tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · primera evaluación

Primera evaluación · 2022-2023

24 de octubre de 2022 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una recta partida en dos, y un apartado sin soluciónNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
a) Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición siguiente:
$\arg\left(\frac{z+\overline{1-2i}}{1-z}\right) = \pi$
b) Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición:
$\left|z\right|^{4} = 1+i\sqrt{3}$
Resolver los dos apartados y representarlos.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El coseno al cuadrado, para argumentos complejoslos 10 puntos son demostración — cero cálculoNúmeros complejos0 + 0 + 10 = 10 pts
Demostrar la fórmula
$\cos^{2} z = \frac{1+\cos 2z}{2} \qquad \forall z \in \mathbb{C}$
Demostrar la fórmula para todo complejo.
- COMP 410 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La desigualdad que sobrevive al límite (otra vez)los 10 puntos son demostración — cero cálculoSucesiones y series numéricas0 + 0 + 10 = 10 pts
Demostrar la siguiente propiedad. Sean $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ dos sucesiones tales que $x_n \le y_n \;\; \forall n \in \mathbb{N}$ y $\lim_{n\to\infty} x_n = x \;\wedge\; \lim_{n\to\infty} y_n = y$ . Entonces $x \le y$ .
Demostrar la propiedad.
- COMP 410 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cuatro definiciones y una serie que no puede convergerSucesiones y series numéricas2 + 1 + 7 = 10 pts
a) Definir formalmente los siguientes conceptos: sucesión creciente, sucesión decreciente, sucesión acotada y sucesión convergente.

b) Estudiar dichos conceptos para la sucesión $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ definida de la siguiente forma:
$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} n^{2} & n < 20 \\[8pt] 2-\dfrac{1}{n^{2}} & n \ge 20 \end{cases}$
c) Sea $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ la sucesión definida en el apartado anterior. ¿Es convergente la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ?
Definir, estudiar la sucesión y decidir sobre la serie.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 21 punto por calcular
- COMP 47 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Primera evaluación, 24 de octubre de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una recta partida en dos, y un apartado sin solución

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición siguiente:

\arg\left(\frac{z+\overline{1-2i}}{1-z}\right) = \pi

b) Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición:

\left|z\right|^{4} = 1+i\sqrt{3}

Resolver los dos apartados y representarlos.

01
Reconocer el camino
COMP1
Mira el apartado (b) antes de calcular nada. ¿Qué se ve?
02
La recta del apartado (a)
COMP2
Los afijos del apartado (a) están sobre una recta. ¿Cuál es su pendiente?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado (b)
COMP2
¿Cuántos números complejos cumplen $\left|z\right|^{4} = 1+i\sqrt3$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del apartado (a). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\overline{1-2i} = 1+2i$ , así que la condición es $\arg\left(\frac{z-(-1-2i)}{1-z}\right) = \pi$ .
2. Como $1-z = -(z-1)$ , se tiene $\arg(1-z) = \arg(z-1)+\pi$ .
3. Sustituyendo, la condición queda $\arg\left(z+1+2i\right)-\arg\left(z-1\right) = 2\pi \equiv 0$ .
4. Es decir: los vectores que van de $-1-2i$ a $z$ y de $1$ a $z$ apuntan en la misma dirección y sentido. Eso ocurre sobre la recta que une los dos puntos, pero fuera del segmento.
5. La recta es $y = x-1$ , y el resultado son sus dos semirrectas exteriores: $x>1$ y $x<-1$ .
Cuando la diferencia de argumentos sale 0 el resultado es «fuera del segmento»; si hubiera salido $\pi$ , sería «dentro». Merece la pena quedarse con las dos.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. Dos lugares geométricos independientes: (a) el de $\arg\left(\frac{z+\overline{1-2i}}{1-z}\right) = \pi$ y (b) el de $\left|z\right|^{4} = 1+i\sqrt3$ .

Reparto de puntos del examen: COMP1 1 · COMP2 7 · COMP4 2.

1 · Apartado (a): deshacer el conjugado

Lo primero, y es donde se cae medio ejercicio:

\overline{1-2i} = 1+2i

así que el numerador es $z+1+2i = z-\left(-1-2i\right)$ : el vector que va del punto $-1-2i$ al afijo de $z$ .

Escribirlo así, como diferencia, es lo que permite leerlo geométricamente. Dejarlo como suma esconde el punto.

