medido sobre 10 convocatorias — nada por intuición

Preparar la quinta evaluación

Los temas 8 y 9, y con ellos se acaba el temario que entra en evaluación continua. Diez convocatorias leídas y treinta y dos ejercicios contados: doce de integral curvilínea y diecisiete de ecuaciones diferenciales, uno de cada cosa en cada examen. Los tres que sobran son del formato antiguo, cuando la quinta todavía arrastraba la integral múltiple.

1
El trabajo de un campo a lo largo de una curva
en las 10 convocatorias — casi siempre el 14 escalones
Cae 10 de 10 años
Calcular la integral de un campo vectorial sobre una curva: un trabajo, casi siempre. La curva puede venir parametrizada, descrita con condiciones, dibujada en una figura o contada en palabras — una ladera, un río, un alambre.
Doce de los treinta y dos ejercicios, y está en las diez convocatorias leídas, casi siempre en el ejercicio 1. Lo que se evalúa no es integrar: es elegir el camino. Los mismos diez puntos se sacan en cinco líneas o en media hora según lo que compruebes antes de empezar, y cinco de los doce enunciados están escritos precisamente para premiar esa comprobación.
De dónde sale ese dato
Contado sobre las quintas evaluaciones de 2015-2016 a 2025-2026 (falta 2019-2020; ver la nota del final sobre ese curso). Reparto de los doce por lo que premian: cinco la independencia del camino —2015-2016, 2021-2022, 2023-2024, 2024-2025 y 2025-2026—, cuatro el teorema de Green —2016-2017, 2017-2018, 2020-2021 y el segundo de 2022-2023—, dos la parametrización de una curva descrita con condiciones —2018-2019 y el primero de 2022-2023— y uno la integral respecto de la longitud de arco, el segundo de 2021-2022.
Parametrizar, y no equivocarse de sentido
Describir una curva con un solo parámetro y comprobar que el recorrido va en el sentido que pide el enunciado.
leerParametrizar: describir la curva con un solo parámetro
Si la curva es $y=f(x)$ , la propia $x$ sirve de parámetro y no hay nada que inventar. Es la que más se olvida.
1. ejemploParametrizar un segmento, con su sentido
  Empieza aquí. Corto, y con la comprobación del sentido hecha explícita, que es lo que cambia el signo del resultado.
2. examenUna curva escrita con tres condiciones, y dos términos que se caen solos
  De 2022-2023. La curva no viene dibujada ni parametrizada: viene descrita con tres condiciones, y traducirlas es medio ejercicio.
3. examenElegir la forma del camino para que el trabajo sea mínimo
  De 2018-2019, y es el más exigente de los tres: se parametriza una familia entera de curvas, sale un trabajo que depende de un parámetro, y hay que minimizarlo.
nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.
Parametrizar un segmento, con su sentido
paso 1 de 3
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Parametrizar el segmento que va desde $A(1,2)$ hasta $B(3,6)$ , y comprobar que el sentido es el correcto.
La parametrización del segmento de A a B.
01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la forma estándar de parametrizar el segmento de $A$ a $B$ ?
02
La primera componente
COMP2
Con $\vec r(t) = (1,2) + t\,(2,4)$ , ¿cuánto vale $x(t)$ en $t = 0{,}5$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la comprobación. Una pieza es falsa.
Ve eligiendo las piezas en orden.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Que las tres parametrizaciones de siempre —segmento, circunferencia y gráfica— te salgan sin pensar, y que compruebes el sentido sustituyendo el primer valor del parámetro.
El atajo — comprobar si el campo es conservativo
Comprobar en diez segundos si un campo deriva de un potencial, encontrar ese potencial cuando existe, y usarlo para no integrar.
leerEl atajo grande: campos conservativos
Si el campo es conservativo, la integral solo depende de los extremos. Y sobre cualquier curva cerrada vale cero.
1. ejemploComprobar si un campo es conservativo
  Dos campos casi iguales, uno conservativo y el otro no, para ver cuánto cambia la estrategia con una comprobación de diez segundos.
2. examenTres caminos, y un campo al que le dan igual
  De 2015-2016, y es el caso de manual: tres curvas —segmento, arco y circunferencia entera— y una sola cuenta. El apartado c) vale cero.
3. examenUna hélice entera que no hay que recorrer
  De 2021-2022. El mismo atajo en el espacio, con tres variables: una hélice entera que no hay que recorrer.
4. examenTres caminos hasta la cima, y un viento que a veces empuja gratis
  De 2025-2026. Dos campos en el mismo enunciado, uno conservativo y otro no, y hay que elegir camino con cada uno.
5. examenRemontar un río por arriba o por abajo, y por qué no da igual
