Cálculo · tema 09

Ecuaciones diferenciales

Clasificar antes de resolver, EDOs de primer y segundo orden, estudio cualitativo sin resolver, y cómo se traduce un enunciado en una ecuación.

Una ecuación normal tiene por incógnita un número. Una ecuación diferencial tiene por incógnita una función, y lo que se conoce es una relación entre esa función y sus derivadas.

y' = -0{,}05\,y + 1000

Eso no pregunta cuánto vale $y$ . Pregunta qué función cumple que su ritmo de cambio sea ese. Y aparece en cuanto un enunciado dice «la tasa de crecimiento es proporcional a…», que es como se describe medio mundo físico: un embalse que recibe lluvia y se evapora, una barra que se calienta, una epidemia, un paracaidista frenado por el aire.

Este tema tiene dos partes que se evalúan por separado y conviene no mezclar:

Resolver una EDO que te dan. Es mecánico, y todo el trabajo está en clasificarla bien, porque cada tipo tiene su método.
Escribir la EDO a partir de un enunciado en palabras. Es lo que de verdad distingue, y es donde está COMP4.

Lo primero es clasificar, y eso decide todo

No hay un método universal. Hay cinco tipos de EDO de primer orden y cada uno tiene el suyo, así que antes de tocar nada hay que decidir cuál es.

El orden en que se mira no es arbitrario: se prueba lo barato primero.

El árbol se recorre de arriba abajo y se para en el primer sí. Clasificar mal no da un resultado equivocado: da un callejón sin salida, y ahí se pierde el tiempo del examen.

Separables, o de variables separables

La más fácil y la más frecuente. Si consigues poner todas las $y$ a un lado y todas las $x$ al otro, se integran los dos lados y ya está:

y' = -xy \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{y} = -x\,dx \;\Longrightarrow\; \ln|y| = -\frac{x^{2}}{2}+C \;\Longrightarrow\; y = K e^{-x^{2}/2}

Perder la constante, o ponerla en el sitio equivocado

Dos cosas que cuestan puntos y son la misma:

La constante va al integrar, no al final. Si escribes $\ln|y| = -x^{2}/2$ y luego «le sumas la $C$ » a la solución ya despejada, sale $y = e^{-x^{2}/2}+C$ , que es otra función distinta. La constante entra dentro de la exponencial y sale como factor: $y = Ke^{-x^{2}/2}$ .

Y la solución constante puede perderse. Al dividir entre $y$ para separar, estás suponiendo $y\neq 0$ . Si $y=0$ también resuelve la EDO —y aquí lo hace—, es una solución más. En los enunciados con condición inicial no suele importar, pero decirlo suma.

Homogéneas

Si al escribir la EDO todo se puede expresar en función del cociente $y/x$ , el cambio $u = y/x$ —o sea $y = ux$ , $y' = u'x+u$ — la convierte en separable.

La señal para reconocerla: numerador y denominador tienen todos sus términos del mismo grado. En $y' = \frac{2xy}{3x^{2}-y^{2}}$ , arriba grado 2 y abajo grado 2. Homogénea.

Exactas, y el factor integrante

Escrita como $P\,dx + Q\,dy = 0$ , la EDO es exacta si

\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

y entonces se resuelve exactamente igual que un campo conservativo del tema 8: se busca la función $F$ con $\nabla F = (P,Q)$ , y la solución es $F(x,y)=C$ .

No es un parecido: es el mismo teorema. Una EDO exacta es un campo conservativo, y las curvas solución son sus curvas de nivel. Si has entendido el tema 8, este apartado ya lo sabes.

Y si no es exacta, a veces se arregla multiplicando toda la ecuación por un factor integrante $g(x,y)$ . En el examen casi siempre te lo dan: si el enunciado incluye un $g(x,y)$ que parece sobrar, es la pista de que la EDO no es exacta y hay que multiplicar antes de nada.

