tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · primera evaluación

Primera evaluación · 2019-2020

14 de octubre de 2019 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una razón que hay que calcular antes de usarlaNúmeros complejos1 + 6 + 3 = 10 pts
Sean $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ donde $z_1 = 3+i$ , $z_2 = -3+i$ y $z_3$ es la raíz imaginaria pura de $\sqrt[3]{8i}$ . Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición siguiente:
$\left|\frac{z-z_1}{z-z_2}\right| = \left|4i+z_3\right|$
Calcular el lugar geométrico y representarlo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El seno de una suma, para argumentos complejosNúmeros complejos2 + 0 + 8 = 10 pts
Demostrar que
$\mathrm{sen}(z_1+z_2) = \mathrm{sen}\,z_1\cos z_2 + \cos z_1\,\mathrm{sen}\,z_2 \qquad \forall z_1, z_2 \in \mathbb{C}$
Demostrar la fórmula de adición para argumentos complejos.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Por qué el límite de una sucesión es únicolos 10 puntos son demostración — cero cálculoSucesiones y series numéricas0 + 0 + 10 = 10 pts
Demostrar que si el límite de una sucesión $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ existe, entonces es único.
Demostrar la unicidad del límite.
- COMP 410 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Tres tramos, un pico enorme y una serie que no convergeSucesiones y series numéricas2 + 1 + 7 = 10 pts
a) Definir formalmente los siguientes conceptos: sucesión creciente, sucesión decreciente, sucesión acotada, sucesión convergente.

b) Estudiar dichos conceptos para la sucesión $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ definida de la siguiente forma:
$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} n^{3} & n < 1000 \\[6pt] 1 & 1000 \le n < 2000 \\[6pt] 1-\dfrac{1}{n} & n \ge 2000 \end{cases}$
c) Sea $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ la sucesión definida en el apartado anterior. ¿Es convergente la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ?
Definir, estudiar la sucesión y decidir sobre la serie.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 21 punto por calcular
- COMP 47 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Primera evaluación, 14 de octubre de 2019 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una razón que hay que calcular antes de usarla

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ donde $z_1 = 3+i$ , $z_2 = -3+i$ y $z_3$ es la raíz imaginaria pura de $\sqrt[3]{8i}$ . Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición siguiente:

\left|\frac{z-z_1}{z-z_2}\right| = \left|4i+z_3\right|

Calcular el lugar geométrico y representarlo.

01
Reconocer el camino
COMP1
$\sqrt[3]{8i}$ tiene tres valores. ¿Cómo se elige el que pide el enunciado?
02
La razón del cociente
COMP2
¿Cuánto vale $\left|4i+z_3\right|$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe la región —aquí, la curva— en $x$ e $y$ . Se comparan los puntos, así que vale cualquier forma equivalente.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadapor ejemplo (x+5)^2 + (y-1)^2 <= 16
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las tres raíces cúbicas de $8i$ tienen módulo 2 y argumentos $30^{\circ}$ , $150^{\circ}$ y $270^{\circ}$ ; la imaginaria pura es $z_3 = -2i$ .
2. Por tanto la razón del enunciado vale $\left|4i-2i\right| = 2$ , y la condición es $\left|z-z_1\right| = 2\left|z-z_2\right|$ .
3. Un cociente de distancias constante y distinto de 1 define una circunferencia de Apolonio.
4. Elevando al cuadrado y completando cuadrados sale $(x+5)^{2}+(y-1)^{2} = 16$ : centro $(-5,1)$ y radio 4.
5. Los dos puntos de referencia, $3+i$ y $-3+i$ , quedan fuera de la circunferencia y alineados con su centro, sobre la recta $y=1$ .
El punto más cercano a $z_2 = -3+i$ y el más lejano de él están los dos en la circunferencia, y esa es la seña de Apolonio: encierra al punto del denominador.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. $z_1 = 3+i$ , $z_2 = -3+i$ , $z_3$ la raíz imaginaria pura de $\sqrt[3]{8i}$ . Se pide el lugar de los $z$ con $\left|\frac{z-z_1}{z-z_2}\right| = \left|4i+z_3\right|$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 1 · COMP2 6 · COMP4 3.

