tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · quinta evaluación

Quinta evaluación · 2021-2022

16 de mayo de 2022 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una hélice entera que no hay que recorrerIntegral curvilínea1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular la integral de línea
$\int_{L}\left(yz+y+1\right)dx + \left(xz+x\right)dy + \left(xy+3z^{2}\right)dz$
entre los puntos $A(1,0,0)$ y $B(1,0,2\pi)$ de la curva
$L:\quad \begin{cases} x(t) = \cos t \\ y(t) = \operatorname{sen}t \\ z(t) = t \end{cases}$
El valor de la integral entre esos dos puntos de la hélice.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La otra integral de línea, la que no lleva vectorIntegral curvilínea1 + 8 + 1 = 10 pts
Calcular la masa de la parte de la circunferencia $x^{2}+y^{2}=1$ situada en el primer cuadrante y comprendida entre los puntos $A(1,0)$ y $B(0,1)$ , sabiendo que la densidad puntual es $f(x,y) = xy$ .
La masa de ese cuarto de circunferencia.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Estimar el Everest con una ecuación de una líneaEcuaciones diferenciales1 + 7 + 2 = 10 pts
La ecuación barométrica establece que el ritmo de variación de la presión atmosférica a una altura $z$ es proporcional a la presión en ese punto, con cierta constante de proporcionalidad $\alpha$ que depende de las características del aire (masa molecular y temperatura). Sabiendo que la presión atmosférica en la cumbre del monte Everest es una tercera parte de la presión atmosférica a nivel del mar, estimar la altura del Everest en función de $\alpha$ .
La altura, en función de la constante α.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un segundo miembro que no cabe en ningún ensayoEcuaciones diferenciales0 + 8 + 2 = 10 pts
Resolver la EDO $y'' + 4y = \dfrac{1}{\operatorname{sen}2x}$ .
La solución general.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Quinta evaluación, 16 de mayo de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una hélice entera que no hay que recorrer

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la integral de línea

\int_{L}\left(yz+y+1\right)dx + \left(xz+x\right)dy + \left(xy+3z^{2}\right)dz

entre los puntos $A(1,0,0)$ y $B(1,0,2\pi)$ de la curva

L:\quad \begin{cases} x(t) = \cos t \\ y(t) = \operatorname{sen}t \\ z(t) = t \end{cases}

El valor de la integral entre esos dos puntos de la hélice.

01
Reconocer el camino
COMP1
La curva es una hélice que da una vuelta entera. ¿Hay que parametrizar?
02
El potencial en B
COMP2
El potencial del campo es $f(x,y,z) = xyz + xy + x + z^{3}$ . ¿Cuánto vale en $B(1,0,2\pi)$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La integral
COMP2
¿Cuánto vale la integral de línea?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se comprueba primero si el campo es conservativo, calculando el rotacional.
2. $\partial_{y}(yz+y+1) = z+1 = \partial_{x}(xz+x)$ , $\partial_{z}(yz+y+1) = y = \partial_{x}(xy+3z^{2})$ y $\partial_{z}(xz+x) = x = \partial_{y}(xy+3z^{2})$ : el rotacional es nulo.
3. El campo está definido en todo $\mathbb{R}^{3}$ , que es simplemente conexo, así que rotacional nulo implica que existe potencial.
4. Integrando, $f(x,y,z) = xyz + xy + x + z^{3}$ , y se comprueba que $\nabla f$ devuelve el campo.
5. La curva pasa por A en $t=0$ y por B en $t=2\pi$ , así que la integral vale $f(B)-f(A) = 8\pi^{3}$ .

Resolución completa

Lo primero, y decide el ejercicio

\vec F = \left(yz+y+1,\; xz+x,\; xy+3z^{2}\right)

Las tres comprobaciones cruzadas:

\frac{\partial}{\partial y}(yz+y+1) = z+1 = \frac{\partial}{\partial x}(xz+x)

\frac{\partial}{\partial z}(yz+y+1) = y = \frac{\partial}{\partial x}(xy+3z^{2})

\frac{\partial}{\partial z}(xz+x) = x = \frac{\partial}{\partial y}(xy+3z^{2})

El rotacional es nulo, y el campo está definido en todo $\mathbb{R}^{3}$ —simplemente conexo—, así que es conservativo. Esa segunda condición hay que decirla: sin ella, rotacional nulo no basta.

