tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · quinta evaluación

Quinta evaluación · 2022-2023

15 de mayo de 2023 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una curva escrita con tres condiciones, y dos términos que se caen solosIntegral curvilínea1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular la integral de línea
$\int_{L}\left(x^{2}+z^{2}\right)dx + \left(x^{2}-z^{2}\right)dy + \left(y^{2}-x^{2}\right)dz$
donde $L$ es la curva que cumple las condiciones
$\begin{cases} x^{2}+z^{2} = y^{2} \\ y = 3 \\ x \ge 0 \end{cases}$
El valor de la integral sobre esa curva.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un campo horrible, y una integral doble que no lo miraIntegral curvilínea1 + 6 + 3 = 10 pts
Sea $L$ la frontera de un triángulo situado en el primer cuadrante tal que sus vértices son $(0,0)$ , $(3,0)$ y $(3,h)$ y su altura $h$ . Calcular el valor de $h$ para que el trabajo realizado por el campo vectorial $V = \left(x^{3}\operatorname{sen}x,\; 2x\right)$ a lo largo de la curva $L$ sea 8 J.
El valor de la altura h.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres ecuaciones y tres cajas, una en cada unaEcuaciones diferenciales0 + 7 + 3 = 10 pts

Clasificar razonadamente las siguientes EDOs y resolver la que sea homogénea.

	Exacta	Homogénea	Lineal
$\left(xe^{x}+\dfrac{y}{x}\right)dx - dy = 0$
$\left(x^{3}-y^{3}\right)dy = x^{2}y\,dx$
$\left(\operatorname{sen}x\operatorname{sen}y-2y\right)y' = \cos x\cos y + 2x$

Clasificar las tres y resolver la homogénea.

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La misma ecuación con dos respuestas, según cuánto valga aEcuaciones diferenciales1 + 7 + 2 = 10 pts
Resolver la EDO $y'' + a\,y' = 7$ en función del parámetro $a$ .
La solución general, discutiendo según el valor de a.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Quinta evaluación, 15 de mayo de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión. El enunciado no fija el sentido de recorrido; la resolución declara el que toma.

Una curva escrita con tres condiciones, y dos términos que se caen solos

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la integral de línea

\int_{L}\left(x^{2}+z^{2}\right)dx + \left(x^{2}-z^{2}\right)dy + \left(y^{2}-x^{2}\right)dz

