tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · quinta evaluación

Quinta evaluación · 2023-2024

13 de mayo de 2024 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un camino que se va lejos para volver casi al mismo sitioIntegral curvilínea1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular el trabajo realizado por el campo vectorial $F(x,y) = \left(x^{3}-y^{3},\; x^{3}+y^{3}\right)$ a lo largo de la curva $C$ que se muestra en la figura desde el punto $A = (-1,0)$ hasta el punto $B = (1,0)$ .

Figura redibujada del enunciado original. El camino tiene tres tramos: un trozo de eje de A hasta −2, la media circunferencia de radio 2 por arriba, y otro trozo de eje de 2 hasta B.

El trabajo del campo a lo largo del camino, de A a B.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cien euros al año al uno por ciento, y cuándo llegan a cinco milEcuaciones diferenciales1 + 7 + 2 = 10 pts
Has contratado un plan de ahorro en un banco. El dinero se acumula de la siguiente forma: tú ingresas cada año 100 € y el banco te da un interés anual del 1 % del saldo.

a) Escribir un modelo matemático (EDO) que permita calcular el dinero que tienes en el plan de ahorro a medida que pasen los años.

b) Resolver la EDO obtenida en el apartado anterior.

c) Si comenzaste el plan de ahorro hace 5 años y ahora tienes 1.000 €, ¿cuánto aportaste inicialmente al plan de ahorro?

d) ¿Cuándo tendrás 5.000 €?

Nota: dejar indicadas las operaciones a efectuar con la calculadora.
El modelo, su solución, la aportación inicial y el año en que se llega a 5.000 €.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un coeficiente que hay que deducir antes de poder empezarEcuaciones diferenciales1 + 7 + 2 = 10 pts
Sabiendo que $y = e^{2x}$ es una solución de la ecuación $y'' + a\,y' = 0$ , resolver la EDO $y'' + a\,y' = 3e^{2x} + 10\cos(2x)$ .
El valor de a y la solución general de la ecuación completa.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Quinta evaluación, 13 de mayo de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un camino que se va lejos para volver casi al mismo sitio

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el trabajo realizado por el campo vectorial $F(x,y) = \left(x^{3}-y^{3},\; x^{3}+y^{3}\right)$ a lo largo de la curva $C$ que se muestra en la figura desde el punto $A = (-1,0)$ hasta el punto $B = (1,0)$ .

Figura redibujada del enunciado original. El camino tiene tres tramos: un trozo de eje de A hasta −2, la media circunferencia de radio 2 por arriba, y otro trozo de eje de 2 hasta B.

El trabajo del campo a lo largo del camino, de A a B.

01
Reconocer el camino
COMP1
El camino tiene tres tramos y no es cerrado. ¿Qué conviene hacer?
02
Lo que aportan los dos tramos rectos
COMP2
Sumados, ¿cuánto aportan al trabajo los dos tramos que van por el eje —de A a $(-2,0)$ y de $(2,0)$ a B?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El trabajo total
COMP2
¿Cuánto vale el trabajo a lo largo de todo el camino, de A a B?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $M_{y} = -3y^{2}$ y $N_{x} = 3x^{2}$ no coinciden, así que el campo no es conservativo y el camino importa.
2. El camino no es cerrado, pero se cierra añadiendo el segmento de B $(1,0)$ a A $(-1,0)$ por el eje.
3. El circuito resultante es el borde del semidisco superior de radio 2, recorrido en sentido horario.
4. Green da $\oint = -\iint_{D}(N_{x}-M_{y})\,dA$ con el signo menos por el sentido, y $N_{x}-M_{y} = 3(x^{2}+y^{2})$ .
5. En polares, $\iint 3r^{2}\,dA = \int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{2}3r^{3}\,dr\,d\theta = 12\pi$ , luego el circuito vale $-12\pi$ .
6. El segmento añadido aporta $\int_{1}^{-1}x^{3}dx = 0$ , así que el trabajo pedido es también $-12\pi$ .

