tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · quinta evaluación

Quinta evaluación · 2018-2019

6 de mayo de 2019 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un cuarto de disco con un cuadrado quitadoIntegral múltiple1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular el centro de gravedad del dominio plano que aparece sombreado en la figura (la densidad es constante).

Figura redibujada del enunciado original. La discontinua es el eje de simetría y = x, que obliga a que las dos coordenadas del centro de gravedad coincidan. El punto G marca dónde cae, muy cerca de la esquina del cuadrado.

Las dos coordenadas del centro de gravedad.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Elegir la forma del camino para que el trabajo sea mínimoIntegral curvilínea1 + 7 + 2 = 10 pts
Hallar el valor $b>0$ que minimiza el trabajo realizado al mover una partícula, sometida a la fuerza $F(x,y) = \left(3y^{2},\,16x\right)$ , desde el punto $(-1,0)$ hasta el punto $(1,0)$ a lo largo de la semielipse
$x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, \qquad y \ge 0$
El valor de b que hace mínimo el trabajo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una lineal que se resuelve casi mirándolaEcuaciones diferenciales0 + 8 + 2 = 10 pts
Resolver la EDO
$\begin{cases} x\,y' - y = x^{3} \\[1mm] y(1) = \dfrac{3}{2} \end{cases}$
La solución particular que cumple la condición inicial.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Uno resuena y el otro no, y hay que verlo antes de ensayarEcuaciones diferenciales0 + 8 + 2 = 10 pts
Resolver la EDO $y'' + 25y = 4\cos 5x - 7e^{5x}$ .
La solución general.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Quinta evaluación, SEGUNDO CUATRIMESTRAL, 6 de mayo de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un cuarto de disco con un cuadrado quitado

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el centro de gravedad del dominio plano que aparece sombreado en la figura (la densidad es constante).

Figura redibujada del enunciado original. La discontinua es el eje de simetría y = x, que obliga a que las dos coordenadas del centro de gravedad coincidan. El punto G marca dónde cae, muy cerca de la esquina del cuadrado.

Las dos coordenadas del centro de gravedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de integrar nada, ¿qué se puede afirmar de las dos coordenadas?
02
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área de la región sombreada?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La coordenada del centro de gravedad
COMP2
¿Cuánto vale $\overline{x}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La densidad es constante, así que el centro de masa coincide con el centroide y la densidad se cancela al dividir.
2. La región es simétrica respecto de $y=x$ —lo son el cuarto de disco y el cuadrado que se le quita—, así que $\overline{x}=\overline{y}$ y basta con calcular una.
3. El área es $\pi - 1$ : el cuarto de disco de radio 2 menos el cuadrado unidad.
4. Los momentos sí se restan: el del cuarto de disco vale $\frac83$ y el del cuadrado $\frac12$ , así que el de la región es $\frac{13}{6}$ .
5. $\overline{x} = \frac{13}{6(\pi-1)} \approx 1{,}0117$ , y lo mismo $\overline{y}$ .
6. Sale un poco mayor que el del cuarto de disco entero, $\frac{8}{3\pi}\approx 0{,}849$ , y tiene sentido: se ha quitado masa pegada al origen.

Resolución completa

Lo que se puede decir sin integrar

La densidad es constante, así que se cancela: el centro de masa coincide con el centroide geométrico.

La región es simétrica respecto de $y=x$ . El cuarto de disco lo es, y el cuadrado que se le quita también, así que lo que queda también. Por tanto

\overline{x} = \overline{y}

y solo hay que calcular una de las dos. Decirlo vale uno de los dos puntos de COMP4 y ahorra la mitad del trabajo.

El área

A = \underbrace{\frac{\pi\cdot 2^{2}}{4}}_{\text{cuarto de disco}} - \underbrace{1}_{\text{cuadrado}} = \pi - 1

El momento, por diferencia

La regla que este ejercicio evalúa: se restan los momentos, no los centroides.

pieza	área	$\iint x\,dA$
cuarto de disco, $r\le 2$	$\pi$	$\frac83$
cuadrado $[0,1]^{2}$	$1$	$\frac12$
región	$\pi-1$	$\frac{13}{6}$

El del cuarto de disco sale cómodo en polares:

\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{2}r\cos\theta\cdot r\,dr\,d\theta = 1\cdot\frac{8}{3} = \frac83

y el del cuadrado, en cartesianas, es $\frac12$ . Cada trozo con las coordenadas que le van.

El resultado

\boxed{\;\overline{x} = \overline{y} = \frac{13}{6(\pi-1)} \approx 1{,}012\;}

Dos comprobaciones

Comparar con el cuarto de disco entero, cuyo centroide está en $\frac{8}{3\pi}\approx 0{,}849$ . Quitar el cuadrado —que está pegado al origen— tiene que empujar el centroide hacia fuera, y en efecto $1{,}012 > 0{,}849$ .

