tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · recuperación del primer cuatrimestre, con la 5.ª evaluación

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 5.ª evaluación · 2018-2019

15 de abril de 2019 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

La sucesión que se desploma en el término cienSucesiones y series numéricas0 + 2 + 8 = 10 pts
Sea la sucesión
$\left\{a_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}= \begin{cases} 5-\dfrac{2}{n} & n\ge 100\\[6pt] n^{3} & n<100 \end{cases}$
a) Definir formalmente los siguientes conceptos: sucesión creciente y sucesión convergente.

b) Estudiar el crecimiento y la convergencia de la sucesión $\left\{a_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ .
Las dos definiciones formales, y el crecimiento y la convergencia de esta sucesión.
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Tres desarrollos de McLaurin, y el tercero no existeEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 8 + 2 = 10 pts
Calcular el desarrollo en serie de McLaurin de las funciones siguientes:

a) $f(x)=e^{x}$

b) $f(x)=x^{4}e^{x}$

c) $f(x)=e^{-\left|x\right|}$
Los tres desarrollos, o la razón de que alguno no exista.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cuál de las dos curvas es la derivada, y qué hace la cuarta potenciaEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
La figura muestra las gráficas de una función $F(x)$ y de su derivada $F'(x)$ , definidas en el intervalo $[a,b]$ .

Figura redibujada del enunciado original. El original no nombra las curvas — averiguar cuál es cuál es el apartado a) —, así que aquí se llaman A y B para poder referirse a ellas. Las dos curvas del dibujo son un par exacto: la B es, de verdad, la derivada de la A.

a) Identificar qué gráfica corresponde a $F(x)$ y qué gráfica corresponde a $F'(x)$ .

b) Estudiar el crecimiento, decrecimiento y los extremos de la función $g(x)=\left(F(x)\right)^{4}$ .
Cuál es cuál, y el crecimiento y los extremos de la cuarta potencia.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El teorema de Darboux, y por qué no basta con Bolzanolos 10 puntos son demostración — cero cálculoFunciones reales de una variable real0 + 0 + 10 = 10 pts
Enunciar y demostrar el teorema de Darboux.
Enunciar y demostrar.
- COMP 410 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Quinta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 15 de abril de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La sucesión que se desploma en el término cien

COMP 22 puntos por calcular
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la sucesión

\left\{a_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}= \begin{cases} 5-\dfrac{2}{n} & n\ge 100\\[6pt] n^{3} & n<100 \end{cases}

a) Definir formalmente los siguientes conceptos: sucesión creciente y sucesión convergente.

b) Estudiar el crecimiento y la convergencia de la sucesión $\left\{a_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ .

Las dos definiciones formales, y el crecimiento y la convergencia de esta sucesión.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los 99 primeros términos son $1, 8, 27,\ldots,99^{3}$ , y el término 100 vale $4{,}98$ . ¿Estropea eso la convergencia?
02
El límite
COMP2
¿A qué converge la sucesión?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Dónde se rompe el crecimiento
COMP2
La sucesión no es creciente. ¿Para qué valor de $n$ falla por primera y única vez la desigualdad $a_{n}\le a_{n+1}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número natural — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Creciente: $\left\{a_{n}\right\}$ es creciente si $a_{n}\le a_{n+1}$ para todo $n\in\mathbb{N}$ .
2. Convergente: $\left\{a_{n}\right\}$ converge a $L$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $n_{0}$ tal que $\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$ para todo $n>n_{0}$ .
3. No es creciente, y falla en un solo sitio: $a_{99}=970\,299$ y $a_{100}=4{,}98$ . Sí lo es a partir de $n=100$ .
4. Converge a 5, porque la definición solo mira lo que pasa a partir de un $n_{0}$ , y con $n_{0}=\max\left\{100,\frac{2}{\varepsilon}\right\}$ se cumple $\left|a_{n}-5\right|=\frac{2}{n}<\varepsilon$ .
5. Está acotada: entre $1$ y $99^{3}$ , y desde $n=100$ entre $4{,}98$ y $5$ .

