tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · primera evaluación

Primera evaluación · 2023-2024

16 de octubre de 2023 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Cuando el lugar geométrico no tiene áreaNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las condiciones siguientes:
$\begin{cases} \arg\left(\dfrac{1}{z-2-3i}\right) = \dfrac{\pi}{2} \\[10pt] \left|z\right| \le \left|\overline{z}+i\right| \end{cases}$
Calcular el lugar geométrico y representarlo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Deshacer un giro para encontrar el triánguloNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Sean $z_1, z_2$ y $z_3$ los números complejos cuyos afijos son los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen de coordenadas. Si el triángulo se gira $\dfrac{\pi}{12}$ radianes respecto al origen, uno de los vértices que se obtiene es el afijo del número complejo $3_{\frac{3\pi}{4}}$ . Obtener $z_1, z_2$ y $z_3$ .
Obtener los tres vértices del triángulo original.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos sucesiones ordenadas y sus límiteslos 10 puntos son demostración — cero cálculoSucesiones y series numéricas0 + 0 + 10 = 10 pts
Demostrar la siguiente propiedad. Sean $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ dos sucesiones tales que $x_n \le y_n \;\; \forall n \in \mathbb{N}$ y $\lim_{n\to\infty} x_n = x \;\wedge\; \lim_{n\to\infty} y_n = y$ . Entonces $x \le y$ .
Demostrar la propiedad.
- COMP 410 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Los primeros términos no cuentan para el límite, pero sí para la sumaSucesiones y series numéricas2 + 2 + 6 = 10 pts
Sea la sucesión $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ definida de la siguiente forma:
$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} n^{2} & n \le 2 \\[6pt] \dfrac{1}{3^{n}} & n > 2 \end{cases}$
a) Estudiar la convergencia de la sucesión $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ .

b) Sea $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ la sucesión definida en el apartado anterior. Estudiar la convergencia de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ , y en caso de que sea convergente, calcular su suma.
Estudiar la convergencia de la sucesión y de la serie, y sumar.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 46 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Primera evaluación, 16 de octubre de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuando el lugar geométrico no tiene área

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las condiciones siguientes:

\begin{cases} \arg\left(\dfrac{1}{z-2-3i}\right) = \dfrac{\pi}{2} \\[10pt] \left|z\right| \le \left|\overline{z}+i\right| \end{cases}

Calcular el lugar geométrico y representarlo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué le hace al argumento el hecho de estar el complejo invertido?
02
El extremo del lugar geométrico
COMP2
El lugar geométrico es una semirrecta. ¿Cuál es su punto extremo?
Tu respuesta al paso 2forma binómica, por ejemplo 2+0.5i — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe las dos condiciones en $x$ e $y$ . La figura comprobará si el trozo que sale coincide con el del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; usa & para juntar las dos condiciones
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descripción del lugar geométrico. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El cociente exige $z \neq 2+3i$ , y el argumento de 0 no está definido: ese punto queda excluido desde el principio.
2. $\arg\left(\frac{1}{w}\right) = -\arg(w)$ , así que la condición es $\arg(z-2-3i) = -\frac{\pi}{2}$ .
3. Eso significa que $z-2-3i$ es imaginario puro negativo: la semirrecta vertical $x=2$ por debajo de $y=3$ , sin incluir el $3i$ .
4. La segunda condición da $y \le \frac12$ , un semiplano cerrado.
5. La intersección es la semirrecta $x=2$ con $y \le \frac12$ , que baja hasta el infinito y tiene su extremo en $2+\frac12 i$ .
Un argumento fijado da siempre una semirrecta, nunca un sector. El sector aparece cuando el argumento se acota entre dos valores.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Se pide el lugar de los $z$ con $\arg\left(\frac{1}{z-2-3i}\right) = \frac{\pi}{2}$ y $\left|z\right| \le \left|\overline z+i\right|$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 1 · COMP2 7 · COMP4 2.

1 · Restricciones previas

El cociente obliga a $z \neq 2+3i$ . Y aunque el denominador no se anulara, el argumento de 0 no está definido, así que ese punto queda fuera por partida doble. Se anota antes de operar.

