tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · primera evaluación

Primera evaluación · 2024-2025

14 de octubre de 2024 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Bajo una parábola y fuera de una circunferenciaNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las condiciones siguientes:
$\begin{cases} \left|z\right| < 1 - \operatorname{Im}(z) \\[4pt] z\cdot\overline{z} \ge -i\left(\overline{z}-z\right) \end{cases}$
Calcular la región y representarla.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una cúbica con el centro movidoNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea $z \in \mathbb{C}$ . Resolver y representar gráficamente las soluciones de la ecuación
$\left(z-2-i\right)^{3} = -8$
Resolver y representar las soluciones.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El límite de una sucesión de términos no positivoslos 10 puntos son demostración — cero cálculoSucesiones y series numéricas0 + 0 + 10 = 10 pts
Sea $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una sucesión tal que $a_n \le 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$ . Demostrar que si $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge hacia $L$ entonces $L \le 0$ .
Demostrar la propiedad.
- COMP 410 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una serie que se decide leyendo la gráficaSucesiones y series numéricas2 + 6 + 2 = 10 pts
Considerar la función $g(x)$ cuya gráfica muestra la siguiente figura y la serie
$S = \sum_{k=1}^{\infty} k\left(g(x)\right)^{k}$

Figura redibujada del enunciado original. En verde, los tramos donde la curva va estrictamente entre las dos rectas de trazos: son los que resuelven el apartado (a).

Se pide:

a) Determinar los valores de $x$ para los cuales la serie $S$ es convergente.

b) Calcular $S$ para los valores de $x$ obtenidos en el apartado anterior.
Determinar dónde converge y calcular su suma.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Primera evaluación, 14 de octubre de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Bajo una parábola y fuera de una circunferencia

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las condiciones siguientes:

\begin{cases} \left|z\right| < 1 - \operatorname{Im}(z) \\[4pt] z\cdot\overline{z} \ge -i\left(\overline{z}-z\right) \end{cases}

Calcular la región y representarla.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que exigir antes de elevar al cuadrado la primera condición?
02
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe la región simplificada, en $x$ e $y$ . Se comparan los puntos, así que vale cualquier forma equivalente.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadapor ejemplo y < (1-x^2)/2 & x^2 + (y+1)^2 >= 1
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descripción de la región. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La primera condición exige $1-y>0$ para poder elevar al cuadrado, y una vez elevada da $y < \frac{1-x^{2}}{2}$ .
2. Esa desigualdad ya implica $y \le \frac12 < 1$ , así que la restricción previa se cumple sola y no recorta nada.
3. La segunda condición es real por los dos lados: $z\overline z = |z|^{2}$ y $-i(\overline z - z) = -2y$ . Por eso se pueden comparar sin más.
4. Da $x^{2}+(y+1)^{2} \ge 1$ : fuera del disco de centro $(0,-1)$ y radio 1, borde incluido.
5. La región es el interior de la parábola menos ese disco. El disco cabe entero bajo la parábola, porque su punto más alto es $(0,0)$ y ahí la parábola vale $\frac12$ .
Este ejercicio y el 1 del examen 2025-2026 se parecen y son contrarios: allí los dos miembros eran imaginarios puros, aquí son reales. En los dos hay que decir por qué se pueden comparar.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Se pide la región de los $z$ con $\left|z\right| < 1-\operatorname{Im}(z)$ y $z\overline z \ge -i(\overline z - z)$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 1 · COMP2 7 · COMP4 2.

1 · La herramienta, y la trampa de cada condición

Las dos se traducen a coordenadas con $z = x+iy$ , pero cada una esconde una cosa distinta que hay que decir en voz alta:

En la primera hay que elevar al cuadrado, y eso solo es una equivalencia si los dos miembros son no negativos. El izquierdo es un módulo; el derecho hay que exigirlo.
La segunda parece comparar dos complejos, y en $\mathbb{C}$ no hay orden. Resulta que los dos miembros son reales, y por eso tiene sentido — pero hay que demostrarlo, no darlo por hecho.

Esos dos puntos son los dos de COMP4.

