tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · quinta evaluación

Quinta evaluación · 2017-2018

7 de mayo de 2018 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Cambiar el orden y descubrir que hacen falta dos integralesIntegral múltiple2 + 6 + 2 = 10 pts
Sea la integral
$\int_{0}^{1}\left(\int_{\sqrt{y}}^{3-2y}dx\right)dy$
Representar gráficamente el dominio de integración, cambiar el orden de integración y calcular la nueva integral obtenida.
El recinto dibujado, la integral con el orden cambiado y su valor.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un trabajo que se calcula sin conocer el caminoIntegral curvilínea3 + 5 + 2 = 10 pts
Calcular el trabajo realizado por el campo vectorial $V=(-3y,\,6x)$ desde el punto $A=(-1,0)$ al punto $B=(1,0)$ a lo largo de la trayectoria $L_{1}$ , sabiendo que el área sombreada de la figura vale $S=10$ .

Figura redibujada del enunciado original. Los puntos A y B van rotulados con su nombre además de con sus coordenadas, que es lo único que pone el original; la forma de L₁ está medida sobre el PDF y no interviene en el resultado, que solo depende del área encerrada.

El trabajo de $V$ a lo largo de $L_{1}$ , de $A$ a $B$ .
- COMP 13 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La barra que se calienta, y el dato que no está escritoEcuaciones diferenciales2 + 6 + 2 = 10 pts
Según la Ley de Newton, el ritmo de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del ambiente. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20 °C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo. Calcular el tiempo que dicha barra tarda en alcanzar los 90 °C, si se sabe que su temperatura aumentó 2 °C en un segundo. ¿Cuánto tardará la barra en alcanzar los 98 °C?

Nota: dejar indicadas las operaciones a efectuar con la calculadora.
Los dos tiempos, con las operaciones dejadas indicadas.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Quinta evaluación, SEGUNDO CUATRIMESTRAL, 7 de mayo de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cambiar el orden y descubrir que hacen falta dos integrales

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la integral

\int_{0}^{1}\left(\int_{\sqrt{y}}^{3-2y}dx\right)dy

Representar gráficamente el dominio de integración, cambiar el orden de integración y calcular la nueva integral obtenida.

El recinto dibujado, la integral con el orden cambiado y su valor.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los límites dicen que $y$ va de $0$ a $1$ y que, para cada $y$ , la $x$ va de $\sqrt{y}$ a $3-2y$ . ¿Qué figura es ese recinto?
02
Dónde se parte
COMP2
Al integrar primero en $y$ , la tapa de arriba deja de ser una curva y pasa a ser la otra. ¿En qué abscisa $x$ ocurre el cambio?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de la integral
COMP2
Con el orden cambiado, ¿cuánto vale la integral?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los límites de partida describen el recinto por franjas horizontales: para cada $y\in[0,1]$ , la $x$ va de $\sqrt{y}$ a $3-2y$ .
2. Despejadas, las dos tapas son la parábola $y=x^{2}$ y la recta $y=\dfrac{3-x}{2}$ , y se cortan en $(1,1)$ .
3. Por franjas verticales el recinto empieza en $x=0$ y acaba en $x=3$ , y la tapa de arriba cambia en $x=1$ : hasta ahí es la parábola, y a partir de ahí la recta.
4. Hacen falta, por tanto, dos integrales, y su suma es $\dfrac13+1=\dfrac43$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Quinta evaluación, SEGUNDO CUATRIMESTRAL, 7 de mayo de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un trabajo que se calcula sin conocer el camino

COMP 13 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el trabajo realizado por el campo vectorial $V=(-3y,\,6x)$ desde el punto $A=(-1,0)$ al punto $B=(1,0)$ a lo largo de la trayectoria $L_{1}$ , sabiendo que el área sombreada de la figura vale $S=10$ .

Figura redibujada del enunciado original. Los puntos A y B van rotulados con su nombre además de con sus coordenadas, que es lo único que pone el original; la forma de L₁ está medida sobre el PDF y no interviene en el resultado, que solo depende del área encerrada.