2 · Primera condición: una semirrecta

La herramienta es la regla del argumento de un inverso:

\frac{1}{w} = \frac{\overline w}{\left|w\right|^{2}} \;\Longrightarrow\; \arg\left(\frac{1}{w}\right) = -\arg(w)

—invertir refleja respecto del eje real y encoge el módulo, pero lo que importa aquí es el signo del argumento—. Con $w = z-2-3i$ :

-\arg(w) = \frac{\pi}{2} \;\Longleftrightarrow\; \arg(w) = -\frac{\pi}{2}

Un complejo tiene argumento $-\frac{\pi}{2}$ exactamente cuando es imaginario puro negativo:

z-2-3i = -it \quad\text{con } t>0

z = 2+(3-t)i, \qquad t>0

Es la semirrecta vertical $x=2$ , con $y<3$ . El extremo $2+3i$ no entra, porque $t>0$ es estricto.

Merece la pena decir por qué es una semirrecta y no una recta entera: fijar el argumento fija la dirección, y una dirección desde un punto es media recta. Si la condición hubiera sido $\arg(w) = \pm\frac{\pi}{2}$ , saldría la recta completa menos el punto.

3 · Segunda condición: un semiplano

Con $z = x+iy$ se tiene $\overline z + i = x-iy+i = x+(1-y)i$ . Los dos miembros son módulos, no negativos, así que elevar al cuadrado es equivalente:

x^{2}+y^{2} \le x^{2}+(1-y)^{2}

y^{2} \le 1-2y+y^{2} \;\Longleftrightarrow\; 0 \le 1-2y \;\Longleftrightarrow\; y \le \frac{1}{2}

Los términos cuadráticos se cancelan enteros —también los $x^{2}$ —, y por eso la frontera es una recta horizontal y no una cónica.

Geométricamente la condición dice que el afijo de $z$ está al menos tan cerca del origen como el de $\overline z$ lo está de $-i$ . La frontera es la mediatriz correspondiente.

4 · La intersección

x = 2 \quad\text{y}\quad y \le \frac12

La condición $y<3$ de la primera queda absorbida: $\frac12 < 3$ .

Es la semirrecta vertical que arranca en $2+\frac12 i$ y baja indefinidamente. El extremo entra —la segunda desigualdad no es estricta—; el punto $2+3i$ ni siquiera está en juego.

5 · Representación gráfica

Una línea vertical sobre $x=2$ , con un punto grueso en $\left(2,\;0{,}5\right)$ y una flecha hacia abajo. Conviene marcar también el $2+3i$ con un círculo hueco para dejar claro que se ha pensado en él.

6 · Comprobación

Se prueban puntos que rompan cada cosa:

$z = 2$ , o sea $(2,0)$ . Primera: $z-2-3i = -3i$ , de argumento $-\frac{\pi}{2}$ , así que $\arg\left(\frac{1}{-3i}\right) = +\frac{\pi}{2}$ ✔. Segunda: $\left|2\right| = 2$ y $\left|\overline z+i\right| = \left|2+i\right| = \sqrt5 \approx 2{,}24$ , y $2 \le 2{,}24$ ✔. Entra.
$z = 2+2i$ . Primera ✔, porque $z-2-3i = -i$ . Segunda: $\left|2+2i\right| = 2\sqrt2 \approx 2{,}83$ frente a $\left|2-i\right| = \sqrt5 \approx 2{,}24$ : $2{,}83 \le 2{,}24$ es falso ✗. Fuera, y con razón: $y=2 > \frac12$ .
$z = 3+\frac12 i$ . Segunda ✔, pero $z-2-3i = 1-\frac52 i$ , cuyo argumento no es $-\frac{\pi}{2}$ ✗. Fuera: la primera condición no perdona salirse de la vertical.

Resultado

\boxed{\;z = 2+yi \quad\text{con}\quad y \le \tfrac12\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Primera evaluación, 16 de octubre de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Deshacer un giro para encontrar el triángulo

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $z_1, z_2$ y $z_3$ los números complejos cuyos afijos son los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen de coordenadas. Si el triángulo se gira $\dfrac{\pi}{12}$ radianes respecto al origen, uno de los vértices que se obtiene es el afijo del número complejo $3_{\frac{3\pi}{4}}$ . Obtener $z_1, z_2$ y $z_3$ .

