Cálculo · tema 06

Funciones reales de varias variables reales

Dominio y curvas de nivel, límites por caminos, derivadas parciales, plano tangente y el gradiente. Las tres preguntas que el examen hace siempre.

Hasta aquí una función tomaba un número y devolvía otro. Ahora toma dos y devuelve uno: $z = f(x,y)$ . Y eso, que parece un detalle de notación, cambia la pregunta central del tema.

Con una variable solo podías moverte en dos sentidos: adelante y atrás. La derivada era un número porque solo había una forma de moverse. Con dos variables puedes salir de un punto en infinitas direcciones, y la función puede crecer en unas y decrecer en otras. Así que ya no basta con «¿cuánto cambia?». Hay que decir cuánto cambia y hacia dónde vas.

Todo el tema gira alrededor de esa frase. Y el examen, mirado de cerca, hace siempre las mismas tres preguntas con distinto disfraz: hacia dónde crece más rápido, hacia dónde no cambia, y cuánto cambia si voy hacia allá. Las tres las contesta el mismo objeto, el gradiente, y por eso este tema es en el fondo un solo concepto con cuatro nombres.

Una función de dos variables es un paisaje

La forma útil de imaginarla: $f(x,y)$ es la altura del terreno en el punto $(x,y)$ del mapa. No es una analogía cómoda, es literalmente cómo la plantean los enunciados — la altura de una montaña, la temperatura de una placa, la concentración de un gas.

Y hay una consecuencia que conviene coger pronto: una superficie en el espacio no se dibuja bien en un papel, pero su mapa sí. Un montañero no lleva una maqueta del monte; lleva un mapa con curvas de nivel. Nosotros hacemos lo mismo.

Las curvas de nivel son la función vista desde arriba

Una curva de nivel es el conjunto de puntos donde la función vale lo mismo:

f(x,y) = k

Es decir: cortas el paisaje con un plano horizontal a altura $k$ y miras el borde. En un mapa topográfico son las líneas cerradas que rodean la cima; en un mapa del tiempo, las isobaras.

Lo importante para el examen es que una curva de nivel es una ecuación en $x$ e $y$ sin $z$ . Si te dan la función y te piden la curva de nivel que pasa por un punto, el procedimiento entero es: evalúa la función en el punto para saber cuánto vale $k$ , e iguala.

El mapa no pierde información: con las curvas etiquetadas puedes reconstruir el paisaje. Y trae algo que la perspectiva esconde — cuánto se juntan las curvas te dice cómo de empinado está. Esa lectura es la que el examen pide una y otra vez.

El dominio se busca igual que en el tema 3, prohibiendo: raíces pares con el radicando negativo, denominadores nulos, logaritmos de algo que no sea positivo y argumentos de arcoseno fuera de $[-1,1]$ . La diferencia es que ahora el resultado no es un intervalo, es una región del plano — y hay que dibujarla.

Dar el dominio con una desigualdad y no dibujarlo

El enunciado dice «calcular y dibujar los dominios». El dibujo no es decoración: es la mitad de la respuesta, y en el reparto por competencias cae en COMP4, que en esta evaluación vale entre 2 y 5 puntos de cada 10.

Y hay un detalle que se pierde siempre: si el dominio es $x+y \ge 0$ , la recta $x+y=0$ entra, y se dibuja continua. Si fuera $x+y>0$ , se dibuja a trazos. Esa distinción se corrige.

El límite: ahora importa por dónde te acerques

Con una variable, acercarse a un punto solo se podía hacer por la izquierda o por la derecha. Por eso bastaba comprobar dos límites laterales.

En el plano puedes acercarte al origen por infinitos caminos: por el eje $x$ , por el eje $y$ , por cualquier recta $y=mx$ , por una parábola $y=mx^2$ , en espiral. Y la definición exige que por todos el límite valga lo mismo.

Eso hace que la pregunta cambie de signo. Demostrar que un límite existe es difícil, porque habría que comprobar infinitos caminos. Demostrar que no existe es fácil: basta encontrar dos por los que salga distinto.