El potencial

f_{x} = yz+y+1 \;\Rightarrow\; f = xyz+xy+x+g(y,z)

f_{y} = xz+x+g_{y} = xz+x \;\Rightarrow\; g_{y}=0

f_{z} = xy+g_{z} = xy+3z^{2} \;\Rightarrow\; g = z^{3}

f(x,y,z) = xyz + xy + x + z^{3}

El resultado

La curva pasa por $A(1,0,0)$ en $t=0$ y por $B(1,0,2\pi)$ en $t=2\pi$ :

f(A) = 1, \qquad f(B) = 1 + 8\pi^{3}

\boxed{\;\int_{L} = f(B)-f(A) = 8\pi^{3} \approx 248{,}05\;}

Lo que el enunciado está tentando

Dar la curva en paramétricas, y encima una hélice completa, es una invitación a sustituir y ponerse a integrar $\operatorname{sen}$ , $\cos$ y $t$ mezclados durante media hoja. Sale lo mismo —está comprobado—, pero el ejercicio pide reconocer que la curva no importa.

Y hay una trampa de segundo orden: como la hélice da una vuelta entera, es tentador decir «es cerrada, luego vale 0». No lo es. En $x$ e $y$ vuelve al punto de partida, pero $z$ ha subido $2\pi$ . De hecho todo el resultado sale de ahí: los términos con $x$ e $y$ del potencial valen lo mismo en A y en B, y lo único que cambia es $z^{3}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Quinta evaluación, 16 de mayo de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La otra integral de línea, la que no lleva vector

COMP 11 punto por reconocer
COMP 28 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la masa de la parte de la circunferencia $x^{2}+y^{2}=1$ situada en el primer cuadrante y comprendida entre los puntos $A(1,0)$ y $B(0,1)$ , sabiendo que la densidad puntual es $f(x,y) = xy$ .

La masa de ese cuarto de circunferencia.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tipo de integral de línea es esta?
02
El elemento de arco
COMP2
Parametrizando $x=\cos t$ , $y=\operatorname{sen}t$ , ¿cuánto vale $ds$ en función de $dt$ ?
Tu respuesta al paso 2un número (el factor que multiplica a dt) — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La masa
COMP2
¿Cuánto vale la masa?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La densidad es un escalar, así que la masa es la integral de línea respecto del arco: $m = \int_{C} f\,ds$ .
2. El arco es el cuarto de circunferencia unidad del primer cuadrante, que se parametriza con $x=\cos t$ , $y=\operatorname{sen}t$ , $t\in\left[0,\frac\pi2\right]$ .
3. $ds = \sqrt{x'^{2}+y'^{2}}\,dt = dt$ , porque el radio es 1.
4. $m = \int_{0}^{\pi/2}\cos t\operatorname{sen}t\,dt = \left[\frac{\operatorname{sen}^{2}t}{2}\right]_{0}^{\pi/2} = \frac12$ .
5. El resultado no depende del sentido de recorrido: en una integral respecto del arco, $ds$ es siempre positivo.

Resolución completa

Qué integral es

La densidad $f(x,y)=xy$ es escalar: un número en cada punto, no una flecha. Así que la masa de un alambre es la integral de línea respecto del arco:

m = \int_{C} f(x,y)\,ds

Es la otra integral de línea, la que no lleva vector, y conviene tener clara la diferencia:

	qué se integra	qué mide	¿depende del sentido?
$\int_{C} f\,ds$	un escalar	masa, longitud, valor medio	no
$\int_{C}\vec F\cdot d\vec r$	un campo	trabajo, circulación	sí

La cuenta

El arco es el cuarto de circunferencia unidad del primer cuadrante:

x = \cos t,\quad y = \operatorname{sen}t,\qquad t\in\left[0,\tfrac\pi2\right]

ds = \sqrt{\left(-\operatorname{sen}t\right)^{2}+\cos^{2}t}\;dt = dt

—el 1 sale del radio; con radio $R$ sería $R\,dt$ , y olvidarlo es el error más frecuente en estas integrales.

m = \int_{0}^{\pi/2}\cos t\operatorname{sen}t\,dt = \left[\frac{\operatorname{sen}^{2}t}{2}\right]_{0}^{\pi/2} = \boxed{\frac12}

La comprobación de sentido

La densidad se anula en los dos extremos —en $A(1,0)$ vale $1\cdot 0 = 0$ y en $B(0,1)$ igual— y alcanza su máximo en el punto medio del arco, donde $x = y = \frac{\sqrt2}{2}$ y $xy = \frac12$ . Así que el alambre pesa por el centro, y la masa tiene que estar entre 0 y

\max f \cdot \text{longitud} = \frac12\cdot\frac{\pi}{2} \approx 0{,}785

$0{,}5$ encaja. Esa cota cuesta una línea y es exactamente el tipo de comprobación que el punto de COMP4 busca.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Quinta evaluación, 16 de mayo de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Estimar el Everest con una ecuación de una línea

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La ecuación barométrica establece que el ritmo de variación de la presión atmosférica a una altura $z$ es proporcional a la presión en ese punto, con cierta constante de proporcionalidad $\alpha$ que depende de las características del aire (masa molecular y temperatura). Sabiendo que la presión atmosférica en la cumbre del monte Everest es una tercera parte de la presión atmosférica a nivel del mar, estimar la altura del Everest en función de $\alpha$ .

