tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · quinta evaluación

Quinta evaluación · 2024-2025

12 de mayo de 2025 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Remontar un río por arriba o por abajo, y por qué no da igualIntegral curvilínea1 + 7 + 2 = 10 pts
La figura representa un fragmento del cauce de un río navegable. La corriente del río viene representada por un vector fuerza $V(x,y) = \left(M(x,y),\, N(x,y)\right)$ definido en cada punto $(x,y)$ de la superficie.

La figura muestra dos trayectorias de navegación $C_{1}$ y $C_{2}$ entre los puntos A y B. Estas curvas son parábolas, y tienen las siguientes ecuaciones respectivamente:
$y = -\frac{1}{2}x^{2} + 3, \qquad y = \frac{1}{2}x^{2} - 1$

Figura redibujada del enunciado original. Las flechas son la corriente del apartado a). El enunciado no da la ecuación de la curva C, solo el área que encierra, así que R se dibuja con una superelipse ajustada para que su área sea exactamente los 5,42 km² del dato.

a) Supongamos que a cierta hora del día el vector fuerza tiene la expresión $V(x,y) = \left(2xy - 5y,\; x^{2}+y\right)$ . Un barco realiza los viajes de ida y vuelta entre los puntos A y B siguiendo en cada tramo alguna de las trayectorias $C_{1}$ o $C_{2}$ . Se desea utilizar la fuerza de la corriente del río para ahorrar combustible. Determinar cuál es la mejor elección de trayectoria para el viaje de ida AB y el de vuelta BA.

b) La figura también muestra una región sombreada R del río delimitada por una curva C. Se estima que la superficie de la región R es de $5{,}42\ \text{km}^{2}$ . Calcular el trabajo que realizaría el campo $V$ si el barco recorriera la trayectoria C que delimita R.

c) Unas horas más tarde, el campo vectorial de fuerza ha cambiado, siendo ahora $V(x,y) = \left(2xy + y^{2},\; 2xy + x^{2}\right)$ . Determinar cuál es ahora la mejor elección de trayectoria para cada uno de los viajes AB y BA. Calcular el trabajo que efectúa la corriente del río en cada viaje. Calcular el trabajo que realizaría el campo $V$ si el barco recorriera la trayectoria C que delimita R.
Qué camino conviene en cada viaje, y el trabajo en cada caso.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cinco mil salmones y diez salmones acaban en el mismo sitioEcuaciones diferenciales1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea $y(t)$ la función que modeliza el número de salmones de cierto río. El ritmo de reproducción diario de los salmones es proporcional al número de salmones existentes, siendo la constante de proporcionalidad $k = 5$ . Debido a la depredación de las gaviotas y otras aves, los salmones son capturados a un ritmo aproximado de $y^{2}(t)$ por día. Además, cada día migran al mar 4 salmones.

a) Escribir el modelo matemático (EDO) que describe la situación.

b) Suponiendo que cierto día hay 5000 salmones en el río, ¿sobrevivirá la población de salmones? ¿Y si hubiera 10 salmones?
La ecuación diferencial, y qué pasa desde dos poblaciones iniciales.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos términos a la derecha, y solo uno resuenaEcuaciones diferenciales1 + 7 + 2 = 10 pts
Resolver la EDO $y'' + 9y = 4e^{-3x} + 9\operatorname{sen}(3x)$ .
La solución general.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Quinta evaluación, 12 de mayo de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Remontar un río por arriba o por abajo, y por qué no da igual

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura representa un fragmento del cauce de un río navegable. La corriente del río viene representada por un vector fuerza $V(x,y) = \left(M(x,y),\, N(x,y)\right)$ definido en cada punto $(x,y)$ de la superficie.

La figura muestra dos trayectorias de navegación $C_{1}$ y $C_{2}$ entre los puntos A y B. Estas curvas son parábolas, y tienen las siguientes ecuaciones respectivamente:

y = -\frac{1}{2}x^{2} + 3, \qquad y = \frac{1}{2}x^{2} - 1

Figura redibujada del enunciado original. Las flechas son la corriente del apartado a). El enunciado no da la ecuación de la curva C, solo el área que encierra, así que R se dibuja con una superelipse ajustada para que su área sea exactamente los 5,42 km² del dato.

a) Supongamos que a cierta hora del día el vector fuerza tiene la expresión $V(x,y) = \left(2xy - 5y,\; x^{2}+y\right)$ . Un barco realiza los viajes de ida y vuelta entre los puntos A y B siguiendo en cada tramo alguna de las trayectorias $C_{1}$ o $C_{2}$ . Se desea utilizar la fuerza de la corriente del río para ahorrar combustible. Determinar cuál es la mejor elección de trayectoria para el viaje de ida AB y el de vuelta BA.

b) La figura también muestra una región sombreada R del río delimitada por una curva C. Se estima que la superficie de la región R es de $5{,}42\ \text{km}^{2}$ . Calcular el trabajo que realizaría el campo $V$ si el barco recorriera la trayectoria C que delimita R.

c) Unas horas más tarde, el campo vectorial de fuerza ha cambiado, siendo ahora $V(x,y) = \left(2xy + y^{2},\; 2xy + x^{2}\right)$ . Determinar cuál es ahora la mejor elección de trayectoria para cada uno de los viajes AB y BA. Calcular el trabajo que efectúa la corriente del río en cada viaje. Calcular el trabajo que realizaría el campo $V$ si el barco recorriera la trayectoria C que delimita R.