Es la misma idea que en el tema 2 con las dos subsucesiones que discrepan. Allí negabas una convergencia partiendo la sucesión en dos; aquí niegas un límite acercándote por dos caminos. La estructura lógica es idéntica, y por eso el examen la reutiliza.

El truco estándar es acercarse por rectas $y = mx$ . Sustituyes, simplificas, y miras qué queda:

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} \quad\text{por } y = mx: \quad \frac{x\cdot mx}{x^{2}+m^{2}x^{2}} = \frac{m}{1+m^{2}}

Si en el resultado queda la $m$ , has terminado: el valor depende de la recta por la que vengas, así que el límite no existe. Y para escribirlo del todo, elige dos valores concretos — con $m=0$ sale $0$ , con $m=1$ sale $1/2$ — porque un tribunal quiere ver dos números distintos, no una fórmula con parámetro.

Creer que si sale lo mismo por todas las rectas, el límite existe

No lo demuestra. Las rectas son infinitas, pero no son todos los caminos.

El contraejemplo clásico es $\dfrac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}$ : por cualquier recta $y=mx$ el límite sale $0$ , y sin embargo por la parábola $y=x^{2}$ sale $1/2$ . Así que las rectas sirven para negar, nunca para afirmar. Si has probado tres rectas y coinciden, lo único que sabes es que todavía no has encontrado el contraejemplo.

Las derivadas parciales: mirar en una sola dirección

Derivar parcialmente respecto de $x$ es preguntarse cómo cambia la función si te mueves solo hacia el este, con la $y$ congelada:

\frac{\partial f}{\partial x} = f_x \qquad\text{se deriva tratando } y \text{ como si fuera un número.}

Operativamente no hay nada nuevo: son las reglas de derivación del tema 3 con una letra que hace de constante. Si $f(x,y) = x^{3}y^{2}$ , entonces $f_x = 3x^{2}y^{2}$ — el $y^{2}$ se queda quieto, como se quedaría un $7$ .

Las de segundo orden se obtienen derivando otra vez, y hay cuatro:

f_{xx},\qquad f_{yy},\qquad f_{xy},\qquad f_{yx}

y en la práctica las dos cruzadas coinciden. Eso es el teorema de Schwarz, y tiene una hipótesis que conviene decir en voz alta porque puntúa en COMP4: vale si las derivadas cruzadas son continuas. No es una identidad gratuita, es un teorema con condiciones.

Una comprobación que sale gratis: si calculas $f_{xy}$ y $f_{yx}$ por separado y no coinciden, en una función normal de examen te has equivocado en una de las dos. Es el único autocontrol barato del tema.

El gradiente contesta las tres preguntas

Aquí está el tema entero. El gradiente es el vector que junta las dos derivadas parciales:

\nabla f(x,y) = \bigl(f_x,\; f_y\bigr)

Parece un simple envoltorio, y no lo es: colocarlas juntas como vector convierte dos números sueltos en una flecha sobre el mapa, y esa flecha contesta las tres cosas que el examen pregunta.

Las tres direcciones que el examen pregunta, sobre el mismo punto. El ángulo recto marcado no es un adorno: es el hecho del que salen las otras dos respuestas.

Pregunta 1 · ¿Hacia dónde crece más rápido? Hacia $\nabla f$ . Y la velocidad con la que crece es su módulo, $\lVert \nabla f \rVert$ . Si te preguntan por la dirección de máximo descenso —enfriarse cuanto antes, escabullirse del gas— es $-\nabla f$ , la misma flecha del revés.

Pregunta 2 · ¿Hacia dónde no cambia? Perpendicular a $\nabla f$ , que es justo la dirección tangente a la curva de nivel. Tiene sentido: la curva de nivel es, por definición, por donde la altura no cambia.

Y de ahí sale un hecho que se usa constantemente: el gradiente es perpendicular a la curva de nivel que pasa por el punto. Si el gradiente es $(3,-5)$ , la dirección de cambio nulo es $(5,3)$ — se cambian de sitio y se le da la vuelta a un signo.

