tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · quinta evaluación

Quinta evaluación · 2025-2026

11 de mayo de 2026 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Tres caminos hasta la cima, y un viento que a veces empuja gratisIntegral curvilínea1 + 7 + 2 = 10 pts
Supongamos que la altura de un monte se modeliza mediante la función $z(x,y) = \left(1 + x^{2} + y^{2}\right)^{-1}$ .

Figura redibujada del enunciado original. El monte es la superficie z = (1+x²+y²)⁻¹; A y B están a media altura, uno sobre el eje X y otro sobre el eje Y, y M es la cima. Las dos subidas C₁ y C₂ son la misma curva reflejada, y por eso el trabajo del viento es igual en las dos.

La figura representa un fragmento de ladera, y tres trayectorias sobre la misma, $C_{1}$ , $C_{2}$ y $C_{AB}$ . Las trayectorias $C_{1}$ y $C_{2}$ parten de los puntos A y B respectivamente y llegan hasta la cima M. Las proyecciones de $C_{1}$ y $C_{2}$ sobre el plano XY se encuentran sobre los ejes coordenados X e Y respectivamente, desde $(1,0)$ hasta $(0,0)$ para $C_{1}$ y desde $(0,1)$ hasta $(0,0)$ para $C_{2}$ . La tercera trayectoria $C_{AB}$ une los puntos A y B y su proyección sobre el plano XY es el segmento de recta $y = 1-x$ , $x\in[0,1]$ . Las cotas son en km.

a) Supongamos que a cierta hora del día, el viento sopla con una fuerza dada por:
$F(x,y,z) = \left(xz,\; yz,\; \frac{1}{z^{2}}\right)$
Se planea realizar la subida en vehículo y utilizar la fuerza del viento para ahorrar combustible. ¿Cuál de las dos trayectorias de subida, $C_{1}$ o $C_{2}$ , debe elegirse?

b) Unas horas más tarde, el viento ha cambiado y su fuerza ahora viene dada por:
$F(x,y,z) = \left(2x+y,\; x+2y-z,\; -y\right)$
Calcular el trabajo efectuado por la fuerza en los siguientes casos:

b1. Si se sigue la trayectoria $C_{AB}$ .

b2. Si se sigue la trayectoria ABMA.
Elegir entre las dos subidas, y el trabajo del segundo viento en dos recorridos.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Tres ecuaciones que se parecen, y solo una se resuelve igualEcuaciones diferenciales0 + 7 + 3 = 10 pts
a) Indicar de qué tipo es cada una de las siguientes EDO:
$\text{a.1)}\quad (4y - x^{2}y)\,dx + (2x + xy^{2})\,dy = 0$ $\text{a.2)}\quad x\,y'\operatorname{sen} x + y\cos x = x^{2}$ $\text{a.3)}\quad x\,y' - y = y\ln(y/x)$
b) Resolver la EDO a.3.
Clasificar las tres y resolver la tercera.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cuando el término de la derecha no cabe en ningún moldeEcuaciones diferenciales1 + 7 + 2 = 10 pts
Resolver la EDO $y'' - 2y' + y = \dfrac{8e^{x}}{1+x^{2}}$ .
La solución general de la ecuación completa.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Quinta evaluación, 11 de mayo de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres caminos hasta la cima, y un viento que a veces empuja gratis

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Supongamos que la altura de un monte se modeliza mediante la función $z(x,y) = \left(1 + x^{2} + y^{2}\right)^{-1}$ .

Figura redibujada del enunciado original. El monte es la superficie z = (1+x²+y²)⁻¹; A y B están a media altura, uno sobre el eje X y otro sobre el eje Y, y M es la cima. Las dos subidas C₁ y C₂ son la misma curva reflejada, y por eso el trabajo del viento es igual en las dos.