Obtener los tres vértices del triángulo original.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué significa la notación $3_{\frac{3\pi}{4}}$ ?
02
Deshacer el giro
COMP2
¿Cuál es el argumento, en grados, del vértice original que al girar produce $3_{\frac{3\pi}{4}}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número de grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El vértice real
COMP2
Uno de los tres vértices es un número real. ¿Cuál?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $3_{\frac{3\pi}{4}}$ es la forma polar de módulo 3 y argumento $135^{\circ}$ .
2. Girar $\frac{\pi}{12}$ alrededor del origen es multiplicar por $e^{i\pi/12}$ , que no cambia el módulo: los vértices originales también tienen módulo 3.
3. Deshaciendo el giro, el vértice de partida tiene argumento $135^{\circ}-15^{\circ} = 120^{\circ}$ .
4. Los otros dos están a $120^{\circ}$ y $240^{\circ}$ de él, es decir en $240^{\circ}$ y $0^{\circ}$ .
5. Luego $z = 3$ , $\;z = -\frac32+\frac{3\sqrt3}{2}i$ y $\;z = -\frac32-\frac{3\sqrt3}{2}i$ .
El único dato que hace falta del giro es que no toca los módulos. Todo lo demás es aritmética de ángulos.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Un triángulo equilátero centrado en el origen, de vértices $z_1,z_2,z_3$ . Al girarlo $\frac{\pi}{12}$ respecto del origen, uno de los vértices resultantes es $3_{\frac{3\pi}{4}}$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 1 · COMP2 7 · COMP4 2.

1 · Las dos herramientas, y por qué bastan

Girar es multiplicar por una exponencial unitaria. Un giro de ángulo $\alpha$ alrededor del origen lleva $z$ a $z\,e^{i\alpha}$ : suma $\alpha$ al argumento y deja el módulo intacto, porque $\left|e^{i\alpha}\right| = 1$ .

Un triángulo equilátero centrado en el origen tiene sus tres vértices con el mismo módulo y argumentos separados $120^{\circ}$ . Eso es inmediato: los tres están a la misma distancia del centro, y el ángulo completo se reparte en tres partes iguales.

Con esas dos cosas, el dato de un solo vértice basta para reconstruir el triángulo entero.

2 · Deshacer el giro

La notación $3_{\frac{3\pi}{4}}$ es forma polar: módulo 3, argumento $\frac{3\pi}{4} = 135^{\circ}$ .

Si $z$ es el vértice original correspondiente,

z\,e^{i\frac{\pi}{12}} = 3\,e^{i\frac{3\pi}{4}} \;\Longrightarrow\; z = 3\,e^{i\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{12}\right)}

\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{12} = \frac{9\pi}{12}-\frac{\pi}{12} = \frac{8\pi}{12} = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}

Se resta, no se suma. El enunciado da el triángulo después del giro y pide el de antes; girar otra vez sería ir en la dirección equivocada.

El módulo se conserva, así que los tres vértices originales tienen módulo 3.

3 · Los tres vértices

Argumentos separados $120^{\circ}$ a partir de $120^{\circ}$ :

120^{\circ}, \qquad 240^{\circ}, \qquad 360^{\circ} \equiv 0^{\circ}

En forma binómica, con $\cos 120^{\circ} = -\frac12$ y $\mathrm{sen}\,120^{\circ} = \frac{\sqrt3}{2}$ :

z_1 = 3\,e^{i\,120^{\circ}} = -\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt3}{2}i

z_2 = 3\,e^{i\,240^{\circ}} = -\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt3}{2}i

z_3 = 3\,e^{i\,0^{\circ}} = 3

4 · Una observación que vale puntos

El enunciado dice «uno de los vértices que se obtiene», no «el primero». Y no hace falta saber cuál: como los tres son intercambiables por giros de $120^{\circ}$ , tomar otro de partida daría el mismo triángulo con los nombres cambiados.

Se comprueba: si el vértice girado conocido hubiera venido del que está en $240^{\circ}$ , entonces ese sería $135^{\circ}$ y los otros dos $135\pm120$ , es decir $15^{\circ}$ y $255^{\circ}$ … pero eso describe el triángulo ya girado, no otro distinto. La respuesta es única.

5 · Representación gráfica

Tres puntos sobre la circunferencia de radio 3: uno en el semieje real positivo, en el $3$ , y los otros dos simétricos respecto de ese eje, en el segundo y el tercer cuadrante. Girándolos $15^{\circ}$ en sentido positivo, el de $120^{\circ}$ aterriza en la bisectriz del segundo cuadrante, que es donde está $3_{\frac{3\pi}{4}}$ .

