tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · primera evaluación

Primera evaluación · 2015-2016

5 de octubre de 2015 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un parámetro real con cuatro condicionesNúmeros complejos0 + 8 + 2 = 10 pts
Sea el número complejo $z = \dfrac{2+i}{a-i}$ , donde $a \in \mathbb{R}$ .

a) Calcular el valor de $a$ para que $z$ sea real.

b) Calcular el valor de $a$ para que $z$ sea imaginario puro.

c) Calcular $a$ para que el afijo del número complejo $z$ esté en la bisectriz del primer cuadrante.

d) Calcular $a$ para que el afijo del número complejo $z$ pertenezca a la circunferencia $x^{2}+y^{2} = 1$ .
Calcular el valor de $a$ en los cuatro casos.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Media elipse, cortada por una diagonalNúmeros complejos2 + 6 + 2 = 10 pts
Identificar y representar el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ que verifican:
$\begin{cases} \left|z+1+2i\right| + \left|z+1-2i\right| \le 5 \\[6pt] \operatorname{Re}(z) \ge \operatorname{Im}(z) \end{cases}$
Identificar la región y representarla.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Verdadera o falsa, y hay que demostrarloSucesiones y series numéricas2 + 0 + 8 = 10 pts
Razonar si la siguiente afirmación acerca de una sucesión $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es verdadera o falsa:
$\text{Si } a_n \ge 0 \text{ para todo } n \text{ y } \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} \text{ converge hacia } L, \text{ entonces } L \ge 0$
Razonar si es verdadera o falsa.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Primera evaluación, 5 de octubre de 2015 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · Enunciado idéntico al ejercicio 1.17 del boletín del tema 1. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un parámetro real con cuatro condiciones

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el número complejo $z = \dfrac{2+i}{a-i}$ , donde $a \in \mathbb{R}$ .

a) Calcular el valor de $a$ para que $z$ sea real.

b) Calcular el valor de $a$ para que $z$ sea imaginario puro.

c) Calcular $a$ para que el afijo del número complejo $z$ esté en la bisectriz del primer cuadrante.

d) Calcular $a$ para que el afijo del número complejo $z$ pertenezca a la circunferencia $x^{2}+y^{2} = 1$ .

Calcular el valor de $a$ en los cuatro casos.

01
Reconocer el camino
COMP1
Son cuatro apartados sobre el mismo número. ¿Qué conviene hacer primero?
02
Apartado (a)
COMP2
¿Para qué valor de $a$ es $z$ real?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Apartado (d)
COMP2
¿Para qué valores de $a$ está el afijo en la circunferencia unidad? Da los dos.
Tu respuesta al paso 3los dos valores separados por una coma — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución de los cuatro apartados. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se racionaliza una sola vez: $z = \frac{2a-1}{a^{2}+1}+i\frac{a+2}{a^{2}+1}$ , con $a^{2}+1>0$ siempre.
2. (a) $z$ real $\iff$ parte imaginaria nula $\iff a = -2$ .
3. (b) $z$ imaginario puro $\iff$ parte real nula $\iff a = \frac12$ .
4. (c) La bisectriz del primer cuadrante es $y=x$ con $x>0$ . De $2a-1 = a+2$ sale $a=3$ , y hay que comprobar el signo: las dos componentes valen $\frac12>0$ ✔
5. (d) $x^{2}+y^{2}=1$ es $\left|z\right|=1$ , y $\frac{\sqrt5}{\sqrt{a^{2}+1}} = 1$ da $a = \pm2$ .
El apartado (c) es el que separa una resolución completa de una a medias, y solo cuesta una línea: comprobar el signo.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. $z = \dfrac{2+i}{a-i}$ con $a \in \mathbb{R}$ , y cuatro condiciones sobre su afijo.

Reparto de puntos del examen: COMP2 8 · COMP4 2. No se evalúa COMP1: es el ejercicio más de cálculo de toda la colección. Este examen tiene tres ejercicios y 30 puntos.

Este enunciado es el ejercicio 1.17 del boletín del tema 1.