2 · Apartado (a): traducir la condición

El denominador tiene un signo escondido:

1-z = -\left(z-1\right) \;\Longrightarrow\; \arg\left(1-z\right) = \arg\left(z-1\right)+\pi

El argumento de un cociente es la diferencia de argumentos, así que la condición es

\arg\left(z+1+2i\right)-\arg\left(z-1\right)-\pi = \pi

\arg\left(z+1+2i\right)-\arg\left(z-1\right) = 2\pi \equiv 0 \pmod{2\pi}

Traducido: los dos vectores apuntan en la misma dirección y el mismo sentido. Uno va de $-1-2i$ a $z$ ; el otro, de $1$ a $z$ .

3 · Apartado (a): dónde pasa eso

Dos vectores con el mismo origen distinto y el mismo destino son paralelos solo si los tres puntos están alineados. Y apuntan en el mismo sentido solo si $z$ está fuera del segmento que une $-1-2i$ con $1$ :

Si $z$ está más allá de $1$ , los dos vectores van hacia la derecha ✔
Si $z$ está más allá de $-1-2i$ , los dos van hacia la izquierda ✔
Si $z$ está entre los dos, apuntan en sentidos contrarios y la diferencia de argumentos vale $\pi$ , no 0 ✗

La recta por $(-1,-2)$ y $(1,0)$ tiene pendiente $\frac{0+2}{1+1} = 1$ :

y = x-1

Y los dos extremos se excluyen: en $z=1$ el denominador se anula y en $z = -1-2i$ el numerador, y el argumento de 0 no está definido.

\boxed{\;y = x-1 \quad\text{con}\quad x>1 \;\text{ o }\; x<-1\;}

Dos semirrectas abiertas de la misma recta, con el segmento del medio quitado.

4 · Apartado (b): no hay solución, y hay que decir por qué

\left|z\right|^{4} = 1+i\sqrt3

El primer miembro es el módulo elevado a la cuarta: un número real y no negativo, porque un módulo es una distancia.

El segundo tiene parte imaginaria $\sqrt3 \neq 0$ .

Dos números complejos iguales tienen la misma parte imaginaria. Aquí una vale 0 y la otra $\sqrt3$ , así que la igualdad es imposible:

\boxed{\;\left\{z \in \mathbb{C} : \left|z\right|^{4} = 1+i\sqrt3\right\} = \varnothing\;}

No hay nada que representar, y eso también se dibuja: un plano vacío con la explicación al lado.

5 · Por qué el apartado (b) está puesto

Porque a un golpe de vista parece $z^{4} = 1+i\sqrt3$ , que sí tiene cuatro soluciones y es un ejercicio de rutina. Las barras lo cambian todo. El apartado premia leer el enunciado antes de arrancar a calcular, que es justo lo que un examen quiere medir.

Si el enunciado hubiera sido $\left|z\right|^{4} = 2$ , la respuesta sería la circunferencia $\left|z\right| = \sqrt[4]{2}$ . Merece la pena decirlo para dejar claro que se ha entendido la diferencia.

6 · Comprobación

Del apartado (a), con dos puntos de cada semirrecta y uno del segmento:

$z = 3+2i$ (sobre $y=x-1$ , con $x>1$ ). Numerador $4+4i$ , de argumento $45^{\circ}$ ; denominador $1-z = -2-2i$ , de argumento $225^{\circ}$ . Diferencia: $45-225 = -180 \equiv 180^{\circ} = \pi$ ✔
$z = -3-4i$ (con $x<-1$ ). Numerador $-2-2i$ , argumento $225^{\circ}$ ; denominador $4+4i$ , argumento $45^{\circ}$ . Diferencia: $225-45 = 180^{\circ}$ ✔
$z = -i$ (sobre la recta, entre los dos puntos). Numerador $1+i$ y denominador $1+i$ : el cociente vale 1, de argumento $0 \neq \pi$ ✗. Queda fuera, como debe.

