Cálculo · tema 10

Transformada de Laplace

El rodeo que convierte una ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Transformada, inversa por fracciones simples, sistemas y ecuaciones integrales.

En el tema 9 cada tipo de ecuación diferencial tenía su método, y acertar el método era medio ejercicio. La transformada de Laplace propone otra cosa: un solo procedimiento para todas, a cambio de dar un rodeo.

\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt

La definición asusta y casi nunca se usa. Lo que importa es lo que hace: convierte derivar en multiplicar.

\mathcal{L}\{y'\} = sY - y(0) \qquad \mathcal{L}\{y''\} = s^{2}Y - s\,y(0) - y'(0)

Y eso lo cambia todo. Una ecuación diferencial en $t$ se convierte en una ecuación algebraica en $s$ : se despeja $Y$ como se despeja una $x$ de bachillerato, y luego se vuelve.

El rodeo, que es la idea entera

Tres pasos fáciles en vez de uno difícil. Y el rodeo trae una ventaja que no es obvia: las condiciones iniciales entran en la primera flecha, así que al final no hay que ajustar ninguna constante.

Esa última frase es lo que hace a Laplace especialmente cómodo. En el tema 9 resolvías la general, salían dos constantes y luego había que imponer $y(0)$ e $y'(0)$ resolviendo un sistema. Aquí las condiciones iniciales están metidas desde el primer paso y lo que sale ya es la solución particular.

La tabla, que es lo que de verdad se usa

La definición se usa una vez, para demostrar dos o tres casos. Luego se trabaja con la tabla y con dos propiedades.

$f(t)$	$F(s)$
$1$	$\dfrac{1}{s}$
$t^{n}$	$\dfrac{n!}{s^{n+1}}$
$e^{at}$	$\dfrac{1}{s-a}$
$\text{sen}\,at$	$\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}$
$\cos at$	$\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}$

Y las dos propiedades que resuelven casi todo lo demás —los enunciados las llaman teoremas de traslación, y son las dos únicas que hay que saberse además de la tabla:

Traslación en $s$ : multiplicar por $e^{at}$ en $t$ es desplazar la $s$ . $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$ . Así, $e^{-2t}\text{sen}\,3t$ no necesita entrada propia: se coge la del seno y se cambia $s$ por $s+2$ .
Traslación en $t$ : retrasar la función es multiplicar por una exponencial. $\mathcal{L}\{f(t-a)\,u(t-a)\} = e^{-as}F(s)$ . Es la que aparece cuando el enunciado define la función a trozos, con un 0 al principio.
Derivar la transformada: multiplicar por $t$ en el dominio de $t$ es derivar en el de $s$ , con un signo menos. $\mathcal{L}\{t\,f(t)\} = -F'(s)$ , y en general $\mathcal{L}\{t^{n}f(t)\} = (-1)^{n}F^{(n)}(s)$ . Esta es la menos conocida de las tres y tiene su propio apartado más abajo, porque es la que resuelve las ecuaciones con coeficientes variables.

Ver un e⁻ᵃˢ y no reconocer un retraso

Cuando en la transformada inversa aparece un factor $e^{-2s}$ , no se toca: no es parte de la fracción y no entra en las fracciones simples.

Lo que dice es que la respuesta está retrasada dos unidades: se antitransforma el resto como si el factor no estuviera, y al final se sustituye $t$ por $t-2$ y se multiplica por el escalón $u(t-2)$ .

Meterlo en las fracciones simples es el error que más descoloca del tema, porque produce un sinsentido algebraico sin avisar.

El escalón, que es como se escribe «a partir de»

La tabla de arriba usa una función que no se ha presentado, y conviene hacerlo porque sin ella no se puede escribir la mitad de los enunciados. La función escalón unidad —o escalón de Heaviside— vale cero hasta un instante y uno a partir de él:

u(t-a)= \begin{cases} 0 & t<a\\ 1 & t\ge a \end{cases}

No sirve para calcular: sirve para escribir. Multiplicar cualquier función por $u(t-a)$ es decir «esto no existe hasta el instante $a$ », y eso convierte una definición a trozos en una sola fórmula, que es lo que la transformada necesita.

f(t)= \begin{cases} 0 & t<2\\ \cos(t-2) & t\ge2 \end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad f(t)=\cos(t-2)\,u(t-2)

El escalón no calcula nada: traduce. Un enunciado que dice «la fuerza empieza a actuar en el segundo dos» se convierte en una sola fórmula, y esa fórmula sí tiene transformada de una línea.

