tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación · 2020-2021

22 de febrero de 2021 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Tres raíces, y el triángulo que dibujanNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Las raíces de la ecuación $4z^{3} + 4z^{2} + (1-2i)z = 0$ forman un triángulo. Calcular dichas raíces y el perímetro y el área del triángulo.
Las tres raíces, el perímetro y el área.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una ecuación que parece difícil hasta que se lee EulerNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Resolver la ecuación $e^{iz} - i\operatorname{sen} z = 1$ , con $z \in \mathbb{C}$ , y representar gráficamente la solución obtenida.
Las soluciones y su representación.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos afirmaciones casi iguales, y solo una es ciertaSucesiones y series numéricas1 + 0 + 9 = 10 pts
Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Demostrar formalmente las que sean verdaderas y dar un contraejemplo en las que sean falsas.

a) Si $a_{n}\ge 0$ para todo $n\in\mathbb{N}$ y $\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge hacia $L$ , entonces $L\ge 0$ .

b) Si $a_{n}> 0$ para todo $n\in\mathbb{N}$ y $\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge hacia $L$ , entonces $L> 0$ .
Verdadero o falso, con demostración o contraejemplo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 49 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 22 de febrero de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres raíces, y el triángulo que dibujan

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Las raíces de la ecuación $4z^{3} + 4z^{2} + (1-2i)z = 0$ forman un triángulo. Calcular dichas raíces y el perímetro y el área del triángulo.

Las tres raíces, el perímetro y el área.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los tres términos llevan $z$ . ¿Cuál es el primer paso?
02
La raíz cuadrada que aparece en el discriminante
COMP2
El discriminante de $4z^{2}+4z+(1-2i)$ es $32i$ . ¿Cuál es su raíz cuadrada con parte real positiva? Escribe solo la parte real.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área del triángulo
COMP2
Con las tres raíces ya calculadas, ¿cuánto vale el área del triángulo?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El término independiente es cero, así que $z$ es factor común: $z\left(4z^{2}+4z+1-2i\right)=0$ , y $z=0$ es la primera raíz.
2. Para el paréntesis, la fórmula de segundo grado con coeficientes complejos: $z = \frac{-4\pm\sqrt{16-16(1-2i)}}{8} = \frac{-4\pm\sqrt{32i}}{8}$ .
3. $\sqrt{32i} = 4+4i$ , porque $32i$ tiene módulo 32 y argumento $\frac\pi2$ , luego su raíz tiene módulo $4\sqrt2$ y argumento $\frac\pi4$ .
4. Las otras dos raíces son $\frac{0+4i}{8} = \frac{i}{2}$ y $\frac{-8-4i}{8} = -1-\frac{i}{2}$ .
5. Los lados miden $\frac12$ , $\frac{\sqrt5}{2}$ y $\sqrt2$ , así que el perímetro es $\frac12+\frac{\sqrt5}{2}+\sqrt2 \approx 3{,}032$ , y el área vale $\frac14$ .

Resolución completa

Las raíces

El término independiente es cero, así que $z$ sale factor común:

4z^{3}+4z^{2}+(1-2i)z = z\left(4z^{2}+4z+1-2i\right) = 0

Primera raíz: $z_{1}=0$ . Y hay que sacarla así, no dividiendo entre $z$ : dividir supone $z\ne 0$ y se pierde precisamente esta.

Para las otras dos, la fórmula de segundo grado —que vale igual con coeficientes complejos:

z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16(1-2i)}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{32i}}{8}

La raíz cuadrada se hace en polar: $32i = 32\,e^{i\pi/2}$ , luego

\sqrt{32i} = 4\sqrt2\,e^{i\pi/4} = 4+4i

—y se comprueba al instante: $(4+4i)^{2} = 32i$ . Con eso:

z_{2} = \frac{-4+4+4i}{8} = \frac{i}{2}, \qquad z_{3} = \frac{-4-4-4i}{8} = -1-\frac{i}{2}

El triángulo

Los afijos son $A=(0,0)$ , $B=\left(0,\frac12\right)$ y $C=\left(-1,-\frac12\right)$ .

lado	longitud
$AB$	$\frac12$
$AC$	$\sqrt{1+\frac14} = \frac{\sqrt5}{2}$
$BC$	$\sqrt{1+1} = \sqrt2$

\text{Perímetro} = \frac12+\frac{\sqrt5}{2}+\sqrt2 \approx 3{,}032

Para el área, lo más rápido es apoyarse en que $A$ y $B$ están los dos sobre el eje imaginario: ese lado es la base, mide $\frac12$ , y la altura es la distancia horizontal de $C$ al eje, que vale 1.