2 · Primera condición: una parábola

La condición $\left|z\right| < 1-y$ obliga a que el miembro derecho sea positivo, porque el izquierdo nunca es negativo:

1-y > 0 \;\Longleftrightarrow\; y < 1

Con eso ya se puede elevar al cuadrado:

x^{2}+y^{2} < (1-y)^{2} = 1-2y+y^{2}

x^{2} < 1-2y \;\Longleftrightarrow\; 2y < 1-x^{2} \;\Longleftrightarrow\; y < \frac{1-x^{2}}{2}

Es el interior de la parábola $y = \frac{1-x^{2}}{2}$ , que abre hacia abajo, tiene el vértice en $\left(0,\frac12\right)$ y corta el eje real en $x=\pm1$ .

Y ahora la comprobación que cierra el apartado: esta desigualdad implica $y \le \frac12$ , y $\frac12 < 1$ . La restricción previa se cumple sola. No es que no hiciera falta comprobarla; es que al comprobarla resulta redundante, y eso hay que escribirlo.

3 · Segunda condición: los dos miembros son reales

El primero, por definición de módulo:

z\cdot\overline z = \left|z\right|^{2} = x^{2}+y^{2}

El segundo, con la cuenta hecha despacio porque es donde se pierde el signo:

\overline z - z = (x-iy)-(x+iy) = -2iy

-i\left(\overline z - z\right) = -i\cdot(-2iy) = 2i^{2}y = -2y

Los dos son reales, así que la desigualdad tiene sentido tal cual:

x^{2}+y^{2} \ge -2y \;\Longleftrightarrow\; x^{2}+y^{2}+2y \ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x^{2}+(y+1)^{2} \ge 1

El exterior con borde de la circunferencia de centro $(0,-1)$ y radio 1, que pasa por el origen y es tangente al eje real.

4 · La intersección

¿Dónde está la circunferencia respecto de la parábola? Su punto más alto es $(0,0)$ , y ahí la parábola vale $\frac12$ . El disco entero queda por debajo de la parábola.

Así que la región es el interior de la parábola menos el disco abierto: una zona ilimitada hacia abajo, cerrada por arriba por el arco de parábola, con un agujero circular apoyado en el origen.

El borde de la parábola no entra —la desigualdad es estricta— y el de la circunferencia sí.

5 · Representación gráfica

La parábola de vértice $\left(0,\frac12\right)$ cortando el eje real en $-1$ y $1$ ; todo lo que queda por debajo, sombreado; y un disco de radio 1 centrado en $(0,-1)$ recortado de ese sombreado, tangente al eje real por dentro.

6 · Comprobación

Tres puntos elegidos para romper cosas distintas:

$z = 0$ . Primera: $0 < 1-0$ ✔. Segunda: $0 \ge 0$ ✔, justo en el borde de la circunferencia. Entra, y es el punto que más se falla: está en el borde del disco, y el borde cuenta.
$z = -i$ , el centro del disco. Primera: $1 < 1-(-1) = 2$ ✔. Segunda: $0+(-1+1)^{2} = 0 \ge 1$ ✗. Fuera, como debe.
$z = i$ . Primera: $\left|i\right| = 1$ y $1-1 = 0$ , luego $1 < 0$ ✗. Fuera. Sirve para ver que la parábola corta de verdad por arriba.

Resultado

\boxed{\;y < \frac{1-x^{2}}{2} \quad\text{y}\quad x^{2}+(y+1)^{2} \ge 1\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Primera evaluación, 14 de octubre de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una cúbica con el centro movido

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $z \in \mathbb{C}$ . Resolver y representar gráficamente las soluciones de la ecuación

\left(z-2-i\right)^{3} = -8

Resolver y representar las soluciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la entrada natural a esta ecuación?
02
El módulo de las tres soluciones
COMP2
¿Cuánto vale $\left|z-2-i\right|$ para cualquiera de las tres soluciones?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La solución más sencilla
COMP2
Una de las tres soluciones es un imaginario puro. ¿Cuál es su parte imaginaria?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $w = z-2-i$ la ecuación es $w^{3} = -8 = 8\,e^{i\,180^{\circ}}$ .
2. Sus tres raíces tienen módulo $\sqrt[3]{8} = 2$ y argumentos $\frac{180^{\circ}+360^{\circ}k}{3} = 60^{\circ},\ 180^{\circ},\ 300^{\circ}$ .
3. En binómica: $w = 1+\sqrt3\,i$ , $\;w = -2$ , $\;w = 1-\sqrt3\,i$ .
4. Deshaciendo el cambio, $z = w+2+i$ , salen $z = 3+(1+\sqrt3)i$ , $\;z = i$ , $\;z = 3+(1-\sqrt3)i$ .
5. Los tres afijos forman un triángulo equilátero de radio 2 centrado en $2+i$ , no en el origen.
Lo que el cambio de variable no cambia es el número de soluciones: tres antes y tres después. Lo único que hace es mover el centro del triángulo del origen a $2+i$ .