Y con eso, la traslación en $t$ deja de ser una regla que memorizar:

\mathcal{L}\{\cos(t-2)\,u(t-2)\}=e^{-2s}\cdot\frac{s}{s^{2}+1}

El $e^{-2s}$ es el retraso, y el resto es la transformada de siempre.

Escribir cos t · u(t−2) cuando el enunciado dice cos(t−2)

Son dos funciones distintas y la diferencia es de un examen entero. $\cos(t-2)\,u(t-2)$ es un coseno que empieza en el instante 2 valiendo 1; $\cos t\cdot u(t-2)$ es un coseno de siempre al que se le ha borrado el principio, y en $t=2$ vale $\cos 2\approx-0{,}42$ .

La fórmula $e^{-as}F(s)$ solo vale para la primera. Si el enunciado te da la segunda, hay que reescribirla: $\cos t=\cos\bigl((t-2)+2\bigr)$ y se desarrolla el coseno de la suma. Es más largo, y por eso los enunciados casi siempre eligen la primera — pero conviene mirar cuál te han dado antes de aplicar la regla.

Volver: la inversa por fracciones simples

Al despejar $Y(s)$ casi siempre queda un cociente de polinomios, y la técnica para deshacerlo es la de siempre: descomponer en fracciones simples hasta reconocer cada trozo en la tabla.

Y(s) = \frac{3s}{s^{2}-s-6} = \frac{3s}{(s-3)(s+2)} = \frac{A}{s-3}+\frac{B}{s+2} \;\longrightarrow\; Ae^{3t}+Be^{-2t}

Los tres casos que salen, y qué hay que reconocer en cada uno:

denominador	qué sale
raíces reales distintas	exponenciales
raíz real doble	$e^{at}$ y $t\,e^{at}$
no factoriza ( $s^{2}+2s+5$ )	senos y cosenos

El tercero es el que se atasca. Un denominador de segundo grado sin raíces reales no se factoriza: se completa el cuadrado.

\frac{2s+2}{s^{2}+2s+5} = \frac{2(s+1)}{(s+1)^{2}+4} \;\longrightarrow\; 2e^{-t}\cos 2t

Reconocer ahí la forma «coseno trasladado» es lo que separa el ejercicio hecho del ejercicio atascado.

Para qué compensa de verdad

Laplace no se usa para resolver una separable, que sale antes a mano. Se usa en tres sitios donde los métodos del tema 9 se atascan, y esos tres son los que caen:

Y dos palabras del tema 9 que aquí se dan por sabidas. Varios de estos ejercicios comparan el resultado con lo que habrían dado los coeficientes indeterminados —probar una solución particular «parecida» al segundo miembro— y alguno cae en resonancia, que es cuando esa particular ya resuelve la homogénea y hay que multiplicarla por $t$ . Las dos están explicadas en el tema 9, en el apartado de segundo orden, y conviene tenerlas frescas antes de empezar aquí: Laplace las esquiva —no hay que elegir ninguna forma de prueba, la resonancia sale sola como una raíz doble del denominador— pero los enunciados las nombran.

1 · Sistemas de ecuaciones diferenciales. Dos funciones incógnita entrelazadas:

\begin{cases} x' + y = 2\\ y' + x = t \end{cases}

Al transformar se convierte en un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas $X(s)$ e $Y(s)$ , que se resuelve por reducción como cualquier sistema. Sin Laplace hay que derivar y sustituir, y es mucho más largo.

Y hay un movimiento que conviene tener visto, porque un examen lo pidió explícitamente: una ecuación de segundo orden se puede convertir en un sistema de dos de primer orden llamando $u=y$ y $v=y'$ . Entonces $u'=v$ y la ecuación original se convierte en la segunda fila. Sirve para comprobar un resultado por otro camino, y es el paso estándar para pasar de orden $n$ a un sistema de $n$ ecuaciones.

