}$ y no toca el módulo.

\frac{i\,h}{2} = \frac{i}{2}\left(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{3}{2}i\right) = -\frac{3}{4}-\frac{\sqrt3}{4}i

Y los dos vértices posibles son

z_3 = m \pm \frac{i\,h}{2}

4 · Elegir el que pide el enunciado

Con el signo $+$ :

z_3 = \frac{\sqrt3-3}{4}+\frac{1-\sqrt3}{4}i \approx -0{,}317-0{,}183\,i

Con el signo $-$ :

z_3 = \frac{3+\sqrt3}{4}+\frac{1+\sqrt3}{4}i \approx 1{,}183+0{,}683\,i

El de mayor componente imaginaria es el segundo:

\boxed{\;z_3 = \frac{3+\sqrt3}{4}+\frac{1+\sqrt3}{4}\,i\;}

5 · Representación gráfica

$z_1$ y $z_2$ están los dos en la circunferencia unidad —sus módulos valen 1—, $z_1$ en el cuarto cuadrante a $-30^{\circ}$ y $z_2$ en el semieje imaginario positivo. La hipotenusa los une, y el vértice recto queda fuera de la circunferencia unidad, a la derecha, a distancia $\left|z_3\right| \approx 1{,}37$ del origen.

6 · Comprobación

Los dos catetos tienen que medir lo mismo, y por Pitágoras cada uno vale $\frac{\left|h\right|}{\sqrt2}$ :

\left|z_3-z_1\right| = \left|z_3-z_2\right| = \frac{\sqrt3}{\sqrt2} = \sqrt{\frac32} \approx 1{,}2247

Y Pitágoras cierra la comprobación:

2\left(\sqrt{\tfrac32}\right)^{2} = 2\cdot\frac32 = 3 = \left|h\right|^{2} \quad\checkmark

Numéricamente, con $z_3 \approx 1{,}183+0{,}683i$ y $z_1 \approx 0{,}866-0{,}5i$ :

\left|z_3-z_1\right| = \left|0{,}317+1{,}183i\right| = \sqrt{0{,}100+1{,}400} \approx 1{,}2247 \quad\checkmark

y con $z_2 = i$ :

\left|z_3-z_2\right| = \left|1{,}183-0{,}317i\right| = \sqrt{1{,}400+0{,}100} \approx 1{,}2247 \quad\checkmark

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Primera evaluación, 10 de octubre de 2016 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una elipse escrita con su definición

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar la ecuación del lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ cuya suma de distancias a los números $z_1 = 1+i$ y $z_2 = 1-i$ es igual a 4. Representar gráficamente el lugar geométrico obtenido.

Hallar la ecuación del lugar geométrico y representarlo.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Suma de distancias a dos puntos, constante», ¿qué figura es?
02
El semieje menor
COMP2
¿Cuánto vale el semieje menor $b$ ? En forma exacta, o con tres decimales.
Tu respuesta al paso 2un número, o una expresión como √3 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe la ecuación reducida de la elipse en $x$ e $y$ . La figura comprobará si es la misma curva que la del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; vale la forma reducida con denominadores
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La condición «suma de distancias a dos puntos igual a una constante» es la definición de elipse, con $z_1$ y $z_2$ como focos.
2. $2a = 4 \Rightarrow a = 2$ , y $2c = \left|z_1-z_2\right| = 2 \Rightarrow c = 1$ . Como $a>c$ , la elipse existe.
3. $b^{2} = a^{2}-c^{2} = 3$ , luego $b = \sqrt3$ .
4. El centro es el punto medio de los focos, $(1,0)$ , y como los focos están alineados verticalmente, el eje mayor es el vertical.
5. La ecuación es $\dfrac{(x-1)^{2}}{3}+\dfrac{y^{2}}{4} = 1$ .
La colocación de los focos decide la orientación, y la orientación decide qué denominador es cuál. Es el error más frecuente del ejercicio.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Se pide el lugar de los $z$ cuya suma de distancias a $z_1 = 1+i$ y $z_2 = 1-i$ vale 4.

Reparto de puntos del examen: COMP1 2 · COMP2 5 · COMP4 3. Los dos puntos de COMP1 son por reconocer que es una elipse: si eso se ve, el resto es mecánico.