Del apartado (b): cualquier $z$ que se pruebe da un primer miembro real. Con $z = 1+i$ , $\left|z\right|^{4} = \left(\sqrt2\right)^{4} = 4$ , que no es $1+i\sqrt3$ . Y no es mala suerte: nunca va a serlo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Primera evaluación, 24 de octubre de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la demostración es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El coseno al cuadrado, para argumentos complejos

COMP 410 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar la fórmula

\cos^{2} z = \frac{1+\cos 2z}{2} \qquad \forall z \in \mathbb{C}

Demostrar la fórmula para todo complejo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué hay algo que demostrar, si la fórmula ya se conoce de trigonometría?
02
Un valor que en los reales sería imposible
COMP2
¿Cuánto vale $\cos^{2}(i)$ ? Da el resultado en forma exacta, o con tres decimales.
Tu respuesta al paso 2un número en forma exacta, o con tres decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se parte de la definición del coseno complejo, $\cos w = \dfrac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}$ , válida para todo $w \in \mathbb{C}$ .
2. Elevando al cuadrado y usando $e^{iz}e^{-iz} = e^{0} = 1$ : $\cos^{2}z = \dfrac{e^{2iz}+2+e^{-2iz}}{4}$ .
3. Por otro lado, con el argumento $2z$ , $\cos 2z = \dfrac{e^{2iz}+e^{-2iz}}{2}$ .
4. Entonces $\dfrac{1+\cos 2z}{2} = \dfrac{2+e^{2iz}+e^{-2iz}}{4}$ , que es la misma expresión.
5. No se ha supuesto nada sobre $z$ , así que la igualdad vale para todo $z \in \mathbb{C}$ .
Esta demostración es gemela del ejercicio 1.27 del boletín, el de $\mathrm{sen}^{2}z$ . Cambia un signo y poco más — pero el signo hay que ponerlo bien.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una demostración propuesta, pendiente de revisión.

Enunciado. Demostrar que $\cos^{2} z = \dfrac{1+\cos 2z}{2}$ para todo $z \in \mathbb{C}$ .

Reparto de puntos del examen: COMP4 10. Todo es demostración.

1 · De dónde se parte, y por qué no vale la identidad real

En $\mathbb{C}$ el coseno se define a partir de la exponencial:

\cos w = \frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}, \qquad w \in \mathbb{C}

Es importante decirlo antes de empezar: no se puede invocar la identidad trigonométrica real, porque estas son funciones distintas que coinciden con las reales solo sobre el eje real.

Y no es una precaución retórica. Hay propiedades que no sobreviven al cambio: el coseno complejo no está acotado, y $\cos^{2}z$ puede pasar de 1 —con $z=i$ vale $2{,}38$ — o incluso ser negativo. Si algunas propiedades se caen, ninguna se puede dar por heredada: hay que probarla.

La definición vale para todo $z$ complejo, sin restricciones, porque la exponencial compleja está definida en todo el plano. Ahí está la hipótesis del « $\forall z$ » del enunciado.

2 · El primer miembro

\cos^{2}z = \left(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)^{2} = \frac{\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)^{2}}{4}

Desarrollando el cuadrado del binomio, y usando que $e^{iz}\cdot e^{-iz} = e^{0} = 1$ :

\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)^{2} = e^{2iz}+2\,e^{iz}e^{-iz}+e^{-2iz} = e^{2iz}+2+e^{-2iz}

Por tanto

\cos^{2}z = \frac{e^{2iz}+2+e^{-2iz}}{4}

3 · El segundo miembro

La misma definición, con el argumento $2z$ :

\cos 2z = \frac{e^{2iz}+e^{-2iz}}{2}

y entonces

\frac{1+\cos 2z}{2} = \frac{1}{2}\left(1+\frac{e^{2iz}+e^{-2iz}}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2+e^{2iz}+e^{-2iz}}{2} = \frac{2+e^{2iz}+e^{-2iz}}{4}

4 · Conclusión

Los dos miembros son la misma expresión:

\cos^{2}z = \frac{2+e^{2iz}+e^{-2iz}}{4} = \frac{1+\cos 2z}{2}

En ningún paso se ha supuesto nada sobre $z$ —ni que sea real, ni que esté en ninguna región—, así que la igualdad vale para todo $z \in \mathbb{C}$ , que es lo que se pedía. $\blacksquare$

5 · Comprobación numérica

No forma parte de la demostración, pero detecta errores de signo. Con $z = i$ :

\cos i = \frac{e^{-1}+e^{1}}{2} = \cosh 1 \approx 1{,}5431 \;\Longrightarrow\; \cos^{2}(i) \approx 2{,}3811

\frac{1+\cos 2i}{2} = \frac{1+\cosh 2}{2} \approx \frac{1+3{,}7622}{2} \approx 2{,}3811

Coinciden. Y de paso se ve lo que en $\mathbb{R}$ sería imposible: el cuadrado de un coseno mayor que 1.

