Cálculo · tema 08

Integral curvilínea

Parametrizar curvas, trabajo de un campo, campos conservativos y función potencial, teorema de Green. Y cuál de los tres caminos elegir.

En el tema 5 integrabas a lo largo de un segmento del eje $x$ . En el 7, sobre una región o un sólido. Ahora integras a lo largo de una curva — que puede serpentear por el plano o por el espacio.

El caso que da nombre a todo esto es el trabajo: una fuerza empuja un objeto por un camino, y quieres saber cuánta energía ha costado. La fuerza cambia de un punto a otro, y el camino no es recto. Eso es una integral curvilínea.

\int_C P\,dx + Q\,dy

Y tiene un segundo nombre que conviene reconocer: la circulación. Cuando la curva es cerrada —y en este tema casi siempre lo es— a esa integral se la llama circulación del campo a lo largo de $C$ , y se escribe con el círculo en la integral, $\oint_C$ . Es la misma cuenta con otro nombre: «trabajo» viene de la física de fuerzas y «circulación» de la de fluidos y campos, donde mide cuánto gira el campo alrededor de la curva. Los enunciados y las resoluciones usan las dos palabras indistintamente.

Y aquí está lo que de verdad evalúa el examen. Ese número se puede calcular de tres maneras distintas, y las tres dan lo mismo cuando las tres valen. Elegir bien es la diferencia entre cinco líneas y media hora:

camino	cuándo vale	qué cuesta
Parametrizar e integrar	siempre	largo, y hay que parametrizar
Función potencial, $F(B)-F(A)$	solo si el campo es conservativo	cortísimo
Green	solo si la curva es cerrada	convierte la línea en una integral doble

Por eso el primer paso de cualquier ejercicio de este tema no es calcular: es mirar el campo y mirar la curva para decidir por dónde vas.

Parametrizar: describir la curva con un solo parámetro

Una curva en el plano es un recorrido, y describirla es decir dónde estás en cada instante:

\vec r(t) = \bigl(x(t),\, y(t)\bigr), \qquad t\in[a,b]

Las tres que salen siempre:

curva	parametrización	rango
segmento de $A$ a $B$	$\vec r(t) = A + t(B-A)$	$t\in[0,1]$
circunferencia de radio $R$	$(R\cos t,\; R\,\text{sen}\,t)$	$t\in[0,2\pi]$
gráfica $y=f(x)$	$(t,\; f(t))$	$t$ en el rango de $x$

La tercera es la que se olvida y la que más ahorra: si la curva es « $y=x^{3}$ desde $(0,0)$ hasta $(2,8)$ », la propia $x$ sirve de parámetro y no hay nada que inventar.

Parametrizar sin mirar el sentido del recorrido

La integral curvilínea cambia de signo si recorres la curva al revés. No es un detalle: es la diferencia entre que el trabajo sea $+12$ o $-12$ .

El enunciado siempre dice el sentido — «desde $A$ hasta $B$ », o una flecha en el dibujo, o «recorrida en sentido antihorario». Y hay que comprobar que tu parametrización empieza donde debe: sustituye $t=a$ y mira si sale el punto de salida. Si sale el de llegada, has parametrizado al revés.

Con la curva parametrizada, todo se sustituye y queda una integral de una sola variable, que es lo que sabes hacer desde el tema 5:

\int_C P\,dx+Q\,dy = \int_{a}^{b}\Bigl[P\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t) + Q\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t)\Bigr]dt

El atajo grande: campos conservativos

Un campo $\vec V = (P,Q)$ es conservativo si existe una función $F$ —el potencial— cuyo gradiente es el campo: $\nabla F = \vec V$ .

Y cuando eso pasa, ocurre algo casi increíble:

\int_C \vec V \cdot d\vec r = F(B) - F(A)

La integral no depende del camino. Da igual si vas en línea recta, dando un rodeo o en espiral: solo cuentan los dos extremos. Es el teorema fundamental del cálculo, subido a las curvas.

Un enunciado que pide «el trabajo a lo largo de C₁, C₂ y C₃» casi nunca quiere tres cuentas. Quiere que compruebes que el campo es conservativo y contestes las tres de una vez — y que lo digas.

