Preparar la convocatoria ordinaria

Dibujar, que aquí es el apartado a)

13 de 45 ejercicios lo piden en el apartado a)2 escalones

Cae 11 de 11 años

«Dibujar el sólido», «dibujar la función periódica», «dibujar el dominio de integración». Casi siempre con esas palabras, y casi siempre lo primero que se pide.

Veinte de los cuarenta y cinco ejercicios de los segundos parciales piden dibujar algo, y trece lo piden en el apartado a). No es un adorno del enunciado: el dibujo es de donde salen los límites de integración y la paridad de la función, así que si sale mal, sale mal el ejercicio entero — y si no sale, no hay por dónde empezar. Vale uno o dos puntos y decide los ocho restantes. Por eso va primero: no se examina solo, y sin él los otros bloques no se terminan a tiempo.

El sólido, cortado por un plano que contiene el eje

Dibujar un sólido de revolución en dos pasos: hallar dónde se cortan las dos superficies y dibujar la sección que pasa por el eje.

leerEl recinto manda, y hay que dibujarlo

El apartado habla de recintos planos, y un sólido de revolución es exactamente eso una vez cortado: el perfil es una región del plano $rz$ , y los límites de la integral salen de ahí.

ejemploLeer los límites de un recinto dibujado
Empieza aquí, en el plano. Leer un recinto dibujado y escribir sus límites es la mitad de lo que luego hay que hacer en tres dimensiones.
prácticaUn cono y un paraboloide, volumen y superficie
Las dos superficies del examen, pero sin su prisa: aquí solo hay que hallar dónde se cortan y qué recinto queda.
examenUn cuenco parabólico rematado en punta, y su superficie
De 2021-2022, y el apartado a) es solo dibujar. Cuenco parabólico rematado en punta: se cortan en $z=4$ con radio $2$ .
examenEl cuenco rematado en cono, y dónde tiene su centro de gravedad
De 2013-2014, y es el mismo sólido ocho años antes. Cambia lo que se pregunta después, no el dibujo.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Leer los límites de un recinto dibujado

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el triángulo limitado por las rectas $y=0$ , $x=2$ e $y=x$ . Escribir $\iint_D f\,dA$ con el orden $dy\,dx$ .

Los límites de integración en el orden dy dx.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con el orden $dy\,dx$ , ¿qué representan los límites de la integral interior?
02
El límite superior interior
COMP2
Fijado un $x$ entre 0 y 2, la vertical entra por $y=0$ . ¿Por dónde sale, evaluado en $x=1{,}5$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el planteamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El triángulo tiene vértices $(0,0)$ , $(2,0)$ y $(2,2)$ .
2. Con orden $dy\,dx$ , fijas $x$ y subes: entras por $y=0$ y sales por $y=x$ .
3. La vertical corta al triángulo para $x$ entre 0 y 2.
4. Luego la integral es $\int_{0}^{2}\int_{0}^{x} f\,dy\,dx$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante «dentro del paraboloide y dentro del cono» sepas escribir el radio de cada superficie en función de $z$ , igualarlos, y dibujar el perfil con el corte marcado. El dibujo en perspectiva es opcional; la sección, no.

La función periódica, y su ampliación

Dibujar una función definida a trozos, repetirla por periodicidad, y construir su ampliación par o impar cuando el enunciado la pide.

leerMirar la paridad antes de integrar

El dibujo y la paridad son la misma pregunta: en cuanto está dibujado, se ve si es par o impar, y con eso se anula la mitad de los coeficientes sin integrar nada.

ejemploLa paridad, que ahorra la mitad del trabajo
Dos funciones, dos casos opuestos, y ninguna integral. Es el escalón de entrada del tema.
prácticaLa ampliación impar, y el signo de la suma
La misma ampliación que piden las dos convocatorias de abajo, con el signo de la suma discutido despacio.
examenUna ampliación impar, y la serie de Leibniz que sale de ella
De 2025-2026, el más reciente. El apartado a) es construir la ampliación impar y el b) dibujarla: dos puntos antes de integrar.
examenUna recta ampliada a onda triangular, y la suma de los impares al cuadrado
De 2020-2021, y el mismo apartado con la ampliación par. Los dos juntos enseñan la diferencia mejor que cualquier explicación.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La paridad, que ahorra la mitad del trabajo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Decidir, sin calcular ninguna integral, qué coeficientes de Fourier se anulan para cada una de estas funciones periódicas de periodo $2\pi$ :

a) $f(t) = t^{2}$ en $(-\pi,\pi)$ b) $g(t) = t^{3}$ en $(-\pi,\pi)$

Qué coeficientes son nulos en cada caso, y por qué.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se comprueba si una función es par o impar?
02
El valor de la función reflejada
COMP2
Para $g(t)=t^{3}$ , ¿cuánto vale $g(-2)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $f(-t)=(-t)^{2}=t^{2}=f(t)$ , luego $f$ es par.
2. Por tanto todos los $b_n$ valen 0 y la serie es de cosenos.
3. b) $g(-t)=(-t)^{3}=-t^{3}=-g(t)$ , luego $g$ es impar.
4. Por tanto todos los $a_n$ valen 0, incluido $a_0$ , y la serie es de senos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que dibujes un periodo completo y al menos uno a cada lado, con los saltos marcados con puntos abiertos y cerrados. Y que al ampliar sepas sin dudar que la par refleja y la impar refleja y cambia de signo.

lo tienes cuando:

Que ante «dibujar el sólido» no te quedes mirando el papel. Un sólido de revolución se dibuja cortándolo por un plano que contenga el eje: dibujas la sección, la giras y ya está. Y una función periódica a trozos se dibuja un periodo y se copia a los lados.

El ejercicio 1, que siempre es de complejos

cae los 11 años — siempre el ejercicio 13 escalones

Cae 11 de 11 años

«Hallar el tercer vértice del triángulo», «resolver la ecuación y representar el lugar geométrico», «hallar los valores de a y b para que z sea imaginario puro de módulo uno».

Cae los once años y siempre en el primer sitio, sin una sola excepción. Es el hueco más previsible del examen entero y el que más barato sale de asegurar: es material de la primera evaluación, así que cuando llegas aquí ya lo estudiaste una vez.

Dos condiciones, y el complejo que las cumple

Traducir condiciones como «imaginario puro», «de módulo uno» o «su parte real se anula» en ecuaciones sobre $a$ y $b$ , y resolverlas.

leerEl conjugado, que hace casi todo el trabajo

Casi todas estas condiciones se imponen sobre un cociente, y para eso primero hay que racionalizar.

prácticaUna ecuación cúbica con cociente
Del boletín, y es el paso previo: racionalizar un cociente y separar parte real e imaginaria, que es lo que hacen todos los de examen antes de imponer nada.
examenDos condiciones, dos incógnitas y dos soluciones
De 2023-2024. Dos condiciones, dos incógnitas y dos soluciones: el molde de este escalón.
examenUna parte real que se anula, y el punto que hay que quitar
De 2020-2021, y trae el punto que hay que quitar: el que anula el denominador no está en el lugar geométrico aunque cumpla la ecuación.
examenUn parámetro que se despeja y una región que sale de dos condiciones
De 2021-2022, y junta las dos mitades del hueco: un parámetro que se despeja y una región que sale de dos condiciones.
examenUna tangente que vale 2i, y un lugar geométrico con agujero
De 2024-2025, y el más raro de los once: una tangente compleja que vale $2i$ , que sale de la definición exponencial.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos condiciones, dos incógnitas y dos soluciones

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el número complejo $z=\dfrac{2b-3ai}{3-4i}$ , con $a,b\in\mathbb{R}$ . Calcular los valores de $a$ y $b$ para que $z$ sea imaginario puro y $\left|z\right|=1$ .

Los valores de a y b, y el z que resulta.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál de las dos condiciones conviene usar sin hacer la división?
02
La relación entre a y b
COMP2
Imponiendo que $z$ sea imaginario puro sale $b=ka$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor positivo de a
COMP2
Con la condición del módulo, ¿cuál es el valor positivo de $a$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El módulo de un cociente es el cociente de los módulos, así que $\left|z\right|=\frac{\sqrt{4b^{2}+9a^{2}}}{5}$ , y la condición $\left|z\right|=1$ da $4b^{2}+9a^{2}=25$ .
2. Racionalizando, $z=\frac{6b+12a+i(8b-9a)}{25}$ , y ser imaginario puro obliga a $6b+12a=0$ , es decir $b=-2a$ .
3. Sustituyendo, $25a^{2}=25$ y $a=\pm 1$ .
4. Hay dos soluciones: $(a,b)=(1,-2)$ , que da $z=-i$ , y $(a,b)=(-1,2)$ , que da $z=i$ .
5. Las dos se comprueban de un vistazo: $\left|\pm i\right|=1$ y su parte real es cero.

Resolución completa

La condición del módulo, que sale gratis. El módulo de un cociente es el cociente de los módulos, así que no hace falta racionalizar:

\left|z\right|=\frac{\left|2b-3ai\right|}{\left|3-4i\right|} =\frac{\sqrt{4b^{2}+9a^{2}}}{5}=1 \;\Longrightarrow\; 4b^{2}+9a^{2}=25

La condición de ser imaginario puro, que sí la pide. Multiplicando por el conjugado del denominador:

z=\frac{(2b-3ai)(3+4i)}{25} =\frac{6b+12a}{25}+i\,\frac{8b-9a}{25}

Imaginario puro es parte real nula:

6b+12a=0 \;\Longrightarrow\; b=-2a

El sistema. Sustituyendo en la primera:

4\left(4a^{2}\right)+9a^{2}=25a^{2}=25 \;\Longrightarrow\; a=\pm 1

Las dos soluciones.

$a$	$b$	$z$
$1$	$-2$	$-i$
$-1$	$2$	$i$

Y las dos cumplen lo pedido: son imaginarios puros y de módulo $1$ . El enunciado no da ninguna condición que descarte una, así que hay que dar las dos.

La comprobación es rápida con la primera: con $a=1$ y $b=-2$ ,

z=\frac{-4-3i}{3-4i} =\frac{(-4-3i)(3+4i)}{25} =\frac{-12-16i-9i+12}{25} =\frac{-25i}{25}=-i

Fíjate en que el numerador, $-4-3i$ , no es imaginario puro: lo que lo convierte en uno es la división. Ese es el motivo de que no valga imponer la condición sobre el numerador.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que separes parte real e imaginaria sin pensarlo, y que no te dejes fuera los puntos que hay que excluir porque anulan un denominador.

Los que salen una figura

Dibujar la región del plano que cumple una condición sobre módulos o argumentos, con su borde y sus puntos excluidos.

leerLugares geométricos: traducir la condición a una distancia

La tabla de traducciones del principio: cada forma de la condición produce una figura, y son cinco.

ejemploUn disco, y decidir si el borde entra
El disco y su borde: la traducción más simple de una condición a una región. Sin esto, el primero de examen ya pide decidir media circunferencia.
examenMedia circunferencia, y por qué solo media
De 2018-2019. Media circunferencia, y la mitad del ejercicio es explicar por qué solo media.
examenUn cociente que es real, y otro que es imaginario puro
De 2015-2016, con dos figuras que hay que cortar.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un disco, y decidir si el borde entra

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Representar los afijos de los números complejos $z$ que verifican

\left|z - (1+2i)\right| \le 3

Qué figura es, dónde está su centro, cuánto mide su radio y si el borde entra.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice $\left|z - (1+2i)\right|$ , leído en castellano?
02
El radio
COMP2
Si la condición fuera con un igual, $\left|z-(1+2i)\right| = 3$ , sería una circunferencia. ¿Cuánto mide su radio?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un punto de prueba
COMP2
Comprueba tu región con un punto. ¿Cuánto vale $\left|z-(1+2i)\right|$ para $z = 1+2i$ , o sea el propio centro?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\left|z-(1+2i)\right|$ es la distancia de $z$ al punto $(1,2)$ .
2. La condición pide que esa distancia no pase de 3.
3. Es el disco de centro $(1,2)$ y radio 3.
4. Como la desigualdad es $\le$ , el borde entra y se dibuja continuo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante un argumento constante escribas «arco» y sepas cuál de los dos antes de dibujarlo, y que ante dos módulos iguales escribas «mediatriz» sin pensar.

Cuando las raíces son los vértices de un polígono

Usar que las raíces $n$ -ésimas reparten la circunferencia a partes iguales para hallar vértices, lados, perímetros y áreas.

leerRaíces n-ésimas: cuántas hay y por qué están repartidas

Si no salen $n$ raíces, o no están equiespaciadas, hay un error antes de llegar aquí.

ejemploPasar 1 + i a forma polar
Empieza aquí: pasar a polar es lo que hace falta antes de repartir una circunferencia en raíces.
examenTres vértices que son las tres raíces cúbicas de ocho
De 2025-2026, el más reciente: tres vértices que son las tres raíces cúbicas de ocho.
examenSeis raíces, un hexágono y un perímetro que sale redondo
De 2016-2017, con seis raíces y un perímetro que sale redondo.
examenUn triángulo muy alto y una base muy corta
De 2022-2023, y aquí el polígono no es regular: hay que girar un vector, no repartir un ángulo.
examenDos potencias décimas cuya suma es cero
De 2017-2018. Dos potencias décimas cuya suma es cero, que es otra forma de preguntar lo mismo.
examenCuatro operaciones sobre un rectángulo, y una que no hace nada
De 2013-2014, fuera de las once contadas. Cuatro operaciones seguidas sobre la misma figura: sirve de repaso del suelo.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Pasar 1 + i a forma polar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Escribir el número complejo $z = 1 + i$ en forma polar.

El módulo, el argumento y el número escrito como r·e^(iθ).

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular nada: ¿en qué cuadrante está $1+i$ ?
02
El módulo
COMP2
¿Cuánto vale $\left|z\right| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$ para $z = 1+i$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El argumento
COMP2
¿Cuánto vale $\arg z$ , en radianes?
Tu respuesta al paso 3en radianes; en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta final. Una de estas piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El punto está en el primer cuadrante, porque $a>0$ y $b>0$ .
2. $\left|z\right| = \sqrt{1+1} = \sqrt2$ .
3. $\tan\theta = 1$ y, estando en el primer cuadrante, $\theta = \pi/4$ .
4. Por tanto $z = \sqrt2\,e^{i\pi/4}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante «los tres vértices de un triángulo equilátero» pienses en raíces cúbicas antes que en geometría, y que compruebes que salen $n$ y equiespaciadas.

lo tienes cuando:

Que ante cualquiera de los once escribas el planteamiento en menos de dos minutos, y que sepas de antemano si va a salir una recta, un arco o un polígono.

El rectángulo más grande que cabe en algo

7 de 11 — el hueco 2 o 32 escalones

Cae 7 de 11 años

«Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima», «los tres lados del triángulo de área máxima», «la velocidad angular de la cámara en ese instante».