Lineales

Las de la forma

y' + p(x)\,y = q(x)

Se multiplican por el factor $\mu = e^{\int p\,dx}$ , que convierte el lado izquierdo en la derivada de un producto:

(\mu y)' = \mu q \qquad\Longrightarrow\qquad y = \frac{1}{\mu}\int \mu\,q\,dx

Es el método que resuelve casi todos los problemas aplicados, porque «tasa de cambio proporcional a lo que hay, más una aportación constante» es exactamente una EDO lineal.

Segundo orden: dos piezas que se suman

Para $y'' + a y' + b y = f(x)$ con coeficientes constantes, la solución tiene siempre dos partes:

y = y_h + y_p

La homogénea $y_h$ sale de la ecuación característica $r^{2}+ar+b=0$ :

raíces	solución homogénea
dos reales distintas $r_1, r_2$	$C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$
una real doble $r$	$(C_1 + C_2x)\,e^{rx}$
complejas $\alpha\pm\beta i$	$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\,\text{sen}\,\beta x)$

La particular $y_p$ se busca «pareciéndose» a $f(x)$ : si $f$ es un polinomio, se prueba un polinomio del mismo grado; si es $e^{kx}$ , se prueba $Ae^{kx}$ ; si es seno o coseno, se prueba $A\cos + B\,\text{sen}$ — las dos, aunque solo aparezca una.

Ese método tiene nombre y conviene saberlo, porque los enunciados lo usan: se llama método de los coeficientes indeterminados, y los coeficientes que se determinan son esas $A$ y $B$ que se prueban. Solo funciona cuando $f(x)$ es de la familia corta —polinomio, exponencial, seno, coseno, y productos de esas—, que es justamente la que cae en el examen.

Probar una particular que ya está en la homogénea

Si $f(x) = e^{3x}$ y resulta que $r=3$ es raíz de la característica, probar $Ae^{3x}$ no puede funcionar: esa función ya resuelve la ecuación homogénea, así que al sustituirla sale $0 = e^{3x}$ , un absurdo.

La cura es multiplicar por $x$ : se prueba $Axe^{3x}$ , y si la raíz era doble, $Ax^{2}e^{3x}$ .

Es el fallo más común del bloque y se detecta antes de calcular nada: compara siempre las raíces de la característica con lo que hay en $f(x)$ .

A esta situación se la llama resonancia —se dice que el segundo miembro resuena con la homogénea—, y es la palabra que usan las resoluciones y los libros. El nombre viene de la física: si el segundo miembro empuja al sistema con su propia frecuencia, la respuesta no se queda acotada. Con $y''+9y = 3\cos 3x$ , la homogénea ya oscila a frecuencia $3$ y el empujón llega también a frecuencia $3$ : la particular sale $\frac{x}{2}\,\text{sen}\,3x$ , y ese factor $x$ crece sin límite aunque la fuerza esté acotada entre $-3$ y $3$ . Es lo que hace vibrar un puente al paso acompasado de la gente.

Las dos oscilan tres veces por cada vuelta completa, y esa coincidencia es toda la resonancia. Lo que cambia es la amplitud: arriba se repite igual para siempre, abajo se abre en abanico porque el factor x que hubo que añadir a la particular no está acotado. Y no hace falta resolver nada para verlo venir: basta comparar las raíces de la característica con lo que hay en el segundo miembro.

