tal cual cayó — sin cambiar un número
Cálculo · quinta evaluación
Quinta evaluación · 2015-2016
2 de mayo de 2016 · 3 ejercicios · 30 puntos
Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.
Reconstruir el gradiente a partir de dos derivadas direccionalesFunciones reales de varias variables reales2 + 3 + 5 = 10 pts
La altura de una montaña viene dada por la función . Si nos situamos en el punto y nos dirigimos hacia el punto , la derivada direccional es . En cambio, si nos dirigimos al punto , la derivada direccional es .
a) Hallar el vector gradiente en el punto e interpretar su significado.
b) Calcular el valor de la derivada direccional en el punto siguiendo la dirección dada por el vector .
El gradiente en el punto, su interpretación, y la derivada direccional en la dirección de (4,3).
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Tres caminos, y un campo al que le dan igualIntegral curvilínea3 + 3 + 4 = 10 pts
Calcular el valor de
para cada una de las siguientes curvas :
a) es el segmento de recta , , .
b) es el arco de circunferencia de centro que pasa por los puntos , .
c) es toda la circunferencia del apartado anterior.
El valor de la integral en los tres casos.
- COMP 13 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La hora del crimen, y el dato que pone el forenseEcuaciones diferenciales3 + 3 + 4 = 10 pts
La policía ha encontrado el cadáver de una persona, dentro de una habitación. Un modo de determinar aproximadamente la hora de la muerte, cuando ha ocurrido pocas horas antes, es estudiar el proceso de enfriamiento del cadáver. Se ha tomado la temperatura al cadáver a las 14:00 y a las 16:00 horas, siendo estos valores 28 °C y 25 °C respectivamente. La habitación se encuentra a 20 °C. ¿A qué hora se produjo el crimen?
Nota: dejar indicadas las operaciones a efectuar con la calculadora.
Nota: ley de enfriamiento de Newton: el ritmo de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del ambiente.
La hora aproximada de la muerte, con las operaciones dejadas indicadas.
- COMP 13 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.
Reconstruir el gradiente a partir de dos derivadas direccionales
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
La altura de una montaña viene dada por la función . Si nos situamos en el punto y nos dirigimos hacia el punto , la derivada direccional es . En cambio, si nos dirigimos al punto , la derivada direccional es .
a) Hallar el vector gradiente en el punto e interpretar su significado.
b) Calcular el valor de la derivada direccional en el punto siguiendo la dirección dada por el vector .
El gradiente en el punto, su interpretación, y la derivada direccional en la dirección de (4,3).
- 01
Reconocer el camino
COMP1Nos dan dos derivadas direccionales en el mismo punto. ¿Por qué eso basta para conocer el gradiente entero?
Si lo fuera, el enunciado no daría dos valores distintos: y . La derivada direccional depende de la dirección, y eso es justo lo que la hace útil.
Exacto. Y aquí las dos direcciones son además los propios ejes, así que el sistema es tan sencillo que ni se plantea: cada derivada direccional es una parcial, con su signo.
Casi, y por eso engaña: aquí sale bien de casualidad, porque las dos direcciones son perpendiculares y unitarias. Con dos direcciones cualesquiera habría que resolver el sistema , .
- 02
La parcial respecto de y
COMP2De hacia la derivada direccional vale . ¿Cuánto vale ?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Ojo a la dirección. De a se baja en : el vector unitario es , no . Por tanto , y .
Has dividido entre la distancia dos veces, o has normalizado un vector que ya era unitario. tiene módulo : no hay nada que dividir.
Escribe el vector unitario que va de a y haz el producto escalar con .
Desarrollo
El vector de a es , que ya es unitario. Así que
Y de la otra, con : . El gradiente es .
- 03
La derivada direccional en la dirección de (4,3)
COMP2¿Cuánto vale en la dirección del vector ?
en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Se te ha olvidado normalizar. tiene módulo , y la derivada direccional se define con un vector unitario: hay que dividir entre .
Has tratado como un punto de destino y has usado la dirección . El enunciado dice «la dirección dada por el vector »: el vector es la dirección, no un punto.
Eso es , la derivada direccional máxima, la que se obtiene yendo en la dirección del propio gradiente. En la dirección de es algo menor, porque no es paralelo a .
.
Desarrollo
- 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Es perpendicular, no tangente. Precisamente porque a lo largo de la curva de nivel la altura no cambia, la derivada direccional en la dirección tangente es cero, y significa que el gradiente es ortogonal a esa dirección. Es la razón de que la máxima pendiente sea siempre la que cruza las curvas de nivel de frente.
El razonamiento, en orden
De a el vector unitario es , así que .
De a el vector unitario es , así que y por tanto .
El gradiente es .
Su significado: apunta en la dirección de máxima pendiente de subida —hacia el nordeste, a — y su módulo, , es esa pendiente máxima. Ninguna dirección desde sube más deprisa que eso.