Cómo se comprueba, y cómo se encuentra el potencial

Comprobar es una sola igualdad:

\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

En tres variables son tres igualdades, o equivalentemente que el rotacional sea nulo. Es rápido y hay que hacerlo siempre antes de decidir el camino.

Encontrar el potencial es integrar y ajustar:

Integra $P$ respecto de $x$ . Sale $F$ más una constante que puede depender de $y$ : escribe $+\,g(y)$ , no $+\,C$ .
Deriva lo obtenido respecto de $y$ e iguálalo a $Q$ .
De ahí despejas $g'(y)$ , integras, y ya tienes $F$ .

Poner + C en vez de + g(y)

Al integrar $P$ respecto de $x$ , lo que se ha mantenido constante es la $y$ entera, no un número. Así que la «constante de integración» es cualquier función de $y$ .

Si escribes $+C$ te falta un trozo del potencial, y como la constante se cancela al hacer $F(B)-F(A)$ , el resultado puede salirte casi bien y no notarlo. Es el error silencioso del tema.

Green: cuando la curva se cierra

Si $C$ es una curva cerrada que rodea una región $D$ , el teorema de Green cambia la integral de línea por una integral doble sobre lo de dentro:

\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA

Y compensa casi siempre, porque el borde de una región suele tener tres o cuatro tramos —y habría que parametrizar cada uno— mientras que la integral doble es una sola cuenta sobre el tema 7.

Lo que Green intercambia: el borde recorrido tramo a tramo por la región entera. Las flechas van en sentido antihorario, que es la hipótesis que hay que decir en voz alta — con el borde recorrido al revés la fórmula sigue valiendo, pero el resultado sale con el signo cambiado.

Tres condiciones que hay que decir en voz alta, porque son COMP4:

La curva es cerrada.
Se recorre en sentido antihorario (positivo). Si el enunciado la da al revés, se aplica Green y se cambia el signo.
$P$ y $Q$ tienen derivadas parciales continuas en toda la región, agujeros incluidos. Un campo que se rompe en el origen invalida Green si el origen está dentro.

El detalle que conecta los dos atajos. Si el campo es conservativo, $\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y = 0$ , así que toda integral sobre una curva cerrada vale cero. Los dos teoremas dicen lo mismo desde dos sitios, y saber eso convierte un ejercicio de «calcula sobre esta circunferencia entera» en escribir un cero justificado.

La otra integral curvilínea: respecto de la longitud de arco

Hay una segunda especie, y se distingue por el diferencial: $d\ell$ en vez de $dx$ y $dy$ .

\int_C f\,d\ell = \int_a^b f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\lVert \vec r\,'(t)\rVert\,dt, \qquad \lVert \vec r\,'(t)\rVert = \sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}

Sirve para la masa de un alambre cuando la densidad cambia de un punto a otro, y para la longitud de la curva si $f=1$ .

Las dos diferencias con la anterior, que es lo que hay que tener claro:

Lleva un módulo, con su raíz. La otra no.
No depende del sentido del recorrido. La masa de un cable es la misma se mida de un extremo o del otro; el trabajo, no.

Lo que hay que llevar sabido

El orden en que se mira un ejercicio de este tema:

¿La curva es cerrada? → mira Green.
¿El campo es conservativo ( $P_y = Q_x$ )? → función potencial, y si además es cerrada, la integral vale cero.
Si no → parametriza, y cuidado con el sentido.

pregunta	qué hacer
«trabajo por tres caminos distintos»	comprueba $P_y = Q_x$ ; casi seguro que es conservativo
« $\oint$ » sobre una curva cerrada	Green, o cero si es conservativo
«masa de un alambre»	$\int f\,d\ell$ , con el módulo
«longitud de la curva»	$\int d\ell$
«desde $A$ hasta $B$ »	el sentido importa: comprueba que $t=a$ da $A$

Y las tres frases de COMP4:

Conservativo significa que la integral no depende del camino, y eso se demuestra exhibiendo el potencial.
Green necesita la curva cerrada, el sentido positivo y las parciales continuas dentro, agujeros incluidos.
La integral de un campo conservativo sobre cualquier curva cerrada es cero.

Practica lo que acabas de leer

Parametrizar un segmento, con su sentido

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Parametrizar un segmento, con su sentido

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Parametrizar el segmento que va desde $A(1,2)$ hasta $B(3,6)$ , y comprobar que el sentido es el correcto.