Pregunta 3 · ¿Cuánto cambia si voy hacia $\vec{v}$ ? Es la derivada direccional, y es el producto escalar del gradiente por el vector director, pero normalizado:

D_{\vec u} f = \nabla f \cdot \vec u, \qquad \vec u = \frac{\vec v}{\lVert \vec v \rVert}

Hacer el producto escalar sin normalizar el vector

Es el error más caro del tema y el más fácil de cometer, porque el resultado sale un número perfectamente creíble.

Si te piden la derivada direccional siguiendo $\vec v = (4,3)$ , ese vector mide $5$ . Usarlo tal cual multiplica la respuesta por $5$ . La derivada direccional mide cuánto cambia la función por cada metro que avanzas, así que el vector tiene que medir exactamente un metro; si no, estás midiendo el cambio de cinco pasos y llamándolo el de uno.

Y cuidado con la variante: cuando el enunciado dice «nos dirigimos desde $P$ hasta $Q$ », el vector no te lo dan hecho. Es $\vec{PQ} = Q - P$ , y después se normaliza. Restar al revés te da el signo cambiado, que es la diferencia entre calentarse y enfriarse.

Y al revés: deducir el gradiente a partir de datos

La versión que más cae no es «calcula el gradiente de esta fórmula». Es la inversa: te dan dos derivadas direccionales, o el valor máximo de cambio y una dirección, y el gradiente es la incógnita.

Funciona porque $\nabla f = (a,b)$ son dos números, así que dos datos bastan para plantear un sistema de dos ecuaciones. Cada derivada direccional que te dan es una ecuación $\nabla f \cdot \vec u = \text{dato}$ .

Y hay dos atajos que ahorran el sistema entero:

Si te dicen que el valor máximo de cambio es $m$ , eso es $\lVert \nabla f \rVert = m$ .
Si te dicen en qué dirección se da ese máximo, esa es la dirección del gradiente. Junto con el módulo, el gradiente queda determinado: es $m \cdot \vec u$ .

El plano tangente, y aproximar sin calculadora

Con una variable, la recta tangente era la mejor aproximación lineal cerca del punto. Con dos, lo es el plano tangente:

z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b)

Léelo como lo que es: partes de la altura en el punto y le sumas lo que subes al moverte en $x$ más lo que subes al moverte en $y$ . No hay nada que memorizar aparte de esa frase.

El incremento que predice ese plano tiene nombre: es la diferencial total,

dz = f_x(a,b)\,dx + f_y(a,b)\,dy

y es la misma idea del diferencial de una variable con un sumando por cada dirección. Cuando un enunciado dice «estimar el error cometido» o «calcular aproximadamente la variación», está pidiendo exactamente esto: sustituir los incrementos reales $\Delta x$ y $\Delta y$ por $dx$ y $dy$ y sumar.

Sirve para aproximar valores, que es la segunda mitad del ejercicio típico: $f(1{,}1;\,1{,}9)$ no se puede calcular a mano, pero el plano tangente en $(1,2)$ sí, y da una respuesta con dos decimales sin tocar una calculadora — que en este examen no la hay.

Si la superficie viene implícita, $F(x,y,z)=0$ , el plano tangente sale del gradiente de las tres variables: el vector $\nabla F = (F_x, F_y, F_z)$ es perpendicular a la superficie, y un plano se escribe con un punto y una perpendicular. Es la misma idea de antes subida una dimensión — el gradiente sigue siendo lo perpendicular al conjunto de nivel.

La regla de la cadena, cuando las variables dependen de otra

Hasta aquí $x$ e $y$ eran independientes. Pero los enunciados suelen encadenar: una temperatura depende del sitio, y el sitio depende del tiempo. Entonces lo que se quiere no es $T_x$ ni $T_y$ , sino cómo cambia $T$ con el tiempo, y para eso está la regla de la cadena.

Con $z=f(x,y)$ y $x=x(t)$ , $y=y(t)$ :

\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}

Se lee como una suma de contribuciones: una por cada camino por el que $t$ llega hasta $z$ . Y eso es todo el mecanismo, también cuando hay más variables: se dibujan las flechas de quién depende de quién, se recorre cada camino multiplicando las derivadas, y se suman los caminos.

Si $x$ e $y$ dependen a su vez de dos parámetros, $x=x(u,v)$ e $y=y(u,v)$ , lo mismo con parciales:

\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}

y otra igual para $v$ .