6 · Comprobación

Se gira el resultado y tiene que aparecer el dato del enunciado:

3\,e^{i\,120^{\circ}}\cdot e^{i\,15^{\circ}} = 3\,e^{i\,135^{\circ}} = 3_{\frac{3\pi}{4}} \quad\checkmark

Y la coherencia del triángulo: los tres módulos valen 3, la suma de los tres vértices es

3+\left(-\tfrac32+\tfrac{3\sqrt3}{2}i\right)+\left(-\tfrac32-\tfrac{3\sqrt3}{2}i\right) = 0

que es justo lo que tiene que dar el baricentro por tres cuando el triángulo está centrado en el origen. Esa comprobación cuesta una línea y caza cualquier error de signo.

Resultado

\boxed{\;z \in \left\{\,3,\;\; -\tfrac32+\tfrac{3\sqrt3}{2}i,\;\; -\tfrac32-\tfrac{3\sqrt3}{2}i \,\right\}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Primera evaluación, 16 de octubre de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la demostración es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos sucesiones ordenadas y sus límites

COMP 410 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar la siguiente propiedad. Sean $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ dos sucesiones tales que $x_n \le y_n \;\; \forall n \in \mathbb{N}$ y $\lim_{n\to\infty} x_n = x \;\wedge\; \lim_{n\to\infty} y_n = y$ . Entonces $x \le y$ .

Demostrar la propiedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay dos sucesiones convergiendo a la vez. ¿Qué cuidado obliga eso?
02
El épsilon
COMP2
Se supone $x>y$ para el absurdo. Con $x=5$ e $y=2$ , ¿qué $\varepsilon$ conviene tomar?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por reducción al absurdo, supongamos $x>y$ , y sea $\varepsilon = \dfrac{x-y}{2} > 0$ .
2. Por converger $x_n \to x$ , existe $m_1$ tal que $x_n > x-\varepsilon = \dfrac{x+y}{2}$ para todo $n>m_1$ .
3. Por converger $y_n \to y$ , existe $m_2$ tal que $y_n < y+\varepsilon = \dfrac{x+y}{2}$ para todo $n>m_2$ .
4. Para $n > \max(m_1,m_2)$ se cumplen las dos a la vez, y entonces $y_n < \dfrac{x+y}{2} < x_n$ .
5. Eso contradice $x_n \le y_n$ . Luego $x \le y$ .
Este es el ejercicio 2.5 del boletín, palabra por palabra. Cayó en el examen tal cual, que es la mejor razón para hacer los boletines.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una demostración propuesta, pendiente de revisión.

Datos. $x_n \le y_n$ para todo $n$ , $x_n \to x$ e $y_n \to y$ . Hay que demostrar que $x \le y$ .

Reparto de puntos del examen: COMP4 10. Todo son puntos de demostración: no hay nada que calcular.

Este enunciado es exactamente el ejercicio 2.5 de los problemas complementarios del tema 2. Conviene saberlo: los boletines no son material paralelo al examen, son el examen.

1 · Estrategia

Reducción al absurdo. La negación de $x \le y$ es $x > y$ , y de ahí sale una distancia positiva, $x-y$ , con la que fabricar el épsilon.

La definición que se va a usar, escrita, porque forma parte de lo que se puntúa:

\lim a_n = a \iff \forall \varepsilon>0\;\exists\, m \in \mathbb{N} :\; n>m \Rightarrow \left|a_n-a\right| < \varepsilon

2 · La demostración

Supongamos $x>y$ y tomemos

\varepsilon = \frac{x-y}{2} > 0

Por la convergencia de $\{x_n\}$ , existe $m_1$ tal que para todo $n>m_1$

\left|x_n-x\right| < \varepsilon \;\Longrightarrow\; x_n > x-\varepsilon = x-\frac{x-y}{2} = \frac{x+y}{2}

Por la de $\{y_n\}$ , existe $m_2$ tal que para todo $n>m_2$

\left|y_n-y\right| < \varepsilon \;\Longrightarrow\; y_n < y+\varepsilon = y+\frac{x-y}{2} = \frac{x+y}{2}

Sea ahora $n > \max(m_1,m_2)$ . Las dos desigualdades valen a la vez, y encadenándolas:

y_n < \frac{x+y}{2} < x_n

es decir $y_n < x_n$ , en contra de la hipótesis $x_n \le y_n$ . Contradicción.

