tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria ordinaria

Convocatoria ordinaria · 2018-2019

29 de mayo de 2019 · 8 ejercicios · 80 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Media circunferencia, y por qué solo mediaNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la siguiente condición:
$\arg\left(\frac{z+2i}{z-2i}\right)=\frac{\pi}{2}$
El lugar geométrico, dibujado y con los puntos que se excluyen.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El teorema de Lagrange, y el caso en que no se puede usarEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 4 + 6 = 10 pts
Enunciar el teorema de Lagrange. Estudiar si el teorema puede aplicarse en los casos siguientes, y en caso afirmativo calcular el punto al que hace referencia el teorema.

a) La función $y(x)=3\sqrt{x}-4x$ en el intervalo $\left[1,4\right]$ .

b) La función $y(x)=\dfrac{x}{x-1}$ en el intervalo $\left[-1,1\right]$ .
El enunciado del teorema, y en cada caso si se aplica y dónde.
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 46 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Solo potencias pares, y una derivada veinticuatro de dos dígitosEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 8 + 2 = 10 pts
a) Calcular el desarrollo en serie de McLaurin de la función $f(x)=x\operatorname{sen}x$ .

b) Calcular $f^{24)}(0)$ y $f^{25)}(0)$ .
La serie y las dos derivadas en el origen.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un cambio que deja la integral hecha a mediasIntegración0 + 9 + 1 = 10 pts
Calcular $\displaystyle\int\frac{2x\ln(1+x^{2})}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\,dx$
Una primitiva.
- COMP 29 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un cucurucho de helado, y por qué las esféricas lo resuelven soloIntegral múltiple0 + 8 + 2 = 10 pts
Sea $S$ el sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z^{2}$ , $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9$ , $z\ge 0$ .

a) Dibujar el sólido $S$ y calcular su volumen.

b) Calcular el área de $S$ .
El dibujo, el volumen y el área total de la superficie.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un pez que crece cada vez más despacioEcuaciones diferenciales1 + 7 + 2 = 10 pts
El modelo de Bertalanffy se utiliza con frecuencia para predecir el tamaño de los peces. Según este modelo, la velocidad de crecimiento del pez es proporcional a la diferencia entre la longitud máxima ( $A$ ) y la longitud actual. Sabiendo que la longitud inicial del pez es $L_{0}$ , obtener la longitud del pez en el instante $t_{1}$ .
La longitud en función del tiempo, y su valor en el instante pedido.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una ecuación donde la incógnita está dentro de una integralTransformada de Laplace1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea
$f(t)=1-e^{t}+2\int_{0}^{t}e^{-(t-x)}g(x)\,dx-\int_{0}^{t}f(x)\,dx$
donde $\mathcal{L}\left\{g(t)\right\}=G(s)=\dfrac{1}{s(s-1)}$ . Calcular $f(t)$ .
La función f(t).
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una rampa, media onda plana, y otra vez pi al cuadrado partido por ochoIntroducción al análisis de Fourier0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $f(t)$ la función periódica de periodo $2\pi$ definida de la siguiente forma:
$f(t)= \begin{cases} 0 & -\pi<t<0\\[2pt] t & 0\le t<\pi \end{cases}$
a) Dibujar la función $f(t)$ y calcular la serie de Fourier, $S(t)$ .

b) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=0$ y $t=-\pi$ .

c) Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}$ .
El dibujo, la serie, los dos valores y la suma.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 29 de mayo de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Media circunferencia, y por qué solo media

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la siguiente condición:

\arg\left(\frac{z+2i}{z-2i}\right)=\frac{\pi}{2}

El lugar geométrico, dibujado y con los puntos que se excluyen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué condición sobre el cociente equivale a que su argumento valga $\frac\pi2$ ?
02
La parte imaginaria en un punto de control
COMP2
¿Cuánto vale la parte imaginaria de $\dfrac{z+2i}{z-2i}$ en $z=2$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe el lugar geométrico en $x$ e $y$ . La figura comprobará si es la misma región que la del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; usa & para juntar las dos condiciones y ^2 para los cuadrados
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Racionalizando, el cociente vale $\frac{\left(x^{2}+y^{2}-4\right)+4xi}{x^{2}+(y-2)^{2}}$ , con denominador real y positivo salvo en $z=2i$ .
2. Que su argumento sea $\frac\pi2$ obliga a dos cosas: parte real nula, es decir $x^{2}+y^{2}=4$ , y parte imaginaria positiva, es decir $x>0$ .
3. Los extremos $z=\pm 2i$ quedan fuera: en $2i$ el denominador se anula y en $-2i$ el numerador, y en ninguno de los dos hay argumento que valga $\frac\pi2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 29 de mayo de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El teorema de Lagrange, y el caso en que no se puede usar