  De 2024-2025. Aquí el campo no es conservativo, y por eso los dos caminos dan resultados distintos: es el contraejemplo que cierra el escalón.
6. examenUn camino que se va lejos para volver casi al mismo sitio
  De 2023-2024. Un camino que se va lejos para volver casi al mismo sitio; si sabes que hay potencial, la longitud del rodeo da igual.
nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.
Comprobar si un campo es conservativo
paso 1 de 3
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Determinar cuál de estos dos campos es conservativo:
$\vec V = (2xy,\; x^{2}) \qquad\text{y}\qquad \vec W = (y,\; 2x)$
Cuál de los dos campos es conservativo, y por qué.
01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué igualdad hay que comprobar para saber si $(P,Q)$ es conservativo en el plano?
02
La derivada cruzada del primero
COMP2
Para $\vec V = (2xy,\,x^{2})$ , ¿cuánto vale $\partial P/\partial y$ ? Evalúalo en $x = 3$ .
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
Ve eligiendo las piezas en orden.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Hacer la comprobación siempre antes de decidir el camino, saber que al integrar sale $+g(y)$ y no $+C$ , y contestar «cero» ante una curva cerrada sin escribir una línea más.
Green, cuando la curva se cierra
Cambiar una integral sobre una curva cerrada por una integral doble sobre lo que encierra, y usarla también al revés, cuando lo que se conoce es el área.
leerGreen: cuando la curva se cierra
Y el puente entre los dos atajos: si el campo es conservativo el integrando de Green es cero, y por eso la integral cerrada se anula.
1. prácticaGreen, y el trabajo a lo largo de un contorno
  De 2014-2015. Enfrenta los dos atajos en dos apartados: el primer campo es conservativo y el segundo no.
2. examenLa misma integral por Green y a pelo
  De 2016-2017, y el enunciado obliga a hacerlo de las dos formas. Por Green son tres líneas; a pelo, quince. Merece la pena verlo una vez.
3. examenDos funciones imposibles que se van al derivar
  De 2020-2021. El campo lleva un arcotangente y una exponencial puestos ahí para castigar a quien parametrice: los dos desaparecen al derivar.
4. examenUn trabajo que se calcula sin conocer el camino
  De 2017-2018, y es Green al revés: de la curva no se da la ecuación, solo el área que encierra. Sale igual.
5. examenUn campo horrible, y una integral doble que no lo mira
  De 2022-2023. Otra vez al revés: se conoce el trabajo y se busca una altura.
6. examenEl área de una curva cerrada, con una integral de línea
  Este no es de una quinta: es el ejercicio 3 de la cuarta de 2020-2021, el único de integral curvilínea que se ha colado ahí en once años. Va aquí porque es la aplicación más limpia de Green que hay en el corpus: el área encerrada calculada con una integral de línea, que es la fórmula al revés.
Lo tienes cuando
Decir en voz alta las tres condiciones —cerrada, sentido positivo, parciales continuas dentro— y reconocer cuándo Green convierte cuatro parametrizaciones en una integral doble de una línea.
La otra integral de línea, la que no lleva vector
Distinguir la integral respecto de la longitud de arco de la de un campo vectorial, y calcular una masa o una longitud con ella.
leerLa otra integral curvilínea: respecto de la longitud de arco
No depende del sentido del recorrido, y ahí está la diferencia de fondo con la otra: una masa no cambia de signo si recorres el alambre al revés.
1. ejemploParametrizar un segmento, con su sentido
  Parametrizar con su sentido, que es el primer paso de cualquier integral de línea.
2. ejemploLa masa de un alambre recto, y el módulo que la otra integral no lleva
  El ejemplo de entrada, y es un segmento a propósito: el módulo sale constante y se puede comprobar por Pitágoras, así que lo único nuevo que hay que entender es por qué la integral lo lleva.
3. examenLa otra integral de línea, la que no lleva vector
  De 2021-2022, y es el único de este tipo en las diez convocatorias. Un cuarto de circunferencia con densidad variable.
Lo tienes cuando
Reconocer por el enunciado cuál de las dos te piden —si hay «masa», «longitud» o «densidad», es la escalar— y no olvidar el $ds=\left|r'(t)\right|dt$ .
Tu avance
Lo que vas resolviendo se marca aquí y se recuerda al volver. Se guarda solo en este navegador: no es una cuenta, no sale de tu ordenador, y desaparece si borras los datos del sitio.
lo tienes cuando:
Ante cualquier integral curvilínea, decidir en menos de un minuto si el campo es conservativo y si la curva es cerrada, y solo entonces empezar. Y saber que si es conservativo y cerrada, la respuesta es cero sin calcular nada.