Siete de los once años, y casi siempre en el hueco 2 o 3. Son cinco de optimización pura y dos de razón de cambio, que es el mismo mecanismo con el tiempo dentro. Lo que se examina no es derivar: es traducir el enunciado a una función de una variable, y por eso va en un bloque propio y no dentro del de derivadas.

Traducir el enunciado a una función de una variable

Escribir la magnitud que hay que optimizar y la restricción que liga las dos variables, y quedarte con una función de una sola.

leerOptimizar es traducir, no derivar

El apartado se llama así por algo: el error caro de estos ejercicios no está en la derivada.

ejemploOptimizar, con la restricción a la vista
El molde con la restricción a la vista. Después, los de examen la esconden.
prácticaEl rectángulo más grande dentro de media circunferencia
prácticaEl rectángulo más grande dentro de un triángulo
Este es literalmente el enunciado de 2023-2024, un año antes y sin reloj.
examenEntre todos los rectángulos inscritos, el cuadrado
De 2017-2018, y el más limpio de los siete: entre todos los rectángulos inscritos, el cuadrado.
examenEl rectángulo más grande que cabe en una elipse
Del examen de mayo-junio de 2020. La misma idea con una elipse en vez de una circunferencia.
examenQué lado conviene que sea el radio
De 2020-2021, y con una vuelta más: el resultado depende de qué lado decidas que sea el radio.
examenEl rectángulo inscrito que se lleva la mitad del triángulo
De 2023-2024. El rectángulo inscrito se lleva justo la mitad del triángulo, y ese resultado no depende de las medidas.
examenEl isósceles de área máxima resulta ser equilátero
De 2024-2025, y el final es el que se recuerda: el isósceles de área máxima resulta ser equilátero.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Optimizar, con la restricción a la vista

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Con 20 metros de valla se quiere cercar un rectángulo. ¿Qué dimensiones dan el área máxima?

Las dimensiones del rectángulo de área máxima.

01
Reconocer el camino
COMP1
En un problema de optimización, ¿qué es la «función objetivo»?
02
El objetivo con una sola variable
COMP2
Con perímetro $2x+2y=20$ , se despeja $y = 10-x$ y el área queda $A(x) = x(10-x)$ . ¿En qué valor de $x$ se anula $A'(x)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una pieza no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Objetivo, el área $A = xy$ ; restricción, el perímetro $2x+2y=20$ .
2. De la restricción, $y = 10-x$ , y el objetivo queda $A(x)=10x-x^{2}$ .
3. El intervalo es $0 < x < 10$ , porque los lados son positivos.
4. $A'(x)=10-2x$ se anula en $x=5$ , y $A''=-2<0$ , luego es máximo.
5. Con $x=5$ sale $y=5$ , un cuadrado de 25 m².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 30 de mayo de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Entre todos los rectángulos inscritos, el cuadrado

COMP 11 punto por reconocer
COMP 28 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se inscribe un rectángulo de base $b$ y altura $h$ en una circunferencia de radio $r$ . Si el centro del rectángulo coincide con el de la circunferencia, calcular las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima. Obtener el valor de dicha área.

La base, la altura y el área máxima, en función de r.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué ligadura relaciona $b$ , $h$ y $r$ ?
02
El lado del rectángulo óptimo
COMP2
Con $r=5$ , ¿cuánto mide la base del rectángulo de área máxima?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área máxima
COMP2
El área máxima vale $A=k\,r^{2}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la optimización. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Como el rectángulo está centrado en la circunferencia, su diagonal es un diámetro y $b^{2}+h^{2}=4r^{2}$ .
2. Despejando $h$ y sustituyendo, $A(b)=b\sqrt{4r^{2}-b^{2}}$ con $b\in(0,2r)$ ; conviene maximizar $A^{2}$ , que da el mismo punto porque $A$ es positiva.
3. $\left(A^{2}\right)'=4b\left(2r^{2}-b^{2}\right)$ se anula en $b=r\sqrt2$ , y ahí $h=r\sqrt2$ también: el óptimo es el cuadrado, de área $2r^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que la parte de derivar te ocupe menos tiempo que la de plantear. Si es al revés, el planteamiento no estaba cerrado.

Cuando lo que se pide es una velocidad

Derivar una relación respecto del tiempo —o de otra variable— para convertir una geometría en una velocidad.

leerLa derivada como velocidad

Y el apartado de derivación implícita de al lado: casi nunca conviene despejar antes de derivar.

ejemploDos magnitudes que cambian a la vez
Dos magnitudes que cambian a la vez, sin decorado. El cohete es esto con una tangente dentro.
prácticaA qué velocidad se aleja el coche del incendio
prácticaLa velocidad de un avión medida por su ángulo
La velocidad medida por un ángulo, que es la forma exacta del cohete de abajo.
examenLa cámara que gira para seguir al cohete
De 2022-2023. La cámara que gira para seguir al cohete, que es el enunciado clásico de este hueco.
examenUna derivada respecto de algo que no es el tiempo
De 2025-2026, y la variante que despista: la derivada no es respecto del tiempo.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Dos magnitudes que cambian a la vez

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cuadrado crece de forma que su lado aumenta a razón de 2 cm/s. ¿A qué velocidad crece su área en el instante en que el lado mide 5 cm?

La velocidad de crecimiento del área, en cm²/s.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el primer paso?
02
La derivada de la relación
COMP2
De $A = L^{2}$ , derivando respecto del tiempo sale $A' = k \cdot L \cdot L'$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El resultado
COMP2
Ahora sí, sustituye $L = 5$ y $L' = 2$ . ¿Cuánto vale $A'$ , en cm²/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en centímetros cuadrados por segundo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La relación entre las magnitudes es $A = L^{2}$ , con las dos dependiendo del tiempo.
2. Derivando respecto de $t$ , $\frac{dA}{dt} = 2L\frac{dL}{dt}$ .
3. En el instante pedido, $L = 5$ y $\frac{dL}{dt} = 2$ .
4. Luego $\frac{dA}{dt} = 20$ cm² por segundo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que identifiques qué magnitud te dan variando y cuál te piden, y que derives la relación entera con la regla de la cadena sin despejar antes.

lo tienes cuando:

Que ante cualquiera de estos escribas la función a maximizar y la relación que elimina la segunda variable antes de derivar nada, y que justifiques que el punto crítico es un máximo en vez de darlo por hecho.

Taylor, y la cota del error que casi siempre se olvida

6 de 11 — y en 4 piden acotar el error2 escalones

Cae 6 de 11 años

«El polinomio de Taylor de orden 2 y una cota del error», «cuántos términos hacen falta para que el error sea menor que 10⁻³», «la derivada vigesimoquinta en el origen».

Seis de los once años. Y hay un detalle que decide la nota: en cuatro de los seis el enunciado pide acotar el error, no solo escribir el polinomio. El resto de Lagrange es la mitad del ejercicio y es la mitad que se deja en blanco.

Componer uno de los seis, en vez de derivar

Sacar el desarrollo de una función complicada partiendo de uno conocido, y leer de él una derivada de orden alto sin derivar.

leerSeis desarrollos que conviene tener memorizados

Los seis, y el aviso de que casi todos estos ejercicios se hacen componiendo uno de ellos.

ejemploUn desarrollo compuesto, sin derivar ni una vez
Y el que enseña el atajo: componer uno de los seis desarrollos en vez de derivar, que es como se resuelven casi todos los de este hueco.
ejemploUn polinomio de Taylor de orden 2
El polinomio de orden dos, derivando. Los de examen ya no derivan: componen.
prácticaOcho desarrollos, y solo tres hay que calcular
Ocho desarrollos y solo tres se calculan: los otros cinco salen de componer, que es de lo que va este escalón.
examenDos series conocidas, y una derivada número veinticinco sin derivar
De 2021-2022. Dos series conocidas y una derivada número veinticinco que sale sin derivar.
examenSolo potencias pares, y una derivada veinticuatro de dos dígitos
De 2018-2019. Solo potencias pares, y por eso la derivada veinticuatro es la que se puede leer.
examenLa serie más corta del temario, y dónde deja de valer
De 2025-2026, y con la pregunta que acompaña siempre a una serie: dónde deja de valer.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un desarrollo compuesto, sin derivar ni una vez

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Obtener los tres primeros términos no nulos del desarrollo de Maclaurin de $f(x) = e^{x^{2}}$ , sin calcular ninguna derivada.

Los tres primeros términos no nulos del desarrollo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué no hace falta derivar para obtener este desarrollo?
02
El coeficiente de grado cuatro
COMP2
En $e^{x^{2}} = 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + \ldots$ , ¿cuál es el coeficiente de $x^{4}$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (1/2), o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se parte de $e^{u} = 1+u+\frac{u^{2}}{2!}+\frac{u^{3}}{3!}+\ldots$
2. Se sustituye $u = x^{2}$ , con lo que cada grado se duplica.
3. Queda $e^{x^{2}} = 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + \ldots$ , con solo potencias pares.
4. El radio de convergencia sigue siendo infinito, porque el de $e^{u}$ lo es.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un polinomio de Taylor de orden 2

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el polinomio de Maclaurin de orden 2 de $f(x) = e^{x}$ y usarlo para aproximar $e^{0{,}1}$ .

El polinomio y el valor aproximado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué quiere decir que el polinomio sea «de Maclaurin»?
02
El coeficiente de x²
COMP2
En $P_2(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^{2}$ , ¿cuánto vale el coeficiente de $x^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aproximación
COMP2
Sustituyendo $x = 0{,}1$ , ¿cuánto vale $P_2(0{,}1)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con tres decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Todas las derivadas de $e^{x}$ son $e^{x}$ , y en 0 valen 1.
2. Luego $P_2(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$ .
3. Sustituyendo $x = 0{,}1$ sale $1{,}105$ .
4. Es una aproximación, así que la respuesta completa lleva una cota del error.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos series conocidas, y una derivada número veinticinco sin derivar

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular el desarrollo en serie de McLaurin de $f(x)=e^{\left|x\right|}$ .

b) Calcular el desarrollo en serie de McLaurin de $g(x)=x^{2}\sin x$ .

c) Obtener $g^{24)}(0)$ y $g^{25)}(0)$ .

Las dos series y las dos derivadas en el origen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué le pasa a $e^{\left|x\right|}$ en el origen?
02
El primer término de la otra serie
COMP2
En el desarrollo de $g(x)=x^{2}\sin x$ , ¿cuál es el exponente del primer término no nulo?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La derivada veinticinco
COMP2
¿Cuánto vale $g^{25)}(0)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La serie de McLaurin de $g$ es $\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+3}$ , y por unicidad del desarrollo el coeficiente de $x^{n}$ es $\frac{g^{n)}(0)}{n!}$ .
2. Como todos los exponentes son impares, el coeficiente de $x^{24}$ es cero y por tanto $g^{24)}(0)=0$ .
3. Para $x^{25}$ se resuelve $2k+3=25$ , sale $k=11$ y el coeficiente es $\frac{-1}{23!}$ .

Resolución completa

a) La serie de $e^{\left|x\right|}$ , y la advertencia que la acompaña. Sustituyendo $u=\left|x\right|$ en $e^{u}=\sum u^{n}/n!$ :

e^{\left|x\right|}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left|x\right|^{n}}{n!} =1+\left|x\right|+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{\left|x\right|^{3}}{3!}+\cdots

y converge para todo $x$ , porque la de $e^{u}$ converge en todo $\mathbb{R}$ .

Ahora la parte que vale COMP 4: esto no es una serie de potencias de $x$ . Un desarrollo de McLaurin de verdad necesita todas las derivadas en el origen, y $e^{\left|x\right|}$ no es derivable ahí: por la derecha vale $e^{x}$ , con derivada $1$ ; por la izquierda $e^{-x}$ , con derivada $-1$ . Lo que sí se puede decir, y es equivalente, es que

e^{\left|x\right|}= \begin{cases} \sum_{n\ge0}\frac{x^{n}}{n!} & x\ge0\\[4pt] \sum_{n\ge0}\frac{(-x)^{n}}{n!} & x\le0 \end{cases}

dos series de potencias distintas, una a cada lado.

b) La serie de $x^{2}\sin x$ . Aquí no hay ninguna trampa: se toma la de $\sin x$ y se multiplica.

g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}\,x^{2k+3} =x^{3}-\frac{x^{5}}{6}+\frac{x^{7}}{120}-\cdots

c) Las dos derivadas, sin derivar ni una vez. La unicidad del desarrollo dice que el coeficiente de $x^{n}$ vale $\frac{g^{n)}(0)}{n!}$ . Entonces:

$g^{24)}(0)=0$ , porque no hay término en $x^{24}$ : todos los exponentes son impares. Otra forma de verlo: $g$ es impar, y las derivadas de orden par de una función impar se anulan en el origen.
$g^{25)}(0)$ : el exponente $25$ aparece con $k=11$ y coeficiente $\frac{-1}{23!}$ , luego

g^{25)}(0)=25!\cdot\frac{-1}{23!}=-25\cdot24=-600

Derivar veinticinco veces $x^{2}\sin x$ con la regla de Leibniz también funciona y es un ejercicio perfectamente resoluble, pero en un examen sin calculadora cuesta media hora. La serie lo resuelve en dos líneas, y esa es exactamente la razón de que los apartados a) y b) vayan delante.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante «la derivada vigesimoquinta en el origen» no derives ni una vez: se lee del coeficiente.

La cota del error, que es media pregunta

Escribir el resto de Lagrange y acotarlo, y responder «cuántos términos hacen falta» sin sumar ninguno.

leerEl resto es la parte que se suele olvidar, y es la que se pregunta

El apartado se llama así porque es literalmente lo que pasa: en cuatro de los seis años el error es la segunda mitad del enunciado.

ejemploUn polinomio de Taylor de orden 2
El polinomio de orden dos, que es sobre el que se monta la cota.
ejemploLa cota del error, que es media pregunta
La cota del resto en el caso más simple, antes de que la función venga de una ecuación diferencial.
prácticaCuántos términos para una precisión dada
La pregunta del examen —«¿bastan dos términos?»— planteada al revés: dada la precisión, cuántos hacen falta.
examenTaylor de una función que no se conoce, y el error acotado con una gráfica
De 2023-2024, y el más completo: la función no se conoce —sale de una ecuación diferencial— y aun así hay que acotar el error.
examenUn polinomio de grado dos para ln 0,9
De 2022-2023. Un polinomio de grado dos para $\ln 0{,}9$ , con la cota que justifica los decimales.
examenCuántos términos hacen falta, y por qué se sabe antes de sumarlos
De 2024-2025, y la pregunta al revés: cuántos términos hacen falta, que se contesta antes de sumarlos.
examenUn polinomio de Taylor sacado de la ecuación, no de la función
De 2013-2014, fuera de las once contadas, y el antecedente del de 2023-2024: el polinomio sale de la ecuación, no de la función.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La cota del error, que es media pregunta

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se aproxima $e^{x}$ por su polinomio de Maclaurin de orden 2 en el intervalo $[0, 1]$ . Acotar el error cometido.

