tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria ordinaria

Convocatoria ordinaria · 2022-2023

12 de junio de 2023 · 9 ejercicios · 90 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un triángulo muy alto y una base muy cortaNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
$z_{1}=1+3i$ y $z_{2}=3+4i$ son dos vértices de un triángulo isósceles. Calcular el tercer vértice del triángulo ( $z_{3}$ ), sabiendo que la longitud de la altura ( $h$ ) es el triple de la longitud de la base ( $o$ ).

Figura redibujada del enunciado original. El vértice que dibuja el examen es el de arriba a la izquierda; el simétrico respecto de la base, abajo a la derecha, cumple las dos condiciones igual de bien.

El tercer vértice, en forma binómica.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La cámara que gira para seguir al coheteEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 6 + 3 = 10 pts
Se lanza un cohete que asciende verticalmente a una velocidad no constante. Se coloca una cámara a 5000 m de la plataforma de lanzamiento que gira con una velocidad angular adecuada para enfocar al cohete. Calcular la velocidad a la que cambia el ángulo de la cámara cuando el cohete se encuentra a 1000 m sobre la plataforma de lanzamiento, sabiendo que en ese instante la velocidad del cohete es de 600 m/s.

Figura redibujada del enunciado original, sin los dibujos decorativos del cohete y de la cámara. Lo único que hace falta es el triángulo rectángulo: el cateto fijo de 5000 m, el cateto variable h y el ángulo θ en la cámara.

La velocidad angular de la cámara en ese instante, en radianes por segundo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos curvas, y averiguar cuál deriva a cuálEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 7 + 3 = 10 pts
La siguiente figura muestra las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$ definidas en el intervalo $[0{,}5,\,3{,}5]$ .

Figura redibujada del enunciado original. Las dos curvas se dibujan aquí con la pareja exacta f(x) = 1,35(x − 1,15)(x − 2,85) y g su primitiva con g(2) = 0, que reproduce el trazado del examen.

a) Una de las gráficas corresponde a una función $y(x)$ y la otra a su derivada $y'(x)$ . Identificar de forma razonada qué gráfica corresponde a cada una de las funciones.

b) Consideremos la función $h(x)=\ln(y(x))$ . Obtener su dominio de definición y calcular su derivada.

c) Estudiar los intervalos de crecimiento/decrecimiento y los extremos de $h(x)$ .

d) Sabiendo que $y''(x)<0$ en el intervalo $(1,2)$ , estudiar la concavidad/convexidad de $h(x)$ en dicho intervalo.
Quién es quién, el dominio y la derivada de h, sus extremos y su curvatura.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un polinomio de grado dos para ln 0,9Estudio local de funciones reales de una variable real0 + 7 + 3 = 10 pts
a) Calcular el polinomio de McLaurin de orden 2 de la función $f(x)=\ln(x+3)$ .

b) Utilizando el polinomio anterior calcular el valor aproximado $\ln 0{,}9$ .

c) Acotar el error cometido en dicho cálculo.
El polinomio, la aproximación y una cota del error.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La media bola recortada por un cilindro que la toca por dentroIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Calcular el volumen del sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 16$ , $x^{2}+y^{2}\le 4y$ , $z\ge 0$ .

Figura nuestra; el enunciado no trae ninguna. Responde a por qué el ángulo barre solo media vuelta: el disco está entero en el semiplano de arriba, y el radio polar que lo describe es 4 sen θ, que se anula en 0 y en π.

El volumen, en forma exacta.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un trabajo que resulta ser un áreaIntegral curvilínea1 + 7 + 2 = 10 pts
Sean el campo vectorial $\vec{V}=\left(-\dfrac{y}{2},\,\dfrac{x}{2}\right)$ y la espiral definida por las ecuaciones paramétricas $x=t\cos t$ , $y=t\operatorname{sen} t$ .

Figura redibujada del enunciado original. La espiral va de A, en el origen, hasta B, en 2π; la zona sombreada es la que encierra con el segmento del eje horizontal que cierra el camino.

a) Calcular el trabajo efectuado por $\vec{V}$ al trasladar una partícula desde el punto $A=(0,0)$ hasta el punto $B=(2\pi,0)$ siguiendo la espiral.

b) Calcular el área de la figura sombreada.
El trabajo a lo largo de la espiral, y el área que encierra con el eje.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Comprobar un factor integrante y usarloEcuaciones diferenciales0 + 7 + 3 = 10 pts
a) Demostrar que la función $g(y)=\dfrac{1}{1-y}$ es un factor integrante de la EDO $(1-y)\cos x\,dx-dy=0$ .