Por tanto $x \le y$ . $\blacksquare$

3 · Los dos detalles que valen la nota

El máximo de los dos índices. Cada sucesión aporta su propio $m$ , y no tienen por qué coincidir. Escribir un solo índice para las dos es el descuido más frecuente en las demostraciones con dos sucesiones, y deja el argumento cojo: sin $\max(m_1,m_2)$ no se sabe que las dos desigualdades se cumplen en el mismo $n$ , que es justo lo que hace falta para encadenarlas.

La desigualdad se debilita. Aunque la hipótesis fuera estricta, $x_n < y_n$ , la conclusión seguiría siendo $x \le y$ . Contraejemplo: $x_n = 0$ e $y_n = \frac1n$ .

4 · Comprobación

Se pone a prueba la maquinaria con $x=5$ e $y=2$ , los números del paso de cálculo, construyendo dos sucesiones con esos límites y viendo que la hipótesis se rompe sola:

x_n = 5-\frac{4}{n} \;\to\; 5, \qquad y_n = 2+\frac{4}{n} \;\to\; 2

$n$	$x_n$	$y_n$	¿ $x_n \le y_n$ ?
1	$1$	$6$	sí
2	$3$	$4$	sí
3	$3{,}67$	$3{,}33$	no
4	$4$	$3$	no

A partir de $n=3$ se invierte y ya no vuelve. Y coincide con lo que anuncia la demostración: con $\varepsilon = 1{,}5$ hacen falta $\frac4n < 1{,}5$ , o sea $n>2{,}67$ , luego $m_1 = m_2 = 2$ y el cruce aparece justo en $n > \max(m_1,m_2) = 2$ .

El $\max$ no era un tecnicismo: predice el índice exacto donde surge la contradicción.

Resultado

\boxed{\;x_n \le y_n \;\;\forall n,\;\; x_n \to x,\;\; y_n \to y \;\;\Longrightarrow\;\; x \le y\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Primera evaluación, 16 de octubre de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Los primeros términos no cuentan para el límite, pero sí para la suma

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 22 puntos por calcular
COMP 46 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la sucesión $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ definida de la siguiente forma:

\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} n^{2} & n \le 2 \\[6pt] \dfrac{1}{3^{n}} & n > 2 \end{cases}

a) Estudiar la convergencia de la sucesión $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ .

b) Sea $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ la sucesión definida en el apartado anterior. Estudiar la convergencia de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ , y en caso de que sea convergente, calcular su suma.

Estudiar la convergencia de la sucesión y de la serie, y sumar.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los dos primeros términos valen 1 y 4, muy grandes comparados con el resto. ¿A qué afectan?
02
El límite de la sucesión
COMP2
¿Cuál es $\lim_{n\to\infty} a_n$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La suma de la serie
COMP2
¿Cuánto vale $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, o una fracción como 91/18 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta a los dos apartados. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. (a) La convergencia de una sucesión depende solo de su cola. Para $n>2$ vale $\frac{1}{3^{n}}$ , que tiende a 0: converge con límite 0.
2. (b) La serie converge, y por la misma razón: quitando dos términos queda una geométrica de razón $\frac13$ , con $\left|\frac13\right|<1$ .
3. Para el valor de la suma, en cambio, los dos primeros términos sí cuentan, y hay que sumarlos aparte.
4. $S = 1+4+\dfrac{1/27}{1-1/3} = 5+\dfrac{1}{18} = \dfrac{91}{18}$ .
Los seis puntos de COMP4 de este ejercicio están casi todos en esa distinción. El cálculo son dos puntos; explicarlo bien, seis.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. $a_n = n^{2}$ para $n\le2$ y $a_n = \frac{1}{3^{n}}$ para $n>2$ . Se pide la convergencia de la sucesión y la de la serie, con su suma.

Reparto de puntos del examen: COMP1 2 · COMP2 2 · COMP4 6. Fíjate en el reparto: el cálculo vale dos puntos y la explicación seis. Sumar bien no llega ni a la mitad de la nota; lo que se evalúa es entender por qué la cola decide una cosa y no la otra.

1 · Los términos

a_1 = 1, \quad a_2 = 4, \quad a_3 = \frac{1}{27}, \quad a_4 = \frac{1}{81}, \quad a_5 = \frac{1}{243}, \;\dots

Sube, se desploma y luego decrece hacia cero. No es monótona, y conviene decirlo para dejar claro que se ha mirado.