La figura representa un fragmento de ladera, y tres trayectorias sobre la misma, $C_{1}$ , $C_{2}$ y $C_{AB}$ . Las trayectorias $C_{1}$ y $C_{2}$ parten de los puntos A y B respectivamente y llegan hasta la cima M. Las proyecciones de $C_{1}$ y $C_{2}$ sobre el plano XY se encuentran sobre los ejes coordenados X e Y respectivamente, desde $(1,0)$ hasta $(0,0)$ para $C_{1}$ y desde $(0,1)$ hasta $(0,0)$ para $C_{2}$ . La tercera trayectoria $C_{AB}$ une los puntos A y B y su proyección sobre el plano XY es el segmento de recta $y = 1-x$ , $x\in[0,1]$ . Las cotas son en km.

a) Supongamos que a cierta hora del día, el viento sopla con una fuerza dada por:

F(x,y,z) = \left(xz,\; yz,\; \frac{1}{z^{2}}\right)

Se planea realizar la subida en vehículo y utilizar la fuerza del viento para ahorrar combustible. ¿Cuál de las dos trayectorias de subida, $C_{1}$ o $C_{2}$ , debe elegirse?

b) Unas horas más tarde, el viento ha cambiado y su fuerza ahora viene dada por:

F(x,y,z) = \left(2x+y,\; x+2y-z,\; -y\right)

Calcular el trabajo efectuado por la fuerza en los siguientes casos:

b1. Si se sigue la trayectoria $C_{AB}$ .

b2. Si se sigue la trayectoria ABMA.

Elegir entre las dos subidas, y el trabajo del segundo viento en dos recorridos.

01
Reconocer el camino
COMP1
Ante cualquier integral de línea de un campo de fuerzas, ¿cuál es la primera comprobación?
02
Apartado a) — el trabajo por la primera trayectoria
COMP2
Para $F = \left(xz, yz, \frac{1}{z^{2}}\right)$ , ¿cuánto vale el trabajo a lo largo de $C_{1}$ , de A hasta M?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál de las dos subidas, $C_{1}$ o $C_{2}$ , conviene?
04
Apartado b1) — el trabajo por C_AB
COMP2
Con $F = (2x+y,\; x+2y-z,\; -y)$ , ¿cuánto vale el trabajo de A hasta B por la trayectoria $C_{AB}$ ?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado b2). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El recorrido ABMA empieza en A y termina en A: es una curva cerrada.
2. Ya se ha comprobado en b1 que el campo es conservativo, porque su rotacional es nulo y está definido en todo $\mathbb{R}^{3}$ .
3. En un campo conservativo el trabajo vale $f(\text{final}) - f(\text{inicial})$ , y en una curva cerrada los dos puntos son el mismo.
4. Por tanto $W = f(A) - f(A) = 0$ , sin necesidad de recorrer ningún tramo.
5. Se puede comprobar por partes: $W_{AB} = -\frac12$ , $W_{BM} = f(M)-f(B) = 0-\frac12 = -\frac12$ y $W_{MA} = f(A)-f(M) = 1-0 = 1$ , que suman 0.

Resolución completa

El ejercicio está construido sobre una sola pregunta hecha dos veces: ¿es conservativo el campo? En el apartado a) la respuesta es no y hay que integrar; en el b) es sí y no hay que integrar nada.

Los tres puntos

Las cotas salen de la función del monte:

A = \left(1, 0, \tfrac12\right), \qquad B = \left(0, 1, \tfrac12\right), \qquad M = (0, 0, 1)

a) Las dos subidas dan lo mismo

El campo $F = \left(xz, yz, \frac{1}{z^{2}}\right)$ no es conservativo:

\operatorname{rot}\vec F = (y,\; x,\; 0) \neq \vec 0

así que el camino importa y hay que calcular. Parametrizando $C_{1}$ con $x=t$ , $y=0$ , $z=\frac{1}{1+t^{2}}$ , con $t$ de 1 a 0:

W_{1} = \int_{1}^{0}\left(\frac{t}{1+t^{2}} - 2t\right)dt = 1 - \frac{\ln 2}{2} \approx 0{,}6534

Y aquí está la gracia del apartado: no hace falta repetir la cuenta. El monte y el campo son invariantes al intercambiar $x$ por $y$ —basta mirarlos—, y ese intercambio lleva $C_{1}$ a $C_{2}$ . Luego

W_{2} = W_{1} = 1 - \frac{\ln 2}{2}

Da igual cuál se elija. Las dos ahorran lo mismo. Decir esto con el argumento de simetría, en vez de calcular la segunda integral, es lo que se valora: la respuesta a «¿cuál conviene?» no es un número, es «ninguna de las dos, y por esto».

b) Ahora sí es conservativo

\operatorname{rot}\left(2x+y,\; x+2y-z,\; -y\right) = (-1+1,\; 0,\; 1-1) = \vec 0

y el campo está definido en todo $\mathbb{R}^{3}$ , que es simplemente conexo — la hipótesis que hay que decir en voz alta, porque sin ella el rotacional nulo no basta.