La altura, en función de la constante α.

01
Reconocer el camino
COMP1
«El ritmo de variación de la presión es proporcional a la presión». ¿Qué ecuación es?
02
El logaritmo que aparece
COMP2
De $e^{\alpha h} = \frac13$ sale $\alpha h = -\ln 3$ . ¿Cuánto vale $\ln 3$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La altura, con un α realista
COMP2
La altura es $h = -\dfrac{\ln 3}{\alpha}$ . Con $\alpha = -1{,}2\times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}$ , ¿cuántos metros salen?
Tu respuesta al paso 3un número en metros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El enunciado dice que $\frac{dP}{dz}$ es proporcional a $P$ , así que la EDO es $\frac{dP}{dz} = \alpha P$ .
2. Es de variables separables: $\frac{dP}{P} = \alpha\,dz$ , y al integrar, $\ln P = \alpha z + k$ .
3. Llamando $P_{0}$ a la presión al nivel del mar, $P(z) = P_{0}e^{\alpha z}$ .
4. En la cumbre, $P(h) = \frac{P_{0}}{3}$ , de donde $e^{\alpha h} = \frac13$ y $\alpha h = -\ln 3$ .
5. Por tanto $h = -\frac{\ln 3}{\alpha}$ , que es positivo porque $\alpha < 0$ : la presión baja al subir.
6. El modelo supone la atmósfera isoterma y $\alpha$ constante con la altura, que es una aproximación: la temperatura cae unos 6,5 °C por kilómetro.

Resolución completa

El modelo

«El ritmo de variación de la presión es proporcional a la presión» se traduce literalmente:

\frac{dP}{dz} = \alpha\,P

Con una advertencia que vale puntos: $\alpha$ tiene que ser negativo, porque la presión disminuye al subir. El enunciado no lo dice, y hay que deducirlo del fenómeno.

Resolverla

Variables separables:

\frac{dP}{P} = \alpha\,dz \;\Longrightarrow\; \ln P = \alpha z + k \;\Longrightarrow\; P(z) = P_{0}e^{\alpha z}

donde $P_{0} = P(0)$ es la presión al nivel del mar.

La altura

En la cumbre, a altura $h$ :

P(h) = \frac{P_{0}}{3} \;\Longrightarrow\; P_{0}e^{\alpha h} = \frac{P_{0}}{3} \;\Longrightarrow\; e^{\alpha h} = \frac13

$P_{0}$ se cancela, que es la razón de que el problema se pueda resolver sin conocer ninguna presión: el dato es una proporción.

\alpha h = \ln\frac13 = -\ln 3 \;\Longrightarrow\; \boxed{\;h = -\frac{\ln 3}{\alpha}\;}

Positivo, porque $\alpha<0$ .

La comprobación que hay que hacer

Con un valor realista, $\alpha \approx -1{,}2\times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}$ :

h \approx \frac{1{,}0986}{1{,}2\times 10^{-4}} \approx 9\,155\ \text{m}

El Everest mide 8 849 m. Un modelo de una línea se queda a un 3 %.

Y lo que el modelo supone

Los dos puntos de COMP4 se los lleva decir qué se está dando por bueno:

que $\alpha$ es constante con la altura, lo que equivale a suponer la atmósfera isoterma — y no lo es: la temperatura cae unos 6,5 °C por kilómetro en la troposfera;
que el aire tiene composición uniforme;
que se puede tratar como un medio continuo, sin viento ni tiempo.

Un modelo que acierta al 3 % con tres suposiciones falsas merece que se digan las tres.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Quinta evaluación, 16 de mayo de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un segundo miembro que no cabe en ningún ensayo

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO $y'' + 4y = \dfrac{1}{\operatorname{sen}2x}$ .

La solución general.

