tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria ordinaria

Convocatoria ordinaria · 2013-2014

19 de mayo de 2014 · 6 ejercicios · 60 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Cuatro operaciones sobre un rectángulo, y una que no hace nadaNúmeros complejos4 + 3 + 3 = 10 pts
A cada uno de los números complejos $z$ cuyo afijo aparece sombreado en la figura, le aplicamos las siguientes operaciones:

1º) Le sumamos el número complejo $-1-2i$ .

2º) Del número complejo resultante, calculamos su conjugado.

3º) Al número complejo resultante, lo multiplicamos por $2_{\pi/2}$ .

4º) Del número complejo resultante, calculamos su conjugado.

Representar gráficamente el lugar geométrico resultante de cada una de estas operaciones.

El rectángulo sombreado del enunciado, redibujado: los complejos con parte real entre 2 y 3 y parte imaginaria entre 1 y 3.

Los cuatro lugares, dibujados.
- COMP 14 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una integral que no se sabe hacer, y aun así se estudia enteraIntegración1 + 5 + 4 = 10 pts
Enunciar y demostrar el teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal. Aplíquese este teorema para estudiar los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función:
$F(t)=\int_{0}^{t}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\,dz$
El enunciado y la demostración del teorema, y el estudio de F.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un polinomio de Taylor sacado de la ecuación, no de la funciónEstudio local de funciones reales de una variable real2 + 5 + 3 = 10 pts
Considerar la función $y(x)$ que verifica la ecuación $y'=-2xy$ , y cuya gráfica pasa por el punto $(1,1)$ .

a) Calcular el polinomio de Taylor de grado 3.

b) Utilizar el anterior polinomio para aproximar $y(1.2)$ .
El polinomio centrado en 1 y la aproximación.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La misma ecuación resuelta de tres maneras distintasTransformada de Laplace0 + 6 + 4 = 10 pts
Resolver el problema $x''(t)-x(t)+2=0$ , $x(0)=x'(0)=2$ de las tres formas siguientes:

a) Aplicando directamente la transformada de Laplace a la EDO.

b) Planteando un sistema de dos ecuaciones diferenciales equivalente a la EDO dada, y aplicando la transformada de Laplace para resolver dicho sistema.

c) Mediante el método de los coeficientes indeterminados.
La misma solución por los tres caminos.
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una integral de línea que se resuelve con el área y el centroideIntegral curvilínea0 + 6 + 4 = 10 pts
Considerar la región $R$ que se muestra sombreada en la figura y la curva abierta $C$ que une los puntos A y B. Se sabe que $R$ tiene un área $A=8$ y que su centro de gravedad está situado en el punto $P(3/2,1/2)$ . Calcular el valor de
$I=\int_{C}\left(3-y\right)dx+\left(x^{2}+3xy\right)dy$

Figura redibujada del enunciado original. El perfil de C es esquemático: los datos que cuentan son los del texto —área 8 y centro de gravedad en (3/2, 1/2)— y los extremos A(−1,0) y B(3,0).

AYUDA: Utilícese el teorema de Green para calcular la integral a lo largo de la frontera completa del recinto $R$ . El centro de gravedad $\left(x_{c},y_{c}\right)$ de la región $R$ se calcula mediante las expresiones
$x_{c}=\frac{\displaystyle\iint_{R}x\,d(x,y)\,dx\,dy}{M}, \qquad y_{c}=\frac{\displaystyle\iint_{R}y\,d(x,y)\,dx\,dy}{M}$
donde $d(x,y)$ es la densidad de masa y $M$ la masa de la figura.
El valor de la integral a lo largo de C.
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El cuenco rematado en cono, y dónde tiene su centro de gravedadIntegral múltiple2 + 5 + 3 = 10 pts
Considerar el sólido definido por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z$ ; $x^{2}+y^{2}\le(z-6)^{2}$ , $z\le 6$ .

a) Dibujar el sólido y calcular el área de su superficie.

b) Calcular el centro de gravedad del sólido.
El dibujo, el área y el centro de gravedad.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Sexta evaluación, 19 de mayo de 2014 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuatro operaciones sobre un rectángulo, y una que no hace nada

COMP 14 puntos por reconocer
COMP 23 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

A cada uno de los números complejos $z$ cuyo afijo aparece sombreado en la figura, le aplicamos las siguientes operaciones:

1º) Le sumamos el número complejo $-1-2i$ .