Qué camino conviene en cada viaje, y el trabajo en cada caso.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el apartado b) no se da la ecuación de C, solo el área que encierra. ¿Qué herramienta permite calcular el trabajo con eso?
02
Apartado a) — el trabajo por la parábola de abajo
COMP2
Con $V = (2xy-5y,\; x^{2}+y)$ , ¿cuánto vale el trabajo de A a B siguiendo $C_{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Apartado b) — el trabajo alrededor de C
COMP2
Con el mismo campo, ¿cuánto vale el trabajo a lo largo de la curva cerrada C, recorrida en sentido positivo?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Apartado c) — el trabajo de ida con el campo nuevo
COMP2
Con $V = (2xy+y^{2},\; 2xy+x^{2})$ , ¿cuánto vale el trabajo del viaje de ida, de A a B?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta del apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos parábolas se cortan donde $-\frac12x^{2}+3 = \frac12x^{2}-1$ , o sea $x^{2}=4$ : los puntos son A $(-2,1)$ y B $(2,1)$ .
2. $M_{y} = 2x-5$ y $N_{x} = 2x$ no coinciden, así que el campo no es conservativo y el camino sí importa.
3. Integrando, el trabajo de A a B vale $-\frac{140}{3}$ por $C_{1}$ y $+\frac{20}{3}$ por $C_{2}$ .
4. Para la ida conviene $C_{2}$ , que es la única que da trabajo positivo: la corriente empuja en vez de frenar.
5. Para la vuelta los signos se invierten: $+\frac{140}{3}$ por $C_{1}$ y $-\frac{20}{3}$ por $C_{2}$ , así que conviene $C_{1}$ .
6. El circuito completo —ida por $C_{2}$ , vuelta por $C_{1}$ — es antihorario y da $\frac{160}{3}$ , que es $5$ por el área encerrada entre las dos parábolas, $\frac{32}{3}$ . Green cuadra.

Resolución completa

Los tres apartados son la misma pregunta con tres respuestas distintas: ¿importa el camino?

Los extremos

Las dos parábolas se cortan donde

-\tfrac12x^{2}+3 = \tfrac12x^{2}-1 \;\Longrightarrow\; x^{2}=4

así que $A(-2,1)$ y $B(2,1)$ , como marca la figura.

a) Ida por abajo, vuelta por arriba

M_{y} = 2x-5, \qquad N_{x} = 2x, \qquad N_{x}-M_{y} = 5 \neq 0

No es conservativo: el camino importa. Sustituyendo cada parábola y aprovechando que el intervalo $[-2,2]$ es simétrico —los términos impares se van—:

tramo	por $C_{1}$ (arriba)	por $C_{2}$ (abajo)
ida A → B	$-\frac{140}{3} \approx -46{,}7$	$+\frac{20}{3} \approx +6{,}7$
vuelta B → A	$+\frac{140}{3} \approx +46{,}7$	$-\frac{20}{3} \approx -6{,}7$

Ida por $C_{2}$ y vuelta por $C_{1}$ . El total del circuito es $\frac{20}{3}+\frac{140}{3} = \frac{160}{3} \approx 53{,}3$ .

Y ese número se puede comprobar sin repetir ninguna integral: el circuito —abajo de izquierda a derecha, arriba de derecha a izquierda— es antihorario, así que por Green vale

5 \cdot \text{área entre las parábolas} = 5\int_{-2}^{2}\left(4-x^{2}\right)dx = 5\cdot\frac{32}{3} = \frac{160}{3} \quad\checkmark

Escribir esta comprobación vale los dos puntos de COMP4: demuestra que las dos integrales y el teorema dicen lo mismo.

b) Green, con el área como único dato

El enunciado no da la ecuación de C. No hace falta:

\oint_{C} V\cdot d\vec r = \iint_{R}\left(N_{x}-M_{y}\right)dA = 5\iint_{R}dA = 5\cdot 5{,}42 = \boxed{27{,}1}

Funciona porque el integrando es constante. Si dependiera del punto, el área no bastaría.

c) Ahora el camino da igual

M_{y} = 2x+2y = N_{x}

Conservativo, con potencial $f(x,y) = x^{2}y + xy^{2}$ :

Ida A → B: $f(B)-f(A) = 6-2 = 4$ , por cualquiera de las dos.
Vuelta B → A: $-4$ , por cualquiera de las dos.
Curva cerrada C: $0$ .