Con queda , menos que porque no es paralelo al gradiente.
Resolución completa
Lo que dice cada dato. La derivada direccional es con unitario, así que cada dirección que nos dan es una ecuación lineal en y .
De hacia : el desplazamiento es , que ya es unitario, y entonces .
De hacia : el desplazamiento es , unitario también, y , de donde . Ese signo es el ejercicio entero: la derivada direccional es negativa porque se va hacia abajo en , no porque la parcial lo sea.
a) El gradiente y su significado.
Apunta en la dirección de máxima pendiente de subida —la bisectriz del primer cuadrante— y su módulo, , es el valor de esa pendiente máxima. Es además perpendicular a la curva de nivel que pasa por el punto: en la montaña, la línea de máxima pendiente cruza las curvas de nivel de frente.
b) La dirección de . Primero se normaliza, que es el paso que más se olvida:
Un control de coherencia. , como tiene que ser: ninguna derivada direccional puede pasar del módulo del gradiente. Y están muy cerca porque forma un ángulo pequeño con . Si la respuesta hubiera salido mayor que , sería señal segura de que falta normalizar.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Tres caminos, y un campo al que le dan igual
- COMP 13 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Calcular el valor de
para cada una de las siguientes curvas :
a) es el segmento de recta , , .
b) es el arco de circunferencia de centro que pasa por los puntos , .
c) es toda la circunferencia del apartado anterior.
El valor de la integral en los tres casos.
- 01
Reconocer el camino
COMP1Tres caminos distintos y un solo campo. ¿Qué es lo primero que hay que mirar?
Eso es. , así que hay potencial. Y entonces a) y b) valen lo mismo —mismos extremos— y c) vale cero, por ser cerrada. Tres apartados y ni una parametrización.
Se puede, y sale. Pero entonces el apartado b) pide parametrizar un arco de circunferencia con senos y cosenos al cubo, y el c) otra vez. Comprobar cuesta dos derivadas y ahorra las tres parametrizaciones.
Green necesita una curva cerrada, y de los tres caminos solo el tercero lo es. Para el segmento y el arco no se puede aplicar directamente.
- 02
El segmento, y también el arco
COMP2¿Cuánto vale la integral a lo largo del segmento de a ?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Ese es a secas. Falta restarle : lo que vale la integral es la diferencia de potencial entre los extremos.
Signo: la integral va de a , así que es , no .
Te has quedado con y has perdido el . Comprueba tu potencial derivándolo: , y a le falta el .
Busca con y evalúa en los dos extremos.
Desarrollo
Integrando respecto de :
Derivando respecto de y comparando con sale , así que .
Y el apartado b) no hay que calcularlo: el arco tiene los mismos extremos, así que también vale .
- 03
La circunferencia entera
COMP2¿Y a lo largo de toda la circunferencia?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Ese es el valor de a . La circunferencia entera vuelve al punto de partida, así que el extremo final y el inicial son el mismo y la diferencia de potencial es cero.
Has sumado los dos arcos con el mismo signo. Recorriendo la circunferencia entera, uno se hace de a y el otro de a : el segundo aporta .
¿Cuáles son el punto inicial y el final de una curva cerrada?
Desarrollo
para cualquier punto de la circunferencia. Con Green se ve igual de rápido: en todo el plano, así que la integral doble es cero sobre cualquier recinto.
- 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Pasan dos arcos, sí — y son incluso diametralmente opuestos, porque su punto medio es el centro . Pero justamente por ser el campo conservativo los dos dan lo mismo, . La ambigüedad del enunciado no es un fallo: es la gracia del ejercicio.
El razonamiento, en orden
y coinciden, y el campo está definido en todo el plano, que es simplemente conexo: el campo es conservativo.
Un potencial es , y se comprueba derivando: y .
a) .
b) El arco tiene los mismos extremos que el segmento, así que vale lo mismo: . No hay que parametrizar nada.
c) La circunferencia entera es cerrada, el punto final coincide con el inicial y la integral vale .
Resolución completa
Lo primero: ¿es conservativo? Con y :
Coinciden, y el campo está definido en todo , que es simplemente conexo. Luego hay potencial, y los tres apartados se contestan sin parametrizar ni una curva.