Y hay un caso que se usa sin darse cuenta: la derivación implícita. Si $F(x,y)=0$ define $y$ como función de $x$ , derivar la ecuación entera respecto de $x$ con la regla de la cadena da $F_x + F_y\,y' = 0$ , o sea

y' = -\frac{F_x}{F_y}

que es la fórmula que resuelve las tangentes a curvas que no se pueden despejar.

Confundir la parcial con la derivada total

$\frac{\partial f}{\partial x}$ mide el cambio dejando $y$ quieta; $\frac{dz}{dt}$ mide el cambio real cuando todo se mueve a la vez. Si en el enunciado $x$ e $y$ dependen de $t$ , la respuesta a «cómo cambia» nunca es una parcial sola: faltaría uno de los dos caminos.

Lo que hay que llevar sabido

Cabe en media cara y contesta casi todo el examen.

pregunta del enunciado	lo que hay que hacer
«curva de nivel que pasa por $P$ »	evalúa $k=f(P)$ , escribe $f(x,y)=k$
«dirección de máximo crecimiento»	$\nabla f$
«para enfriarse lo antes posible»	$-\nabla f$
«dirección en que no cambia»	perpendicular a $\nabla f$ : cambia el orden y un signo
«velocidad de cambio hacia $\vec v$ »	$\nabla f \cdot \vec v/\lVert\vec v\rVert$
«valor máximo de cambio»	$\lVert \nabla f \rVert$
«desde $P$ hasta $Q$ »	$\vec v = Q-P$ , y luego normaliza
«aproximar $f$ cerca de $P$ »	plano tangente en $P$
«demostrar que no existe el límite»	dos caminos con resultados distintos

Y las tres frases que valen puntos de COMP4 aunque no se pidan explícitamente:

El gradiente es perpendicular a la curva de nivel.
Schwarz necesita que las derivadas cruzadas sean continuas.
Que el límite coincida por todas las rectas no demuestra que exista.

Practica lo que acabas de leer

La curva de nivel que pasa por un punto

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La curva de nivel que pasa por un punto

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para $f(x,y) = x^{2} + y$ , encontrar la ecuación de la curva de nivel que pasa por el punto $P(-1,1)$ .

La ecuación de la curva de nivel por P.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es una curva de nivel de $f(x,y)$ ?
02
El valor de la constante
COMP2
¿Cuánto vale $k = f(-1,1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se evalúa la función en el punto, y sale $k = 2$ .
2. La curva de nivel es $x^{2} + y = 2$ .
3. Despejada, es la parábola $y = 2 - x^{2}$ : una parábola hacia abajo.
4. Es una ecuación en $x$ e $y$ sin $z$ , porque vive en el plano del mapa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Una derivada parcial, con la otra variable congelada

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular $f_x$ y $f_y$ para $f(x,y) = x^{3}y^{2} + 4y$ .

Las dos derivadas parciales de primer orden.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al derivar respecto de $x$ , ¿qué se hace con la $y$ ?
02
Evaluar la parcial respecto de x
COMP2
Con $f_x = 3x^{2}y^{2}$ , ¿cuánto vale $f_x(1,2)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Y la parcial respecto de y
COMP2
¿Cuánto vale $f_y(1,2)$ , sabiendo que $f_y = 2x^{3}y + 4$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Para $f_x$ , la $y$ se congela; $x^{3}y^{2}$ deriva a $3x^{2}y^{2}$ .
2. El término $4y$ es constante para la $x$ , así que desaparece en $f_x$ .
3. Para $f_y$ , la $x$ se congela; $x^{3}y^{2}$ deriva a $2x^{3}y$ .
4. Y el término $4y$ sí aporta en $f_y$ , con su 4.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El gradiente contesta tres preguntas de golpe

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(x,y) = x^{2} + y^{2}$ , y el punto $P(3,4)$ . Calcular el gradiente en $P$ , la velocidad máxima de cambio, y una dirección en la que la función no cambie.