Una cota del error de la aproximación en ese intervalo.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el resto de Lagrange $R_2(x) = \dfrac{f'''(\xi)}{3!}x^{3}$ , ¿qué es lo que hay que acotar?
02
La cota
COMP2
Con $f'''(\xi) = e^{\xi} \le e$ en $[0,1]$ y $x \le 1$ , ¿cuánto vale la cota $\dfrac{e}{6}$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (e/6), o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El resto de un polinomio de orden 2 es $R_2(x) = \frac{f'''(\xi)}{3!}x^{3}$ , con $\xi$ entre 0 y $x$ .
2. Todas las derivadas de $e^{x}$ son $e^{x}$ , así que $f'''(\xi) = e^{\xi}$ .
3. Como $\xi \in [0,1]$ y la exponencial crece, $e^{\xi} \le e$ .
4. Y como $x \le 1$ , entonces $x^{3}\le 1$ , así que la cota es $\frac{e}{6}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Taylor de una función que no se conoce, y el error acotado con una gráfica

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $y(x)$ una función tal que

y'(x)=\frac{y}{x}+\ln x, \qquad y(1)=1

a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de $y(x)$ en el punto $x=1$ .

b) Supongamos que aproximamos el valor $y(1{,}5)$ utilizando el polinomio obtenido en el apartado anterior. Acotar el error cometido en dicha aproximación.

Figura redibujada del enunciado original: el examen da la gráfica de la derivada tercera para que el error se pueda acotar sin resolver la ecuación.

El polinomio de Taylor de orden 2 y una cota del error en x = 1,5.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Para qué da el enunciado la gráfica de $y'''$ ?
02
La segunda derivada en el punto
COMP2
¿Cuánto vale $y''(1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La cota del error
COMP2
Leyendo en la gráfica que $\left|y'''\right|\le 0{,}18$ en $[1;1{,}5]$ , ¿cuál es la cota del error en $x=1{,}5$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cinco decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) El enunciado da $y(1)=1$ , y la ecuación evaluada en $x=1$ da $y'(1)=\frac11+\ln 1=1$ .
2. Derivando la ecuación, $y''=\frac{y'x-y}{x^{2}}+\frac1x$ , y en $x=1$ vale $0+1=1$ .
3. Por tanto $P_{2}(x)=1+(x-1)+\frac{1}{2}(x-1)^{2}$ , y $P_{2}(1{,}5)=1{,}625$ .
4. b) El resto de Lagrange es $R_{2}(x)=\frac{y'''(\xi)}{3!}(x-1)^{3}$ para algún $\xi\in(1;1{,}5)$ , y no se sabe cuál: hace falta acotar $\left|y'''\right|$ en todo el intervalo.
5. La gráfica del enunciado da esa cota: en $[1;1{,}5]$ el valor absoluto no pasa de $0{,}18$ .
6. Así que $\left|R_{2}(1{,}5)\right|\le \frac{0{,}18\cdot 0{,}125}{6}=0{,}00375$ .

Resolución completa

a) El polinomio. No hace falta resolver la ecuación: los tres valores que necesita el polinomio de orden 2 salen de ella.

y(1)=1 \qquad\text{(dato)}

y'(x)=\frac{y}{x}+\ln x \;\Longrightarrow\; y'(1)=\frac{1}{1}+\ln 1=1

Derivando la ecuación, con la regla del cociente:

y''(x)=\frac{y'x-y}{x^{2}}+\frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; y''(1)=\frac{1-1}{1}+1=1

P_{2}(x)=1+(x-1)+\frac{1}{2}(x-1)^{2}

b) La cota del error. El resto de Lagrange de orden 2 es

R_{2}(x)=\frac{y'''(\xi)}{3!}\left(x-1\right)^{3} \qquad\text{con }\xi\text{ entre }1\text{ y }x

Como no se sabe dónde está $\xi$ , hay que acotar $\left|y'''\right|$ en todo el intervalo — y eso es exactamente lo que da la gráfica del enunciado. En $[1;1{,}5]$ la curva arranca en cero y baja, sin llegar a su mínimo, que cae más a la derecha: el mayor valor absoluto se alcanza en el extremo derecho y es unos $0{,}18$ .

\left|R_{2}(1{,}5)\right| \le\frac{0{,}18}{6}\left(0{,}5\right)^{3} =0{,}00375

La comprobación, resolviendo. La ecuación es lineal: $y'-\frac{y}{x}=\ln x$ , con factor integrante $\frac1x$ , y

\left(\frac{y}{x}\right)'=\frac{\ln x}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{y}{x}=\frac{(\ln x)^{2}}{2}+C \;\Longrightarrow\; y=x\left(1+\frac{(\ln x)^{2}}{2}\right)

con $C=1$ por la condición inicial. De ahí

y'''(x)=-\frac{\ln x}{x^{2}}

que es exactamente la curva dibujada: se anula en $x=1$ , tiene su mínimo $-\frac{1}{2e}\approx-0{,}184$ en $x=\sqrt{e}\approx 1{,}65$ y tiende a cero por abajo. Con la fórmula exacta, $y(1{,}5)=1{,}6233$ y $P_{2}(1{,}5)=1{,}625$ : el error real es $0{,}0017$ , por debajo de la cota, como tenía que ser.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que sepas qué se acota —la derivada siguiente en el intervalo— y que no confundas el orden del polinomio con el del resto.

lo tienes cuando:

Que ante un polinomio de Maclaurin busques primero de cuál de los seis desarrollos conocidos sale, y que sepas escribir la cota del error sin mirar la fórmula.

Cuando lo que te dan es una gráfica

6 de 11 — casi todo puntos de justificar2 escalones

Cae 6 de 11 años

«Cuál es la función y cuál la derivada», «verdadero o falso, razonado, en las cinco afirmaciones», «el enunciado del teorema y en cada caso si se aplica».

Seis de los once años, y es el hueco donde COMP 2 vale menos: casi todo son puntos de justificar. Cinco son de leer dos gráficas y decidir cuál deriva a cuál, y uno es el enunciado de un teorema con casos donde no se puede aplicar.

Cuál de las dos es la derivada

Decidir cuál de dos curvas dibujadas es la derivada de la otra, y hacer con ellas un estudio completo sin conocer ninguna fórmula.

leerCuando lo que te dan dibujado es la derivada

El apartado entero va de esto, y trae la figura con los tres cruces marcados.

ejemploLo dibujado es la derivada, no la función
Los tres cruces, en un caso con una sola curva. Empieza por aquí.
ejemploDos curvas, y decidir cuál deriva a cuál
Y ahora dos curvas, que es como cae. La figura es lo que el boletín no tiene: aquí se practica el criterio —los ceros de una bajo los extremos de la otra— y sobre todo por qué una sola coincidencia no basta.
examenCuál de las dos gráficas es la derivada
Del examen de mayo-junio de 2020. El molde: cuál es cuál, y después el estudio completo de una compuesta.
examenDos curvas, y averiguar cuál deriva a cuál
De 2022-2023, con dominio, extremos y curvatura de $h$ encima.
examenCuál es la función y cuál la derivada, y qué hace su cuadrado
De 2015-2016, y pregunta además qué le pasa al cuadrado de $F$ .

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Lo dibujado es la derivada, no la función

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La gráfica de $f'$ es una recta que pasa por el origen con pendiente positiva, es decir $f'(x) = x$ . Decir dónde crece $f$ , dónde tiene extremos y cómo se curva.

Los intervalos de crecimiento, los extremos y la concavidad de f.

01
Reconocer el camino
COMP1
Lo dibujado corta el eje en $x=0$ . ¿Qué significa eso para $f$ ?
02
Dónde decrece
COMP2
$f$ decrece donde $f'$ es negativa. Con $f'(x) = x$ , ¿cuál es el mayor valor de $x$ en el que $f$ decrece?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la lectura completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Lo dibujado es $f'$ , así que su altura es la pendiente de $f$ .
2. Con $f' < 0$ para $x<0$ y $f' > 0$ para $x>0$ , la función decrece y luego crece.
3. En $x=0$ la derivada pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo de $f$ .
4. La curva dibujada sube siempre, luego $f'' > 0$ y $f$ es convexa en todo $\mathbb{R}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Dos curvas, y decidir cuál deriva a cuál

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la figura hay dos curvas, A y B, dibujadas sobre los mismos ejes. Una es la derivada de la otra. Decidir cuál es cuál, y justificarlo sin calcular nada.

Las dos líneas de puntos marcan x = −1 y x = 1. No hace falta ninguna fórmula: todo lo que decide la respuesta está en dónde corta una y dónde se pone horizontal la otra.

Cuál de las dos es la derivada, con el argumento que lo demuestra.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para decidir cuál es la derivada de cuál, ¿qué hay que mirar?
02
La pendiente de B en el origen
COMP2
Una vez decidido cuál es la derivada, ¿cuánto vale la pendiente de la curva B en $x = 0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. A corta al eje horizontal en $x=-1$ y en $x=1$ , exactamente donde B tiene sus dos tangentes horizontales.
2. Y los signos acompañan: a la izquierda de $-1$ la A es positiva y la B sube; entre $-1$ y $1$ la A es negativa y la B baja.
3. Luego A es la derivada de B, y no al revés.
4. El mínimo de A en $x=0$ dice además que ahí está el punto de inflexión de B, que es donde más deprisa baja.

Resolución completa

El criterio, y por qué es el único que hace falta. La derivada se anula exactamente donde la función tiene tangente horizontal. Así que entre dos curvas basta con comprobar una cosa: si los ceros de una caen bajo los extremos de la otra.

Aquí A corta el eje en $x=-1$ y en $x=1$ , y es justo donde B se pone horizontal. Luego A es la derivada de B.

La comprobación que lo cierra, y que es la que se puntúa. Con los ceros no basta: hay que mirar los signos, porque un cero de la derivada también podría ser un punto de inflexión.

dónde	signo de A	qué hace B
$x < -1$	positiva	sube
$-1 < x < 1$	negativa	baja
$x > 1$	positiva	sube

Las tres filas encajan, así que la lectura es coherente en todo el dibujo y no solo en dos puntos.

Por qué la lectura contraria se cae. Si B fuera la derivada de A, A tendría que ponerse horizontal en cada corte de B con el eje. B corta en tres sitios —el origen y dos cerca de los bordes— y A solo tiene una tangente horizontal, su vértice. Dos cortes sin pareja bastan para descartarla.

Es el error que más veces cuesta este ejercicio en el examen: encontrar una coincidencia y dar la respuesta por buena.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatorias ordinaria y extraordinaria, mayo y junio de 2020 · Cálculo, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · La figura está redibujada en SVG a partir del original · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuál de las dos gráficas es la derivada

COMP 11 punto por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura muestra las gráficas de las funciones $y\left(x\right)$ e $y'\left(x\right)$ definidas en $\left(a,b\right)$ .

Las dos gráficas del enunciado, redibujadas. El intervalo (a,b) está marcado en grueso sobre el eje.

a) Identificar, razonadamente, qué gráfica corresponde a cada una de las funciones.

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y los extremos relativos de la función $h\left(x\right)=e^{-4x}\,y^{4}\left(x\right)$ .

Cuál es cuál, y el estudio completo de h.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la relación que permite decidir cuál de las dos gráficas es la derivada?
02
La derivada de h
COMP2
$h'$ se puede escribir como $4e^{-4x}\,y^{k}\left(y'-y\right)$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Cuántos extremos relativos tiene h
COMP2
¿Cuántos extremos relativos tiene $h$ en $\left(a,b\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La curva que pasa por el origen sube hasta un máximo y ahí, justo debajo, la otra curva corta al eje $X$ .
2. Como $y'$ se anula en los extremos de $y$ , la que corta al eje en ese punto es $y'$ , y la del máximo es $y$ .
3. Se confirma con los signos: esa misma curva es positiva a la izquierda de ese punto y negativa a la derecha, que es exactamente donde $y$ crece y donde decrece.

dónde se anula $h'$	cuántas veces en $\left(a,b\right)$
$y=0$	dos: en $x=0$ y en $q$
$y'=y$ , los cortes de las curvas	dos: en $c$ y en $d$

Resolución completa

a) Cuál es cuál. El criterio es uno solo, y se aplica en un punto:

$y'$ se anula exactamente donde $y$ tiene tangente horizontal.

En la figura hay un sitio donde eso se lee sin dudar: la curva que pasa por el origen alcanza su máximo, y justo debajo, en la misma abscisa, la otra curva corta al eje $X$ . Esa coincidencia solo puede significar una cosa:

\boxed{\;y\;\text{es la que pasa por el origen};\qquad y'\;\text{es la de la meseta}\;}

Y se confirma con los signos, que es la comprobación que hay que escribir:

tramo	la de la meseta	la del origen
de $a$ hasta el máximo	positiva	creciente ✓
del máximo hasta $b$	negativa	decreciente ✓

Y un detalle más, que suma: en el tramo donde la de la meseta es casi constante, la del origen es casi un segmento recto. Pendiente constante, derivada constante. Encaja.

Por qué la asignación contraria no puede ser. Si la de la meseta fuese $y$ , entonces $y$ sería decreciente en casi todo el intervalo, y su derivada —la del origen— tendría que ser negativa allí. Pero la del origen es positiva en toda la primera mitad. Contradicción.

Los cuatro puntos donde h′ se anula: los dos ceros de y, en verde, y los dos cortes entre las curvas, en rojo. El máximo de y y el mínimo de y′ no cuentan.

b) El estudio de $h$ . Lo primero, derivar, y sacar factor común sin miedo:

h\left(x\right)=e^{-4x}y^{4}\left(x\right)

h'=-4e^{-4x}y^{4}+e^{-4x}\cdot 4y^{3}y' =\boxed{\;4e^{-4x}y^{3}\left(y'-y\right)\;}

Y ahora lo bonito: $e^{-4x}>0$ siempre, así que el signo de $h'$ es el de $y^{3}\left(y'-y\right)$ , o lo que es lo mismo:

\operatorname{signo}\left(h'\right) =\operatorname{signo}\left(y\right)\cdot \operatorname{signo}\left(y'-y\right)

Dos preguntas que se contestan mirando el dibujo: ¿dónde está $y$ por encima del eje?, y ¿dónde está $y'$ por encima de $y$ ?

Llamando $c$ y $d$ a las dos abscisas donde las curvas se cortan, y $q$ al segundo cero de $y$ :

tramo	signo de $y$	signo de $y'-y$	$h'$	$h$
$\left(a,0\right)$	$-$	$+$	$-$	decrece
$\left(0,c\right)$	$+$	$+$	$+$	crece
$\left(c,q\right)$	$+$	$-$	$-$	decrece
$\left(q,d\right)$	$-$	$-$	$+$	crece
$\left(d,b\right)$	$-$	$+$	$-$	decrece

\boxed{\;\text{mínimo en }0,\quad\text{máximo en }c,\quad \text{mínimo en }q,\quad\text{máximo en }d\;}

Los dos mínimos valen cero, y son absolutos. Esto no lo pide el enunciado y es lo que más suma: como $h=e^{-4x}y^{4}$ y una cuarta potencia nunca es negativa,

h\left(x\right)\ge 0\quad\text{para todo }x, \qquad h\left(0\right)=h\left(q\right)=0

así que en los ceros de $y$ la función $h$ no solo tiene un mínimo relativo: toca su valor mínimo posible.