$t$	punto
$0$	$(1,2) = A$ ✓
$1$	$(3,6) = B$ ✓

Las ecuaciones diferenciales

17 de 32 ejercicios — el que más puntos reparte6 escalones

Cae 10 de 10 años

Clasificar una EDO y resolverla; traducir un enunciado en palabras a una ecuación; y en las de segundo orden, montar la solución con su homogénea y su particular.

Diecisiete de los treinta y dos ejercicios, y también en las diez convocatorias leídas: es el bloque que más pesa de toda la asignatura por convocatoria. Y hay algo que no pasa en ningún otro sitio: clasificar es literalmente una pregunta del enunciado, con puntos propios.

Clasificar, que aquí es media pregunta

Recorrer el árbol de decisión y decidir si una EDO es separable, homogénea, exacta, con factor integrante o lineal.

leerLo primero es clasificar, y eso decide todo

El orden del árbol no es arbitrario: se prueba lo barato primero, y una misma EDO puede caer en dos casillas.

ejemploSegundo orden, cuando la característica tiene dos raíces
La ecuación característica, que es por donde empieza todo lo de segundo orden.
ejemploClasificar antes de resolver
Cuatro EDOs y sus cuatro casillas. Es exactamente el formato del apartado que cayó en 2022-2023 y en 2025-2026.
examenTres ecuaciones que se parecen, y solo una se resuelve igual
De 2025-2026, y el enunciado lo pide con esas palabras: «indicar de qué tipo es cada una».
examenTres ecuaciones y tres cajas, una en cada una
De 2022-2023. Tres ecuaciones y tres cajas, una en cada una: si aciertas la caja, el método viene solo.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Segundo orden, cuando la característica tiene dos raíces

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver $y'' - 5y' + 6y = 0$ .

La solución general.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el primer paso ante una ecuación de segundo orden con coeficientes constantes?
02
La raíz mayor
COMP2
Resolviendo $r^{2}-5r+6=0$ , ¿cuál es la raíz mayor?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se prueba $y = e^{rx}$ y se sustituye: $r^{2}e^{rx}-5re^{rx}+6e^{rx}=0$ .
2. Como $e^{rx}$ nunca vale cero, se puede dividir por él y queda $r^{2}-5r+6=0$ .
3. Las raíces son $2$ y $3$ , reales y distintas.
4. La solución general es $y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Clasificar antes de resolver

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Clasificar estas cuatro ecuaciones diferenciales y decir qué método resuelve cada una:

a) $y' = \dfrac{y}{x} - \dfrac{x}{y}$ b) $y' - 2y = x$ c) $2xy\,dx + (x^{2}+3y^{2})\,dy = 0$ d) $y' = -xe^{y}$