El gradiente, su módulo y una dirección de cambio nulo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dirección indica el vector gradiente en un punto?
02
El módulo del gradiente
COMP2
Con $\nabla f(3,4) = (6,8)$ , ¿cuánto vale la velocidad máxima de cambio en $P$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f_x = 2x$ y $f_y = 2y$ , luego $\nabla f(3,4) = (6,8)$ .
2. La velocidad máxima de cambio es $\lVert\nabla f\rVert = 10$ .
3. Una dirección de cambio nulo es la perpendicular: $(-8,6)$ , o su opuesta $(8,-6)$ .
4. Esa perpendicular es tangente a la curva de nivel, que aquí es la circunferencia $x^{2}+y^{2}=25$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La derivada direccional, y el vector que hay que normalizar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sabiendo que $\nabla f(P) = (3,4)$ , calcular la derivada direccional de $f$ en $P$ siguiendo la dirección del vector $\vec v = (4,3)$ .

La derivada direccional en la dirección de v.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de hacer el producto escalar con el gradiente, ¿qué hay que hacerle al vector $\vec v$ ?
02
El módulo del vector dirección
COMP2
¿Cuánto mide $\vec v = (4,3)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La derivada direccional
COMP2
¿Cuánto vale $D_{\vec u} f(P) = (3,4)\cdot\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (24/5) o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El vector $\vec v=(4,3)$ mide 5, así que $\vec u = (4/5,\,3/5)$ .
2. $D_{\vec u} f = \nabla f \cdot \vec u = 24/5 = 4{,}8$ .
3. Es positiva, así que en esa dirección la función crece.
4. Y es menor que $\lVert\nabla f\rVert = 5$ , como tiene que ser.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.4 · Problemas complementarios, tema 6 · Cálculo, UPV/EHU (2017/2018 4E)

Un límite que no existe, y cómo se demuestra

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Estudiar el límite de la función $f(x,y) = \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}$ en el punto $(0,0)$ .

Si el límite existe, y la justificación.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para negar que un límite en dos variables existe, ¿qué basta?
02
Por la recta y = mx
COMP2
Sustituyendo $y = mx$ y simplificando, el límite queda $\dfrac{m}{1+m^{2}}$ . ¿Cuánto vale para $m = 1$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (1/2) o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Nos acercamos por rectas $y = mx$ y sustituimos: $\dfrac{x\cdot mx}{x^{2}+m^{2}x^{2}}$ .
2. Simplificando el $x^{2}$ queda $\dfrac{m}{1+m^{2}}$ , que no depende de $x$ .
3. Con $m=0$ el límite vale $0$ ; con $m=1$ vale $1/2$ .
4. Dos caminos dan valores distintos, luego el límite no existe.

Resolución completa

Se acerca uno por rectas, que es el camino estándar:

\lim_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\ y=mx}} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} = \lim_{x\to 0}\frac{x\cdot mx}{x^{2}+m^{2}x^{2}} = \lim_{x\to 0}\frac{m x^{2}}{x^{2}(1+m^{2})} = \frac{m}{1+m^{2}}

Queda la $m$ , y eso ya es la respuesta. El valor depende de la recta por la que llegues, así que no hay un único número al que la función se aproxime.

Para escribirlo del todo hacen falta dos números concretos, no una fórmula con parámetro:

camino	valor
$y = 0$ (el eje $x$ , $m=0$ )	$0$
$y = x$ ( $m=1$ )	$1/2$

Como $0 \neq 1/2$ , el límite no existe.

Y al revés no vale. Si al sustituir $y=mx$ se hubiera ido la $m$ y hubiera salido siempre $0$ , no habríamos demostrado nada: quedaría probar que también sale $0$ por cualquier otro camino, y para eso las rectas no bastan.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.9 · Problemas complementarios, tema 6 · Cálculo, UPV/EHU (2015/2016 5E)

Deducir el gradiente a partir de dos direccionales

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La altura de un monte se define mediante la función $F(x,y)$ . Si nos colocamos en el punto $(1,2)$ y nos dirigimos hacia el punto $(2,2)$ , la derivada direccional es $2$ . En cambio, si nos dirigimos hacia el punto $(1,1)$ , la derivada direccional es $-2$ .

a) Calcular el vector gradiente en el punto $(1,2)$ e interpretar su significado. b) Calcular la derivada direccional en el punto $(1,2)$ siguiendo la dirección del vector $(4,3)$ .