2º) Del número complejo resultante, calculamos su conjugado.

3º) Al número complejo resultante, lo multiplicamos por $2_{\pi/2}$ .

4º) Del número complejo resultante, calculamos su conjugado.

Representar gráficamente el lugar geométrico resultante de cada una de estas operaciones.

El rectángulo sombreado del enunciado, redibujado: los complejos con parte real entre 2 y 3 y parte imaginaria entre 1 y 3.

Los cuatro lugares, dibujados.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué significa la notación $2_{\pi/2}$ ?
02
La región después de la primera operación
COMP2
Tras sumar $-1-2i$ , ¿cuál es el valor mínimo de la parte imaginaria?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La región después de la tercera
COMP2
Tras multiplicar por $2_{\pi/2}$ , ¿cuál es el valor máximo de la parte imaginaria?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La región de partida es $R_{0}=[2,3]\times[1,3]$ , y sumar $-1-2i$ la traslada a $R_{1}=[1,2]\times[-1,1]$ .
2. $R_{1}$ es simétrico respecto del eje real, así que conjugarlo lo deja igual: $R_{2}=R_{1}$ . Es la única de las cuatro operaciones que no cambia el dibujo.
3. Multiplicar por $2_{\pi/2}=2i$ gira un cuarto de vuelta y duplica: $R_{3}=[-2,2]\times[2,4]$ ; y el último conjugado lo refleja, $R_{4}=[-2,2]\times[-4,-2]$ .

Resolución completa

Las cuatro regiones. Partiendo de $R_{0}=[2,3]\times[1,3]$ :

operación	resultado
1.ª sumar $-1-2i$	$R_{1}=[1,2]\times[-1,1]$
2.ª conjugar	$R_{2}=R_{1}$
3.ª multiplicar por $2_{\pi/2}$	$R_{3}=[-2,2]\times[2,4]$
4.ª conjugar	$R_{4}=[-2,2]\times[-4,-2]$

Los cuatro lugares. En gris el de partida; en verde el que sale de sumar y de conjugar, que son el mismo; en morado el de multiplicar por dos i, y en rojo el del último conjugado.

Lo que hace cada una, en palabras. Sumar es trasladar; conjugar es reflejar en el eje real; multiplicar por $2_{\pi/2}=2i$ es girar $90^{\circ}$ y duplicar. Un rectángulo de lados paralelos a los ejes sigue siéndolo tras un giro de $90^{\circ}$ , con los lados intercambiados: el de $1\times2$ se convierte en uno de $4\times2$ .

La sorpresa del apartado 2.º Después de trasladar, la región es $[1,2]\times[-1,1]$ , simétrica respecto del eje real. Conjugar refleja cada punto, pero el conjunto entero queda igual. El dibujo no cambia — y decirlo, con la razón, es la mitad de los puntos de explicación.

La composición, de un tirón. Como $\operatorname{conj}(ab)= \operatorname{conj}(a)\operatorname{conj}(b)$ y conjugar dos veces devuelve el número:

w=\overline{2i\cdot\overline{z-1-2i}} =\overline{2i}\cdot\left(z-1-2i\right) =-2i\left(z-1-2i\right)

Es decir: trasladar y luego girar $-90^{\circ}$ duplicando. Los dos conjugados se convierten en uno solo, aplicado al factor. Comprobación con el vértice $z=3+3i$ : $-2i(2+i)=-4i+2=2-4i$ , que es la esquina de $R_{4}$ ✓.