Mirar dónde cae. El punto $(1{,}012,\,1{,}012)$ está prácticamente en la esquina del cuadrado que se ha quitado, un pelo por fuera. Es plausible a ojo, que es lo que se pide de un dibujo aclaratorio.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Quinta evaluación, SEGUNDO CUATRIMESTRAL, 6 de mayo de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Elegir la forma del camino para que el trabajo sea mínimo

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar el valor $b>0$ que minimiza el trabajo realizado al mover una partícula, sometida a la fuerza $F(x,y) = \left(3y^{2},\,16x\right)$ , desde el punto $(-1,0)$ hasta el punto $(1,0)$ a lo largo de la semielipse

x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, \qquad y \ge 0

El valor de b que hace mínimo el trabajo.

01
Reconocer el camino
COMP1
El camino cambia con $b$ . ¿Qué hay que hacer?
02
El coeficiente del término cuadrático
COMP2
Escribiendo $W(b) = \alpha b^{2} + \beta b$ , ¿cuánto vale $\alpha$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La b que minimiza
COMP2
¿Para qué $b>0$ es mínimo el trabajo?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $M_{y} = 6y$ y $N_{x} = 16$ no coinciden, así que el campo no es conservativo y el camino importa. Si no, no habría ninguna $b$ mejor que otra.
2. La semielipse se parametriza con $x=\cos t$ , $y=b\operatorname{sen}t$ , y para ir de $(-1,0)$ a $(1,0)$ el parámetro va de $\pi$ a $0$ .
3. Sustituyendo, $W(b) = 3b^{2}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{3}t\,dt - 16b\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\,dt = 4b^{2}-8\pi b$ .
4. Es una parábola en $b$ que abre hacia arriba, así que tiene mínimo donde se anula la derivada: $8b-8\pi=0$ , es decir $b=\pi$ .
5. $W''(b) = 8 > 0$ confirma que es mínimo, y el valor mínimo es $-4\pi^{2}$ .
6. Como $b>0$ por enunciado y el vértice cae en $b=\pi>0$ , el mínimo está dentro del dominio permitido y no hay que mirar la frontera.

Resolución completa

Primero, ¿tiene sentido la pregunta?

M = 3y^{2},\quad N = 16x \;\Longrightarrow\; M_{y} = 6y, \quad N_{x} = 16

No coinciden: el campo no es conservativo y el camino importa. Si lo fuera, todas las semielipses darían el mismo trabajo y no habría ninguna $b$ mejor. Comprobarlo es el punto de COMP1.

El trabajo en función de b

x = \cos t, \qquad y = b\operatorname{sen}t, \qquad t: \pi \to 0

—de $\pi$ a $0$ porque se va de $(-1,0)$ a $(1,0)$ .

W = \int_{\pi}^{0}\left[3b^{2}\operatorname{sen}^{2}t\left(-\operatorname{sen}t\right) + 16\cos t\cdot b\cos t\right]dt

Cambiando el sentido de los límites y separando:

W(b) = 3b^{2}\underbrace{\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{3}t\,dt}_{4/3} - 16b\underbrace{\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\,dt}_{\pi/2} = 4b^{2} - 8\pi b

Las dos integrales conviene tenerlas: la del seno al cubo sale con $\operatorname{sen}^{3} = \operatorname{sen}(1-\cos^{2})$ , y la del coseno al cuadrado con el ángulo doble.

Minimizar

$W(b)$ es una parábola en $b$ que abre hacia arriba:

W'(b) = 8b - 8\pi = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{b = \pi}

W''(b) = 8 > 0 \quad\text{(mínimo)}, \qquad W(\pi) = -4\pi^{2} \approx -39{,}48

Y el vértice cae dentro del dominio $b>0$ que pide el enunciado, así que no hay que examinar ninguna frontera.

Lo que hace el ejercicio interesante

Junta dos partes de la asignatura que se estudian por separado: una integral de línea que produce una función, y una optimización de una variable sobre esa función. Y el resultado no es intuitivo: la semielipse óptima tiene semieje vertical $\pi\approx 3{,}14$ , mucho más alta que ancha. Ni el camino más corto ni el más «redondo».

Una nota sobre el signo: $W<0$ significa que la fuerza se opone al movimiento. Minimizar el trabajo es, físicamente, buscar el camino donde más hay que empujar en contra.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Quinta evaluación, SEGUNDO CUATRIMESTRAL, 6 de mayo de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una lineal que se resuelve casi mirándola

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO

\begin{cases} x\,y' - y = x^{3} \\[1mm] y(1) = \dfrac{3}{2} \end{cases}

La solución particular que cumple la condición inicial.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tipo de ecuación es $x\,y' - y = x^{3}$ ?
02
El factor integrante
COMP2
Para $y' - \frac{1}{x}y = x^{2}$ , el factor integrante es $\mu(x) = x^{k}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La solución en un punto
COMP2
La solución es $y = \frac{x^{3}}{2} + x$ . ¿Cuánto vale $y(2)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Dividiendo entre $x$ , la ecuación queda en forma canónica: $y' - \frac1x y = x^{2}$ .
2. El factor integrante es $\mu = e^{-\int dx/x} = \frac1x$ .
3. Multiplicando, el lado izquierdo es exactamente $\left(\frac{y}{x}\right)'$ , y la ecuación se reduce a $\left(\frac{y}{x}\right)' = x$ .
4. Integrando, $\frac{y}{x} = \frac{x^{2}}{2}+C$ , o sea $y = \frac{x^{3}}{2}+Cx$ .
5. La condición $y(1)=\frac32$ da $\frac12+C=\frac32$ , luego $C=1$ y $y = \frac{x^{3}}{2}+x$ .
6. La solución vale en el intervalo que contiene a $x=1$ sin pasar por $x=0$ , o sea en $x>0$ : al dividir entre $x$ se ha excluido el origen.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Quinta evaluación, SEGUNDO CUATRIMESTRAL, 6 de mayo de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Uno resuena y el otro no, y hay que verlo antes de ensayar