Resolución completa

Lo primero: no es conservativo

M = x^{3}-y^{3}, \qquad N = x^{3}+y^{3}

M_{y} = -3y^{2}, \qquad N_{x} = 3x^{2}

Solo coinciden en el origen, así que el camino importa. Conviene comprobarlo antes de nada: si fuera conservativo, el trabajo sería $f(B)-f(A)$ y el rodeo por la semicircunferencia daría igual.

El atajo: cerrar el camino

El camino va de A $(-1,0)$ a B $(1,0)$ dando un rodeo. Añadiéndole el segmento que falta —de B a A por el eje— se convierte en el borde del semidisco superior de radio 2.

Y ese circuito se recorre en sentido horario: la semicircunferencia va de izquierda a derecha por arriba, y el diámetro vuelve de derecha a izquierda. Por eso Green entra con signo menos.

\oint_{\text{horario}} M\,dx+N\,dy = -\iint_{D}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)dA

N_{x}-M_{y} = 3x^{2}+3y^{2} = 3r^{2}

En polares el semidisco es $0\le r\le 2$ , $0\le\theta\le\pi$ :

\iint_{D}3r^{2}\,dA = \int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{2}3r^{3}\,dr\,d\theta = \pi\cdot 3\cdot 4 = 12\pi

\oint = -12\pi

Y el segmento que hemos añadido no cuesta nada

Sobre el eje, $y=0$ y $dy=0$ :

\int_{1}^{-1} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{-1} = 0

Así que

\boxed{\;W = -12\pi \approx -37{,}70\;}

Las dos cancelaciones que hay que ver

El ejercicio está construido sobre funciones impares, y eso hace que dos cosas se anulen:

los dos tramos rectos del camino, $+\frac{15}{4}$ y $-\frac{15}{4}$ ;
el segmento de cierre, que vale 0.

Verlas ahorra la mitad de las cuentas por cualquiera de los dos métodos. Y explica por qué el resultado es un múltiplo limpio de $\pi$ : todo lo que no es la semicircunferencia se cancela.

Si se hace a mano, sin Green

También sale, y conviene saber por dónde. Sobre la semicircunferencia, $x = 2\cos t$ , $y = 2\operatorname{sen}t$ con $t$ de $\pi$ a $0$ , queda

\int_{\pi}^{0}16\left(\operatorname{sen}^{4}t + \cos^{4}t\right)dt + \int_{\pi}^{0}16\operatorname{sen}t\cos t\left(\operatorname{sen}^{2}t-\cos^{2}t\right)dt

El segundo es cero —es $-4\int\operatorname{sen}4t\,dt$ sobre un periodo entero— y el primero usa $\operatorname{sen}^{4}+\cos^{4} = 1-\frac12\operatorname{sen}^{2}2t$ , que integra a $\frac{3\pi}{4}$ . Total: $-16\cdot\frac{3\pi}{4} = -12\pi$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Quinta evaluación, 13 de mayo de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cien euros al año al uno por ciento, y cuándo llegan a cinco mil

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Has contratado un plan de ahorro en un banco. El dinero se acumula de la siguiente forma: tú ingresas cada año 100 € y el banco te da un interés anual del 1 % del saldo.

a) Escribir un modelo matemático (EDO) que permita calcular el dinero que tienes en el plan de ahorro a medida que pasen los años.

b) Resolver la EDO obtenida en el apartado anterior.

c) Si comenzaste el plan de ahorro hace 5 años y ahora tienes 1.000 €, ¿cuánto aportaste inicialmente al plan de ahorro?

d) ¿Cuándo tendrás 5.000 €?

Nota: dejar indicadas las operaciones a efectuar con la calculadora.

