Quinta evaluación · 2016-2017

8 de mayo de 2017 · 2 ejercicios · 20 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El paracaidista, y por qué la constante no vale como solución particularEcuaciones diferenciales2 + 4 + 4 = 10 pts
Un paracaidista se lanza desde un avión y empieza a acelerar hasta alcanzar una velocidad constante. Esta velocidad límite es conocida como «velocidad terminal». La altura del paracaidista en cada momento $y(t)$ cumple la EDO $my''(t)+ky'(t)=mg$ siendo $m$ la masa del paracaidista, $k$ una constante relacionada con el rozamiento con el aire y $g$ la aceleración de la gravedad.

a) Calcular la solución general de la EDO $my''(t)+ky'(t)=mg$ con los siguientes datos: $m=50\ \text{kg}$ , $k=10\ \text{kg}/\text{s}$ y $g=10\ \text{m}/\text{s}^{2}$ .

b) Calcular la velocidad límite (velocidad terminal) que alcanzará el paracaidista en su caída libre.
La solución general de la ecuación y la velocidad terminal.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La misma integral por Green y a peloIntegral curvilínea2 + 5 + 3 = 10 pts
Calcular de dos formas distintas la integral curvilínea
$\oint_{L}\left(x^{3}-x^{2}y\right)dx+xy^{2}\,dy$
donde $L$ es la frontera del recinto limitado por $y\le\sqrt{1-x^{2}}$ ; $0\le x\le 1$ ; $y\ge 0$ .
El valor de la integral, calculado por dos caminos distintos.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Quinta evaluación, SEGUNDO CUATRIMESTRAL, 8 de mayo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El paracaidista, y por qué la constante no vale como solución particular

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un paracaidista se lanza desde un avión y empieza a acelerar hasta alcanzar una velocidad constante. Esta velocidad límite es conocida como «velocidad terminal». La altura del paracaidista en cada momento $y(t)$ cumple la EDO $my''(t)+ky'(t)=mg$ siendo $m$ la masa del paracaidista, $k$ una constante relacionada con el rozamiento con el aire y $g$ la aceleración de la gravedad.

a) Calcular la solución general de la EDO $my''(t)+ky'(t)=mg$ con los siguientes datos: $m=50\ \text{kg}$ , $k=10\ \text{kg}/\text{s}$ y $g=10\ \text{m}/\text{s}^{2}$ .

b) Calcular la velocidad límite (velocidad terminal) que alcanzará el paracaidista en su caída libre.

La solución general de la ecuación y la velocidad terminal.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con los datos, la ecuación es $50y''+10y'=500$ . El segundo miembro es una constante. ¿Cómo se busca la solución particular?
02
La raíz que no es cero
COMP2
De la ecuación característica $r^{2}+\frac{k}{m}r=0$ , ¿cuánto vale la raíz distinta de cero?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad terminal
COMP2
¿A qué velocidad, en metros por segundo, tiende el paracaidista?
Tu respuesta al paso 3un número en metros por segundo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $m=50$ , $k=10$ y $g=10$ la ecuación es $50y''+10y'=500$ , o sea $y''+\frac{1}{5}y'=10$ .
2. La característica $r^{2}+\frac{1}{5}r=0$ tiene raíces $r=0$ y $r=-\frac{1}{5}$ , luego $y_{h}=C_{1}+C_{2}e^{-t/5}$ .
3. Como $r=0$ es raíz, el término constante resuena: la particular hay que buscarla de la forma $y_{p}=At$ , y sustituyendo sale $\frac{1}{5}A=10$ , es decir $A=50$ .
4. La solución general es $y(t)=C_{1}+C_{2}e^{-t/5}+50t$ .
5. Derivando, $y'(t)=-\frac{C_{2}}{5}e^{-t/5}+50$ , y la exponencial se apaga: la velocidad límite es $50$ m/s, sean cuales sean las constantes.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Quinta evaluación, SEGUNDO CUATRIMESTRAL, 8 de mayo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La misma integral por Green y a pelo

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular de dos formas distintas la integral curvilínea

\oint_{L}\left(x^{3}-x^{2}y\right)dx+xy^{2}\,dy

donde $L$ es la frontera del recinto limitado por $y\le\sqrt{1-x^{2}}$ ; $0\le x\le 1$ ; $y\ge 0$ .