Y una advertencia sobre lo que NO son extremos. El máximo de $y$ y el mínimo de $y'$ saltan a la vista en el dibujo y no pintan nada aquí: en $h'=4e^{-4x}y^{3}\left(y'-y\right)$ solo aparecen $y$ e $y'-y$ . Que un punto sea llamativo en la figura no lo convierte en crítico para otra función.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que uses los tres cruces —donde la derivada se anula, la función tiene extremo; donde cambia de signo, cambia la monotonía— y que escribas el argumento, no solo la conclusión.

Cinco afirmaciones, y razonar cada una

Decidir si una afirmación sobre una función dibujada es cierta, y escribir el motivo o el contraejemplo.

leerCrecer y curvarse: lo que dicen la primera y la segunda derivada

Las cuatro combinaciones de signos, que es lo que estas afirmaciones mezclan una y otra vez.

ejemploLo dibujado es la derivada, no la función
Lo mismo, antes de que sean cinco afirmaciones a la vez.
prácticaTres funciones y una pendiente media
No es leer una gráfica, pero es la herramienta con la que se contesta la afirmación sobre Lagrange que cae en 2018-2019.
examenCinco afirmaciones sobre dos gráficas, y las cuatro que fallan
De 2021-2022. Cinco afirmaciones y cuatro fallan.
examenCinco afirmaciones, y solo una es cierta
De 2023-2024, el mismo formato dos años después: cinco, y solo una es cierta.
examenEl teorema de Lagrange, y el caso en que no se puede usar
De 2018-2019, y la variante con teorema: enunciarlo y decir en cada caso si se aplica y dónde. Aquí lo que puntúa es la hipótesis que falla.

Lo tienes cuando

Que ninguna respuesta sea «sí» o «no» a secas: en este hueco los puntos están en el porqué.

lo tienes cuando:

Que ante dos curvas sepas decidir cuál es la derivada mirando dónde una corta el eje y dónde la otra tiene su extremo, y que puedas enunciar Rolle y Lagrange sin mirar.

Estudiar una función que solo se conoce como integral

5 de 11 — teoría disfrazada2 escalones

Cae 5 de 11 años

«El crecimiento y la concavidad de F», «la recta tangente en x = 1», «los ceros, la monotonía, la curvatura y el dibujo».

Cinco de los once años. Es el hueco que más se parece a una pregunta de teoría disfrazada: la función no se puede calcular, así que todo sale del teorema fundamental. Quien lo entiende lo resuelve entero; quien intenta calcular la integral no termina.

Derivar sin calcular la integral

Sacar $F'$ y $F''$ de una función definida por una integral con extremo variable, y con ellas su monotonía, sus extremos y su curvatura.

leerEl teorema fundamental, en sus dos mitades

La primera mitad es la que se usa aquí; la segunda, Barrow, es la que se usa para calcular. Son cosas distintas y el examen las separa.

ejemploDerivar una integral sin calcularla
Derivar una integral sin calcularla, en el caso más corto.
prácticaSeis derivadas sin calcular ninguna integral
prácticaTres funciones integrales que salen a trozos
El caso incómodo: la integral con extremo variable sale definida a trozos, y ahí se ve si has entendido el teorema o lo has memorizado.
examenEstudiar una función que solo se conoce como integral
De 2020-2021, y el molde del hueco: ceros, monotonía, curvatura y dibujo, sin calcular nada.
examenLa longitud de arco como función del extremo
De 2024-2025, y con una vuelta de tuerca: la integral es una longitud de arco, así que el integrando es una raíz.
examenUna integral que no se sabe hacer, y aun así se estudia entera
De 2013-2014, fuera de las once contadas. La integral que no se sabe hacer —la campana de Gauss— y aun así se estudia entera.
examenCuatro integrales que hay que interpretar antes de calcular
De 2015-2016, y aquí lo que puntúa no es calcular: son cuatro integrales que hay que interpretar antes.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Derivar una integral sin calcularla

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para $F(x) = \displaystyle\int_1^{x} t^{3}\,dt$ , calcular $F'(x)$ sin resolver la integral.

La derivada de la función integral.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué parte del teorema fundamental se usa aquí?
02
La derivada
COMP2
¿Cuánto vale $F'(2)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El integrando $t^{3}$ es continuo, que es la hipótesis del teorema.
2. El límite inferior es constante y el superior es $x$ .
3. Por la primera parte del teorema fundamental, $F'(x) = x^{3}$ .
4. Luego $F'(2) = 8$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 8 de junio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Estudiar una función que solo se conoce como integral

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{1}{t^{2}+2t+2}\,dt$ .

a) ¿Toma $F(x)$ el valor $0$ ? Razonar la respuesta.

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento de $F(x)$ en $\mathbb{R}$ .

c) Estudiar la concavidad/convexidad de $F(x)$ en $\mathbb{R}$ .

d) Dibujar el gráfico de $F(x)$ .

Los ceros, la monotonía, la curvatura y el dibujo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuánto vale $F'(x)$ ?
02
La función, en forma cerrada
COMP2
Completando cuadrados sale $F(x)=\arctan(x+1)-c$ . ¿Cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto de inflexión
COMP2
¿En qué punto cambia $F$ de convexa a cóncava?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El techo de la función
COMP2
¿A qué valor tiende $F(x)$ cuando $x\to+\infty$ ?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por el teorema fundamental, $F'(x)=\frac{1}{x^{2}+2x+2}>0$ para todo $x$ , porque $x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1\ge1$ .
2. Luego $F$ es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ , y por tanto inyectiva: no puede tomar el mismo valor dos veces.
3. Y $F(0)=\int_{0}^{0}=0$ , así que sí toma el valor cero, y lo toma exactamente una vez, en $x=0$ .

Resolución completa

La idea que ordena todo el ejercicio: no hace falta calcular la integral para contestar a), b) y c). El teorema fundamental da

F'(x)=\frac{1}{x^{2}+2x+2}=\frac{1}{(x+1)^{2}+1}

y con eso se responde casi todo.

a) Sí, y solo una vez. $F(0)=0$ porque la integral de $0$ a $0$ es cero. Y como $F'>0$ en todo $\mathbb{R}$ , $F$ es estrictamente creciente y no puede volver a valer cero.

Cuidado con el argumento fácil y equivocado: «el integrando es positivo, luego $F>0$ ». Para $x<0$ los límites están invertidos y la integral es negativa.

b) Creciente en todo $\mathbb{R}$ . $(x+1)^{2}+1\ge1>0$ , así que $F'>0$ siempre y no hay extremos.

c) Convexa hasta $-1$ , cóncava después.

F''(x)=-\frac{2(x+1)}{\left[(x+1)^{2}+1\right]^{2}}

El denominador es positivo; el signo lo pone $-(x+1)$ . Inflexión en $x=-1$ , donde además $F'$ alcanza su valor máximo, $1$ : es el punto donde la gráfica sube más deprisa.

d) El dibujo, con la forma cerrada. Aquí sí conviene resolver la integral, porque las asíntotas se leen de un vistazo:

F(x)=\arctan(x+1)-\frac{\pi}{4}

\lim_{x\to-\infty}F=-\frac{3\pi}{4}\approx-2{,}36, \qquad \lim_{x\to+\infty}F=\frac{\pi}{4}\approx0{,}79

La gráfica de F. Creciente en todo el eje, con dos asíntotas horizontales, corte único con el eje en el origen e inflexión en x = −1, donde la curva pasa de convexa a cóncava.

Un detalle de escala que se suele fallar: la función no es simétrica. Baja hasta $-\frac{3\pi}{4}$ por la izquierda y solo sube hasta $\frac{\pi}{4}$ por la derecha, porque el punto de inflexión —el centro de simetría de la ese— está en $x=-1$ , no en el origen.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que la primera línea de tu respuesta sea $F'(x)=f(x)$ y no un intento de primitiva.

La recta tangente, que sale de dos evaluaciones

Escribir la recta tangente a una función definida por una integral, usando que su valor en el extremo inferior es cero.

leerEl teorema fundamental, en sus dos mitades

ejemploDerivar una integral sin calcularla
La misma derivada, que es de donde sale la pendiente de la tangente.
prácticaDos polinomios de Maclaurin sin calcular la integral
La tangente es el Maclaurin de grado uno, así que esto es lo mismo un grado más allá y sin calcular ninguna integral.
examenLa tangente a una función definida por una integral
De 2023-2024. Dos evaluaciones y ya está la recta.
examenLa recta tangente sin calcular la integral
Del examen de mayo-junio de 2020, y el título lo dice todo.

Lo tienes cuando

Que veas que $F(a)=0$ sin calcular nada, y que la pendiente es $f(a)$ .

lo tienes cuando:

Que ante $F(x)=\int_a^{x}f$ derives sin pensarlo y saques monotonía y curvatura de $f$ y de $f'$ , sin intentar calcular la primitiva.

Áreas, volúmenes y perímetros

4 de 11 — piden deducir, no aplicar2 escalones

Cae 4 de 11 años

«El área del recinto y el volumen de revolución», «el perímetro completo del recinto», «el volumen, deducido con una integral y no citado de memoria».

Cuatro de los once años. Y hay un detalle del enunciado que se repite: piden deducir la fórmula, no aplicarla. En 2021-2022 el ejercicio era de dónde sale el tercio del volumen del cono.

El recinto, y el sólido que engendra al girar

Calcular el área de un recinto entre curvas y el volumen que genera al girar, eligiendo bien el eje y el método.

leerÁreas y volúmenes: el mismo esquema

Y el apartado de al lado, sobre girar alrededor de OY, que es el caso que de verdad cae.

ejemploEl área entre dos curvas
El área entre dos curvas, sin tangentes de por medio.
prácticaUna parábola y sus dos tangentes
prácticaEl área y el volumen bajo una exponencial
Y el volumen, que es la otra mitad del escalón: el mismo esquema con la sección al cuadrado.
examenUn recinto entre una parábola y su tangente, y el sólido que engendra
De 2016-2017. Un recinto entre una parábola y su tangente, y el sólido que engendra.
examenDe dónde sale el tercio de la fórmula del cono
De 2021-2022, y no vale citar la fórmula: piden de dónde sale el tercio.
examenGirar alrededor del valor medio, y lo que sobra al hacerlo
De 2025-2026, y el eje de giro no es un eje coordenado: es el valor medio de la función.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El área entre dos curvas

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el área encerrada entre las curvas $y = x$ e $y = x^{2}$ .

Los puntos de corte y el área.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el primer paso antes de plantear la integral?
02
El corte distinto de cero
COMP2
Igualando $x = x^{2}$ , ¿cuál es la solución distinta de cero?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\int_0^{1}\left(x - x^{2}\right)dx$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los cortes son $x=0$ y $x=1$ , y son los límites de integración.
2. Entre 0 y 1 la recta va por encima de la parábola.
3. El área es $\int_0^1 (x - x^{2})\,dx$ .
4. Vale $\frac12-\frac13 = \frac16$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 29 de mayo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un recinto entre una parábola y su tangente, y el sólido que engendra

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dada la función $y=4x^{2}$ se pide:

a) Calcular el área del recinto situado en el primer cuadrante y limitado por la curva y su tangente que es paralela a la recta $y=8x$ .

b) Calcular el volumen del sólido engendrado al girar el recinto alrededor del eje OX.

El área del recinto y el volumen de revolución.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se localiza el punto de tangencia?
02
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área del recinto?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen del sólido de revolución?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. «Tangente paralela a $y=8x$ » fija la pendiente en $8$ ; de $y'=8x=8$ sale $x=1$ y el punto de tangencia es $(1,4)$ .
2. La tangente es $y=8x-4$ , que corta al eje $OX$ en $x=\frac12$ ; junto con la parábola y ese eje encierran el recinto del primer cuadrante.
3. El área es $\int_{0}^{1}4x^{2}dx$ menos el triángulo de la tangente, $\frac43-1=\frac13$ ; y el volumen, $\frac{16\pi}{5}-\frac{8\pi}{3}=\frac{8\pi}{15}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que el dibujo salga antes que la integral, y que sepas decidir entre discos y capas sin probar los dos.

Perímetros, y la primitiva que hay que saber sacar

Calcular la longitud de un arco y resolver las primitivas que aparecen al hacerlo.

leerLongitud de arco

Y el apartado de los cuatro métodos, que es el que decide qué primitiva sale y cuál no.

ejemploUn volumen de revolución por discos
Un giro por discos, que es el otro uso de la misma integral.
ejemploUna longitud de arco donde la raíz desaparece
El ejemplo de entrada de la longitud de arco, y está elegido para que la raíz desaparezca: uno más la derivada al cuadrado se queda en 1+x y la integral es inmediata. Así lo único que hay que aprender aquí es la fórmula y de dónde sale; el arco del boletín, que viene después, es el que trae la raíz que no se simplifica.
prácticaLa longitud de un arco de parábola
El mismo arco del examen, con su primitiva hecha despacio: lo que hay que reconocer es la integral, no la fórmula.
prácticaNueve por partes, y la regla ALPES
examenUn perímetro con un arco de parábola dentro
Del examen de mayo-junio de 2020. Un perímetro con un arco de parábola dentro, que es la longitud que más cae.
examenUn cambio que deja la integral hecha a medias
De 2018-2019, y es puro oficio: un cambio deja la integral hecha a medias y hay que terminarla por partes.

Lo tienes cuando

Que no confundas la fórmula de la longitud con la del área de la superficie, y que sepas cuándo un cambio deja la integral a medias y hay que rematarla por partes.

lo tienes cuando:

Que dibujes el recinto antes de plantear nada, y que sepas de memoria las cuatro fórmulas —área, volumen por discos, longitud de arco y superficie de revolución— sin confundir cuál lleva la raíz.

El hueco raro, que solo ha caído dos veces

2 de 11, ninguno desde 2017-20181 escalón

Cae 2 de 11 años

«Demostrar que la ecuación tiene solución», «demostrar que una función continua no se salta ningún valor».

Dos de los once años, los dos seguidos y ninguno desde 2017-2018. Va al final del primer parcial precisamente por eso: es el bloque que menos rinde. Pero cuando cae vale el ejercicio entero, y es todo COMP 4.