Cuando los coeficientes indeterminados no valen: variación de constantes

Si $f(x)$ no es de esa familia corta —un $\dfrac{1}{\cos x}$ , un $\ln x$ , un $\tan x$ — no hay nada «parecido» que probar, y el método anterior no arranca. Entonces se usa la variación de las constantes —que en muchos enunciados y en varios exámenes aparece con el otro nombre, variación de parámetros: es el mismo método—: se parte de la homogénea

y_h = C_1 y_1 + C_2 y_2

y se dejan variar las constantes, es decir, se busca la particular como

y_p = u_1(x)\,y_1 + u_2(x)\,y_2

con $u_1$ y $u_2$ funciones por determinar. Imponiendo la condición auxiliar $u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0$ —que es lo que hace que el sistema quede de primer orden— las derivadas salen de

\begin{cases} u_1'\,y_1 + u_2'\,y_2 = 0\\[2pt] u_1'\,y_1' + u_2'\,y_2' = f(x) \end{cases}

y de ahí, integrando, $u_1$ y $u_2$ . El determinante del sistema es el wronskiano $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ , que no se anula precisamente porque $y_1$ e $y_2$ son independientes.

Cuándo usar cada uno, que es lo único que hay que decidir en el examen:

$f(x)$ es…	método
polinomio, $e^{kx}$ , $\cos$ , $\text{sen}$ , o producto de ellos	coeficientes indeterminados
cualquier otra cosa	variación de las constantes

En la práctica casi todos los exámenes caen en la primera fila. La segunda está aquí porque cuando cae, quien solo conoce el método de probar se queda sin empezar.

Estudiar la solución sin resolverla

Este bloque cae solo, y es el que más desconcierta porque parece que falta un dato. No falta: la propia EDO dice cómo crece la solución.

y' = -xy, \qquad y(0)=3

No hace falta resolverla para saber dónde crece $y$ . La EDO ya te da $y'$ : basta estudiar el signo de $-xy$ . Y para la concavidad, se deriva la ecuación:

y'' = \frac{d}{dx}(-xy) = -y - x\,y' = -y - x(-xy) = y(x^{2}-1)

que también sale en función de $x$ e $y$ , sin haber resuelto nada.

Los segmentos son la pendiente que la ecuación asigna a cada punto, dibujados sin resolver nada. A la izquierda del eje vertical la solución sube; a la derecha baja; y sobre el eje la pendiente es cero, que es donde está el máximo. La curva verde es la que pasa por el punto marcado, y lo único que hace es seguir las pendientes que ya estaban ahí.

Y para el polinomio de Taylor en $a=0$ , que es la otra mitad de este ejercicio, tampoco: con $y(0)=3$ dado,

y'(0) = -0\cdot 3 = 0, \qquad y''(0) = 3(0-1) = -3

P_2(x) = 3 + 0\cdot x - \frac{3}{2}x^{2}

Por qué esta pregunta existe. Casi ninguna EDO real se puede resolver con fórmula, y sin embargo se necesita saber cómo se comporta la solución. Este ejercicio entrena exactamente eso: sacarle información a una ecuación que no sabes resolver. Y de paso reutiliza Taylor, del tema 4.

Traducir un enunciado en una ecuación

La otra mitad del tema, y la que más se falla. Los enunciados siempre dicen lo mismo con distintas palabras, y el diccionario es corto:

lo que dice el enunciado	lo que se escribe
«la tasa de cambio de $y$ »	$y'$ o $\dfrac{dy}{dt}$
«proporcional a $A$ »	$= k\,A$
«proporcional al producto de $A$ y $B$ »	$= k\,A\,B$
«recibe 400 al mes»	$+\,400$
«pierde el 2 % de lo que hay»	$-\,0{,}02\,N$
«la diferencia con la temperatura ambiente»	$(T - T_{\text{amb}})$
«al principio había…»	la condición inicial

Con eso, «un almacén retira el 2 % de sus libros y recibe 400 nuevos» es

N'(t) = 400 - 0{,}02\,N(t)

y ya está planteado. Ese paso es el que puntúa; resolverla después es una lineal de las de siempre.

Y casi todos estos problemas acaban preguntando «¿qué pasa a largo plazo?». No hace falta resolver para contestar: el equilibrio está donde $y'=0$ . Aquí, $400 = 0{,}02N$ , o sea $N = 20\,000$ libros. La solución tiende a ese valor venga de donde venga.