La parametrización del segmento de A a B.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la forma estándar de parametrizar el segmento de $A$ a $B$ ?
02
La primera componente
COMP2
Con $\vec r(t) = (1,2) + t\,(2,4)$ , ¿cuánto vale $x(t)$ en $t = 0{,}5$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la comprobación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\vec r(t) = (1+2t,\;2+4t)$ con $t\in[0,1]$ .
2. En $t=0$ sale $(1,2) = A$ , que es el punto de salida. ✓
3. En $t=1$ sale $(3,6) = B$ , el de llegada. ✓
4. Las derivadas valen $\frac{dx}{dt}=2$ y $\frac{dy}{dt}=4$ , constantes, como corresponde a una recta.

Resolución completa

La fórmula, y por qué funciona. Un segmento de $A$ a $B$ se recorre partiendo de $A$ y avanzando una fracción $t$ del vector que lleva a $B$ :

\vec r(t) = A + t\,(B-A), \qquad t\in[0,1]

Con $A(1,2)$ y $B(3,6)$ :

\vec r(t) = (1,2) + t\,(2,4) = (1+2t,\; 2+4t)

La comprobación del sentido, que es lo que hay que hacer siempre:

$t$	punto
$0$	$(1,2) = A$ ✓
$1$	$(3,6) = B$ ✓

Sale $A$ al principio y $B$ al final, así que el recorrido va en el sentido que pide el enunciado. Si saliera al revés, la integral curvilínea de un campo tendría el signo cambiado — y eso convierte un trabajo de $+12$ en un $-12$ , que no es un error pequeño.

Las derivadas, que hacen falta enseguida: $x'(t)=2$ e $y'(t)=4$ . Al ser una recta son constantes, y eso hace que el módulo $\lVert\vec r\,'\rVert = \sqrt{20}$ salga de la integral.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Comprobar si un campo es conservativo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Determinar cuál de estos dos campos es conservativo:

\vec V = (2xy,\; x^{2}) \qquad\text{y}\qquad \vec W = (y,\; 2x)

Cuál de los dos campos es conservativo, y por qué.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué igualdad hay que comprobar para saber si $(P,Q)$ es conservativo en el plano?
02
La derivada cruzada del primero
COMP2
Para $\vec V = (2xy,\,x^{2})$ , ¿cuánto vale $\partial P/\partial y$ ? Evalúalo en $x = 3$ .
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Para $\vec V$ : $P_y = 2x$ y $Q_x = 2x$ , coinciden, luego es conservativo.
2. Su potencial es $F = x^{2}y$ , y en efecto $\nabla F = (2xy,\,x^{2})$ .
3. Para $\vec W$ : $P_y = 1$ y $Q_x = 2$ , no coinciden.
4. Luego $\vec W$ no es conservativo, y su integral sí depende del camino.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un trabajo calculado a pelo, sin ningún atajo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el trabajo del campo $\vec F = (y,\;x^{2})$ a lo largo del segmento que va de $(0,0)$ a $(1,1)$ .

El valor del trabajo sobre ese segmento.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué aquí hay que parametrizar, y no vale ningún atajo?
02
El trabajo
COMP2
Con $\vec r(t) = (t,t)$ para $t\in[0,1]$ , ¿cuánto vale el trabajo? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (5/6), o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $P_y = 1$ y $Q_x = 2x$ no coinciden, así que el campo no es conservativo.
2. La curva no es cerrada, así que Green tampoco vale: hay que parametrizar.
3. Con $\vec r(t)=(t,t)$ y $t\in[0,1]$ se recorre de $(0,0)$ a $(1,1)$ .
4. Sustituyendo, la integral queda $\int_0^1 (t+t^{2})\,dt = \frac56$ .

Resolución completa

Primero las dos comprobaciones, que son gratis y a veces ahorran el ejercicio entero:

pregunta	aquí
¿es conservativo?	$P_y = 1$ , $Q_x = 2x$ → no
¿es cerrada la curva?	va de $(0,0)$ a $(1,1)$ → no

Fallan las dos, así que toca la definición: parametrizar y sustituir.