Resolución completa

a) Las dos definiciones.

$\left\{a_{n}\right\}$ es creciente si $a_{n}\le a_{n+1}$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . (Estrictamente creciente si la desigualdad es estricta.)

$\left\{a_{n}\right\}$ converge a $L$ si

\forall\varepsilon>0\;\;\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\; n>n_{0}\;\Longrightarrow\;\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon

Fíjate en dónde está el peso: existe un $n_{0}$ . Lo que la sucesión haga antes de ese término no entra en la definición. Ese es todo el ejercicio.

b) El crecimiento. Las dos ramas crecen por separado:

Para $n<100$ , $n^{3}$ es creciente.
Para $n\ge 100$ , $5-\frac{2}{n}$ es creciente, porque $\frac{2}{n}$ decrece.

Pero en la costura se rompe:

a_{99}=99^{3}=970\,299 \qquad\text{y}\qquad a_{100}=5-\frac{2}{100}=4{,}98

Así que la sucesión no es creciente. Sí lo es a partir de $n=100$ , y eso es lo que hay que decir: no es creciente, pero es creciente desde un término en adelante.

La convergencia. Converge a $5$ . Dado $\varepsilon>0$ , se toma

n_{0}=\max\left\{100,\frac{2}{\varepsilon}\right\}

y para $n>n_{0}$ se cumple a la vez que estamos en la segunda rama y que

\left|a_{n}-5\right|=\frac{2}{n}<\varepsilon

Lo que enseña el ejercicio. Que los 99 primeros términos lleguen hasta casi un millón es una provocación deliberada: parece que una sucesión así no puede converger a $5$ . Puede. La convergencia es una propiedad de la cola, y una cola no cambia porque delante haya cualquier cosa, siempre que sea una cantidad finita de términos.

Y de paso desmonta el error de creer que hace falta ser monótona para converger: aquí no lo es y converge igual.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Quinta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 15 de abril de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres desarrollos de McLaurin, y el tercero no existe

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el desarrollo en serie de McLaurin de las funciones siguientes:

a) $f(x)=e^{x}$

b) $f(x)=x^{4}e^{x}$

c) $f(x)=e^{-\left|x\right|}$

Los tres desarrollos, o la razón de que alguno no exista.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que hacer con el apartado c)?
02
El coeficiente de x⁶
COMP2
En el desarrollo de $x^{4}e^{x}$ , ¿cuál es el coeficiente de $x^{6}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La sexta derivada en cero
COMP2
Con ese coeficiente, ¿cuánto vale $f^{(6)}(0)$ para $f(x)=x^{4}e^{x}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $e^{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$ , válido para todo $x\in\mathbb{R}$ .
2. b) Multiplicar por $x^{4}$ es desplazar los exponentes: $x^{4}e^{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+4}}{n!}$ , y también vale para todo $x$ .
3. De ahí se lee, por ejemplo, $a_{6}=\frac{1}{2}$ y por tanto $f^{(6)}(0)=360$ .
4. c) $e^{-\left|x\right|}$ vale $e^{-x}$ a la derecha de $0$ y $e^{x}$ a la izquierda, así que sus derivadas laterales en $0$ son $-1$ y $+1$ .
5. Como esas dos no coinciden, $f$ no es derivable en $0$ y no tiene desarrollo de McLaurin: la serie ni siquiera se puede empezar a escribir.