El modelo, su solución, la aportación inicial y el año en que se llega a 5.000 €.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Ingresas 100 € al año» y «el banco da el 1 % del saldo». ¿Cómo entran esas dos frases en la ecuación?
02
La aportación inicial
COMP2
Si hace 5 años empezaste y hoy tienes 1.000 €, ¿cuánto aportaste al principio?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Cuándo se llega a 5.000 €
COMP2
¿Cuántos años después del inicio del plan tendrás 5.000 €?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El saldo cambia por dos motivos: los 100 € que ingresas, que no dependen del saldo, y el 1 % de intereses, que sí.
2. El modelo es $y' = 0{,}01\,y + 100$ , con $t$ en años y $y$ en euros.
3. Es lineal de primer orden, y también de variables separables: $\frac{dy}{0{,}01y+100} = dt$ .
4. Integrando, $y(t) = C\,e^{0{,}01t} - 10000$ , donde $-10000$ es la solución de equilibrio: $0{,}01y+100 = 0$ da $y = -10000$ .
5. De $y(5) = 1000$ sale $C = 11000\,e^{-0{,}05}$ , y la aportación inicial es $y(0) = C - 10000 \approx 463{,}52$ €.
6. De $y(t) = 5000$ sale $t = 100\left(\ln\frac{15}{11}+0{,}05\right) \approx 36$ años desde el inicio, o sea unos 31 a partir de hoy.

Resolución completa

a) El modelo

Dos aportes al ritmo de cambio del saldo:

de dónde viene	término
los 100 € que ingresas al año, pase lo que pase	$+100$
el 1 % anual de intereses sobre el saldo	$+0{,}01\,y$

\boxed{\;y'(t) = 0{,}01\,y + 100\;}

con $t$ en años y $y$ en euros. Es una lineal de primer orden con coeficientes constantes, y también separable.

b) Resolverla

\frac{dy}{0{,}01y+100} = dt \;\Longrightarrow\; 100\ln\left|0{,}01y+100\right| = t + k

y(t) = C\,e^{0{,}01t} - 10000

El $-10000$ es la solución de equilibrio: el saldo en el que $0{,}01y+100$ valdría cero. Es negativo, así que ninguna cuenta real empieza ahí y todas las soluciones con dinero dentro crecen.

c) La aportación inicial

«Hace 5 años» fija el origen del tiempo en la contratación, así que hoy es $t = 5$ :

C\,e^{0{,}05} - 10000 = 1000 \;\Longrightarrow\; C = 11000\,e^{-0{,}05}

y(0) = C - 10000 = 11000\,e^{-0{,}05} - 10000 \approx 463{,}52\ \text{euros}

Menos de 500 €, y conviene decir por qué: en cinco años se han ingresado 500 € más, pero además todo ese dinero ha generado intereses, así que la aportación inicial pudo ser menor.

d) Cuándo se llega a 5.000 €

C\,e^{0{,}01t} = 15000 \;\Longrightarrow\; e^{0{,}01t} = \frac{15}{11}e^{0{,}05} \;\Longrightarrow\; t = 100\left(\ln\frac{15}{11} + 0{,}05\right)

t \approx 36{,}02\ \text{años desde que se contrató}

o sea unos 31 años a partir de hoy. Las dos cifras valen: la pregunta es «cuándo», y sin decir desde dónde se cuenta la respuesta está a medias.

Sobre la nota del enunciado

«Dejar indicadas las operaciones a efectuar con la calculadora» significa que la respuesta buena es $11000\,e^{-0{,}05}-10000$ y $100\left(\ln\frac{15}{11}+0{,}05\right)$ , escritas así. No hay calculadora en el examen, y poner un decimal inventado vale menos que dejar la expresión exacta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Quinta evaluación, 13 de mayo de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un coeficiente que hay que deducir antes de poder empezar

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sabiendo que $y = e^{2x}$ es una solución de la ecuación $y'' + a\,y' = 0$ , resolver la EDO $y'' + a\,y' = 3e^{2x} + 10\cos(2x)$ .