Bolzano, casi siempre disfrazado de punto fijo

Demostrar que una ecuación tiene solución construyendo la función auxiliar a la que aplicar Bolzano.

leerEl punto fijo, que es Bolzano disfrazado

El apartado explica el disfraz. Y el de al lado, que Bolzano no encuentra la raíz: garantiza que existe.

ejemploBolzano, y por qué la raíz existe
Bolzano aplicado directamente. El de examen es este con el disfraz de punto fijo.
prácticaUna raíz que existe, y que además es la única
Bolzano da que existe; el crecimiento estricto da que es la única. Las dos mitades, que es lo que el examen puntúa por separado.
examenUna ecuación que tiene solución sin llegar a resolverla
De 2017-2018. Una ecuación que tiene solución sin llegar a resolverla.
examenDemostrar que una función continua no se salta ningún valor
De 2016-2017, y aquí lo que piden es demostrar el teorema, no aplicarlo.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Bolzano, y por qué la raíz existe

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar que la ecuación $x^{3} + x - 1 = 0$ tiene una solución en el intervalo $[0,1]$ .

La comprobación de las hipótesis y la conclusión.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué garantiza el teorema de Bolzano?
02
El extremo izquierdo
COMP2
Con $f(x) = x^{3}+x-1$ , ¿cuánto vale $f(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El extremo derecho
COMP2
¿Y cuánto vale $f(1)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f(x) = x^{3}+x-1$ es un polinomio, luego es continua en $[0,1]$ .
2. $f(0) = -1 < 0$ y $f(1) = 1 > 0$ , signos distintos.
3. Por Bolzano existe $c \in (0,1)$ con $f(c) = 0$ .
4. Ese $c$ es la solución de la ecuación que se pedía.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 30 de mayo de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación que tiene solución sin llegar a resolverla

COMP 11 punto por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Enunciar, sin demostrar, el teorema de existencia y unicidad del punto fijo.

b) Aplicando el teorema anterior, razonar si la igualdad $x=\sqrt{2x+3}$ tiene solución en el intervalo $\left[0,4\right]$ . ¿Es única esa solución?

El enunciado del teorema, y la comprobación de sus hipótesis en este caso.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que comprobar para aplicar el teorema del punto fijo a $g$ en $[a,b]$ ?
02
Dónde manda g al intervalo
COMP2
Con $g(x)=\sqrt{2x+3}$ , ¿cuál es el valor máximo de $g$ en $[0,4]$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La constante de contracción
COMP2
¿Cuál es el valor máximo de $\left|g'\right|$ en $[0,4]$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La igualdad $x=\sqrt{2x+3}$ es un problema de punto fijo para $g(x)=\sqrt{2x+3}$ , que es continua en $[0,4]$ porque el radicando es positivo en todo el intervalo.
2. $g$ es creciente y $g\left([0,4]\right)= \left[\sqrt3,\sqrt{11}\right]\subset[0,4]$ : la imagen no se sale, así que existe al menos un punto fijo.
3. Además $\left|g'\right|\le\frac{1}{\sqrt3}<1$ en todo el intervalo, luego $g$ es contractiva y el punto fijo es único; resolviendo, $x^{2}=2x+3$ da $x=3$ —y $x=-1$ , que se descarta por estar fuera—.

Resolución completa

a) El teorema. Este apartado vale la mitad de los puntos de explicación formal, así que conviene escribirlo entero y separando las dos conclusiones:

Sea $g$ continua en $[a,b]$ con $g\left([a,b]\right)\subseteq[a,b]$ . Entonces existe al menos un $c\in[a,b]$ con $g(c)=c$ . Si además $g$ es derivable en $(a,b)$ y existe $k<1$ tal que $\left|g'(x)\right|\le k$ para todo $x$ , ese punto fijo es único.

La existencia es Bolzano disfrazado: se aplica a $h(x)=g(x)-x$ , que cumple $h(a)\ge0$ y $h(b)\le0$ .

b) Las tres comprobaciones. La igualdad $x=\sqrt{2x+3}$ es exactamente $x=g(x)$ con $g(x)=\sqrt{2x+3}$ .

Continuidad. El radicando $2x+3$ vale entre $3$ y $11$ en $[0,4]$ : positivo, así que $g$ es continua allí.
La imagen no se sale. $g$ es creciente, luego $g\left([0,4]\right)=\left[\sqrt3,\sqrt{11}\right]\approx[1{,}73,\, 3{,}32]$ , que cabe dentro de $[0,4]$ . Existe solución.
Contracción. $g'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}$ , que en $[0,4]$ está acotada por $\frac{1}{\sqrt3}\approx0{,}58<1$ . La solución es única.

La recta y = x y la curva. Se cortan una sola vez, en x = 3, y la curva se mantiene dentro del cuadrado: eso es exactamente lo que piden las hipótesis del teorema.

Y cuál es. El teorema no la da, pero aquí se despeja: elevando al cuadrado, $x^{2}=2x+3$ , o sea $x^{2}-2x-3=0$ , con raíces $3$ y $-1$ . La segunda hay que descartarla, y no solo por estar fuera del intervalo: al elevar al cuadrado se añaden soluciones, y $-1=\sqrt{1}$ es falso.

\boxed{\;x=3\;}

Lo que hay que llevarse. El teorema sirve para saber que hay solución y que es una sola antes de intentar despejarla. Aquí se puede despejar, así que la gracia no está en el número: está en que el mismo argumento funcionaría con una ecuación imposible de resolver a mano.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante «demuestra que existe $x$ con $f(x)=x$ » escribas $g(x)=f(x)-x$ sin dudarlo, y que digas dónde compruebas el cambio de signo.

lo tienes cuando:

Que sepas enunciar Bolzano con sus dos hipótesis y aplicarlo a un punto fijo, que es como viene disfrazado.

Laplace, el único ejercicio que no falta nunca

en las 11 convocatorias — no falta nunca5 escalones

Cae 11 de 11 años

Resolver con la transformada lo que los métodos del tema 9 no alcanzan: una ecuación integral, un sistema de EDOs, una ecuación con el segundo miembro definido a trozos, o una con la $t$ multiplicando.

Doce ejercicios en once convocatorias, y está en las once. Es el único bloque de toda la asignatura del que se puede decir eso. Y no cae aquí por casualidad: Laplace solo compensa en los casos que el tema 9 no resuelve, y esos son los que el examen elige. La única excepción es de 2013-2014, y es a propósito: pide la misma ecuación por Laplace y por coeficientes indeterminados, para que se vea que llevan al mismo sitio.

Ir y volver por el dominio de s

Transformar con la tabla, despejar la incógnita algebraicamente, y antitransformar descomponiendo en fracciones simples.

leerEl rodeo, que es la idea entera

ejemploLa primera transformada, con la tabla
La ida, con la tabla y la linealidad. Y el signo del denominador en la exponencial, que es lo único con trampa.
ejemploVolver, descomponiendo en fracciones simples
La vuelta. Con el método de cubrir, que hace las fracciones simples en treinta segundos.
examenUna raíz doble, un seno y tres fracciones simples
De 2016-2017, y es el ejercicio de descomponer: una raíz doble obliga a dos fracciones, no a una.
examenUn denominador sin raíces reales, y qué hacer con él
De 2021-2022, y es el tercer caso: el denominador no tiene raíces reales, así que no hay fracciones simples que valgan y hay que completar el cuadrado.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La primera transformada, con la tabla

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la transformada de Laplace de $f(t) = 3 + 2t - e^{4t}$ .

La transformada F(s).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué se puede transformar cada sumando por separado?
02
La transformada del término lineal
COMP2
Con $\mathcal{L}\{t^{n}\} = n!/s^{n+1}$ , ¿cuánto vale el numerador de $\mathcal{L}\{2t\}$ , si el denominador es $s^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por linealidad, se transforma cada sumando por separado.
2. $\mathcal{L}\{3\} = 3/s$ , porque $\mathcal{L}\{1\}=1/s$ .
3. $\mathcal{L}\{2t\} = 2/s^{2}$ .
4. $\mathcal{L}\{e^{4t}\} = 1/(s-4)$ , con el signo cambiado en el denominador.

Resolución completa

La linealidad hace todo el trabajo. La transformada es una integral, y las integrales reparten sumas y sacan constantes:

\mathcal{L}\{3 + 2t - e^{4t}\} = 3\,\mathcal{L}\{1\} + 2\,\mathcal{L}\{t\} - \mathcal{L}\{e^{4t}\}

Cada trozo, de la tabla:

término	transformada
$3$	$3/s$
$2t$	$2/s^{2}$
$e^{4t}$	$1/(s-4)$

\boxed{\;F(s) = \frac{3}{s} + \frac{2}{s^{2}} - \frac{1}{s-4}\;}

El signo del denominador, que es lo único con trampa aquí. La definición lleva $e^{-st}$ , y al multiplicar por $e^{4t}$ el exponente queda $-(s-4)t$ : por eso sale $s-4$ y no $s+4$ . Si te sale con el signo cambiado, la antitransformada te dará $e^{-4t}$ , que crece o decrece justo al revés.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Volver, descomponiendo en fracciones simples

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la transformada inversa de $F(s) = \dfrac{3s}{s^{2}-s-6}$ .

La función f(t) cuya transformada es F(s).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el primer paso para antitransformar un cociente de polinomios?
02
La raíz positiva del denominador
COMP2
¿Cuál es la raíz positiva de $s^{2}-s-6=0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de la primera fracción
COMP2
En $\dfrac{3s}{(s-3)(s+2)} = \dfrac{A}{s-3}+\dfrac{B}{s+2}$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (9/5) o con un decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El denominador factoriza como $(s-3)(s+2)$ .
2. Se descompone en $\frac{9/5}{s-3}+\frac{6/5}{s+2}$ .
3. Cada trozo se reconoce en la tabla como una exponencial.
4. Luego $f(t) = \frac{9}{5}e^{3t}+\frac{6}{5}e^{-2t}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que el rodeo te salga solo, y que en la vuelta reconozcas los tres casos del denominador — raíces distintas, raíz doble, y el que no factoriza y hay que completar el cuadrado.

Las ecuaciones integrales, y la convolución

Reconocer una convolución dentro de una integral y usar que su transformada es el producto de las transformadas.

leerPara qué compensa de verdad

Es el caso que justifica el tema entero: una ecuación con la incógnita dentro de una integral no la resuelve ninguna técnica del tema 9.

prácticaUna ecuación integral, y la convolución
De 2015-2016. Y ojo al factorial de la tabla al volver: $1/s^{4}$ no es $t^{3}$ , es $t^{3}/6$ .
prácticaUna ecuación integral cuya solución es un seno
Del boletín, y es el mismo mecanismo que el de 2017-2018 con la cuenta más corta. Hazlo primero.
examenUna ecuación donde la incógnita está dentro de una integral
De 2018-2019, el mismo esquema con otra función dentro.
examenUna convolución con t, y el seno que aparece
De 2017-2018. La convolución es con $t$ , y de ahí sale un seno donde no se esperaba ninguno.
examenUna ecuación con una integral dentro
Del examen de mayo-junio de 2020, y el mismo molde: la integral del enunciado es una convolución disfrazada.
examenUna ecuación integral, y la respuesta son todas las constantes
De 2024-2025, y trae la sorpresa: la solución no es única, son todas las constantes a la vez.

Lo tienes cuando

Que al ver una integral de $0$ a $t$ con $(t-u)$ y $u$ en factores separados pienses «convolución» sin que nadie diga la palabra. Y que sepas que sin Laplace no hay forma razonable de atacarla.

El segundo miembro que se enciende tarde

Escribir con la función escalón un segundo miembro definido a trozos, transformarlo, y deshacer el desplazamiento al volver.

leerEl escalón, que es como se escribe «a partir de»

El escalón no calcula: traduce. Y hay que mirar si el argumento lleva el mismo retraso que el escalón antes de aplicar la regla, porque $t^{2}u(t-3)$ y $(t-3)^{2}u(t-3)$ no se transforman igual.

ejemploEscribir con el escalón una función que empieza tarde
Empieza aquí. Una función a trozos escrita en una línea, y su transformada. Sin ecuación diferencial alrededor.
prácticaUn retraso escondido en una exponencial
El caso limpio, sin ecuación diferencial alrededor: solo la transformada y la vuelta.
examenUna fuerza que no aparece hasta el segundo dos
De 2020-2021. Una EDO en reposo hasta el segundo dos, que es cuando aparece la fuerza.
examenUn sistema que no arranca hasta el segundo dos
De 2023-2024, y es las dos cosas a la vez: un sistema que además arranca tarde. Es el más largo de los doce.
examenUn empujón que llega tarde, y en el peor momento
Del examen global de mayo-junio de 2020. La fuerza entra en $t=2$ con la frecuencia propia del sistema, así que a partir de ahí hay resonancia con retraso: el factor que crece es $t-2$ , no $t$ .

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Escribir con el escalón una función que empieza tarde

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Escribir con la función escalón, y transformar,

f(t)= \begin{cases} 0 & t<3\\ \left(t-3\right)^{2} & t\ge3 \end{cases}

La función en una sola fórmula, y su transformada.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Para qué sirve multiplicar por $u(t-3)$ ?
02
El retraso
COMP2
La transformada es $e^{-as}\cdot\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ . ¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El numerador
COMP2
En $e^{-3s}\cdot\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ con $n=2$ , ¿cuánto vale el numerador $n!$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La función vale cero hasta $t=3$ , así que se escribe multiplicando por el escalón: $f(t)=\left(t-3\right)^{2}u(t-3)$ .
2. Tiene exactamente la forma $g(t-a)\,u(t-a)$ con $g(t)=t^{2}$ y $a=3$ , así que se le puede aplicar la traslación en $t$ .
3. Como $\mathcal{L}\{t^{2}\}=2/s^{3}$ , la transformada es $e^{-3s}\cdot 2/s^{3}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante «la fuerza empieza a actuar en $t=2$ » escribas el escalón sin pensarlo, y que en la vuelta no te olvides de que todo lo que acompaña a $e^{-2s}$ va evaluado en $t-2$ y multiplicado por el escalón.

Dos ecuaciones acopladas, que se vuelven un sistema lineal

Transformar las dos ecuaciones de un sistema, resolver el sistema algebraico que sale, y antitransformar las dos incógnitas.

leerPara qué compensa de verdad

El segundo caso donde Laplace gana de calle: acoplar y desacoplar a mano cuesta mucho más que transformar y despejar.

ejemploEl rodeo completo, de la EDO a la solución
El rodeo completo sobre la ecuación más corta posible, antes de meter dos incógnitas.
prácticaUn sistema de dos EDOs, resuelto con Laplace
De 2016-2017, y es el sistema en su forma más limpia.
prácticaUn sistema cuya solución gira
Del boletín, y conviene hacerlo antes: la solución gira, así que si a ti no te salen senos y cosenos hay un error en la descomposición.
examenDos ecuaciones acopladas que dan la misma respuesta
De 2022-2023. Las dos incógnitas acaban dando la misma respuesta, y eso es una comprobación gratis.
examenLa misma ecuación resuelta de tres maneras distintas
De 2013-2014, y es el mejor para entender por qué se hace así: el enunciado pide la misma ecuación por Laplace directo, como sistema, y por coeficientes indeterminados. Tres caminos, un resultado.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El rodeo completo, de la EDO a la solución

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver $y' + 3y = 0$ con $y(0) = 2$ usando la transformada de Laplace.