El gradiente en (1,2) y la derivada direccional hacia (4,3).

01
Reconocer el camino
COMP1
El gradiente es $\nabla F = (a,b)$ , dos incógnitas. ¿Por qué bastan los dos datos del enunciado?
02
La primera componente
COMP2
El vector de $(1,2)$ a $(2,2)$ es $(1,0)$ , que ya es unitario. Si $\nabla F\cdot(1,0) = 2$ , ¿cuánto vale $F_x(1,2)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La segunda componente
COMP2
El vector de $(1,2)$ a $(1,1)$ es $(0,-1)$ , también unitario. Si $\nabla F\cdot(0,-1) = -2$ , ¿cuánto vale $F_y(1,2)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La derivada direccional pedida
COMP2
Con $\nabla F(1,2) = (2,2)$ y $\vec v = (4,3)$ (que mide 5), ¿cuánto vale la derivada direccional?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta (14/5) o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la interpretación del apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\nabla F(1,2) = (2,2)$ apunta hacia el nordeste, en la bisectriz del primer cuadrante.
2. Es la dirección en la que el monte sube más deprisa desde ese punto.
3. Su módulo, $2\sqrt2$ , es esa pendiente máxima: unos 2,83 metros por metro avanzado.
4. La curva de nivel que pasa por $(1,2)$ es perpendicular a él en ese punto.

Resolución completa

La clave es leer bien las direcciones. El enunciado no da vectores: da puntos de destino. El vector es siempre destino menos origen.

vamos hacia	vector	¿unitario?
$(2,2)$	$(2,2)-(1,2) = (1,0)$	sí, mide 1
$(1,1)$	$(1,1)-(1,2) = (0,-1)$	sí, mide 1

Que los dos salgan ya unitarios es una suerte del enunciado, y conviene comprobarlo en vez de darlo por hecho.

El sistema. Con $\nabla F(1,2) = (a,b)$ :

\begin{cases} (a,b)\cdot(1,0) = a = 2\\[2pt] (a,b)\cdot(0,-1) = -b = -2 \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad \nabla F(1,2) = (2,2)

a) La interpretación, que es donde está COMP4. El gradiente $(2,2)$ apunta en la dirección de máxima pendiente de subida, hacia el nordeste. Su módulo, $2\sqrt2 \approx 2{,}83$ , es esa pendiente máxima. Y la curva de nivel por $(1,2)$ le es perpendicular.

b) La derivada direccional hacia $\vec v = (4,3)$ , normalizando:

D_{\vec u}F = (2,2)\cdot\left(\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\right) = \frac{14}{5} = 2{,}8

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.10 · Problemas complementarios, tema 6 · Cálculo, UPV/EHU (2017/2018 7E)

Hacia dónde nadar para calentarse

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La temperatura de la superficie de un lago se define mediante la función $T(x,y) = y^{2}x + x^{2}\ln x$ , donde $x$ e $y$ se miden en metros y la temperatura en °C.

a) Un bañista está en el punto $(1,3)$ y nota que se está quedando frío. ¿En qué dirección deberá nadar para calentarse lo más rápidamente posible? b) Si nadase hacia el punto $P(5,5)$ , ¿se enfriaría o calentaría?, ¿a qué velocidad?

La dirección de máximo calentamiento y la velocidad hacia P(5,5).

01
Reconocer el camino
COMP1
«Calentarse lo más rápidamente posible». ¿Qué se pide?
02
La componente en x del gradiente
COMP2
Con $T_x = y^{2} + 2x\ln x + x$ , ¿cuánto vale $T_x(1,3)$ ? Recuerda que $\ln 1 = 0$ .
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad hacia P(5,5)
COMP2
Con $\nabla T(1,3) = (10,6)$ y el vector hacia $P(5,5)$ , que es $(4,2)$ de módulo $2\sqrt5$ , ¿cuánto vale la derivada direccional?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (52/√20) o con tres decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) La dirección de máximo calentamiento es $\nabla T(1,3) = (10,6)$ .
2. b) El vector hacia $P$ es $(5,5)-(1,3) = (4,2)$ , y hay que normalizarlo.
3. La derivada direccional sale $52/\sqrt{20}\approx 11{,}63 > 0$ : se calentaría.
4. El signo positivo es lo que contesta «se enfría o se calienta», y hay que decirlo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.14 · Problemas complementarios, tema 6 · Cálculo, UPV/EHU (2019/2020 3E)