1 · La razón no viene dada: hay que calcularla

Lo primero del ejercicio no es el lugar geométrico, es el número de la derecha. Y para saberlo hace falta $z_3$ .

$8i$ en polar es $8\,e^{i\,90^{\circ}}$ . Sus tres raíces cúbicas tienen

\left|z\right| = \sqrt[3]{8} = 2, \qquad \theta_k = \frac{90^{\circ}+360^{\circ}k}{3} = 30^{\circ}+120^{\circ}k

es decir $30^{\circ}$ , $150^{\circ}$ y $270^{\circ}$ :

2e^{i30^{\circ}} = \sqrt3+i, \qquad 2e^{i150^{\circ}} = -\sqrt3+i, \qquad 2e^{i270^{\circ}} = -2i

Solo la tercera es imaginaria pura, que es la que el enunciado selecciona:

z_3 = -2i

Ese adjetivo del enunciado no es adorno: sin él la raíz cúbica sería multivaluada y habría tres lugares geométricos distintos.

La razón es entonces

\left|4i+z_3\right| = \left|4i-2i\right| = \left|2i\right| = 2

2 · Reconocer la figura

La condición queda

\frac{\left|z-z_1\right|}{\left|z-z_2\right|} = 2

un cociente de distancias constante: circunferencia de Apolonio. Y como la constante es distinta de 1, es una circunferencia de verdad y no una recta.

3 · La ecuación

Con $z = x+iy$ , y elevando al cuadrado —los dos miembros son no negativos—:

(x-3)^{2}+(y-1)^{2} = 4\left[(x+3)^{2}+(y-1)^{2}\right]

Los dos puntos tienen la misma parte imaginaria, así que conviene llamar $u = y-1$ y no arrastrarlo:

x^{2}-6x+9+u^{2} = 4x^{2}+24x+36+4u^{2}

0 = 3x^{2}+30x+27+3u^{2} \;\Longleftrightarrow\; 0 = x^{2}+10x+9+u^{2}

(x+5)^{2}-25+9+u^{2} = 0 \;\Longleftrightarrow\; (x+5)^{2}+(y-1)^{2} = 16

Circunferencia de centro $(-5,1)$ y radio 4.

4 · Representación gráfica

Una circunferencia que pasa por $(-9,1)$ , $(-1,1)$ , $(-5,5)$ y $(-5,-3)$ .

Conviene marcar los dos puntos de referencia: $z_1 = 3+i$ y $z_2 = -3+i$ . Los dos están sobre la recta $y=1$ , que es también el diámetro horizontal de la circunferencia.

Y hay algo que merece señalarse: $z_2$ queda dentro de la circunferencia —su distancia al centro es 2, menor que el radio 4— y $z_1$ queda fuera, a distancia 8. Es lo que tiene que pasar: como el cociente es mayor que 1, los puntos del lugar están más lejos de $z_1$ que de $z_2$ , así que la circunferencia rodea a $z_2$ .

5 · Comprobación

Con el punto $z = -1+i$ , que está en la circunferencia porque $(-1+5)^{2}+0 = 16$ ✔:

\left|z-z_1\right| = \left|-1+i-3-i\right| = \left|-4\right| = 4

\left|z-z_2\right| = \left|-1+i+3-i\right| = \left|2\right| = 2

\frac{4}{2} = 2 \quad\checkmark

Con el diametralmente opuesto, $z = -9+i$ :

\left|-9+i-3-i\right| = 12, \qquad \left|-9+i+3-i\right| = 6, \qquad \frac{12}{6} = 2 \quad\checkmark