2 · Segundos miembros a trozos. Una fuerza que se enciende en $t=2$ y antes no existe. En el tema 9 habría que resolver por tramos y pegar; aquí es un factor $e^{-2s}$ y ya está.

3 · Ecuaciones integrales. En una ecuación integral la incógnita está dentro de una integral, y a veces también fuera —entonces se llama íntegro-diferencial—:

y(t) = t + \int_{0}^{t}\text{sen}(t-u)\,y(u)\,du

Esa integral es una convolución, y Laplace la convierte en un producto:

\mathcal{L}\{f*g\} = F(s)\cdot G(s)

Así que la ecuación pasa a ser $Y = \frac{1}{s^{2}} + \frac{1}{s^{2}+1}Y$ , se despeja $Y$ y se vuelve. Sin Laplace no hay forma razonable de atacarla, y por eso este tipo de ejercicio aparece siempre que aparece Laplace.

Intentar la convolución sin reconocerla

La señal es una integral de $0$ a $t$ donde el integrando lleva $(t-u)$ y $u$ en factores separados. Eso es una convolución, aunque el enunciado no use la palabra.

Si intentas integrar eso directamente te bloqueas, porque la incógnita $y$ está dentro de la integral. El movimiento correcto es transformar toda la ecuación y usar que la transformada de una convolución es el producto de las transformadas.

Cuando la t multiplica: coeficientes variables

Los métodos del tema 9 dan por hecho que los coeficientes son constantes. En cuanto aparece una $t$ delante de una derivada — $t\,y''$ , $t\,y'$ — se acaban todos. Y ahí entra la tercera propiedad:

\mathcal{L}\{t\,f(t)\}=-F'(s)

Multiplicar por $t$ es derivar la transformada. Eso convierte la ecuación algebraica en una ecuación diferencial de primer orden en $Y(s)$ — que suena peor de lo que es, porque de primer orden y separable se resuelve en dos líneas.

El caso de 2025-2026, entero. $t\,y''+(1-2t)\,y'-2y=0$ , con $y(0)=1$ e $y'(0)=2$ . Se transforma término a término, derivando donde hay una $t$ :

\mathcal{L}\{t\,y''\}=-\frac{d}{ds}\Bigl(s^{2}Y-s\,y(0)-y'(0)\Bigr) =-2sY-s^{2}Y'+y(0)

\mathcal{L}\{-2t\,y'\}=2\frac{d}{ds}\Bigl(sY-y(0)\Bigr)=2Y+2sY'

Sumando las cuatro piezas, los términos independientes se cancelan y queda

\left(2s-s^{2}\right)Y'-sY=0 \;\Longrightarrow\; \frac{Y'}{Y}=\frac{1}{2-s} \;\Longrightarrow\; Y=\frac{K}{s-2} \;\Longrightarrow\; y=K\,e^{2t}

Y con $y(0)=1$ sale $K=1$ , o sea $y=e^{2t}$ . Comprueba que también cumple $y'(0)=2$ : cumple las dos condiciones con una sola constante, y eso es una señal de que el camino está bien.

Olvidar el signo menos al derivar la transformada

$\mathcal{L}\{t\,f\}=-F'(s)$ , con menos. Y cuando el término lleva un coeficiente negativo delante, los dos signos se multiplican: en el ejemplo de arriba, $-2t\,y'$ da $+2\frac{d}{ds}(sY-y(0))$ , positivo.

Es el error que más se cuela en este apartado, y no avisa: la ecuación en $Y$ sigue siendo resoluble, sale otra solución igual de plausible, y solo se caza comprobando al final que la $y$ obtenida cumple la ecuación original. Hazlo siempre: sustituir cuesta treinta segundos.

La definición sí sirve para algo: calcular integrales imposibles

Se ha dicho arriba que la definición casi nunca se usa. Hay una excepción, y cae: leer la definición al revés para calcular una integral impropia.

\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt=F(s)

Esa igualdad, mirada de derecha a izquierda, dice que cualquier integral con la forma «algo por $e^{-st}$ , de cero a infinito» es un valor de la tabla. No hay que integrar por partes diecisiete veces: hay que reconocer la $f$ , buscar su $F$ y evaluar.