Los tres modelos que caen con nombre propio, y conviene reconocerlos por el enunciado antes de plantear nada:

enunciado	ecuación	cómo se llama
«proporcional a la diferencia con la temperatura ambiente»	$T' = -k\,(T - T_{\text{amb}})$	ley de enfriamiento de Newton
«proporcional al producto de los contagiados y los no contagiados»	$P' = k\,P\,(M - P)$	ecuación logística
«proporcional a lo que hay»	$y' = k\,y$	crecimiento o desintegración exponencial

Las dos primeras son lineales solo en apariencia: la de Newton sí es lineal —y también separable—, y la logística no lo es, pero es separable y se integra descomponiendo en fracciones simples, con el truco de que las dos partes suman $M$ :

\frac{1}{P(M-P)} = \frac{1}{M}\left(\frac{1}{P} + \frac{1}{M-P}\right)

Su solución tiene siempre la misma forma, y merece la pena reconocerla:

P(t) = \frac{M}{1 + A\,e^{-kMt}}

Una ese que sale despacio, acelera hasta la mitad de la población —ahí está su punto de inflexión— y luego frena acercándose a $M$ sin llegar nunca. Por eso los enunciados preguntan «cuándo se contagia el 90 %» y no «cuándo se contagian todos»: la segunda pregunta no tiene respuesta.

Lo que hay que llevar sabido

pregunta	qué hacer
«resolver la EDO»	clasifica primero, con el árbol
ves un $g(x,y)$ en el enunciado	es un factor integrante: multiplica
«sin resolver la EDO, estudiar…»	el signo de $y'$ sale de la propia ecuación
«polinomio de Taylor de la solución»	deriva la EDO, evalúa en el punto
« $y'' + ay' + by = f$ »	característica, y particular parecida a $f$
la particular ya está en la homogénea	hay resonancia: multiplica por $x$
$f(x)$ no es polinomio, exponencial ni trigonométrica	variación de las constantes
«tasa proporcional a…»	traduce con el diccionario
«la diferencia con la temperatura ambiente»	ley de Newton, $T'=-k(T-T_{\text{amb}})$
«proporcional al producto de contagiados y sanos»	logística, y la solución es una ese
«¿qué pasa a largo plazo?»	resuelve $y'=0$

Y las tres frases de COMP4:

La constante entra al integrar, y en las separables suele salir como factor, no como sumando.
Una EDO exacta es un campo conservativo, y sus soluciones son las curvas de nivel del potencial.
El signo de $y'$ se lee en la propia ecuación: no hace falta resolverla para saber dónde crece la solución.

Practica lo que acabas de leer

La primera EDO, separando variables

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La primera EDO, separando variables

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la ecuación diferencial $y' = 2xy$ con la condición inicial $y(0)=5$ .

La solución particular que cumple la condición inicial.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tipo de EDO es $y' = 2xy$ ?
02
La constante de la condición inicial
COMP2
La solución general es $y = Ke^{x^{2}}$ . Con $y(0)=5$ , ¿cuánto vale $K$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se separan las variables: $\frac{dy}{y} = 2x\,dx$ .
2. Integrando los dos lados: $\ln|y| = x^{2} + C$ .
3. Despejando, $y = Ke^{x^{2}}$ , donde $K = e^{C}$ es una constante nueva.
4. Con $y(0)=5$ sale $K=5$ , luego $y = 5e^{x^{2}}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Clasificar antes de resolver

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Clasificar estas cuatro ecuaciones diferenciales y decir qué método resuelve cada una:

a) $y' = \dfrac{y}{x} - \dfrac{x}{y}$ b) $y' - 2y = x$ c) $2xy\,dx + (x^{2}+3y^{2})\,dy = 0$ d) $y' = -xe^{y}$

El tipo de cada EDO y su método.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué se clasifica antes de intentar resolver?
02
La comprobación de exactitud
COMP2
Para la c), con $P = 2xy$ y $Q = x^{2}+3y^{2}$ , ¿cuánto vale $\partial P/\partial y$ en el punto $(2,1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la clasificación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Todo depende de $y/x$ , luego es homogénea: cambio $u=y/x$ .
2. b) Tiene la forma $y^{\prime}+p(x)y=q(x)$ con $p=-2$ , luego es lineal.
3. c) $P_y = Q_x = 2x$ , luego es exacta: se busca el potencial.
4. d) Se separa como $e^{-y}dy = -x\,dx$ , luego es separable.