1 · El trabajo que sirve para los cuatro apartados

Se racionaliza una sola vez, multiplicando por el conjugado del denominador:

z = \frac{2+i}{a-i}\cdot\frac{a+i}{a+i} = \frac{(2+i)(a+i)}{a^{2}+1}

Desarrollando el numerador, con $i^{2} = -1$ :

(2+i)(a+i) = 2a+2i+ai+i^{2} = (2a-1)+(a+2)i

z = \underbrace{\frac{2a-1}{a^{2}+1}}_{\operatorname{Re} z} + i\,\underbrace{\frac{a+2}{a^{2}+1}}_{\operatorname{Im} z}

Y una observación que ahorra discutir casos: $a^{2}+1 > 0$ para todo $a$ real, así que el denominador nunca se anula y las cuatro condiciones se reducen a anular o igualar numeradores.

2 · Apartado (a): $z$ real

Parte imaginaria nula:

\frac{a+2}{a^{2}+1} = 0 \;\Longleftrightarrow\; a+2 = 0 \;\Longrightarrow\; a = -2

Comprobación: $z = \frac{2+i}{-2-i} = \frac{2+i}{-(2+i)} = -1$ , real ✔

3 · Apartado (b): $z$ imaginario puro

Parte real nula:

\frac{2a-1}{a^{2}+1} = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2a-1 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{1}{2}

Comprobación: con $a=\frac12$ , la parte imaginaria vale $\frac{\frac12+2}{\frac14+1} = \frac{2{,}5}{1{,}25} = 2$ , así que $z = 2i$ ✔

4 · Apartado (c): la bisectriz del primer cuadrante

Aquí está el matiz que decide el apartado. La bisectriz del primer cuadrante es la recta $y=x$ restringida a $x>0$ : la recta entera incluye también la bisectriz del tercer cuadrante.

Primero la igualdad:

\frac{2a-1}{a^{2}+1} = \frac{a+2}{a^{2}+1} \;\Longleftrightarrow\; 2a-1 = a+2 \;\Longrightarrow\; a = 3

Y después el signo, que es la parte que se olvida. Con $a=3$ :

\operatorname{Re} z = \frac{5}{10} = \frac12, \qquad \operatorname{Im} z = \frac{5}{10} = \frac12

Las dos componentes son positivas, así que el afijo está en el primer cuadrante y $a=3$ es válido ✔. Si hubieran salido negativas, el afijo estaría en la bisectriz del tercer cuadrante y habría que rechazarlo.

5 · Apartado (d): la circunferencia unidad

La condición $x^{2}+y^{2} = 1$ es exactamente $\left|z\right| = 1$ . Y como el módulo de un cociente es el cociente de módulos, este apartado se resuelve sin racionalizar:

\left|z\right| = \frac{\left|2+i\right|}{\left|a-i\right|} = \frac{\sqrt5}{\sqrt{a^{2}+1}} = 1

\sqrt{a^{2}+1} = \sqrt5 \;\Longrightarrow\; a^{2}+1 = 5 \;\Longrightarrow\; a^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; a = \pm2

Los dos valores valen. La condición solo depende de $a^{2}$ , así que es simétrica en el signo. Dar solo $a=2$ es medio apartado.

6 · Comprobación

apartado	$a$	$z$	¿cumple?
(a) real	$-2$	$-1$	✔
(b) imaginario puro	$\frac12$	$2i$	✔
(c) bisectriz 1.er cuadrante	$3$	$\frac12+\frac12 i$	✔
(d) $\lvert z\rvert=1$	$2$	$\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$	$\frac9{25}+\frac{16}{25} = 1$ ✔
(d) $\lvert z\rvert=1$	$-2$	$-1$	$\lvert-1\rvert = 1$ ✔

La última fila enseña algo bonito: con $a=-2$ el número es $-1$ , que es a la vez real y de módulo 1. Por eso $a=-2$ aparece en dos apartados.

