tal cual cayó — sin cambiar un número
Cálculo · recuperación del primer cuatrimestre, con la 5.ª evaluación
Recuperación del primer cuatrimestre, con la 5.ª evaluación · 2020-2021
26 de abril de 2021 · 3 ejercicios · 30 puntos
Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.
Los dos lugares de un cociente, y los dos puntos que hay que quitarNúmeros complejos1 + 6 + 3 = 10 pts
Calcular y dibujar el lugar geométrico de los afijos de los números complejos tales que
a) es un número real.
b) es un número imaginario puro.
Los dos lugares geométricos, calculados y dibujados.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una tangente sin despejar la yFunciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular la recta tangente a la curva en el punto .
La ecuación de la recta tangente en ese punto.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El polinomio de McLaurin sin resolver la ecuaciónEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea una función que pasa por el punto tal que . Calcular el polinomio de McLaurin de orden 3 de la función .
El polinomio de McLaurin de orden 3.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.
Los dos lugares de un cociente, y los dos puntos que hay que quitar
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Calcular y dibujar el lugar geométrico de los afijos de los números complejos tales que
a) es un número real.
b) es un número imaginario puro.
Los dos lugares geométricos, calculados y dibujados.
- 01
Reconocer el camino
COMP1¿Cómo se impone que sea real?
La primera mitad está bien: es real si y solo si . La segunda no se sigue, porque la transformación no es la identidad. Desarrollando esa igualdad sale una circunferencia, no el eje real.
Eso es que sea real, que es otra cosa. Compruébalo con : queda , que no es real. La transformación mezcla las dos partes.
Eso es. Es el procedimiento de siempre: la condición «es real» solo se puede escribir cuando el número está separado en sus dos partes, y para separarlo hay que quitarle la al denominador.
- 02
La ordenada del centro
COMP2El lugar del apartado a) es una circunferencia con el centro sobre el eje imaginario. ¿Cuál es su ordenada?
en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Te has quedado con el coeficiente de sin partirlo por la mitad. De , al completar cuadrados, el centro queda en : la mitad de .
Signo. En el centro es : es el número que se resta dentro del cuadrado.
Has partido por la mitad dos veces. El coeficiente de en es , y la mitad de eso es .
Con , separa y anula su parte imaginaria; te quedará .
Desarrollo
Con , el numerador es y el denominador . Multiplicando por el conjugado del denominador,
Anular la parte imaginaria da
- 03
El radio
COMP2¿Cuánto vale el radio de esa circunferencia?
en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Ese es el centro, no el radio. Al completar cuadrados aparecen los dos: el va dentro del paréntesis y el radio sale de lo que queda al otro lado del igual.
No has dividido entre toda la ecuación. De sale : el también se parte.
Eso es . Falta la raíz cuadrada: .
Completa cuadrados en y mira lo que queda a la derecha.
Desarrollo
Centro en y radio : la circunferencia va de a sobre el eje imaginario.
- 04
El punto que hay que quitar
COMP2Hay un que anula el denominador y que, por tanto, sobra en los dos lugares. Está sobre el eje imaginario: ¿cuál es su ordenada?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Al despejar hay que acordarse de que , así que . La ordenada es .
Ese es el punto donde . También merece un comentario —si se exige que un imaginario puro no sea cero, sale del apartado b)— pero no es el que anula el denominador.
Resuelve .
Desarrollo
Y está sobre la circunferencia del apartado a): su ordenada es . Está también, obviamente, sobre el eje imaginario del apartado b). Hay que excluirlo de los dos.
- 05
Justificar el argumento
COMP4Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Se cortan, y en dos puntos: la circunferencia toca al eje imaginario en y en . Y no es casualidad: son exactamente los dos puntos que hay que discutir. En el primero , que es real y —según el convenio que se use— también imaginario puro; en el segundo no existe. Lo raro sería que no se cortaran.
El razonamiento, en orden
Con y multiplicando por el conjugado del denominador, y .
a) da : la circunferencia de centro y radio .
b) da , es decir : el eje imaginario entero.
El denominador se anula en , donde ni siquiera está definido: ese punto se quita de los dos lugares.
Y en sale , que es real; si se exige que un imaginario puro tenga parte imaginaria no nula, ese punto también se sale del apartado b).
Resolución completa
Separar . Con , el numerador es y el denominador . Multiplicando arriba y abajo por el conjugado del denominador:
El numerador real sale sorprendentemente limpio —— porque los términos en se cancelan. Eso es lo que hace que el apartado b) sea una recta.
a) real. Hay que anular la parte imaginaria:
Es la circunferencia de centro y radio .
b) imaginario puro. Hay que anular la parte real:
Es el eje imaginario. Y se comprueba de un vistazo: para queda , imaginario puro para todo .
Los dos puntos que se quitan. El denominador se anula en
y ahí no existe: fuera de los dos lugares. Y en sale ; si se exige que un imaginario puro tenga parte imaginaria no nula, ese punto sale también del apartado b). Conviene decirlo, porque es justo lo que COMP4 mira.
El dibujo. Los dos lugares se cortan exactamente en esos dos puntos.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Una tangente sin despejar la y
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Calcular la recta tangente a la curva en el punto .
La ecuación de la recta tangente en ese punto.
- 01
Reconocer el camino
COMP1La curva viene dada por una ecuación implícita. ¿Cómo se saca la pendiente?
Ahí sigue habiendo una dentro de la raíz: no has despejado nada. Esta cúbica sí se puede despejar con la fórmula de Cardano, pero el resultado es impresentable y no hace ninguna falta.