Resolución completa

a) La exponencial.

e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} =1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots

válido para todo $x\in\mathbb{R}$ : el radio de convergencia es infinito.

b) Multiplicada por $x^{4}$ . No hay que derivar nada. Multiplicar una serie de potencias por $x^{4}$ es desplazar todos los exponentes:

x^{4}e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+4}}{n!} =x^{4}+x^{5}+\frac{x^{6}}{2!}+\frac{x^{7}}{3!}+\cdots

También para todo $x$ . Y de aquí se leen las derivadas en el origen sin derivar: como $a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ ,

f^{(6)}(0)=6!\cdot\frac{1}{2!}=360

Los cuatro primeros coeficientes son cero, es decir $f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0$ , que se puede comprobar aparte.

c) La que no existe. Aquí el enunciado cambia de pregunta sin avisar.

e^{-\left|x\right|}= \begin{cases} e^{-x} & x\ge 0\\ e^{x} & x<0 \end{cases}

La función es continua en $0$ —las dos ramas valen $1$ — pero no es derivable:

f'(0^{+})=-1, \qquad f'(0^{-})=+1

Y sin $f'(0)$ no hay coeficiente de grado uno, así que no hay desarrollo de McLaurin. Ni siquiera se puede empezar.

Hay una forma más de verlo, y conviene tenerla: una serie de potencias es infinitamente derivable dentro de su intervalo de convergencia. Una función con un pico no puede ser la suma de una serie de potencias centrada justo en el pico.

Lo que se puede decir, y es lo que da los puntos de COMP4: para $x\ge 0$ la función coincide con $e^{-x}$ y ahí sí vale $\sum\frac{(-1)^{n}x^{n}}{n!}$ ; y para $x\le 0$ coincide con $e^{x}$ . Dos desarrollos laterales distintos, ninguno válido en un entorno del origen.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Quinta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 15 de abril de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuál de las dos curvas es la derivada, y qué hace la cuarta potencia

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura muestra las gráficas de una función $F(x)$ y de su derivada $F'(x)$ , definidas en el intervalo $[a,b]$ .

Figura redibujada del enunciado original. El original no nombra las curvas — averiguar cuál es cuál es el apartado a) —, así que aquí se llaman A y B para poder referirse a ellas. Las dos curvas del dibujo son un par exacto: la B es, de verdad, la derivada de la A.

a) Identificar qué gráfica corresponde a $F(x)$ y qué gráfica corresponde a $F'(x)$ .

b) Estudiar el crecimiento, decrecimiento y los extremos de la función $g(x)=\left(F(x)\right)^{4}$ .

Cuál es cuál, y el crecimiento y los extremos de la cuarta potencia.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál de las dos curvas es $F$ ?
02
En cuántos tramos se parte el intervalo
COMP2
Como $g'=4F^{3}F'$ , el signo de $g'$ cambia en los ceros de $F$ y en los de $F'$ . ¿En cuántos subintervalos queda partido $(a,b)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Cuántos extremos relativos

COMP2

¿Cuántos extremos relativos tiene $g$ en el interior del intervalo?

Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Desarrollo

Con $g'=4F^{3}F'$ , el signo es el producto de los de $F$ y $F'$ :

tramo	$F$	$F'$	$g'$	$g$
$(a,x_{0})$	$-$	$+$	$-$	decrece
$(x_{0},x_{1})$	$+$	$+$	$+$	crece
$(x_{1},x_{2})$	$+$	$-$	$-$	decrece
$(x_{2},b)$	$-$	$-$	$+$	crece

Cambia de signo en los tres puntos: mínimo en $x_{0}$ , máximo en $x_{1}$ y mínimo en $x_{2}$ .

04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) La curva B corta al eje justo donde la A tiene su máximo, y es positiva mientras la A sube y negativa mientras la A baja: la A es $F$ y la B es $F'$ .
2. b) $g'=4F^{3}F'$ , y como $F^{3}$ tiene el mismo signo que $F$ , el signo de $g'$ es el producto de los signos de $F$ y de $F'$ .
3. Los puntos donde puede cambiar son los dos ceros de $F$ , $x_{0}$ y $x_{2}$ , y el cero de $F'$ , que es $x_{1}$ , con $x_{0}<x_{1}<x_{2}$ .
4. $g$ decrece en $(a,x_{0})$ , crece en $(x_{0},x_{1})$ , decrece en $(x_{1},x_{2})$ y crece en $(x_{2},b)$ .
5. Por tanto hay mínimo en $x_{0}$ , máximo en $x_{1}$ y mínimo en $x_{2}$ ; y los dos mínimos valen $0$ , que es el menor valor posible de una cuarta potencia.