Y una comprobación de la raíz, que es donde más fácil se falla: $(-2i)^{3} = -8i^{3} = -8(-i) = 8i$ ✔

Resultado

\boxed{\;(x+5)^{2}+(y-1)^{2} = 16\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Primera evaluación, 14 de octubre de 2019 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · Enunciado idéntico al ejercicio 1.28 del boletín del tema 1. El examen no publica solución: la demostración es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El seno de una suma, para argumentos complejos

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar que

\mathrm{sen}(z_1+z_2) = \mathrm{sen}\,z_1\cos z_2 + \cos z_1\,\mathrm{sen}\,z_2 \qquad \forall z_1, z_2 \in \mathbb{C}

Demostrar la fórmula de adición para argumentos complejos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Desde dónde se demuestra una identidad trigonométrica en $\mathbb{C}$ ?
02
Un valor que comprueba la fórmula
COMP2
Con $z_1 = z_2 = i$ , ¿cuánto vale la parte imaginaria de $\mathrm{sen}(2i)$ ? En forma exacta, o con tres decimales.
Tu respuesta al paso 2un número en forma exacta, o con tres decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se parte de las definiciones $\mathrm{sen}\,w = \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}$ y $\cos w = \frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}$ , válidas para todo $w \in \mathbb{C}$ .
2. Desarrollando el primer sumando del segundo miembro: $\mathrm{sen}\,z_1\cos z_2 = \frac{e^{i(z_1+z_2)}+e^{i(z_1-z_2)}-e^{-i(z_1-z_2)}-e^{-i(z_1+z_2)}}{4i}$ .
3. Y el segundo: $\cos z_1\,\mathrm{sen}\,z_2 = \frac{e^{i(z_1+z_2)}-e^{i(z_1-z_2)}+e^{-i(z_1-z_2)}-e^{-i(z_1+z_2)}}{4i}$ .
4. Al sumarlos, los términos en $e^{\pm i(z_1-z_2)}$ se cancelan y los otros dos se duplican: $\frac{2e^{i(z_1+z_2)}-2e^{-i(z_1+z_2)}}{4i}$ .
5. Esa expresión es, por definición, $\mathrm{sen}(z_1+z_2)$ . Y no se ha supuesto nada sobre $z_1$ ni $z_2$ .
Toda la demostración es cancelar cuatro exponenciales. Lo que se evalúa es haber empezado por la definición correcta.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una demostración propuesta, pendiente de revisión.

Enunciado. Demostrar que $\mathrm{sen}(z_1+z_2) = \mathrm{sen}\,z_1\cos z_2 + \cos z_1\,\mathrm{sen}\,z_2$ para todos $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 2 · COMP4 8. No hay cálculo.

Este enunciado es literalmente el ejercicio 1.28 del boletín del tema 1, el mismo que allí figura como «propuesta pendiente de revisión» porque el boletín no publica su solución. Cayó en examen tal cual.

1 · Por qué hay algo que demostrar

La fórmula se conoce para ángulos reales, pero el seno y el coseno complejos son funciones nuevas, definidas por

\mathrm{sen}\,w = \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}, \qquad \cos w = \frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}, \qquad w \in \mathbb{C}

Que una propiedad real se conserve no es automático. El seno complejo, por ejemplo, no está acotado: $\mathrm{sen}(2i) = i\,\mathrm{senh}\,2 \approx 3{,}63\,i$ . Si algunas propiedades se caen, ninguna se hereda gratis.

Las dos definiciones valen para todo $w$ complejo, porque la exponencial compleja está definida en todo el plano. Ahí está la hipótesis del « $\forall z_1,z_2$ ».

