tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · quinta evaluación

Quinta evaluación · 2020-2021

10 de mayo de 2021 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Dos funciones imposibles que se van al derivarIntegral curvilínea1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular
$\oint_{L}\left(\operatorname{arctg}x + y^{3}\right)dx + \left(e^{y}-x^{3}\right)dy$
donde $L$ es la curva que se muestra en la figura.

Figura redibujada del enunciado original. El original marca tres flechas —las dos del eje y la de la circunferencia grande—; la de la circunferencia pequeña está implícita, porque la curva es una sola y cerrada, y aquí se dibuja para que el sentido se lea de un vistazo.

La circulación del campo a lo largo de la curva cerrada.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres ecuaciones, y la exacta esconde una exponencial dobleEcuaciones diferenciales0 + 8 + 2 = 10 pts

Clasificar razonadamente las siguientes ecuaciones diferenciales y resolver la que sea exacta.

EDO	Exacta	Homogénea	Lineal
$2\left(x^{3}+xy^{2}\right)y' = y^{3}+2x^{2}y$
$\left(1-\cos x\right)dy + \left(2y\operatorname{sen}x-\operatorname{tg}x\right)dx = 0$
$y' = \dfrac{y^{2}e^{xy^{2}}+4x^{3}}{3y^{2}-2xye^{xy^{2}}}$

Clasificar las tres y resolver la exacta.

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un polinomio que no resuena y un coseno que síEcuaciones diferenciales0 + 8 + 2 = 10 pts
Resolver la EDO $y'' + 25y = 10x - 4 + 20\cos 5x$ .
La solución general.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Quinta evaluación, SEGUNDO PARCIAL, 10 de mayo de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos funciones imposibles que se van al derivar

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular

\oint_{L}\left(\operatorname{arctg}x + y^{3}\right)dx + \left(e^{y}-x^{3}\right)dy

donde $L$ es la curva que se muestra en la figura.

Figura redibujada del enunciado original. El original marca tres flechas —las dos del eje y la de la circunferencia grande—; la de la circunferencia pequeña está implícita, porque la curva es una sola y cerrada, y aquí se dibuja para que el sentido se lea de un vistazo.

La circulación del campo a lo largo de la curva cerrada.

01
Reconocer el camino
COMP1
El campo lleva un $\operatorname{arctg}x$ y una $e^{y}$ . ¿Qué hay que hacer con ellos?
02
El integrando de Green
COMP2
Escribiendo $N_{x} - M_{y} = k\left(x^{2}+y^{2}\right)$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La circulación
COMP2
¿Cuánto vale la integral?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $L$ es una curva cerrada y plana, así que se puede aplicar el teorema de Green.
2. Las flechas del enunciado marcan el sentido positivo: los dos tramos del eje hacia la derecha y la circunferencia grande de derecha a izquierda, dejando la región siempre a la izquierda.
3. La región que encierra es el medio anillo $1\le r\le 3$ con $y\ge 0$ .
4. $N_{x}-M_{y} = -3x^{2}-3y^{2} = -3r^{2}$ , y ni el $\operatorname{arctg}x$ ni la $e^{y}$ sobreviven a la derivada.
5. En polares, $\iint_{D}\left(-3r^{2}\right)r\,dr\,d\theta = -3\pi\frac{3^{4}-1}{4} = -60\pi$ .
6. La circunferencia pequeña forma parte del borde y hay que recorrerla en sentido contrario al de la grande, que es lo que hace que la región quede siempre a la izquierda.

Resolución completa

Por qué Green y no parametrizar

El campo es

\vec F = \left(\operatorname{arctg}x + y^{3},\; e^{y}-x^{3}\right)

La curva tiene cuatro tramos —dos rectos y dos arcos— y sobre los arcos habría que integrar $\operatorname{arctg}(3\cos t)$ y $e^{3\operatorname{sen}t}$ , que no tienen primitiva elemental. El enunciado los pone a propósito.