La parametrización. El segmento de $(0,0)$ a $(1,1)$ es $\vec r(t) = (t,t)$ con $t\in[0,1]$ — y conviene comprobar el sentido: en $t=0$ sale el origen y en $t=1$ el punto de llegada ✓

dx = dt, \qquad dy = dt

Sustituyendo, con $y = t$ y $x^{2} = t^{2}$ :

W = \int_0^{1} t\,dt + \int_0^{1} t^{2}\,dt = \left[\frac{t^{2}}{2}\right]_0^1 + \left[\frac{t^{3}}{3}\right]_0^1 = \frac12 + \frac13

\boxed{\;W = \frac56 \approx 0{,}8333\;}

Para qué sirve haber hecho este. Es el caso sin atajo, y por eso es la referencia: cuando en un ejercicio de examen el campo sí sea conservativo, lo que te ahorras es exactamente este trabajo — dos integrales y una parametrización — y se sustituye por restar el potencial en dos puntos. Verlo una vez a pelo es lo que hace que el atajo signifique algo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Green en un triángulo, con el integrando constante

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular $\displaystyle\oint_C (-y)\,dx + x\,dy$ , donde $C$ es el borde del triángulo de vértices $(0,0)$ , $(4,0)$ y $(0,3)$ , recorrido en sentido antihorario.

El valor de la integral sobre el contorno cerrado.

01
Reconocer el camino
COMP1
El borde son tres segmentos. ¿Qué hace Green con ellos?
02
El integrando de la doble
COMP2
Con $P = -y$ y $Q = x$ , ¿cuánto vale $Q_x - P_y$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La curva es cerrada y va en sentido antihorario: Green se puede aplicar.
2. $Q_x - P_y = 1-(-1) = 2$ , constante en todo el plano.
3. Luego $\oint_C = \iint_D 2\,dA = 2\cdot\text{área}(D)$ .
4. El triángulo tiene área $\frac{4\cdot3}{2}=6$ , así que la integral vale 12.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería, sobre la integral respecto de la longitud de arco del tema 8. Es deliberadamente un segmento, para que el peldaño siguiente —el cuarto de circunferencia del examen de 2021-2022— sea el que introduce la curva. No es de examen ni del boletín.

La masa de un alambre recto, y el módulo que la otra integral no lleva

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un alambre recto va del punto $A(0,0)$ al $B(3,4)$ , y su densidad en cada punto vale $f(x,y) = x + y$ .

a) ¿Cuánto mide el alambre?

b) ¿Cuánta masa tiene?

La longitud del alambre y su masa.

01
Reconocer el camino
COMP1
En $\int_C f\,d\ell$ , ¿qué es exactamente $d\ell$ ?
02
El módulo de la velocidad
COMP2
Parametrizando $\vec r(t) = (3t,\ 4t)$ con $t\in[0,1]$ , ¿cuánto vale $\lVert \vec r\,'(t)\rVert$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La longitud
COMP2
¿Cuánto mide el alambre?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La masa
COMP2
¿Cuánta masa tiene el alambre?
Tu respuesta al paso 4un número, en forma exacta (35/2) o con un decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el planteamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El alambre es una curva, así que se parametriza: $\vec r(t) = (3t, 4t)$ con $t$ de 0 a 1.
2. El diferencial de longitud es el módulo de la velocidad por $dt$ , y aquí vale 5 para todo $t$ .
3. Con $f=1$ sale la longitud, 5; con $f=x+y$ sale la masa, 17,5.

Resolución completa

La parametrización. Un segmento de $A$ a $B$ se recorre con $\vec r(t) = A + t\,(B-A)$ :

\vec r(t) = (3t,\ 4t), \qquad t\in[0,1]

El diferencial de longitud.

\lVert \vec r\,'(t)\rVert = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5 \qquad\Longrightarrow\qquad d\ell = 5\,dt

a) La longitud.

L = \int_0^{1} 5\,dt = 5

que es la distancia de $A$ a $B$ , como tenía que ser.

b) La masa.

m = \int_0^{1} (3t+4t)\cdot 5\,dt = 35\int_0^{1} t\,dt = \frac{35}{2}

Lo que hay que llevarse. Las dos integrales curvilíneas del tema se parecen en el nombre y en nada más, y se distinguen por dos cosas que se ven de un vistazo:

	del trabajo	de longitud de arco
diferencial	$dx$ , $dy$	$d\ell$
lleva módulo	no	sí, con su raíz
depende del sentido	sí, cambia de signo	no
para qué sirve	trabajo, circulación	longitud, masa, centro de masas

Si al terminar un ejercicio de esta segunda especie no has escrito ninguna raíz, casi seguro que has olvidado el módulo. Es el error que más veces convierte un resultado en otro que se le parece.