La función y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
Al transformar $y'$ , ¿qué aparece además de $sY$ ?
02
El polo de Y(s)
COMP2
Despejando queda $Y(s) = \dfrac{2}{s+3}$ . ¿En qué valor de $s$ se anula su denominador?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Transformando: $sY - 2 + 3Y = 0$ , con el 2 que es $y(0)$ .
2. Agrupando: $Y(s+3) = 2$ , y de ahí $Y = \dfrac{2}{s+3}$ .
3. De la tabla, $\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{1}{s-a}\right]=e^{at}$ con $a=-3$ .
4. Luego $y(t) = 2e^{-3t}$ , y en $t=0$ vale 2 ✓

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que veas dos EDOs acopladas y pienses «esto es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de bachillerato». Toda la dificultad está en no equivocarse con las condiciones iniciales de las dos.

Los dos casos raros, que también han caído

Resolver una ecuación con la $t$ multiplicando —derivando la transformada— y calcular una integral impropia leyendo la definición al revés.

leerCuando la t multiplica: coeficientes variables

Los dos son un ejercicio de once, así que no son el pan de cada día — pero los dos son de los que se dejan en blanco si no se han visto nunca, y con verlos una vez basta.

ejemploLa primera transformada, con la tabla
La transformada con la tabla, antes del caso raro.
ejemploMultiplicar por t es derivar la transformada
El peldaño que faltaba, y es nuestro: la propiedad de multiplicar por t vista sola, con una comprobación contra la tabla y una ecuación de primer orden que se resuelve en dos líneas. Deja hechas las tres cosas raras del método antes de que aparezcan todas juntas en el examen.
examenUna ecuación con la t delante, y por eso Laplace
De 2025-2026. La ecuación en $Y(s)$ que sale es de primer orden y separable, y la solución es $y=e^{2t}$ — con una sola constante que cumple las dos condiciones iniciales, que es la señal de que vas bien.
examenUna integral impropia que la tabla de Laplace resuelve sola
De 2015-2016, y es el más corto de los doce: una línea. La respuesta es $17!/5^{18}$ , y dejarla así es una respuesta completa.

Lo tienes cuando

Que al ver una $t$ delante de $y'$ o $y''$ pienses «derivar $F$ », y que al ver una integral de cero a infinito con un $e^{-st}$ dentro no integres nada: eso es un valor de la tabla.

lo tienes cuando:

Reconocer en menos de un minuto cuál de los cuatro casos tienes delante, y saber que las condiciones iniciales entran al transformar y no hay que volver a por ellas. Si al terminar te sobra alguna constante, es que las has perdido por el camino.

El sólido, que hay que dibujar antes de integrar

10 de 11 — dibujar antes de integrar5 escalones

Cae 10 de 11 años

Un sólido definido por dos o tres desigualdades — dentro de un paraboloide, dentro de un cono, por debajo de un plano — del que se pide dibujarlo y calcular su volumen, el área de su superficie o su centro de gravedad.

Diez ejercicios en diez de las once convocatorias — solo falta en 2017-2018 —, y es el bloque que esta ruta no tenía. Nueve de los diez son cuerpos de revolución formados por dos superficies que se cortan, y el trabajo entero está en hallar dónde se cortan: con eso salen los límites, y con los límites el ejercicio es mecánico.

Dónde se cortan las dos superficies

Hallar la curva de intersección de dos superficies y traducirla en los límites de la integral.

leerCuando el recinto es redondo: polares

El corte de dos superficies de revolución es una circunferencia, y eso es lo que convierte el problema en unas polares con el radio dependiendo de la altura.

prácticaUn cono y un paraboloide, volumen y superficie
Volumen y superficie del mismo cuerpo, con el corte hecho paso a paso.
prácticaEl volumen encerrado entre dos paraboloides
Del boletín, y es el corte más simple de todos: dos paraboloides que se cortan en una circunferencia. Con este hecho, los de examen son el mismo trabajo con otra figura.
examenUn cono con tapa de paraboloide
De 2016-2017. Las mismas dos superficies que el anterior, con los papeles cambiados: aquí el cono va abajo.
examenUn sólido con tapa plana y fondo de paraboloide
De 2025-2026, el más reciente, y con tapa plana: el corte es con un plano, que es el caso fácil.
examenUn volumen que fija el radio del recinto
De 2020-2021, y con el corte al revés: el volumen te lo dan y lo que hay que hallar es el radio del recinto.
examenUn cono metido dentro de un paraboloide
Del examen global de mayo-junio de 2020. Dos superficies escritas con la misma combinación $9x^2+3y^2$ , así que un solo cambio estira los dos ejes y deja el sólido de revolución.

Lo tienes cuando

Que la ecuación del corte te salga en una línea, y que al resolverla descartes en voz alta la raíz que no cumple las otras condiciones. Casi siempre hay dos soluciones y solo una vale.

Cilíndricas o esféricas, y por qué

Elegir el sistema de coordenadas mirando la forma del sólido, y no olvidar el jacobiano que corresponde.

leerIntegrales triples, y qué coordenadas elegir

ejemploLa primera integral en polares, y el jacobiano
Empieza en el plano, con el jacobiano más simple de todos. Sin esto, las cilíndricas no se entienden.
prácticaEl mismo sólido, en cilíndricas y en esféricas
El mismo sólido de las dos maneras, para ver cuál sale más corta y por qué.
examenUn cucurucho de helado, y por qué las esféricas lo resuelven solo
De 2018-2019, y es el caso donde las esféricas lo resuelven casi solas: un cono con una tapa de esfera centrada en el vértice.
examenUn dominio en dos trozos que al girarlo se hace uno
De 2024-2025, y el motivo de cambiar de coordenadas está a la vista: en cartesianas el dominio son dos trozos, y en polares uno.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La primera integral en polares, y el jacobiano

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el área del círculo de radio 3 centrado en el origen mediante una integral doble en coordenadas polares.

El área del círculo, calculada con la integral.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al cambiar a polares, ¿en qué se convierte el diferencial de área?
02
La integral en el radio
COMP2
¿Cuánto vale $\int_{0}^{3}\rho\,d\rho$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (9/2) o con un decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área total
COMP2
Multiplicando por la integral en el ángulo, $\int_0^{2\pi}d\theta = 2\pi$ , ¿cuánto vale el área?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (9pi) o con tres decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En polares el círculo de radio 3 es el rectángulo $\rho\in[0,3]$ , $\theta\in[0,2\pi]$ .
2. El área es $\iint dA$ , y en polares $dA = \rho\,d\rho\,d\theta$ .
3. La integral se separa porque los límites son constantes y el integrando también.
4. Sale $(9/2)(2\pi) = 9\pi$ , que coincide con $\pi R^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que la elección sea de diez segundos: eje de simetría, cilíndricas; centro de simetría o esferas y conos por el vértice, esféricas. Y que el $\rho$ de las cilíndricas y el $r^{2}\operatorname{sen}\varphi$ de las esféricas te salgan sin mirar.

Cuando el orden que te dan no se puede integrar

Reescribir una integral doble en el otro orden, dibujando el recinto para leer los límites nuevos.

leerCambiar el orden de integración

El apartado entero va de esto, y trae el caso en que cambiar el orden convierte dos integrales en una.

ejemploLeer los límites de un recinto dibujado
Leer los límites de un recinto dibujado, que es lo que hay que hacer antes de invertir el orden.
examenCambiar el orden y quedarse con una sola integral
Del examen de mayo-junio de 2020, y el título dice el premio: al cambiar el orden, de dos integrales queda una.
examenUn prisma con la tapa curva, y los dos órdenes de integración
De 2023-2024, y pide los dos órdenes: el mismo volumen escrito de las dos maneras, que es la forma de comprobarlo.

Lo tienes cuando

Que el dibujo del recinto salga antes que los límites, y que reconozcas el aviso: cuando la primitiva de dentro no existe, el problema es el orden, no la integral.

El área de la superficie, que no es el área de su sombra

Calcular cuánta chapa hace falta para construir el sólido: la integral doble con la raíz, y el atajo de los cuerpos de revolución.

leerEl área de una superficie, que no es el área de su sombra

El apartado se escribió el 26 de agosto de 2026 precisamente porque esta ruta lo echó en falta: cuatro de los diez ejercicios lo piden y el tema no lo explicaba.

ejemploLa primera área de una superficie, sin integrar nada
Empieza aquí. Un plano se inclina igual en todos sus puntos, así que el factor es constante y no hay que integrar nada: la fórmula se ve sin que la cuenta la tape.
ejemploEl área de un cuenco, y la raíz que aparece en polares
El peldaño de en medio, y nuestro: el mismo procedimiento con una superficie curva de verdad. Aquí la raíz ya depende del punto y el recinto pide polares — pero el cuerpo lo da el enunciado, así que todavía no hay que averiguar dónde se cortan dos cosas.
prácticaUn cono y un paraboloide, volumen y superficie
El mismo cuerpo, volumen y superficie, con las dos caras sumadas.
examenUn cuenco parabólico con tapa esférica, y su superficie
De 2015-2016. Paraboloide abajo y casquete esférico arriba: dos superficies, dos integrales y dos técnicas distintas.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La primera área de una superficie, sin integrar nada

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el área del trozo del plano $z=2x+2y+1$ que queda justo encima del rectángulo $D=[0,2]\times[0,1]$ del plano $XY$ .

El área de ese trozo de plano.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el área de ese trozo de plano no es la del rectángulo?
02
El factor de la raíz
COMP2
¿Cuánto vale $\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}$ para este plano?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área de ese trozo de plano?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El área de una superficie $z=f(x,y)$ sobre un recinto $D$ es $\iint_{D}\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}\,dA$ , y la raíz es el factor $1/\cos\gamma$ que corrige la inclinación.
2. Aquí $z_{x}=z_{y}=2$ , así que la raíz vale $3$ en todos los puntos: es una constante y sale fuera de la integral.
3. Lo que queda dentro es $\iint_{D}dA$ , el área del rectángulo, que vale $2$ . El área buscada es $3\cdot 2=6$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante «calcular el área de su superficie» escribas una integral doble y no una triple, que no te dejes ninguna cara —un sólido de dos superficies tiene dos áreas que sumar— y que sepas que la raíz nunca vale menos de $1$ , así que el área nunca sale menor que la de la sombra.

El centro de gravedad, y la simetría que ahorra integrales

Montar las cuatro integrales del centro de gravedad, y usar la simetría para no calcular lo que se puede afirmar.

leerPara qué sirve todo esto

La tabla de las cinco aplicaciones, con el atajo de la simetría escrito en la frase exacta que puntúa.

prácticaEl centro de gravedad de un cuarto de elipse
El centro de gravedad en el plano, que es donde se entiende la mecánica de las cuatro integrales.
prácticaEl centro de gravedad de una figura recortada
Del boletín, y el paso siguiente: la misma cuenta sobre una figura recortada, que es como viene en el examen.
examenEl cuenco rematado en cono, y dónde tiene su centro de gravedad
De 2013-2014, y trae las tres cosas: dibujo, área de la superficie y centro de gravedad. La altura sale $25/8$ , por encima de la mitad, que es justo lo contrario de lo que uno diría mirándolo.
examenLa media bola recortada por un cilindro que la toca por dentro
De 2022-2023. El sólido de Viviani, y el único de los diez que no es de revolución alrededor del eje $z$ .

Lo tienes cuando

Que sepas que el centro de gravedad son cuatro integrales y no una, que todas van sobre el mismo recinto, y que en un sólido de revolución dos de ellas sobran por simetría. Decirlo con esa frase vale los mismos puntos que calcularlo.

lo tienes cuando:

Ante dos desigualdades con $x^{2}+y^{2}$ , escribir el radio de cada superficie en función de $z$ , igualarlos para hallar la altura del corte, y montar la integral en cilíndricas sin volver a mirar el enunciado. Y antes de integrar nada, mirar la simetría: si el sólido es de revolución, dos de las tres coordenadas del centro de gravedad son cero y se dice, no se calcula.

Fourier, que es el último y siempre el mismo

10 de 11 — y siempre el mismo4 escalones

Cae 10 de 11 años

Dada una función periódica definida a trozos —o una función a la que hay que ampliar par o imparmente—, dibujarla, calcular su serie de Fourier, dar el valor de la serie en unos puntos concretos, y sumar una serie numérica.

Diez ejercicios en diez de las once convocatorias —solo falta en 2013-2014—, y es el bloque más predecible de la asignatura: cambia la función, no las preguntas. Medido apartado por apartado sobre los diez: nueve piden dibujar, nueve piden la serie con esas palabras, ocho piden los valores de $S(t)$ en puntos concretos y nueve acaban sumando una serie numérica.

Ampliar media función, que es el apartado a)

Construir la ampliación par o impar de una función dada en medio intervalo, dibujarla con su periodicidad, y leer en la simetría qué coeficientes se anulan.

leerLa ampliación: cuando solo te dan media función

La par no salta en el origen y la impar sí en los extremos. Esa diferencia no es estética: decide las respuestas del apartado de Dirichlet.

ejemploAmpliar media función, y reducir un argumento enorme
Empieza aquí. Ampliar y reducir un argumento, las dos preguntas que el examen hace siempre, y ninguna exige una integral.
examenUna ampliación impar, y la serie de Leibniz que sale de ella
De 2025-2026. Ampliación impar de $t+\pi$ , dibujarla, la serie, y los valores en $-5\pi$ y $\tfrac{25}{2}\pi$ .
examenUna recta ampliada a onda triangular, y la suma de los impares al cuadrado
De 2020-2021, y el mismo apartado con la ampliación par. Los dos juntos enseñan la diferencia mejor que cualquier explicación.
examenUna recta convertida en onda triangular
De la ordinaria de 2017-2018. Una recta convertida en onda triangular: la ampliación par de $t$ , que es la que sale de la mitad de los enunciados.
examenUna rampa que solo ocupa media onda
De 2023-2024, y con el detalle que despista: la rampa solo ocupa media onda, así que el resto del periodo es cero y también hay que integrarlo.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Ampliar media función, y reducir un argumento enorme

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(t)=t$ definida solo en $(0,\pi)$ . Se construye su ampliación impar y periódica $F(t)$ , de periodo $2\pi$ .

a) ¿Cuánto vale $F$ justo a la izquierda de $\pi$ , y justo a la derecha?

b) ¿A qué punto del periodo básico se reduce $t=41\pi$ ?