b) Resolver la EDO anterior utilizando el factor integrante.
La comprobación de exactitud y la solución general.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos ecuaciones acopladas que dan la misma respuestaTransformada de Laplace0 + 8 + 2 = 10 pts
Utilizando la transformada de Laplace, resolver el sistema
$\left\{ \begin{aligned} x'(t)&=x(t)+y(t)-e^{t}\\ y'(t)&=x(t)-y(t)+e^{t}\\ x(0)&=y(0)=1 \end{aligned} \right.$
Las funciones x(t) e y(t).
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una escalera de dos peldaños, y la suma de LeibnizIntroducción al análisis de Fourier0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $f(t)$ la función periódica de periodo $T=2$ definida de la siguiente forma:
$f(t)= \begin{cases} 1 & 0<t\le 1\\[2pt] \dfrac12 & 1<t\le 2 \end{cases}$
a) Dibujar la función periódica $f(t)$ .

b) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $f(t)$ .

c) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=0$ y $t=\dfrac32$ .

d) Obtener la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ .

Figura nuestra, y es la respuesta al apartado a): conviene mirarla después de haberla dibujado. Punto lleno donde el valor se alcanza, hueco donde no.

La serie, los dos valores del apartado c) y la suma de la serie numérica.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 12 de junio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un triángulo muy alto y una base muy corta

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

$z_{1}=1+3i$ y $z_{2}=3+4i$ son dos vértices de un triángulo isósceles. Calcular el tercer vértice del triángulo ( $z_{3}$ ), sabiendo que la longitud de la altura ( $h$ ) es el triple de la longitud de la base ( $o$ ).

Figura redibujada del enunciado original. El vértice que dibuja el examen es el de arriba a la izquierda; el simétrico respecto de la base, abajo a la derecha, cumple las dos condiciones igual de bien.

El tercer vértice, en forma binómica.

01
Reconocer el camino
COMP1
En un triángulo isósceles con base $z_{1}z_{2}$ , ¿dónde está obligado a estar el tercer vértice?
02
La base
COMP2
¿Cuánto mide la base, $o=\left|z_{2}-z_{1}\right|$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El tercer vértice
COMP2
¿Cuál es el vértice $z_{3}$ que dibuja la figura, el de arriba a la izquierda?
Tu respuesta al paso 3forma binómica, por ejemplo -1+9.5i — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la comprobación de que ese vértice sirve. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El punto medio de la base es $M=2+\frac72 i$ , y la mediatriz es la recta que pasa por $M$ con dirección $-1+2i$ .
2. Sobre esa recta, $z_{3}$ equidista de $z_{1}$ y de $z_{2}$ , así que el triángulo es isósceles sea cual sea la distancia recorrida.
3. Con $z_{3}=-1+\frac{19}{2}i$ sale $\left|z_{3}-z_{1}\right|=\left|z_{3}-z_{2}\right|=\frac{\sqrt{185}}{2}$ , y la altura mide $3\sqrt5$ , que es el triple de $\sqrt5$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 12 de junio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La cámara que gira para seguir al cohete

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se lanza un cohete que asciende verticalmente a una velocidad no constante. Se coloca una cámara a 5000 m de la plataforma de lanzamiento que gira con una velocidad angular adecuada para enfocar al cohete. Calcular la velocidad a la que cambia el ángulo de la cámara cuando el cohete se encuentra a 1000 m sobre la plataforma de lanzamiento, sabiendo que en ese instante la velocidad del cohete es de 600 m/s.

Figura redibujada del enunciado original, sin los dibujos decorativos del cohete y de la cámara. Lo único que hace falta es el triángulo rectángulo: el cateto fijo de 5000 m, el cateto variable h y el ángulo θ en la cámara.

La velocidad angular de la cámara en ese instante, en radianes por segundo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué relación liga el ángulo $\theta$ de la cámara con la altura $h$ del cohete?
02
El factor que aparece al derivar
COMP2
Derivando $\tan\theta=h/5000$ respecto del tiempo aparece $\sec^{2}\theta$ . ¿Cuánto vale en el instante del enunciado?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad angular
COMP2
¿A qué velocidad cambia el ángulo de la cámara en ese instante?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La distancia de la cámara a la plataforma es constante, así que la única variable geométrica es la altura $h(t)$ , y el ángulo queda determinado por ella.
2. Derivando $\tan\theta(t)=h(t)/5000$ respecto de $t$ con la regla de la cadena sale $\sec^{2}\theta\cdot\theta'=h'/5000$ .
3. En el instante pedido $\tan\theta=1/5$ , luego $\sec^{2}\theta=26/25$ y $\theta'=\frac{600/5000}{26/25}=\frac{3}{26}$ rad/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 12 de junio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos curvas, y averiguar cuál deriva a cuál

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La siguiente figura muestra las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$ definidas en el intervalo $[0{,}5,\,3{,}5]$ .