donde $L$ es la curva que cumple las condiciones

\begin{cases} x^{2}+z^{2} = y^{2} \\ y = 3 \\ x \ge 0 \end{cases}

El valor de la integral sobre esa curva.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las tres condiciones definen la curva. ¿Qué curva es?
02
Lo que aporta el primer término
COMP2
¿Cuánto aporta a la integral el término $\left(x^{2}+z^{2}\right)dx$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de la integral
COMP2
Recorriendo el arco desde $(0,3,-3)$ hasta $(0,3,3)$ —es decir, pasando por $(3,3,0)$ —, ¿cuánto vale la integral?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
Ese es el valor con el sentido contrario, de $(0,3,3)$ a $(0,3,-3)$ . El enunciado no lo fija, así que hay que declarar cuál se toma; con el que dice la pregunta sale $+18$ .
54 sale de olvidar el $\frac13$ al integrar $\operatorname{sen}^{2}t\cos t$ , cuya primitiva es $\frac{\operatorname{sen}^{3}t}{3}$ .
0 es lo que aportan el primer y el segundo términos. El tercero, $\left(y^{2}-x^{2}\right)dz$ , no se anula: $9-x^{2}$ es par en el parámetro y $dz$ no cambia de signo al recorrer el arco.
Parametriza $x = 3\cos t$ , $z = 3\operatorname{sen}t$ con $t \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ . Los dos primeros términos se anulan y solo queda el de $dz$ .
Desarrollo
Con $x = 3\cos t$ , $y = 3$ , $z = 3\operatorname{sen}t$ y $t: -\frac{\pi}{2} \to \frac{\pi}{2}$ :
- primer término: cero, como se ha visto;
- segundo término: $dy = 0$ porque $y\equiv 3$ , así que ni se calcula;
- tercer término:
$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(9 - 9\cos^{2}t\right)\cdot 3\cos t\,dt = 27\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\operatorname{sen}^{2}t\cos t\,dt$ $= 27\left[\frac{\operatorname{sen}^{3}t}{3}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 9\left(1-(-1)\right) = 18$
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sustituyendo $y=3$ en $x^{2}+z^{2}=y^{2}$ queda $x^{2}+z^{2}=9$ : una circunferencia de radio 3 en el plano $y=3$ , y con $x\ge 0$ , media.
2. Es un arco abierto, de $(0,3,-3)$ a $(0,3,3)$ , así que el signo depende del sentido y hay que declarar cuál se toma. Aquí, el que pasa por $(3,3,0)$ .
3. Como $y\equiv 3$ sobre toda la curva, $dy = 0$ y el segundo término desaparece sin calcular nada.
4. Y como $x^{2}+z^{2}=9$ sobre toda la curva, el primer término es $9\int_{L}dx = 9\left[x\right]$ , que vale cero porque los dos extremos tienen $x=0$ .
5. Solo queda el tercero: con $x=3\cos t$ , $z=3\operatorname{sen}t$ y $t$ de $-\frac\pi2$ a $\frac\pi2$ , vale $27\int\operatorname{sen}^{2}t\cos t\,dt = 18$ .

Resolución completa

Qué curva es

Las tres condiciones se leen de arriba abajo:

condición	qué dice
$x^{2}+z^{2}=y^{2}$	un cono de eje $Y$
$y=3$	cortado por el plano horizontal $y=3$
$x\ge 0$	y quedándose con media rodaja

Sustituyendo la segunda en la primera:

x^{2}+z^{2} = 9

una circunferencia de radio 3 en el plano $y=3$ . Con $x\ge 0$ queda media: un arco abierto de extremos $(0,3,-3)$ y $(0,3,3)$ .

El enunciado no fija el sentido de recorrido. Como la curva no es cerrada, el signo depende de él, así que hay que declararlo: aquí se toma desde $(0,3,-3)$ hasta $(0,3,3)$ , pasando por $(3,3,0)$ . Con el contrario el resultado es $-18$ . Decir esto vale puntos de COMP4; callarlo deja la respuesta a medias.

Dos términos se caen antes de calcular

El segundo. $y \equiv 3$ sobre toda la curva, así que $dy = 0$ y el término $\left(x^{2}-z^{2}\right)dy$ desaparece entero.

El primero. Sobre la curva $x^{2}+z^{2} = 9$ siempre, así que

\int_{L}\left(x^{2}+z^{2}\right)dx = 9\int_{L}dx = 9\left[x\right]

y los dos extremos tienen $x = 0$ : aporta cero.

Ninguna de las dos cosas necesita parametrizar. Verlas primero es la mitad del ejercicio.

Lo que queda

x = 3\cos t, \quad y = 3, \quad z = 3\operatorname{sen}t, \qquad t\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]

\int_{L}\left(y^{2}-x^{2}\right)dz = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(9-9\cos^{2}t\right)3\cos t\,dt = 27\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\operatorname{sen}^{2}t\cos t\,dt

= 27\left[\frac{\operatorname{sen}^{3}t}{3}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{18}

Por qué no se puede usar Green aquí

Porque la curva no es cerrada y además vive en el espacio, no en el plano. El teorema que valdría es el de Stokes, y para aplicarlo haría falta cerrar el arco con el diámetro y elegir una superficie. Aquí no compensa: parametrizar cuesta tres líneas porque dos de los tres términos se han caído solos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Quinta evaluación, 15 de mayo de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un campo horrible, y una integral doble que no lo mira

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $L$ la frontera de un triángulo situado en el primer cuadrante tal que sus vértices son $(0,0)$ , $(3,0)$ y $(3,h)$ y su altura $h$ . Calcular el valor de $h$ para que el trabajo realizado por el campo vectorial $V = \left(x^{3}\operatorname{sen}x,\; 2x\right)$ a lo largo de la curva $L$ sea 8 J.