El tipo de cada EDO y su método.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué se clasifica antes de intentar resolver?
02
La comprobación de exactitud
COMP2
Para la c), con $P = 2xy$ y $Q = x^{2}+3y^{2}$ , ¿cuánto vale $\partial P/\partial y$ en el punto $(2,1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la clasificación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Todo depende de $y/x$ , luego es homogénea: cambio $u=y/x$ .
2. b) Tiene la forma $y^{\prime}+p(x)y=q(x)$ con $p=-2$ , luego es lineal.
3. c) $P_y = Q_x = 2x$ , luego es exacta: se busca el potencial.
4. d) Se separa como $e^{-y}dy = -x\,dx$ , luego es separable.

Resolución completa

Las cuatro casillas del árbol, una por ecuación. Es el ejercicio de COMP1 del tema.

	ecuación	tipo	método
a)	$y' = \frac{y}{x}-\frac{x}{y}$	homogénea	cambio $u = y/x$
b)	$y' - 2y = x$	lineal	factor $\mu = e^{-2x}$
c)	$2xy\,dx+(x^{2}+3y^{2})dy = 0$	exacta	busca el potencial $F$
d)	$y' = -xe^{y}$	separable	$e^{-y}dy = -x\,dx$

Cómo se reconoce cada una en dos segundos:

a) Todos los términos dependen del cociente $y/x$ . Y no es separable, aunque lo parezca: las dos variables están enredadas en los dos sumandos.
b) Está literalmente en la forma $y' + p(x)y = q(x)$ , con $p=-2$ y $q=x$ .
c) Viene escrita como $P\,dx + Q\,dy = 0$ , que es la forma en que se presentan las exactas. Se comprueba $P_y = Q_x = 2x$ . ✓
d) La $x$ y la $y$ aparecen en factores separados, así que basta pasar la exponencial dividiendo.

El orden del árbol importa. La b) también podría atacarse como separable si $q$ fuera cero, y la c) es a la vez exacta y no separable. La regla es recorrer el árbol de arriba abajo y parar en el primer sí, porque los métodos de arriba son más baratos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que el árbol te salga de memoria y en el orden bueno, y que sepas justificar cada casilla con una frase — porque eso es lo que se corrige.

Las exactas, que ya sabes hacer

Reconocer una EDO exacta con el mismo criterio del tema 8 y resolverla buscando su potencial.

leerExactas, y el factor integrante

Es el bloque anterior con otra notación: $M\,dx+N\,dy$ es el campo $(M,N)$ , la condición de exactitud es la de conservativo, y $F$ es el potencial.

ejemploClasificar antes de resolver
Clasificar cuatro sin resolver ninguna. Reconocer que es exacta va antes que serlo.
examenTres ecuaciones, y la exacta esconde una exponencial doble
De 2020-2021. La exacta esconde una exponencial doble; el criterio se comprueba igual y el potencial se busca igual.
examenUna lineal que se resuelve casi mirándola
De 2018-2019, y sirve de contraste: esta no es exacta, es lineal, y se resuelve casi mirándola.

Lo tienes cuando

Ver una EDO escrita como $M\,dx+N\,dy=0$ y comprobar $M_{y}=N_{x}$ sin que nadie te lo pida, y saber que lo que sale es una familia $F(x,y)=C$ y no una $y$ despejada.