COMP 24 puntos por calcular
COMP 46 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Enunciar el teorema de Lagrange. Estudiar si el teorema puede aplicarse en los casos siguientes, y en caso afirmativo calcular el punto al que hace referencia el teorema.

a) La función $y(x)=3\sqrt{x}-4x$ en el intervalo $\left[1,4\right]$ .

b) La función $y(x)=\dfrac{x}{x-1}$ en el intervalo $\left[-1,1\right]$ .

El enunciado del teorema, y en cada caso si se aplica y dónde.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hipótesis exige el teorema de Lagrange en $[a,b]$ ?
02
La pendiente que hay que igualar
COMP2
En el apartado a), ¿cuánto vale $\dfrac{y(4)-y(1)}{4-1}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto que da el teorema
COMP2
¿Cuál es el $c$ del teorema en el apartado a)?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio del apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El teorema exige continuidad en $[-1,1]$ , y la función $y=\frac{x}{x-1}$ no está definida en $x=1$ , que es un extremo del intervalo.
2. Además $\lim_{x\to1^{-}}\frac{x}{x-1}=-\infty$ , así que no hay forma de extenderla con continuidad a ese punto.
3. Falla una hipótesis, luego el teorema no se puede aplicar, y no hay ningún $c$ que buscar.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 29 de mayo de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · Es casi el mismo ejercicio que el 3 b) y c) de la ordinaria de 2021-2022, con x·sen x en lugar de x²·sen x · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Solo potencias pares, y una derivada veinticuatro de dos dígitos

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular el desarrollo en serie de McLaurin de la función $f(x)=x\operatorname{sen}x$ .

b) Calcular $f^{24)}(0)$ y $f^{25)}(0)$ .

La serie y las dos derivadas en el origen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué en la serie de $x\operatorname{sen}x$ solo aparecen potencias pares?
02
El coeficiente de cuarto grado
COMP2
¿Cuál es el coeficiente de $x^{4}$ en el desarrollo?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La derivada veinticuatro
COMP2
¿Cuánto vale $f^{24)}(0)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La serie es $\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+2}$ : solo exponentes pares, desde el $2$ .
2. Por unicidad del desarrollo, el coeficiente de $x^{n}$ vale $\frac{f^{n)}(0)}{n!}$ , así que basta localizar el término y despejar.
3. Para $n=25$ no hay término, luego $f^{25)}(0)=0$ ; para $n=24$ el coeficiente es $-\frac{1}{23!}$ y $f^{24)}(0)=-\frac{24!}{23!}=-24$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 29 de mayo de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un cambio que deja la integral hecha a medias

COMP 29 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular $\displaystyle\int\frac{2x\ln(1+x^{2})}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\,dx$

Una primitiva.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué cambio de variable conviene?
02
La constante que deja la integración por partes
COMP2
La primitiva tiene la forma $-\dfrac{\ln\left(1+x^{2}\right)+k}{1+x^{2}}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un valor de control
COMP2
Con esa primitiva $F$ , ¿cuánto vale $F(1)-F(0)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $u=1+x^{2}$ se tiene $du=2x\,dx$ , y la integral se convierte en $\int\frac{\ln u}{u^{2}}\,du$ sin dejar ninguna $x$ .
2. Esa se hace por partes con $v=\ln u$ y $dw=u^{-2}du$ , de donde $w=-\frac1u$ .
3. Queda $-\frac{\ln u}{u}+\int\frac{du}{u^{2}}= -\frac{\ln u+1}{u}$ , y deshaciendo el cambio, $-\frac{\ln(1+x^{2})+1}{1+x^{2}}+C$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 29 de mayo de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un cucurucho de helado, y por qué las esféricas lo resuelven solo

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z^{2}$ , $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9$ , $z\ge 0$ .

a) Dibujar el sólido $S$ y calcular su volumen.

b) Calcular el área de $S$ .