Resultado

\boxed{\;\text{(a) } a=-2 \quad \text{(b) } a=\tfrac12 \quad \text{(c) } a=3 \quad \text{(d) } a=\pm2\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Primera evaluación, 5 de octubre de 2015 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Media elipse, cortada por una diagonal

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Identificar y representar el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ que verifican:

\begin{cases} \left|z+1+2i\right| + \left|z+1-2i\right| \le 5 \\[6pt] \operatorname{Re}(z) \ge \operatorname{Im}(z) \end{cases}

Identificar la región y representarla.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es la primera condición, y por qué es una desigualdad y no una igualdad?
02
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe la región simplificada, en $x$ e $y$ . Se comparan los puntos, así que vale cualquier forma equivalente.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadapor ejemplo (x+1)^2/2.25 + y^2/6.25 <= 1 & y <= x
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descripción de la región. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La primera condición es la definición de elipse con focos $-1-2i$ y $-1+2i$ , y al ser « $\le$ » describe el interior con borde.
2. $2a=5$ y $2c=4$ , luego $a=\frac52$ , $c=2$ y $b^{2} = \frac{25}{4}-4 = \frac94$ . Como $a>c$ , la elipse existe.
3. Centro $(-1,0)$ y eje mayor vertical, porque los focos están alineados verticalmente: $\frac{(x+1)^{2}}{9/4}+\frac{y^{2}}{25/4} \le 1$ .
4. La segunda condición es $x \ge y$ : el semiplano cerrado por debajo de la recta $y=x$ .
5. La región es el trozo de elipse que queda por debajo de esa recta: algo más de la mitad, porque la recta pasa por encima del centro.
Sustituir el centro en la segunda condición es la comprobación más rápida para saber de qué lado cae la mayor parte de la figura.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Se pide la región de los $z$ con $\left|z+1+2i\right|+\left|z+1-2i\right| \le 5$ y $\operatorname{Re}(z) \ge \operatorname{Im}(z)$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 2 · COMP2 6 · COMP4 2.

1 · Primera condición: el interior de una elipse

Reescribiendo los módulos como distancias:

\left|z-(-1-2i)\right| + \left|z-(-1+2i)\right| \le 5

Es la suma de las distancias a dos puntos fijos, acotada. La igualdad daría la elipse de focos $-1-2i$ y $-1+2i$ ; la desigualdad « $\le$ » da todo lo que queda dentro, con el borde incluido.

Conviene decir por qué dentro y no fuera: la suma de distancias crece al alejarse de los focos, así que ser pequeña significa estar cerca, es decir en el interior.

2 · Los parámetros de la elipse

2a = 5 \;\Longrightarrow\; a = \frac{5}{2}

Los focos, $(-1,-2)$ y $(-1,2)$ , están separados

2c = 4 \;\Longrightarrow\; c = 2

Comprobación de existencia: $a>c$ , es decir $\frac52 > 2$ ✔. Si la constante fuera menor que la separación entre focos no habría ningún punto, y si fuera igual el lugar sería el segmento que los une.

b^{2} = a^{2}-c^{2} = \frac{25}{4}-4 = \frac{9}{4} \;\Longrightarrow\; b = \frac{3}{2}

El centro es el punto medio de los focos, $(-1,0)$ . Y como los focos están alineados verticalmente, el eje mayor es el vertical:

\frac{(x+1)^{2}}{\frac94}+\frac{y^{2}}{\frac{25}{4}} \le 1

o, quitando denominadores,

\frac{4(x+1)^{2}}{9}+\frac{4y^{2}}{25} \le 1

La elipse llega hasta $y = \pm\frac52$ por arriba y por abajo, y hasta $x = -1\pm\frac32$ —es decir, $-2{,}5$ y $0{,}5$ — por los lados.

3 · Segunda condición: un semiplano

Con $z = x+iy$ se tiene $\operatorname{Re}(z) = x$ e $\operatorname{Im}(z) = y$ , así que la condición es simplemente

x \ge y

el semiplano cerrado por debajo de la recta $y=x$ , que es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

4 · La intersección

¿Por dónde corta la recta a la elipse? La forma rápida de orientarse es sustituir el centro:

(-1,0): \quad x = -1, \quad y = 0, \quad -1 \ge 0 \;\text{ es falso}

El centro no está en la región. Luego la recta pasa por encima del centro y la parte que se conserva es menor que la mitad de la elipse: la esquina inferior derecha.