2 · Desarrollar el segundo miembro

Primer sumando:

\mathrm{sen}\,z_1\cos z_2 = \frac{e^{iz_1}-e^{-iz_1}}{2i}\cdot\frac{e^{iz_2}+e^{-iz_2}}{2}

= \frac{e^{i(z_1+z_2)}+e^{i(z_1-z_2)}-e^{-i(z_1-z_2)}-e^{-i(z_1+z_2)}}{4i}

Segundo sumando:

\cos z_1\,\mathrm{sen}\,z_2 = \frac{e^{iz_1}+e^{-iz_1}}{2}\cdot\frac{e^{iz_2}-e^{-iz_2}}{2i}

= \frac{e^{i(z_1+z_2)}-e^{i(z_1-z_2)}+e^{-i(z_1-z_2)}-e^{-i(z_1+z_2)}}{4i}

3 · Sumar

Los términos en $e^{i(z_1-z_2)}$ aparecen con signos opuestos y se cancelan; lo mismo los de $e^{-i(z_1-z_2)}$ . Los otros dos se duplican:

\mathrm{sen}\,z_1\cos z_2 + \cos z_1\,\mathrm{sen}\,z_2 = \frac{2e^{i(z_1+z_2)}-2e^{-i(z_1+z_2)}}{4i} = \frac{e^{i(z_1+z_2)}-e^{-i(z_1+z_2)}}{2i}

4 · Conclusión

Esa última expresión es, por definición, $\mathrm{sen}(z_1+z_2)$ :

\mathrm{sen}\,z_1\cos z_2 + \cos z_1\,\mathrm{sen}\,z_2 = \mathrm{sen}(z_1+z_2)

No se ha usado ninguna hipótesis sobre $z_1$ ni $z_2$ más allá de ser complejos, así que la igualdad vale para todos. $\blacksquare$

5 · Comprobación numérica

No forma parte de la demostración, pero caza errores de signo. Con $z_1 = z_2 = i$ :

\mathrm{sen}(2i) = i\,\mathrm{senh}\,2 \approx 3{,}6269\,i

2\,\mathrm{sen}\,i\cos i = 2\left(i\,\mathrm{senh}\,1\right)\cosh 1 \approx 2(1{,}1752\,i)(1{,}5431) \approx 3{,}6269\,i

Coinciden. Y se ve de paso lo que en $\mathbb{R}$ sería imposible: un seno de módulo mayor que 3.

6 · Qué más sale de aquí

Con la misma técnica y en cuatro líneas salen las demás identidades de adición, y de ellas las del ángulo doble. Los ejercicios 1.27 del boletín y 2 del examen 2022-2023 — $\mathrm{sen}^{2}z$ y $\cos^{2}z$ — son casos particulares de esta familia. Merece la pena tener el método, no las fórmulas.

Resultado

\boxed{\;\mathrm{sen}(z_1+z_2) = \mathrm{sen}\,z_1\cos z_2 + \cos z_1\,\mathrm{sen}\,z_2 \quad \forall\, z_1,z_2 \in \mathbb{C}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Primera evaluación, 14 de octubre de 2019 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · Enunciado idéntico al ejercicio 2.6 del boletín del tema 2. El examen no publica solución: la demostración es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Por qué el límite de una sucesión es único

COMP 410 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar que si el límite de una sucesión $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ existe, entonces es único.

Demostrar la unicidad del límite.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el esquema de toda demostración de unicidad?
02
El épsilon
COMP2
Si se suponen dos límites $L_1 = 2$ y $L_2 = 3$ , ¿qué $\varepsilon$ conviene tomar?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Supongamos que $\{x_n\}$ tiene dos límites $L_1 \neq L_2$ , y sea $\varepsilon = \dfrac{\left|L_1-L_2\right|}{2} > 0$ .
2. Por ser $L_1$ límite existe $m_1$ con $\left|x_n-L_1\right| < \varepsilon$ para $n>m_1$ ; por ser $L_2$ límite existe $m_2$ con $\left|x_n-L_2\right| < \varepsilon$ para $n>m_2$ .
3. Para $n>\max(m_1,m_2)$ valen las dos, y por la desigualdad triangular $\left|L_1-L_2\right| \le \left|L_1-x_n\right|+\left|x_n-L_2\right| < \varepsilon+\varepsilon = \left|L_1-L_2\right|$ .
4. Es decir, $\left|L_1-L_2\right| < \left|L_1-L_2\right|$ : imposible. Luego $L_1 = L_2$ .
La desigualdad triangular es la que cierra: mide la distancia entre los dos candidatos pasando por un término que está cerca de los dos.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una demostración propuesta, pendiente de revisión.