Resolución completa

a) Cuál es cuál. La regla es una sola: los ceros de la derivada caen bajo las tangentes horizontales de la función.

La curva B corta al eje horizontal exactamente en la abscisa donde la curva A alcanza su máximo. Y el signo acompaña: B es positiva mientras A sube, y negativa mientras A baja. Por tanto

A=F, \qquad B=F'

Al revés no funciona: si B fuera $F$ , su derivada tendría que ser negativa en casi todo el intervalo —B baja desde $a$ hasta muy cerca de $b$ — y la curva A es positiva en un tramo largo.

Un segundo indicio, por si acaso: B tiene un mínimo cerca de $b$ , y ahí es donde A baja más deprisa. Encaja.

b) La cuarta potencia. Llamemos $x_{0}$ y $x_{2}$ a los dos ceros de $F$ y $x_{1}$ al cero de $F'$ , con $x_{0}<x_{1}<x_{2}$ .

g'(x)=4\left(F(x)\right)^{3}F'(x)

Como $F^{3}$ tiene el mismo signo que $F$ , el signo de $g'$ es el producto de los signos de $F$ y $F'$ :

tramo	$F$	$F'$	$g'$	$g$
$(a,x_{0})$	$-$	$+$	$-$	decrece
$(x_{0},x_{1})$	$+$	$+$	$+$	crece
$(x_{1},x_{2})$	$+$	$-$	$-$	decrece
$(x_{2},b)$	$-$	$-$	$+$	crece

Los extremos. En los tres puntos hay cambio de signo:

$x_{0}$ : mínimo, y $g(x_{0})=0$ .
$x_{1}$ : máximo, el mismo punto donde $F$ tiene su máximo.
$x_{2}$ : mínimo, y $g(x_{2})=0$ .

La forma corta de verlo. $g=F^{4}$ es siempre $\ge 0$ , así que donde $F$ se anula $g$ toca su valor más bajo posible: esos dos puntos son mínimos absolutos, sin necesidad de ninguna derivada. Y como $t\mapsto t^{4}$ es creciente para $t\ge 0$ y decreciente para $t\le 0$ , $g$ es grande donde $\left|F\right|$ es grande. Con eso solo, el dibujo de $g$ ya se puede esbozar: dos valles tocando el suelo y un pico entre ellos, más lo que suba en los extremos del intervalo, donde $\left|F\right|$ crece.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Quinta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 15 de abril de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El teorema de Darboux, y por qué no basta con Bolzano

COMP 410 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Enunciar y demostrar el teorema de Darboux.

Enunciar y demostrar.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hipótesis pide el teorema de Darboux?
02
El teorema, sobre un caso concreto
COMP2
Sea $f(x)=x^{3}-3x$ en $[0,2]$ . Como $f'(0)=-3$ y $f'(2)=9$ , Darboux garantiza un $c\in(0,2)$ con $f'(c)=0$ . ¿Cuál es?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el enunciado y la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Enunciado. Si $f$ es derivable en $[a,b]$ y $\lambda$ está entre $f'(a)$ y $f'(b)$ , existe $c\in(a,b)$ tal que $f'(c)=\lambda$ .
2. Se supone, sin pérdida de generalidad, $f'(a)<\lambda<f'(b)$ , y se define $g(x)=f(x)-\lambda x$ , que es derivable en $[a,b]$ y por tanto continua.
3. Por el teorema de Weierstrass, $g$ alcanza su mínimo absoluto en algún punto de $[a,b]$ .
4. $g'(a)=f'(a)-\lambda<0$ , así que inmediatamente a la derecha de $a$ hay puntos donde $g$ vale menos que en $a$ : el mínimo no está en $a$ .
5. $g'(b)=f'(b)-\lambda>0$ , así que inmediatamente a la izquierda de $b$ hay puntos donde $g$ vale menos que en $b$ : el mínimo tampoco está en $b$ .
6. El mínimo está entonces en un punto interior $c$ , y por el teorema de Fermat $g'(c)=0$ , es decir $f'(c)=\lambda$ .