01
Reconocer el camino
COMP1
El segundo miembro es $\dfrac{1}{\operatorname{sen}2x}$ . ¿Qué método?
02
El wronskiano
COMP2
Con $y_{1} = \cos 2x$ e $y_{2} = \operatorname{sen}2x$ , ¿cuánto vale el wronskiano?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La solución particular en un punto
COMP2
La particular es $y_{p} = -\frac{x}{2}\cos 2x + \frac14\operatorname{sen}2x\ln\left|\operatorname{sen}2x\right|$ . ¿Cuánto vale en $x = \frac{\pi}{4}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $r^{2}+4 = 0$ da $r = \pm 2i$ , así que $y_{h} = C_{1}\cos 2x + C_{2}\operatorname{sen}2x$ .
2. El segundo miembro no admite coeficientes indeterminados, así que se busca $y_{p} = u_{1}y_{1} + u_{2}y_{2}$ con $y_{1}=\cos 2x$ e $y_{2}=\operatorname{sen}2x$ .
3. El wronskiano vale $W = 2$ .
4. $u_{1}' = -\frac{y_{2}\,g}{W} = -\frac{\operatorname{sen}2x}{2\operatorname{sen}2x} = -\frac12$ , luego $u_{1} = -\frac{x}{2}$ .
5. $u_{2}' = \frac{y_{1}\,g}{W} = \frac{\cos 2x}{2\operatorname{sen}2x}$ , luego $u_{2} = \frac14\ln\left|\operatorname{sen}2x\right|$ .
6. La solución general es $y = C_{1}\cos 2x + C_{2}\operatorname{sen}2x - \frac{x}{2}\cos 2x + \frac14\operatorname{sen}2x\ln\left|\operatorname{sen}2x\right|$ .

Resolución completa

Por qué variación de constantes

y'' + 4y = \frac{1}{\operatorname{sen}2x}

Los coeficientes indeterminados necesitan que el segundo miembro tenga familia de derivadas finita. La cosecante no la tiene: al derivarla aparecen $\operatorname{sen}^{2}2x$ , luego $\operatorname{sen}^{3}2x$ , y así sin cerrar nunca. No hay forma que ensayar.

La homogénea

r^{2}+4=0 \;\Longrightarrow\; r = \pm 2i \;\Longrightarrow\; y_{h} = C_{1}\cos 2x + C_{2}\operatorname{sen}2x

Las dos funciones que hay que integrar

W = \begin{vmatrix}\cos 2x & \operatorname{sen}2x\\ -2\operatorname{sen}2x & 2\cos 2x\end{vmatrix} = 2

Con $g(x) = \dfrac{1}{\operatorname{sen}2x}$ :

u_{1}' = -\frac{y_{2}\,g}{W} = -\frac{\operatorname{sen}2x}{2\operatorname{sen}2x} = -\frac12 \;\Longrightarrow\; u_{1} = -\frac{x}{2}

u_{2}' = \frac{y_{1}\,g}{W} = \frac{\cos 2x}{2\operatorname{sen}2x} \;\Longrightarrow\; u_{2} = \frac14\ln\left|\operatorname{sen}2x\right|

La primera es inmediata —el seno se cancela entero— y la segunda es un logaritmo, con el $\frac14$ que sale del $\frac12$ del wronskiano por el $\frac12$ del cambio $u = \operatorname{sen}2x$ .

La solución

\boxed{\;y = C_{1}\cos 2x + C_{2}\operatorname{sen}2x - \frac{x}{2}\cos 2x + \frac14\operatorname{sen}2x\,\ln\left|\operatorname{sen}2x\right|\;}

Dónde vale

Esto es lo que se lleva los dos puntos de COMP4, y es fácil de olvidar: la ecuación no está definida donde $\operatorname{sen}2x = 0$ , es decir en $x = \frac{k\pi}{2}$ . El segundo miembro se va a infinito y el logaritmo de la solución también.

Así que la solución general no es una función en todo $\mathbb{R}$ : es una familia definida en cada intervalo $\left(\frac{k\pi}{2}, \frac{(k+1)\pi}{2}\right)$ , cada uno con sus propias constantes $C_{1}$ y $C_{2}$ . Escribir el resultado sin decir esto lo deja a medias.

Una comprobación barata

En $x = \frac\pi4$ los dos sumandos de la particular se anulan —uno porque $\cos\frac\pi2 = 0$ y el otro porque $\ln 1 = 0$ —, así que $y_{p}\left(\frac\pi4\right) = 0$ . Evaluar ahí caza cualquier error de coeficiente sin tener que derivar nada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Quinta evaluación · 2021-2022

Reconocer el camino

El potencial en B

La integral

Justificar el argumento

Lo primero, y decide el ejercicio

El potencial

El resultado

Lo que el enunciado está tentando

Reconocer el camino

El elemento de arco

La masa

Justificar el argumento

Qué integral es

La cuenta

La comprobación de sentido

Reconocer el camino

El logaritmo que aparece

La altura, con un α realista

Justificar el argumento

El modelo

Resolverla

La altura

La comprobación que hay que hacer

Y lo que el modelo supone

Reconocer el camino

El wronskiano

La solución particular en un punto

Justificar el argumento

Por qué variación de constantes

La homogénea

Las dos funciones que hay que integrar

La solución

Dónde vale

Una comprobación barata