Figura redibujada del enunciado original. Las dos curvas se dibujan aquí con la pareja exacta f(x) = 1,35(x − 1,15)(x − 2,85) y g su primitiva con g(2) = 0, que reproduce el trazado del examen.

a) Una de las gráficas corresponde a una función $y(x)$ y la otra a su derivada $y'(x)$ . Identificar de forma razonada qué gráfica corresponde a cada una de las funciones.

b) Consideremos la función $h(x)=\ln(y(x))$ . Obtener su dominio de definición y calcular su derivada.

c) Estudiar los intervalos de crecimiento/decrecimiento y los extremos de $h(x)$ .

d) Sabiendo que $y''(x)<0$ en el intervalo $(1,2)$ , estudiar la concavidad/convexidad de $h(x)$ en dicho intervalo.

Quién es quién, el dominio y la derivada de h, sus extremos y su curvatura.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál de las dos gráficas es $y$ y cuál es $y'$ ?
02
El dominio de h
COMP2
El dominio de $h(x)=\ln(y(x))$ es el conjunto donde $y>0$ . Dentro del intervalo $[0{,}5,\,3{,}5]$ , ¿en cuántos trozos separados queda?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El extremo de h
COMP2
Con la pareja de la figura, $f(x)=1{,}35(x-1{,}15)(x-2{,}85)$ . ¿En qué punto alcanza $h$ su extremo dentro del trozo grande del dominio?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de la curvatura en $(1,2)$ . Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $(1,2)$ se tiene $y>0$ , así que $h=\ln y$ está definida y $h'=y'/y$ .
2. Derivando otra vez, $h''=\dfrac{y''y-(y')^{2}}{y^{2}}$ .
3. El enunciado da $y''<0$ en $(1,2)$ , y ahí $y>0$ , luego $y''y<0$ ; además $-(y')^{2}\le 0$ siempre. El numerador es negativo y el denominador positivo.

Resolución completa

a) Quién es quién. La regla es la de siempre —la derivada dice si la función sube o baja—, pero aquí hay una trampa preparada: $g$ se anula en $x=2$ , que es justo donde $f$ tiene su mínimo. Quien mire solo los «ceros contra extremos» se queda con la pareja equivocada.

Lo que decide es el sentido del cruce. Si $f$ fuera $y$ y $g$ su derivada, en el mínimo de $f$ la derivada tendría que pasar de negativa a positiva; y $g$ , en $x=2$ , pasa de positiva a negativa. Imposible. Al revés todo encaja: $f>0$ exactamente donde $g$ sube, $f<0$ exactamente donde $g$ baja, y los dos ceros de $f$ son el máximo y el mínimo de $g$ .

y=g,\qquad y'=f

b) Dominio y derivada. El logaritmo pide argumento positivo:

\mathrm{Dom}(h)=\{x\in[0{,}5,\,3{,}5] : y(x)>0\}

que en la figura son dos trozos: el que va del primer corte de $g$ hasta $x=2$ , y un rabito final después del tercer corte. Y

h'(x)=\frac{y'(x)}{y(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}

c) Monotonía y extremos. En el dominio el denominador es positivo, así que el signo de $h'$ es el signo de $f$ . En el trozo grande, $f$ es positiva hasta su primer cero y negativa después: $h$ crece, luego decrece, y en ese cero —alrededor de $x=1{,}15$ — tiene un máximo relativo. Al acercarse a $x=2$ la función $h$ se despeña hacia $-\infty$ , porque el argumento del logaritmo tiende a cero.

d) Curvatura en $(1,2)$ .

h''=\left(\frac{y'}{y}\right)'=\frac{y''y-(y')^{2}}{y^{2}}

En ese intervalo el enunciado regala $y''<0$ , y la figura da $y>0$ . Los dos términos del numerador son entonces negativos —o nulos—, el denominador es positivo, y $h''<0$ : cóncava en todo $(1,2)$ .