Por qué este ejercicio da cuatro puntos de COMP 1 y solo tres de cálculo. Porque no hay casi nada que calcular: lo que se evalúa es reconocer qué transformación geométrica es cada operación, y ver que la segunda es la identidad sobre esta región concreta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Sexta evaluación, 19 de mayo de 2014 · Cálculo, UPV/EHU · Volvió a caer, palabra por palabra, en la extraordinaria del mismo curso un mes después, el 18 de junio de 2014 · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una integral que no se sabe hacer, y aun así se estudia entera

COMP 11 punto por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Enunciar y demostrar el teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal. Aplíquese este teorema para estudiar los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función:

F(t)=\int_{0}^{t}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\,dz

El enunciado y la demostración del teorema, y el estudio de F.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué se puede estudiar $F$ sin resolver la integral?
02
La derivada en un punto
COMP2
¿Cuánto vale $F'(1)$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto de inflexión
COMP2
¿En qué punto tiene $F$ su único punto de inflexión?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de $F$ . Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El integrando $e^{-z^{2}/2}$ es continuo en todo $\mathbb{R}$ , así que el teorema fundamental se aplica y $F$ es derivable con $F'(t)=e^{-t^{2}/2}$ .
2. Una exponencial nunca se anula, luego $F'>0$ en todo punto: $F$ es estrictamente creciente y no tiene extremos relativos.
3. $F''(t)=-t\,e^{-t^{2}/2}$ se anula solo en $t=0$ y cambia de signo: hay un único punto de inflexión, en el origen, donde además la pendiente es máxima.

Resolución completa

El teorema, que es lo primero que pide el enunciado.

Sea $f$ continua en $[a,b]$ y sea $F(t)=\int_{a}^{t}f(z)\,dz$ . Entonces $F$ es derivable en $(a,b)$ y $F'(t)=f(t)$ .

Demostración. Por definición de derivada,

\frac{F(t+h)-F(t)}{h}=\frac1h\int_{t}^{t+h}f(z)\,dz

Por el teorema del valor medio integral existe $\xi_{h}$ entre $t$ y $t+h$ con $\int_{t}^{t+h}f=f(\xi_{h})\,h$ , de modo que el cociente vale $f(\xi_{h})$ . Cuando $h\to0$ , $\xi_{h}\to t$ y, por continuidad de $f$ , $f(\xi_{h})\to f(t)$ . Luego $F'(t)=f(t)$ . $\blacksquare$

Por qué aquí hace falta de verdad. La función $e^{-z^{2}/2}$ no tiene primitiva elemental: no hay ninguna combinación de funciones conocidas cuya derivada sea esa. Sin el teorema no habría forma de derivar $F$ , y con él es inmediato.

El estudio.

F'(t)=e^{-t^{2}/2}>0\quad\text{para todo }t

$F$ es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ : no hay extremos relativos. Ni uno.

F''(t)=-t\,e^{-t^{2}/2}

La exponencial nunca se anula, así que el signo lo pone $-t$ : positivo a la izquierda del origen —convexa— y negativo a la derecha —cóncava—. Hay un único punto de inflexión, en $t=0$ , y allí la pendiente vale $1$ , la mayor de toda la curva.

Y una cosa más que merece decirse. $F$ crece siempre y sin embargo está acotada: cuando $t\to\infty$ tiende a $\sqrt{\pi/2}\approx1{,}25$ , porque la campana de Gauss encierra un área finita. Es una función que sube eternamente sin llegar nunca a ninguna parte, y su gráfica es la clásica «ese» tumbada de la distribución normal.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Sexta evaluación, 19 de mayo de 2014 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un polinomio de Taylor sacado de la ecuación, no de la función

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Considerar la función $y(x)$ que verifica la ecuación $y'=-2xy$ , y cuya gráfica pasa por el punto $(1,1)$ .

a) Calcular el polinomio de Taylor de grado 3.

b) Utilizar el anterior polinomio para aproximar $y(1.2)$ .