Escabullirse de una concentración tóxica

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una cucaracha al verse en un ambiente tóxico cargado de AJT químico decide moverse en una dirección en que la concentración de AJT disminuya con la mayor rapidez. Si se encuentra en el punto $P(1,0)$ y la concentración de AJT viene dada por la expresión

f(x,y) = e^{-(x-1)^{2}-(y-1)^{2}}

a) ¿Hacia dónde debe escabullirse? b) ¿Cuál es la ecuación de la curva que tendría que seguir la cucaracha para que la concentración de AJT del ambiente no cambiara? Dibujar dicha curva. c) ¿Cuál es el punto de mayor concentración de AJT?

La dirección de máximo descenso, la curva de nivel por P y el máximo.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Que la concentración disminuya con la mayor rapidez». ¿Qué se pide?
02
La segunda componente del gradiente en P
COMP2
Con $f_y = -2(y-1)\,e^{-(x-1)^{2}-(y-1)^{2}}$ , ¿cuánto vale $f_y(1,0)$ ? Ten en cuenta que en $P$ el exponente vale $-1$ .
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (2/e) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $P(1,0)$ el gradiente vale $\nabla f = (0,\,2/e)$ .
2. a) Se escabulle en la dirección opuesta: $(0,\,-2/e)$ , es decir, hacia abajo.
3. b) La curva de cambio nulo es la de nivel por $P$ : $(x-1)^{2}+(y-1)^{2} = 1$ .
4. c) El máximo está donde el exponente se anula, en el punto $(1,1)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.17 · Problemas complementarios, tema 6 · Cálculo, UPV/EHU (2019/2020 AT)

Dos ritmos de cambio, y las tres preguntas del gradiente

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La temperatura de una placa metálica en cada uno de sus puntos $(x,y)$ viene dada por la función $T(x,y)$ , donde $x$ e $y$ se miden en metros y la temperatura $T$ en °C. Se conoce:

(i) El ritmo de cambio de la temperatura en un punto $P$ siguiendo la dirección $v_1 = (1,-1)$ es de $2\sqrt2$ °C/m.

(ii) El ritmo de cambio de la temperatura en un punto $P$ siguiendo la dirección $v_2 = (1,2)$ es de $3\sqrt5$ °C/m.

Se pide: a) en qué dirección cambia más rápidamente $T$ ; b) el valor de ese cambio máximo; c) en qué dirección no cambia la temperatura.

El gradiente, su módulo y la dirección de cambio nulo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los vectores $v_1=(1,-1)$ y $v_2=(1,2)$ no son unitarios. ¿Qué implica eso al plantear las ecuaciones?
02
La primera componente del gradiente
COMP2
El sistema que sale es $a-b=4$ y $a+2b=15$ . ¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (23/3) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Cada dato da una ecuación: $\nabla T\cdot \vec v_i/\lVert\vec v_i\rVert$ igual al ritmo dado.
2. Con $\lVert v_1\rVert=\sqrt2$ y ritmo $2\sqrt2$ , la primera ecuación es $a-b=4$ .
3. Con $\lVert v_2\rVert=\sqrt5$ y ritmo $3\sqrt5$ , la segunda es $a+2b=15$ .
4. Resolviendo, $\nabla T(P) = (23/3,\,11/3)$ , y ese vector contesta a) y b).

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.12 · Problemas complementarios, tema 6 · Cálculo, UPV/EHU (2018/2019 4E)

Un vector unitario perpendicular a la curva de nivel

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $f(x,y) = x^{2}y^{2} + 2y + 2$ . Calcular un vector unitario perpendicular a la curva de nivel $f(x,y) = 2$ en el punto $(0,0)$ .