Traducir un enunciado en una ecuación

Escribir la EDO a partir de un problema en palabras, resolverla y contestar la pregunta que se hacía — que casi nunca es «resuelve».

leerTraducir un enunciado en una ecuación

El diccionario es corto y sirve para todos: embalses, cadáveres, barras de metal, paracaidistas y planes de ahorro son la misma ecuación con otra ropa.

prácticaEl embalse, y qué pasa a largo plazo
De 2020-2021. Empieza por este: el apartado b) se contesta sin resolver nada, mirando dónde se anula la derivada.
examenLa hora del crimen, y el dato que pone el forense
De 2015-2016. La ley de Newton, y el dato que no está en el enunciado: los 37 °C del cuerpo vivo. Declararlo vale puntos.
examenLa barra que se calienta, y el dato que no está escrito
De 2017-2018, la misma ley con el dato escondido en otro sitio: «agua hirviendo» son 100 °C.
examenEl paracaidista, y por qué la constante no vale como solución particular
De 2016-2017. Es de segundo orden, y aun así lo mejor de él es de este escalón: la velocidad límite sale imponiendo $y''=0$ , en dos líneas.
examenEstimar el Everest con una ecuación de una línea
De 2021-2022. Una ecuación de una línea, y el resultado se contrasta con un dato del mundo real.
examenCien euros al año al uno por ciento, y cuándo llegan a cinco mil
De 2023-2024. Dinero, no física: el mismo modelo con aportaciones continuas.
examenCinco mil salmones y diez salmones acaban en el mismo sitio
De 2024-2025, y el más interesante: dos poblaciones iniciales muy distintas acaban en el mismo sitio, y eso se ve sin resolver.

Lo tienes cuando

Traducir «tasa proporcional a…» sin dudar, saber que el equilibrio se saca resolviendo $y'=0$ sin resolver la ecuación, y poner tú los datos físicos que el enunciado da por sabidos.

Las de segundo orden, y cuándo resuena

Montar la solución como homogénea más particular, y elegir la forma de la particular comparándola antes con las raíces de la característica.

leerSegundo orden: dos piezas que se suman

La resonancia es el error caro del bloque: no da un resultado equivocado, da un sistema imposible, y quien no lo reconoce pierde el ejercicio entero buscando la cuenta mal hecha.

prácticaCuando la particular ya está en la homogénea
Empieza aquí: el caso mínimo, para ver qué pasa exactamente cuando se ensaya una particular que ya está en la homogénea.
examenUn polinomio que no resuena y un coseno que sí
De 2020-2021. Dos sumandos: un polinomio que no resuena y un coseno que sí.
examenUno resuena y el otro no, y hay que verlo antes de ensayar
De 2018-2019, con el mismo reparto. Verlos seguidos enseña a separar los dos sumandos antes de tocar nada.
examenDos términos a la derecha, y solo uno resuena
De 2024-2025, otra vez dos términos y solo uno resonando. Que caiga tres años seguidos no es casualidad.
examenUn coeficiente que hay que deducir antes de poder empezar
De 2023-2024. Antes de resolver hay que deducir un coeficiente que el enunciado no da.
examenLa misma ecuación con dos respuestas, según cuánto valga a
De 2022-2023, y es el que cierra el escalón: la misma ecuación tiene dos respuestas según cuánto valga el parámetro, porque de él depende si hay resonancia.

Lo tienes cuando

Comparar siempre el segundo miembro con la homogénea antes de ensayar: si lo que vas a probar ya está dentro, hay que multiplicar por $x$ . Y saber hacerlo cuando el segundo miembro tiene dos sumandos y solo uno resuena.

Cuando el segundo miembro no cabe en ningún molde

Reconocer que los coeficientes indeterminados no sirven, y resolver por variación de parámetros.

leerSegundo orden: dos piezas que se suman

El apartado explica el método de ensayo; la variación de parámetros es lo que queda cuando ese método no se puede aplicar, y ahí está el hueco declarado abajo.

ejemploClasificar antes de resolver
El mismo árbol de clasificación: variación de constantes es lo que queda cuando nada más encaja.
examenUn segundo miembro que no cabe en ningún ensayo
De 2021-2022. El segundo miembro es $1/\operatorname{sen}2x$ : no hay nada que ensayar.
examenCuando el término de la derecha no cabe en ningún molde
De 2025-2026, con $8e^{x}/(1+x^{2})$ . Dos años distintos y la misma señal: cuando el segundo miembro es un cociente raro, el método es este.