Merece la pena quedarse con esto: para que $\ln y$ sea convexa no basta con que $y$ lo sea; hay que ganarle al término $-(y')^{2}$ , que juega siempre en contra. El logaritmo de una función cóncava y positiva es siempre cóncavo, y aquí eso resuelve el apartado sin cuentas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 12 de junio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un polinomio de grado dos para ln 0,9

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular el polinomio de McLaurin de orden 2 de la función $f(x)=\ln(x+3)$ .

b) Utilizando el polinomio anterior calcular el valor aproximado $\ln 0{,}9$ .

c) Acotar el error cometido en dicho cálculo.

El polinomio, la aproximación y una cota del error.

01
Reconocer el camino
COMP1
El polinomio está centrado en $x=0$ , donde $f(0)=\ln 3$ . ¿Cómo se llega desde ahí a $\ln 0{,}9$ ?
02
El coeficiente de segundo grado
COMP2
En $P_{2}(x)=\ln 3+\alpha x+\beta x^{2}$ , ¿cuánto vale $\beta$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aproximación
COMP2
¿Qué valor da el polinomio para $\ln 0{,}9$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La cota del error
COMP2
Usando el resto de Lagrange, ¿cuál es la cota del error cometido?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con siete decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la acotación del error. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El teorema de Taylor con resto de Lagrange dice que existe un $\xi$ entre $0$ y $x$ tal que $f(x)-P_{2}(x)=\frac{f'''(\xi)}{3!}x^{3}$ .
2. Aquí $x=-0{,}3$ , así que $\xi\in(-0{,}3,\,0)$ y $\left|x\right|^{3}=0{,}027$ .
3. En ese intervalo $\left|f'''(\xi)\right|=\frac{2}{(\xi+3)^{3}}$ se hace máxima en $\xi=-0{,}3$ , donde vale $\frac{2}{2{,}7^{3}}$ .

Resolución completa

a) El polinomio. Se puede derivar tres veces, pero sale antes usando lo que ya se sabe:

\ln(x+3)=\ln\!\left[3\left(1+\frac{x}{3}\right)\right] =\ln 3+\ln\!\left(1+\frac{x}{3}\right)

y con $\ln(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{3}-\cdots$ para $u=\frac{x}{3}$ :

P_{2}(x)=\ln 3+\frac{x}{3}-\frac{x^{2}}{18}

b) La aproximación, y el truco que la hace posible. La tentación es resolver $x+3=0{,}9$ , que da $x=-2{,}1$ ; y ahí el polinomio no vale nada, porque está a punto de salirse del dominio. Lo que se hace es sacar el $0{,}9$ de un punto cercano al centro:

0{,}9=\frac{2{,}7}{3} \;\Longrightarrow\; \ln 0{,}9=\ln 2{,}7-\ln 3=f(-0{,}3)-\ln 3

Y ahora $x=-0{,}3$ sí está cerca de cero:

\ln 0{,}9\approx P_{2}(-0{,}3)-\ln 3=-0{,}1-0{,}005=-0{,}105

Fíjate en que el $\ln 3$ se cancela: no hace falta conocer su valor, que es justo lo que se necesita en un examen sin calculadora.

c) La cota.

f'''(x)=\frac{2}{(x+3)^{3}}, \qquad \left|R_{2}\right|=\left|\frac{f'''(\xi)}{6}(-0{,}3)^{3}\right| \le\frac{2}{2{,}7^{3}}\cdot\frac{0{,}027}{6}\approx4{,}6\cdot10^{-4}

Se acota en el extremo más desfavorable del intervalo, $\xi=-0{,}3$ , porque el $\xi$ del teorema es desconocido. El error verdadero, $3{,}6\cdot10^{-4}$ , queda por debajo: la cota funciona y además es ajustada, señal de que se ha acotado bien y no a lo bruto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 12 de junio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La media bola recortada por un cilindro que la toca por dentro

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el volumen del sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 16$ , $x^{2}+y^{2}\le 4y$ , $z\ge 0$ .

Figura nuestra; el enunciado no trae ninguna. Responde a por qué el ángulo barre solo media vuelta: el disco está entero en el semiplano de arriba, y el radio polar que lo describe es 4 sen θ, que se anula en 0 y en π.