Así que la pregunta «cuál conviene» ya no tiene respuesta: es indiferente, y decirlo así —con el motivo— es la respuesta completa.

Lo que el ejercicio enseña de una vez

apartado	¿conservativo?	qué se usa	resultado
a	no	parametrizar las dos curvas	el camino decide
b	no	Green, con $N_{x}-M_{y}$ constante	$5\times$ área
c	sí	potencial	los extremos deciden, la curva no

El mismo río, el mismo dibujo, tres herramientas distintas. Lo que las separa es una comprobación de dos derivadas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Quinta evaluación, 12 de mayo de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cinco mil salmones y diez salmones acaban en el mismo sitio

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $y(t)$ la función que modeliza el número de salmones de cierto río. El ritmo de reproducción diario de los salmones es proporcional al número de salmones existentes, siendo la constante de proporcionalidad $k = 5$ . Debido a la depredación de las gaviotas y otras aves, los salmones son capturados a un ritmo aproximado de $y^{2}(t)$ por día. Además, cada día migran al mar 4 salmones.

a) Escribir el modelo matemático (EDO) que describe la situación.

b) Suponiendo que cierto día hay 5000 salmones en el río, ¿sobrevivirá la población de salmones? ¿Y si hubiera 10 salmones?

La ecuación diferencial, y qué pasa desde dos poblaciones iniciales.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para contestar al apartado b), ¿hace falta resolver la ecuación?
02
El equilibrio estable
COMP2
¿Hacia qué número de salmones tiende la población si empieza por encima de 1?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El modelo es $y' = 5y - y^{2} - 4$ : reproducción proporcional ( $+5y$ ), depredación ( $-y^{2}$ ) y migración constante ( $-4$ ).
2. Es una EDO autónoma: el tiempo no aparece en el lado derecho, así que se puede estudiar sin resolverla.
3. Factorizando, $y' = -(y-1)(y-4)$ , con equilibrios en $y=1$ e $y=4$ .
4. El 4 es estable —por encima baja y por debajo sube— y el 1 es inestable.
5. Con 5000 salmones se empieza muy por encima de 4, así que la población cae rápidamente y se estabiliza en 4: sobrevive.
6. Con 10 salmones también se empieza por encima de 4, así que pasa lo mismo: baja hasta 4 y sobrevive.

tramo	signo de $y'$	hacia dónde va
$y < 1$	negativo	baja: se extingue
$1 < y < 4$	positivo	sube hacia 4
$y > 4$	negativo	baja hacia 4

Resolución completa

a) El modelo

Se traduce cada frase a un término:

lo que dice	término
«el ritmo de reproducción es proporcional al número, con $k=5$ »	$+5y$
«son capturados a un ritmo aproximado de $y^{2}$ »	$-y^{2}$
«cada día migran al mar 4 salmones»	$-4$

\boxed{\;y'(t) = 5y - y^{2} - 4\;}

Conviene señalar la diferencia entre los tres: dos dependen de la población y el tercero no. Esa constante es la que hace que el modelo tenga dos equilibrios en vez de uno, y con ella aparece la posibilidad de extinción.

b) Sin resolver la ecuación

Es autónoma, así que basta con factorizar:

y' = -\left(y^{2}-5y+4\right) = -(y-1)(y-4)

Equilibrios en $y=1$ y en $y=4$ , y el signo entre ellos:

y<1:\ y'<0 \qquad 1<y<4:\ y'>0 \qquad y>4:\ y'<0

$y=4$ es estable —las soluciones lo persiguen desde los dos lados— y $y=1$ es inestable: es la frontera entre sobrevivir y extinguirse.

Las dos respuestas

Con 5000 salmones. Está muy por encima de 4, así que $y'$ es enormemente negativo —vale unos $-25$ millones el primer día— y la población se desploma. Pero no puede cruzar el 4: una solución no atraviesa un equilibrio. Se estabiliza en 4. Sobrevive.

Con 10 salmones. También está por encima de 4. Baja igual, y también acaba en 4. Sobrevive.

Lo que la pregunta quiere provocar

Que contestes «con 5000 sí y con 10 no», porque diez peces suenan a poco. Y no es eso: lo que decide es estar por encima o por debajo de 1, no de un número que parezca grande. Si el río tuviera 0,9 salmones —que en un modelo continuo tiene sentido como densidad— la población sí se hundiría.