Lo tienes cuando

Saber en qué se fija uno para descartar el método de ensayo —si el segundo miembro no es polinomio, exponencial, seno o coseno, ni producto de ellos, no hay molde— y montar el sistema de variación sin equivocarse de signo.

Sacarle información a una ecuación sin resolverla

Contestar sobre el comportamiento de la solución —equilibrio, límite, desarrollo en serie— sin llegar a resolver la ecuación.

leerEstudiar la solución sin resolverla

En las diez quintas leídas esta técnica no cae como ejercicio propio: aparece dentro de los aplicados, en el apartado que pregunta a dónde tiende la población o la velocidad. Se practica aquí para reconocerla cuando llegue disfrazada.

prácticaEstudiar la solución sin resolver la ecuación
Del boletín de complementarios, etiquetado «2016/2017 4E»: cayó en la cuarta evaluación, no en la quinta. Se enlaza igual porque es la única puerta de entrada a este escalón, y reutiliza el Taylor del tema 4: el desarrollo sale derivando la ecuación, no la solución.

Lo tienes cuando

Ver una pregunta del tipo «¿qué pasa a largo plazo?» y no ponerte a integrar: se contesta con $y'=0$ , o derivando la propia ecuación.

lo tienes cuando:

Ante una EDO cualquiera, decir de qué tipo es y por qué en menos de treinta segundos, y resolverla con el método que le toca. Y en las de segundo orden, saber antes de ensayar si la particular resuena.

3
Lo que la quinta arrastraba hasta 2018-2019
solo hasta 2018-2019 — por si acaso2 escalones
Cae 3 de 10 años
Una integral múltiple —cambiar el orden, o un centro de gravedad— y, en un curso, un gradiente leído de dos derivadas direccionales.
Tres de los treinta y dos ejercicios, y solo en tres de las diez convocatorias: 2015-2016, 2017-2018 y 2018-2019. Después de 2018-2019 no ha vuelto a caer. Va al final y en un bloque aparte porque es material de la cuarta evaluación colado en la quinta, no un hueco propio: si tu profesor no lo arrastra, este bloque te sobra.
De dónde sale ese dato
Ejercicio 1 de la quinta de 2015-2016 (gradiente a partir de dos derivadas direccionales), ejercicio 1 de la de 2017-2018 (cambio de orden de integración) y ejercicio 1 de la de 2018-2019 (centro de gravedad de un cuarto de disco). En las siete convocatorias restantes no aparece ninguno de los dos temas.
La integral múltiple, cuando cae aquí
Dibujar el recinto, cambiar el orden de integración y calcular un centro de gravedad.
leerCambiar el orden de integración
Este bloque no explica nada nuevo: la ruta de la cuarta evaluación lo prepara entero, y aquí solo se enlazan los dos que cayeron en la quinta.
1. ejemploLeer los límites de un recinto dibujado
  Leer los límites de un recinto dibujado, antes de cambiarles el orden.
2. examenCambiar el orden y descubrir que hacen falta dos integrales
  De 2017-2018. Al girar el orden la tapa cambia de curva y hacen falta dos integrales: ese es todo el ejercicio.
3. examenUn cuarto de disco con un cuadrado quitado
  De 2018-2019. Un centro de gravedad sobre un recinto con un cuadrado quitado, y la simetría ahorra la mitad de la cuenta.
nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.
Leer los límites de un recinto dibujado
paso 1 de 3
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Sea $D$ el triángulo limitado por las rectas $y=0$ , $x=2$ e $y=x$ . Escribir $\iint_D f\,dA$ con el orden $dy\,dx$ .
Los límites de integración en el orden dy dx.
01
Reconocer el camino
COMP1
Con el orden $dy\,dx$ , ¿qué representan los límites de la integral interior?
02
El límite superior interior
COMP2
Fijado un $x$ entre 0 y 2, la vertical entra por $y=0$ . ¿Por dónde sale, evaluado en $x=1{,}5$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el planteamiento. Una pieza es falsa.
Ve eligiendo las piezas en orden.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Que el dibujo del recinto te salga antes que los límites, y que sepas que cambiar el orden puede partir la integral en dos.
El gradiente, el año que cayó aquí
Reconstruir el gradiente a partir de derivadas direccionales y usarlo para calcular otra.
leerY al revés: deducir el gradiente a partir de datos
Igual que el escalón anterior: la preparación está en la ruta de la cuarta evaluación, y aquí solo se enlaza el que cayó en la quinta.
1. ejemploLa derivada direccional, y el vector que hay que normalizar
  La derivada direccional y el vector que hay que normalizar. Aquí se usa al revés.
2. examenReconstruir el gradiente a partir de dos derivadas direccionales
  De 2015-2016, y el ejercicio entero es un signo: hacia $(1,1)$ se baja en $y$ , así que la derivada direccional es $-F_{y}$ .
nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.
La derivada direccional, y el vector que hay que normalizar
paso 1 de 4
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Sabiendo que $\nabla f(P) = (3,4)$ , calcular la derivada direccional de $f$ en $P$ siguiendo la dirección del vector $\vec v = (4,3)$ .
La derivada direccional en la dirección de v.
01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de hacer el producto escalar con el gradiente, ¿qué hay que hacerle al vector $\vec v$ ?
02
El módulo del vector dirección
COMP2
¿Cuánto mide $\vec v = (4,3)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La derivada direccional
COMP2
¿Cuánto vale $D_{\vec u} f(P) = (3,4)\cdot\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (24/5) o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
Ve eligiendo las piezas en orden.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
No olvidar normalizar el vector dirección, y leer bien el signo cuando la dirección apunta hacia abajo.
Tu avance
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lo tienes cuando:
Saber que puede caer, y tener localizada la ruta de la cuarta evaluación, que es donde estos dos temas se preparan de verdad.