Con Green ninguno de los dos aparece:

N_{x} = -3x^{2}, \qquad M_{y} = 3y^{2}

El $\operatorname{arctg}x$ no depende de $y$ y la $e^{y}$ no depende de $x$ : desaparecen derivados.

La región y el sentido

Las flechas del enunciado marcan los dos tramos del eje hacia la derecha y la circunferencia grande de derecha a izquierda. Recorriendo así, la región queda siempre a la izquierda: es el sentido positivo, y Green entra con signo $+$ .

La región es el medio anillo

D = \left\{1\le r\le 3,\; 0\le\theta\le\pi\right\}

La cuenta

\oint_{L} = \iint_{D}\left(N_{x}-M_{y}\right)dA = \iint_{D}\left(-3r^{2}\right)dA

= -3\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{1}^{3}r^{3}\,dr\,d\theta = -3\pi\cdot\frac{81-1}{4} = \boxed{-60\pi \approx -188{,}50}

Tres cosas que valen los dos puntos de COMP4

El signo tiene sentido. El integrando $-3r^{2}$ es negativo en toda la región, así que la circulación tiene que salir negativa. Si sale positiva, hay un error de orientación.

El agujero cuenta. La región empieza en $r=1$ , no en $r=0$ : es un anillo. Con $r$ de 0 a 3 saldría $-60{,}75\pi$ , y la diferencia no es un redondeo sino un planteamiento distinto.

La circunferencia pequeña es parte del borde, y se recorre al revés que la grande. Eso no es un capricho: es lo que mantiene la región a la izquierda en todo el recorrido.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Quinta evaluación, SEGUNDO PARCIAL, 10 de mayo de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres ecuaciones, y la exacta esconde una exponencial doble

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Clasificar razonadamente las siguientes ecuaciones diferenciales y resolver la que sea exacta.

EDO	Exacta	Homogénea	Lineal
$2\left(x^{3}+xy^{2}\right)y' = y^{3}+2x^{2}y$
$\left(1-\cos x\right)dy + \left(2y\operatorname{sen}x-\operatorname{tg}x\right)dx = 0$
$y' = \dfrac{y^{2}e^{xy^{2}}+4x^{3}}{3y^{2}-2xye^{xy^{2}}}$

Clasificar las tres y resolver la exacta.

01
Reconocer el camino
COMP1
La tercera trae $e^{xy^{2}}$ en el numerador y en el denominador. ¿Qué sugiere eso?
02
El grado de la primera
COMP2
En $\left(y^{3}+2x^{2}y\right)dx - 2\left(x^{3}+xy^{2}\right)dy = 0$ , ¿de qué grado son homogéneos $M$ y $N$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La constante de la solución, en un punto
COMP2
La solución de la exacta es $e^{xy^{2}} + x^{4} - y^{3} = C$ . Para la curva que pasa por $(0,1)$ , ¿cuánto vale $C$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La primera, escrita $\left(y^{3}+2x^{2}y\right)dx - 2\left(x^{3}+xy^{2}\right)dy = 0$ , tiene $M_{y} = 3y^{2}+2x^{2}$ y $N_{x} = -6x^{2}-2y^{2}$ : no es exacta, pero $M$ y $N$ son homogéneas de grado 3, así que es homogénea.
2. La segunda tiene $M_{y} = 2\operatorname{sen}x$ y $N_{x} = \operatorname{sen}x$ : tampoco es exacta. Pero despejada es $y' + \frac{2\operatorname{sen}x}{1-\cos x}\,y = \frac{\operatorname{tg}x}{1-\cos x}$ : es lineal.
3. La tercera, escrita $\left(y^{2}e^{xy^{2}}+4x^{3}\right)dx + \left(2xye^{xy^{2}}-3y^{2}\right)dy = 0$ , cumple $M_{y} = N_{x} = 2ye^{xy^{2}}\left(1+xy^{2}\right)$ : es exacta.
4. Para resolverla se integra $M$ respecto de $x$ : $F = e^{xy^{2}} + x^{4} + g(y)$ .
5. Derivando respecto de $y$ e igualando a $N$ : $2xye^{xy^{2}} + g'(y) = 2xye^{xy^{2}} - 3y^{2}$ , luego $g'(y) = -3y^{2}$ y $g = -y^{3}$ .
6. La solución es $e^{xy^{2}} + x^{4} - y^{3} = C$ , en forma implícita.