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Resolver $\left(z-2-i\right)^{3} = -8$ en $\mathbb{C}$ y representar las soluciones.

Reparto de puntos del examen: COMP1 1 · COMP2 7 · COMP4 2.

1 · Herramienta y por qué se puede aplicar

La ecuación ya tiene la forma «algo al cubo igual a una constante», así que basta nombrar ese algo:

w = z-2-i \;\Longrightarrow\; w^{3} = -8

Y sobre $w^{3} = c$ se aplica la fórmula de las raíces $n$ -ésimas, válida para todo $c \neq 0$ :

w_k = \sqrt[n]{|c|}\;e^{i\frac{\arg c + 360^{\circ}k}{n}}, \qquad k = 0,\dots,n-1

Aquí $c = -8 \neq 0$ y $n=3$ . El cambio de variable es una biyección —a cada $w$ le corresponde un solo $z$ y al revés—, así que no se pierde ni se gana ninguna solución por hacerlo.

2 · Las tres raíces de $-8$

En polar, $-8 = 8\,e^{i\,180^{\circ}}$ : módulo 8 y argumento $180^{\circ}$ por estar en el semieje real negativo.

\left|w\right| = \sqrt[3]{8} = 2

\theta_k = \frac{180^{\circ}+360^{\circ}k}{3} = 60^{\circ}+120^{\circ}k \;\Longrightarrow\; 60^{\circ},\ 180^{\circ},\ 300^{\circ}

En forma binómica, con $\cos 60^{\circ} = \frac12$ y $\mathrm{sen}\,60^{\circ} = \frac{\sqrt3}{2}$ :

w_0 = 2\left(\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i\right) = 1+\sqrt3\,i, \qquad w_1 = -2, \qquad w_2 = 1-\sqrt3\,i

3 · Deshacer el cambio

$z = w+2+i$ , así que a cada raíz se le suma $2+i$ :

z_0 = 3+\left(1+\sqrt3\right)i \approx 3+2{,}73\,i

z_1 = i

z_2 = 3+\left(1-\sqrt3\right)i \approx 3-0{,}73\,i

4 · Representación gráfica

Los tres afijos son los vértices de un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia de radio 2 centrada en $2+i$ , no en el origen. El primer vértice está a $60^{\circ}$ medidos desde ese centro.

Ese desplazamiento del centro es lo que aporta el ejercicio: sin el cambio de variable, el dibujo parece descolocado.

5 · Comprobación

Con la solución fácil, $z_1 = i$ :

\left(i-2-i\right)^{3} = (-2)^{3} = -8 \quad\checkmark

Y con $z_0$ , comprobando módulo y argumento por separado: $\left|z_0-2-i\right| = \left|1+\sqrt3 i\right| = \sqrt{1+3} = 2$ ✔, y su argumento es $60^{\circ}$ , que al triplicarse da $180^{\circ}$ ✔, la dirección del $-8$ .

Una última coherencia que sale gratis: los tres argumentos se diferencian en $120^{\circ}$ y los tres módulos coinciden. Si no fuera así, habría un error de cuenta en alguna raíz.

Resultado

\boxed{\;z \in \left\{\,3+\left(1+\sqrt3\right)i,\;\; i,\;\; 3+\left(1-\sqrt3\right)i \,\right\}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Primera evaluación, 14 de octubre de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la demostración es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El límite de una sucesión de términos no positivos

COMP 410 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una sucesión tal que $a_n \le 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$ . Demostrar que si $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge hacia $L$ entonces $L \le 0$ .