1 · La condición es la definición de elipse

En lenguaje de complejos, la condición es

\left|z-(1+i)\right| + \left|z-(1-i)\right| = 4

$\left|z-w\right|$ es la distancia del afijo de $z$ al punto $w$ , así que lo que se pide es que la suma de las distancias a dos puntos fijos sea constante. Esa es, literalmente, la definición de elipse, con esos dos puntos como focos.

Conviene tener separadas las tres:

lo que es constante	figura
la suma de distancias	elipse
la diferencia	hipérbola
el cociente	circunferencia de Apolonio

2 · Los parámetros

Semieje mayor. La constante es $2a$ :

2a = 4 \;\Longrightarrow\; a = 2

Semidistancia focal. Los focos son $(1,1)$ y $(1,-1)$ :

2c = \left|z_1-z_2\right| = \left|2i\right| = 2 \;\Longrightarrow\; c = 1

Comprobación de existencia, que hay que hacer y casi nadie hace:

a > c \quad\text{es decir}\quad 2 > 1 \quad\checkmark

Si la suma de distancias fuera menor que la separación entre focos, no habría ningún punto: por la desigualdad triangular, la suma de distancias a dos puntos nunca baja de la distancia entre ellos. Y si fueran iguales, el lugar sería el segmento que los une, no una elipse.

Semieje menor.

b^{2} = a^{2}-c^{2} = 4-1 = 3 \;\Longrightarrow\; b = \sqrt3

3 · Centro y orientación

El centro es el punto medio de los focos:

c_0 = \frac{z_1+z_2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \quad\text{es decir}\quad (1,\,0)

Y aquí está el paso que más se falla: los focos están uno encima del otro, alineados verticalmente sobre la recta $x=1$ . Por tanto el eje mayor es el vertical, y el $a^{2}$ va debajo de $y^{2}$ :

\boxed{\;\frac{(x-1)^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4} = 1\;}

Ponerlo al revés daría una elipse tumbada, con los focos en horizontal: otra figura.

4 · Representación gráfica

Una elipse centrada en $(1,0)$ , de pie: llega hasta $y=\pm2$ por arriba y por abajo, y hasta $x = 1\pm\sqrt3$ —es decir, aproximadamente $-0{,}73$ y $2{,}73$ — por los lados.

Los focos, $(1,1)$ y $(1,-1)$ , quedan dentro, sobre el eje mayor y a distancia 1 del centro.

5 · Comprobación

Con el vértice del eje mayor, $z = 1+2i$ :

\left|z-z_1\right| = \left|i\right| = 1, \qquad \left|z-z_2\right| = \left|3i\right| = 3

1+3 = 4 \quad\checkmark

Con el vértice del eje menor, $z = 1+\sqrt3$ :

\left|z-z_1\right| = \left|\sqrt3-i\right| = \sqrt{3+1} = 2

\left|z-z_2\right| = \left|\sqrt3+i\right| = 2

2+2 = 4 \quad\checkmark

Este segundo caso es especialmente cómodo: en el extremo del eje menor las dos distancias son iguales y valen $a$ , que es una propiedad general de la elipse y sirve de comprobación en cualquier ejercicio de este tipo.

Y uno que debe fallar, el centro $z=1$ :

\left|z-z_1\right|+\left|z-z_2\right| = 1+1 = 2 \neq 4 \quad\times

El centro no está en la elipse, como debe ser.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Primera evaluación, 10 de octubre de 2016 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · Enunciado idéntico al ejercicio 2.3 del boletín del tema 2. El examen no publica solución: la demostración es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El límite de una sucesión de términos no negativos

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar la siguiente propiedad:

\text{Si } a_n \ge 0 \;\;\forall n \in \mathbb{N} \;\text{ y }\; \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} \text{ converge hacia } L, \text{ entonces } L \ge 0

Demostrar la propiedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se demuestra que un número no puede ser negativo?
02
El épsilon
COMP2
Si se supone $L = -0{,}5$ , ¿qué $\varepsilon$ conviene tomar?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por reducción al absurdo, supongamos que $L<0$ .
2. Se toma $\varepsilon = \dfrac{\left|L\right|}{2} = -\dfrac{L}{2} > 0$ , positivo precisamente porque $L$ es negativo.
3. Por definición de límite existe $m$ tal que $\left|a_n-L\right| < \varepsilon$ para todo $n>m$ ; en particular $a_n < L+\varepsilon = \dfrac{L}{2} < 0$ .
4. Pero la hipótesis dice $a_n \ge 0$ para todo $n$ . Contradicción, luego $L \ge 0$ .
Esa es la moraleja del ejercicio, y la razón de que el enunciado esté escrito con « $\ge$ » en las dos puntas.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una demostración propuesta, pendiente de revisión.