6 · La familia de esta identidad

Es la gemela del ejercicio 1.27 del boletín, $\mathrm{sen}^{2}z = \frac{1-\cos 2z}{2}$ : misma técnica, un signo de diferencia. Sumando las dos se recupera $\mathrm{sen}^{2}z+\cos^{2}z = 1$ , que también vale en $\mathbb{C}$ —y que, ojo, no implica que seno y coseno estén acotados, porque los dos sumandos pueden ser grandes y de signos contrarios.

Resultado

\boxed{\;\cos^{2} z = \frac{1+\cos 2z}{2} \quad\text{para todo } z \in \mathbb{C}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Primera evaluación, 24 de octubre de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · Enunciado idéntico al ejercicio 3 de 2023-2024 y al 2.5 del boletín. El examen no publica solución: la demostración es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La desigualdad que sobrevive al límite (otra vez)

COMP 410 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar la siguiente propiedad. Sean $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ dos sucesiones tales que $x_n \le y_n \;\; \forall n \in \mathbb{N}$ y $\lim_{n\to\infty} x_n = x \;\wedge\; \lim_{n\to\infty} y_n = y$ . Entonces $x \le y$ .

Demostrar la propiedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
Este enunciado ya ha caído antes, palabra por palabra. ¿Qué conviene sacar de ahí?
02
El épsilon
COMP2
Se supone $x>y$ para el absurdo. Con $x=1$ e $y=0{,}4$ , ¿qué $\varepsilon$ conviene tomar?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por reducción al absurdo, supongamos $x>y$ , y sea $\varepsilon = \dfrac{x-y}{2} > 0$ .
2. Existe $m_1$ tal que $x_n > x-\varepsilon = \dfrac{x+y}{2}$ para todo $n>m_1$ .
3. Existe $m_2$ tal que $y_n < y+\varepsilon = \dfrac{x+y}{2}$ para todo $n>m_2$ .
4. Para $n > \max(m_1,m_2)$ valen las dos, y entonces $y_n < \dfrac{x+y}{2} < x_n$ , en contra de $x_n \le y_n$ .
5. Luego la suposición era falsa y $x \le y$ .
El $\max(m_1,m_2)$ es la pieza que distingue una demostración cuidada de una que «se entiende». Y es la que se olvida.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una demostración propuesta, pendiente de revisión.

Datos. $x_n \le y_n$ para todo $n$ , $x_n \to x$ e $y_n \to y$ . Hay que demostrar que $x \le y$ .

Reparto de puntos del examen: COMP4 10.

Este enunciado ha caído al menos tres veces: aquí, en el ejercicio 3 de 2023-2024 y como ejercicio 2.5 del boletín del tema 2. Es la razón más concreta que hay para hacer las demostraciones del boletín en vez de saltárselas.

1 · Estrategia

Reducción al absurdo. La negación de $x \le y$ es $x > y$ , y de esa diferencia positiva sale el épsilon.

La definición, escrita, porque forma parte de lo que se puntúa:

\lim a_n = a \iff \forall \varepsilon>0\;\exists\, m \in \mathbb{N} :\; n>m \Rightarrow \left|a_n-a\right| < \varepsilon

2 · La demostración

Supongamos $x>y$ y tomemos

\varepsilon = \frac{x-y}{2} > 0

Por converger $\{x_n\}$ , existe $m_1$ tal que para todo $n>m_1$

\left|x_n-x\right| < \varepsilon \;\Longrightarrow\; x_n > x-\varepsilon = \frac{x+y}{2}

Por converger $\{y_n\}$ , existe $m_2$ tal que para todo $n>m_2$

\left|y_n-y\right| < \varepsilon \;\Longrightarrow\; y_n < y+\varepsilon = \frac{x+y}{2}

Tomando $n > \max(m_1,m_2)$ se cumplen las dos a la vez:

y_n < \frac{x+y}{2} < x_n

es decir $y_n < x_n$ , en contra de la hipótesis. Contradicción, luego $x \le y$ . $\blacksquare$

3 · Los dos puntos que se pierden

El $\max(m_1,m_2)$ . Las dos sucesiones convergen, pero cada una a su ritmo: sus índices no tienen por qué coincidir. Sin el máximo no se sabe que las dos desigualdades valen en el mismo $n$ , y sin eso no se pueden encadenar.