Demostrar la propiedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
Este ejercicio vale 10 puntos de COMP4 y ninguno de cálculo. ¿Qué significa eso para lo que hay que escribir?
02
El épsilon de la reducción al absurdo
COMP2
Se supone $L > 0$ para llegar al absurdo. Con $L = 0{,}8$ , ¿qué $\varepsilon$ conviene tomar?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por reducción al absurdo, supongamos que $L > 0$ .
2. Se toma $\varepsilon = \dfrac{L}{2} > 0$ , positivo precisamente porque se ha supuesto $L$ positivo.
3. Por definición de límite existe $m$ tal que $\left|a_n-L\right| < \varepsilon$ para todo $n>m$ ; en particular $a_n > L-\varepsilon = \dfrac{L}{2} > 0$ .
4. Pero la hipótesis dice que $a_n \le 0$ para todo $n$ . Contradicción, luego $L \le 0$ .
Ese es el matiz que el enunciado ya anticipa al escribir $\le$ en las dos puntas: en la hipótesis y en la tesis.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una demostración propuesta, pendiente de revisión.

Datos. $a_n \le 0$ para todo $n$ y $a_n \to L$ . Hay que demostrar que $L \le 0$ .

Reparto de puntos del examen: COMP4 10. No se evalúa el cálculo ni el reconocimiento: los diez puntos son la demostración. Conviene tenerlo presente al repartir el tiempo en el examen.

1 · Estrategia

La tesis es una desigualdad no estricta, y esas se demuestran casi siempre por reducción al absurdo: se supone lo contrario, $L>0$ , y se busca el choque con la hipótesis.

Conviene escribir la definición que se va a usar, porque es parte de lo que se puntúa:

\lim a_n = L \iff \forall \varepsilon>0 \;\exists\, m \in \mathbb{N} :\; n>m \Rightarrow \left|a_n-L\right| < \varepsilon

2 · La demostración

Supongamos $L > 0$ . Entonces se puede tomar

\varepsilon = \frac{L}{2} > 0

—positivo precisamente porque $L$ lo es, y esto hay que decirlo: si $L$ fuera negativo este $\varepsilon$ no valdría—.

Por la definición de límite, existe $m \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n>m$

\left|a_n - L\right| < \varepsilon

lo que en particular implica

a_n > L-\varepsilon = L-\frac{L}{2} = \frac{L}{2} > 0

Es decir: todos los términos a partir de $m$ serían estrictamente positivos. Pero la hipótesis dice que $a_n \le 0$ para todo $n$ . Contradicción.

Por tanto la suposición era falsa y

L \le 0 \qquad \blacksquare

3 · Por qué $\le$ y no $<$

La conclusión no se puede reforzar. El contraejemplo es inmediato:

a_n = -\frac{1}{n}

tiene todos sus términos estrictamente negativos y su límite es exactamente 0.

La regla general: al pasar al límite, las desigualdades estrictas se debilitan. De $a_n < 0$ solo se deduce $L \le 0$ .

4 · La misma propiedad, del otro lado

Este ejercicio es el reflejo del 2.3 del boletín, que demuestra que si $a_n \ge 0$ entonces $L \ge 0$ . De hecho se puede deducir uno del otro sin repetir el trabajo: aplicando el 2.3 a la sucesión $-a_n$ , que es no negativa, se obtiene $-L \ge 0$ , es decir $L \le 0$ .

Escribir esa observación en el examen no ahorra la demostración —hay que tener el otro resultado probado—, pero enseña que se ha entendido la simetría.

5 · Comprobación

No sustituye a la demostración, pero detecta signos cambiados. Se construye una sucesión que tienda a un límite positivo y se cuenta cuántos términos consigue mantener no positivos:

a_n = 0{,}8-\frac{1}{n} \;\longrightarrow\; 0{,}8

a_1 = -0{,}2 \le 0, \qquad a_2 = 0{,}3 > 0, \qquad a_3 = 0{,}47 > 0,\dots

Solo uno. Y con el $\varepsilon = 0{,}4$ de la demostración, desde $n \ge 3$ todos superan $0{,}4$ . Los términos no positivos son siempre finitos, que es justo lo que la hipótesis prohíbe.