El potencial se integra en tres pasos:

f(x,y,z) = x^{2} + xy + y^{2} - yz

b1. $W = f(B) - f(A) = \frac12 - 1 = \boxed{-\frac12}$

b2. ABMA es cerrada, así que $W = f(A) - f(A) = \boxed{0}$ .

Y se puede comprobar sumando los tres tramos, que es lo que un corrector agradece:

tramo	$\Delta f$
A → B	$\frac12 - 1 = -\frac12$
B → M	$0 - \frac12 = -\frac12$
M → A	$1 - 0 = +1$
total	0

Lo que este ejercicio quiere que no hagas

Parametrizar en el apartado b). Son tres tramos, uno de ellos sobre una superficie curva, y todos con la coordenada $z$ ligada a $x$ e $y$ : media hora de cuentas para llegar a dos números que salen restando potenciales. Comprobar el rotacional cuesta tres derivadas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Quinta evaluación, 11 de mayo de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres ecuaciones que se parecen, y solo una se resuelve igual

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Indicar de qué tipo es cada una de las siguientes EDO:

\text{a.1)}\quad (4y - x^{2}y)\,dx + (2x + xy^{2})\,dy = 0

\text{a.2)}\quad x\,y'\operatorname{sen} x + y\cos x = x^{2}

\text{a.3)}\quad x\,y' - y = y\ln(y/x)

b) Resolver la EDO a.3.

Clasificar las tres y resolver la tercera.

01
Reconocer el camino
COMP1
Ante una EDO de primer orden, ¿en qué orden conviene probar los tipos?
02
La a.1 — ¿es exacta?
COMP2
Para $M = 4y - x^{2}y$ y $N = 2x + xy^{2}$ , ¿cuánto vale $\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x}$ en el punto $(2,1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La solución de a.3, por un punto concreto
COMP2
La solución general de a.3 es $y = x\,e^{Cx}$ . Para la que pasa por el punto $(1, e)$ , ¿cuánto vale $y(2)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la clasificación y la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a.1 viene como $M\,dx+N\,dy=0$ , pero $M_{y} = 4-x^{2}$ y $N_{x} = 2+y^{2}$ no coinciden: no es exacta.
2. Sacando factor común, $y(4-x^{2})\,dx + x(2+y^{2})\,dy = 0$ , y dividiendo entre $xy$ los dos sumandos se separan: a.1 es de variables separables.
3. a.2, dividida entre $x\operatorname{sen}x$ , queda $y' + \frac{\cos x}{x\operatorname{sen}x}\,y = \frac{x}{\operatorname{sen}x}$ : es lineal de primer orden, con $y$ e $y'$ a la primera potencia y sin productos entre ellas.
4. a.3 se escribe $y' = \frac{y}{x}\left[1+\ln\frac{y}{x}\right]$ : todo depende de $y/x$ , así que es homogénea.
5. Con el cambio $v = y/x$ , o sea $y = vx$ e $y' = v + xv'$ , la a.3 se convierte en $xv' = v\ln v$ , que ya es separable: $\frac{dv}{v\ln v} = \frac{dx}{x}$ .
6. Integrando, $\ln|\ln v| = \ln|x| + k$ , luego $\ln v = Cx$ y $y = x\,e^{Cx}$ .