El valor de la altura h.

01
Reconocer el camino
COMP1
La primera componente del campo es $x^{3}\operatorname{sen}x$ , que no tiene primitiva elemental cómoda. ¿Eso es un problema?
02
El integrando de Green
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{\partial N}{\partial x} - \dfrac{\partial M}{\partial y}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La altura
COMP2
¿Cuánto vale $h$ para que el trabajo sea 8 J?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $L$ es una curva cerrada y plana, así que se puede aplicar el teorema de Green.
2. Los vértices $(0,0)$ , $(3,0)$ y $(3,h)$ en ese orden recorren la frontera en sentido antihorario, que es el que Green pide con signo positivo.
3. $N_{x} = 2$ y $M_{y} = 0$ , así que el integrando es la constante 2 y el campo $x^{3}\operatorname{sen}x$ no llega a integrarse nunca.
4. $W = \iint_{D}2\,dA = 2\cdot\text{área}(D)$ , y el área del triángulo de base 3 y altura $h$ es $\frac{3h}{2}$ .
5. Por tanto $W = 3h$ , y de $3h = 8$ sale $h = \frac{8}{3}$ .
6. El campo no es conservativo — $N_{x}\neq M_{y}$ —, lo cual es necesario para que el problema tenga solución: si lo fuera, el trabajo sería 0 para cualquier $h$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Quinta evaluación, 15 de mayo de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres ecuaciones y tres cajas, una en cada una

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Clasificar razonadamente las siguientes EDOs y resolver la que sea homogénea.

	Exacta	Homogénea	Lineal
$\left(xe^{x}+\dfrac{y}{x}\right)dx - dy = 0$
$\left(x^{3}-y^{3}\right)dy = x^{2}y\,dx$
$\left(\operatorname{sen}x\operatorname{sen}y-2y\right)y' = \cos x\cos y + 2x$

Clasificar las tres y resolver la homogénea.

01
Reconocer el camino
COMP1
La tabla tiene tres filas y tres columnas. ¿Qué sugiere eso?
02
El grado de homogeneidad de la segunda
COMP2
En $x^{2}y\,dx + \left(y^{3}-x^{3}\right)dy = 0$ , ¿de qué grado son homogéneos $M$ y $N$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La solución de la homogénea, comprobada en un punto
COMP2
La solución es $\dfrac{x^{3}}{3y^{3}} + \ln|y| = C$ . Para la curva que pasa por $(1,1)$ , ¿cuánto vale $C$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La primera no es exacta: $M_{y} = \frac1x$ y $N_{x} = 0$ . Pero despejada es $y' - \frac{y}{x} = xe^{x}$ , con $y$ e $y'$ a la primera potencia: es lineal.
2. La segunda, escrita $x^{2}y\,dx + \left(y^{3}-x^{3}\right)dy = 0$ , tampoco es exacta — $M_{y}=x^{2}$ y $N_{x}=-3x^{2}$ —, pero $M$ y $N$ son homogéneas de grado 3: es homogénea.
3. La tercera, escrita $\left(\cos x\cos y+2x\right)dx + \left(2y-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}y\right)dy = 0$ , cumple $M_{y} = N_{x} = -\cos x\operatorname{sen}y$ : es exacta.
4. Para resolver la homogénea, el cambio $v = y/x$ da $v + xv' = \frac{v}{1-v^{3}}$ , y de ahí $xv' = \frac{v^{4}}{1-v^{3}}$ .
5. Separando, $\frac{1-v^{3}}{v^{4}}dv = \frac{dx}{x}$ , o sea $\int\left(v^{-4}-v^{-1}\right)dv = \int\frac{dx}{x}$ .
6. Integrando, $-\frac{1}{3v^{3}} - \ln|v| = \ln|x| + k$ , y deshaciendo el cambio queda $\frac{x^{3}}{3y^{3}} + \ln|y| = C$ .