Datos. $a_n \ge 0$ para todo $n$ y $a_n \to L$ . Demostrar que $L \ge 0$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 2 · COMP4 8. Ni un punto de cálculo.

Este enunciado es el ejercicio 2.3 del boletín del tema 2, y su reflejo —con $a_n \le 0$ — cayó en 2017-2018 y en 2024-2025. Es de los que más se repiten.

1 · Estrategia

Se trata de descartar que $L$ sea negativo. Como la conclusión es una desigualdad no estricta, el camino natural es la reducción al absurdo.

La definición, escrita, porque forma parte de lo que se puntúa:

\lim a_n = L \iff \forall\varepsilon>0\;\exists\, m \in \mathbb{N} :\; n>m \Rightarrow \left|a_n-L\right| < \varepsilon

2 · La demostración

Supongamos $L<0$ . Entonces $-L>0$ y se puede tomar

\varepsilon = \frac{-L}{2} = \frac{\left|L\right|}{2} > 0

—positivo precisamente porque $L$ es negativo; conviene decirlo—.

Por la definición de límite existe $m \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n>m$

\left|a_n-L\right| < \varepsilon \;\Longrightarrow\; a_n < L+\varepsilon = L-\frac{L}{2} = \frac{L}{2} < 0

Es decir: todos los términos a partir de $m$ serían estrictamente negativos. Pero la hipótesis dice que $a_n \ge 0$ para todo $n$ . Contradicción.

Por tanto la suposición era falsa y

L \ge 0 \qquad \blacksquare

3 · Por qué $\ge$ y no $>$

La conclusión no se puede reforzar: $a_n = \frac1n$ tiene todos sus términos estrictamente positivos y su límite es exactamente 0.

La regla general: al pasar al límite, las desigualdades estrictas se debilitan. De $a_n>0$ solo se deduce $L \ge 0$ .

4 · Sobre la elección de $\varepsilon$

Se ha tomado la mitad de la distancia de $L$ a 0. Con $\varepsilon = \left|L\right|$ el intervalo llegaría justo hasta 0 y la desigualdad $a_n<0$ dejaría de ser estricta, con lo que el choque no sería limpio: podría darse $a_n = 0$ , que la hipótesis permite.

Ese «tomar la mitad» aparece en cinco de los once exámenes de esta colección y en cuatro ejercicios seguidos del boletín. Conviene tenerlo como reflejo.

5 · Comprobación

No sustituye a la demostración, pero detecta signos cambiados. Se construye una sucesión que tienda a un límite negativo y se cuenta cuántos términos consigue mantener no negativos:

a_n = -0{,}5+\frac{1}{n} \;\longrightarrow\; -0{,}5

a_1 = 0{,}5 \ge 0, \qquad a_2 = 0 \ge 0, \qquad a_3 = -0{,}167 < 0, \qquad a_4 = -0{,}25 < 0,\;\dots

Solo dos. Y con el $\varepsilon = 0{,}25$ de la demostración: desde $\frac1n < 0{,}25$ , o sea $n \ge 5$ , todos son menores que $-0{,}25$ .

Por muy despacio que se construya la sucesión, los términos no negativos son siempre finitos, que es justo lo que la hipótesis —«para todo $n$ »— prohíbe.

Resultado

\boxed{\;a_n \ge 0 \;\;\forall n \;\;\text{y}\;\; a_n \to L \;\;\Longrightarrow\;\; L \ge 0\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Primera evaluación · 2016-2017

Reconocer el camino

La hipotenusa

El tercer vértice

Justificar el argumento

1 · Qué obligan las dos condiciones

2 · Punto medio y vector de la hipotenusa

3 · El giro

4 · Elegir el que pide el enunciado

5 · Representación gráfica

6 · Comprobación

Reconocer el camino

El semieje menor

Verificar la región

Justificar el argumento

1 · La condición es la definición de elipse

2 · Los parámetros

3 · Centro y orientación

4 · Representación gráfica

5 · Comprobación

Reconocer el camino

El épsilon

Justificar el argumento

1 · Estrategia

2 · La demostración

3 · Por qué ≥\ge≥ y no >>>

4 · Sobre la elección de ε\varepsilonε

5 · Comprobación

Resultado

3 · Por qué $\ge$ y no $>$

4 · Sobre la elección de $\varepsilon$