Resolución completa

a) Los tres tipos

	ecuación	tipo	por qué
a.1	$(4y-x^{2}y)dx + (2x+xy^{2})dy = 0$	variables separables	no es exacta, pero al dividir entre $xy$ cada sumando queda con una sola variable
a.2	$x\,y'\operatorname{sen}x + y\cos x = x^{2}$	lineal de primer orden	$y$ e $y'$ aparecen a la primera potencia y sin multiplicarse entre sí
a.3	$x\,y' - y = y\ln(y/x)$	homogénea	despejada, todo depende de $y/x$

a.1 con detalle. Que venga escrita como $M\,dx+N\,dy=0$ invita a probar exactitud, y falla:

M_{y} = 4-x^{2}, \qquad N_{x} = 2+y^{2}, \qquad M_{y}\neq N_{x}

Pero sacando factor común se ve lo que es:

y(4-x^{2})\,dx + x(2+y^{2})\,dy = 0 \;\xrightarrow{\;\div\,xy\;}\; \frac{4-x^{2}}{x}\,dx + \frac{2+y^{2}}{y}\,dy = 0

a.2 con detalle. Dividiendo entre $x\operatorname{sen}x$ :

y' + \frac{\cos x}{x\operatorname{sen}x}\,y = \frac{x}{\operatorname{sen}x}

que es la forma canónica $y' + P(x)y = Q(x)$ .

b) Resolver la a.3

x y' - y = y\ln\frac{y}{x} \;\Longrightarrow\; y' = \frac{y}{x}\left(1 + \ln\frac{y}{x}\right)

Con el cambio de las homogéneas, $v = \dfrac{y}{x}$ , es decir $y = vx$ e $y' = v + xv'$ :

v + xv' = v(1+\ln v) = v + v\ln v \;\Longrightarrow\; xv' = v\ln v

Ya es separable:

\frac{dv}{v\ln v} = \frac{dx}{x} \;\Longrightarrow\; \ln\left|\ln v\right| = \ln|x| + k \;\Longrightarrow\; \ln v = Cx

v = e^{Cx} \;\Longrightarrow\; \boxed{y = x\,e^{Cx}}

La integral del lado izquierdo es la que se atasca: con $u = \ln v$ se tiene $du = dv/v$ , y queda $\int du/u$ .

La comprobación, que aquí vale puntos

Sustituir la solución en la ecuación cuesta dos líneas y cierra el ejercicio:

y = xe^{Cx} \;\Rightarrow\; y' = e^{Cx}(1+Cx)

x y' - y = Cx^{2}e^{Cx}, \qquad y\ln\frac{y}{x} = xe^{Cx}\cdot Cx = Cx^{2}e^{Cx} \quad\checkmark

Y una observación sobre el dominio

La solución exige $v > 0$ para que exista $\ln v$ , o sea $y$ y $x$ del mismo signo. Y $v\neq 1$ , porque $\ln v = 0$ anula el denominador al separar — ese caso, $y = x$ , se pierde en la división y hay que recuperarlo aparte: es la solución constante $v\equiv 1$ , que también satisface la ecuación y corresponde a $C=0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Quinta evaluación, 11 de mayo de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuando el término de la derecha no cabe en ningún molde

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO $y'' - 2y' + y = \dfrac{8e^{x}}{1+x^{2}}$ .

La solución general de la ecuación completa.

01
Reconocer el camino
COMP1
El término de la derecha es $\dfrac{8e^{x}}{1+x^{2}}$ . ¿Qué método hay que usar para la solución particular?
02
La raíz de la ecuación característica
COMP2
¿Cuál es la raíz de $r^{2} - 2r + 1 = 0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La solución particular, evaluada
COMP2
La solución particular es $y_{p} = e^{x}\left[8x\arctan x - 4\ln(1+x^{2})\right]$ . ¿Cuánto vale $y_{p}(1)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La característica $r^{2}-2r+1=0$ tiene la raíz $r=1$ doble, así que $y_{h} = (C_{1}+C_{2}x)e^{x}$ , con $y_{1}=e^{x}$ e $y_{2}=xe^{x}$ .
2. El wronskiano vale $W = y_{1}y_{2}' - y_{1}'y_{2} = e^{x}(1+x)e^{x} - e^{x}\cdot xe^{x} = e^{2x}$ .
3. Con $g(x) = \frac{8e^{x}}{1+x^{2}}$ : $u_{1}' = -\frac{y_{2}\,g}{W} = -\frac{8x}{1+x^{2}}$ y $u_{2}' = \frac{y_{1}\,g}{W} = \frac{8}{1+x^{2}}$ .
4. Integrando, $u_{1} = -4\ln(1+x^{2})$ y $u_{2} = 8\arctan x$ ; las constantes de integración se omiten porque ya están en la homogénea.
5. $y_{p} = u_{1}y_{1} + u_{2}y_{2} = e^{x}\left[8x\arctan x - 4\ln(1+x^{2})\right]$ .
6. La solución general es la suma: $y = e^{x}\left[C_{1} + C_{2}x + 8x\arctan x - 4\ln(1+x^{2})\right]$ .