Resolución completa

Enunciado. Sea $f$ derivable en $[a,b]$ y sea $\lambda$ un número comprendido entre $f'(a)$ y $f'(b)$ . Entonces existe $c\in(a,b)$ tal que

f'(c)=\lambda

Dicho en corto: la derivada de una función derivable tiene la propiedad de los valores intermedios, aunque no sea continua.

Por qué no es Bolzano. Bolzano se aplica a funciones continuas, y una derivada puede no serlo. El contraejemplo clásico:

f(x)= \begin{cases} x^{2}\operatorname{sen}\dfrac{1}{x} & x\neq 0\\[6pt] 0 & x=0 \end{cases}

es derivable en todo $\mathbb{R}$ —en el origen, $f'(0)=\lim_{h\to 0}h\operatorname{sen}\frac1h=0$ — y su derivada, $f'(x)=2x\operatorname{sen}\frac1x-\cos\frac1x$ , oscila sin límite cuando $x\to 0$ . Darboux dice que aun así $f'$ no puede saltarse ningún valor.

Demostración. Supongamos $f'(a)<\lambda<f'(b)$ ; el otro caso es idéntico cambiando el signo. Se define

g(x)=f(x)-\lambda x

que es derivable en $[a,b]$ , y por tanto continua, con $g'(x)=f'(x)-\lambda$ .

1. El mínimo existe. $g$ es continua en un intervalo cerrado y acotado, así que por el teorema de Weierstrass alcanza su mínimo absoluto en algún $c\in[a,b]$ .

2. El mínimo no está en $a$ . Como

g'(a)=f'(a)-\lambda<0

y $g'(a)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}$ , para $h$ pequeño y positivo el cociente es negativo, luego $g(a+h)<g(a)$ . Hay puntos donde $g$ vale menos que en $a$ : el mínimo no puede estar ahí.

3. El mínimo no está en $b$ . Del mismo modo,

g'(b)=f'(b)-\lambda>0

y $g'(b)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{g(b+h)-g(b)}{h}$ con $h<0$ ; para que ese cociente sea positivo con denominador negativo hace falta $g(b+h)<g(b)$ . Otra vez hay puntos mejores: el mínimo tampoco está en $b$ .

4. Conclusión. El mínimo está en un punto interior $c\in(a,b)$ . En un extremo interior de una función derivable, el teorema de Fermat da $g'(c)=0$ , es decir

f'(c)-\lambda=0 \qquad\Longrightarrow\qquad f'(c)=\lambda \qquad\blacksquare

Dónde se usa cada hipótesis. La derivabilidad en los extremos es lo que permite hablar de $f'(a)$ y $f'(b)$ y, sobre todo, lo que permite los pasos 2 y 3. La continuidad de $g$ —que sale gratis de la derivabilidad— es lo que permite Weierstrass. Y en ningún momento se ha supuesto que $f'$ sea continua: ahí está el teorema.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 5.ª evaluación · 2018-2019

Reconocer el camino

El límite

Dónde se rompe el crecimiento

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de x⁶

La sexta derivada en cero

Justificar el argumento

Reconocer el camino

En cuántos tramos se parte el intervalo

Cuántos extremos relativos

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El teorema, sobre un caso concreto

Justificar el argumento