El trabajo de $V$ a lo largo de $L_{1}$ , de $A$ a $B$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado no da la ecuación de $L_{1}$ . ¿Por qué se puede calcular el trabajo de todas formas?
02
El trabajo por la parábola
COMP2
Recorriendo $L_{2}$ , la parábola $y=1-x^{2}$ , de $A$ a $B$ , ¿cuánto vale el trabajo?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El trabajo por L₁
COMP2
Con $S=10$ , ¿cuánto vale el trabajo a lo largo de $L_{1}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $N_{x}-M_{y}=6-(-3)=9\neq 0$ , así que el campo no es conservativo y el trabajo depende del camino.
2. $L_{1}$ recorrida de $A$ a $B$ y $L_{2}$ recorrida de $B$ a $A$ forman una curva cerrada que deja el recinto siempre a la izquierda: es el sentido positivo.
3. Por Green, esa circulación vale $\iint_{D}9\,dA=9S=90$ , y aquí es donde entra el único dato que se da de la figura.
4. Sobre $L_{2}$ , con $y=1-x^{2}$ y $dy=-2x\,dx$ , el trabajo se calcula directamente y vale $-12$ .
5. Como $\oint=W(L_{1})-W(L_{2})$ , queda $W(L_{1})=90-12=78$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Quinta evaluación, SEGUNDO CUATRIMESTRAL, 7 de mayo de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La barra que se calienta, y el dato que no está escrito

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Según la Ley de Newton, el ritmo de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del ambiente. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20 °C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo. Calcular el tiempo que dicha barra tarda en alcanzar los 90 °C, si se sabe que su temperatura aumentó 2 °C en un segundo. ¿Cuánto tardará la barra en alcanzar los 98 °C?

Nota: dejar indicadas las operaciones a efectuar con la calculadora.

Los dos tiempos, con las operaciones dejadas indicadas.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado no escribe con un número la temperatura del ambiente. ¿Cuál es?
02
La constante, en forma de razón
COMP2
Con $T(t)=100-80e^{kt}$ y $T(1)=22$ , ¿cuánto vale $e^{k}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Los segundos hasta 90 °C
COMP2
¿Cuántos segundos tarda la barra en alcanzar los 90 °C?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Los segundos hasta 98 °C
COMP2
¿Y cuántos segundos tarda en alcanzar los 98 °C, contados desde que entra en el agua?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ley se escribe $\dfrac{dT}{dt}=k\left(T-100\right)$ , con el ambiente a 100 °C porque el agua hierve.
2. Es de variables separables, y su solución general es $T=100+Ce^{kt}$ .
3. $T(0)=20$ da $C=-80$ , y $T(1)=22$ da $e^{k}=\dfrac{39}{40}$ , o sea $k=\ln\dfrac{39}{40}<0$ .
4. $T=90$ obliga a $e^{kt}=\dfrac18$ , de donde $t=\dfrac{\ln 8}{\ln(40/39)}\approx 82{,}13$ s.
5. $T=98$ obliga a $e^{kt}=\dfrac{1}{40}$ , de donde $t=\dfrac{\ln 40}{\ln(40/39)}\approx 145{,}70$ s.

Resolución completa

El dato que hay que poner tú. «Agua hirviendo» significa ambiente a 100 °C. Sin traducir esa frase a un número no hay ecuación.

La ecuación. El ritmo de cambio es proporcional a la diferencia con el ambiente:

\frac{dT}{dt}=k\left(T-100\right)

Separando variables, $\ln\left|T-100\right|=kt+c$ , y como la barra está siempre por debajo de 100 la diferencia es negativa y queda

T(t)=100+Ce^{kt}

Las dos condiciones. $T(0)=20$ da $C=-80$ , así que $T(t)=100-80e^{kt}$ . Y $T(1)=22$ da

80e^{k}=78 \;\Longrightarrow\; e^{k}=\frac{39}{40} \;\Longrightarrow\; k=\ln\frac{39}{40}\approx -0{,}0253

Que $k$ salga negativo es la señal de que el planteamiento es coherente: la diferencia con el ambiente se va apagando.

Los 90 °C.

90=100-80e^{kt} \;\Longrightarrow\; e^{kt}=\frac18 \;\Longrightarrow\; t=\frac{\ln 8}{\ln\frac{40}{39}}\approx 82{,}13\ \text{s}

Los 98 °C.

98=100-80e^{kt} \;\Longrightarrow\; e^{kt}=\frac{1}{40} \;\Longrightarrow\; t=\frac{\ln 40}{\ln\frac{40}{39}}\approx 145{,}70\ \text{s}

Lo que dice el resultado. Subir los primeros 70 grados cuesta 82 segundos; subir los 8 siguientes cuesta 64 más. La barra nunca llega a 100 °C: se acerca sin tocarlo, y por eso el enunciado pregunta por 98 y no por 100.

La nota del examen. «Dejar indicadas las operaciones» quiere decir que la respuesta buena es $\dfrac{\ln 8}{\ln(40/39)}$ y $\dfrac{\ln 40}{\ln(40/39)}$ , no sus decimales: en el examen no hay calculadora.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Quinta evaluación · 2017-2018

Reconocer el camino

Dónde se parte

El valor de la integral

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El trabajo por la parábola

El trabajo por L₁

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La constante, en forma de razón

Los segundos hasta 90 °C

Los segundos hasta 98 °C

Justificar el argumento