El volumen, en forma exacta.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué región del plano describe $x^{2}+y^{2}\le 4y$ ?
02
El radio en polares
COMP2
En polares, la condición $x^{2}+y^{2}\le 4y$ se convierte en $r\le k\sin\theta$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen del sólido?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el planteamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El sólido se proyecta sobre el plano $z=0$ en el disco $x^{2}+(y-2)^{2}\le4$ , y sobre cada punto de él la altura va de $z=0$ hasta la semiesfera $z=\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}$ .
2. El disco cabe entero dentro de la circunferencia $x^{2}+y^{2}=16$ —es tangente interior en $(0,4)$ —, así que el radicando nunca se hace negativo y la semiesfera es de verdad la tapa en todo el recinto.
3. En polares el recinto es $0\le\theta\le\pi$ , $0\le r\le4\sin\theta$ , y el elemento de área lleva su $r$ .

Resolución completa

Traducir las tres condiciones. La primera es la bola de radio $4$ ; la tercera la corta por la mitad y deja la de arriba; la segunda es la que hay que descifrar. Completando cuadrados:

x^{2}+y^{2}-4y\le 0 \;\Longleftrightarrow\; x^{2}+(y-2)^{2}\le 4

un disco de centro $(0,2)$ y radio $2$ , apoyado en el origen y tangente por dentro a la circunferencia de radio $4$ . Ese detalle importa: como cabe entero dentro de la sombra de la esfera, la semiesfera es la tapa en todo el recinto y no hay que partir la integral en trozos.

Por qué polares. Porque la frontera del disco pasa por el origen. Un disco descentrado que pasa por el polo tiene en polares una ecuación cortísima:

r^{2}\le 4r\sin\theta \;\Longrightarrow\; r\le 4\sin\theta, \qquad \theta\in[0,\pi]

El barrido completo es de $0$ a $\pi$ , no de $0$ a $2\pi$ : para $\theta>\pi$ el seno es negativo y no hay radio que valga.

La integral.

V=\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{4\sin\theta}\sqrt{16-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta

La de dentro es inmediata con el cambio $u=16-r^{2}$ :

\int_{0}^{R}\sqrt{16-r^{2}}\,r\,dr =\frac13\left[64-(16-R^{2})^{3/2}\right]

y aquí $16-R^{2}=16-16\sin^{2}\theta=16\cos^{2}\theta$ , de donde $(16\cos^{2}\theta)^{3/2}=64\left|\cos\theta\right|^{3}$ . El valor absoluto no es un adorno: en $(\pi/2,\pi)$ el coseno es negativo y sin él la integral sale mal.

V=\frac{64}{3}\int_{0}^{\pi}\left(1-\left|\cos\theta\right|^{3}\right)d\theta =\frac{64}{3}\left(\pi-\frac43\right) =\frac{64\pi}{3}-\frac{256}{9}

El número. $\approx 38{,}58$ . Comprobación de sentido: la media bola entera vale $\frac23\pi\,4^{3}\approx134$ , y el disco base ocupa la cuarta parte de la sombra; como además se lleva la zona alta, salir en torno a un tercio de $134$ es exactamente lo que cabe esperar. Este sólido tiene nombre, por cierto: es la bóveda de Viviani cuando el cilindro tiene radio la mitad que la esfera.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 12 de junio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un trabajo que resulta ser un área

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean el campo vectorial $\vec{V}=\left(-\dfrac{y}{2},\,\dfrac{x}{2}\right)$ y la espiral definida por las ecuaciones paramétricas $x=t\cos t$ , $y=t\operatorname{sen} t$ .

Figura redibujada del enunciado original. La espiral va de A, en el origen, hasta B, en 2π; la zona sombreada es la que encierra con el segmento del eje horizontal que cierra el camino.

a) Calcular el trabajo efectuado por $\vec{V}$ al trasladar una partícula desde el punto $A=(0,0)$ hasta el punto $B=(2\pi,0)$ siguiendo la espiral.

b) Calcular el área de la figura sombreada.

El trabajo a lo largo de la espiral, y el área que encierra con el eje.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el apartado b) se puede resolver con lo hecho en el a)?
02
El trabajo
COMP2
¿Cuánto vale el trabajo a lo largo de la espiral, de $A$ a $B$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área sombreada
COMP2
¿Cuánto vale el área de la figura sombreada?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el paso del trabajo al área. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La frontera del recinto sombreado es la espiral de $A$ a $B$ seguida del segmento del eje $x$ de $B$ a $A$ .
2. Sobre ese segmento $y=0$ y $dy=0$ , así que las dos componentes del campo aportan cero y la circulación cerrada vale lo mismo que el trabajo pedido en a).
3. Green transforma esa circulación en $\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{\partial y}\right)dA=\iint_{D}1\,dA$ , que es el área.