Enunciado. Si el límite de $\{x_n\}$ existe, es único.

Reparto de puntos del examen: COMP4 10.

Este enunciado es literalmente el ejercicio 2.6 del boletín del tema 2. Junto con el ejercicio 2 de este mismo examen, que es el 1.28, y el 4, que reproduce el 2.15, tres de los cuatro ejercicios de esta convocatoria están en los boletines.

1 · Estrategia

El esquema de toda demostración de unicidad: suponer que hay dos objetos distintos con la propiedad y llegar a una contradicción.

2 · La demostración

Supongamos que $L_1$ y $L_2$ son límites de $\{x_n\}$ con $L_1 \neq L_2$ . Entonces $\left|L_1-L_2\right| > 0$ y se puede tomar

\varepsilon = \frac{\left|L_1-L_2\right|}{2} > 0

Por ser $L_1$ límite, existe $m_1$ tal que $\left|x_n-L_1\right| < \varepsilon$ para todo $n>m_1$ . Por ser $L_2$ límite, existe $m_2$ tal que $\left|x_n-L_2\right| < \varepsilon$ para todo $n>m_2$ .

Sea $n > \max(m_1,m_2)$ : las dos desigualdades valen a la vez. Por la desigualdad triangular,

\left|L_1-L_2\right| = \left|L_1-x_n+x_n-L_2\right| \le \left|L_1-x_n\right|+\left|x_n-L_2\right| < \varepsilon+\varepsilon = \left|L_1-L_2\right|

Es decir, $\left|L_1-L_2\right| < \left|L_1-L_2\right|$ , que es imposible.

La suposición era falsa, luego $L_1 = L_2$ : el límite es único. $\blacksquare$

3 · La idea geométrica

Con $\varepsilon$ igual a la mitad de la distancia, los dos entornos son disjuntos. Un término de la sucesión con índice grande tendría que estar dentro de los dos a la vez, y no hay ningún número que lo esté. La desigualdad triangular es la forma algebraica de decir exactamente eso.

4 · Comprobación

Con $L_1 = 2$ y $L_2 = 3$ , y $\varepsilon = 0{,}5$ , los entornos son

(1{,}5,\;2{,}5) \qquad\text{y}\qquad (2{,}5,\;3{,}5)

disjuntos: se tocan en $2{,}5$ , que no pertenece a ninguno.

Y qué pasaría con un épsilon mayor: con $\varepsilon = 1$ los entornos serían $(1,3)$ y $(2,4)$ , que sí se solapan entre 2 y 3. Cualquier término ahí cumpliría las dos condiciones y no habría contradicción. Por eso el épsilon tiene que ser la mitad, y no cualquier cosa.

Resultado

\boxed{\;\text{Si } \lim x_n \text{ existe, es único}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Primera evaluación, 14 de octubre de 2019 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · La sucesión es la del ejercicio 2.15 del boletín del tema 2. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres tramos, un pico enorme y una serie que no converge

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 21 punto por calcular
COMP 47 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Definir formalmente los siguientes conceptos: sucesión creciente, sucesión decreciente, sucesión acotada, sucesión convergente.

b) Estudiar dichos conceptos para la sucesión $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ definida de la siguiente forma:

\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} n^{3} & n < 1000 \\[6pt] 1 & 1000 \le n < 2000 \\[6pt] 1-\dfrac{1}{n} & n \ge 2000 \end{cases}

c) Sea $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ la sucesión definida en el apartado anterior. ¿Es convergente la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ?