Esa es una secante, no una tangente: corta la curva en dos puntos. Además sería , de pendiente , y la tangente resultará tener pendiente .
Eso es. La clave está en el término : al derivarlo hay que usar la regla del producto, porque los dos factores dependen de .
- 02
La pendiente
COMP2¿Cuánto vale en el punto ?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Signo. Al despejar, , así que . En el punto el numerador es y el denominador .
Te has dejado la regla del producto en : su derivada es , no solo . El que falta es el que hace que el denominador sea y no .
Has cambiado el numerador por el denominador. La pendiente es , no al revés.
Deriva los tres sumandos, acuérdate del producto en , y agrupa los términos con .
Desarrollo
- 03
Dónde corta al eje de ordenadas
COMP2¿En qué punto corta la recta tangente al eje ?
un número, la ordenada del corte — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Eso sería si la tangente fuera horizontal. Con pendiente la recta baja: .
Esa es la secante , la que pasa por el origen. La tangente tiene pendiente y no pasa por .
Signo al despejar. De sale : la ordenada en el origen es .
Escribe la recta punto-pendiente y haz .
Desarrollo
En la recta vale .
- 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
La simetría es cierta, pero de ella sale lo contrario. Si la curva es simétrica respecto de la diagonal y el punto está sobre la diagonal, la tangente en ese punto también tiene que ser simétrica respecto de ella; y una recta que coincide con su propia reflexión o es la diagonal o es perpendicular a ella. Como la curva no es la recta , queda lo segundo: pendiente .
El razonamiento, en orden
El punto está en la curva: .
Derivando implícitamente, , y de ahí .
En el denominador vale , así que la tangente no es vertical y la fórmula se puede usar.
La pendiente es y la recta es .
Resolución completa
Primero, comprobar el punto. No es un formalismo: si el punto no estuviera en la curva, no habría tangente que calcular.
Derivación implícita. Se deriva la igualdad entera respecto de , recordando que es función de y que es un producto:
Agrupando los términos con :
En el punto.
El denominador no se anula, así que la tangente existe y no es vertical.
La recta.
Por qué tenía que salir . La curva es el folio de Descartes, y es simétrica respecto de la recta : intercambiar e deja la ecuación igual. El punto está sobre esa diagonal, así que la tangente allí es su propia reflexión respecto de ella: o es la diagonal, o es perpendicular. Y como la curva no es la diagonal, la pendiente tiene que ser . Es una comprobación de diez segundos que vale por todo el cálculo.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
El polinomio de McLaurin sin resolver la ecuación
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Sea una función que pasa por el punto tal que . Calcular el polinomio de McLaurin de orden 3 de la función .
El polinomio de McLaurin de orden 3.
- 01
Reconocer el camino
COMP1No nos dan , solo una ecuación que cumple. ¿Cómo se sacan los coeficientes?
Eso es, y es la gracia del ejercicio. lo da el punto, lo da la ecuación, sale de derivar la ecuación, y así. No hace falta resolverla.
La ecuación diferencial es el resto de la información. Fija a partir de , y al derivarla fija a partir de e , y así indefinidamente. Con una condición inicial y una ecuación de primer orden hay de sobra.
Se puede, y de hecho la ecuación es separable y sale . Pero después hay que componer dos series para llegar al grado 3, y eso es más largo y se presta a más errores que derivar tres veces.
- 02
La segunda derivada en cero
COMP2¿Cuánto vale ?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Te has dejado la regla del producto. es un producto de dos funciones de , así que : el primer sumando es el que falta.
Has derivado como si fuera una constante y luego has vuelto a derivar el . Aquí depende de , y por eso la cadena no se corta nunca.
Deriva con la regla del producto y evalúa en usando e .
Desarrollo
donde .
- 03
La tercera derivada en cero
COMP2¿Y ?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Has derivado olvidándote del primer sumando: su derivada es , y hay que sumarla. Sale y no .
Solo has derivado el segundo sumando y además a medias. La derivada de es , y a eso hay que añadirle el que viene de derivar la suelta.
Deriva término a término; los dos aportan un .
Desarrollo
- 04
El coeficiente de x³
COMP2¿Cuál es el coeficiente de en el polinomio?
en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Ese es a secas. El coeficiente de Taylor lleva el factorial debajo: .
Has dividido entre en vez de entre . El denominador del término de grado es , no .
Ese es el coeficiente de en la serie de , que es . Aquí el exponente no es sino , y ese también aporta a grado 3.
.
Desarrollo
- 05
Justificar el argumento
COMP4Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
La solución sí es , pero al componer las series hay que mirar todos los términos que caen en grado 3, no solo el que viene de . El del exponente entra también por : da . Sumando, , que es lo que sale derivando.
El razonamiento, en orden
El punto da , y la ecuación evaluada en da .
Derivando la ecuación, , y en vale .
Derivando otra vez, , y en vale .
Con la fórmula de Taylor, .
Resolución completa
La idea. No hace falta resolver la ecuación. Un polinomio de McLaurin solo necesita los valores de y de sus derivadas en , y la propia ecuación los va dando uno a uno.
Los cuatro valores.
La regla del producto es el único sitio donde se falla: tiene los dos factores dependiendo de .
El polinomio.
La comprobación, por el camino largo. La ecuación es separable: , de donde y . Desarrollando con :
Y recogiendo hasta grado 3: de sale ; de sale ; de sale . En total
Coincide. Y de paso queda claro por qué el camino corto es el bueno: por el largo hay que acordarse de que el del exponente también llega a grado 3, que es donde se cae casi todo el mundo.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.