El valor de a y la solución general de la ecuación completa.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Para qué sirve el dato de que $y = e^{2x}$ resuelve la homogénea?
02
El coeficiente
COMP2
¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente del término que resuena
COMP2
Ensayando $y_{p} = A\,x\,e^{2x}$ para el sumando $3e^{2x}$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sustituyendo $y = e^{2x}$ en $y''+ay' = 0$ sale $4+2a = 0$ , luego $a = -2$ .
2. La característica de $y''-2y' = 0$ es $r^{2}-2r = r(r-2) = 0$ , con raíces $r=0$ y $r=2$ : $y_{h} = C_{1} + C_{2}e^{2x}$ .
3. El sumando $3e^{2x}$ resuena, porque $e^{2x}$ está en la homogénea: el ensayo es $Axe^{2x}$ y da $A = \frac32$ .
4. El sumando $10\cos 2x$ no resuena: el ensayo $B\cos 2x + C\operatorname{sen}2x$ da $-4B-4C = 10$ y $4B-4C = 0$ , o sea $B = C = -\frac54$ .
5. La solución general es $y = C_{1} + C_{2}e^{2x} + \frac32 xe^{2x} - \frac54\left(\cos 2x + \operatorname{sen}2x\right)$ .

Resolución completa

Primero, el coeficiente

El dato no es decorativo: sin él la ecuación tiene un parámetro libre. Sustituyendo $y = e^{2x}$ en la homogénea:

4e^{2x} + 2a\,e^{2x} = e^{2x}\left(4+2a\right) = 0 \;\Longrightarrow\; a = -2

—usando que $e^{2x}$ no se anula nunca, que es lo que permite dividir.

La ecuación a resolver es, por tanto,

y'' - 2y' = 3e^{2x} + 10\cos 2x

La homogénea

r^{2}-2r = r(r-2) = 0 \;\Longrightarrow\; r = 0,\; r = 2 \;\Longrightarrow\; y_{h} = C_{1} + C_{2}e^{2x}

La raíz $r=0$ aporta la constante $C_{1}$ , que es fácil de olvidar: la ecuación no tiene término en $y$ , así que cualquier constante la satisface.

Dos sumandos, y solo uno resuena

$3e^{2x}$ — resuena, porque $e^{2x}$ está en $y_{h}$ . Ensayo con $x$ delante:

y_{p_{1}} = Axe^{2x} \;\Longrightarrow\; y_{p_{1}}''-2y_{p_{1}}' = 2Ae^{2x} = 3e^{2x} \;\Longrightarrow\; A = \frac32

$10\cos 2x$ — no resuena. Las raíces son reales, así que la homogénea no contiene ni $\cos 2x$ ni $\operatorname{sen}2x$ :

y_{p_{2}} = B\cos 2x + C\operatorname{sen}2x

y_{p_{2}}''-2y_{p_{2}}' = \left(-4B-4C\right)\cos 2x + \left(4B-4C\right)\operatorname{sen}2x = 10\cos 2x

De la segunda ecuación $B = C$ , y sustituyendo en la primera $-8B = 10$ :

B = C = -\frac54

La solución

\boxed{\;y = C_{1} + C_{2}e^{2x} + \frac32\,x\,e^{2x} - \frac54\left(\cos 2x + \operatorname{sen}2x\right)\;}

El error que el enunciado invita a cometer

Ver un 2 en $\cos 2x$ y otro 2 en la raíz $r=2$ , y concluir que también resuena. No es lo mismo: la raíz real $2$ produce $e^{2x}$ , y para que apareciera $\cos 2x$ en la homogénea harían falta raíces $\pm 2i$ . Resonar es ser solución de la homogénea, no compartir un número con ella.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Quinta evaluación · 2023-2024

Reconocer el camino

Lo que aportan los dos tramos rectos

El trabajo total

Justificar el argumento

Lo primero: no es conservativo

El atajo: cerrar el camino

Y el segmento que hemos añadido no cuesta nada

Las dos cancelaciones que hay que ver

Si se hace a mano, sin Green

Reconocer el camino

La aportación inicial

Cuándo se llega a 5.000 €

Justificar el argumento

a) El modelo

b) Resolverla

c) La aportación inicial

d) Cuándo se llega a 5.000 €

Sobre la nota del enunciado

Reconocer el camino

El coeficiente

El coeficiente del término que resuena

Justificar el argumento

Primero, el coeficiente

La homogénea

Dos sumandos, y solo uno resuena

La solución

El error que el enunciado invita a cometer