Resolución completa

Las tres, comprobadas

ecuación	exacta	homogénea	lineal
$2\left(x^{3}+xy^{2}\right)y' = y^{3}+2x^{2}y$		✓
$\left(1-\cos x\right)dy+\left(2y\operatorname{sen}x-\operatorname{tg}x\right)dx=0$			✓
$y' = \frac{y^{2}e^{xy^{2}}+4x^{3}}{3y^{2}-2xye^{xy^{2}}}$	✓

La primera. En forma diferencial, $\left(y^{3}+2x^{2}y\right)dx - 2\left(x^{3}+xy^{2}\right)dy = 0$ :

M_{y} = 3y^{2}+2x^{2}, \qquad N_{x} = -6x^{2}-2y^{2}

No coinciden. Pero $M$ y $N$ son homogéneas de grado 3, así que $\frac{dy}{dx}$ solo depende de $y/x$ : homogénea.

La segunda.

M_{y} = 2\operatorname{sen}x, \qquad N_{x} = \operatorname{sen}x

Tampoco. Pero al despejar aparece la forma canónica:

y' + \frac{2\operatorname{sen}x}{1-\cos x}\,y = \frac{\operatorname{tg}x}{1-\cos x}

lineal de primer orden.

La tercera. Pasando el denominador:

\left(y^{2}e^{xy^{2}}+4x^{3}\right)dx + \left(2xye^{xy^{2}}-3y^{2}\right)dy = 0

M_{y} = 2ye^{xy^{2}} + 2xy^{3}e^{xy^{2}} = 2ye^{xy^{2}}\left(1+xy^{2}\right)

N_{x} = 2ye^{xy^{2}} + 2xy^{3}e^{xy^{2}} = 2ye^{xy^{2}}\left(1+xy^{2}\right)

Coinciden: exacta. Y la señal estaba a la vista antes de derivar — la misma exponencial $e^{xy^{2}}$ aparece multiplicada por $y^{2}$ en un término y por $2xy$ en el otro, que son exactamente sus dos derivadas parciales.

Resolver la exacta

F_{x} = y^{2}e^{xy^{2}}+4x^{3} \;\Longrightarrow\; F = e^{xy^{2}} + x^{4} + g(y)

—la integral de $y^{2}e^{xy^{2}}$ respecto de $x$ es directa, porque $y^{2}$ es la derivada del exponente respecto de $x$ .

F_{y} = 2xye^{xy^{2}} + g'(y) = 2xye^{xy^{2}} - 3y^{2} \;\Longrightarrow\; g'(y) = -3y^{2} \;\Longrightarrow\; g(y) = -y^{3}

\boxed{\;e^{xy^{2}} + x^{4} - y^{3} = C\;}

Por qué se queda implícita

No se puede despejar $y$ : aparece dentro de la exponencial y fuera, elevada al cubo. Y no pasa nada — la forma implícita es la solución de una ecuación exacta, y buscar la explícita es pedir algo que en general no existe. Decirlo cierra el ejercicio.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Quinta evaluación, SEGUNDO PARCIAL, 10 de mayo de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un polinomio que no resuena y un coseno que sí

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO $y'' + 25y = 10x - 4 + 20\cos 5x$ .

La solución general.