El de 2015-2016. $\displaystyle\int_{0}^{\infty}t^{17}e^{-5t}\,dt$ . Aquí $f(t)=t^{17}$ y $s=5$ , y la tabla da $\mathcal{L}\{t^{n}\}=n!/s^{n+1}$ :

\int_{0}^{\infty}t^{17}e^{-5t}\,dt=\frac{17!}{5^{18}}\approx93{,}24

Una línea. Por partes serían diecisiete integraciones encadenadas, y en un examen sin calculadora ni siquiera hay que evaluar el cociente: la respuesta es $17!/5^{18}$ , y dejarla así es una respuesta completa.

Lo que hay que llevar sabido

lo que ves	qué significa
$y''$ , $y'$	$s^{2}Y - sy(0)-y'(0)$ , $\;sY-y(0)$
un sistema de dos EDOs	sistema lineal en $X(s)$ , $Y(s)$
$\int_0^t f(t-u)g(u)\,du$	convolución → producto $F\cdot G$
$e^{-as}$ en la inversa	retraso: $f(t-a)\,u(t-a)$
$e^{at}$ multiplicando	traslación en $s$ : $F(s-a)$
denominador que no factoriza	completa el cuadrado → seno o coseno
$\dfrac{1}{(s-a)^{2}}$	$t\,e^{at}$
una $t$ delante de $y'$ o $y''$	deriva la transformada: $-F'(s)$ , y sale una EDO en $Y(s)$
una función definida a trozos	escríbela con el escalón $u(t-a)$
$\displaystyle\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$	no integres: es $F(s)$ , búscalo en la tabla

Y las tres frases de COMP4:

La transformada convierte derivar en multiplicar por $s$ , y por eso una ecuación diferencial se vuelve algebraica.
Las condiciones iniciales entran al transformar, no al final: lo que sale ya es la solución particular.
La transformada de una convolución es el producto de las transformadas, y eso es lo que hace resolubles las ecuaciones integrales.

Practica lo que acabas de leer

La primera transformada, con la tabla

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La primera transformada, con la tabla

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la transformada de Laplace de $f(t) = 3 + 2t - e^{4t}$ .

La transformada F(s).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué se puede transformar cada sumando por separado?
02
La transformada del término lineal
COMP2
Con $\mathcal{L}\{t^{n}\} = n!/s^{n+1}$ , ¿cuánto vale el numerador de $\mathcal{L}\{2t\}$ , si el denominador es $s^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por linealidad, se transforma cada sumando por separado.
2. $\mathcal{L}\{3\} = 3/s$ , porque $\mathcal{L}\{1\}=1/s$ .
3. $\mathcal{L}\{2t\} = 2/s^{2}$ .
4. $\mathcal{L}\{e^{4t}\} = 1/(s-4)$ , con el signo cambiado en el denominador.

Resolución completa

La linealidad hace todo el trabajo. La transformada es una integral, y las integrales reparten sumas y sacan constantes:

\mathcal{L}\{3 + 2t - e^{4t}\} = 3\,\mathcal{L}\{1\} + 2\,\mathcal{L}\{t\} - \mathcal{L}\{e^{4t}\}

Cada trozo, de la tabla:

término	transformada
$3$	$3/s$
$2t$	$2/s^{2}$
$e^{4t}$	$1/(s-4)$

\boxed{\;F(s) = \frac{3}{s} + \frac{2}{s^{2}} - \frac{1}{s-4}\;}

El signo del denominador, que es lo único con trampa aquí. La definición lleva $e^{-st}$ , y al multiplicar por $e^{4t}$ el exponente queda $-(s-4)t$ : por eso sale $s-4$ y no $s+4$ . Si te sale con el signo cambiado, la antitransformada te dará $e^{-4t}$ , que crece o decrece justo al revés.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Volver, descomponiendo en fracciones simples

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la transformada inversa de $F(s) = \dfrac{3s}{s^{2}-s-6}$ .