Resolución completa

Las tres, comprobadas

ecuación	exacta	homogénea	lineal
$\left(xe^{x}+\frac{y}{x}\right)dx-dy=0$			✓
$\left(x^{3}-y^{3}\right)dy = x^{2}y\,dx$		✓
$\left(\operatorname{sen}x\operatorname{sen}y-2y\right)y' = \cos x\cos y+2x$	✓

La primera. $M = xe^{x}+\frac yx$ , $N = -1$ :

M_{y} = \frac1x, \qquad N_{x} = 0

No es exacta. Homogénea tampoco: $xe^{x}$ no es función de $y/x$ ni es homogéneo de ningún grado. Pero despejando:

\frac{dy}{dx} = xe^{x}+\frac{y}{x} \;\Longleftrightarrow\; y' - \frac{1}{x}\,y = xe^{x}

que es la forma canónica de una lineal de primer orden.

La segunda. Escrita como $x^{2}y\,dx + \left(y^{3}-x^{3}\right)dy = 0$ :

M_{y} = x^{2}, \qquad N_{x} = -3x^{2}

No es exacta. Pero $M$ y $N$ son homogéneas de grado 3, así que al dividir queda todo en función de $y/x$ : es homogénea.

La tercera. Pasando todo a la forma diferencial:

\left(\cos x\cos y+2x\right)dx + \left(2y-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}y\right)dy = 0

M_{y} = -\cos x\operatorname{sen}y, \qquad N_{x} = -\cos x\operatorname{sen}y

Coinciden: es exacta. (Su potencial, por si interesa, es $F = \operatorname{sen}x\cos y + x^{2} + y^{2}$ .)

Resolver la homogénea

\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}y}{x^{3}-y^{3}} = \frac{v}{1-v^{3}}, \qquad v = \frac{y}{x}

Con $y = vx$ e $y' = v+xv'$ :

v + xv' = \frac{v}{1-v^{3}} \;\Longrightarrow\; xv' = \frac{v}{1-v^{3}} - v = \frac{v^{4}}{1-v^{3}}

Ya es separable:

\frac{1-v^{3}}{v^{4}}\,dv = \frac{dx}{x} \;\Longrightarrow\; \int\left(v^{-4}-v^{-1}\right)dv = \int\frac{dx}{x}

-\frac{1}{3v^{3}} - \ln|v| = \ln|x| + k

Y deshaciendo el cambio, $\ln|v| + \ln|x| = \ln|y|$ :

\boxed{\;\frac{x^{3}}{3y^{3}} + \ln|y| = C\;}

—una solución implícita, que es lo normal en las homogéneas: despejar $y$ aquí no se puede.

Los tres puntos de COMP4

No están en resolver: están en razonar la clasificación. Para cada una hay que decir qué se comprueba y qué sale, y en particular por qué la primera no es homogénea aunque tenga un $y/x$ a la vista. Marcar tres cruces sin justificarlas vale cero de esos tres puntos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Quinta evaluación, 15 de mayo de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La misma ecuación con dos respuestas, según cuánto valga a

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO $y'' + a\,y' = 7$ en función del parámetro $a$ .

La solución general, discutiendo según el valor de a.