El potencial. De , integrando en :
Derivando en : , que tiene que ser igual a , así que y es constante. Se toma cero:
a) El segmento.
b) El arco. Mismos extremos, mismo valor: . Y conviene mirar la geometría: y están los dos a distancia del centro —están sobre la circunferencia— y su punto medio es el centro, así que son diametralmente opuestos. Hay por tanto dos arcos posibles, y los dos valen . Eso es exactamente lo que significa «no depende del camino».
c) La circunferencia entera. Es cerrada: el punto final es el inicial y
Lo que enseña el ejercicio. Los tres apartados están puestos en ese orden a propósito: el a) se puede hacer a la fuerza, el b) ya duele, y el c) es inmediato si se ha visto lo del potencial. Quien empieza parametrizando llega al final del examen; quien empieza derivando dos veces lo termina en un cuarto de folio.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
La hora del crimen, y el dato que pone el forense
- COMP 13 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
La policía ha encontrado el cadáver de una persona, dentro de una habitación. Un modo de determinar aproximadamente la hora de la muerte, cuando ha ocurrido pocas horas antes, es estudiar el proceso de enfriamiento del cadáver. Se ha tomado la temperatura al cadáver a las 14:00 y a las 16:00 horas, siendo estos valores 28 °C y 25 °C respectivamente. La habitación se encuentra a 20 °C. ¿A qué hora se produjo el crimen?
Nota: dejar indicadas las operaciones a efectuar con la calculadora.
Nota: ley de enfriamiento de Newton: el ritmo de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del ambiente.
La hora aproximada de la muerte, con las operaciones dejadas indicadas.
- 01
Reconocer el camino
COMP1El enunciado da tres temperaturas: 28, 25 y 20. Ninguna sirve como condición en el instante de la muerte. ¿Qué falta, y de dónde sale?
Con eso se determina la curva entera, sí. Pero la pregunta es en qué instante valía otra cosa, y para responderla hay que saber cuál era esa otra cosa. Sin los 37 °C no hay ecuación que resolver.
sí se conoce: para eso están las dos medidas. La primera fija la constante de integración y la segunda fija . Lo que no está en el enunciado es la temperatura inicial.
Eso es. Es el supuesto que convierte el modelo en una respuesta: °C en el instante de la muerte. Conviene escribirlo explícitamente en el examen, porque es una hipótesis nuestra y COMP4 la pide declarada.
- 02
Lo que decae en dos horas
COMP2Tomando a las 14:00, ¿cuánto vale ?
en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Has hecho , con las temperaturas. Lo que decae exponencialmente no es la temperatura, sino su diferencia con el ambiente: pasa de a .
Lo has puesto del revés, . El cuerpo se enfría, así que tiene que ser menor que y negativo.
Eso es , no : has repartido el decaimiento entre las dos horas. La pregunta es por lo que decae en las dos horas enteras, que es .
Escribe , usa para y después.
Desarrollo
- 03
Cuántas horas antes de las 14:00
COMP2¿Cuántas horas antes de las 14:00 se produjo la muerte?
en horas, en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Te has dejado el . El dato está tomado dos horas después, así que lo que vale es y no : la constante es .
Esas son las horas antes de las 16:00, la segunda medida. Como instante da la misma hora del crimen, pero la pregunta está referida a las 14:00: son dos horas menos.
Has usado °C en vez de . Un grado en la temperatura de partida son un cuarto de hora largo en la hora del crimen: por eso el resultado se da como aproximado.
Impón y despeja ; te saldrá negativo, y ese signo es la respuesta.
Desarrollo
El numerador es positivo y el denominador negativo, así que h: antes del instante de referencia, como tenía que ser.
- 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
El signo negativo no es un error que corregir: es la respuesta. se mide desde las 14:00, y negativo significa antes. Además, después de las 14:00 el cuerpo estaba a menos de 28 °C y bajando: no hay ningún instante posterior en el que valga 37.
El razonamiento, en orden
La ley de Newton es , y su solución es .
Con a las 14:00, da , y da , es decir .
Hipótesis declarada: en el instante de la muerte el cuerpo estaba a °C. No está en el enunciado y sin ella el problema no tiene solución.
De sale h.
Tres horas y doce minutos antes de las 14:00 son, aproximadamente, las 10:47.
Resolución completa
El modelo. La ley de Newton, con el ambiente a 20 °C:
Las dos medidas. Se toma a las 14:00, que es la elección que menos cuentas da.
Fíjate en qué es lo que decae: no la temperatura, sino la diferencia con el ambiente. De grados a en dos horas.
El dato que no está escrito. Para preguntar por la hora de la muerte hace falta saber a qué temperatura estaba el cuerpo entonces, y eso el enunciado no lo dice. Se toma la temperatura de un cuerpo vivo, 37 °C, y se declara como hipótesis: es un supuesto del modelo, no un dato medido.
El instante.
Son 3 horas, 12 minutos y 27 segundos antes de las 14:00, es decir, sobre las 10:47.
Con qué precisión. Ninguna, más allá del cuarto de hora. El modelo supone que la habitación estuvo siempre a 20 °C, que el cuerpo se enfría como un objeto homogéneo y que partía exactamente de 37 °C; cambiar ese último dato a 36 °C mueve la respuesta un cuarto de hora largo. Por eso el enunciado dice «aproximadamente» y por eso conviene escribirlo en la respuesta: en COMP4 se puntúa decir de qué se fía uno.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.