La función f(t) cuya transformada es F(s).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el primer paso para antitransformar un cociente de polinomios?
02
La raíz positiva del denominador
COMP2
¿Cuál es la raíz positiva de $s^{2}-s-6=0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de la primera fracción
COMP2
En $\dfrac{3s}{(s-3)(s+2)} = \dfrac{A}{s-3}+\dfrac{B}{s+2}$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (9/5) o con un decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El denominador factoriza como $(s-3)(s+2)$ .
2. Se descompone en $\frac{9/5}{s-3}+\frac{6/5}{s+2}$ .
3. Cada trozo se reconoce en la tabla como una exponencial.
4. Luego $f(t) = \frac{9}{5}e^{3t}+\frac{6}{5}e^{-2t}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Escribir con el escalón una función que empieza tarde

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Escribir con la función escalón, y transformar,

f(t)= \begin{cases} 0 & t<3\\ \left(t-3\right)^{2} & t\ge3 \end{cases}

La función en una sola fórmula, y su transformada.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Para qué sirve multiplicar por $u(t-3)$ ?
02
El retraso
COMP2
La transformada es $e^{-as}\cdot\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ . ¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El numerador
COMP2
En $e^{-3s}\cdot\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ con $n=2$ , ¿cuánto vale el numerador $n!$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La función vale cero hasta $t=3$ , así que se escribe multiplicando por el escalón: $f(t)=\left(t-3\right)^{2}u(t-3)$ .
2. Tiene exactamente la forma $g(t-a)\,u(t-a)$ con $g(t)=t^{2}$ y $a=3$ , así que se le puede aplicar la traslación en $t$ .
3. Como $\mathcal{L}\{t^{2}\}=2/s^{3}$ , la transformada es $e^{-3s}\cdot 2/s^{3}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El rodeo completo, de la EDO a la solución

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver $y' + 3y = 0$ con $y(0) = 2$ usando la transformada de Laplace.

La función y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
Al transformar $y'$ , ¿qué aparece además de $sY$ ?
02
El polo de Y(s)
COMP2
Despejando queda $Y(s) = \dfrac{2}{s+3}$ . ¿En qué valor de $s$ se anula su denominador?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Transformando: $sY - 2 + 3Y = 0$ , con el 2 que es $y(0)$ .
2. Agrupando: $Y(s+3) = 2$ , y de ahí $Y = \dfrac{2}{s+3}$ .
3. De la tabla, $\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{1}{s-a}\right]=e^{at}$ con $a=-3$ .
4. Luego $y(t) = 2e^{-3t}$ , y en $t=0$ vale 2 ✓

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería, sobre la propiedad de que multiplicar por te equivale a derivar la transformada y cambiarle el signo, del tema 10. Es el peldaño que faltaba antes del ejercicio de coeficientes variables del examen de 2025-2026. No es de examen ni del boletín.

Multiplicar por t es derivar la transformada

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Comprobar, derivando la transformada, que $\mathcal{L}\{t\,e^{3t}\}$ coincide con lo que dice la tabla.

b) Resolver con Laplace la ecuación $t\,y' - y = 0$ sabiendo que $y'(0) = 2$ .

La transformada de t por una exponencial, y la solución de la ecuación.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué le hace a la transformada multiplicar la función por $t$ ?
02
La comprobación con la exponencial
COMP2
Sabiendo que $\mathcal{L}\{e^{3t}\} = 1/(s-3)$ , ¿cuánto vale $\mathcal{L}\{t\,e^{3t}\}$ en $s=5$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, en forma exacta o decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El exponente que sale de la ecuación
COMP2
Al transformar $t\,y' - y = 0$ queda una ecuación en $Y$ cuya solución es $Y = K/s^{n}$ . ¿Cuánto vale $n$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La solución
COMP2
Antitransformando y usando $y'(0)=2$ , ¿cuánto vale $y(4)$ ?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con una $t$ delante de la derivada los métodos del tema 9 no arrancan, y Laplace sí, porque tiene una propiedad para eso.
2. Esa propiedad convierte la ecuación algebraica en $Y$ en una ecuación diferencial de primer orden en $Y(s)$ , que es separable.
3. Sale $Y = K/s^{2}$ , o sea $y = Kt$ , y la constante la fija $y'(0)$ porque $y(0)$ se perdió al derivar.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 10.10a · Problemas complementarios, tema 10 · Cálculo, UPV/EHU (2016/2017 7E)