Resolución completa

a) El trabajo, y la simplificación que lo salva. Parametrizando,

W=\int_{0}^{2\pi}\left(-\frac{y}{2}\,x'+\frac{x}{2}\,y'\right)dt =\frac12\int_{0}^{2\pi}\left(x\,y'-y\,x'\right)dt

Y esa combinación, con $x=t\cos t$ e $y=t\operatorname{sen} t$ , se derrumba:

x\,y'-y\,x' =t\cos t\,(\operatorname{sen} t+t\cos t)-t\operatorname{sen} t\,(\cos t-t\operatorname{sen} t) =t^{2}\left(\cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t\right)=t^{2}

Todos los productos cruzados se cancelan. De ahí:

W=\frac12\int_{0}^{2\pi}t^{2}\,dt=\frac{(2\pi)^{3}}{6}=\frac{4\pi^{3}}{3} \approx41{,}34

b) El área, sin integrar otra vez. La clave está en el campo que han elegido. Para $\vec V=\left(-\frac y2,\frac x2\right)$ ,

\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac12-\left(-\frac12\right)=1

así que Green dice que la circulación por cualquier curva cerrada simple es exactamente el área encerrada. Solo hay que cerrar el camino, y el cierre natural es el segmento del eje $x$ de $B$ a $A$ : allí $y=0$ y $dy=0$ , con lo que las dos componentes del campo se anulan y el tramo no aporta nada.

\text{área}=\oint_{\partial D}\vec V\cdot d\vec r=W=\frac{4\pi^{3}}{3}

Lo que hay que llevarse. El apartado a) y el b) son el mismo número, y no por casualidad: el enunciado ha construido el campo para que lo sean. Cuando en un examen aparezca $\left(-\frac y2,\frac x2\right)$ , o $(-y,x)$ , o $(0,x)$ , conviene calcular el rotacional antes de nada: si sale $1$ , lo que se está calculando es un área disfrazada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 12 de junio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Comprobar un factor integrante y usarlo

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Demostrar que la función $g(y)=\dfrac{1}{1-y}$ es un factor integrante de la EDO $(1-y)\cos x\,dx-dy=0$ .

b) Resolver la EDO anterior utilizando el factor integrante.

La comprobación de exactitud y la solución general.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que comprobar exactamente para demostrar que $g$ es factor integrante?
02
La constante de una solución concreta
COMP2
La solución general es $\sin x+\ln\left|1-y\right|=C$ . Para la solución que pasa por $\left(0,\,1-e\right)$ , ¿cuánto vale $C$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un valor de esa solución
COMP2
Con esa condición inicial, ¿cuánto vale $y(\pi/6)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $M=(1-y)\cos x$ y $N=-1$ se tiene $M_{y}=-\cos x$ y $N_{x}=0$ , distintos: la ecuación no es exacta.
2. Multiplicando por $g(y)=\frac{1}{1-y}$ queda $M^{*}=\cos x$ y $N^{*}=-\frac{1}{1-y}$ , y ahora $M^{*}_{y}=0=N^{*}_{x}$ : exacta.
3. Entonces existe $F$ con $F_{x}=\cos x$ y $F_{y}=-\frac1{1-y}$ , y es $F(x,y)=\sin x+\ln\left|1-y\right|$ ; la solución general es $F=C$ .

Resolución completa

a) Que no es exacta, y que con el factor sí lo es. Con $M(x,y)=(1-y)\cos x$ y $N(x,y)=-1$ :

\frac{\partial M}{\partial y}=-\cos x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=0

Distintos, así que no es exacta. Multiplicando la ecuación entera por $g(y)=\frac{1}{1-y}$ :

\cos x\,dx-\frac{1}{1-y}\,dy=0 \;\Longrightarrow\; M^{*}=\cos x,\quad N^{*}=-\frac{1}{1-y}

\frac{\partial M^{*}}{\partial y}=0=\frac{\partial N^{*}}{\partial x}

Ahora sí. Y se ve por qué funciona: el factor separa las variables, la $x$ en un término y la $y$ en el otro, que es el caso más cómodo de ecuación exacta.

b) La solución. Se busca $F$ con $F_{x}=M^{*}$ y $F_{y}=N^{*}$ :

F(x,y)=\int\cos x\,dx=\sin x+\varphi(y)

F_{y}=\varphi'(y)=-\frac{1}{1-y} \;\Longrightarrow\; \varphi(y)=\ln\left|1-y\right|

—ojo al signo: $\int\frac{-dy}{1-y}=+\ln\left|1-y\right|$ , porque la derivada de $1-y$ es $-1$ y se cancela con el menos—. Luego

\boxed{\;\sin x+\ln\left|1-y\right|=C\;}

o, despejada, $y=1-Ke^{-\sin x}$ con $K=e^{C}>0$ (o $K<0$ según el signo de $1-y$ ).