El polinomio centrado en 1 y la aproximación.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De dónde salen las derivadas que necesita el polinomio?
02
La segunda derivada
COMP2
¿Cuánto vale $y''(1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aproximación
COMP2
¿Qué valor da el polinomio para $y(1{,}2)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El dato $(1,1)$ da $y(1)=1$ , y la propia ecuación da $y'(1)=-2\cdot1\cdot1=-2$ : el punto de partida de la cascada.
2. Derivando la ecuación, $y''=-2y-2xy'$ , y evaluando con los valores ya conocidos, $y''(1)=2$ ; otra vez, $y'''=-4y'-2xy''$ e $y'''(1)=4$ .
3. Con eso, $P_{3}(x)=1-2(x-1)+(x-1)^{2}+\frac23(x-1)^{3}$ , y $P_{3}(1{,}2)\approx0{,}6453$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Sexta evaluación, 19 de mayo de 2014 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La misma ecuación resuelta de tres maneras distintas

COMP 26 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver el problema $x''(t)-x(t)+2=0$ , $x(0)=x'(0)=2$ de las tres formas siguientes:

a) Aplicando directamente la transformada de Laplace a la EDO.

b) Planteando un sistema de dos ecuaciones diferenciales equivalente a la EDO dada, y aplicando la transformada de Laplace para resolver dicho sistema.

c) Mediante el método de los coeficientes indeterminados.

La misma solución por los tres caminos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se convierte $x''-x+2=0$ en un sistema de dos ecuaciones de primer orden?
02
La transformada
COMP2
Transformando la EDO, $X(s)=\dfrac{2s^{2}+2s-2}{s\left(s^{2}-1\right)}$ . ¿Cuánto vale $X(2)$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La solución en un instante
COMP2
¿Cuánto vale $x(1)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ecuación es $x''-x=-2$ ; su característica $r^{2}-1=0$ tiene raíces reales $\pm1$ , así que la homogénea es $C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}$ .
2. Una particular constante: $x_{p}=2$ , porque $-x_{p}=-2$ . La general es $2+C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}$ .
3. Con $x(0)=2$ sale $C_{1}+C_{2}=0$ y con $x'(0)=2$ sale $C_{1}-C_{2}=2$ : $C_{1}=1$ , $C_{2}=-1$ , y $x(t)=2+e^{t}-e^{-t}$ .

Resolución completa

La ecuación. $x''-x+2=0$ , es decir $x''-x=-2$ , con $x(0)=x'(0)=2$ .

a) Laplace directo. Con $\mathcal{L}\{x''\}=s^{2}X-sx(0)-x'(0)=s^{2}X-2s-2$ :

s^{2}X-2s-2-X=-\frac2s \;\Longrightarrow\; X=\frac{2s^{2}+2s-2}{s\left(s^{2}-1\right)}

Descomponiendo en fracciones simples —el denominador es $s(s-1)(s+1)$ —:

X(s)=\frac{2}{s}+\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+1} \;\Longrightarrow\; x(t)=2+e^{t}-e^{-t}

b) Como sistema. Con $u=x$ y $v=x'$ :

\left\{ \begin{aligned} u'&=v\\ v'&=u-2 \end{aligned} \right. \qquad u(0)=v(0)=2

Transformando: $sU-2=V$ y $sV-2=U-\frac2s$ . Sustituyendo la primera en la segunda,

s(sU-2)-2=U-\frac2s \;\Longrightarrow\; \left(s^{2}-1\right)U=2s+2-\frac2s

que es la misma expresión de antes. Sale, claro, la misma $x$ .

c) Coeficientes indeterminados. La característica $r^{2}-1=0$ da $r=\pm1$ ; el segundo miembro es constante y $0$ no es raíz, así que $x_{p}=2$ :

x=2+C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}

x(0)=2\Rightarrow C_{1}+C_{2}=0, \qquad x'(0)=2\Rightarrow C_{1}-C_{2}=2

C_{1}=1,\quad C_{2}=-1

\boxed{\;x(t)=2+e^{t}-e^{-t}=2+2\operatorname{senh}t\;}

Para qué sirve pedir lo mismo tres veces. Para ver que los tres caminos llevan al mismo sitio y que cada uno tiene su momento: Laplace directo es el más corto aquí; el sistema es el que escala a problemas acoplados; y los coeficientes indeterminados son los que funcionan sin condiciones iniciales, cuando lo que se busca es la solución general.