Un sistema de dos EDOs, resuelto con Laplace

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando la transformada de Laplace resolver el sistema de EDOs

\begin{cases} x' + y = 2\\ y' + x = t \end{cases} \qquad x(0)=1,\; y(0)=0

Las funciones x(t) e y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿En qué se convierte un sistema de dos EDOs al transformarlo?
02
El término independiente de la primera ecuación
COMP2
Transformando $x'+y=2$ con $x(0)=1$ , queda $sX - 1 + Y = 2/s$ . ¿Cuánto vale el lado derecho si lo pasamos todo junto, es decir $sX+Y = 2/s + 1$ , evaluado en $s=2$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el procedimiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se transforman las dos ecuaciones, metiendo las condiciones iniciales.
2. Queda el sistema $sX+Y = 2/s+1$ y $X+sY = 1/s^{2}$ .
3. Se resuelve por reducción, despejando $X(s)$ e $Y(s)$ .
4. Se antitransforma cada una por fracciones simples.

Resolución completa

Transformar las dos ecuaciones, con las condiciones iniciales dentro:

\mathcal{L}\{x'\} = sX - x(0) = sX-1, \qquad \mathcal{L}\{y'\} = sY - y(0) = sY

\begin{cases} sX - 1 + Y = \dfrac{2}{s}\\[6pt] sY + X = \dfrac{1}{s^{2}} \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{cases} sX + Y = \dfrac{2}{s}+1\\[6pt] X + sY = \dfrac{1}{s^{2}} \end{cases}

Ya no hay derivadas. Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, $X(s)$ e $Y(s)$ , y se resuelve por reducción.

Multiplicando la segunda por $s$ y restando:

(s^{2}-1)\,Y = \frac{1}{s} - \frac{2}{s} - 1 \qquad\Longrightarrow\qquad Y(s) = \frac{-1/s - 1}{s^{2}-1}

El $(1+s)$ se simplifica y queda mucho más corto de lo que parecía:

Y(s) = \frac{1+s}{s\left(1-s^{2}\right)} = \frac{1+s}{s(1-s)(1+s)} = \frac{1}{s(1-s)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s-1}

Volviendo:

y(t) = 1 - e^{t}

Y $X(s)$ sale de la segunda ecuación, $X = \dfrac{1}{s^{2}} - sY$ :

X(s) = \frac{1}{s^{2}} - \frac{s}{s(1-s)} = \frac{1}{s^{2}} + \frac{1}{s-1} \qquad\Longrightarrow\qquad x(t) = t + e^{t}

\boxed{\;x(t) = t + e^{t}, \qquad y(t) = 1 - e^{t}\;}

La comprobación, y aquí sí sirve porque son dos ecuaciones: $x(0)=1$ ✓, $y(0)=0$ ✓, $x'+y = (1+e^{t}) + (1-e^{t}) = 2$ ✓ y $y'+x = -e^{t} + t + e^{t} = t$ ✓

Lo que este ejercicio evalúa no es el álgebra del sistema, que es de bachillerato. Es reconocer que un sistema acoplado de ecuaciones diferenciales se desacopla al transformarlo — y que las condiciones iniciales viajan dentro y no hay que volver a por ellas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 10.12d · Problemas complementarios, tema 10 · Cálculo, UPV/EHU (2015/2016 7E)

Una ecuación integral, y la convolución

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando la transformada de Laplace, resolver la ecuación integral

y(t) = t + \int_{0}^{t}\text{sen}(t-u)\,y(u)\,du

La función y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
La integral $\int_0^t \text{sen}(t-u)\,y(u)\,du$ tiene una forma reconocible. ¿Cuál?
02
Despejar la transformada
COMP2
La ecuación transformada es $Y = \frac{1}{s^{2}} + \frac{1}{s^{2}+1}Y$ . Al despejar sale $Y = \frac{s^{2}+1}{s^{4}}$ . ¿Cuánto vale $Y$ en $s = 1$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La integral es una convolución, así que su transformada es el producto.
2. $\mathcal{L}\{\text{sen}\,t\} = \frac{1}{s^{2}+1}$ y $\mathcal{L}\{t\} = \frac{1}{s^{2}}$ .
3. La ecuación transformada queda $Y = \frac{1}{s^{2}} + \frac{1}{s^{2}+1}Y$ .
4. Despejando, $Y = \frac{s^{2}+1}{s^{4}} = \frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s^{4}}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 10.7a · Problemas complementarios, tema 10 · Cálculo, UPV/EHU