Los cortes exactos salen de sustituir $y=x$ en la elipse:

\frac{4(x+1)^{2}}{9}+\frac{4x^{2}}{25} = 1

100(x+1)^{2}+36x^{2} = 225 \;\Longleftrightarrow\; 136x^{2}+200x-125 = 0

x = \frac{-200 \pm \sqrt{40\,000+68\,000}}{272} = \frac{-200 \pm \sqrt{108\,000}}{272}

x \approx 0{,}473 \quad\text{y}\quad x \approx -1{,}943

La cuerda va, aproximadamente, de $(-1{,}94,\,-1{,}94)$ a $(0{,}47,\,0{,}47)$ .

5 · Representación gráfica

Una elipse de pie, centrada en $(-1,0)$ , de semiejes $\frac32$ en horizontal y $\frac52$ en vertical. Sobre ella, la recta $y=x$ , que la corta en dos puntos, y sombreado el trozo que queda por debajo y a la derecha de esa recta. Los dos bordes entran: las dos desigualdades son no estrictas.

6 · Comprobación

Un punto de la región, $z = 0$ , es decir $(0,0)$ :

Elipse: $\frac{4\cdot1}{9}+0 = 0{,}444 \le 1$ ✔
Semiplano: $0 \ge 0$ ✔, justo en el borde.

Y en el enunciado original: $\left|1+2i\right|+\left|1-2i\right| = \sqrt5+\sqrt5 \approx 4{,}47 \le 5$ ✔

Un punto que debe quedar fuera, $z = -1+2i$ , que es uno de los focos:

Elipse: está dentro, claro ✔
Semiplano: $x=-1$ , $y=2$ , y $-1 \ge 2$ es falso ✗

Fuera, como debe: es la parte de la elipse que la recta se lleva.

Y otro fuera por el otro motivo, $z = 2$ :

Semiplano: $2 \ge 0$ ✔
Elipse: $\frac{4\cdot9}{9}+0 = 4 > 1$ ✗

Cada punto falla por una condición distinta, que es lo que hay que comprobar para saber que ninguna de las dos sobra.

Resultado

\boxed{\;\frac{(x+1)^{2}}{\frac94}+\frac{y^{2}}{\frac{25}{4}} \le 1 \quad\text{y}\quad y \le x\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Primera evaluación, 5 de octubre de 2015 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · Mismo contenido que el ejercicio 2.3 del boletín. El examen no publica solución: la demostración es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Verdadera o falsa, y hay que demostrarlo

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Razonar si la siguiente afirmación acerca de una sucesión $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es verdadera o falsa:

\text{Si } a_n \ge 0 \text{ para todo } n \text{ y } \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} \text{ converge hacia } L, \text{ entonces } L \ge 0

Razonar si es verdadera o falsa.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado pregunta si es verdadera o falsa. ¿Qué hay que entregar en cada caso?
02
El épsilon de la reducción al absurdo
COMP2
Se supone $L<0$ para el absurdo. Con $L = -1$ , ¿qué $\varepsilon$ conviene tomar?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La afirmación es verdadera, así que hay que demostrarla para todas las sucesiones, no comprobarla en ejemplos.
2. Por reducción al absurdo, supongamos $L<0$ , y sea $\varepsilon = \dfrac{\left|L\right|}{2} > 0$ .
3. Por definición de límite existe $m$ con $\left|a_n-L\right|<\varepsilon$ para $n>m$ ; en particular $a_n < L+\varepsilon = \dfrac{L}{2} < 0$ .
4. Eso contradice $a_n \ge 0$ para todo $n$ . Luego $L \ge 0$ .
5. El enunciado no se puede reforzar a $L>0$ : $a_n = \frac1n$ es un contraejemplo de esa versión más fuerte.
Fíjate en cómo la misma sucesión, $\frac1n$ , es inútil como demostración y valiosa como contraejemplo de la versión fuerte. Todo depende de qué se esté afirmando.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una demostración propuesta, pendiente de revisión.

Enunciado. Razonar si es verdadera o falsa: si $a_n \ge 0$ para todo $n$ y $a_n \to L$ , entonces $L \ge 0$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 2 · COMP4 8.

El enunciado de este examen tiene una errata: la línea de competencias dice «COMP2 y COMP4» pero el desglose reparte COMP1 y COMP4. Se sigue el desglose, que es el que suma 10.

