tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación · 2015-2016

4 de abril de 2016 · 2 ejercicios · 20 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una potencia negativa en polar, y una identidad que vale en todo el planoNúmeros complejos1 + 5 + 4 = 10 pts
a) Dado $z = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{8} + i\,\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{8}\right)$ , hallar $z^{-4}$ .

b) Demostrar la siguiente igualdad: $\operatorname{sen}^{2} z = \dfrac{1 - \cos 2z}{2}$ para todo $z \in \mathbb{C}$ .
La potencia negativa en forma polar y la demostración de la identidad.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos definiciones, y un ejemplo que las distingaSucesiones y series numéricas0 + 5 + 5 = 10 pts
Definir los conceptos siguientes y dar un ejemplo de los mismos.

a) Sucesión recurrente.

b) Serie geométrica.
Las dos definiciones, cada una con su ejemplo.
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 4 de abril de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una potencia negativa en polar, y una identidad que vale en todo el plano

COMP 11 punto por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Dado $z = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{8} + i\,\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{8}\right)$ , hallar $z^{-4}$ .

b) Demostrar la siguiente igualdad: $\operatorname{sen}^{2} z = \dfrac{1 - \cos 2z}{2}$ para todo $z \in \mathbb{C}$ .

La potencia negativa en forma polar y la demostración de la identidad.

01
Reconocer el camino
COMP1
El número viene ya en forma polar y el exponente es negativo. ¿Qué hay que hacer?
02
El módulo de la potencia
COMP2
¿Cuánto vale $\left|z^{-4}\right|$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con seis decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El argumento de la potencia
COMP2
¿Cuánto vale $\arg\left(z^{-4}\right)$ , en radianes y tomado en $(-\pi, \pi]$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración de $\operatorname{sen}^{2} z = \frac{1-\cos 2z}{2}$ . Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $\mathbb{C}$ las funciones se definen por la exponencial: $\operatorname{sen} z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ y $\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ .
2. Elevando al cuadrado, $\operatorname{sen}^{2} z = \frac{\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)^{2}}{-4} = \frac{e^{2iz} - 2 + e^{-2iz}}{-4}$ , porque $(2i)^{2} = -4$ .
3. Por otro lado, $\cos 2z = \frac{e^{2iz}+e^{-2iz}}{2}$ , luego $1 - \cos 2z = \frac{2 - e^{2iz} - e^{-2iz}}{2}$ .
4. Dividiendo entre 2: $\frac{1-\cos 2z}{2} = \frac{2 - e^{2iz} - e^{-2iz}}{4}$ , que es exactamente lo de arriba con el signo del denominador cambiado en el numerador.
5. Las dos expresiones coinciden para todo $z\in\mathbb{C}$ , y la cadena solo ha usado propiedades de la exponencial compleja, que valen en todo el plano.

Resolución completa

a) La potencia

El número ya viene en polar, $z = 3_{\pi/8}$ , así que De Moivre se aplica directamente. Y vale con exponente entero cualquiera, negativo incluido:

z^{-4} = 3^{-4}\left(\cos\left(-\tfrac{4\pi}{8}\right) + i\,\operatorname{sen}\left(-\tfrac{4\pi}{8}\right)\right) = \frac{1}{81}\left(\cos\left(-\tfrac{\pi}{2}\right) + i\,\operatorname{sen}\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)\right)

\boxed{z^{-4} = -\dfrac{i}{81}}

Dos comprobaciones que valen puntos de COMP4 y cuestan una línea:

El módulo baja. $|z| = 3 > 1$ , así que elevar a un exponente negativo tiene que acercar el número al origen. $1/81$ lo hace.
El argumento gira al revés. Multiplicar por $-4$ recorre cuatro veces el ángulo en sentido horario: $4 \times \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$ hacia abajo. El resultado cae en el semieje imaginario negativo, y por eso sale imaginario puro.

b) La identidad

No hay que aprenderse nada nuevo: en $\mathbb{C}$ el seno y el coseno se definen con la exponencial, y toda identidad sale de ahí.

\operatorname{sen} z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \qquad \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

Elevando el seno al cuadrado, y usando que $(2i)^{2} = -4$ :

\operatorname{sen}^{2} z = \frac{\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)^{2}}{-4} = \frac{e^{2iz} - 2 + e^{-2iz}}{-4} = \frac{2 - e^{2iz} - e^{-2iz}}{4}

Y por el otro lado:

\frac{1-\cos 2z}{2} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{e^{2iz}+e^{-2iz}}{2}\right) = \frac{2 - e^{2iz} - e^{-2iz}}{4}

Las dos expresiones son la misma, y la cadena solo usa $e^{a}e^{b} = e^{a+b}$ , que vale en todo $\mathbb{C}$ . Por tanto la igualdad se cumple para todo $z$ complejo.

Lo que aquí evalúa la COMP4

Cuatro de los diez puntos. Y no se los lleva la cuenta, que es corta: se los lleva decir por qué la demostración vale en todo el plano. Una respuesta que compruebe la identidad con números reales y dé el salto a $\mathbb{C}$ sin justificarlo está incompleta, aunque la cuenta esté bien.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 4 de abril de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos definiciones, y un ejemplo que las distinga

COMP 25 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Definir los conceptos siguientes y dar un ejemplo de los mismos.

a) Sucesión recurrente.

b) Serie geométrica.

Las dos definiciones, cada una con su ejemplo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hace que una sucesión sea recurrente?
02
El ejemplo de serie geométrica, sumado
COMP2
Para la serie geométrica $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}$ , ¿cuánto vale la suma?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las dos definiciones con sus ejemplos. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sucesión recurrente: la que se define dando uno o varios términos iniciales y una regla que expresa cada término siguiente en función de los anteriores.
2. Ejemplo: $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 1$ , $a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n}$ — la sucesión de Fibonacci. Los dos primeros valores son parte de la definición, no un añadido.
3. Serie geométrica: la serie $\sum_{n\ge 0} a\,r^{n}$ cuyos términos se obtienen multiplicando el anterior siempre por la misma razón $r$ .
4. Converge si y solo si $|r| < 1$ , y entonces su suma vale $\frac{a}{1-r}$ , con $a$ el primer término.
5. Ejemplo: $\sum_{n\ge 0}\left(\frac23\right)^{n} = 3$ , con $a = 1$ y $r = \frac23$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación · 2015-2016

Reconocer el camino

El módulo de la potencia

El argumento de la potencia

Justificar el argumento

a) La potencia

b) La identidad

Lo que aquí evalúa la COMP4

Reconocer el camino

El ejemplo de serie geométrica, sumado

Justificar el argumento

a) Sucesión recurrente

b) Serie geométrica

El error que cuesta la mitad del ejercicio