01
Reconocer el camino
COMP1
El segundo miembro tiene dos partes muy distintas. ¿Cómo se atacan?
02
El coeficiente del término lineal
COMP2
Ensayando $y_{p} = Ax+B$ para el sumando $10x-4$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente del término que resuena
COMP2
Ensayando $y_{p} = x\left(C\cos 5x + D\operatorname{sen}5x\right)$ para $20\cos 5x$ , ¿cuánto vale $D$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $r^{2}+25 = 0$ da $r = \pm 5i$ , así que $y_{h} = C_{1}\cos 5x + C_{2}\operatorname{sen}5x$ .
2. Por superposición se buscan dos particulares, una para cada sumando del segundo miembro.
3. Para $10x-4$ no hay resonancia: el ensayo $Ax+B$ da $A=\frac25$ y $B=-\frac{4}{25}$ .
4. Para $20\cos 5x$ sí la hay, porque $\cos 5x$ está en la homogénea: el ensayo lleva una $x$ delante y da $C=0$ , $D=2$ .
5. La solución general es $y = C_{1}\cos 5x + C_{2}\operatorname{sen}5x + \frac25 x - \frac{4}{25} + 2x\operatorname{sen}5x$ .
6. El término $2x\operatorname{sen}5x$ crece sin límite, que es lo que significa físicamente excitar un sistema a su frecuencia propia.

Resolución completa

La homogénea

r^{2}+25 = 0 \;\Longrightarrow\; r = \pm 5i \;\Longrightarrow\; y_{h} = C_{1}\cos 5x + C_{2}\operatorname{sen}5x

Dos sumandos, dos ensayos

El segundo miembro es $10x-4+20\cos 5x$ , y las dos partes se tratan por separado. La diferencia entre ellas es todo el ejercicio.

$10x-4$ — sin resonancia. Las soluciones homogéneas son oscilaciones; un polinomio no está entre ellas.

y_{p_{1}} = Ax+B \;\Longrightarrow\; 25(Ax+B) = 10x-4 \;\Longrightarrow\; A = \frac25,\quad B = -\frac{4}{25}

$20\cos 5x$ — con resonancia. $\cos 5x$ es solución de la homogénea, así que el ensayo lleva una $x$ delante:

y_{p_{2}} = x\left(C\cos 5x + D\operatorname{sen}5x\right)

y_{p_{2}}''+25y_{p_{2}} = -10C\operatorname{sen}5x + 10D\cos 5x = 20\cos 5x

C = 0, \qquad D = 2

La solución

\boxed{\;y = C_{1}\cos 5x + C_{2}\operatorname{sen}5x + \frac{2}{5}x - \frac{4}{25} + 2x\operatorname{sen}5x\;}

Lo que dice cada trozo

Merece la pena leer la solución, que es lo que valen los dos puntos de COMP4:

término	qué es
$C_{1}\cos 5x + C_{2}\operatorname{sen}5x$	la oscilación libre, acotada
$\frac25 x - \frac{4}{25}$	la respuesta a la parte lineal, una recta
$2x\operatorname{sen}5x$	la resonancia: crece sin límite

El último es el interesante. Excitar el sistema justo a su frecuencia propia —5, la misma que la de la homogénea— hace que la amplitud crezca linealmente con $x$ en vez de estabilizarse. Y no se puede absorber en $C_{2}$ : $x\operatorname{sen}5x$ y $\operatorname{sen}5x$ son funciones distintas, una acotada y la otra no.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Quinta evaluación · 2020-2021

Reconocer el camino

El integrando de Green

La circulación

Justificar el argumento

Por qué Green y no parametrizar

La región y el sentido

La cuenta

Tres cosas que valen los dos puntos de COMP4

Reconocer el camino

El grado de la primera

La constante de la solución, en un punto

Justificar el argumento

Las tres, comprobadas

Resolver la exacta

Por qué se queda implícita

Reconocer el camino

El coeficiente del término lineal

El coeficiente del término que resuena

Justificar el argumento

La homogénea

Dos sumandos, dos ensayos

La solución

Lo que dice cada trozo