Resolución completa

Por qué no valen los coeficientes indeterminados

El método de coeficientes indeterminados necesita que el segundo miembro tenga una familia de derivadas finita: polinomios, exponenciales, senos, cosenos y sus productos. Aquí el término es

g(x) = \frac{8e^{x}}{1+x^{2}}

y al derivarlo aparecen $(1+x^{2})^{2}$ , luego $(1+x^{2})^{3}$ , y así sin parar. No hay forma finita que ensayar. Decir esto es el punto de COMP1 del ejercicio.

La homogénea

r^{2}-2r+1 = (r-1)^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; r = 1 \text{ doble}

y_{h} = (C_{1} + C_{2}x)\,e^{x}, \qquad y_{1} = e^{x}, \quad y_{2} = xe^{x}

Variación de constantes

Se buscan $u_{1}(x)$ y $u_{2}(x)$ con $y_{p} = u_{1}y_{1} + u_{2}y_{2}$ . El wronskiano:

W = \begin{vmatrix} e^{x} & xe^{x} \\ e^{x} & (1+x)e^{x}\end{vmatrix} = e^{2x}(1+x) - xe^{2x} = e^{2x}

—limpísimo, y es consecuencia directa de la raíz doble.

u_{1}' = -\frac{y_{2}\,g}{W} = -\frac{xe^{x}}{e^{2x}}\cdot\frac{8e^{x}}{1+x^{2}} = -\frac{8x}{1+x^{2}} \;\Longrightarrow\; u_{1} = -4\ln(1+x^{2})

u_{2}' = \frac{y_{1}\,g}{W} = \frac{e^{x}}{e^{2x}}\cdot\frac{8e^{x}}{1+x^{2}} = \frac{8}{1+x^{2}} \;\Longrightarrow\; u_{2} = 8\arctan x

Las dos integrales son inmediatas, y no es casualidad: el $8$ y el $1+x^{2}$ del enunciado están puestos para que salgan el logaritmo y el arcotangente sin coeficientes feos.

La solución

y_{p} = -4\ln(1+x^{2})\,e^{x} + 8\arctan(x)\cdot xe^{x}

\boxed{\;y = e^{x}\left[C_{1} + C_{2}x + 8x\arctan x - 4\ln\left(1+x^{2}\right)\right]\;}

Dos avisos

Las constantes de las dos integrales se omiten. Si se dejaran, producirían $k_{1}e^{x} + k_{2}xe^{x}$ , que es exactamente la homogénea: se absorberían en $C_{1}$ y $C_{2}$ . Escribirlas no está mal, pero sobra.

No se multiplica por $x$ nada. Esa regla pertenece a coeficientes indeterminados, para cuando el ensayo choca con la homogénea. La variación de constantes no ensaya: construye. Aplicar aquí la regla del solapamiento estropea una solución que ya era correcta, y es el error que más aparece cuando se mezclan los dos métodos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Quinta evaluación · 2025-2026

Reconocer el camino

Apartado a) — el trabajo por la primera trayectoria

Reconocer el camino

Apartado b1) — el trabajo por C_AB

Justificar el argumento

Los tres puntos

a) Las dos subidas dan lo mismo

b) Ahora sí es conservativo

Lo que este ejercicio quiere que no hagas

Reconocer el camino

La a.1 — ¿es exacta?

La solución de a.3, por un punto concreto

Justificar el argumento

a) Los tres tipos

b) Resolver la a.3

La comprobación, que aquí vale puntos

Y una observación sobre el dominio

Reconocer el camino

La raíz de la ecuación característica

La solución particular, evaluada

Justificar el argumento

Por qué no valen los coeficientes indeterminados

La homogénea

Variación de constantes

La solución

Dos avisos