El dibujo, el volumen y el área total de la superficie.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué describe $x^{2}+y^{2}\le z^{2}$ junto con $z\ge0$ ?
02
El ángulo del cono en esféricas
COMP2
¿Hasta qué valor llega el ángulo polar $\varphi$ , en grados?
Tu respuesta al paso 2un número de grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen de $S$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El área de la superficie
COMP2
¿Cuánto mide la superficie completa de $S$ ?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el planteamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las tres condiciones son: dentro del cono $r\le z$ , dentro de la esfera de radio $3$ , y por encima del plano $z=0$ ; en esféricas, $0\le\rho\le3$ y $0\le\varphi\le\frac\pi4$ .
2. El sólido es un sector esférico —un «cucurucho»—: la punta es el vértice del cono en el origen y la tapa es el casquete de la esfera.
3. Su frontera son dos superficies curvas, la lateral del cono y el casquete, y nada más: el cono se cierra en su vértice y el casquete lo tapa por arriba.

Resolución completa

a) Qué sólido es. Tres condiciones que se leen una a una:

$x^{2}+y^{2}\le z^{2}$ con $z\ge0$ : el interior del cono de vértice el origen y semiángulo $45^{\circ}$ , abierto hacia arriba.
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\le9$ : dentro de la esfera de radio $3$ .

Juntas dan un cucurucho: la punta en el origen, las paredes rectas subiendo a $45^{\circ}$ y una tapa esférica arriba. Es lo que en geometría se llama un sector esférico.

La sección meridiana. Al girarla alrededor del eje vertical sale el sólido: cono de 45 grados desde el origen, cerrado arriba por el casquete de la esfera de radio 3.

Por qué esféricas. Porque las dos condiciones se convierten en rangos constantes: la esfera fija $\rho\le3$ y el cono fija $\varphi\le\frac\pi4$ , sin que ninguna dependa de la otra. Cuando eso pasa, la integral triple se parte en tres integrales de una variable.

V=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi/4}\!\!\int_{0}^{3} \rho^{2}\operatorname{sen}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =2\pi\cdot 9\cdot\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right) =9\pi\left(2-\sqrt2\right)\approx16{,}56

b) El área, que son dos trozos y ninguna tapa plana.

A_{\text{casquete}}=2\pi R^{2}\left(1-\cos\frac\pi4\right) =9\pi\left(2-\sqrt2\right)\approx16{,}56

A_{\text{cono}}=\pi\cdot\underbrace{3\operatorname{sen}\tfrac\pi4}_{\text{radio}} \cdot\underbrace{3}_{\text{generatriz}}=\frac{9\pi}{\sqrt2}\approx19{,}99

A=18\pi-\frac{9\sqrt2\pi}{2}\approx36{,}56

Dos comprobaciones que salen gratis.

El volumen y el área del casquete dan el mismo número, y no es casualidad: para todo sector esférico $V=\frac{R}{3}A_{\text{casquete}}$ , y aquí $R=3$ . Si en tu hoja esos dos números no coinciden con $R=3$ , hay un error en alguno de los dos.

Y de sentido: la media bola de radio $3$ vale $\frac23\pi 27\approx56{,}5$ , y el cucurucho se lleva $16{,}56$ , algo menos de un tercio. Con un semiángulo de $45^{\circ}$ —la mitad del ángulo disponible— y el peso del seno concentrado cerca del ecuador, quedarse por debajo del tercio es lo esperable.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 29 de mayo de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El enunciado original lleva una ilustración decorativa de peces que no se reproduce · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un pez que crece cada vez más despacio

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El modelo de Bertalanffy se utiliza con frecuencia para predecir el tamaño de los peces. Según este modelo, la velocidad de crecimiento del pez es proporcional a la diferencia entre la longitud máxima ( $A$ ) y la longitud actual. Sabiendo que la longitud inicial del pez es $L_{0}$ , obtener la longitud del pez en el instante $t_{1}$ .