Merece la pena decir también lo que el modelo no captura: la solución tiende a 4 pero nunca llega, y un río con cuatro salmones no es una población viable en la realidad. El modelo describe la dinámica, no la biología.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Quinta evaluación, 12 de mayo de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos términos a la derecha, y solo uno resuena

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO $y'' + 9y = 4e^{-3x} + 9\operatorname{sen}(3x)$ .

La solución general.

01
Reconocer el camino
COMP1
La homogénea da $y_{h} = C_{1}\cos 3x + C_{2}\operatorname{sen}3x$ . ¿Qué tiene de particular el segundo miembro?
02
El coeficiente de la exponencial
COMP2
Ensayando $y_{p} = Ae^{-3x}$ para el término $4e^{-3x}$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente del término que resuena
COMP2
Ensayando $y_{p} = x\left(B\cos 3x + C\operatorname{sen}3x\right)$ para el término $9\operatorname{sen}3x$ , ¿cuánto vale $B$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $r^{2}+9=0$ da $r = \pm 3i$ , así que $y_{h} = C_{1}\cos 3x + C_{2}\operatorname{sen}3x$ .
2. Por superposición, se busca una particular para cada término del segundo miembro y se suman.
3. Para $4e^{-3x}$ no hay resonancia — $-3$ no es raíz de la característica— y el ensayo $Ae^{-3x}$ da $A = \frac29$ .
4. Para $9\operatorname{sen}3x$ sí la hay, porque $\operatorname{sen}3x$ está en la homogénea: el ensayo se multiplica por $x$ .
5. Sustituyendo, $B = -\frac32$ y $C = 0$ , o sea $y_{p_{2}} = -\frac32 x\cos 3x$ .
6. La solución general es $y = C_{1}\cos 3x + C_{2}\operatorname{sen}3x + \frac29 e^{-3x} - \frac32 x\cos 3x$ .

Resolución completa

La homogénea

r^{2}+9 = 0 \;\Longrightarrow\; r = \pm 3i \;\Longrightarrow\; y_{h} = C_{1}\cos 3x + C_{2}\operatorname{sen}3x

Superposición: dos términos, dos ensayos

El segundo miembro tiene dos sumandos y se tratan por separado. La diferencia entre ellos es lo que el ejercicio evalúa.

$4e^{-3x}$ — sin resonancia. El $-3$ del exponente no es raíz de $r^{2}+9$ , que las tiene imaginarias puras. Ensayo directo:

y_{p_{1}} = Ae^{-3x} \;\Longrightarrow\; 18Ae^{-3x} = 4e^{-3x} \;\Longrightarrow\; A = \frac{2}{9}

$9\operatorname{sen}3x$ — con resonancia. $\operatorname{sen}3x$ es solución de la homogénea, así que el ensayo lleva una $x$ delante:

y_{p_{2}} = x\left(B\cos 3x + C\operatorname{sen}3x\right)

Al derivar dos veces, los términos que llevan $x$ se cancelan contra $9y_{p_{2}}$ y sobrevive solo la parte de las derivadas cruzadas:

-6B\operatorname{sen}3x + 6C\cos 3x = 9\operatorname{sen}3x \;\Longrightarrow\; B = -\frac32,\quad C = 0

La solución

\boxed{\;y = C_{1}\cos 3x + C_{2}\operatorname{sen}3x + \frac{2}{9}e^{-3x} - \frac{3}{2}\,x\cos 3x\;}

Qué significa la $x$ que aparece

Vale la pena decirlo, porque es el único punto de COMP1 del ejercicio y además es física. La amplitud del término resonante crece linealmente con $x$ : el sistema se excita a su propia frecuencia natural y la respuesta no se estabiliza. Es el mismo fenómeno por el que una tropa rompe el paso al cruzar un puente.

La comprobación rápida, que cuesta poco: en $x=0$ la particular vale $\frac29$ y su segunda derivada, $-2 - 0$ … sustituir un valor concreto caza casi cualquier error de signo en los coeficientes.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Quinta evaluación · 2024-2025

Reconocer el camino

Apartado a) — el trabajo por la parábola de abajo

Apartado b) — el trabajo alrededor de C

Apartado c) — el trabajo de ida con el campo nuevo

Justificar el argumento

Los extremos

a) Ida por abajo, vuelta por arriba

b) Green, con el área como único dato

c) Ahora el camino da igual

Lo que el ejercicio enseña de una vez

Reconocer el camino

El equilibrio estable

Justificar el argumento

a) El modelo

b) Sin resolver la ecuación

Las dos respuestas

Lo que la pregunta quiere provocar

Reconocer el camino

El coeficiente de la exponencial

El coeficiente del término que resuena

Justificar el argumento

La homogénea

Superposición: dos términos, dos ensayos

La solución

Qué significa la xxx que aparece

Qué significa la $x$ que aparece