Un retraso escondido en una exponencial

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando la propiedad de traslación del tiempo, calcular la transformada inversa de Laplace de

F(s) = \frac{2(s-1)\,e^{-2s}}{s^{2}-2s+2}

La función f(t), definida a trozos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se hace con el factor $e^{-2s}$ ?
02
Completar el cuadrado
COMP2
El denominador $s^{2}-2s+2$ no factoriza. Escrito como $(s-a)^{2}+b^{2}$ , ¿cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se aparta el factor $e^{-2s}$ , que solo indica un retraso.
2. El resto, $\dfrac{2(s-1)}{(s-1)^{2}+1}$ , es la transformada de $2e^{t}\cos t$ .
3. El retraso convierte eso en $2e^{t-2}\cos(t-2)$ , válido a partir de $t=2$ .
4. Antes de $t=2$ la función vale 0, porque el escalón todavía no se ha encendido.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 10.10c · Problemas complementarios, tema 10 · Cálculo, UPV/EHU (2018/2019 7E)

Un sistema cuya solución gira

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando la transformada de Laplace resolver el sistema

\begin{cases} x' = x + 2y\\ y' = -2x + y \end{cases} \qquad x(0)=1,\; y(0)=0

Las funciones x(t) e y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
Los coeficientes cruzados son $+2$ y $-2$ , opuestos. ¿Qué suele anunciar eso?
02
El valor inicial de x
COMP2
La solución resulta ser $x(t) = e^{t}\cos 2t$ e $y(t) = -e^{t}\,\text{sen}\,2t$ . Comprobando, ¿cuánto vale $x(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Transformando: $sX-1 = X+2Y$ y $sY-0 = -2X+Y$ .
2. Reordenando queda el sistema lineal $(s-1)X - 2Y = 1$ y $2X + (s-1)Y = 0$ .
3. Resolviéndolo, $X = \dfrac{s-1}{(s-1)^{2}+4}$ e $Y = \dfrac{-2}{(s-1)^{2}+4}$ .
4. Antitransformando sale $x = e^{t}\cos 2t$ e $y = -e^{t}\,\text{sen}\,2t$ .

Resolución completa

Transformar las dos ecuaciones, metiendo las condiciones iniciales:

\begin{cases} sX - 1 = X + 2Y\\ sY - 0 = -2X + Y \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{cases} (s-1)X - 2Y = 1\\ 2X + (s-1)Y = 0 \end{cases}

Ya no hay derivadas. Es un sistema lineal con determinante $(s-1)^{2}+4$ , y resolviéndolo:

X(s) = \frac{s-1}{(s-1)^{2}+4}, \qquad Y(s) = \frac{-2}{(s-1)^{2}+4}

Antitransformando. El $(s-1)$ es traslación en $s$ , o sea un factor $e^{t}$ ; y el 4 del denominador es $2^{2}$ , o sea frecuencia 2:

\boxed{\;x(t) = e^{t}\cos 2t, \qquad y(t) = -e^{t}\,\text{sen}\,2t\;}

La comprobación: $x(0)=1$ e $y(0)=0$ . ✓

Cuidado con qué compruebas. Las condiciones iniciales y la relación $x^{2}+y^{2} = e^{2t}$ se cumplen igual con $y = +e^{t}\,\text{sen}\,2t$ , que es el error más fácil de cometer aquí: el menos de $Y = \frac{-2}{(s-1)^{2}+4}$ se pierde al antitransformar y ninguna de esas dos comprobaciones lo delata. La única que sirve es sustituir en una de las dos ecuaciones. Con $y = -e^{t}\,\text{sen}\,2t$ :
$y' = -e^{t}\,\text{sen}\,2t - 2e^{t}\cos 2t \qquad\text{y}\qquad -2x + y = -2e^{t}\cos 2t - e^{t}\,\text{sen}\,2t$
que coinciden. Con el signo positivo, no.