La desigualdad se debilita. Aunque la hipótesis fuera estricta, $x_n < y_n$ , la conclusión seguiría siendo $x \le y$ . Contraejemplo: $x_n = 0$ e $y_n = \frac1n$ , que cumplen $x_n < y_n$ siempre y tienen el mismo límite.

4 · Comprobación

Con $x=1$ e $y=0{,}4$ , construyendo dos sucesiones con esos límites y viendo que la hipótesis se rompe sola:

x_n = 1-\frac{1}{n} \;\to\; 1, \qquad y_n = 0{,}4+\frac{1}{n} \;\to\; 0{,}4

$n$	$x_n$	$y_n$	¿ $x_n \le y_n$ ?
1	$0$	$1{,}4$	sí
2	$0{,}5$	$0{,}9$	sí
3	$0{,}67$	$0{,}73$	sí
4	$0{,}75$	$0{,}65$	no

Se invierte en $n=4$ y ya no vuelve. Con $\varepsilon = 0{,}3$ hace falta $\frac1n < 0{,}3$ , o sea $n>3{,}33$ : los dos índices valen 3, y el cruce aparece justo después de $\max(m_1,m_2) = 3$ .

Resultado

\boxed{\;x_n \le y_n \;\;\forall n,\;\; x_n \to x,\;\; y_n \to y \;\;\Longrightarrow\;\; x \le y\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Primera evaluación, 24 de octubre de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuatro definiciones y una serie que no puede converger

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 21 punto por calcular
COMP 47 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Definir formalmente los siguientes conceptos: sucesión creciente, sucesión decreciente, sucesión acotada y sucesión convergente.

b) Estudiar dichos conceptos para la sucesión $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ definida de la siguiente forma:

\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} n^{2} & n < 20 \\[8pt] 2-\dfrac{1}{n^{2}} & n \ge 20 \end{cases}

c) Sea $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ la sucesión definida en el apartado anterior. ¿Es convergente la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ?

Definir, estudiar la sucesión y decidir sobre la serie.

01
Reconocer el camino
COMP1
La sucesión converge a 2. ¿Qué se puede decir de la serie con eso?
02
El supremo de la sucesión
COMP2
¿Cuál es el mayor valor que alcanza $\{a_n\}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de la sucesión y la serie. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. No es creciente: $a_{19} = 361$ y $a_{20} = 2-\frac{1}{400} \approx 1{,}9975$ , así que $a_{20} < a_{19}$ .
2. No es decreciente: en el primer tramo sube, $a_1 = 1 < 4 = a_2$ . Hacen falta las dos comprobaciones, una por cada palabra.
3. Es acotada: $1 \le a_n \le 361$ , con el mínimo en $a_1$ y el máximo en $a_{19}$ .
4. Es convergente: la cola es $2-\frac{1}{n^{2}}$ , y $\frac{1}{n^{2}} \to 0$ , luego $\lim a_n = 2$ .
5. La serie NO converge: su término general tiende a 2, no a cero, y eso contradice la condición necesaria.
Fíjate en el orden: primero se estudia la sucesión, y el resultado de ese estudio —el límite 2— es lo que resuelve la serie en una línea.

Resolución completa

Aviso. El examen no publica solución. Lo que sigue es una resolución propuesta, pendiente de revisión.

Datos. $a_n = n^{2}$ para $n<20$ y $a_n = 2-\frac{1}{n^{2}}$ para $n\ge20$ . Se piden cuatro definiciones, su estudio en esta sucesión y la convergencia de la serie.

Reparto de puntos del examen: COMP1 2 · COMP2 1 · COMP4 7. Un solo punto de cálculo. Casi todo es definir bien y razonar.

1 · Apartado (a): las cuatro definiciones

\{a_n\} \text{ creciente} \iff a_{n+1} > a_n \quad \forall n \in \mathbb{N}

\{a_n\} \text{ decreciente} \iff a_{n+1} < a_n \quad \forall n \in \mathbb{N}

\{a_n\} \text{ acotada} \iff \exists\, p,q \in \mathbb{R} \;:\; p \le a_n \le q \quad \forall n \in \mathbb{N}

\lim a_n = L \iff \forall \varepsilon>0 \;\exists\, m \in \mathbb{N} \;:\; n>m \Rightarrow \left|a_n-L\right| < \varepsilon

Merece la pena subrayar el contraste, porque es de lo que va el apartado (b): las tres primeras exigen algo de todos los términos; la cuarta, solo de los que hay a partir de cierto punto.