Resolución completa

Las cuatro casillas del árbol, una por ecuación. Es el ejercicio de COMP1 del tema.

	ecuación	tipo	método
a)	$y' = \frac{y}{x}-\frac{x}{y}$	homogénea	cambio $u = y/x$
b)	$y' - 2y = x$	lineal	factor $\mu = e^{-2x}$
c)	$2xy\,dx+(x^{2}+3y^{2})dy = 0$	exacta	busca el potencial $F$
d)	$y' = -xe^{y}$	separable	$e^{-y}dy = -x\,dx$

Cómo se reconoce cada una en dos segundos:

a) Todos los términos dependen del cociente $y/x$ . Y no es separable, aunque lo parezca: las dos variables están enredadas en los dos sumandos.
b) Está literalmente en la forma $y' + p(x)y = q(x)$ , con $p=-2$ y $q=x$ .
c) Viene escrita como $P\,dx + Q\,dy = 0$ , que es la forma en que se presentan las exactas. Se comprueba $P_y = Q_x = 2x$ . ✓
d) La $x$ y la $y$ aparecen en factores separados, así que basta pasar la exponencial dividiendo.

El orden del árbol importa. La b) también podría atacarse como separable si $q$ fuera cero, y la c) es a la vez exacta y no separable. La regla es recorrer el árbol de arriba abajo y parar en el primer sí, porque los métodos de arriba son más baratos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La lineal, y el factor que la hace integrable

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver $y' + 2y = 6$ con $y(0) = 1$ .

La solución que cumple la condición inicial.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué esta ecuación es lineal y no separable?
02
La constante de integración
COMP2
La solución general es $y = 3 + C\,e^{-2x}$ . Con $y(0)=1$ , ¿cuánto vale $C$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Está en la forma $y' + P y = Q$ con $P = 2$ , así que es lineal.
2. El factor integrante es $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$ .
3. Multiplicando por $\mu$ , el primer miembro se vuelve $(y\,e^{2x})'$ .
4. Integrando: $y\,e^{2x} = 3e^{2x} + C$ , luego $y = 3 + C e^{-2x}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Segundo orden, cuando la característica tiene dos raíces

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver $y'' - 5y' + 6y = 0$ .

La solución general.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el primer paso ante una ecuación de segundo orden con coeficientes constantes?
02
La raíz mayor
COMP2
Resolviendo $r^{2}-5r+6=0$ , ¿cuál es la raíz mayor?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se prueba $y = e^{rx}$ y se sustituye: $r^{2}e^{rx}-5re^{rx}+6e^{rx}=0$ .
2. Como $e^{rx}$ nunca vale cero, se puede dividir por él y queda $r^{2}-5r+6=0$ .
3. Las raíces son $2$ y $3$ , reales y distintas.
4. La solución general es $y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La particular, cuando el segundo miembro no resuena

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar una solución particular de $y'' - y = 3e^{2x}$ .

