tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación · 2018-2019

18 de febrero de 2019 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una desigualdad entre complejos, que obliga a pensar antes de calcularNúmeros complejos0 + 7 + 3 = 10 pts
Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:
$\begin{cases} |z|^{2} \ge \operatorname{Im}(z) \\[2mm] \dfrac{1}{z} \ge \overline{z} \end{cases}$
La región del plano y su dibujo.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una ecuación trigonométrica que en el plano complejo no creceNúmeros complejos0 + 7 + 3 = 10 pts
Calcular y representar las soluciones de la ecuación $\operatorname{sen} z = \operatorname{sen} 2z$ , con $z \in \mathbb{C}$ .
Todas las soluciones complejas y su representación.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Demostrar que algo NO es el límiteSucesiones y series numéricas2 + 0 + 8 = 10 pts
a) Definir formalmente el concepto siguiente: el límite de la sucesión $\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ es $l$ .

b) Utilizando el apartado anterior demostrar que $\left\{\dfrac{1}{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} \not\to -2$ .
La definición y la demostración de que −2 no es el límite.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 18 de febrero de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión. El enunciado se reproduce tal cual, con la desigualdad entre complejos que trae escrita.

Una desigualdad entre complejos, que obliga a pensar antes de calcular

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:

\begin{cases} |z|^{2} \ge \operatorname{Im}(z) \\[2mm] \dfrac{1}{z} \ge \overline{z} \end{cases}

La región del plano y su dibujo.

01
Reconocer el camino
COMP1
La segunda condición compara dos números complejos con un « $\ge$ ». ¿Qué hay que hacer con eso?
02
El radio de la circunferencia donde hay igualdad
COMP2
$\frac{1}{z} - \overline{z} = \overline{z}\left(\frac{1}{|z|^{2}} - 1\right)$ . ¿Para qué valor de $|z|$ se anula esa diferencia?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El extremo positivo del segmento real
COMP2
Fuera de $|z|=1$ , la diferencia solo es real si $z$ lo es. Para $z = x$ real y positivo, ¿hasta qué valor de $x$ se cumple $\frac1x \ge x$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
En $x\to 0^{+}$ la condición se cumple de sobra — $\frac1x$ es enorme—, así que 0 no es donde deja de cumplirse, es por donde empieza. Lo que falla en 0 es que $\frac1z$ no existe.
En $x=2$ : $\frac12 \ge 2$ es falso. Prueba dónde se cruzan las dos curvas: $\frac1x = x$ ocurre en $x=1$ .
$-1$ es el extremo del otro trozo, el de los negativos. La pregunta es por los positivos.
Con $x>0$ , multiplica los dos lados por $x$ sin cambiar el sentido: queda $1 \ge x^{2}$ .
Desarrollo
Para $z = x$ real y no nulo, $\overline z = x$ y
$\frac1x - x = \frac{1-x^{2}}{x} \ge 0$
- Si $x>0$ , hace falta $1-x^{2}\ge 0$ , o sea $0 < x \le 1$ .
- Si $x<0$ , hace falta $1-x^{2}\le 0$ , o sea $x \le -1$ .
Los dos extremos, $x=1$ y $x=-1$ , ya estaban en la circunferencia unidad: los segmentos se enganchan a ella.
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descripción de la región. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La primera condición, $|z|^{2}\ge\operatorname{Im}(z)$ , es $x^{2}+y^{2}\ge y$ , es decir $x^{2}+\left(y-\frac12\right)^{2}\ge\frac14$ : fuera o sobre la circunferencia de centro $\left(0,\frac12\right)$ y radio $\frac12$ .
2. En la segunda hay que empezar diciendo que $\mathbb{C}$ no está ordenado: la desigualdad solo tiene sentido si $\frac1z-\overline z$ es real y no negativo.
3. Y $\frac1z-\overline z = \overline z\left(\frac{1}{|z|^{2}}-1\right)$ es real en dos casos: cuando $|z|=1$ , porque entonces vale 0, o cuando $\overline z$ es real, o sea cuando $z$ lo es.
4. En $|z|=1$ la diferencia es 0, que cumple el « $\ge$ »: entra la circunferencia unidad entera.
5. Para $z=x$ real, $\frac{1-x^{2}}{x}\ge 0$ da $x\le -1$ o $0<x\le 1$ ; el origen queda fuera porque $\frac1z$ no existe.
6. La primera condición no recorta nada de lo anterior: sobre el eje real es $x^{2}\ge 0$ , siempre cierta, y sobre $|z|=1$ es $1\ge y$ , también siempre cierta.