Definir, estudiar la sucesión y decidir sobre la serie.

01
Reconocer el camino
COMP1
El primer tramo llega hasta $999^{3}$ , casi mil millones. ¿Impide eso que la sucesión converja?

El ínfimo

COMP2

¿Cuál es el menor valor que toma la sucesión? En forma exacta, o con cuatro decimales.

Tu respuesta al paso 2un número en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Desarrollo

Los tres tramos, por separado:

tramo	valores
$n<1000$	$1,\ 8,\ 27,\ \dots,\ 999^{3}$
$1000\le n<2000$	exactamente $1$
$n\ge2000$	de $0{,}9995$ subiendo hacia 1

El tercer tramo es creciente —al aumentar $n$ se resta menos— y empieza en

a_{2000} = 1-\frac{1}{2000} = 0{,}9995

que es el menor valor de toda la sucesión. Y se alcanza: es mínimo.

El máximo, $999^{3} = 997\,002\,999$ , y el mínimo, $0{,}9995$ , están separados por nueve órdenes de magnitud. Y aun así la sucesión converge.

03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. No es creciente: en el empalme se desploma, de $a_{999} = 999^{3}$ a $a_{1000} = 1$ .
2. No es decreciente: el primer tramo sube, $a_1 = 1 < 8 = a_2$ . Hacen falta las dos comprobaciones.
3. Es acotada: $0{,}9995 \le a_n \le 999^{3}$ , y las dos cotas se alcanzan.
4. Converge a 1: solo cuenta la cola, y $\lim\left(1-\frac1n\right) = 1$ . Los dos primeros tramos son 1999 términos, un número finito.
5. La serie diverge: $a_n \to 1 \neq 0$ , así que falla la condición necesaria del término general.
Los dos errores gemelos: creer que los términos grandes impiden converger, y creer que la sucesión convergente arrastra a la serie. Este ejercicio los toca los dos.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. $a_n = n^{3}$ para $n<1000$ ; $a_n = 1$ para $1000\le n<2000$ ; $a_n = 1-\frac1n$ para $n\ge2000$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 2 · COMP2 1 · COMP4 7.

La sucesión es la del ejercicio 2.15 del boletín del tema 2, que preguntaba solo por la serie. Aquí se pide además el estudio completo.

1 · Apartado (a): las definiciones

\{a_n\} \text{ creciente} \iff a_{n+1} > a_n \quad \forall n \in \mathbb{N}

\{a_n\} \text{ decreciente} \iff a_{n+1} < a_n \quad \forall n \in \mathbb{N}

\{a_n\} \text{ acotada} \iff \exists\, p,q \in \mathbb{R} : p \le a_n \le q \quad \forall n \in \mathbb{N}

\lim a_n = L \iff \forall\varepsilon>0\;\exists\, m \in \mathbb{N} :\; n>m \Rightarrow \left|a_n-L\right| < \varepsilon

El contraste que este ejercicio explota: las tres primeras hablan de todos los términos; la cuarta, solo de los que hay a partir de cierto índice.

2 · Apartado (b): los tres tramos

1,\; 8,\; 27,\; \dots,\; \underbrace{997\,002\,999}_{a_{999}},\; \underbrace{1,\; 1,\; \dots,\; 1}_{\text{mil términos}},\; \underbrace{0{,}9995,\; 0{,}99950,\; \dots}_{\to 1}

No es creciente. Basta el empalme:

a_{999} = 999^{3} = 997\,002\,999 \;>\; 1 = a_{1000}

No es decreciente. Basta el principio: $a_1 = 1 < 8 = a_2$ . Las dos comprobaciones son necesarias; «no creciente» no descarta «decreciente».