Una solución particular de la ecuación completa.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué se puede proponer $y_p = A e^{2x}$ sin multiplicar por $x$ ?
02
El coeficiente de la particular
COMP2
Sustituyendo $y_p = A e^{2x}$ en $y''-y = 3e^{2x}$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La característica es $r^{2}-1=0$ , con raíces $r=\pm1$ .
2. El exponente del segundo miembro es 2, que no está entre las raíces: no hay resonancia.
3. Se propone $y_p = Ae^{2x}$ y se sustituye, saliendo $3A=3$ , o sea $A=1$ .
4. La solución completa es $y = C_1e^{x}+C_2e^{-x}+e^{2x}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.1 · Problemas complementarios, tema 9 · Cálculo, UPV/EHU (2016/2017 4E AT)

Estudiar la solución sin resolver la ecuación

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $y(x)$ la solución de la EDO $y' = -xy$ .

a) Sin resolver la EDO, estudiar los intervalos de crecimiento/decrecimiento y concavidad/convexidad de la función $y$ . b) Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de la función $y(x)$ en el punto $a=0$ , sabiendo que $y(0)=3$ . c) Resolver la EDO con la condición inicial $y(0)=3$ y verificar los resultados obtenidos en el apartado a).

El estudio cualitativo, el Taylor de orden 2 y la comprobación.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Sin resolver la EDO, estudiar el crecimiento». ¿De dónde sale la información?
02
La segunda derivada
COMP2
Derivando $y' = -xy$ respecto de $x$ y sustituyendo, sale $y'' = y(x^{2}-1)$ . ¿Cuánto vale $y''(0)$ si $y(0)=3$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio del apartado a), suponiendo $y>0$ . Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $y^{\prime} = -xy$ , y con $y>0$ el signo lo decide $-x$ .
2. Luego $y$ crece para $x<0$ y decrece para $x>0$ .
3. En $x=0$ hay un máximo, porque la derivada cambia de $+$ a $-$ .
4. $y^{\prime\prime} = y(x^{2}-1)$ es negativa entre $-1$ y $1$ , y positiva fuera.

Resolución completa

a) El estudio cualitativo. La condición inicial $y(0)=3>0$ garantiza que la solución es positiva —una solución de esta EDO no puede cruzar el eje—, así que en $y' = -xy$ el signo lo pone $-x$ :

intervalo	signo de $y'$	comportamiento
$x<0$	$+$	crece
$x>0$	$-$	decrece

Y en $x=0$ hay un máximo.

Para la concavidad se deriva la ecuación:

y'' = -y - x\,y' = -y -x(-xy) = y\,(x^{2}-1)

Con $y>0$ , el signo es el de $x^{2}-1$ :

intervalo	$y''$
$x<-1$	$+$	convexa
$-1<x<1$	$-$	cóncava
$x>1$	$+$	convexa

Hay inflexiones en $x=\pm 1$ .

b) El Taylor de orden 2 en $a=0$ . Ya tenemos todo:

y(0)=3, \qquad y'(0) = -0\cdot 3 = 0, \qquad y''(0) = 3(0-1) = -3

P_2(x) = 3 + 0\cdot x - \frac{3}{2}x^{2} = 3 - \frac{3}{2}x^{2}

c) Resolviendo de verdad, que es separable:

\frac{dy}{y} = -x\,dx \;\Longrightarrow\; \ln|y| = -\frac{x^{2}}{2}+C \;\Longrightarrow\; y = Ke^{-x^{2}/2}

Con $y(0)=3$ : $\;y = 3e^{-x^{2}/2}$ .

Y ahora la verificación, que es la parte que da la nota de COMP4. Es una campana de Gauss centrada en 0: crece a la izquierda, decrece a la derecha, máximo en el origen y puntos de inflexión en $x=\pm 1$ . Coincide con todo lo del apartado a), obtenido sin resolver nada.

Por qué este ejercicio cae tanto. La inmensa mayoría de las ecuaciones diferenciales reales no tienen solución en fórmula, y aun así hay que saber si la solución crece, si se estabiliza o si se dispara. El apartado a) entrena eso; el c) demuestra que funciona.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.14 · Problemas complementarios, tema 9 · Cálculo, UPV/EHU (2020/2021 7E)

El embalse, y qué pasa a largo plazo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un embalse recibe una cantidad de agua de lluvia de 1000 litros al mes. Por otra parte, el agua se evapora con una tasa del 5 % mensual. Sabiendo que la cantidad de agua $C(t)$ del embalse en función del tiempo $t$ (medido en meses) satisface la EDO

C'(t) = 1000 - 0{,}05\,C(t)

a) Calcular la solución general de la EDO anterior. b) ¿Qué sucederá a largo plazo?