Y un detalle de lectura. Las raíces son reales, así que no hay oscilación: la solución se dispara exponencialmente. Basta con el signo del término en $x$ para saberlo antes de calcular nada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Sexta evaluación, 19 de mayo de 2014 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una integral de línea que se resuelve con el área y el centroide

COMP 26 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Considerar la región $R$ que se muestra sombreada en la figura y la curva abierta $C$ que une los puntos A y B. Se sabe que $R$ tiene un área $A=8$ y que su centro de gravedad está situado en el punto $P(3/2,1/2)$ . Calcular el valor de

I=\int_{C}\left(3-y\right)dx+\left(x^{2}+3xy\right)dy

Figura redibujada del enunciado original. El perfil de C es esquemático: los datos que cuentan son los del texto —área 8 y centro de gravedad en (3/2, 1/2)— y los extremos A(−1,0) y B(3,0).

AYUDA: Utilícese el teorema de Green para calcular la integral a lo largo de la frontera completa del recinto $R$ . El centro de gravedad $\left(x_{c},y_{c}\right)$ de la región $R$ se calcula mediante las expresiones

x_{c}=\frac{\displaystyle\iint_{R}x\,d(x,y)\,dx\,dy}{M}, \qquad y_{c}=\frac{\displaystyle\iint_{R}y\,d(x,y)\,dx\,dy}{M}

donde $d(x,y)$ es la densidad de masa y $M$ la masa de la figura.

El valor de la integral a lo largo de C.

01
Reconocer el camino
COMP1
$C$ es abierta y Green necesita una curva cerrada. ¿Cómo se arregla?
02
El integrando de Green
COMP2
$\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}$ vale $2x+3y+k$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La circulación por la frontera completa
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\oint_{\partial R}$ en sentido positivo?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se cierra el camino: la frontera de $R$ recorrida en sentido positivo es el segmento del eje de A a B seguido de $C$ recorrida de B a A.
2. Green da $\oint_{\partial R}=\iint_{R}\left(2x+3y+1\right)dA =2x_{c}A+3y_{c}A+A=24+12+8=44$ .
3. Sobre el segmento, $y=0$ y $dy=0$ , así que su aportación es $\int_{-1}^{3}3\,dx=12$ .

Resolución completa

Por qué hay que usar Green. El enunciado no dice qué curva es $C$ : solo da sus extremos y dos datos globales de la región. Parametrizar es imposible; lo único que puede funcionar es un teorema que cambie la integral de línea por una integral doble donde esos datos entren.

Cerrar el camino. La frontera de $R$ recorrida en sentido positivo —dejando la región a la izquierda— es:

\partial R=\underbrace{\text{segmento del eje de A a B}}_{\text{abajo, izquierda a derecha}} \;+\; \underbrace{C \text{ recorrida de B a A}}_{\text{arriba, al revés}}

Ojo al «al revés»: el enunciado orienta $C$ de A a B, así que en la frontera aparece con signo cambiado.

\oint_{\partial R}=\int_{\text{seg}}-I

Green. Con $P=3-y$ y $Q=x^{2}+3xy$ :

Q_{x}-P_{y}=2x+3y+1

\oint_{\partial R}=\iint_{R}\left(2x+3y+1\right)dA =2\iint x\,dA+3\iint y\,dA+\iint dA

Y ahí es donde entran los datos. De las fórmulas de la ayuda, con densidad constante,

\iint_{R}x\,dA=x_{c}A=\frac32\cdot8=12, \qquad \iint_{R}y\,dA=y_{c}A=\frac12\cdot8=4

\oint_{\partial R}=24+12+8=44

El segmento. En él $y=0$ y $dy=0$ , así que solo sobrevive $P\,dx$ con $P=3$ :

\int_{\text{seg}}=\int_{-1}^{3}3\,dx=12

El resultado.

I=\int_{\text{seg}}-\oint_{\partial R}=12-44=\boxed{\;-32\;}

Lo que este ejercicio enseña. Que el centro de gravedad no es solo un dato de estática: $x_{c}A$ e $y_{c}A$ son los momentos $\iint x\,dA$ e $\iint y\,dA$ , y aparecen en cuanto una integral doble lleva una $x$ o una $y$ sueltas. Reconocerlos convierte un problema sin datos suficientes en uno de tres líneas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Sexta evaluación, 19 de mayo de 2014 · Cálculo, UPV/EHU · El sólido es el mismo que el del ejercicio 1 del segundo parcial de la ordinaria de 2021-2022, ocho años después · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El cuenco rematado en cono, y dónde tiene su centro de gravedad

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Considerar el sólido definido por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z$ ; $x^{2}+y^{2}\le(z-6)^{2}$ , $z\le 6$ .

a) Dibujar el sólido y calcular el área de su superficie.

b) Calcular el centro de gravedad del sólido.