Los dos límites laterales en pi, y el punto reducido.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hace la ampliación impar con el trozo que da el enunciado?
02
El límite por la derecha en pi
COMP2
¿Cuánto vale $F(\pi^{+})$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Reducir el argumento
COMP2
$t=41\pi$ se reduce a $k\pi$ dentro de $(-\pi,\pi]$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ampliación impar copia $f$ en $(-\pi,0)$ con el signo cambiado, así que $F(t)=t$ en todo $(-\pi,\pi)$ .
2. Después se repite ese periodo indefinidamente, y eso crea un salto en cada múltiplo impar de $\pi$ : se llega a $+\pi$ y se sale de $-\pi$ .
3. $41\pi$ es un múltiplo impar de $\pi$ , así que al reducir cae en $\pi$ , que es uno de esos saltos, y allí $S=0$ .
4. Y hay un atajo que confirma el resultado: como $F$ es impar la serie es $S(t)=\sum b_n\operatorname{sen}(nt)$ , y $\operatorname{sen}(nk\pi)=0$ para todo entero, así que $S$ se anula en todos los múltiplos de $\pi$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante «obtener la ampliación impar y periódica» no dudes: reflejas cambiando el signo, copias el periodo a los dos lados, y antes de integrar escribes «como $F$ es impar, $a_n=0$ ». Y que sepas dónde quedan los saltos, porque son los puntos que te van a preguntar después.

Dirichlet, y los puntos que el examen elige con mala idea

Decir a qué converge la serie en un punto, distinguiendo continuidad de salto, y reducir argumentos grandes al periodo básico.

leerReducir el argumento, que es lo primero

Ocho de los diez ejercicios traen este apartado, y los puntos no se eligen al azar: uno de continuidad, uno de salto y uno con el argumento enorme para obligarte a reducir. El subapartado trae los cinco puntos reales de 2023-2024 y 2024-2025, reducidos uno a uno.

ejemploA qué converge la serie en un salto
Dos puntos de la misma función: uno de salto y otro de continuidad. La diferencia entre los dos es la pregunta.
ejemploUn coeficiente calculado, con la integral entera
Un coeficiente calculado con la integral entera, para saber de dónde sale la serie sobre la que se aplica Dirichlet.
prácticaDonde la función no está definida y la serie sí
Del boletín, y es el caso extremo de Dirichlet: en ese punto la función no está definida y la serie sí converge. Con esto entendido, los saltos son fáciles.
prácticaLa serie de f(t)=t, y una suma numérica de regalo
De 2015-2016, y trae los tres casos: continuidad, argumento grande que hay que reducir, y salto. Y acaba sumando una serie.
examenUna ampliación impar, y la serie de Leibniz que sale de ella
De 2025-2026. Los puntos son $-5\pi$ y $\tfrac{25}{2}\pi$ : el primero cae justo en un salto de la ampliación impar.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

A qué converge la serie en un salto

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(t)$ la función periódica de periodo 2 definida por $f(t) = -1$ si $-1<t<0$ y $f(t)=1$ si $0<t<1$ . Calcular el valor de su serie de Fourier $S(t)$ en $t=0$ y en $t=0{,}5$ .

Los valores S(0) y S(0,5).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice el teorema de Dirichlet en un punto donde la función salta?
02
El valor en el salto
COMP2
En $t=0$ la función pasa de $-1$ a $1$ . ¿Cuánto vale $S(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $t=0$ hay un salto: por la izquierda $-1$ , por la derecha $1$ .
2. Dirichlet dice que $S(0)$ es la media, o sea 0.
3. En $t=0{,}5$ la función es continua y vale 1.
4. Luego $S(0{,}5) = 1$ , porque en los puntos de continuidad serie y función coinciden.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un coeficiente calculado, con la integral entera

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para la función de periodo $2\pi$ definida por $f(t) = t$ en $(-\pi,\pi)$ , calcular el coeficiente $b_1$ de su serie de Fourier.

El valor de b₁.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de integrar, ¿qué se sabe de los coeficientes de esta función?
02
El primer coeficiente
COMP2
Con $b_n = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} t\,\text{sen}\,nt\,dt$ , ¿cuánto vale $b_1$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f(-t) = -t = -f(t)$ , luego $f$ es impar y $a_n = 0$ para todo $n$ .
2. Queda solo $b_n = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} t\,\text{sen}\,nt\,dt$ .
3. Para $n=1$ , integrando por partes sale $2\pi$ , y dividido entre $\pi$ da $b_1 = 2$ .
4. El integrando $t\,\text{sen}\,t$ es par, así que la integral es el doble de la mitad derecha.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que $S(2024\pi)$ no te asuste: reduces al periodo, miras si es salto, y aplicas la media. Y que cuando te piden $S$ y $f$ en el mismo punto sepas que la respuesta son dos números distintos.

Sumar una serie numérica evaluando la de Fourier

Elegir el punto donde evaluar la serie para que la igualdad se convierta en la suma numérica que te piden.

leerEl apartado que sorprende: sumar una serie numérica

Es una suma que con los criterios del tema 2 no sabrías calcular: aquellos dicen si converge, no a cuánto. Y cae en nueve de los diez.

prácticaLa extensión par, y una serie de cuadrados
De 2017-2018, y da $\pi^{2}/8$ — que es la misma suma que pidieron 2018-2019 y, con otro disfraz, 2020-2021 y 2024-2025.
examenLa onda cuadrada, y de dónde sale la serie de Leibniz
De 2021-2022, y es de donde sale la serie de Leibniz. Esa suma — $\pi/4$ — es la que más se repite: cinco de los diez.
examenEl diente de sierra clásico, y Leibniz al final
De 2015-2016. El diente de sierra clásico, y al final la serie de Leibniz, que es el remate que este hueco pide una y otra vez.
examenUn diente de sierra que baja, y la serie de Leibniz otra vez
De 2016-2017, y es el de arriba con el signo cambiado. Ponerlos seguidos enseña qué cambia en los coeficientes y qué no.
examenUna escalera de dos peldaños, y la suma de Leibniz
De 2022-2023. La misma suma de Leibniz saliendo de una función que no se parece en nada a la onda cuadrada.

Lo tienes cuando

Saber elegir el punto: uno donde se anulen los términos que sobran, y comprobar antes si ese punto es de salto — porque entonces el lado izquierdo no es $f$ , es la media.

Los coeficientes, que es la parte larga

Calcular $a_{0}$ , $a_{n}$ y $b_{n}$ integrando por partes, y comprobar el resultado con un par de términos.

leerLos coeficientes, con el periodo que toque

Con el caso de siempre hecho entero — $f(t)=t$ en $(-\pi,\pi)$ — y el aviso del periodo: cuando $T$ no es $2\pi$ , el argumento del seno no es $nt$ y copiar la fórmula de memoria estropea la serie entera.

prácticaUna serie que coincide con la función en todas partes
Una serie que coincide con la función en todas partes, así que el apartado de Dirichlet es trivial y queda solo el cálculo.
examenUna rampa, media onda plana, y otra vez pi al cuadrado partido por ocho
De 2018-2019. Media onda vale cero, y eso no simplifica nada: hay que integrar igual, solo que en medio intervalo.
examenUn diente de sierra con meseta, y la suma de los inversos de los impares
De 2024-2025, y el periodo no es $2\pi$ sino $4$ . Cambia la fórmula de los coeficientes, y es donde más gente se equivoca.

Lo tienes cuando

Que la integral por partes con $t\operatorname{sen}(nt)$ te salga sin dudar del signo, y que sepas que $\operatorname{sen}(n\pi)=0$ y $\cos(n\pi)=(-1)^{n}$ son las dos simplificaciones que aparecen siempre al evaluar.

lo tienes cuando:

Ante una función periódica a trozos, mirar la paridad antes de integrar, calcular la serie, y contestar los valores en puntos grandes reduciendo al periodo básico y aplicando Dirichlet donde haya salto. Y saber que cuando te piden $S(t)$ y $f(t)$ juntos es porque no coinciden.

La ecuación diferencial suelta

no cae desde 2023-20243 escalones

Cae 7 de 11 años

Resolver una EDO de segundo orden con coeficientes constantes, casi siempre con un segundo miembro que resuena, o una de primer orden que hay que clasificar antes.

Siete de las once convocatorias, y todas entre 2015-2016 y 2022-2023: desde 2023-2024 no ha vuelto a caer una EDO suelta. Su sitio lo ocupa ahora el ejercicio que cruza temas, que es el bloque siguiente. Se mantiene por dos motivos: siete de once es demasiado para tirarlo, y las técnicas siguen haciendo falta dentro de los ejercicios cruzados, donde la EDO es un apartado en vez de un ejercicio.

Clasificar, que decide todo lo demás

Mirar una EDO de primer orden y decir cuál de los cuatro métodos le toca, antes de escribir nada.

leerLo primero es clasificar, y eso decide todo

ejemploClasificar antes de resolver
Cuatro ecuaciones y ninguna hay que resolverla. Solo clasificar, que es lo que se evalúa de verdad.
examenComprobar un factor integrante y usarlo
De 2022-2023, y es el caso raro: el enunciado te regala el factor integrante y solo hay que comprobar que funciona y usarlo.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Clasificar antes de resolver

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Clasificar estas cuatro ecuaciones diferenciales y decir qué método resuelve cada una:

a) $y' = \dfrac{y}{x} - \dfrac{x}{y}$ b) $y' - 2y = x$ c) $2xy\,dx + (x^{2}+3y^{2})\,dy = 0$ d) $y' = -xe^{y}$

El tipo de cada EDO y su método.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué se clasifica antes de intentar resolver?
02
La comprobación de exactitud
COMP2
Para la c), con $P = 2xy$ y $Q = x^{2}+3y^{2}$ , ¿cuánto vale $\partial P/\partial y$ en el punto $(2,1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la clasificación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Todo depende de $y/x$ , luego es homogénea: cambio $u=y/x$ .
2. b) Tiene la forma $y^{\prime}+p(x)y=q(x)$ con $p=-2$ , luego es lineal.
3. c) $P_y = Q_x = 2x$ , luego es exacta: se busca el potencial.
4. d) Se separa como $e^{-y}dy = -x\,dx$ , luego es separable.

Resolución completa

Las cuatro casillas del árbol, una por ecuación. Es el ejercicio de COMP1 del tema.

	ecuación	tipo	método
a)	$y' = \frac{y}{x}-\frac{x}{y}$	homogénea	cambio $u = y/x$
b)	$y' - 2y = x$	lineal	factor $\mu = e^{-2x}$
c)	$2xy\,dx+(x^{2}+3y^{2})dy = 0$	exacta	busca el potencial $F$
d)	$y' = -xe^{y}$	separable	$e^{-y}dy = -x\,dx$

Cómo se reconoce cada una en dos segundos:

a) Todos los términos dependen del cociente $y/x$ . Y no es separable, aunque lo parezca: las dos variables están enredadas en los dos sumandos.
b) Está literalmente en la forma $y' + p(x)y = q(x)$ , con $p=-2$ y $q=x$ .
c) Viene escrita como $P\,dx + Q\,dy = 0$ , que es la forma en que se presentan las exactas. Se comprueba $P_y = Q_x = 2x$ . ✓
d) La $x$ y la $y$ aparecen en factores separados, así que basta pasar la exponencial dividiendo.

El orden del árbol importa. La b) también podría atacarse como separable si $q$ fuera cero, y la c) es a la vez exacta y no separable. La regla es recorrer el árbol de arriba abajo y parar en el primer sí, porque los métodos de arriba son más baratos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que el árbol te salga en el orden bueno: primero mira si se separan las variables, luego si es homogénea, luego si es exacta, y lineal la última. Probar en otro orden funciona, pero cuesta el doble.

Cuando la particular ya está en la homogénea

Detectar que el segundo miembro es solución de la homogénea, y multiplicar la particular por $t$ tantas veces como haga falta.

leerSegundo orden: dos piezas que se suman

La resonancia es el motivo de que la fórmula de la particular tenga ese factor $t^{k}$ que parece arbitrario: sin él, la propuesta se anula al sustituir y no queda nada que igualar.

prácticaCuando la particular ya está en la homogénea
El caso limpio, para ver por qué la propuesta de siempre falla.
examenUn polinomio, un seno que resuena y dos condiciones iniciales
De 2015-2016, y es el mismo caso siete años antes: un polinomio y un seno que resuena, con dos condiciones iniciales al final.
examenUn segundo miembro con dos partes, y una de ellas resuena
De 2021-2022, y es el que hay que saber hacer: dos partes en el segundo miembro, una resuena y la otra no.
examenUn segundo miembro que obliga a variación de parámetros
De 2020-2021, y es el único de los seis donde los coeficientes indeterminados no valen: una cosecante no es de las formas que admite el método, y hay que ir a variación de parámetros.
examenUn término que resuena, otro que no, y un oscilador sin rozamiento
De la ordinaria de 2017-2018. Un término que resuena y otro que no, en la misma ecuación: el contraste que hace falta para no multiplicar por $x$ cuando no toca.
examenDos términos, y solo uno resuena
Del examen global de mayo-junio de 2020, y el mismo contraste con otros números. El $3$ del exponente y el $3$ del coseno son el mismo número y no significan lo mismo.

Lo tienes cuando

Que antes de proponer la particular compares el segundo miembro con las raíces de la característica, y que si el segundo miembro tiene dos partes las trates por separado — porque puede resonar una y la otra no.

Cuando la ecuación no te la dan: la escribes tú

Convertir un enunciado en palabras —una población, una epidemia, un pez que crece— en una ecuación diferencial con su condición inicial.

leerTraducir un enunciado en una ecuación

El apartado trae las tres traducciones que caen: proporcional a lo que hay, proporcional a lo que falta, y proporcional al producto.

ejemploLa lineal, y el factor que la hace integrable
La lineal resuelta con su factor integrante. Los modelos aplicados de este escalón son todos lineales.
prácticaLa ley de Newton del enfriamiento
Del boletín, y es la traducción de entrada: la ley de Newton del enfriamiento, donde la derivada es proporcional a la diferencia de temperaturas.
examenUn pez que crece cada vez más despacio
De 2018-2019, y es la traducción más limpia: la velocidad es proporcional a lo que le falta para llegar a su talla máxima.
examenUna epidemia en un pueblo de cien habitantes
Del examen de mayo-junio de 2020, y aquí el producto: la epidemia corre según cuántos hay contagiados y cuántos quedan sanos.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La lineal, y el factor que la hace integrable

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver $y' + 2y = 6$ con $y(0) = 1$ .

La solución que cumple la condición inicial.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué esta ecuación es lineal y no separable?
02
La constante de integración
COMP2
La solución general es $y = 3 + C\,e^{-2x}$ . Con $y(0)=1$ , ¿cuánto vale $C$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Está en la forma $y' + P y = Q$ con $P = 2$ , así que es lineal.
2. El factor integrante es $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$ .
3. Multiplicando por $\mu$ , el primer miembro se vuelve $(y\,e^{2x})'$ .
4. Integrando: $y\,e^{2x} = 3e^{2x} + C$ , luego $y = 3 + C e^{-2x}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que sepas qué es la derivada en cada enunciado antes de escribir nada, y que la condición inicial la saques del propio texto en vez de dejar la constante suelta.

lo tienes cuando:

Clasificar en menos de treinta segundos —separable, homogénea, exacta o lineal— y, en las de segundo orden, saber antes de empezar si el segundo miembro resuena con la homogénea, porque eso decide la forma de la particular y es donde se pierde el ejercicio.