El valor de la integral, calculado por dos caminos distintos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué recinto describen las tres condiciones, y qué tiene de cómodo para Green?
02
Por Green
COMP2
Aplicando el teorema de Green, ¿cuánto vale la integral?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El arco, por el camino directo
COMP2
Por el camino directo hay tres tramos. ¿Cuánto aporta el arco de circunferencia, recorrido de $(1,0)$ a $(0,1)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El recinto es el cuarto de disco unidad del primer cuadrante, y su frontera $L$ son tres tramos: el segmento del eje $x$ , el arco y el segmento del eje $y$ .
2. Primera forma. $Q_{x}-P_{y}=x^{2}+y^{2}$ , y en polares $\iint_{D}r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta=\frac{\pi}{2}\cdot\frac14=\frac{\pi}{8}$ .
3. Segunda forma. Sobre el eje $x$ , con $y=0$ y $dy=0$ , queda $\int_{0}^{1}x^{3}dx=\frac14$ .
4. Sobre el eje $y$ , con $x=0$ y $dx=0$ , el integrando es $xy^{2}dy=0$ : ese tramo no aporta nada.
5. Sobre el arco, parametrizando con $x=\cos t$ e $y=\operatorname{sen}t$ , sale $-\frac14+\frac{\pi}{8}$ , y la suma de los tres tramos es $\frac{\pi}{8}$ , igual que por Green.

Resolución completa

El recinto. $y\ge 0$ e $y\le\sqrt{1-x^{2}}$ dejan el semidisco superior, y $0\le x\le 1$ recorta la mitad derecha: es el cuarto de disco unidad del primer cuadrante. Su frontera son tres tramos, y recorrida en sentido positivo van así: el segmento del eje $x$ de $(0,0)$ a $(1,0)$ , el arco de $(1,0)$ a $(0,1)$ , y el segmento del eje $y$ de $(0,1)$ a $(0,0)$ .

Primera forma: Green. Con $P=x^{3}-x^{2}y$ y $Q=xy^{2}$ ,

\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =y^{2}+x^{2}

que en polares es $r^{2}$ . Entonces

\oint_{L}=\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{1}r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta =\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{8}

Segunda forma: los tres tramos.

Sobre el eje $x$ es $y=0$ y $dy=0$ , así que solo sobrevive $x^{3}dx$ :

\int_{0}^{1}x^{3}\,dx=\frac{1}{4}

Sobre el eje $y$ es $x=0$ y $dx=0$ , y lo único que quedaría es $xy^{2}dy$ , que con $x=0$ vale cero. Ese tramo no aporta nada, y darse cuenta ahorra la mitad del trabajo.

Sobre el arco, con $x=\cos t$ , $y=\operatorname{sen}t$ y $t$ de $0$ a $\frac{\pi}{2}$ :

\int_{0}^{\pi/2}\left(-\cos^{3}t\operatorname{sen}t +2\cos^{2}t\operatorname{sen}^{2}t\right)dt =-\frac{1}{4}+\frac{\pi}{8}

Sumando los tres: $\frac14+\left(-\frac14+\frac{\pi}{8}\right)+0 =\frac{\pi}{8}$ .

Las dos formas coinciden, que es lo que pedía el enunciado. Y la comparación enseña algo: por Green se hace en tres líneas y por el camino directo en quince. Cuando la curva es cerrada y las derivadas cruzadas salen limpias, Green no es una alternativa, es el camino.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Quinta evaluación · 2016-2017

Reconocer el camino

La raíz que no es cero

La velocidad terminal

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Por Green

El arco, por el camino directo

Justificar el argumento