La solución que se pierde. Al multiplicar por $\frac{1}{1-y}$ se está suponiendo $y\neq1$ . Y $y\equiv1$ es solución de la ecuación original: sustituyendo, $(1-1)\cos x\,dx-0=0$ . No aparece en la familia para ningún $C$ , así que es una solución singular y hay que enunciarla aparte. Este es el descuido más frecuente del ejercicio, y cuesta puntos de COMP 4 precisamente porque no cuesta nada de cálculo: solo hay que mirar entre qué se ha dividido.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 12 de junio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos ecuaciones acopladas que dan la misma respuesta

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando la transformada de Laplace, resolver el sistema

\left\{ \begin{aligned} x'(t)&=x(t)+y(t)-e^{t}\\ y'(t)&=x(t)-y(t)+e^{t}\\ x(0)&=y(0)=1 \end{aligned} \right.

Las funciones x(t) e y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
Al transformar $x'(t)$ , ¿qué aparece?
02
El determinante del sistema algebraico
COMP2
Transformando y agrupando queda $\left\{(s-1)X-Y=1-\frac{1}{s-1},\ -X+(s+1)Y=1+\frac{1}{s-1}\right\}$ . ¿Cuánto vale el determinante de ese sistema en $s=3$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de la solución
COMP2
¿Cuánto vale $x(1)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Transformando las dos ecuaciones con $\mathcal{L}\{x'\}=sX-1$ , $\mathcal{L}\{y'\}=sY-1$ y $\mathcal{L}\{e^{t}\}=\frac{1}{s-1}$ queda un sistema algebraico de dos ecuaciones en $X(s)$ e $Y(s)$ .
2. Su determinante es $s^{2}-2$ , y al resolver por Cramer ese factor aparece también en los dos numeradores y se cancela.
3. Queda $X(s)=Y(s)=\frac{1}{s-1}$ , cuya antitransformada es $x(t)=y(t)=e^{t}$ , y se comprueba que cumple las dos ecuaciones y las dos condiciones iniciales.

Resolución completa

El método, en una frase. Laplace convierte un sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema de ecuaciones algebraicas, con las condiciones iniciales ya metidas dentro. Se resuelve como cualquier sistema de dos por dos y luego se antitransforma.

Transformar. Con $x(0)=y(0)=1$ y $\mathcal{L}\{e^{t}\}=\frac{1}{s-1}$ :

\left\{ \begin{aligned} sX-1&=X+Y-\tfrac{1}{s-1}\\ sY-1&=X-Y+\tfrac{1}{s-1} \end{aligned} \right. \;\Longrightarrow\; \left\{ \begin{aligned} (s-1)X-Y&=1-\tfrac{1}{s-1}\\ -X+(s+1)Y&=1+\tfrac{1}{s-1} \end{aligned} \right.

Resolver. El determinante es

\begin{vmatrix}s-1&-1\\-1&s+1\end{vmatrix}=s^{2}-2

y por Cramer,

X=\frac{\left(1-\frac{1}{s-1}\right)(s+1)+\left(1+\frac{1}{s-1}\right)}{s^{2}-2}

El numerador se junta sobre $s-1$ :

(s+2)-\frac{s}{s-1}=\frac{(s+2)(s-1)-s}{s-1}=\frac{s^{2}-2}{s-1}

y el $s^{2}-2$ se va con el del denominador:

X(s)=\frac{1}{s-1}

La misma cuenta para $Y$ da $Y(s)=\frac{1}{s-1}$ .

Antitransformar.

x(t)=y(t)=e^{t}

Por qué merece la pena la simplificación. Si uno no junta el numerador y se lanza a descomponer $\frac{\text{algo}}{s^{2}-2}$ en fracciones simples, aparecen $\pm\sqrt2$ y con ellos senos y cosenos hiperbólicos: una solución correcta pero irreconocible, que en un examen sin calculadora es media hora perdida. La señal de alarma es que el determinante y el numerador compartan factor; conviene mirarlo antes de descomponer.