Resolución completa

Lo primero: la desigualdad no está definida, y hay que decirlo

$\mathbb{C}$ no es un cuerpo ordenado: no existe ningún orden en el plano complejo compatible con la suma y el producto. Así que « $\frac1z \ge \overline z$ », tal cual, no significa nada… salvo que se lea de la única manera que tiene sentido:

$w_{1} \ge w_{2}$ cuando $w_{1}-w_{2}$ es un número real y además es mayor o igual que cero.

Eso convierte una condición en dos, y ahí está la mitad del ejercicio. Empezar a calcular sin decirlo es perder los tres puntos de COMP4 en la primera línea.

La segunda condición

Como $\frac1z = \frac{\overline z}{|z|^{2}}$ ,

\frac1z - \overline z = \overline z\left(\frac{1}{|z|^{2}} - 1\right) = \overline z\cdot\frac{1-|z|^{2}}{|z|^{2}}

El factor $\frac{1-|z|^{2}}{|z|^{2}}$ es real siempre. Así que el producto es real en dos situaciones:

Caso 1: $|z| = 1$ . El factor se anula y la diferencia vale 0. Es real y cumple el « $\ge$ » con igualdad. Entra la circunferencia unidad entera, no solo sus puntos reales.

Caso 2: $\overline z$ real, es decir $z = x$ real y no nulo. Entonces

\frac{1-x^{2}}{x} \ge 0 \iff \begin{cases} 0 < x \le 1 & \text{si } x>0\\ x \le -1 & \text{si } x<0 \end{cases}

El origen queda fuera de todo: en $z=0$ no existe $\frac1z$ .

La primera condición no quita nada

|z|^{2}\ge\operatorname{Im}(z) \iff x^{2}+y^{2}\ge y \iff x^{2}+\left(y-\tfrac12\right)^{2}\ge\tfrac14

Es el exterior —cerrado— de la circunferencia de centro $\left(0,\frac12\right)$ y radio $\frac12$ , que pasa por el origen y por $i$ . Comprobamos que no recorta nada de lo que ya teníamos:

sobre el eje real ( $y=0$ ): queda $x^{2}\ge 0$ , cierta siempre;
sobre $|z|=1$ : queda $1\ge y$ , y en la circunferencia unidad $y\le 1$ siempre, con igualdad solo en $z=i$ — que también cumple.

La respuesta

\boxed{\;\{\,z : |z| = 1\,\}\;\cup\;\{\,x\in\mathbb{R} : x\le -1\,\}\;\cup\;\{\,x\in\mathbb{R} : 0<x\le 1\,\}\;}

Al dibujarlo: la circunferencia unidad completa, la semirrecta real desde $-1$ hacia la izquierda —con el $-1$ incluido—, y el segmento real $(0,1]$ , con el 1 incluido y el 0 no. Los dos trozos rectos tocan la circunferencia justo en $-1$ y en $1$ .

No es una región con área: es una curva más dos trozos de recta. Eso no es raro cuando una condición obliga a que algo sea real — reduce dos grados de libertad a uno.

Por qué este ejercicio es distinto

Los demás ejercicios de regiones piden traducir desigualdades a lugares geométricos. Este pide antes algo más básico: decidir cuándo la pregunta tiene sentido. Y castiga las dos prisas posibles — suponer que hay barras de módulo donde no las hay, y buscar solo desigualdades estrictas olvidando la igualdad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 18 de febrero de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación trigonométrica que en el plano complejo no crece

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar las soluciones de la ecuación $\operatorname{sen} z = \operatorname{sen} 2z$ , con $z \in \mathbb{C}$ .