Es acotada. El tramo intermedio es constante, el primero es finito y el tercero está entre $0{,}9995$ y 1:

0{,}9995 \le a_n \le 997\,002\,999 \qquad \forall n

Las dos cotas se alcanzan —en $n=2000$ y en $n=999$ —, así que son mínimo y máximo.

Conviene decir por qué el primer tramo no rompe la acotación: es un número finito de términos, así que tiene máximo. Una sucesión no está acotada cuando crece sin límite, no cuando toma valores grandes.

Converge a 1. Solo cuenta la cola. Los dos primeros tramos suman 1999 términos, un número finito, y no intervienen:

\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right) = 1

3 · Apartado (c): la serie

La condición necesaria dice que si $\sum a_n$ converge entonces $a_n \to 0$ . Aquí $a_n \to 1 \neq 0$ :

\boxed{\;\text{La serie } \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ NO converge}\;}

De hecho diverge a $+\infty$ : a partir de $n=1000$ se suman infinitos términos, todos mayores o iguales que $0{,}9995$ .

Los términos gigantes del principio no son el motivo. Es un error tentador: sumar mil millones parece que ya rompe la serie. Pero una suma finita, por grande que sea, sigue siendo finita. Si la cola fuera $\frac{1}{2^{n}}$ , la serie convergería a pesar de esos mil millones, simplemente a un número muy grande. Lo que decide es la cola.

Y la advertencia gemela: que el término general tienda a cero no basta. La serie armónica lo cumple y suma infinito. La condición sirve para descartar, nunca para confirmar.

4 · Lo que enseña la sucesión

Este ejercicio es un contraejemplo vivo de tres confusiones:

Una sucesión puede converger sin ser monótona.
Puede alcanzar valores enormes —casi $10^{9}$ — y converger a 1. El tamaño de los términos no dice nada del límite.
Puede converger y que su serie diverja. Son preguntas distintas: la sucesión pregunta a dónde van los términos, la serie pregunta cuánto suman.

5 · Comprobación

Del límite, con $\varepsilon = 10^{-4}$ :

\left|1-\frac1n-1\right| = \frac1n < 10^{-4} \;\Longleftrightarrow\; n > 10\,000

Sirve $m = 10\,000$ , que es mayor que 2000: la condición cae de lleno en el tercer tramo, como tenía que ser ✔

Del mínimo, comprobando que el tercer tramo empieza justo por debajo del segundo: $a_{1999} = 1$ y $a_{2000} = 0{,}9995 < 1$ ✔. El salto es minúsculo, pero existe, y es lo que hace que el ínfimo no sea 1.

De la divergencia, con una cota por debajo: para $N>2000$ ,

\sum_{n=1}^{N} a_n > \sum_{n=1000}^{N} 0{,}9995 = 0{,}9995\,(N-999) \;\xrightarrow[N\to\infty]{}\; \infty

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(b) } & \text{ni creciente ni decreciente; acotada } 0{,}9995 \le a_n \le 999^{3};\ \text{convergente con } L=1 \\[4pt] \text{(c) } & \text{la serie no converge, porque } a_n \to 1 \neq 0 \end{aligned}}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Primera evaluación · 2019-2020

Reconocer el camino

La razón del cociente

Verificar la región

Justificar el argumento

1 · La razón no viene dada: hay que calcularla

2 · Reconocer la figura

3 · La ecuación

4 · Representación gráfica

5 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

Un valor que comprueba la fórmula

Justificar el argumento

1 · Por qué hay algo que demostrar

2 · Desarrollar el segundo miembro

3 · Sumar

4 · Conclusión

5 · Comprobación numérica

6 · Qué más sale de aquí

Resultado

Reconocer el camino

El épsilon

Justificar el argumento

1 · Estrategia

2 · La demostración

3 · La idea geométrica

4 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El ínfimo

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): las definiciones

2 · Apartado (b): los tres tramos

3 · Apartado (c): la serie

4 · Lo que enseña la sucesión

5 · Comprobación

Resultado