El ejercicio que cruza temas

la moda de los últimos años4 escalones

Cae 8 de 11 años

Un enunciado largo, casi siempre con una superficie y una figura, donde hay que encadenar herramientas de temas distintos: plantear una ecuación diferencial a partir de un gradiente, resolverla, parametrizar la curva que sale, y calcular un trabajo sobre ella.

Nueve ejercicios en nueve convocatorias distintas, y lo que importa es cuáles son los últimos: 2023-2024, 2024-2025 y 2025-2026, o sea las tres más recientes, en el sitio donde antes iba la EDO suelta. Los seis anteriores se resolvían con una sola herramienta; los tres últimos, no. Ese cambio es la razón de que este bloque exista: no pide una técnica nueva, pide saber cuál usar en cada tramo, que es lo que un parcial no puede evaluar porque solo entran dos temas.

De dónde sale ese dato

Los nueve ejercicios de los temas 6 y 8 en los segundos parciales de las ordinarias transcritas. De varias variables: las curvas de nivel de 2016-2017, el gradiente implícito de 2020-2021, la bola que rueda de 2023-2024 y el dron de 2025-2026. De integral curvilínea: el centroide de 2013-2014, la espiral de 2017-2018, el integrando constante de 2019-2020, el trabajo que es un área de 2022-2023 y el montañero de 2024-2025. Son nueve cursos distintos; ocho caen dentro de las once contiguas que mide esta ruta y 2013-2014 queda fuera, por eso el recuento dice ocho. Que los tres últimos sean de cruce y los seis anteriores no es lectura nuestra: los seis primeros se resuelven con una sola herramienta. El bloque enlaza además el barco de 2021-2022, que en el reparto es de Laplace y no cuenta en estos nueve: está aquí porque su primer apartado es un gradiente.

Antes de cruzar nada: leer la superficie

Sacar información de una función de dos variables sin resolver nada: dónde va una curva de nivel, y hacia dónde apunta el gradiente aunque la función esté dada en forma implícita.

leerLas curvas de nivel son la función vista desde arriba

Y el apartado de deducir el gradiente a partir de datos, que es el que resuelve el caso implícito.

ejemploLa curva de nivel que pasa por un punto
Empieza aquí: una sola curva de nivel, la que pasa por un punto dado. Sin esto, el primero de examen ya pide leer seis a la vez.
examenDónde se dibuja la curva de nivel que falta
De 2016-2017, y no lleva ni una cuenta: es leer el dibujo y decir por dónde pasa el nivel que falta.
examenUn gradiente de una función que no se puede despejar
De 2020-2021, y sube un escalón: la función no se puede despejar, así que el gradiente sale derivando implícitamente.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La curva de nivel que pasa por un punto

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para $f(x,y) = x^{2} + y$ , encontrar la ecuación de la curva de nivel que pasa por el punto $P(-1,1)$ .

La ecuación de la curva de nivel por P.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es una curva de nivel de $f(x,y)$ ?
02
El valor de la constante
COMP2
¿Cuánto vale $k = f(-1,1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se evalúa la función en el punto, y sale $k = 2$ .
2. La curva de nivel es $x^{2} + y = 2$ .
3. Despejada, es la parábola $y = 2 - x^{2}$ : una parábola hacia abajo.
4. Es una ecuación en $x$ e $y$ sin $z$ , porque vive en el plano del mapa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante un mapa de niveles sepas dónde cae el que falta sin calcularlo, y que sepas derivar implícitamente cuando la función no se puede despejar.

La trayectoria de máxima pendiente

Plantear la ecuación diferencial que sigue una bola al rodar por una superficie, que es la que va en la dirección del gradiente.

leerEl gradiente contesta las tres preguntas

La bola baja por donde más pende, o sea en la dirección opuesta al gradiente. De ahí sale la ecuación, y a partir de ahí es el tema 9.

ejemploEl gradiente contesta tres preguntas de golpe
El repaso mínimo del gradiente antes de encadenarlo con la EDO.
prácticaLa bola que rueda por la superficie
La cadena entera en un ejercicio, y es el que cayó en 2023-2024: plantear la EDO desde el gradiente, resolverla, y meter la curva otra vez en la superficie para hallar dónde para.
examenLa bola que rueda por la cúpula, y dónde acaba
Y el de 2023-2024 tal como cayó, con sus números y su cúpula.
examenEl barco que persigue la mancha, resuelto con Laplace
De 2021-2022, y es el cruce más largo de los once años: el barco sigue el gradiente, eso da una ecuación diferencial, y la ecuación se resuelve con Laplace. Tres temas seguidos.
examenEl dron, la trayectoria de máxima pendiente y un trabajo que no la mira
De 2025-2026, y añade el giro final: se calcula el trabajo de un campo que no es el gradiente, así que el atajo no vale.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El gradiente contesta tres preguntas de golpe

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(x,y) = x^{2} + y^{2}$ , y el punto $P(3,4)$ . Calcular el gradiente en $P$ , la velocidad máxima de cambio, y una dirección en la que la función no cambie.

El gradiente, su módulo y una dirección de cambio nulo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dirección indica el vector gradiente en un punto?
02
El módulo del gradiente
COMP2
Con $\nabla f(3,4) = (6,8)$ , ¿cuánto vale la velocidad máxima de cambio en $P$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f_x = 2x$ y $f_y = 2y$ , luego $\nabla f(3,4) = (6,8)$ .
2. La velocidad máxima de cambio es $\lVert\nabla f\rVert = 10$ .
3. Una dirección de cambio nulo es la perpendicular: $(-8,6)$ , o su opuesta $(8,-6)$ .
4. Esa perpendicular es tangente a la curva de nivel, que aquí es la circunferencia $x^{2}+y^{2}=25$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Reconocer que «rueda por la superficie» significa «sigue $-\nabla f$ », y que eso es una EDO cuya solución es la curva del plano.

De la curva al trabajo

Recorrer el ejercicio completo: EDO, curva solución, parametrización y trabajo del campo sobre ella.

leerParametrizar: describir la curva con un solo parámetro

La curva que sale de resolver la EDO es la que hay que parametrizar, y sobre ella se calcula el trabajo. Ese es el punto de costura.

ejemploGreen en un triángulo, con el integrando constante
Green con el integrando constante: la doble se convierte en el área, que es justo lo que hacen los tres de examen.
ejemploComprobar si un campo es conservativo
La comprobación de diez segundos que puede ahorrarte la integral entera.
examenUna EDO que se convierte en camino de montaña
De 2024-2025, y es la cadena completa: resolver la EDO, parametrizar el camino de montaña que sale, y calcular el trabajo de la ventisca sobre él.
examenLa curva donde el integrando vale siempre lo mismo
Del examen de mayo-junio de 2020, y es la comprobación llevada al extremo: sobre esa curva el integrando vale siempre lo mismo, así que la integral se hace mirándola.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Green en un triángulo, con el integrando constante

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular $\displaystyle\oint_C (-y)\,dx + x\,dy$ , donde $C$ es el borde del triángulo de vértices $(0,0)$ , $(4,0)$ y $(0,3)$ , recorrido en sentido antihorario.

El valor de la integral sobre el contorno cerrado.

01
Reconocer el camino
COMP1
El borde son tres segmentos. ¿Qué hace Green con ellos?
02
El integrando de la doble
COMP2
Con $P = -y$ y $Q = x$ , ¿cuánto vale $Q_x - P_y$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La curva es cerrada y va en sentido antihorario: Green se puede aplicar.
2. $Q_x - P_y = 1-(-1) = 2$ , constante en todo el plano.
3. Luego $\oint_C = \iint_D 2\,dA = 2\cdot\text{área}(D)$ .
4. El triángulo tiene área $\frac{4\cdot3}{2}=6$ , así que la integral vale 12.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Comprobar si un campo es conservativo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Determinar cuál de estos dos campos es conservativo:

\vec V = (2xy,\; x^{2}) \qquad\text{y}\qquad \vec W = (y,\; 2x)

Cuál de los dos campos es conservativo, y por qué.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué igualdad hay que comprobar para saber si $(P,Q)$ es conservativo en el plano?
02
La derivada cruzada del primero
COMP2
Para $\vec V = (2xy,\,x^{2})$ , ¿cuánto vale $\partial P/\partial y$ ? Evalúalo en $x = 3$ .
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Para $\vec V$ : $P_y = 2x$ y $Q_x = 2x$ , coinciden, luego es conservativo.
2. Su potencial es $F = x^{2}y$ , y en efecto $\nabla F = (2xy,\,x^{2})$ .
3. Para $\vec W$ : $P_y = 1$ y $Q_x = 2$ , no coinciden.
4. Luego $\vec W$ no es conservativo, y su integral sí depende del camino.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que el cambio de tema entre apartados no te frene, y que antes de integrar hagas la comprobación de diez segundos: si el campo es conservativo, el trabajo depende solo de los extremos.

Green, y el trabajo que resulta ser un área

Cambiar una integral de línea sobre una curva cerrada por una integral doble sobre lo que encierra, y reconocer los casos en que esa doble ya es un área o un centro de gravedad conocidos.

leerGreen: cuando la curva se cierra

Y el caso que el examen repite: cuando $Q_x-P_y$ vale $1$ , la integral de línea es el área encerrada.

ejemploComprobar si un campo es conservativo
Primero la comprobación de diez segundos: si el campo fuera conservativo, la integral sobre una curva cerrada valdría cero y no haría falta Green.
examenUn trabajo que resulta ser un área
De 2022-2023, y el mismo ejercicio cayó en 2017-2018. Aquí no hay cruce: es Green puro, y el trabajo resulta ser un área.
examenUn trabajo que resulta ser un área, otra vez
De 2017-2018, el original. Ponerlos seguidos vale la pena: son el mismo enunciado con cinco años de diferencia.
examenUna integral de línea que se resuelve con el área y el centroide
De 2013-2014, fuera de las once contadas, y sube un escalón: la doble que sale no es un área sino un momento, y se resuelve con el centroide en vez de integrando.

Lo tienes cuando

Que compruebes las dos hipótesis —curva cerrada y orientada al revés del reloj— antes de aplicarlo, y que al llegar a la doble mires si es un área o un momento antes de ponerte a integrar.

lo tienes cuando:

Leer un enunciado de cinco líneas y saber decir, antes de escribir nada, qué herramienta toca en cada apartado y de qué tema viene. Si eso lo tienes, el ejercicio es tres ejercicios cortos seguidos.

Los segundos parciales enteros, cronometrados

papel en blanco y reloj3 referencias

Sentarte con el papel en blanco, sin apuntes y con reloj, y hacer los cuatro ejercicios del segundo parcial seguidos.

Los seis bloques anteriores entrenan cada hueco por separado, y eso no es lo que pasa en el aula: allí hay que repartir el tiempo y decidir por cuál empezar. Estos tres son los más recientes y representan el formato actual — cuatro ejercicios, y en los tres el cuarto es de cruce y no una EDO.

examen2025-2026 · 9 de junio de 2026
Empieza por el último. El cuadernillo trae los dos parciales; para esta ruta son los ejercicios 5 a 8.
examen2024-2025 · 10 de junio de 2025
examen2023-2024 · 10 de junio de 2024
Este trae el segundo parcial en los ejercicios 6 a 9, porque el primero tiene cinco.

lo tienes cuando:

Hacer uno entero dentro del tiempo, sin abrir ninguna pista, y que al corregirlo no haya ningún ejercicio en blanco. No se trata de acertarlo todo: se trata de que ningún hueco te pille sin saber por dónde empezar.

Lo que hay que llevar sabido

un jacobiano mal puesto se lleva el ejercicio3 referencias

El examen no deja formulario ni calculadora. La tabla de transformadas, los jacobianos y las fórmulas de los coeficientes de Fourier hay que llevarlos en la cabeza.

Es lo que más se pierde por no saberlo de memoria, y no se puede deducir en el momento: un jacobiano mal puesto invalida la integral entera, y un par de la tabla de Laplace confundido da una función distinta sin que nada avise. Va el último porque es repaso, no aprendizaje: es el bloque del rato de antes de entrar.

leerLo que hay que llevar sabido
Los jacobianos de polares, cilíndricas y esféricas, y la regla de qué coordenadas elegir según la forma del sólido.
leerLo que hay que llevar sabido
La tabla, que es lo único que de verdad se usa, y los dos desplazamientos — el de $s$ y el de $t$ — que se confunden entre sí.
leerLo que hay que llevar sabido
Las fórmulas de los coeficientes, la regla de Dirichlet y las cuatro sumas que salen de evaluar una serie en un punto.

lo tienes cuando:

Escribir de memoria y en papel los tres jacobianos, los ocho pares de la tabla de Laplace y las tres fórmulas de los coeficientes de Fourier, sin consultar nada. Si tienes que mirar una sola vez, todavía no.

Preparar la convocatoria ordinaria

Dibujar, que aquí es el apartado a)

El sólido, cortado por un plano que contiene el eje

Reconocer el camino

El límite superior interior

Justificar el argumento

La función periódica, y su ampliación

Reconocer el camino

El valor de la función reflejada

Justificar el argumento

El ejercicio 1, que siempre es de complejos

Dos condiciones, y el complejo que las cumple

Reconocer el camino

La relación entre a y b

El valor positivo de a

Justificar el argumento

Los que salen una figura

Reconocer el camino

El radio

Un punto de prueba

Justificar el argumento

Cuando las raíces son los vértices de un polígono

Reconocer el camino

El módulo

El argumento

Justificar el argumento

El rectángulo más grande que cabe en algo

Traducir el enunciado a una función de una variable

Reconocer el camino

El objetivo con una sola variable

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El lado del rectángulo óptimo

El área máxima

Justificar el argumento

Cuando lo que se pide es una velocidad

Reconocer el camino

La derivada de la relación

El resultado

Justificar el argumento

Taylor, y la cota del error que casi siempre se olvida

Componer uno de los seis, en vez de derivar

Reconocer el camino

El coeficiente de grado cuatro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de x²

La aproximación

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El primer término de la otra serie

La derivada veinticinco

Justificar el argumento

La cota del error, que es media pregunta

Reconocer el camino

La cota

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La segunda derivada en el punto

La cota del error

Justificar el argumento

Cuando lo que te dan es una gráfica

Cuál de las dos es la derivada

Reconocer el camino

Dónde decrece

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La pendiente de B en el origen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La derivada de h

Cuántos extremos relativos tiene h

Justificar el argumento

Cinco afirmaciones, y razonar cada una

Estudiar una función que solo se conoce como integral

Derivar sin calcular la integral

Reconocer el camino

La derivada

Justificar el argumento

Reconocer el camino