Y el peldaño siguiente. Aquí el módulo era constante porque el alambre es recto. En el ejercicio 2 de la quinta evaluación de 2021-2022 el alambre es un cuarto de circunferencia, y entonces el módulo hay que calcularlo de verdad — aunque, en una circunferencia parametrizada por el ángulo, vuelva a salir constante e igual al radio. Ese es exactamente el escalón: la misma cuenta con una curva de verdad debajo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.8 · Problemas complementarios, tema 8 · Cálculo, UPV/EHU (2015/2016 5E)

Tres curvas, y el atajo que las contesta todas

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el valor de $I = \int_C (6xy^{2}-y^{3})\,dx + (6x^{2}y-3xy^{2})\,dy$ para cada una de las siguientes curvas $C$ :

a) $C$ es el segmento de recta $AB$ , con $A(1,2)$ y $B(3,4)$ . b) $C$ es el arco de circunferencia de centro $(2,3)$ que pasa por los puntos $A(1,2)$ y $B(3,4)$ . c) $C$ es toda la circunferencia del apartado anterior.

El valor de la integral en las tres curvas.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado pide la misma integral sobre tres curvas distintas. ¿Qué sugiere eso antes de calcular nada?
02
La comprobación
COMP2
Con $P = 6xy^{2}-y^{3}$ , $\partial P/\partial y = 12xy - 3y^{2}$ . ¿Cuánto vale en el punto $(1,2)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor en el punto B
COMP2
El potencial es $F(x,y) = 3x^{2}y^{2}-xy^{3}$ . ¿Cuánto vale $F(3,4)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $P_y = Q_x = 12xy-3y^{2}$ , luego el campo es conservativo.
2. El potencial es $F(x,y)=3x^{2}y^{2}-xy^{3}$ , y se comprueba derivando.
3. a) y b) valen lo mismo, $F(B)-F(A) = 240-4 = 236$ , porque la integral no depende del camino.
4. c) Sobre la circunferencia entera vale 0, porque es una curva cerrada y el campo es conservativo.

Resolución completa

Los tres apartados son el mismo ejercicio, y verlo es la mitad de la nota.

Paso 1 — ¿es conservativo?

P = 6xy^{2}-y^{3} \;\Longrightarrow\; P_y = 12xy-3y^{2}

Q = 6x^{2}y-3xy^{2} \;\Longrightarrow\; Q_x = 12xy-3y^{2}

Coinciden. El campo es conservativo, y con eso los tres apartados se resuelven sin parametrizar ni una curva.

Paso 2 — el potencial. Integrando $P$ respecto de $x$ :

F = 3x^{2}y^{2}-xy^{3} + g(y)

Derivando respecto de $y$ e igualando a $Q$ :

6x^{2}y-3xy^{2}+g'(y) = 6x^{2}y-3xy^{2} \;\Longrightarrow\; g'(y)=0

Así que $F(x,y) = 3x^{2}y^{2}-xy^{3}$ , tomando la constante nula.

Paso 3 — los tres apartados.

	curva	valor
a)	segmento $AB$	$F(3,4)-F(1,2) = 240-4 = 236$
b)	arco de circunferencia de $A$ a $B$	236, el mismo
c)	circunferencia entera	0

a) y b) coinciden porque la integral de un campo conservativo solo depende de los extremos, y los dos caminos van de $A$ a $B$ .

c) vale cero porque la curva es cerrada: sale y llega al mismo punto, así que $F(A)-F(A)=0$ .

Lo que este ejercicio evalúa no es integrar. Parametrizar el arco de circunferencia y sustituirlo en ese campo de tercer grado es un cuarto de hora de cuentas que no hacen falta. Evalúa si compruebas $P_y = Q_x$ antes de empezar.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.9 · Problemas complementarios, tema 8 · Cálculo, UPV/EHU (2014/2015 7E) · El boletín define los dos puntos y las tres curvas del enunciado en una figura que no tenemos, así que aquí no se puede dar un número: se resuelve todo lo que no depende de ella, que es casi todo, y se dice qué falta. El enunciado va tal cual, sin inventarle datos.