Resultado

\boxed{\;a_n \le 0 \;\;\forall n \;\;\text{y}\;\; a_n \to L \;\;\Longrightarrow\;\; L \le 0\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Primera evaluación, 14 de octubre de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión. Los cortes de la curva se han medido sobre el original, ver la resolución.

Una serie que se decide leyendo la gráfica

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Considerar la función $g(x)$ cuya gráfica muestra la siguiente figura y la serie

S = \sum_{k=1}^{\infty} k\left(g(x)\right)^{k}

Figura redibujada del enunciado original. En verde, los tramos donde la curva va estrictamente entre las dos rectas de trazos: son los que resuelven el apartado (a).

Se pide:

a) Determinar los valores de $x$ para los cuales la serie $S$ es convergente.

b) Calcular $S$ para los valores de $x$ obtenidos en el apartado anterior.

Determinar dónde converge y calcular su suma.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué serie conocida es $\sum_{k\ge1} k\,r^{k}$ , con $r = g(x)$ ?
02
El extremo del primer tramo
COMP2
Leyendo la gráfica, ¿en qué valor de $x$ acaba el primer tramo en el que la serie converge?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La suma, en un punto concreto
COMP2
Si en cierto $x$ la gráfica vale $g(x) = \frac12$ , ¿cuánto vale $S$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento completo. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $S = \sum_{k\ge1} k\,r^{k}$ con $r = g(x)$ es aritmético-geométrica, y converge si y solo si $|r|<1$ .
2. Por tanto (a) se responde leyendo en la gráfica dónde la curva va estrictamente entre $y=-1$ e $y=1$ .
3. Esos tramos son $x \in (-0{,}25,\,-0{,}20) \cup (-0{,}05,\,0{,}10) \cup (0{,}25,\,0{,}5)$ .
4. Para (b), partiendo de $\sum_{k\ge0} r^{k} = \frac{1}{1-r}$ y derivando respecto de $r$ se llega a $\sum_{k\ge1} k\,r^{k-1} = \frac{1}{(1-r)^{2}}$ .
5. Multiplicando por $r$ , $\;S = \dfrac{g(x)}{\left(1-g(x)\right)^{2}}$ en esos tramos.
El truco de derivar la geométrica es el que conviene recordar: casi todas las sumas del tipo $\sum k^{p} r^{k}$ salen de ahí.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Una función $g$ dada por su gráfica y la serie $S = \sum_{k\ge1} k\left(g(x)\right)^{k}$ . Se pide dónde converge y cuánto suma.

Reparto de puntos del examen: COMP1 2 · COMP2 6 · COMP4 2. Los dos puntos de COMP1 son los más altos de todo el examen, y se entienden: casi todo el ejercicio consiste en reconocer qué serie es antes de tocar nada.

1 · Qué serie es

Llamando $r = g(x)$ , la serie es

S = \sum_{k=1}^{\infty} k\,r^{k}

una aritmético-geométrica: la geométrica multiplicada término a término por $k$ .

El factor $k$ no cambia cuándo converge. Por el criterio del cociente,

\left|\frac{(k+1)r^{k+1}}{k\,r^{k}}\right| = \frac{k+1}{k}\left|r\right| \;\xrightarrow[k\to\infty]{}\; \left|r\right|

así que converge si $|r|<1$ y diverge si $|r|>1$ . Y en el caso frontera $|r|=1$ también diverge, porque entonces $\left|k\,r^{k}\right| = k$ , que no tiende a cero: falla la condición necesaria del término general.

Conclusión limpia: converge exactamente cuando $\left|g(x)\right|<1$ , con desigualdad estricta.

2 · Apartado (a): leer la gráfica

Hay que localizar los tramos en los que la curva va estrictamente entre las rectas $y=-1$ e $y=1$ . Los cortes se leen sobre la rejilla del dibujo, que va de $0{,}05$ en $0{,}05$ :

corte	dónde
la curva entra en la banda por arriba	$x = -0{,}25$
sale por abajo, cortando $y=-1$	$x = -0{,}20$
vuelve a entrar, cortando $y=-1$	$x = -0{,}05$
sale por arriba, cortando $y=1$	$x = 0{,}10$
vuelve a entrar, cortando $y=1$	$x = 0{,}25$
y ya no vuelve a salir	hasta $x = 0{,}5$

\boxed{\;x \in \left(-0{,}25,\,-0{,}20\right) \cup \left(-0{,}05,\,0{,}10\right) \cup \left(0{,}25,\,0{,}5\right)\;}

Los intervalos son abiertos: en los extremos $\left|g\right|=1$ y la serie diverge.