La solución general y el comportamiento asintótico.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tipo de EDO es $C' = 1000 - 0{,}05C$ ?
02
El nivel de equilibrio
COMP2
A largo plazo el embalse se estabiliza donde $C' = 0$ . ¿Cuántos litros son?
Tu respuesta al paso 2un número, en litros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Separando: $\frac{dC}{1000-0{,}05C} = dt$ .
2. Integrando y despejando sale $C(t) = 20000 + Ke^{-0{,}05t}$ .
3. Como el exponente es negativo, el término con $K$ tiende a cero.
4. b) A largo plazo el embalse se estabiliza en 20 000 litros, venga del nivel que venga.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.10d · Problemas complementarios, tema 9 · Cálculo, UPV/EHU (2018/2019 5E)

Cuando la particular ya está en la homogénea

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando el método de coeficientes indeterminados, resolver la ecuación diferencial

y'' + 25y = 4\cos 5x - 7e^{5x}

La solución general de la ecuación.

01
Reconocer el camino
COMP1
La característica es $r^{2}+25=0$ , con raíces $\pm 5i$ , así que la homogénea lleva $\cos 5x$ y $\text{sen}\,5x$ . ¿Qué implica eso para la particular?
02
El coeficiente del término resonante
COMP2
Probando $y_p = x\,(A\cos 5x + B\,\text{sen}\,5x)$ para el trozo $4\cos 5x$ , sale $A=0$ y $B$ distinto de cero. ¿Cuánto vale $B$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (2/5) o con un decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de la exponencial
COMP2
Para el trozo $-7e^{5x}$ se prueba $Ce^{5x}$ sin multiplicar por $x$ , porque $5$ no es raíz de la característica. Sustituyendo sale $50C = -7$ . ¿Cuánto vale $C$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (-7/50) o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La característica $r^{2}+25=0$ da $r=\pm 5i$ , luego $y_h = C_1\cos 5x + C_2\,\text{sen}\,5x$ .
2. El trozo $4\cos 5x$ resuena con la homogénea, así que se prueba $x(A\cos 5x+B\,\text{sen}\,5x)$ .
3. El trozo $-7e^{5x}$ no resuena, así que basta $Ce^{5x}$ .
4. Resolviendo, $A=0$ , $B=2/5$ y $C=-7/50$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.19 · Problemas complementarios, tema 9 · Cálculo, UPV/EHU (2016/2017 5E)

El paracaidista y su velocidad límite

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un paracaidista se lanza desde un avión y empieza a acelerar hasta alcanzar una velocidad constante, conocida como «velocidad terminal». La altura $y(t)$ del paracaidista cumple la EDO $m\,y'' + k\,y' = mg$ , siendo $m$ la masa, $k$ una constante de rozamiento con el aire y $g$ la gravedad.

a) Calcular la solución general con $m = 50$ kg, $k = 10$ kg/s y $g = 10$ m/s². b) Calcular la velocidad límite que alcanzará en su caída libre.