Green, y el trabajo a lo largo de un contorno

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular el trabajo realizado por el campo vectorial $V(x,y) = (3x^{2}+y^{2},\; 2xy)$ desde el punto $A$ hasta el punto $B$ a lo largo de cada una de las trayectorias $C_1$ , $C_2$ y $C_3$ .

b) Aplicando el teorema de Green, calcular el trabajo realizado por el campo vectorial $W(x,y) = (x-y^{3},\; x^{3}+y)$ a lo largo del contorno del recinto encerrado por las curvas $C_1$ y $C_3$ .

El trabajo por los tres caminos, y el del contorno cerrado con Green.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el apartado b) el enunciado ordena usar Green. ¿Qué tres condiciones hay que comprobar antes de aplicarlo?
02
El integrando de Green
COMP2
Para $W = (x-y^{3},\; x^{3}+y)$ , ¿cuánto vale $\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y$ en el punto $(1,1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Para $V=(3x^{2}+y^{2},\,2xy)$ : $P_y = 2y$ y $Q_x = 2y$ , coinciden.
2. Luego $V$ es conservativo y las tres trayectorias dan el mismo trabajo.
3. Su potencial es $F = x^{3}+xy^{2}$ , y basta evaluar $F(B)-F(A)$ .
4. Por eso el apartado a) se contesta una sola vez, no tres.

Resolución completa

El ejercicio enfrenta los dos atajos, uno en cada apartado, y con dos campos distintos a propósito.

Antes de empezar: aquí no vas a ver un número, y no es un descuido. El boletín define $A$ , $B$ y las tres curvas en una figura que no tenemos, y aquí no se le inventan datos a un enunciado. Lo que sí se puede hacer —y es donde está la nota del ejercicio— es todo lo demás: decidir si hace falta parametrizar, hallar el potencial, y dejar la integral doble planteada en la forma en que se resuelve. Si llegas a este ejercicio con la figura delante, los últimos dos pasos son evaluar y sumar.

a) El campo $V$ es conservativo.

P_y = \frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}+y^{2}) = 2y, \qquad Q_x = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y

Coinciden, luego existe potencial. Integrando $P$ en $x$ :

F = x^{3}+xy^{2}+g(y), \qquad F_y = 2xy + g'(y) = 2xy \;\Longrightarrow\; g'(y)=0

F(x,y) = x^{3}+xy^{2}

Las tres trayectorias dan el mismo trabajo, $F(B)-F(A)$ , y eso es la respuesta completa del apartado. No hay que parametrizar ninguna.

b) El campo $W$ no es conservativo, y por eso toca Green.

Q_x - P_y = 3x^{2} - (-3y^{2}) = 3(x^{2}+y^{2})

\oint_C W\cdot d\vec r = \iint_D 3(x^{2}+y^{2})\,dA

Y esa integral doble, con un $x^{2}+y^{2}$ dentro y un recinto limitado por un arco, pide polares (tema 7): pasa a $3\rho^{2}$ con jacobiano $\rho$ , o sea $3\rho^{3}$ .

La lección de los dos apartados juntos. Ante una integral curvilínea hay que preguntarse dos cosas en este orden: ¿es conservativo? y ¿está cerrada la curva? La primera respuesta afirmativa te ahorra el trabajo entero; la segunda te lo cambia por una integral doble. Solo si las dos fallan hay que parametrizar.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.10 · Problemas complementarios, tema 8 · Cálculo, UPV/EHU (2015/2016 7E)

La curva cerrada donde Green no vale

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $C$ la circunferencia de centro $(0,0)$ y radio $R$ . Calcular $\displaystyle\int_C \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^{2}+y^{2}}$

a) Parametrizando la curva. b) Aplicando, si es posible, la fórmula de Green.