2 · Apartado (a): la sucesión

La convergencia de una sucesión depende solo de la cola: cambiar un número finito de términos no cambia el límite, porque la definición afirma algo sobre los $n$ mayores que cierto índice, y ese índice se puede tomar tan grande como haga falta.

Aquí los dos primeros términos son un número finito, así que se ignoran. Para $n>2$ :

\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^{n}} = 0

porque $\frac{1}{3^{n}} = \left(\frac13\right)^{n}$ es una potencia de base entre 0 y 1.

La sucesión converge, con límite 0. Y de paso: converge sin ser monótona, lo que recuerda que el teorema «monótona y acotada implica convergente» da una condición suficiente, no necesaria.

3 · Apartado (b): que la serie converja

Una serie converge o no según su cola, por la misma razón: quitarle un número finito de términos cambia el valor de la suma pero no si esa suma es finita.

La cola, de $n=3$ en adelante, es una serie geométrica de razón $r = \frac13$ . Como $\left|r\right| = \frac13 < 1$ , converge.

Conviene señalar el error gemelo antes de que aparezca: no se puede argumentar «como $a_n \to 0$ , la serie converge». Que el término general tienda a cero es condición necesaria y no suficiente; la serie armónica $\sum\frac1n$ lo cumple y suma infinito. Lo que decide aquí es que la cola sea geométrica de razón menor que 1.

4 · Apartado (b): el valor de la suma

Y aquí cambia la historia. Para el valor, los dos primeros términos cuentan enteros, así que la suma se parte:

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1+a_2+\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} = 1+4+\sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac13\right)^{n}

Una geométrica que empieza donde sea vale el primer término dividido entre $1-r$ :

\sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac13\right)^{n} = \frac{\left(\frac13\right)^{3}}{1-\frac13} = \frac{\frac{1}{27}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{27}\cdot\frac{3}{2} = \frac{1}{18}

S = 5+\frac{1}{18} = \frac{90+1}{18} = \frac{91}{18} \approx 5{,}0556

5 · La lección, en una frase

Para saber SI converge, mira solo el final. Para saber A QUÉ converge, míralo todo.

Los dos primeros términos aportan 5 de los $5{,}0556$ : más del 98 % de la suma. Y son exactamente los que no importaban nada en el apartado (a).

6 · Comprobación

De la cola, sumando a mano los primeros términos y viendo que se acercan a $\frac{1}{18} \approx 0{,}0556$ :

\frac{1}{27} \approx 0{,}0370, \qquad +\frac{1}{81} \approx 0{,}0494, \qquad +\frac{1}{243} \approx 0{,}0535, \qquad +\frac{1}{729} \approx 0{,}0549

Sube hacia $0{,}0556$ sin pasarse ✔.

Del orden de magnitud: la cola tiene que ser menor que $\frac{1}{27}\cdot\frac32 = \frac{1}{18}$ y mayor que su primer término $\frac{1}{27}$ . Y $0{,}037 < 0{,}0556$ ✔. Si hubiera salido una cola mayor que $\frac{1}{27}\cdot 2$ , habría un error en la razón.

Resultado

\boxed{\;\text{(a) converge, } \lim a_n = 0 \qquad \text{(b) converge, } \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{91}{18}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Primera evaluación · 2023-2024

Reconocer el camino

El extremo del lugar geométrico

Verificar la región

Justificar el argumento

1 · Restricciones previas

2 · Primera condición: una semirrecta

3 · Segunda condición: un semiplano

4 · La intersección

5 · Representación gráfica

6 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

Deshacer el giro

El vértice real

Justificar el argumento

1 · Las dos herramientas, y por qué bastan

2 · Deshacer el giro

3 · Los tres vértices

4 · Una observación que vale puntos

5 · Representación gráfica

6 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El épsilon

Justificar el argumento

1 · Estrategia

2 · La demostración

3 · Los dos detalles que valen la nota

4 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El límite de la sucesión

La suma de la serie

Justificar el argumento

1 · Los términos

2 · Apartado (a): la sucesión

3 · Apartado (b): que la serie converja

4 · Apartado (b): el valor de la suma

5 · La lección, en una frase

6 · Comprobación

Resultado