2 · Apartado (b): los términos

1,\; 4,\; 9,\; \dots,\; 361,\;\; 1{,}9975,\; 1{,}9977,\; 1{,}9979,\;\dots

El primer tramo llega hasta $a_{19} = 361$ , porque la condición es $n<20$ estricta. En $n=20$ manda ya la segunda rama.

No es creciente. Basta un par que lo incumpla:

a_{19} = 361 > 1{,}9975 = a_{20}

No es decreciente. También basta un par:

a_1 = 1 < 4 = a_2

Hay que comprobar las dos cosas por separado. Decir solo «no es creciente» deja abierto que sea decreciente, y no lo es.

Es acotada. El mínimo es $a_1 = 1$ y el máximo $a_{19} = 361$ :

1 \le a_n \le 361 \qquad \forall n \in \mathbb{N}

Los dos se alcanzan, así que son mínimo y máximo, no solo ínfimo y supremo.

Es convergente. La convergencia depende solo de la cola, y los 19 primeros términos son un número finito:

\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\left(2-\frac{1}{n^{2}}\right) = 2

La sucesión converge sin ser monótona, que es el recordatorio de que el teorema «monótona y acotada implica convergente» da una condición suficiente, no necesaria.

3 · Apartado (c): la serie

Aquí el apartado anterior lo resuelve en una línea. La condición necesaria dice:

\sum a_n \text{ converge} \;\Longrightarrow\; a_n \to 0

En contrapositivo: si $a_n \not\to 0$ , la serie diverge. Y acabamos de calcular que $a_n \to 2 \neq 0$ .

\boxed{\;\text{La serie } \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ NO converge}\;}

De hecho diverge a $+\infty$ : a partir de $n=20$ se están sumando infinitos términos, todos mayores que $1{,}99$ .

La advertencia gemela, que conviene dejar escrita: que el término general tienda a cero no garantiza la convergencia. La serie armónica $\sum\frac1n$ lo cumple y suma infinito. La condición sirve para descartar, nunca para confirmar.

4 · Comprobación

Del máximo, que es donde está la trampa del enunciado: si el primer tramo fuera $n\le20$ , el máximo sería $400$ . Como es $n<20$ , es $19^{2}=361$ . Se comprueba evaluando la otra rama en $n=20$ : $2-\frac{1}{400} = 1{,}9975$ , que efectivamente es lo que vale $a_{20}$ ✔

Del límite, con $\varepsilon = 10^{-3}$ :

\left|2-\frac{1}{n^{2}}-2\right| = \frac{1}{n^{2}} < 10^{-3} \;\Longleftrightarrow\; n > 31{,}6

Sirve $m = 32$ , que es mayor que 20: la condición cae de lleno en el segundo tramo, como tenía que ser ✔

De la divergencia, con una cota por debajo: para $N>20$ ,

\sum_{n=1}^{N} a_n > \sum_{n=20}^{N} 1{,}99 = 1{,}99\,(N-19) \;\xrightarrow[N\to\infty]{}\; \infty

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(b) } & \text{ni creciente ni decreciente; acotada } 1 \le a_n \le 361; \text{ convergente con } L=2 \\[4pt] \text{(c) } & \text{la serie no converge, porque } a_n \to 2 \neq 0 \end{aligned}}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Primera evaluación · 2022-2023

Reconocer el camino

La recta del apartado (a)

El apartado (b)

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): deshacer el conjugado

2 · Apartado (a): traducir la condición

3 · Apartado (a): dónde pasa eso

4 · Apartado (b): no hay solución, y hay que decir por qué

5 · Por qué el apartado (b) está puesto

6 · Comprobación

Reconocer el camino

Un valor que en los reales sería imposible

Justificar el argumento

1 · De dónde se parte, y por qué no vale la identidad real

2 · El primer miembro

3 · El segundo miembro

4 · Conclusión

5 · Comprobación numérica

6 · La familia de esta identidad

Resultado

Reconocer el camino

El épsilon

Justificar el argumento

1 · Estrategia

2 · La demostración

3 · Los dos puntos que se pierden

4 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El supremo de la sucesión

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): las cuatro definiciones

2 · Apartado (b): los términos

3 · Apartado (c): la serie

4 · Comprobación

Resultado