El valor de la integral, y si Green es aplicable.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado b) dice «si es posible». ¿Qué hay que comprobar antes de aplicar Green?
02
Parametrizando
COMP2
Con $x=R\cos t$ , $y=R\,\text{sen}\,t$ y $t\in[0,2\pi]$ , el integrando se simplifica a $dt$ . ¿Cuánto vale la integral?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (2pi) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta del apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Calculando, $Q_x = P_y = \dfrac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$ , así que $Q_x-P_y = 0$ .
2. Si Green fuera aplicable, la integral valdría 0.
3. Pero por a) sabemos que vale $2\pi$ , así que algo falla.
4. Lo que falla es la hipótesis: el campo no está definido en el origen, que está dentro de $C$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.13 · Problemas complementarios, tema 8 · Cálculo, UPV/EHU (2017/2018 5E)

Green al revés, con el área como dato

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el trabajo realizado por el campo vectorial $V = (-3y,\;6x)$ desde el punto $A=(-1,0)$ al punto $B=(1,0)$ a lo largo de la trayectoria $L_1$ , sabiendo que el área sombreada de la figura vale $S = 10$ y que $L_1$ junto con el segmento de $B$ a $A$ encierra dicha área en sentido positivo.

El trabajo a lo largo de la trayectoria L1.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado da el área y pide un trabajo sobre una curva que ni siquiera describe. ¿Qué está sugiriendo?
02
El integrando de Green
COMP2
Con $P=-3y$ y $Q=6x$ , ¿cuánto vale $Q_x - P_y$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El trabajo sobre la curva abierta
COMP2
La integral cerrada vale $9\cdot 10 = 90$ , y el trabajo por el segmento de vuelta de $B$ a $A$ vale $12$ . ¿Cuánto vale el trabajo sobre $L_1$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El campo no es conservativo ( $P_y=-3 \neq 6=Q_x$ ), así que el camino importa.
2. Se cierra la curva con el segmento de $B$ a $A$ para poder aplicar Green.
3. Green da $\oint = \iint 9\,dA = 9S = 90$ , porque el integrando es constante.
4. Restando el trabajo del segmento de vuelta queda $\int_{L_1} = 78$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.17 · Problemas complementarios, tema 8 · Cálculo, UPV/EHU (2012/2013 5E)

Un campo conservativo con una componente sin conocer

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Supongamos que $V = \bigl(2xy + y\,e^{xy},\; Y(x,y)\bigr)$ es un campo vectorial conservativo, donde $Y(x,y)$ es una función desconocida. Se sabe que el trabajo $W$ efectuado por $V$ al trasladar una partícula desde el punto $M(0,0)$ hasta el punto $N(1,1)$ es $W = e$ . Calcular el trabajo efectuado por $V$ al trasladar una partícula desde un punto $P(a,0)$ hasta un punto $Q(a,1)$ , siendo $a$ un número cualquiera.

El trabajo entre P(a,0) y Q(a,1), en función de a.

01
Reconocer el camino
COMP1
No se conoce la segunda componente del campo. ¿Por qué se puede resolver igual?
02
Reconstruir el potencial
COMP2
Integrando $P = 2xy + y\,e^{xy}$ respecto de $x$ sale $F = x^{2}y + e^{xy} + g(y)$ . ¿Cuánto vale $F(0,0)$ si tomamos $g\equiv 0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El trabajo pedido
COMP2
Con $F(x,y) = x^{2}y + e^{xy}$ , ¿cuánto vale $F(a,1)-F(a,0)$ para $a=1$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Al ser conservativo existe $F$ con $\nabla F = V$ , y basta la primera componente para empezar.
2. Integrando $P$ en $x$ : $F = x^{2}y + e^{xy} + g(y)$ .
3. El dato $W_{MN}=e$ confirma que $g$ es constante, así que se toma nula.
4. El trabajo pedido es $F(a,1)-F(a,0) = a^{2}+e^{a}-1$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Integral curvilínea

Parametrizar: describir la curva con un solo parámetro

El atajo grande: campos conservativos

Cómo se comprueba, y cómo se encuentra el potencial

Green: cuando la curva se cierra

La otra integral curvilínea: respecto de la longitud de arco

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

La primera componente

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La derivada cruzada del primero

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El trabajo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El integrando de la doble

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El módulo de la velocidad

La longitud

La masa

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La comprobación

El valor en el punto B

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El integrando de Green

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Parametrizando

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El integrando de Green

El trabajo sobre la curva abierta

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Reconstruir el potencial

El trabajo pedido

Justificar el argumento