La comprobación, que aquí es gratis. Con $x=y=e^{t}$ : $x'=e^{t}$ y $x+y-e^{t}=e^{t}+e^{t}-e^{t}=e^{t}$ ✓; $y'=e^{t}$ y $x-y+e^{t}=0+e^{t}=e^{t}$ ✓; y en $t=0$ las dos valen $1$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 12 de junio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una escalera de dos peldaños, y la suma de Leibniz

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(t)$ la función periódica de periodo $T=2$ definida de la siguiente forma:

f(t)= \begin{cases} 1 & 0<t\le 1\\[2pt] \dfrac12 & 1<t\le 2 \end{cases}

a) Dibujar la función periódica $f(t)$ .

b) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $f(t)$ .

c) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=0$ y $t=\dfrac32$ .

d) Obtener la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ .

Figura nuestra, y es la respuesta al apartado a): conviene mirarla después de haberla dibujado. Punto lleno donde el valor se alcanza, hueco donde no.

La serie, los dos valores del apartado c) y la suma de la serie numérica.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los coeficientes $a_{n}$ con $n\ge1$ salen todos cero. ¿Por qué?
02
El término constante
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{a_{0}}{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El primer armónico
COMP2
¿Cuánto vale $b_{1}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La suma de la serie numérica
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ ?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El teorema de Dirichlet dice que en un punto de discontinuidad de salto la serie converge a la semisuma de los límites laterales.
2. En $t=0$ hay salto: por la izquierda $f$ vale $\frac12$ —es el final del periodo anterior— y por la derecha $1$ . Luego $S(0)=\frac{3}{4}$ , mientras que $f(0)=\frac12$ según el enunciado, que cierra el intervalo por la derecha.
3. En $t=\frac32$ la función es continua, así que la serie converge al valor de la función y $S(3/2)=f(3/2)=\frac12$ .

Resolución completa

a) El dibujo. Dos peldaños que se repiten cada dos unidades: vale $1$ en la primera mitad del periodo y $\frac12$ en la segunda. En cada salto, el enunciado cierra el intervalo por la derecha — $0<t\le1$ —, así que el valor alcanzado es el del peldaño que termina. La figura de arriba lo dibuja con punto lleno donde se alcanza y hueco donde no.

b) La serie, por el camino corto. En vez de atacar las integrales directamente, se resta la media:

u(t)=f(t)-\frac34= \begin{cases}+\frac14&0<t\le1\\[2pt]-\frac14&1<t\le2\end{cases}

que es una onda cuadrada impar de amplitud $\frac14$ . Impar significa que todos los $a_{n}$ con $n\ge1$ se anulan sin calcular nada, y la media se recupera al final como término constante:

\frac{a_{0}}{2}=\frac34, \qquad a_{n}=0\ (n\ge1), \qquad b_{n}=\begin{cases}\frac{1}{n\pi}&n\text{ impar}\\0&n\text{ par}\end{cases}

S(t)=\frac34+\frac1\pi\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin\bigl((2k+1)\pi t\bigr)}{2k+1}

c) Los dos puntos. En $t=0$ hay un salto: por la izquierda la función vale $\frac12$ y por la derecha $1$ . Dirichlet manda, y

S(0)=\frac{\frac12+1}{2}=\frac34, \qquad f(0)=\frac12

—la función y su serie no coinciden ahí, y eso no es un error: es lo que ocurre en todo salto—. En $t=\frac32$ la función es continua, así que

S\!\left(\tfrac32\right)=f\!\left(\tfrac32\right)=\frac12

d) La suma, que es el premio. El apartado d) no es un ejercicio aparte: es la razón de ser de los tres anteriores. Se busca un punto donde los senos impares valgan $\pm1$ alternando, y ese punto es $t=\frac12$ :

\sin\!\left((2k+1)\frac\pi2\right)=(-1)^{k}

Como $f$ es continua en $\frac12$ , allí $S=f=1$ :

1=\frac34+\frac1\pi\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1} \;\Longrightarrow\; \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}=\frac\pi4

Es la serie de Leibniz. Fíjate en la condición que hay que comprobar antes de igualar: el punto elegido tiene que ser de continuidad. Si se hubiera elegido $t=0$ , donde $S$ y $f$ discrepan, la igualdad sería falsa y la suma saldría mal.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria ordinaria · 2022-2023

Reconocer el camino

La base

El tercer vértice

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El factor que aparece al derivar

La velocidad angular

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El dominio de h

El extremo de h

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de segundo grado

La aproximación

La cota del error

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El radio en polares

El volumen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El trabajo

El área sombreada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La constante de una solución concreta

Un valor de esa solución

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante del sistema algebraico

El valor de la solución

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El término constante

El primer armónico

La suma de la serie numérica

Justificar el argumento