\text{Área} = \frac12\cdot\frac12\cdot 1 = \boxed{\frac14}

Dos comprobaciones que valen los dos puntos de COMP4

Suma y producto. Para $4z^{2}+4z+(1-2i)$ , la suma de las raíces debe ser $-\frac44 = -1$ y su producto $\frac{1-2i}{4}$ . En efecto:

\frac{i}{2} + \left(-1-\frac{i}{2}\right) = -1 \quad\checkmark

\frac{i}{2}\left(-1-\frac{i}{2}\right) = -\frac{i}{2}+\frac14 = \frac{1-2i}{4} \quad\checkmark

No hay pares conjugados, y conviene decirlo porque es el reflejo automático que aquí falla: los coeficientes no son todos reales —aparece $1-2i$ —, así que nada obliga a que las raíces vengan emparejadas. Y de hecho no vienen: $\frac{i}{2}$ está y $-\frac{i}{2}$ no.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 22 de febrero de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación que parece difícil hasta que se lee Euler

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la ecuación $e^{iz} - i\operatorname{sen} z = 1$ , con $z \in \mathbb{C}$ , y representar gráficamente la solución obtenida.

Las soluciones y su representación.

01
Reconocer el camino
COMP1
Mira los dos primeros términos juntos. ¿Qué se puede hacer antes de calcular nada?
02
La ecuación que queda
COMP2
Tras simplificar, la ecuación es $\cos z = k$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por la fórmula de Euler, $e^{iz} = \cos z + i\operatorname{sen}z$ para todo $z\in\mathbb{C}$ .
2. Sustituyendo, el término $i\operatorname{sen}z$ se cancela con el del enunciado y la ecuación queda en $\cos z = 1$ .
3. Con $w=e^{iz}$ : $\frac{w+w^{-1}}{2}=1$ , o sea $w^{2}-2w+1=(w-1)^{2}=0$ , luego $w=1$ es raíz doble.
4. De $e^{iz}=1$ sale $iz = 2k\pi i$ , es decir $z = 2k\pi$ con $k\in\mathbb{Z}$ .
5. Al representarlas: puntos aislados sobre el eje real, uno cada $2\pi$ , incluido el origen. Ninguna solución tiene parte imaginaria.

Resolución completa

El paso que resuelve el ejercicio

La identidad de Euler, $e^{iz} = \cos z + i\operatorname{sen}z$ , vale en todo $\mathbb{C}$ . Sustituyéndola:

e^{iz} - i\operatorname{sen}z = \cos z + i\operatorname{sen}z - i\operatorname{sen}z = \cos z

La ecuación es, por tanto,

\cos z = 1

Siete de los diez puntos son COMP2, y la mayor parte se gana aquí: quien reconoce la cancelación tiene el ejercicio hecho; quien se lanza a desarrollar exponenciales llega igual, pero después de una página.

Las soluciones

Con $w = e^{iz}$ :

\frac{w+w^{-1}}{2} = 1 \;\Longrightarrow\; w^{2}-2w+1 = (w-1)^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; w = 1

raíz doble. Y $e^{iz}=1$ significa $iz = 0 + 2k\pi i$ , luego

\boxed{\;z = 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}\;}

La representación

Puntos aislados sobre el eje real, uno cada $2\pi$ : $\dots,\,-4\pi,\,-2\pi,\,0,\,2\pi,\,4\pi,\,\dots$ Ninguna solución tiene parte imaginaria, y decir por qué vale los dos puntos de COMP4: el valor pedido, 1, es real y está en $[-1,1]$ , así que ya lo alcanza el coseno real y no hace falta salir del eje.