Lo que dice la forma de la respuesta. $x^{2}+y^{2} = e^{2t}$ , así que el punto $(x,y)$ gira alrededor del origen alejándose: una espiral que se abre. Los signos cruzados opuestos del sistema eran la pista, y reconocerlos antes de calcular te dice qué esperar.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 10.12e · Problemas complementarios, tema 10 · Cálculo, UPV/EHU (2017/2018 6E)

Una ecuación integral cuya solución es un seno

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando la transformada de Laplace, resolver la ecuación integral

y(t) + \int_{0}^{t}(t-z)\,y(z)\,dz = t

La función y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la transformada de la convolución $\int_0^t (t-z)\,y(z)\,dz$ ?
02
Despejar Y
COMP2
La ecuación transformada es $Y + \frac{Y}{s^{2}} = \frac{1}{s^{2}}$ . Despejando sale $Y = \frac{1}{s^{2}+1}$ . ¿Cuánto vale $Y$ en $s=1$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (1/2) o con un decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La integral es la convolución de $t$ con $y$ , así que transforma en $Y/s^{2}$ .
2. La ecuación transformada queda $Y + Y/s^{2} = 1/s^{2}$ .
3. Despejando, $Y = \dfrac{1}{s^{2}+1}$ .
4. Esa es la transformada del seno, luego $y(t) = \text{sen}\,t$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 10.16 · Problemas complementarios, tema 10 · Cálculo, UPV/EHU (2023/2024 6E)

La bola que rueda por la superficie

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Considerar la superficie definida por la función $f(x,y) = 5 - \dfrac{x^{2}}{2} - y^{2}$ . Se suelta una bola en el punto $P\left(1,1,\frac{7}{2}\right)$ y rueda por la superficie hasta terminar en algún punto $S$ del plano horizontal $XY$ . La bola no está sometida a ninguna otra fuerza más que a la de la gravedad. Se pide:

a) Plantear la ecuación diferencial y la condición inicial que debe cumplir la trayectoria de la bola. b) Resolver dicha ecuación. c) Determinar el punto $S$ .

La EDO de la trayectoria, su solución y el punto final.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Rueda por la superficie sometida solo a la gravedad». ¿Qué dirección sigue su proyección en el plano $XY$ ?
02
La constante de la trayectoria
COMP2
La EDO sale $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2y}{x}$ , cuya solución general es $y = Kx^{2}$ . Con la bola soltada en $(1,1)$ , ¿cuánto vale $K$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Dónde toca el suelo
COMP2
La bola para donde la superficie corta al plano $z=0$ . Sustituyendo $y=x^{2}$ en $5 - \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 0$ sale $x^{2}=2$ . ¿Cuánto vale la coordenada $y$ del punto $S$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) La bola sigue $-\nabla f = (x,\,2y)$ , así que $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2y}{x}$ , con $y(1)=1$ .
2. b) Es separable: $\dfrac{dy}{y} = \dfrac{2\,dx}{x}$ , y sale $y = Kx^{2}$ .
3. La condición inicial da $K=1$ , luego la trayectoria es $y=x^{2}$ .
4. c) Sustituyendo en $z=0$ sale $x=\sqrt2$ , y por tanto $S=(\sqrt2,\,2,\,0)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Transformada de Laplace

El rodeo, que es la idea entera

La tabla, que es lo que de verdad se usa

El escalón, que es como se escribe «a partir de»

Volver: la inversa por fracciones simples

Para qué compensa de verdad

Cuando la t multiplica: coeficientes variables

La definición sí sirve para algo: calcular integrales imposibles

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

La transformada del término lineal

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La raíz positiva del denominador

El coeficiente de la primera fracción

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El retraso

El numerador

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El polo de Y(s)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La comprobación con la exponencial

El exponente que sale de la ecuación

La solución

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El término independiente de la primera ecuación

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Despejar la transformada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Completar el cuadrado

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor inicial de x

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Despejar Y

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La constante de la trayectoria

Dónde toca el suelo

Justificar el argumento