01
Reconocer el camino
COMP1
«En función del parámetro $a$ ». ¿Qué está pidiendo eso?
02
El coeficiente de la particular cuando a no es cero
COMP2
Con $a \neq 0$ , la particular es $y_{p} = Kx$ . ¿Cuánto vale $K$ para $a = 2$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El caso que se sale
COMP2
¿Para qué valor de $a$ deja de valer la fórmula anterior?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
El 7 es el término independiente y no interviene en la característica. Lo que decide la forma de la solución son las raíces de $r^{2}+ar = 0$ .
Con $a=1$ las raíces son $0$ y $-1$ , distintas: la fórmula general funciona perfectamente.
Con $a=-1$ las raíces son $0$ y $1$ , también distintas. El caso especial es cuando coinciden.
Las raíces son $0$ y $-a$ . ¿Cuándo son la misma? Y fíjate también en que $K = 7/a$ divide entre $a$ .
Desarrollo
$r^{2}+ar = r(r+a) = 0 \;\Longrightarrow\; r = 0,\; r = -a$
Las dos raíces coinciden cuando $a = 0$ , y ahí pasan dos cosas a la vez:
- la homogénea cambia de $C_{1}+C_{2}e^{-ax}$ a $C_{1}+C_{2}x$ ;
- la fórmula $K = \frac{7}{a}$ deja de tener sentido.
No es coincidencia: las dos son la misma resonancia vista desde dos sitios.
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La característica es $r^{2}+ar = r(r+a) = 0$ , con raíces $r=0$ y $r=-a$ .
2. Si $a\neq 0$ las raíces son distintas y $y_{h} = C_{1}+C_{2}e^{-ax}$ .
3. El término independiente es la constante 7, y como $r=0$ es raíz simple, el ensayo lleva una $x$ : $y_{p} = Kx$ , con $K = \frac{7}{a}$ .
4. Luego para $a\neq 0$ : $y = C_{1}+C_{2}e^{-ax}+\frac{7}{a}x$ .
5. Si $a = 0$ la ecuación es $y''=7$ , la raíz $r=0$ es doble y $y_{h} = C_{1}+C_{2}x$ .
6. Ahora la constante resuena dos veces, así que el ensayo lleva $x^{2}$ : $y_{p} = \frac72 x^{2}$ , y $y = C_{1}+C_{2}x+\frac72 x^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Quinta evaluación · 2022-2023

Una curva escrita con tres condiciones, y dos términos que se caen solos

Reconocer el camino

Lo que aporta el primer término

El valor de la integral

Justificar el argumento

Qué curva es

Dos términos se caen antes de calcular

Lo que queda

Por qué no se puede usar Green aquí

Un campo horrible, y una integral doble que no lo mira

Reconocer el camino

El integrando de Green

La altura

Justificar el argumento

Por qué el campo feo no importa

La cuenta

Las dos hipótesis que hay que decir

Y una comprobación de coherencia

Tres ecuaciones y tres cajas, una en cada una

Reconocer el camino

El grado de homogeneidad de la segunda

La solución de la homogénea, comprobada en un punto

Justificar el argumento

Las tres, comprobadas

Resolver la homogénea

Los tres puntos de COMP4

La misma ecuación con dos respuestas, según cuánto valga a

Reconocer el camino

El coeficiente de la particular cuando a no es cero

El caso que se sale

Justificar el argumento

La característica

Caso $a \neq 0$

Caso $a = 0$

Dónde está la nota

Quinta evaluación · 2022-2023

Reconocer el camino

Lo que aporta el primer término

El valor de la integral

Justificar el argumento

Qué curva es

Dos términos se caen antes de calcular

Lo que queda

Por qué no se puede usar Green aquí

Reconocer el camino

El integrando de Green

La altura

Justificar el argumento

Por qué el campo feo no importa

La cuenta

Las dos hipótesis que hay que decir

Y una comprobación de coherencia

Reconocer el camino

El grado de homogeneidad de la segunda

La solución de la homogénea, comprobada en un punto

Justificar el argumento

Las tres, comprobadas

Resolver la homogénea

Los tres puntos de COMP4

Reconocer el camino

El coeficiente de la particular cuando a no es cero

El caso que se sale

Justificar el argumento

La característica

Caso a≠0a \neq 0a=0

Caso a=0a = 0a=0

Dónde está la nota

Caso $a \neq 0$

Caso $a = 0$