Todas las soluciones complejas y su representación.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por dónde se empieza una ecuación así en $\mathbb{C}$ ?
02
El coseno que hace falta
COMP2
Del factor $1-2\cos z = 0$ , ¿cuánto tiene que valer $\cos z$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La fórmula del ángulo doble $\operatorname{sen}2z = 2\operatorname{sen}z\cos z$ vale en todo $\mathbb{C}$ : se comprueba con las definiciones exponenciales.
2. La ecuación se factoriza como $\operatorname{sen}z\,(1-2\cos z)=0$ , y en $\mathbb{C}$ un producto es cero si y solo si lo es alguno de sus factores.
3. Primer factor: $\operatorname{sen}z=0$ da $z = k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ , y son todas reales.
4. Segundo factor: $\cos z=\frac12$ . Como $\frac12$ es real y está en $[-1,1]$ , sus soluciones también son reales: $z=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$ .
5. Al representarlas, todas caen sobre el eje real: la ecuación no tiene ninguna solución fuera de él.

Resolución completa

Factorizar, y no dividir

La identidad del ángulo doble vale en $\mathbb{C}$ —se comprueba con las definiciones exponenciales—, así que

\operatorname{sen}z = 2\operatorname{sen}z\cos z \;\Longleftrightarrow\; \operatorname{sen}z\,(1-2\cos z) = 0

Y $\mathbb{C}$ no tiene divisores de cero: el producto se anula si y solo si se anula uno de los dos factores.

La tentación es dividir entre $\operatorname{sen}z$ y quedarse con $\cos z = \frac12$ . Al hacerlo desaparecen las soluciones $z = k\pi$ , que son la mitad de la respuesta. Es el error clásico de estas ecuaciones y aquí cuesta la mitad de la COMP2.

Los dos factores

$\operatorname{sen}z = 0$ . En forma exponencial, $e^{iz} = e^{-iz}$ , o sea $e^{2iz}=1$ , luego $2iz = 2k\pi i$ y

z = k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}

$\cos z = \frac12$ . Aquí conviene decir algo antes de calcular: el valor pedido, $\frac12$ , es real y está en $[-1,1]$ , así que ya lo alcanza el coseno real. Resolviendo con $w = e^{iz}$ :

\frac{w + w^{-1}}{2} = \frac12 \;\Longrightarrow\; w^{2} - w + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; w = \frac{1 \pm i\sqrt3}{2} = e^{\pm i\pi/3}

Los dos tienen módulo 1, así que $iz$ es imaginario puro y $z$ es real:

z = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}

La solución completa

\boxed{\;z = k\pi \quad\text{o}\quad z = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}\;}

Todas reales. Al representarlas se dibuja el eje real con los puntos marcados: $\dots,\,-\pi,\,-\frac{\pi}{3},\,0,\,\frac{\pi}{3},\,\pi,\, \frac{5\pi}{3},\,2\pi,\,\dots$ Conviene decir en el examen que no hay ninguna fuera del eje real, y por qué: los dos valores que hay que alcanzar, 0 y $\frac12$ , están dentro de $[-1,1]$ .

El contraste que conviene tener en la cabeza

Que una ecuación se plantee en $\mathbb{C}$ no significa que vayan a aparecer soluciones complejas. Aparecen cuando el valor pedido se sale del rango real: $\cos z = 2$ —la recuperación de 2019-2020— no tiene ninguna solución real y todas las suyas son complejas puras. Aquí pasa lo contrario, y saber distinguir los dos casos es lo que este ejercicio mide.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Cuarta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 18 de febrero de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Demostrar que algo NO es el límite

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Definir formalmente el concepto siguiente: el límite de la sucesión $\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ es $l$ .

b) Utilizando el apartado anterior demostrar que $\left\{\dfrac{1}{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} \not\to -2$ .