El contenido es el del ejercicio 2.3 del boletín, aquí planteado como «verdadera o falsa» en vez de «demostrar».

1 · Qué pide exactamente «razonar si es verdadera o falsa»

Las dos respuestas posibles piden trabajos distintos, y reconocerlo son los dos puntos de COMP1:

Si es falsa, basta exhibir un contraejemplo: una sucesión que cumpla las hipótesis y no la tesis.
Si es verdadera, hace falta una demostración general. Ningún número de ejemplos sirve.

Aquí es verdadera, así que toca demostrar.

2 · La demostración

La tesis es una desigualdad no estricta, y esas se demuestran casi siempre por reducción al absurdo.

Definición que se va a usar:

\lim a_n = L \iff \forall\varepsilon>0\;\exists\, m \in \mathbb{N} :\; n>m \Rightarrow \left|a_n-L\right| < \varepsilon

Supongamos $L<0$ . Entonces $-L>0$ y se puede tomar

\varepsilon = \frac{-L}{2} = \frac{\left|L\right|}{2} > 0

—positivo precisamente porque $L$ es negativo—.

Por la definición existe $m$ tal que para todo $n>m$

\left|a_n-L\right| < \varepsilon \;\Longrightarrow\; a_n < L+\varepsilon = L-\frac{L}{2} = \frac{L}{2} < 0

Es decir: todos los términos a partir de $m$ serían estrictamente negativos. Pero la hipótesis dice que $a_n \ge 0$ para todo $n$ . Contradicción.

Por tanto la afirmación es verdadera:

L \ge 0 \qquad \blacksquare

3 · Hasta dónde llega, y hasta dónde no

La conclusión no se puede reforzar. La versión fuerte —«entonces $L>0$ »— sería falsa, y el contraejemplo es inmediato:

a_n = \frac{1}{n}

tiene todos sus términos estrictamente positivos y su límite es exactamente 0.

Merece la pena fijarse en el doble papel de esa sucesión: como demostración de la afirmación del enunciado no vale nada, porque un ejemplo no prueba un universal; como contraejemplo de la versión reforzada vale la respuesta entera. Todo depende de qué se esté afirmando.

La regla que queda: al pasar al límite, las desigualdades estrictas se debilitan. De $a_n>0$ solo se deduce $L \ge 0$ .

4 · Comprobación

Se construye una sucesión que tienda a un límite negativo y se cuenta cuántos términos consigue mantener no negativos:

a_n = -1+\frac{2}{n} \;\longrightarrow\; -1

a_1 = 1 \ge 0, \qquad a_2 = 0 \ge 0, \qquad a_3 = -0{,}33 < 0, \qquad a_4 = -0{,}5 < 0,\;\dots

Solo dos. Y con el $\varepsilon = 0{,}5$ de la demostración: desde $\frac2n < 0{,}5$ , o sea $n \ge 5$ , todos son menores que $-0{,}5$ .

Por mucho que se estire, los términos no negativos son siempre finitos, y la hipótesis los exige para todo $n$ .

Resultado

\boxed{\;\text{La afirmación es VERDADERA: } a_n \ge 0 \;\forall n \text{ y } a_n \to L \Longrightarrow L \ge 0\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Primera evaluación · 2015-2016

Reconocer el camino

Apartado (a)

Apartado (d)

Justificar el argumento

1 · El trabajo que sirve para los cuatro apartados

2 · Apartado (a): zzz real

3 · Apartado (b): zzz imaginario puro

4 · Apartado (c): la bisectriz del primer cuadrante

5 · Apartado (d): la circunferencia unidad

6 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

Verificar la región

Justificar el argumento

1 · Primera condición: el interior de una elipse

2 · Los parámetros de la elipse

3 · Segunda condición: un semiplano

4 · La intersección

5 · Representación gráfica

6 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El épsilon de la reducción al absurdo

Justificar el argumento

1 · Qué pide exactamente «razonar si es verdadera o falsa»

2 · La demostración

3 · Hasta dónde llega, y hasta dónde no

4 · Comprobación

Resultado

2 · Apartado (a): $z$ real

3 · Apartado (b): $z$ imaginario puro