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO $y'' + 25y = 4\cos 5x - 7e^{5x}$ .

La solución general.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los dos sumandos llevan un 5. ¿Los dos resuenan?
02
El coeficiente de la exponencial
COMP2
Ensayando $y_{p} = Ce^{5x}$ para el sumando $-7e^{5x}$ , ¿cuánto vale $C$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente del término que resuena
COMP2
Ensayando $y_{p} = x\left(A\cos 5x + B\operatorname{sen}5x\right)$ para $4\cos 5x$ , ¿cuánto vale $B$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $r^{2}+25=0$ da $r=\pm 5i$ , así que $y_{h} = C_{1}\cos 5x + C_{2}\operatorname{sen}5x$ .
2. Por superposición se busca una particular para cada sumando del segundo miembro.
3. $4\cos 5x$ resuena, porque $\cos 5x$ está en la homogénea: el ensayo lleva una $x$ y da $A=0$ , $B=\frac25$ .
4. $-7e^{5x}$ no resuena, porque las raíces son imaginarias puras y $e^{5x}$ no es solución: el ensayo $Ce^{5x}$ da $C=-\frac{7}{50}$ .
5. La solución general es $y = C_{1}\cos 5x + C_{2}\operatorname{sen}5x + \frac25 x\operatorname{sen}5x - \frac{7}{50}e^{5x}$ .
6. El término resonante crece linealmente y el exponencial crece mucho más rápido, así que a la larga domina la exponencial.

Resolución completa

La homogénea

r^{2}+25 = 0 \;\Longrightarrow\; r = \pm 5i \;\Longrightarrow\; y_{h} = C_{1}\cos 5x + C_{2}\operatorname{sen}5x

El 5 que engaña

El segundo miembro es $4\cos 5x - 7e^{5x}$ : los dos sumandos llevan un 5, y solo uno resuena.

sumando	¿es solución de la homogénea?	ensayo
$4\cos 5x$	sí	$x\left(A\cos 5x+B\operatorname{sen}5x\right)$
$-7e^{5x}$	no	$Ce^{5x}$

La raíz $5i$ produce $\cos 5x$ y $\operatorname{sen}5x$ ; para que $e^{5x}$ estuviera en la homogénea haría falta la raíz real 5, que no lo es. Sustituyéndolo se comprueba: $y''+25y = 50e^{5x} \neq 0$ .

Las dos particulares

y_{p_{1}}''+25y_{p_{1}} = -10A\operatorname{sen}5x + 10B\cos 5x = 4\cos 5x \;\Longrightarrow\; A = 0,\; B = \frac25

50C\,e^{5x} = -7e^{5x} \;\Longrightarrow\; C = -\frac{7}{50}

La solución

\boxed{\;y = C_{1}\cos 5x + C_{2}\operatorname{sen}5x + \frac{2}{5}\,x\operatorname{sen}5x - \frac{7}{50}e^{5x}\;}

Cómo se comporta

Tres regímenes distintos conviviendo, y merece la pena decirlo:

la oscilación libre, acotada;
la resonancia, $\frac25 x\operatorname{sen}5x$ , que oscila con amplitud creciente en línea recta;
la exponencial, que a la larga se come a las otras dos.

Para $x$ grande la solución es esencialmente $-\frac{7}{50}e^{5x}$ : la resonancia crece, pero linealmente, y contra una exponencial eso no es nada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Quinta evaluación · 2018-2019

Un cuarto de disco con un cuadrado quitado

Reconocer el camino

El área

La coordenada del centro de gravedad

Justificar el argumento

Lo que se puede decir sin integrar

El área

El momento, por diferencia

El resultado

Dos comprobaciones

Elegir la forma del camino para que el trabajo sea mínimo

Reconocer el camino

El coeficiente del término cuadrático

La b que minimiza

Justificar el argumento

Primero, ¿tiene sentido la pregunta?

El trabajo en función de b

Minimizar

Lo que hace el ejercicio interesante

Una lineal que se resuelve casi mirándola

Reconocer el camino

El factor integrante

La solución en un punto

Justificar el argumento

El tipo, y el factor

El paso que lo resuelve

La condición inicial

Dónde vale

Uno resuena y el otro no, y hay que verlo antes de ensayar

Reconocer el camino

El coeficiente de la exponencial

El coeficiente del término que resuena

Justificar el argumento

La homogénea

El 5 que engaña

Las dos particulares

La solución

Cómo se comporta