La longitud en función del tiempo, y su valor en el instante pedido.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué ecuación diferencial traduce el enunciado?
02
La longitud al cabo de un rato
COMP2
Supongamos $A=60$ cm, $L_{0}=5$ cm y $k=0{,}4$ años $^{-1}$ . ¿Cuánto mide el pez a los 3 años?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales, en cm — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Cuándo llega a la mitad de su talla máxima
COMP2
Con esos mismos datos, ¿en qué instante mide el pez $30$ cm?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales, en años — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. «Velocidad proporcional a la diferencia entre la máxima y la actual» se escribe $L'=k(A-L)$ con $k>0$ , y la condición inicial es $L(0)=L_{0}$ .
2. Es de variables separables: $\frac{dL}{A-L}=k\,dt$ , y al integrar queda $A-L=Ke^{-kt}$ .
3. La condición inicial da $K=A-L_{0}$ , así que $L(t)=A-\left(A-L_{0}\right)e^{-kt}$ y $L(t_{1})=A-\left(A-L_{0}\right)e^{-kt_{1}}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 29 de mayo de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación donde la incógnita está dentro de una integral

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea

f(t)=1-e^{t}+2\int_{0}^{t}e^{-(t-x)}g(x)\,dx-\int_{0}^{t}f(x)\,dx

donde $\mathcal{L}\left\{g(t)\right\}=G(s)=\dfrac{1}{s(s-1)}$ . Calcular $f(t)$ .

La función f(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué propiedad convierte $\int_{0}^{t}e^{-(t-x)}g(x)\,dx$ en un producto?
02
La función que dan por su transformada
COMP2
¿Cuánto vale $g(1)$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La solución, en un punto
COMP2
¿Cuánto vale $f(1)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\mathcal{L}\{1\}=\frac1s$ , $\mathcal{L}\{e^{t}\}=\frac{1}{s-1}$ , la integral de convolución transforma a $\frac{1}{s+1}G(s)$ y la última integral a $\frac{F(s)}{s}$ .
2. Agrupando los términos con $F$ queda $F\left(1+\frac1s\right)=\frac1s-\frac{1}{s-1}+ \frac{2}{s(s+1)(s-1)}$ .
3. El segundo miembro se simplifica a $-\frac{1}{s(s+1)}$ , así que $F=-\frac{1}{(s+1)^{2}}$ y $f(t)=-t\,e^{-t}$ .

Resolución completa

Qué tipo de problema es. No es una ecuación diferencial: es una ecuación integral, con la incógnita $f$ dentro de una integral. Y ese es exactamente el terreno donde Laplace gana, porque convierte tanto las integrales como las convoluciones en álgebra.

Las cuatro traducciones.

término	transformada	por qué
$1$	$\frac1s$	tabla
$-e^{t}$	$-\frac{1}{s-1}$	tabla
$2\int_{0}^{t}e^{-(t-x)}g(x)dx$	$\frac{2}{s+1}G(s)$	convolución
$-\int_{0}^{t}f(x)dx$	$-\frac{F(s)}{s}$	integrar divide entre $s$

La tercera es la que hay que reconocer: los argumentos $t-x$ y $x$ suman $t$ , y eso es la firma de una convolución.

El álgebra. Con $G(s)=\frac{1}{s(s-1)}$ :

F\left(1+\frac1s\right) =\frac1s-\frac{1}{s-1}+\frac{2}{s(s+1)(s-1)}

Los dos primeros se juntan en $-\frac{1}{s(s-1)}$ , y sobre el denominador común $s(s-1)(s+1)$ :

\frac{-(s+1)+2}{s(s-1)(s+1)} =\frac{1-s}{s(s-1)(s+1)} =-\frac{1}{s(s+1)}

El factor $s-1$ se cancela, que es lo que hace este ejercicio resoluble a mano. Y entonces

F(s)\cdot\frac{s+1}{s}=-\frac{1}{s(s+1)} \;\Longrightarrow\; F(s)=-\frac{1}{(s+1)^{2}}

\boxed{\;f(t)=-t\,e^{-t}\;}

La comprobación barata. En $t=0$ la ecuación original da $f(0)=1-1+0-0=0$ , y en efecto $-0\cdot e^{0}=0$ ✓. Además $f$ es negativa para $t>0$ , lo que encaja con que el término dominante del segundo miembro sea $-e^{t}$ .