La solución general y la velocidad terminal.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con los datos, la ecuación es $50y'' + 10y' = 500$ . ¿Qué tiene de particular?
02
La velocidad terminal
COMP2
La velocidad se estabiliza cuando la aceleración se anula. Poniendo $y''=0$ en $50y''+10y'=500$ , ¿cuánto vale $y'$ en m/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con los datos, la ecuación es $50y^{\prime\prime}+10y^{\prime}=500$ , o sea $y^{\prime\prime}+0{,}2\,y^{\prime}=10$ .
2. La característica $r^{2}+0{,}2r=0$ da $r=0$ y $r=-1/5$ .
3. La solución general es $y = C_1 + C_2 e^{-t/5} + 50\,t$ .
4. b) Derivando, la velocidad tiende a 50 m/s cuando la exponencial se desvanece.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.18 · Problemas complementarios, tema 9 · Cálculo, UPV/EHU (2017/2018 5E)

La ley de Newton del enfriamiento

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Cuando un objeto absorbe calor del medio que lo rodea sigue la Ley de Newton, que establece que la tasa de pérdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y la temperatura ambiente. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20 °C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo. Calcular el tiempo que tarda la barra en alcanzar los 90 °C, si se sabe que su temperatura aumentó 2 °C en un segundo. ¿Cuánto tardará la barra en alcanzar los 98 °C?

Los dos tiempos, en segundos.

01
Reconocer el camino
COMP1
«La tasa es proporcional a la diferencia con la temperatura ambiente». ¿Qué ecuación es?
02
La constante, con el dato del primer segundo
COMP2
En $t=0$ la barra está a 20 °C y sube 2 °C en un segundo. Aproximando $T'(0)\approx 2$ , y con $T'=k(100-T)$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El tiempo hasta los 90 °C
COMP2
Con $T(t) = 100 - 80e^{-0{,}025t}$ , el tiempo para llegar a 90 °C sale de $80e^{-0{,}025t} = 10$ . ¿Cuántos segundos son?
Tu respuesta al paso 3en segundos, con un decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ley de Newton da $T^{\prime} = k(100-T)$ , con condición inicial $T(0)=20$ .
2. Es separable, y su solución es $T(t) = 100 - 80e^{-kt}$ .
3. El dato del primer segundo fija $k = 0{,}025$ .
4. Para 90 °C hacen falta unos 83 s, y para 98 °C bastante más: unos 148 s.

Resolución completa

Traducir la ley. «Proporcional a la diferencia con el ambiente», y el ambiente es el agua hirviendo a 100 °C:

T'(t) = k\,\bigl(100 - T(t)\bigr), \qquad T(0) = 20

Resolver, que es separable:

\frac{dT}{100-T} = k\,dt \;\Longrightarrow\; -\ln|100-T| = kt + C \;\Longrightarrow\; T(t) = 100 - A\,e^{-kt}

Con $T(0)=20$ sale $A = 80$ .

La constante, con el dato del primer segundo. Usando $T'(0) = k\cdot 80 = 2$ :

k = 0{,}025

Los dos tiempos:

objetivo	ecuación	tiempo
90 °C	$80e^{-0{,}025t} = 10$	$\dfrac{\ln 8}{0{,}025} \approx 83$ s
98 °C	$80e^{-0{,}025t} = 2$	$\dfrac{\ln 40}{0{,}025} \approx 148$ s

El detalle que da sentido al resultado. De 20 a 90 °C —setenta grados— tarda 83 segundos. De 90 a 98 —ocho grados— tarda otros 65. No es un error: cuanto más se acerca al ambiente, más despacio se calienta, porque la fuerza que la empuja es justo esa diferencia. Y los 100 °C no los alcanza nunca; solo se les acerca.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Ecuaciones diferenciales

Lo primero es clasificar, y eso decide todo

Separables, o de variables separables

Homogéneas

Exactas, y el factor integrante

Lineales

Segundo orden: dos piezas que se suman

Cuando los coeficientes indeterminados no valen: variación de constantes

Estudiar la solución sin resolverla

Traducir un enunciado en una ecuación

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

La constante de la condición inicial

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La comprobación de exactitud

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La constante de integración

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La raíz mayor

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de la particular

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La segunda derivada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El nivel de equilibrio

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente del término resonante

El coeficiente de la exponencial

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad terminal

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La constante, con el dato del primer segundo

El tiempo hasta los 90 °C

Justificar el argumento