La definición y la demostración de que −2 no es el límite.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para demostrar que $-2$ no es el límite, ¿qué hay que exhibir?
02
La distancia que nunca baja
COMP2
La distancia $\left\lvert\dfrac{1}{n} - (-2)\right\rvert$ va disminuyendo según crece $n$ , pero se queda siempre por encima de un valor. ¿De cuál?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Definición. $\lim x_{n} = l$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $m\in\mathbb{N}$ tal que $|x_{n}-l|<\varepsilon$ para todo $n\ge m$ .
2. Negación. $\lim x_{n} \neq l$ si existe algún $\varepsilon>0$ tal que, para todo $m$ , hay algún $n\ge m$ con $|x_{n}-l|\ge\varepsilon$ .
3. Tomamos $\varepsilon = 1$ , que es una elección concreta y basta con una.
4. Para todo $n$ , $\left|\frac1n-(-2)\right| = \frac1n+2 > 2 > 1 = \varepsilon$ , porque $\frac1n$ es positivo.
5. Como la desigualdad vale para todos los $n$ , sea cual sea el $m$ que se proponga siempre hay términos que se salen. Luego $-2$ no es el límite.

Resolución completa

Ocho de los diez puntos son COMP4. No hay nada que calcular: hay que negar una definición y usarla.

a) La definición

$\lim_{n\to\infty} x_{n} = l$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $m\in\mathbb{N}$ tal que $|x_{n}-l|<\varepsilon$ para todo $n\ge m$ .

Su negación, que es lo que aquí hace falta

Se niega cambiando cada cuantificador y la desigualdad final:

$\lim x_{n} \neq l$ si existe $\varepsilon>0$ tal que para todo $m\in\mathbb{N}$ existe $n\ge m$ con $|x_{n}-l|\ge\varepsilon$ .

Escribir esa línea bien es lo que se está evaluando. El error más común es negar solo la desigualdad y dejar los cuantificadores como estaban.

b) La demostración

Tómese $\varepsilon = 1$ . Para todo $n\in\mathbb{N}$ :

\left|\frac1n - (-2)\right| = \left|\frac1n + 2\right| = \frac1n + 2 > 2 > 1 = \varepsilon

—el valor absoluto se quita sin cambiar nada porque los dos sumandos son positivos.

Como la desigualdad se cumple para todos los $n$ , dado cualquier $m$ basta tomar $n=m$ para tener un término que se sale de la banda. Por tanto no existe ningún $m$ que sirva, y

\left\{\frac1n\right\} \not\to -2 \qquad \blacksquare

Dos avisos que valen puntos

Un solo $\varepsilon$ basta, y hay que elegirlo. No se demuestra la negación «para todo $\varepsilon$ »: eso es falso, porque con $\varepsilon = 100$ la condición sí se cumple. Se elige uno concreto que falle. Aquí vale cualquier $\varepsilon\le 2$ .

Un solo $n$ no basta. Enseñar que $x_{1} = 1$ está lejos de $-2$ no demuestra nada: la definición permite que los primeros términos estén donde quieran. Lo que hace la demostración es acotar todos los términos a la vez, y por eso funciona sea cual sea el $m$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 4.ª evaluación · 2018-2019

Reconocer el camino

El radio de la circunferencia donde hay igualdad

El extremo positivo del segmento real

Justificar el argumento

Lo primero: la desigualdad no está definida, y hay que decirlo

La segunda condición

La primera condición no quita nada

La respuesta

Por qué este ejercicio es distinto

Reconocer el camino

El coseno que hace falta

Justificar el argumento

Factorizar, y no dividir

Los dos factores

La solución completa

El contraste que conviene tener en la cabeza

Reconocer el camino

La distancia que nunca baja

Justificar el argumento

a) La definición

Su negación, que es lo que aquí hace falta

b) La demostración

Dos avisos que valen puntos