Un vector unitario perpendicular a la curva de nivel en el origen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué objeto es siempre perpendicular a una curva de nivel?
02
La componente en y del gradiente
COMP2
Con $f_y = 2x^{2}y + 2$ , ¿cuánto vale $f_y(0,0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El gradiente es siempre perpendicular a la curva de nivel, así que basta calcularlo.
2. $f_x = 2xy^{2}$ y $f_y = 2x^{2}y+2$ , luego $\nabla f(0,0) = (0,2)$ .
3. Su módulo es 2, así que el unitario es $(0,1)$ .
4. También vale $(0,-1)$ : el enunciado pide un vector, y hay dos perpendiculares unitarios.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.13 · Problemas complementarios, tema 6 · Cálculo, UPV/EHU (2019/2020 3E AT)

Deducir dos parámetros de la dirección del máximo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $f(x,y) = axy^{2} + bxy$ , donde $a$ y $b$ son constantes reales. En el punto $P(1,2)$ la derivada direccional tiene un valor máximo cuando se sigue una dirección paralela al eje OX; este valor máximo es 8. Calcular los valores de $a$ y $b$ .

Los valores de las constantes a y b.

01
Reconocer el camino
COMP1
«La derivada direccional tiene su valor máximo siguiendo una dirección paralela al eje OX». ¿Qué información da eso sobre el gradiente?
02
La ecuación que sale del máximo
COMP2
Si el gradiente es horizontal y su módulo vale 8, ¿cuánto vale $f_x(1,2)$ en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el planteamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f_x = ay^{2}+by$ y $f_y = 2axy + bx$ .
2. En $P(1,2)$ : $f_x = 4a+2b$ y $f_y = 4a+b$ .
3. Máximo paralelo a OX significa $f_y(1,2)=0$ , o sea $4a+b=0$ .
4. Y el valor máximo 8 da $|4a+2b| = 8$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicios 6.5 y 6.6 · Problemas complementarios, tema 6 · Cálculo, UPV/EHU

Aproximar un valor con el plano tangente

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(x,y) = x^{2}+y^{2}-2xy+2y-2$ .

a) Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie $z = f(x,y)$ en el punto $P(1,2,3)$ . b) Utilizando la diferencial, aproximar el valor de $f(1{,}1;\,1{,}9)$ .

El plano tangente en P y la aproximación de f(1,1; 1,9).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Para qué sirve el plano tangente al aproximar?
02
La parcial respecto de x en P
COMP2
Con $f_x = 2x-2y$ , ¿cuánto vale $f_x(1,2)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aproximación
COMP2
Con el plano $z = 3 - 2(x-1) + 4(y-2)$ , ¿cuánto vale la aproximación de $f(1{,}1;\,1{,}9)$ ?
Tu respuesta al paso 3con un decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El plano tangente es $z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$ .
2. Aquí $f(1,2)=3$ , $f_x(1,2)=-2$ y $f_y(1,2)=4$ .
3. Luego el plano es $z = 3 -2(x-1) + 4(y-2)$ .
4. Evaluándolo en $(1{,}1;\,1{,}9)$ sale $2{,}4$ , la aproximación pedida.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Funciones reales de varias variables reales

Una función de dos variables es un paisaje

Las curvas de nivel son la función vista desde arriba

El límite: ahora importa por dónde te acerques

Las derivadas parciales: mirar en una sola dirección

El gradiente contesta las tres preguntas

Y al revés: deducir el gradiente a partir de datos

El plano tangente, y aproximar sin calculadora

La regla de la cadena, cuando las variables dependen de otra

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

El valor de la constante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Evaluar la parcial respecto de x

Y la parcial respecto de y

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El módulo del gradiente

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El módulo del vector dirección

La derivada direccional

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Por la recta y = mx

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La primera componente

La segunda componente

La derivada direccional pedida

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La componente en x del gradiente

La velocidad hacia P(5,5)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La segunda componente del gradiente en P

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La primera componente del gradiente

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La componente en y del gradiente

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La ecuación que sale del máximo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La parcial respecto de x en P

La aproximación

Justificar el argumento