El dibujo, el área y el centro de gravedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde se encuentran el paraboloide y el cono?
02
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen del sólido?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La altura del centro de gravedad
COMP2
¿A qué altura está el centro de gravedad?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El sólido es de revolución alrededor del eje $z$ , así que su centro de gravedad está sobre ese eje: $\overline{x}=\overline{y}=0$ sin calcular nada.
2. Para la altura se corta en discos horizontales: de radio $\sqrt z$ hasta $z=4$ y de radio $6-z$ desde ahí hasta el vértice.
3. $V=\frac{32\pi}{3}$ y $\int z\,dV=\frac{100\pi}{3}$ , así que $\overline{z}=\frac{25}{8}=3{,}125$ , un poco por encima de la mitad de la altura.

Resolución completa

Antes de nada: este sólido es exactamente el mismo que el del ejercicio 1 del segundo parcial de la ordinaria de 2021-2022, ocho años después. Allí pedían dibujarlo y calcular el área; aquí, además, el centro de gravedad.

a) Qué sólido es. Dentro del paraboloide $z\ge r^{2}$ y dentro del cono $r\le 6-z$ , con $z\le6$ . Se cortan donde $\sqrt z=6-z$ :

z^{2}-13z+36=0\;\Longrightarrow\;z=4\ \text{(y }z=9\text{, fuera)}, \qquad r=2

La sección meridiana. El cuenco parabólico sube desde el origen hasta la altura 4, donde el radio vale 2, y desde ahí el cono se cierra en punta en la altura 6.

El área. Dos superficies curvas y ninguna cara plana:

A_{\text{paraboloide}}=2\pi\int_{0}^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr =\frac{\pi\left(17\sqrt{17}-1\right)}{6}\approx36{,}18

A_{\text{cono}}=\pi R g=\pi\cdot2\cdot2\sqrt2=4\sqrt2\,\pi\approx17{,}77

A\approx53{,}95

b) El centro de gravedad. Por ser un sólido de revolución con densidad uniforme, $\overline{x}=\overline{y}=0$ : eso se dice, no se calcula.

Para la altura, discos horizontales:

V=\pi\int_{0}^{4}z\,dz+\pi\int_{4}^{6}(6-z)^{2}dz=8\pi+\frac{8\pi}{3} =\frac{32\pi}{3}

\int z\,dV=\pi\int_{0}^{4}z^{2}dz+\pi\int_{4}^{6}z(6-z)^{2}dz =\frac{64\pi}{3}+12\pi=\frac{100\pi}{3}

\boxed{\;\overline{z}=\frac{100\pi/3}{32\pi/3}=\frac{25}{8}=3{,}125\;}

La segunda integral, con un cambio que la deja en nada. Con $u=6-z$ se convierte en $\int_{0}^{2}(6-u)u^{2}du=\left[2u^{3}- \frac{u^{4}}{4}\right]_{0}^{2}=16-4=12$ . Sin el cambio hay que desarrollar un cubo.

Y la comprobación de sentido, que aquí engaña. El cuenco tiene tres cuartas partes del volumen y está abajo, así que uno esperaría el centroide por debajo de la mitad. Sale por encima: $3{,}125$ frente a $3$ . El motivo es que el cuenco es muy estrecho cerca del fondo —su radio es $\sqrt z$ , casi cero al principio— y casi todo su volumen está concentrado justo debajo de $z=4$ . La intuición de «pesa más abajo» falla cuando la sección varía tanto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria ordinaria · 2013-2014

Reconocer el camino

La región después de la primera operación

La región después de la tercera

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La derivada en un punto

El punto de inflexión

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La segunda derivada

La aproximación

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La transformada

La solución en un instante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El integrando de Green

La circulación por la frontera completa

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El volumen

La altura del centro de gravedad

Justificar el argumento