Sobre estos números. El enunciado da la función con un dibujo, así que los cortes se leen, no se calculan. Para no leerlos a ojo se han medido sobre el PDF original con un lector de gráficas escrito para esto, que localiza los ejes por densidad de tinta y sigue la curva por continuidad: salieron $-0{,}198$ , $-0{,}055$ , $0{,}095$ y $0{,}242$ , que caen sobre las líneas de la rejilla $-0{,}20$ , $-0{,}05$ , $0{,}10$ y $0{,}25$ . Esa coincidencia es la que confirma la lectura.

3 · Apartado (b): la suma

Se parte de la geométrica, válida para $|r|<1$ :

\sum_{k=0}^{\infty} r^{k} = \frac{1}{1-r}

Dentro del radio de convergencia una serie de potencias se puede derivar término a término, y esa es la hipótesis que hay que citar:

\sum_{k=1}^{\infty} k\,r^{k-1} = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{1-r}\right) = \frac{1}{(1-r)^{2}}

Multiplicando los dos miembros por $r$ :

S = \sum_{k=1}^{\infty} k\,r^{k} = \frac{r}{(1-r)^{2}}

y deshaciendo el cambio:

S = \frac{g(x)}{\left(1-g(x)\right)^{2}}

para los $x$ del apartado (a).

4 · Comprobación

De la fórmula, con $r=\frac12$ , sumando a mano los primeros términos:

\tfrac12+2\cdot\tfrac14+3\cdot\tfrac18+4\cdot\tfrac{1}{16}+5\cdot\tfrac{1}{32} +6\cdot\tfrac{1}{64} = 0{,}5+0{,}5+0{,}375+0{,}25+0{,}156+0{,}094 = 1{,}875

que sube hacia $\frac{1/2}{(1/2)^{2}} = 2$ ✔.

Del signo, con $r$ negativo: en el tramo $(-0{,}05,\,0{,}10)$ la curva pasa por valores negativos, y ahí $S$ tiene que salir negativa. Con $r=-\frac12$ :

S = \frac{-\frac12}{\left(\frac32\right)^{2}} = -\frac{2}{9} \approx -0{,}22

y en efecto la serie $-\frac12+2\cdot\frac14-3\cdot\frac18+\dots$ alterna y suma un número pequeño y negativo ✔.

Del caso frontera: con $r=1$ la serie es $1+2+3+\dots$ , claramente divergente; con $r=-1$ es $-1+2-3+4-\dots$ , que tampoco converge. Los extremos quedan fuera, como dice el apartado (a).

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(a) } & x \in (-0{,}25,\,-0{,}20)\cup(-0{,}05,\,0{,}10)\cup(0{,}25,\,0{,}5) \\[4pt] \text{(b) } & S = \frac{g(x)}{\left(1-g(x)\right)^{2}} \end{aligned}}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Primera evaluación · 2024-2025

Reconocer el camino

Verificar la región

Justificar el argumento

1 · La herramienta, y la trampa de cada condición

2 · Primera condición: una parábola

3 · Segunda condición: los dos miembros son reales

4 · La intersección

5 · Representación gráfica

6 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El módulo de las tres soluciones

La solución más sencilla

Justificar el argumento

1 · Herramienta y por qué se puede aplicar

2 · Las tres raíces de −8-8−8

3 · Deshacer el cambio

4 · Representación gráfica

5 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El épsilon de la reducción al absurdo

Justificar el argumento

1 · Estrategia

2 · La demostración

3 · Por qué ≤\le≤ y no <<<

4 · La misma propiedad, del otro lado

5 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El extremo del primer tramo

La suma, en un punto concreto

Justificar el argumento

1 · Qué serie es

2 · Apartado (a): leer la gráfica

3 · Apartado (b): la suma

4 · Comprobación

Resultado

2 · Las tres raíces de $-8$

3 · Por qué $\le$ y no $<$