El detalle que más puntos cuesta: confundir $\frac{F(s)}{s}$ con $sF(s)$ . Integrar divide, derivar multiplica; y si se equivoca el sentido, aparece un $s$ suelto en el numerador que ya no antitransforma a ninguna función ordinaria.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 29 de mayo de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una rampa, media onda plana, y otra vez pi al cuadrado partido por ocho

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(t)$ la función periódica de periodo $2\pi$ definida de la siguiente forma:

f(t)= \begin{cases} 0 & -\pi<t<0\\[2pt] t & 0\le t<\pi \end{cases}

a) Dibujar la función $f(t)$ y calcular la serie de Fourier, $S(t)$ .

b) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=0$ y $t=-\pi$ .

c) Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}$ .

El dibujo, la serie, los dos valores y la suma.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Es $f$ par, impar, o ninguna de las dos?
02
El término constante
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{a_{0}}{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El primer coeficiente en seno
COMP2
¿Cuánto vale $b_{1}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La suma pedida
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}$ ?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $t=0$ la función es continua: por la izquierda vale $0$ —el tramo nulo— y por la derecha también, porque la rampa arranca en cero.
2. Por Dirichlet, en un punto de continuidad la serie converge al valor de la función, así que $S(0)=f(0)=0$ .
3. En $t=-\pi$ sí hay salto: por la izquierda el valor es $\pi$ —es el final de la rampa del periodo anterior— y por la derecha $0$ , luego $S(-\pi)=\frac{\pi}{2}$ .

Resolución completa

a) El dibujo y la serie. La función sube en línea recta de $0$ a $\pi$ durante la primera mitad del periodo y vale cero durante la segunda.

El diente de sierra con media onda nula. El extremo alto de cada rampa va en hueco porque el valor π no se alcanza; el arranque, en punto lleno.

La función no es par ni impar, así que hay que calcular las dos familias.

\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}t\,dt=\frac{\pi}{4}

a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}t\cos(nt)\,dt =\frac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}} \;\Longrightarrow\; a_{n}=-\frac{2}{\pi n^{2}}\ (n\text{ impar}),\quad 0\ (n\text{ par})

b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}t\operatorname{sen}(nt)\,dt =\frac{(-1)^{n+1}}{n}

S(t)=\frac{\pi}{4} -\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k+1)t\bigr)}{(2k+1)^{2}} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\operatorname{sen}(nt)

b) Los dos puntos, que son distintos a propósito.

En $t=0$ no hay salto: la rampa arranca en cero y el tramo anterior vale cero. Función y serie coinciden:

S(0)=f(0)=0

En $t=-\pi$ sí lo hay: por la izquierda llega el final de la rampa, que vale $\pi$ , y por la derecha empieza el tramo nulo. Dirichlet da la semisuma:

S(-\pi)=\frac{\pi+0}{2}=\frac{\pi}{2}

Y sobre $f(-\pi)$ conviene ser exacto: el enunciado define $f$ en $-\pi<t<0$ y en $0\le t<\pi$ , así que $-\pi$ no está en el dominio descrito. La respuesta honesta es decirlo, no inventarle un valor.

c) La suma. El apartado b) ya ha señalado el punto bueno: $t=0$ , donde la serie sí vale lo que la función. Allí todos los senos se anulan y todos los cosenos valen $1$ :

0=\frac{\pi}{4}-\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}} \;\Longrightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}

La comprobación que confirma el resultado. La suma de todos los inversos de los cuadrados vale $\frac{\pi^{2}}{6}$ ; los pares suman $\frac14$ de eso, o sea $\frac{\pi^{2}}{24}$ ; y la diferencia, $\frac{\pi^{2}}{6}-\frac{\pi^{2}}{24}=\frac{\pi^{2}}{8}$ ✓. Es el mismo número que sale en la ordinaria de 2020-2021 por otro camino, con la ampliación par de una recta: dos series de Fourier distintas apuntando al mismo sitio.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria ordinaria · 2018-2019

Reconocer el camino

La parte imaginaria en un punto de control

Verificar la región

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La pendiente que hay que igualar

El punto que da el teorema

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de cuarto grado

La derivada veinticuatro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La constante que deja la integración por partes

Un valor de control

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El ángulo del cono en esféricas

El volumen

El área de la superficie

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La longitud al cabo de un rato

Cuándo llega a la mitad de su talla máxima

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La función que dan por su transformada

La solución, en un punto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El término constante

El primer coeficiente en seno

La suma pedida

Justificar el argumento