Por qué este orden

Por rendimiento los dos bloques grandes empatan: la integral curvilínea cae en las diez convocatorias leídas y las ecuaciones diferenciales también. Lo que los separa es la cantidad —doce ejercicios frente a diecisiete— y una dependencia: las EDO exactas, que son una de las cuatro casillas del árbol de clasificar, son campos conservativos con otro nombre, y el criterio para reconocerlas es el mismo $M_{y}=N_{x}$ del tema 8. Por eso la curvilínea va primero aunque rinda algo menos: hecha antes, el segundo bloque empieza con una cuarta parte del trabajo ya hecha. El tercer bloque, el del formato antiguo, va al final porque solo sirve si tu profesor sigue metiendo integral múltiple en la quinta.

Cómo se han determinado los huecos de esta ruta. Un bloque sin falta[] no es un bloque sin mirar: el 29 de agosto de 2026 se pasaron los sesenta y dos bloques de las siete rutas por tres criterios medidos —si su tema tiene pocos ejemplos de entrada para lo que el examen le exige, si sus ejercicios usan una herramienta que la prosa de ese tema no nombra, y si algún escalón suyo empieza directamente en un ejercicio de examen— y solo se declara lo que sale de alguno de ellos.

El 6 de septiembre de 2026 se volvieron a pasar, con un cuarto criterio que el primer pase no tenía: si el bloque salta del ejemplo de entrada al ejercicio de examen sin ningún problema de boletín en medio. Ese señaló trece bloques que los otros tres daban por buenos, porque los tres miraban el primer peldaño y este mira el que falta en medio. Desde entonces cada bloque lleva anotada la fecha en que se le pasaron los cuatro, de modo que el bloque que se añada mañana y no se mire se va a notar.

Esta evaluación

Medido sobre 10 convocatorias · 32 ejercicios · 320 puntos.

COMP 136 puntos por reconocer
COMP 2208 puntos por calcular
COMP 476 puntos por justificar

El 35,0 % de la nota no es calcular; la explicación formal sola vale el 23,8 %.

Esta ruta te lleva por los 32, sin dejarse ninguno. Un bloque no se acaba: se domina — cada uno te dice cómo sabes que ya lo tienes.

Lo que falta, dicho en voz alta