El contraste con el otro examen

Merece la pena ponerlos uno al lado del otro, porque son el mismo tipo de ecuación con dos finales opuestos:

ecuación	raíces en $w=e^{iz}$	soluciones
$\cos z = 1$	$w=1$ , doble	$z = 2k\pi$ : eje real
$\cos z = 2$	$w = 2\pm\sqrt3$ , dos	$z = 2k\pi \pm i\ln(2+\sqrt3)$ : dos horizontales

Cuando el valor está dentro de $[-1,1]$ , la raíz doble deja una sola familia sobre el eje real. Cuando se sale, aparecen dos raíces reales inversas y con ellas dos rectas simétricas. El discriminante de $w^{2}-2kw+1$ es $4(k^{2}-1)$ : se anula justo en $k=\pm1$ , que es la frontera.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 22 de febrero de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos afirmaciones casi iguales, y solo una es cierta

COMP 11 punto por reconocer
COMP 49 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Demostrar formalmente las que sean verdaderas y dar un contraejemplo en las que sean falsas.

a) Si $a_{n}\ge 0$ para todo $n\in\mathbb{N}$ y $\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge hacia $L$ , entonces $L\ge 0$ .

b) Si $a_{n}> 0$ para todo $n\in\mathbb{N}$ y $\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge hacia $L$ , entonces $L> 0$ .

Verdadero o falso, con demostración o contraejemplo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos afirmaciones se diferencian en un símbolo. ¿Cuál es cierta?
02
El contraejemplo de la b)
COMP2
Toma $a_{n} = \frac{1}{n}$ , que es estrictamente positiva para todo $n$ . ¿Cuál es su límite?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración de la afirmación verdadera. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Supongamos, por reducción al absurdo, que $L<0$ .
2. Entonces $\varepsilon = -\frac{L}{2}$ es un número positivo, así que la definición de límite se puede aplicar con él.
3. Existe $m$ tal que $\lvert a_{n}-L\rvert < -\frac{L}{2}$ para todo $n\ge m$ , lo que da $\frac{3L}{2} < a_{n} < \frac{L}{2}$ .
4. En particular $a_{m} < \frac{L}{2} < 0$ , y eso contradice que todos los términos sean $\ge 0$ .
5. Luego la suposición era falsa y $L\ge 0$ . $\blacksquare$

Resolución completa

Nueve de los diez puntos son COMP4: se corrigen la demostración y el contraejemplo, no el «verdadero» y el «falso».

a) Verdadera

Supongamos, por reducción al absurdo, que $L<0$ . Entonces $\varepsilon = -\frac{L}{2}$ es positivo, así que la definición de límite se puede invocar con él: existe $m$ tal que, para todo $n\ge m$ ,

\left\lvert a_{n}-L \right\rvert < -\frac{L}{2} \iff L + \frac{L}{2} < a_{n} < L - \frac{L}{2} \iff \frac{3L}{2} < a_{n} < \frac{L}{2}

Como $L<0$ , se tiene $\frac{L}{2}<0$ , luego $a_{m} < 0$ — y eso contradice que todos los términos sean $\ge 0$ .

Por tanto $L\ge 0$ . $\blacksquare$

b) Falsa

Contraejemplo: $a_{n} = \dfrac{1}{n}$ .

$a_{n} > 0$ para todo $n\in\mathbb{N}$ ;
$\lim a_{n} = 0$ , que no es estrictamente positivo.

Con eso basta: una afirmación universal se tumba con un solo caso.

Dónde se rompe exactamente el argumento

Merece la pena señalarlo, porque es lo que separa un aprobado de un diez. Si se intentara repetir la demostración de la a) para la b), habría que suponer $L\le 0$ y buscar el absurdo. Con $L<0$ funciona igual. Pero queda el caso $L=0$ , y ahí

\varepsilon = -\frac{L}{2} = 0

no sirve: la definición exige $\varepsilon$ estrictamente positivo. No hay banda que colocar, no hay contradicción, y el caso se escapa. Y no se escapa por falta de habilidad: se escapa porque ahí es donde vive el contraejemplo.

La regla que hay que llevarse

El paso al límite conserva las desigualdades débiles ( $\le$ , $\ge$ ) y no conserva las estrictas.

La razón es que el límite es un proceso de aproximación, y puede gastar todo el margen que separa los términos del borde. Por eso el enunciado de la propiedad —la que cae también en 2019-2020 con el signo cambiado— se escribe siempre con $\le$ y nunca con $<$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación · 2020-2021

Reconocer el camino

La raíz cuadrada que aparece en el discriminante

El área del triángulo

Justificar el argumento

Las raíces

El triángulo

Dos comprobaciones que valen los dos puntos de COMP4

Reconocer el camino

La ecuación que queda

Justificar el argumento

El paso que resuelve el ejercicio

Las soluciones

La representación

El contraste con el otro examen

Reconocer el camino

El contraejemplo de la b)

Justificar el argumento

a) Verdadera

b) Falsa

Dónde se rompe exactamente el argumento

La regla que hay que llevarse